Trasformadas de Fourier y Aplicaciones.

Fabiola Ortız Gutierrez

09 de Diciembre de 2011.

1. Introduccion

1.1. Resena historica

La historia del analisis de Fourier tiene mas de 200 anos. Sus orıgenes principi-an unos 60 anos antes del momento en que Jean Baptiste Joseph Fourier presento laprimera version de su trabajo sobre la teorıa de la conduccion del calor a la Academiade Parıs (1807) . El ano 1750 es un buen punto de partida: Fernando VI era rey deEspana, y Jorge II de Inglaterra; las colonias de America del norte estaban en mediode las guerras con los nativos y los franceses; unos anos despues Carlos III creaba elvirreinato del Rıo de la Plata (1776) . Voltaire, Rousseau y Kant estaban escribiendosus libros en Europa; Bach acababa de morir, y Mozart estaba pronto a nacer; y elcalculo de Leibnitz y Newton, publicado 75 anos antes, estaba permitiendo la creacionde poderosas nuevas teorıas sobre mecanica celeste y la mecanica del continuo.

En ese momento los esfuerzos de los fısicos y matematicos se concentraban en dosproblemas principales, que sentarıan las bases de lo que posteriormente se conocerıacomo analisis de Fourier:

El problema de la cuerda vibrante o la propagacion del sonido en un medioelastico.

La determinacion de las orbitas de los planetas a partir de mediciones.

En 1804 Joseph Fourier comenzo sus estudios sobre la conduccion del calor ensolidos, y en solo tres anos descubrio las ecuaciones basicas de conduccion de calor,desarrollo nuevos metodos para resolverlas.

Una de las situaciones mas simples en las que puede aplicar la tecnica del analisisideada por Fourier es considerar un disco bidimensional para el cual la temperaturasobre el borde es conocida. A partir de estos datos, se desea determinar la temper-atura en cualquier punto del disco.

1

En estado estacionario, la temperatura u (r, θ) de un punto (r, θ) obedece a laecuacion de Laplace (en coordenadas polares)

∂

∂r

(r∂u (r, θ)

∂r

)+

1

r

∂2u (r, θ)

∂θ2= 0.

El problema de encontrar u (r, θ) para todo r y θ es analogo al de la cuerda vi-brante.

En 1807 Fourier presento su trabajo Memoire sur la propagation de la chaleural instituto de Parıs. Los jueces recomendaron a Fourier que puliera su trabajo, ylo presentara para el gran premio de 1812. El panel de jueces de la Academia paraeste concurso incluıa a Lagrange, Laplace y Legendre, y acordaron a Fourier el granpremio. El gran premio contenıa el siguiente comentario:

La forma en la que el autor arriba a sus ecuaciones no esta exenta de dificultades,y su analisis deja algo que desear, sea en generalidad o aun en rigurosidad.

Ası que, el artıculo nunca fue publicado, y el trabajo de Fourier sobre la conducciondel calor, y de la teorıa de las series geometricas que lo soportaba, recien vio la luzcon la publicacion en 1822 de Theorie analytique de la chaleur.

1.2. Objetivos

Durante la realizacion de este trabajo se pretende abarcar la teorıa acerca dela Transformada de Fourier, comenzaremos con la definicion de la Transformada deFourier, para luego analizar algunas propiedades elementales basandonos principal-mente en los textos de Benedetto y Evans.

Resolveremos la ecuacion de onda y la ecuacion del calor mediante el empleo dela transformada de Fourier y veremos una aplicacion de la misma para estudiar elPrincipio de Incertidumbre de Heisenberg.

Estudiaremos propiedades algebraicas y analıticas, abordaremos la correspondi-ente teorıa en el espacio L2 (R), haciendo enfasis en este tipo de espacios, ya que parala invertibilidad desempenan un papel importante.

La motivacion para estudiar esta teorıa es poder desarrollar lo analogo para almenos otra transformacion, en este caso, la Trasformada de Hilbert.

2

2. Transformada de Fourier

Definicion 1. La convolucion de dos funciones f y g, denotada por f ∗g, es definidapor

(f ∗ g) (x) =

∫Rnf(x− y)g(y)dy.

El cambio de variable z = x− y nos muestra que esta integral es igual a∫Rnf(z)g(x− z)dz.

Por tanto, la convolucion es conmutativa

(f ∗ g) (x) = (g ∗ f) (x).

Estaremos trabajando con funciones complejas de variable real.

Denotamos

L1 (Rn) =

{f : Rn → C| ‖f‖L1(Rn) =

∫Rn|f(t)| <∞

}.

A continuacion enunciamos la definicion y algunas propiedades de la Transformadade Fourier.

Definicion 2. Sea f una funcion en L1 (Rn), definimos su trasformada de Fourier

f(k) =1

(2π)n2

∫Rne−ix·kf (x) dx (1)

y su trasformada inversa de Fourier

f(k) =1

(2π)n2

∫Rneix·kf(x)dx (2)

(k ∈ Rn).

Como∣∣e±ix·k∣∣ = 1 y f ∈ L1 (Rn), estas integrales convergen ∀k ∈ Rn.

Teorema 1. Propiedades analıticas de la Transformada de FourierSea f funcion en L1 (R), entonces se tienen las siguientes propiedades

1. Acotacion. ∀k ∈ R,∣∣∣f(k)

∣∣∣ ≤ ‖f‖L1(R) .

2. Continuidad. f es uniformemente continua en R, es decir, ∃δ > 0 tal que para

cada k y cada λ para las cuales |λ| < δ, tenemos∣∣∣f(k + λ)− f(k)

∣∣∣ < ε. En particular,

f es continua en R.3. Lema de Riemann-Lebesgue. lım

|k|→∞f(k) = 0.

3

Demostracion.(1) ∣∣∣f(k)

∣∣∣ ≤ ∫ |f(t)|∣∣e−itk∣∣ dt = ‖f‖L1(R) .

(2) ∣∣∣f(k + λ)− f(k)∣∣∣ ≤ ∫ |f(t)|

∣∣e−itk (e−itλ − 1)∣∣ dt.

Seaf[λ](t) = |f(t)|

∣∣e−itλ − 1∣∣ ,

ası quelımλ→0

f[λ](t) = 0

para toda t y ∣∣f[λ](t)∣∣ ≤ 2 |f(t)| .

Luego, por el teorema de convergencia dominada de Lebesgue, tenemos que ∀ε >0,∃λ0 > 0 tal que ∀λ ∈ (0, λ0) y ∀k ∈ R,∣∣∣f(k + λ)− f(k)

∣∣∣ < ε.

Por tanto, tenemos la continuidad uniforme.(3) Suponga que f = χ[a,b] y k 6= 0. Entonces,∣∣∣f(k)

∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ b

a

e−itkdt

∣∣∣∣ =1

2π |k|∣∣e−ibk − e−iak∣∣ ≤ 1

π |k|,

lo cual tiende a 0, cuando |k| tiende a infinito. Ahora, para f ∈ L2 (R), sea ε > 0 y

debemos encontar kε > 0 tal que si |k| > kε entonces∣∣∣f(k)

∣∣∣ < ε.

Dado que f ∈ L2 (R), por propiedad fundamental de L2 (R) sabemos que existe unafuncion

g =n∑j=1

cjχ[aj ,bj ]

con bj ≤ aj+1 tal que‖f − g‖L2(R) < ε/2.

Entonces, ∀k ∈ R tenemos∣∣∣f(k)∣∣∣ ≤ ∣∣∣f(k)− g(k)

∣∣∣+ |g(k)| ≤ ‖f − g‖L2(R) + |g(k)| < ε

2+ |g(k)| .

Como

g =n∑j=1

cjχ[aj ,bj ]

4

con bj ≤ aj+1, podemos tomar kε > 0 tal que |k| > kε, entonces |g(k)| < ε/2 y

ası∣∣∣f(k)

∣∣∣ < ε siempre que |k| > kε. Esto es

lım|k|→∞

f(k) = 0.

Ejemplo 1. Dada f ∈ L1 (R), no necesariamente se tiene que f ∈ L1 (R) .Sea f(t) = H(t)e−rt donde r > 0 y H es la funcion de Heaviside definida comoH = χ[0,∞). Entonces, f(k) = 1

(2π)1/2(r+ik)/∈ L1 (R) .

Denotamos por

L2 (Rn) =

{f : Rn → C| ‖f‖L2(Rn) =

(∫Rn|f(t)|2

)1/2

<∞

}.

Intentaremos extender la definicion de (1), (2) para funciones f ∈ L2 (Rn).

El mayor resultado en L2 (Rn) es el siguiente y es precisamente, el resultado delcual podemos derivar nuestra definicion para transformada de Fourier de una funcionf ∈ L2 (Rn) .

Teorema 2. Teorema de Plancherel. Sea f ∈ L1 (Rn) ∩ L2 (Rn). Entonces f , fson funciones en L2 (Rn) y∥∥∥f∥∥∥

L2(Rn)=∥∥f∥∥

L2(Rn) = ‖f‖L2(Rn) . (3)

Demostracion. I. Notemos que si f, g ∈ L1 (Rn), entonces f , g ∈ L∞ (Rn) . Tambien∫Rnf(x)g(x)dx =

∫Rnf(k)g(k)dk =

1

(2π)n2

∫Rn

∫Rne−ix·kf(x)g(k)dxdk. (4)

Ademas, si a, b ∈ R, b > 0 y sea z = b1/2x− a2b1/2

i, encontramos que

∫ ∞−∞

eiax−bx2

dx =e−a2

b1/2

b1/2

∫γ

e−z2

dz,

donde γ denota el contorno de{Im[z] = −a

2b1/2

}en el plano complejo.

Deformando γ en el eje real, tenemos∫γ

e−z2

dz =

∫ ∞−∞

e−x2

dx = π1/2

y por tanto, ∫ ∞−∞

eiax−bx2

dx = e−a24b

(πb

)1/25

y ası ∫Rneix·k−t|x|

2

dx =n∏j=1

∫ ∞−∞

eixjkj−tx2jdxj =

(πt

)n/2e−|x|2

4t .

Ası, ∫Rneix·k−t|x|

2

dx =(πt

)n2e−|k|2

4t (t > 0). (5)

En consecuencia, si ε > 0 y fε(x) = e−ε|x|2

tenemos fε(x) = e−|k|24ε

(2ε)n2

. Por lo tanto,

∀ε > 0 tenemos ∫Rng(k)e−ε|k|

2

dk =1

(2ε)n2

∫Rng(x)e

−|x|24ε dx. (6)

II. Tomamos h ∈ L1 (Rn) ∩ L2 (Rn) y sea f(x) = h(−x). Sea g = h ∗ f ∈ L1 (Rn) ∩C (Rn) y checamos que

g = (2π)n2 hf ∈ L∞ (Rn) .

Pero

f(k) =1

(2π)n2

∫Rne−ix·kh(−x)dx =

¯h(k);

y ası

g = (2π)n2

∣∣∣h∣∣∣2 .Ahora, g es continua y por lo tanto

lımε→0

1

(2ε)n2

∫Rng(x)e

−|x|24ε dx = (2π)

n2 g(0).

Como

g = (2π)n2

∣∣∣h∣∣∣2 ≥ 0

haciendo ε→ 0+ deducimos de∫Rng(k)e−ε|k|

2

dk =1

(2ε)n2

∫Rng(x)e

−|x|24ε dx

que g es integrable con ∫Rng(k)dk = (2π)

n2 g(0).

Por tanto, ∫Rn

∣∣∣h∣∣∣2 dk = g(0) =

∫Rnh(x)f(−x)dx =

∫Rn|h|2 dx.

Similarmente para h.

Ası pues, estamos en condiciones para definir la transformanda de Fourier enL2 (Rn).

6

Definicion 3. Por el teorema de Plancherel, podemos definir la transformada deFourier de una funcion h ∈ L2 (Rn) como sigue.Elegimos una sucesion {hk}∞k=1 ⊂ L1 (Rn) ∩ L2 (Rn) con

hk → h en L2 (Rn) .

Por teorema de Plancherel tenemos∥∥∥hk − hj∥∥∥L2(Rn)

=∥∥∥hk − hj∥∥∥

L2(Rn)= ‖hk − hj‖L2(Rn)

entonces, {hk}∞k=1 es una sucesion de Cauchy en L2 (Rn) y por lo tanto converge a

un limite h, esto eshk → h en L2 (Rn) .

Esta definicion de h no depende de la eleccion de la sucesion aproximante {hk}∞k=1 .Similarmente definimos h.

Teorema 3. Propiedades de Transformada de Fourier. Sean f, g ∈ L2 (Rn), entonces1.∫Rn fgdx =

∫Rn f

¯gdk.

2. Dαf = (ik)αf ∀α tal que Dαf ∈ L2 (Rn) .

3. (f ∗ g) = (2π)n2 f g.

4.f =(f).

Demostracion. (1) Sean f y g funciones en L2 (Rn) y α ∈ C. Entonces,

‖f + αg‖2L2(Rn) =∥∥∥f + αg

∥∥∥2L2(Rn)

.

Deducimos entonces que∫Rn|f |2 + |αg|2 + f (αg) + f (αg) dx =

∫Rn

∣∣∣f ∣∣∣2 + |αg|2 +¯f (αg) + f

(α¯g);

y por el teorema de Plancherel∫Rnαfg + αf gdx =

∫Rnα

¯fg + αf ¯gdk.

Tomamos α = 1, i y combinando las igualdades resultantes deducimos que∫Rnfgdx =

∫Rnf ¯g.

(2) Si f es suave y tiene soporte compacto, calculamos

Dαf(k) =1

(2π)n2

∫Rne−ix·kDαf(x)dx

=(−1)|α|

(2π)n2

∫RnDαx

(e−ix·k

)f(x)dx

7

=1

(2π)n2

∫Rne−ix·k(ik)αf(x)dx = (ik)αf(k).

Por aproximaciones, la misma formula es cierta para Dαf ∈ L2 (Rn).

3. Calculamos para f, g ∈ L1 (Rn) ∩2 (Rn) y k ∈ L2 (Rn) que(f ∗ g

)(k) =

1

(2π)n2

∫Rne−ix·k

∫Rnf(z)g(x− z)dzdx

=1

(2π)n2

∫Rne−ix·kf(z)

(∫Rne−i(x−z)·kg(x− z)dx

)dz

=

∫Rne−ix·kf(z)dzg(k) = (2π)

n2 f(k)g(k).

4. Fijemos z ∈ Rn, ε > 0 y escribamos fε(x) = eix·z−ε|x|2

. Luego

fε(k) =1

(2π)n2

∫Rne−ix·(k−z)−ε|x|

2

dx =1

(2π)n2

e−|x−z|2

4ε ,

donde seguimos los calculos de la demostracion del teorema de Plancherel. Utilizandola formula (4) deducimos para f ∈ L1 (Rn) ∪ L2 (Rn) que∫

Rnf(k)eix·k−ε|k|

2

dk =1

(2ε)n2

∫Rnf(x)e

−|x−z|24ε dz.

La expresion a la derecha converge para (2π)n/2f(z) cuando ε→ 0+, para cada puntode f . Por lo tanto

1

(2π)n2

∫Rnf(k)eix·kdk = f(z)

para casi toda z.

En resumen, lo que tenemos en este capıtulo es la definicion de Transformada deFourier y Transformada Inversa de Fourier para una funcion f en L1 (Rn) y vemosque su Transformada de Fourier f no necesariamente es una funcion en L1 (Rn), sinembargo, para una funcion h en L2 (Rn) tenemos la definicion de su Transformada deFourier h, y debido a que esta es derivada del Teorema de Plancherel, tenemos en par-ticular que h es una transformacion biyectiva y es unica con las propiedades deseadas.

Esto es, para h ∈ L1 (Rn) ∩ L2 (Rn) existe una unica transformacion biyectivah : L2 (Rn)→ L2 (Rn) con las propiedades:

∥∥∥h∥∥∥L2(Rn)

=∥∥h∥∥

L2(Rn) = ‖h‖L2(Rn) (7)

y tambien que ∀h ∈ L2 (Rn) ∃ {hn}n∈N ⊂ L1 (Rn) ∩ L2 (Rn) para la cual

lımn→∞

‖hn − h‖L2(Rn) = lımn→∞

∥∥∥hn − h∥∥∥L2(Rn)

= 0.

En el siguiente capıtulo, veremos algunos de ejemplos de aplicaciones para laTransformada de Fourier.

8

3. Aplicaciones

La trasformada de Fourier convierte ecuaciones diferenciales parciales en ecua-ciones algebraicas. A continuacion tenemos las ecuaciones del calor y de onda paraejemplificar el uso de la trasformada de Fourier.

Ecuacion del Calor.Consideremos

Ut −∆U = 0 en Rn × (0,∞)

U = g en Rn × t = 0

Calculamos U en la variable espacial x solamente. De donde obtenemos:Ut − |k|2 U = 0 para t > 0

U = g para t = 0

De donde:

U = e−t|k|2

g.

ConsecuentementeU =

(e−t|k|

2

g)ˇ

entonces

U =g ∗ F(2π)

n2

dondeF = e−t|k|

2

Pero entonces,

F =(e−t|k|

2)ˇ=

1

(2π)n2

∫Rneix·y−t|k|

2

dk =1

(2t)n2

e−|x|2

4t .

Ası

U(x, t) =1

(4πt)n2

∫Rne−|x−k|2

4t g(k)dk

para x ∈ Rn y t > 0.

Ecuacion de Onda.

Consideremos Utt −∆U = 0 en Rn × (0,∞)

U = g, Ut = 0 en Rn × t = 0

Por simplicidad suponemos velocidad inicial cero. Tomandos la transformada deFourier en la variable espacial x ∈ Rn tenemos:

9

Utt + |k|2 U = 0 , t > 0

U = g, Ut = 0 , t = 0

Es una ecuacion diferencial ordinaria para cada k ∈ Rn fija. Buscamos una solucionteniendo la forma U = βetγ, (β, γ ∈ C). Deducimos entonces que

U =g

2

(eit|k| + e−it|k|

).

Invertimos:

U(x, t) =

[g

2

(eit|k| + e−it|k|

)]ˇ

y consecuentemente

U(x, t) =1

(2π)n2

∫Rn

g(k)

2

(ei(x·k+t|k|) + ei(x·k−t|k|)

)dk

para x ∈ Rn y t ≥ 0.

Principio de Incertidumbre de Heisenberg.

En mecanica cuantica, el principio de incertidumbre o tambien conocido comola relacion de indeterminacion de Heisenberg, establece el lımite mas alla del cuallos conceptos de la fısica clasica no pueden ser empleados. Afirma que no se puededeterminar en terminos de fısica clasica, simultaneamente y con precision arbitraria,ciertos pares de variables fısicas, como son, por ejemplo, la posicion y el momentolineal de un objeto con buena exactitud.

El principio de incertidumbre se expresa matematicamente como:

σxσp ≥~2

donde σx es la desviacion estandar de la posicion, σp la desviacion estandar delmomento y ~ la constante de Planck.

Para llegar a dicho resultado, solo es necesario analizar algunas propiedades de laTransformada de Fourier y de su inversa.

Enunciemos el teorema de Plancherel para funciones complejas de variable real.

Teorema 4. Sean f y f funciones complejas de una variable real y |f(x)| y∣∣∣f(k)

∣∣∣son los modulos. Se cumple que:∫

R|f(x)|2 dx =

1

(2π)12

∫R

∣∣∣f(k)∣∣∣2 dk. (8)∫

Rf(x)g(x)dx =

1

(2π)12

∫Rf(k)¯g(k)dk. (9)

10

Podemos pensar x → |f(x)|2 y k → 1

(2π)12

∣∣∣f(k)∣∣∣2 como densidades de probabili-

dad.

Introducimos mx =∫R x |f(x)|2 dx y mk =

∫R

1

(2π)12k∣∣∣f(k)

∣∣∣2 dx.

mx es el valor esperado de la coordenada x o el centro de masa de la densidadde probabilidad |f(x)|2.

mk es el valor esperado de la coordenada k o el centro de masa de la densidad

de probabilidad 1

(2π)12

∣∣∣f(k)∣∣∣2.

Una medida de cuanto la funcion f se concentra alrededor de mx es dada por

σx =

[∫R

(x−mx)2 |f(x)|2 dx

] 12

y por otro lado,

σk =

[∫R

1

(2π)12

(k −mk)2∣∣∣f(k)

∣∣∣2 dk] 12

mide la propagacion de f alrededor de mk.

σx y σk son desviaciones estandar de las densidades de probabilidad |f(x)|2 y1

(2π)12|f(k)|2.

mx, mk, σx y σk son cantidades reales.

Probemos el siguiente resultado:

Teorema 5. σxσk ≥ 12

Demostracion.

σk =

[∫R

1

(2π)12

(k −mk)2∣∣∣f(k)

∣∣∣2 dk] 12

=1

(2π)12

∫R

∣∣∣(k −mk)f(k)∣∣∣2 dk

=1

(2π)12

∫R

∣∣∣kf −mkf(k)∣∣∣2 dk

=1

(2π)12

∫R

∣∣∣−if ′(k)−mkf(k)∣∣∣2 dk

=

∫R|−if ′(x)−mkf(x)|2 dx.

11

Por tanto,

σk =

∫R|−if ′(x)−mkf(x)|2 dx

Recordemos la desigualdad de Schwarz:∣∣∣∣∫Rf(x)g(x)dx

∣∣∣∣ ≤ [∫R|f(x)|2 dx

] 12[∫

R|g(x)|2 dx

] 12

Aplicamos esta desigualdad a J =∫R(x−mx)f(x)(−if ′(x)−mkf(x))dx:

|J | ≤[∫

R(x−mx)

2 |f(x)|2 dx] 1

2[∫

R|−if ′(x)−mkf(x)|2 dx

] 12

= σxσk

Para mostrar que |z| ≥ 12

es suficiente mostrar que |Imz| ≥ 12. Luego si multipli-

camos en el integrando de J:

J =

∫R

[xf(x)(−if ′(x))− xmkf(x)f(x) + if ′(x)mxf(x) +mxmkf(x)f(x)

]dx

Esto es

J =

∫Rixf(x)f ′(x)−mx

∫Rf(x)(−if ′(x))dx−mk

∫Rxf(x)f(x)dx+mxmk

∫Rf(x)f(x)dx

Ademas,

−mx

∫Rf(x)(−if ′(x))dx = −mx

∫R

1

(2π)12

f(k)(−if ′(k))dk

= −mx

∫R

1

(2π)12

f(k)kf(k)dk = −mxmk

y tambien

−mk

∫Rxf(x)f(x)dx = −mk

∫Rx |f(x)|2 dx = −mkmx

entonces se tiene que

J = i

∫Rxf(x)f ′(x)dx−mxmk

Usamos el hecho de que

2Re(f(x)f ′(x)) = f(x)f ′(x) + f(x)f ′(x) =d

dx(f(x)f(x)) =

d

dx|f(x)|2

Luego,

12

Im(J) = Im

(i

∫Rxf(x)f ′(x)dx−mxmk

)= Re

∫Rxf(x)f ′(x)dx

=1

2

∫Rxd

dx|f(x)|2 dx =

1

2x |f(x)|2 |∞−∞ −

1

2

∫R|f(x)|2 dx =

−1

2

Ası

|J | ≥ |Im(J)| = 1

2

|J | ≤ σxσk,

Por tanto

σxσk ≥1

2(10)

En mecanica cuantica, particulas subatomicas, tales como el electron, son de-scritas por una funcion de onda x → ψ(x), la cual es una funcion compleja devariable real, tal que |ψ(x)|2 es una densidad de probabilidad. La probabilidad de

encontrar una partıcula con posicion en el intervalo [a, b] es∫ ba|ψ(x)|2 dx y asumimos

que∫R |ψ(x)|2 dx = 1. Esto es, que siempre podemos encontrar a la partıcula en al-

guna posicion a lo largo de R.

Uno de los principales fundamentos de la mecanica cuantica es la relacion deBroglie para las ondas de materia

p = ~k (11)

donde k es el numero de onda, p es el momento lineal y ~ = h2π

con h la constantede Planck. Reemplazamos k por p

~ en la Transformada de Fourier de ψ e introducimosuna constante de normalizacion y definimos ϕ por:

ϕ(p) =1√2π~

ψ(p~

)=

1√2π~

∫Rψ(x)e

−ixp~ dx.

ϕ es la representacion del momento lineal de la partıcula. Con esta eleccion deconstantes normalizadoras,

ψ(x) =1√2π~

∫Rϕ(p)e

ixp~ dp

y por teorema de Plancherel, tenemos que:

1 =

∫R|ψ(x)|2 dx =

∫R|ϕ(p)|2 dp

Por lo tanto, p→ |ϕ(p)|2 es tambien una densidad de probabilidad y

13

∫ p1

p2

|ϕ(p)|2 dp

es la probabilidad de que la partıcula tenga un momento cayendo en el intervalop1 ≤ p ≤ p2.

Como antes, el valor esperado de la posicion de la partıcula es

mx =

∫Rx |ψ(x)|2 dx,

y el valor esperado del momento es

mp =

∫Rp |ϕ(p)|2 dp.

Las desviaciones estandar de la posicion y el momento son

σx =

[∫R(x−mx)

2 |ψ(x)|2 dx] 1

2

y

σp =

[∫R(p−mp)

2 |ϕ(p)|2 dx] 1

2

Finalmente, en terminos de estas variables el teorema 5 nos da como resultado elPrincipio de Incertidumbre de Heisenberg, esto es

σxσp ≥~2,

que nos expresa la imposibilidad de determinar la posicion y el momento lineal deuna partıcula con una buena exactitud. Esta limitacion es importante para partıculassubatomicas y despreciable para objetos grandes, cuyo producto de tiempo de posi-cion y momento es mas grande que la magnitud h = 1,054x10−27J.s.

En el siguiente capıtulo, estudiaremos la Transformada de Fourier para Distribu-ciones y finalmente la Transformada de Hilbert.

14

4. Teorıa de Distribuciones

4.1. Definicion de Distribuciones

Denotamos por C∞c (R) al espacio de funciones infinitamente direfenciables sobreR con soporte compacto.

Definicion 4. C∞c (R) es un espacio vectorial. Una funcion lineal,

T : C∞c (R) → C

f 7−→ T (f),

es una distribucion o funcion generalizada si lımn→∞

T (fn) = 0 para cada sucesion

{fn} ⊆ C∞c (R) que satisfaga las propiedades:

1. ∃K ⊆ R, compacto tal que para todo n, suppfn ⊆ K;

2. Para todo k ≥ 0, lımn→∞

∥∥f (k)n

∥∥L∞(R) = 0.

Una distribucion es positiva, escribimos T ≥ 0, si T (f) ≥ 0 para todas las fun-ciones no negativas f ∈ C∞c (R) .

El espacio de todas las distribuciones sobre R es denotada por D′ (R). Esta no-tacion es para hacer enfasis en el hecho de que D′ (R) es el espacio dual de C∞c (R),es decir, el espacio de todos lo funcionales lineales continuos sobre C∞c (R).

D′ (R) es un espacio vectorial. En efecto, si T1 y T2 son elementos en D′ (R)y c1, c2 ∈ C, entonces c1T1 + c2T2 es una distribucion bien definida, definida por(c1T1 + c2T2) (f) = c1T1(f) + c2T2(f) para toda f ∈ C∞c (R) .

Dadas T1, T2 ∈ D′ (R), decimos que T1 y T2 son iguales si T1(f) = T2(f) para todaf ∈ C∞c (R) .

Ejemplo 2. Distribuciones localmente integrablesDenotamos

L1loc (R) =

{f : R→ C : ∀a < b,

∫ b

a

|f(t)| dt <∞}.

Sea g ∈ L1loc (R) y definimos el funcional

Tg : C∞c (R) → C

f 7−→ Tg(f),

donde Tg es definido como

∀f ∈ C∞c (R) , Tg(f) =

∫g(t)f(t)dt.

15

Ademas, Tg ∈ D′ (R) . No solo Tg define un elemento en D′ (R), el mapeo lineal

L : L1loc (R) → D′ (R)

g 7−→ L(g) = Tg

nos permite identificar L1loc (R) con un subconjunto de D′ (R) . Para ver esto, debems

demostrar que el mapeo L es inyectivo. Es decir, debemos probar que si Tg1 = Tg2 enD′ (R), entonces g1 = g2, o equivalentemente (por la linealidad), si g = g1 − g2 no esla funcion 0 en L1

loc (R), entonces existe f ∈ C∞c (R) para la cual∫g(t)f(t) 6= 0.

Luego, como el mapeo es inyecivo, no hay ambiguedad en identificar g ∈ L1loc (R) con

L(g) = Tg ∈ D′ (R) .Ejemplos de tales distribuciones surgen de g = H y g(t) = 1/|t|1/2. Por otro lado,g(t) = 1/t /∈ L1

loc (R) .

4.2. La Transformada de Fourier de Distribuciones

La formula de Parseval es∫g(k)f(k)dk =

∫g(t)f(t)dt,

para todas f, g ∈ L2 (R).Como L2 (R) es un espacio de Hilbert, tenemos el producto interno dado por

〈g, f〉 =

∫g(t)f(t)dt.

Motivados por lo anterior, tenemos la siguiente definicion formal.

Definicion 5. La Transformada de Fourier T de una distribucion T es formalmentedefinida por la ecuacion

T f = T(f)

o equivalentemente, ⟨T , f

⟩= 〈T, f〉

para toda funcion prueba f .

T no es necesariamente una distribucion ya que no necesariamente es definidasobre C∞c (R). Incluso si trabajamos con f ∈ C∞c (R) y T ∈ D′ (R), entonces Tno deberıa estar bien definido sobre C∞c (R) por la misma razon. Este dilema esresuelto introduciendo los espacios de Schwartz de las funciones prueba y el espaciode distribuciones templadas.

16

Definicion 6. Una funcion infinitamente diferenciable f : R −→ C es un elementode un Espacio de Schwartz S (R) si ∀n ∈ N, se tiene que

‖f‖(n) = sup0≤j≤n

supt∈R

(1 + |t|2

)n ∣∣f (j)(t)∣∣ <∞.

Ejemplo 3. La Gaussiana g(t) = (1/√π) e−t

2es un elemento en S (R).

Teorema 6.a. El mapeo S (R) −→ S (R) dado por f 7−→ f es una biyeccion.b. ρ : S (R)× S (R) −→ R+ definida por

ρ (f, g) =∞∑n=0

1

2n‖f − g‖(n)

1 + ‖f − g‖(n),

para f, g ∈ S (R) es una metrica sobre S (R), y tal que S (R) es completo.c. El mapeo de la parte (a), donde a S (R) le damos la topologıa por (b) es bicontinuo.Por tanto, la Transformanda de Fourier

S (R) → S (R)

f 7−→ f ,

es un isomorfismo de espacios metricos.

Definicion 7. Un funcional lineal

T : S (R) → C

f 7−→ T (f)

es una distribucion templada si lımn−→∞

T (fn) = 0 para toda susecion {fn} ⊆ S (R) que

satisfaga las propiedades lımn→∞

∥∥tmf (k)n (t)

∥∥L∞(R) = 0 para toda k,m ≥ 0.

El espacio de todas las distribuciones templadas sobre R es denotado por S ′ (R) .

Se puede probar que lımn→∞

∥∥tmf (k)n (t)

∥∥L∞(R) = 0 para toda k,m ≥ 0 si y solo si

lımn→∞

ρ (fn, 0) = 0. Ademas, S ′ (R) ⊆ D′ (R) . Este hecho depende de los resultados de

dualidad de analisis funcional y de los siguientes hechos:

El mapeo

C∞c (R) → S (R)

f 7−→ f

es contınuo, y C∞c (R) = S (R) .

17

Ejemplo 4. Sea g ∈ L1 (R), verificaremos que (Tg) = Tg, ası que la Transformada deFourier de una distribucion es una generalizacion de la usual definicion. Para cadaf ∈ S (R) calculamos⟨

Tg, f⟩

= 〈Tg, f〉 =

∫g(t)f(t)dt =

∫g(k)f(k)dk =

⟨Tg, f

⟩,

por tanto, (Tg) = Tg se cumple para cada f ∈ S (R) .

4.3. Transformada de Hilbert

Definicion 8. Suponga que f ∈ Lp (R), 1 ≤ p <∞ y consideremos el valor principalde la convolucion

f(x) = p.v.1

π

∫ ∞−∞

f(t)

x− tdt = lım

ε→0+

1

π

∫|x−t|>ε

f(t)

x− tdt

la cual es llamada la Transformada de Hilbert de f.

El principal objetivo de esta seccion es establecer la existencia de f .

Haciendo el cambio de variable u = x− t tenemos que

f(x) = lımε→0

1

π

∫|x−t|>ε

f(t)

x− tdt = lım

ε→0

1

π

∫|u|>ε

f(x− u)

udu = lım

ε→0

−1

π

∫|u|>ε

f(x+ u)

udu

= lımε→0

−1

π

∫ ∞ε

f(x+ u)− f(x− u)

udu =

−1

π

∫ ∞ε

f(x+ u)− f(x− u)

udu

esta ultima integral existe si f satisface, ademas, una condicion de suavidad. A saber,si f satisface que para 0 < α ≤ 1 se cumpla

|f(x)− f(y)| ≤ C|x− y|α

siempre que |x− y| ≤ δ, entonces∣∣∣f(x)∣∣∣ ≤ ∫ ∞

0

|f(x+ u)− f(x− u)||u|

du =

∫ δ

0

+

∫ ∞δ

= I1 + I2,

por tanto,

I1 ≤∫ δ

0

C|u|α−1du <∞,

ya que α > 0, mientras que I2 es finita, por la desigualdad de Holder, para f ∈ Lp,1 ≤ p <∞.

Teorema 7. Sea f ∈ L2 (R), 0 < ε < ω <∞, y sea

fε,ω(x) =1

π

∫ε<|x−t|<ω

f(t)

x− tdt.

Entonces,

18

1.∥∥∥fε,ω∥∥∥

2≤ A ‖f‖2, para alguna constante A > 0.

2. Existe una funcion f ∈ L2 tal que∥∥∥fε,ω − f∥∥∥

2→ 0, cuando ε → 0 y ω → 0

simultaneamente o sucesivamente.

3.∥∥∥f∥∥∥

2= ‖f‖2 .

4. ˜f = −f.

5. f(x) = lımε→0 fε(x) puntualmente casi en todas partes.

Demostracion. Si hacemos

Kε,ω(x) =

2/x si ε < |x| < ω

0 de otro modo

entonces,

fε,ω(x) =1

2π

∫ ∞−∞

f(t)Kε,ω(x− t)dt = (f ∗Kε,ω) (x)

es la convolucion de f ∈ L2 con el kernel Kε,ω ∈ L. Por tanto, fε,ω ∈ L2 y

(a) ˆfε,ω(x) = f(x)Kε,ω(x) casi en todas partes.

Ahora,

Kε,ω(x) =1

2π

∫ε<|t|<ω

2

te−ixtdt =

1

π

∫ ω

ε

e−ixt − eixt

tdt

=−2i

π

∫ ω

ε

sin(xt)

tdt =

−2i

π(sgn x)

∫ ω|x|

ε|x|

sinu

udu

donde la ultima integral es uniformemente acotada y converge a∫ ∞0

sinu

udu =

π

2

cuando ε → 0 y ω → ∞ simultaneamente o sucesivamente. Por tanto, tenemos quepara todo x, ε y ω,(b) |Kε,ω(x)| ≤ A

(c) Kε,ω(x)→ −i sgn x cuando ε→ 0 y ω →∞.De (a) y (b) se sigue que ∥∥∥ ˆfε,ω

∥∥∥2≤ A

∥∥∥f∥∥∥2,

de donde, por la formula de Parseval se tiene que1) ∥∥∥fε,ω∥∥∥

2≤ A ‖f‖2 .

19

De (a),(b) y (c) se sigue que

ˆfε,ω → (−i sgn x) f

en la norma de L2, como∥∥∥ ˆfε,ω(x) + (i sgn x)f(x)∥∥∥2

=∥∥∥[Kε,ω(x) + i sgn x

]f(x)

∥∥∥2→ 0

cuando ε → 0 y ω → ∞, por teorema de convergencia dominada de Lebesgue. Portanto, tomando la inversa de Transformada de Fourier, tenemos que

fε,ω → f

en la norma L2, para una funcion f ∈ L2 tal que

(d) ˆf(x) = (−i sgn x)f(x). Esto prueba la conclusion 2).

Mas aun, de (d) vemos que || ˆf ||2 = ||f ||2, ası que por la formula de Parseval tenemos3) ||f ||2 = ||f ||2.Usando (d) otra vez, tenemos que

ˆf(x) = (−i sgn x) ˆf(x) = (−i sgn x)2f(x) = −f(x),

ası tenemos4) ˜f = −f.Queda por probar que fε(x) converge a f(x) puntualmente casi en todas partes.Por la Transformada Inversa de Fourier y por (d), se sigue que

f(x) =

∫ ∞−∞

ˆf(t)eixtdt =

∫ ∞−∞

f(t)(−i sgn t)eixtdt

donde la integral converge en la norma L2.

f(x) = lımε→0+

∫ ∞−∞

f(t)(−i sgn t)eixte−ε|t|dt

= lımε→0+

∫ ∞−∞

f(x+ t)(−i sgn t)e−ε|t|dt.

Como sgn t = sgn ε t, para toda ε > 0, y la funcion

H(t) = (−i sgn t)e−|t|

pertenece a L2, ası que tenemos que pra casi todo x

f(x) = lımε→0+

∫ ∞−∞

f(x+ t)H(εt)dt = lımε→0+

∫ ∞−∞

f(x+ t)H(εt)dt.

Ademas,

H(εt) =1

εH

(t

ε

).

20

Recordemos que

e−|t|(x) =1

x

1

1 + x2,

asıe−ε|t|(x) =

1

x

ε

ε2 + x2.

Ahora,

(sgn t)e−|t|(x) =1

2π

∫ ∞0

e−te−ixtdt− 1

2π

∫ 0

−∞ete−ixtdt

=1

2π

∫ ∞0

e−t(1+ix)dt− 1

2π

∫ ∞0

e−t(1−ix)dt

=1

2π

[1

1 + ix− 1

1− ix

]=−iπ

x

1 + x2

la cual no es una funcion integrable pero pertenece a Lp para todo p > 1, ası, enparticular, pertence a L2. Como H(t) = (−i sgn t)e−|t|, tenemos que

H(x) =−1

x

x

1 + x2,

luego

H(εx) =−1

x

x

ε2 + x2.

Por tanto obtuvimos que

f(x) = lımε→0+

[−1

x

∫ ∞−∞

f(x+ t)t

ε2 + t2dt

]= lım

ε→0+

[1

x

∫ ∞−∞

f(x− t) t

ε2 + t2dt

].

Por tanto, para probar que fε(x) converge casi en todas partes a f , es suficienteprobar que ∫ ∞

−∞f(x− t) t

ε2 + t2dt−

∫|t|>ε

f(x− t)1

tdt→ 0

casi siempre cuando ε→ 0. Esta ultima expresion es la convolucion de f con el kernel

Kε(t) =

t

ε2+t2si |t| ≤ ε

tε2+t2

− 1t

si |t| > ε

y

Kε =1

εK

(t

ε

),

donde

K(t) =

t

1+t2si |t| ≤ 1

t1+t2− 1

tsi |t| > 1

21

K(t) es integrable, en efecto, tenemos que K(t) es acotado y para |t| > 1,

K(t) =−1

t+ t3= O

(1

t3

)Mas aun, ∫ ∞

−∞K(t)dt = 0

ya que la funcion K(t) es impar. Por lo tanto, concluimos que para casi toda x.

lımε→

∫ ∞−∞

f(x− t)Kε(t)dt = f(x)

∫ ∞−∞

K(t)dt = 0

lo cual prueba (e). Por tanto,f(x) = lım

ε→0fε(x)

puntualmente casi en todas partes.

Hemos demostrado que si f ∈ L2 (R), entonces la Transformada de Hilbert fexiste puntualmente casi en todas partes y tambien pertenece a L2. Mas aun, de

||f ||2 = ||f ||2 vemos que el operador Hf = f es una isometrıa de L2, y de ˜f = −fvemos que H2 = −I, donde I denota el operador identidad, es decir, el operadorinverso H−1 = −H, y tenemos la formula de inversion

f(x) = p.v.−1

π

∫ ∞−∞

f(t)

x− tdt.

Luego, ˆf(x) = (−i sgn x)f(x), si hacemos σ(H)(x) = −i sgn x y denotamos por Fy F−1 las Transformadas de Fourier y la Inversa, vemos que podemos representar aloperador H de la forma H = F−1σ(H)F.

Las siguientes propiedades de la Transformada de Hilbert Hf = f , son conse-cuencias directas de la definicion.

Teorema 8. Propiedades de la Transformada de Hilbert

1. f + ig = f + ig.

2. ˜f(x+ a) = f(x+ a), es decir, H conmuta con las traslaciones.

3. Si a 6= 0, f(ax) = (sgn a)f(ax).

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5. Bibliografıa

Referencias

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[2] H. Flaschka, Principles of Analysis, University of Arizona, 1995.

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[4] J. M. Cooper,Introduction to Partial Differential Equations with MATLAB,Boston Birkhauser, 2000.

[5] U. Neri, Singular Integrals, Lecture Notes in Math.200, Springer-Verlag, NewYork, 1971.

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