Trasformazioni di Lorentz - Fondazione Occhialini · Omogeneità dello Spazio-Tempo (IV) •! Quindi, anche se la lunghezza dell’asta è sempre unitaria in S, la misura compiuta

Trasformazioni di Lorentz

Relatività, Energia e Ambiente Fano (PU), Liceo Scientifico “Torelli”, 18 aprile 2011

http://www.fondazioneocchialini.it

Prof. Domenico Galli Alma Mater Studiorum – Università di Bologna

Le Nuove Leggi di Trasformazione

•! Vogliamo ora formulare le nuove leggi di trasformazione che sostituiscano la trasformazione di Galileo.

•! Ci baseremo sui seguenti postulati: 1.! Validità del Principio di Relatività Ristretta:

•! Le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i SdR inerziali;

2.! Invarianza della velocità della luce nel vuoto: •! La luce si propaga nello spazio vuoto con una velocità che ha lo stesso valore c

in tutti i SdR inerziali;

3.! Omogeneità dello spazio-tempo: •! Le leggi della fisica sono invarianti per traslazioni nello spazio o nel tempo;

4.! Isotropia dello spazio-tempo: •! Le leggi della fisica sono invarianti per rotazioni.

DOMENICO GALLI - Trasformazioni di Lorentz! 2!

La Forma Generale

•! Innanzitutto le trasformazioni che cerchiamo possono coinvolgere le 3 variabili spaziali x, y e z e, a differenza delle trasformazioni di Galileo, anche la variabile temporale t.

DOMENICO GALLI - Trasformazioni di Lorentz!

!t = f0 t,x, y, z( )!x = f1 t,x, y, z( )!y = f2 t,x, y, z( )!z = f3 t,x, y, z( )

"

#

$$$

%

$$$

O2

t

O0 O1 O3 O4 O5 O6 O7

!V

x !x

y !y

z !z

O !O

t

!t S !S !t

!t !t

!t

t t t t t

!t

t

!O2 !O0 !O1

!O3 !O4 !O5

3!

La Forma Generale (II)

•! In queste trasformazioni f0, f1, f2 e f3. sono funzioni generiche che associano a una quaterna ordinata di numeri reali un altro numero reale:


!t = f0 t,x, y, z( )!x = f1 t,x, y, z( )!y = f2 t,x, y, z( )!z = f3 t,x, y, z( )

"

#

$$$

%

$$$

f0 : t,x, y, z( )&!4 '(' !t &!

f1 : t,x, y, z( )&!4 '(' !x &!

f2 : t,x, y, z( )&!4 '(' !y &!

f3 : t,x, y, z( )&!4 '(' !z &!

"

#

$$$

%

$$$

4!

O2

t

O0 O1 O3 O4 O5 O6 O7

!V

x !x

y !y

z !z

O !O

t

!t S !S !t

!t !t

!t

t t t t t

!t

t

!O2 !O0 !O1

!O3 !O4 !O5

La Forma Generale (III)

•! Procederemo ora nel cercare le restrizioni che i postulati prima elencati (relatività, invarianza della velocità della luce, omogeneità e isotropia dello spazio-tempo) impongono alla forma delle funzioni f0, f1, f2 e f3.


O2

t

O0 O1 O3 O4 O5 O6 O7

!V

x !x

y !y

z !z

O !O

t

!t S !S !t

!t !t

!t

t t t t t

!t

t

!O2 !O0 !O1

!O3 !O4 !O5

Omogeneità dello Spazio-Tempo

•! Qualunque esperimento deve dare esattamente gli stessi risultati se è ripetuto nelle stesse condizioni fisiche in punti diversi dello spazio e in tempi diversi (omogeneità dello spazio-tempo).

–! In altre parole le leggi della fisica debbono essere invarianti per traslazioni nello spazio o nel tempo.

–! Si tratta di un requisito fondamentale, in quanto sarebbero poco utili leggi che cambiano a seconda della posizione o nel tempo.

•! Questo requisito impone alle funzioni f0, f1, f2 e f3 di essere lineari (ovvero di essere funzioni di primo grado).


Omogeneità dello Spazio-Tempo (II)

•! Mostriamo con un esempio che se le funzioni f0, f1, f2 e f3 non sono lineari lo spazio non sarebbe omogeneo.

•! Supponiamo che la coordinata x si trasformi come:

•! Consideriamo ora la misura di un’asta di lunghezza unitaria (nel SdR S) collocata lungo l’asse x.


!x = f1 t, x, y, z( ) = a x2

t

O0!V

x !x

y !y

z !z

O

!O

!t S !S

!O0 x1 x2

!x1 !x2

x1 x2

!x1 !x2

7!

Omogeneità dello Spazio-Tempo (III)

•! Se l’asta è collocata con le estremità in x1 = 1 e x2 = 2 in S, allora la sua lunghezza in S! vale:

•! Se invece l’asta è collocata con le estremità in x1 = 3 e x2 = 4 in S, allora la sua lunghezza in S! vale:


!l = !x2 " !x1 = a x22 " x1

2( ) = a 4 "1( ) = 3a

!l = !x2 " !x1 = a x22 " x1

2( ) = a 16 " 9( ) = 7a

8!

t

O0!V

x !x

y !y

z !z

O

!O

!t S !S

!O0 x1 x2

!x1 !x2

x1 x2

!x1 !x2

Omogeneità dello Spazio-Tempo (IV)

•! Quindi, anche se la lunghezza dell’asta è sempre unitaria in S, la misura compiuta dall’osservatore di S! darebbe risultati diversi a seconda del punto dello spazio in cui l’asta è stata posta.

•! Se invece la coordinata x si trasforma come la funzione lineare:

si ha:


!x = f1 t, x, y, z( ) = ax

!l = !x2 " !x1 = a x2 " x1( ) = a 2 "1( ) = a

!l = !x2 " !x1 = a x2 " x1( ) = a 4 " 3( ) = a

9!

t

O0!V

x !x

y !y

z !z

O

!O

!t S !S

!O0 x1 x2

!x1 !x2

x1 x2

!x1 !x2

Omogeneità dello Spazio-Tempo (V)

•! La forma più generale di trasformazioni lineari (cioè di primo grado) è data dalle espressioni:


!t = f0 t,x, y, z( ) = a00t + a01x + a02 y + a03z + b0!x = f1 t,x, y, z( ) = a10t + a11x + a12 y + a13z + b1!y = f2 t,x, y, z( ) = a20t + a21x + a22 y + a23z + b2!z = f3 t,x, y, z( ) = a30t + a31x + a32 y + a33z + b3

"

#

$$$

%

$$$

10!

t

O0!V

x !x

y !y

z !z

O

!O

!t S !S

!O0

Omogeneità dello Spazio-Tempo (VI)

•! Se supponiamo che, quando t = t! = 0, i due SdR coincidano e i loro orologi siano sincronizzati allora i temini b0, b1, b2 e b3 si annullano e si ha:


!t = f0 t,x, y, z( ) = a00t + a01x + a02 y + a03z!x = f1 t,x, y, z( ) = a10t + a11x + a12 y + a13z!y = f2 t,x, y, z( ) = a20t + a21x + a22 y + a23z!z = f3 t,x, y, z( ) = a30t + a31x + a32 y + a33z

"

#

$$$

%

$$$

11!

t

O0!V

x !x

y !y

z !z

O

!O

!t S !S

!O0

Disposizione degli Assi Cartesiani

•! Se disponiamo gli assi dei due SdR in modo che i piani xy e x!y! coincidano, allora si ha che:

qualsiasi siano i valori di t, x e y. Da questo segue che:

•! Analogamente, se disponiamo gli assi dei due SdR in modo che i piani xz e x!z! coincidano, allora si ha che:

qualsiasi siano i valori di t, x e z. Da questo segue che:


z = 0 ! "z = 0

a30 = a31 = a32 = 0

!z = f3 t,x, y, z( ) = a30t + a31x + a32 y + a33z = a33z

y = 0 ! "y = 0

a20 = a21 = a23 = 0

!y = f2 t,x, y, z( ) = a20t + a21x + a22 y + a23z = a22 y

t

O0!V

x !x

y !y

z !z

O

!O

!t S !S

!O0

12!

Disposizione degli Assi Cartesiani (II)

•! Avremo quindi:


t

O0 !

V

x !x

y !y

z !z

O

!O

!t S !S

!O0

!t = f0 t,x, y, z( ) = a00t + a01x + a02 y + a03z

!x = f1 t,x, y, z( ) = a10t + a11x + a12 y + a13z

!y = f2 t,x, y, z( ) = a22 y

!z = f3 t,x, y, z( ) = a33z

"

#

$$$

%

$$$

13!

Isotropia e Relatività

•! Sulla base dell’Isotropia dello spazio e del Principio di Relatività possiamo determinare il coefficiente a22.

•! Invertiamo (cioè cambiamo verso) contemporaneamente i 4 assi x, z, x! e z!. –! L’equazione di trasformazione di y non cambia. –! I ruoli di S e S! risultano scambiati.

•! Possiamo rendercene conto osservando il sistema così ottenuto da un altro punto di vista: –! Ruotiamo poi di 180° attorno all’asse y i due SdR. Per l’Isotropia dello spazio

nulla deve cambiare. –! Infine, sostituiamo la traslazione di S! rispetto a S con la traslazione di S

rispetto a S! con verso opposto. Per il Principio di Relatività le due traslazioni sono equivalenti.


x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O

x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O

ı̂!"ı̂k̂!" k̂#̂ı !" #̂ıˆ#k !" ˆ#k

$

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(

)&&

*&&

x

y

z O

!V

!x

!y

!z !Orelatività

14!

Isotropia e Relatività (II)

•! Invertendo contemporaneamente i 4 assi x, z, x! e z!: –! L’equazione di trasformazione di y non cambia.

–! Otteniamo così una configurazione che differisce da quella di partenza soltanto per lo scambio delle variabili con gli apici con le variabili senza apici.

•! Insieme alla trasformazione:

deve perciò valere anche la trasformazione:


!y = a22 y

y = a22 !y

15!

x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O

x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O

ı̂!"ı̂k̂!" k̂#̂ı !" #̂ıˆ#k !" ˆ#k

$

%&&

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(

)&&

*&&

x

y

z O

!V

!x

!y

!z !Orelatività

Isotropia e Relatività (III)

•! Si ha quindi:


!y = a22 yy = a22 !y

"#$

%$& !y = a22 y = a22a22 !y

a22a22 = 1a22 = 1

16!

x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O

x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O

ı̂!"ı̂k̂!" k̂#̂ı !" #̂ıˆ#k !" ˆ#k

$

%&&

'&&

(

)&&

*&&

x

y

z O

!V

!x

!y

!z !Orelatività

Isotropia e Relatività (IV)

•! Analogamente, sulla base dell’Isotropia dello spazio e del Principio di Relatività possiamo determinare il coefficiente a33.

•! Invertiamo (cioè cambiamo verso) contemporaneamente i 4 assi x, y, x! e y!. –! L’equazione di trasformazione di z non cambia. –! I ruoli di S e S! risultano scambiati.

•! Possiamo rendercene conto osservando il sistema così ottenuto da un altro punto di vista: –! Ruotiamo poi di 180° attorno all’asse z i due SdR. Per l’Isotropia dello spazio

nulla deve cambiare. –! Infine, sostituiamo la traslazione di S! rispetto a S con la traslazione di S

rispetto a S! con verso opposto. Per il Principio di Relatività le due traslazioni sono equivalenti.


x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O x

y z

O

!V

!x

!y !z !O x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O

ı̂!"ı̂!̂!" !̂#̂ı !" #̂ıˆ#! !" ˆ#!

$

%&&

'&&

(

)&&

*&&

x

y

z O

!V

!x

!y

!z !Orelatività

17!

Isotropia e Relatività (V)

•! Invertendo contemporaneamente i 4 assi x, y, x! e y!: –! L’equazione di trasformazione di z non cambia.

–! Otteniamo così una configurazione che differisce da quella di partenza soltanto per lo scambio delle variabili con gli apici con le variabili senza apici.

•! Insieme alla trasformazione:

deve perciò valere anche la trasformazione:


!z = a33z

z = a33 !z

18!

x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O x

y z

O

!V

!x

!y !z !O x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O

ı̂!"ı̂!̂!" !̂#̂ı !" #̂ıˆ#! !" ˆ#!

$

%&&

'&&

(

)&&

*&&

x

y

z O

!V

!x

!y

!z !Orelatività

Isotropia e Relatività (VI)

•! Si ha quindi:


!z = a33zz = a33 !z

"#$

%$& !z = a33z = a33a33 !z

a33a33 = 1a33 = 1

19!

x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O x

y z

O

!V

!x

!y !z !O x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O

ı̂!"ı̂!̂!" !̂#̂ı !" #̂ıˆ#! !" ˆ#!

$

%&&

'&&

(

)&&

*&&

x

y

z O

!V

!x

!y

!z !Orelatività

Isotropia e Relatività (VII)

•! Avremo quindi:


!t = f0 t, x, y, z( ) = a00t + a01x + a02 y + a03z

!x = f1 t,x, y, z( ) = a10t + a11x + a12 y + a13z

!y = f2 t, x, y, z( ) = y

!z = f3 t,x, y, z( ) = z

"

#

$$$

%

$$$

20!

Isotropia e Relatività (VIII)

•! In maniera simile, sulla base dell’Isotropia dello spazio possiamo determinare i coefficienti a00, a01, a10, a11.

•! Invertiamo (cioè cambiamo verso) contemporaneamente i 4 assi y, z, y! e z!. –! Le equazioni di trasformazione di x e t cambiano nel seguente modo:

–! I ruoli di S e S! risultano scambiati. •! Possiamo rendercene conto osservando il sistema così ottenuto da un altro

punto di vista: –! Ruotiamo poi di 180° attorno all’asse x i due SdR. Per l’Isotropia dello spazio

nulla deve cambiare.


x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O

x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O

!̂!" !̂k̂!" k̂ˆ#! !" ˆ#!ˆ#k !" ˆ#k

$

%&&

'&&

(

)&&

*&&

!t = a00t + a01x + a02 y + a03z

!x = a10t + a11x + a12 y + a13z

"#$

%$&'&

!t = a00t + a01x ( a02 y ( a03z

!x = a10t + a11x ( a12 y ( a13z

"#$

%$

21!

Isotropia e Relatività (IX)

•! Insieme alle trasformazioni:

devono perciò valere anche le trasformazioni:

•! Sommandole membro a membro:


!t = a00t + a01x " a02 y " a03z

!x = a10t + a11x " a12 y " a13z

#$%

&%

!t = a00t + a01x + a02 y + a03z

!x = a10t + a11x + a12 y + a13z

"#$

%$

!t + !t = a00t + a01x + a02 y + a03z + a00t + a01x " a02 y " a03z

!x + !x = a10t + a11x + a12 y + a13z + a10t + a11x " a12 y " a13z

#$%

&%

22!

x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O

!̂!" !̂k̂!" k̂ˆ#! !" ˆ#!ˆ#k !" ˆ#k

$

%&&

'&&

(

)&&

*&&

Isotropia e Relatività (X)

•! Le leggi di trasformazione si riducono quindi a:


!t = f0 t,x, y, z( ) = a00t + a01x

!x = f1 t,x, y, z( ) = a10t + a11x

!y = f2 t,x, y, z( ) = y

!z = f3 t,x, y, z( ) = z

"

#

$$$

%

$$$

23!

x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O

x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O

!̂!" !̂k̂!" k̂ˆ#! !" ˆ#!ˆ#k !" ˆ#k

$

%&&

'&&

(

)&&

*&&

a02 = a03 = 0

a12 = a13 = 0

!"#

$#

La Velocità Relativa dei Due SdR

•! Osserviamo che un punto materiale che sia in quiete nell’origine del SdR S! (x! = 0) nel SdR S deve avere velocità V:

•! Sostituendo nelle leggi di trasformazione, otteniamo:


x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O

!x = 0 " x =Vt

!x = a10t + a11x

0 = a10t + a11Vt = a10 + a11V( )t, "t

a10 + a11V = 0a10 = #a11V

24!

La Velocità Relativa dei Due SdR (II)

•! Avremo quindi:

•! Le leggi di trasformazione si riducono quindi a:


a10 = !a11V

"x = a10t + a11x = !a11Vt + a11x = a11 x !Vt( )

!t = f0 t,x, y, z( ) = a00t + a01x

!x = f1 t,x, y, z( ) = a11 x "Vt( )!y = f2 t,x, y, z( ) = y

!z = f3 t,x, y, z( ) = z

#

$

%%%

&

%%%

25!

x

y

z O

!V

!x

!y

!z !O

Omogeneità, Isotropia e Relatività

•! Le leggi di trasformazione:

sono le più generali leggi compatibili con i postulati di Omogeneità e Isotropia dello spazio e con il Principio di Relatività.

–! Un caso particolare di queste leggi sono le trasformazioni di Galileo.

–! Un caso particolare di queste leggi sono le trasformazioni di Lorentz.


!t = f0 t,x, y, z( ) = a00t + a01x

!x = f1 t, x, y, z( ) = a11 x "Vt( )!y = f2 t, x, y, z( ) = y

!z = f3 t, x, y, z( ) = z

#

$

%%%

&

%%%

26!

Trasformazioni di Galileo

•! Nelle trasformazioni di Galileo il tempo è assoluto, ovvero non cambia passando da un SdR a un altro, per cui deve essere:

•! Inoltre le lunghezze non cambiano nel passaggio da un SdR a un altro, per cui deve essere:


!t = t, "t!t = a00t + a01x = t, "t

a00 = 1a01 = 0

#$%

&%

! "x = !x

! "x = "x2 # "x1 = a11 x2 # Vt( )# a11 x1 # Vt( ) = a11 x2 # x1( )! "x = !x = x2 # x1

$%&

'&

a11 = 1

27!

Trasformazioni di Galileo (II)

•! Sostituendo le condizioni nelle trasformazioni:

otteniamo le trasformazioni di Galileo:


a00 = 1, a01 = 0, a11 = 1

!t = f0 t, x, y, z( ) = a00t + a01x

!x = f1 t, x, y, z( ) = a11 x "Vt( )!y = f2 t, x, y, z( ) = y

!z = f3 t, x, y, z( ) = z

#

$

%%%

&

%%%

!t = f0 t,x, y, z( ) = t

!x = f1 t,x, y, z( ) = x "Vt

!y = f2 t,x, y, z( ) = y

!z = f3 t,x, y, z( ) = z

#

$

%%%

&

%%%

28!

Trasformazioni di Galileo (III)

•! Nelle trasformazioni di Galileo:

•! Lo spazio è assoluto: –! La distanza tra due punti non dipende dal SdR.

•! Il tempo è assoluto: –! L’intervallo di tempo non dipende dal SdR.


!t = f0 t,x, y, z( ) = t

!x = f1 t,x, y, z( ) = x "Vt

!y = f2 t,x, y, z( ) = y

!z = f3 t,x, y, z( ) = z

#

$

%%%

&

%%%

29!

Invarianza della Velocità della Luce

•! La relatività di Einstein sostituisce: –! I vincoli di Galileo sullo spazio-tempo, evidentemente troppo radicali:

•! Spazio assoluto e tempo assoluto.

–! Con un altro tipo di vincolo sulle proprietà dello spazio-tempo: •! L’invarianza della velocità della luce.

•! Dovremo imporre questa condizione alle trasformazioni generiche:


!t = f0 t,x, y, z( ) = a00t + a01x

!x = f1 t,x, y, z( ) = a11 x "Vt( )!y = f2 t,x, y, z( ) = y

!z = f3 t, x, y, z( ) = z

#

$

%%%

&

%%%

Fronte d’Onda Sferico

•! Consideriamo un’onda sferica di luce prodotta da una sorgente puntiforme.

•! Consideriamo un fronte d’onda che all’istante t = 0 ha raggio r = 0.

•! Il fronte d’onda è una superficie sferica il cui raggio aumenta con il tempo:


O0

S

t = 0

x

y

z O

O0

S

t = t1

x

y

z O

r = ct2

O0

S

t = t2

x

y

z O

r = ct1r t( ) = ctx2 t( ) + y2 t( ) + z2 t( ) = ctx2 t( ) + y2 t( ) + z2 t( ) = c2t2

31!

Invarianza della Velocità della Luce


•! Supponiamo ora che il fronte d’onda sferico abbia raggio r = 0 nell’istante t = t! = 0 in cui i due SdR S e S! sono sovrapposti.

•! Per l’invarianza della velocità della luce:

–! Nel SdR S il fronte d’onda è una superficie sferica di centro O e raggio crescente r = ct.

–! Nel SdR S! il fronte d’onda è ancora una superficie sferica di centro O! e raggio crescente r! = ct!. !

V t

x

y

O

!S

!x

!y

!O

!t

S

!r = c !tr = ct

32!

S ! "S

x ! "x

y ! "y

O ! "O

t = !t = 0

Invarianza della Velocità della Luce (II)


•! Per l’invarianza della velocità della luce dovranno perciò valere, simultaneamente, le due relazioni:

r 2 = x2 t( ) + y2 t( ) + z2 t( ) = c2t2!r 2 = !x 2 t( ) + !y 2 t( ) + !z 2 t( ) = c2 !t 2

"#$

%$

33!

!V t

x

y

O

!S

!x

!y

!O

!t

S

!r = c !tr = ct

S ! "S

x ! "x

y ! "y

O ! "O

t = !t = 0

Trasformazioni di Lorentz

•! Sostituiamo nella seconda relazione le variabili con gli apici ottenute dalle trasformazioni generiche:


!t = a00t + a01x

!x = a11 x "Vt( )!y = y!z = z

#

$

%%

&

%%

r 2 t( ) = x2 t( ) + y2 t( ) + z2 t( ) = c2t2

!r 2 !t( ) = !x 2 t( ) + !y 2 t( ) + !z 2 t( ) = c2 !t 2

"#$

%$

x2 + y2 + z2 = c2t2

a112 x !Vt( )2

+ y2 + z2 = c2 a00t + a01x( )2

"#$

%$

34!

Trasformazioni di Lorentz (II)

•! Sviluppiamo e raccogliamo le variabili:


x2 + y2 + z2 = c2t2

a112 x !Vt( )2 + y2 + z2 = c2 a00t + a01x( )2

"#$

%$

a112 x2 + a11

2V 2t2 ! 2a112Vtx + y2 + z2 = c2a00

2 t2 + c2a012 x2 + 2c2a00a01tx

x2 + y2 + z2 = c2t2

a112 ! c2a01

2( )x2 + y2 + z2 ! 2 Va112 + c2a00a01( )tx = c2a002 !V 2a11

2( )t2"#$

%$

35!

Trasformazioni di Lorentz (III)

•! Confrontando termine a termine le due relazioni (devono essere equivalenti ):

otteniamo:

•! Da questo sistema possiamo ricavare le 3 incognite a00, a01 e a11.


x2 + y2 + z2 = c2t2

a112 ! c2a01

2( )x2 + y2 + z2 ! 2 Va112 + c2a00a01( )tx = c2a002 !V 2a11

2( )t2"#$

%$

! t, x, y, z( )"!4

36!

a112 ! c2a01

2 = 1

Va112 + c2a00a01 = 0

c2a002 !V 2a11

2 = c2

"

#$$

%$$

Trasformazioni di Lorentz (IV)

•! Ricaviamo a01 dalla seconda e sostituiamo nella prima:


a112 ! c2a01

2 = 1

Va112 + c2a00a01 = 0

c2a002 !V 2a11

2 = c2

"

#$$

%$$

a112 ! c2 !

Va112

c2a00

"

#$%

&'

2

= 1 ( a112 !V 2a11

4

c2a002 = 1 ( c2a00

2 a112 =V 2a11

4 + c2a002

a01 = !Va11

2

c2a00c2a00

2 =V 2a112 + c2

)

*

++++

,

++++

37!

Trasformazioni di Lorentz (V)

•! Moltiplichiamo ambo i membri della III per a112 e sottraendola dalla I:


c2a002 a11

2 =V 2a114 + c2a00

2

a01 = !Va11

2

c2a00

c2a002 =V 2a11

2 + c2

"

#

$$

%

$$

c2a002 a11

2 =V 2a114 + c2a00

2

a01 = !Va11

2

c2a00c2a00

2 a112 =V 2a11

4 + c2a112 " a00

2 ! a112 = 0 " a00 = ±a11

#

$

%%

&

%%

38!

Trasformazioni di Lorentz (VI)

•! Sostituendo a00 ricavato dalla III nella I:


c2a002 a11

2 =V 2a114 + c2a00

2

a01 = !Va11

2

c2a00

a00 = ±a11

"

#

$$

%

$$

c2a114 =V 2a11

4 + c2a112 ! c2 "V 2( )a114 " c2a112 = 0 ! c2 "V 2( )a112 " c2 = 0

a01 = "Va11

2

c2a00a00 = ±a11

#

$

%%

&

%%

39!

Trasformazioni di Lorentz (VII)

•! Infine sostituendo:

Dove scegliamo i segni superiori per avere gli assi x e x! e gli assi t e t! concordi.


c2 !V 2( )a112 = c2 " a112 = c2

c2 !V 2 =1

1! V2

c2

" a11 = ± 1

1! V2

c2

a01 = !Va11

2

c2a00= !Va11c2

= ! Vc2

1

1! V2

c2

a00 = ±a11

#

$

%%%%%

&

%%%%%

40!

Trasformazioni di Lorentz (VIII)

•! Sostituendo ora i parametri ottenuti nelle trasformazioni generiche si ottiene infine:


a00 = a11 =1

1! V2

c2

a01 = ! Vc2

1

1! V2

c2

"

#

$$$

%

$$$

!t = a00t + a01x

!x = a11 x "Vt( )!y = y!z = z

#

$

%%

&

%%

!t =t " Vc2x

1" V2

c2

!x = x "Vt

1" V2

c2

!y = y!z = z

#

$

%%%%%%

&

%%%%%%

!

t

O0!V

x !x

y !y

z !z

O

!O

!t S !S

!O0

41!

Trasformazioni di Lorentz (IX)

•! Per semplificare le formule spesso si indica con " il cosiddetto parametro di velocità, ovvero la velocità misurata nel sistema naturale di unità di misura in cui c = 1:

e con # il cosiddetto fattore di Lorentz:


! =

Vc

! =1

1" # 2=

1

1" V 2

c2

t

O0!V

x !x

y !y

z !z

O

!O

!t S !S

!O0

42!

Trasformazioni di Lorentz (X)

•! Utilizzando questi simboli si può scrivere:


!t =t " V

c2 x

1" V 2

c2

!x =x "Vt

1" V 2

c2

!y = y!z = z

#

$

%%%%%%

&

%%%%%%

! =Vc

" =1

1# ! 2

$

%&&

'&&

!t = " t #Vc2 x

$%&

'()

!x = " x #Vt( )!y = y!z = z

*

+

,,,

-

,,,

c !t = " ct # $x( )!x = " x # $ct( )!y = y!z = z

%

&

''

(

''

t

O0!V

x !x

y !y

z !z

O

!O

!t S !S

!O0

43!

Trasformazioni Inverse

•! Si possono ottenere invertendo le precedenti trasformazioni: –! Ovvero ricavando le 4 variabili senza apici t, x, y e z in funzione delle 4 variabili con

apici t!, x!, y! e z! dalle precedenti relazioni.

–! Si tratta in questo caso di risolvere un sistema di 4 equazioni in 4 incognite di I grado.

•! Si possono anche ottenere, più semplicemente, applicando il principio di relatività: –! Reciprocità del moto relativo dei

due SdR: •! Se S si muove rispetto a S! con

velocità V allora S! si muove rispetto a S con velocità "V.

–! Scambiando tra loro coordinate con apici e coordinate senza apici e invertendo contemporaneamente il verso della velocità relativa, si devono ottenere relazioni altrettanto valide.


t

O0!V

x !x

y !y

z !z

O

!O

!t S !S

!O0

t

O0!!V

x !x

y !y

z !z

O

!O

!t S !S

!O0

44!

Trasformazioni Inverse (II)

•! Si ha quindi:


!t = " t # Vc2x

$%&

'()

!x = " x #Vt( )!y = y!z = z

*

+

,,,

-

,,,

c !t = " ct # .x( )!x = " x # .ct( )!y = y!z = z

*

+

,,

-

,,

/

t = " !t +Vc2

!x$%&

'()

x = " !x +V !t( )y = !yz = !z

*

+

,,,

-

,,,

ct = " c !t + . !x( )x = " !x + .c !t( )y = !yz = !z

*

+

,,

-

,,

45!

Il Principio di Corrispondenza

•! Einstein comprese che le regole con cui le leggi della natura si trasformano nel passaggio da un SdR all’altro hanno origine unicamente nelle proprietà dello spazio-tempo:

–! Devono quindi essere uguali per tutti i fenomeni:

•! Meccanici ed elettromagnetici.

•! D’altro canto le trasformazioni di Galileo avevano ottenuto un ottimo accordo sperimentale con la meccanica dei corpi macroscopici con velocità molto inferiori alla velocità della luce (dominio di applicabilità delle trasformazioni di Galileo).

•! Affinché le trasformazioni di Lorentz mantengano l’accordo sperimentale delle trasformazioni di Galileo nel loro dominio di applicabilità è necessario che esse si riducano alle trasformazioni di Galileo nel limite V << c.


Il Principio di Corrispondenza (II)

•! È chiaro che nel limite V << c si ha:

e dunque, come atteso:


! = Vc V!c" #"" 0 $ V

c2 V!c" #"" 0

% = 1

1& ! 2V!c" #"" 1

!t = " t #Vc2 x

$%&

'()

!x = " x #Vt( )!y = y!z = z

*

+

,,,

-

,,,

V!c. /..

!t = t!x = x #Vt!y = y!z = z

*

+,,

-,,

Lorentz Galileo 47!

Il Principio di Corrispondenza (III)

•! Deviazione delle previsioni della relatività di Einstein da quella di Galileo all’aumentare della velocità del moto:

–! Dipendenza del fattore di Lorentz # dal parametro di velocità ".


!"#$%&"

'()#(!

!(*#!(

+!"+$,

$%&"'()

-(.

$(!(")

-&).&'($

/"'0"!

-(1+"

..")23

#(!!(*

#!(

+$!#&0(..(

$00(.(!$#(

! =

Vc

! =1

1" Vc2

2

48!

La Velocità Limite

•! Nelle trasformazioni di Lorentz il fattore di Lorentz:

diverge per V ! c e non è reale per V > c:

•! Questo pone un limite superiore per la norma della velocità di traslazione reciproca dei SdR:


! =1

1" Vc2

2

limV !c

" = #

V > c $ " %!

V < c

49!

Trasformazioni delle Velocità

•! Dalle trasformazioni di Lorentz:

si ottiene:


!t = " t #

Vc2 x

$%&

'()

, !x = " x #Vt( ), !y = y, !z = z

!vx =!x!t=

" x #Vt( )" t # V

c2x

$%&

'()

= x #Vt

t # Vc2x=

xt#V

1# Vc2xt

=vx #V

1# Vc2vx

!v y =!y!t= y

" t # Vc2x

$%&

'()

= 1"yt

1

1# Vc2xt

= 1"v y

1# Vc2vx

!v z =!z!t= z

" t # Vc2x

$%&

'()

= 1"zt

1

1# Vc2xt

= 1"

v z

1# Vc2vx

50!

Trasformazioni delle Velocità (II)

•! Otteniamo quindi le leggi di trasformazione delle velocità:


!vx =vx "V

1" Vc2vx

!v y =1#v y

1" Vc2vx

!v z =1#

v z

1" Vc2vx

$

%

&&&&&&

'

&&&&&&

vx =!vx +V

1+ Vc2

!vx

v y =1"

!v y

1+ Vc2

!vx

v z =1"

!v z

1+ Vc2

!vx

#

$

%%%%%%

&

%%%%%%

51!

Trasformazioni delle Velocità (II)

•! Nell’esempio in figura le due auto si muovono con velocità 0.5 c e 0.7 c nel SdR della strada.

•! La velocità di un’auto rispetto all’altra, con le trasformazioni di Galileo, sarebbe:

•! Utilizzando invece le trasformazioni di Lorentz, si ha:


V = 0.5 c

x !x

y !y

z !z

O

!O

t !t

S !S

v = 0.7 c!vG = "1.2 c!vL = "0.89 c

!vG = v "V = ±0.7c " 0.5c =0.2c"1.2c < "c

#$%

!vL =v "V

1" Vc2v= ±0.7c " 0.5c

1" 0.5cc2

±0.7c( )=

=0.31c"0.89c

#$%

52!

V = 0.5 c x

!x

y !y

z !z

O

!O

t !t

S !S

v = 0.7 c!vG = 0.2 c!vL = 0.31 c

Trasformazioni delle Velocità (III)

•! Nell’esempio in figura l’auto si muove con velocità #c nel SdR della strada.

•! La velocità dell’onda rispetto all’auto, con le trasformazioni di Galileo, sarebbe:

•! Utilizzando invece le trasformazioni di Lorentz, si ha:


!vG = v "V = ±c " #c =

1" #( )c" 1+ #( )c < "c

$%&

'&

!vL =v "V

1" Vc2v= ±c " #c

1" #cc2

±c( )=

=±1" #( )c1! #

=c"c

$%&

V x

!x

y !y

z !z

O !O

t !t

S !S

v = c!vG = 1" #( )c!vL = c

V

x !x

y !y

z !z

O !O

t !t

S !S

v = c!vG = " 1+ #( )c!vL = "c

53!

Trasformazioni delle Velocità (IV)

•! La velocità del fronte d’onda vale dunque sempre c nella meccanica relativistica: –! Qualsiasi sia #;

–! Cioè in qualsiasi sistema di riferimento in moto rispetto a S.

•! La velocità della luce nel vuoto rappresenta quindi un limite: –! Non può essere oltrepassato nemmeno componendo tra di loro velocità

prossime o uguali a quelle della luce.


Prof. Domenico Galli Dipartimento di Fisica

[email protected] http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica

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Trasformazioni di Lorentz - Fondazione Occhialini · Omogeneità dello Spazio-Tempo (IV) •! Quindi, anche se la lunghezza dell’asta è sempre unitaria in S, la misura compiuta