Le trasformazioni geometriche e le funzioni trigonometriche

Andrea ZiggiotoLiceo Scientifico Statale C.Cattaneo, Torino

24 ottobre 2013

1 Dilatazioni e contrazioni orizzontali

Supponiamo di volere disegnare il grafico della funzione

y = sin 2x

In generale, vogliamo imparare a disegnare il grafico della funzione

y = f(hx) conh > 0

a partire dal grafico della funzione y = f(x).Poniamo {

x′ = hx

y′ = y

Avremo y′ = f(x′). Disegniamo allora il grafico di y′ = sin x′ nel nuovo sistema di riferimento (x′, y′).

Ora disegniamo il grafico di y = sin 2x. Avendo posto x′ = 2x avremo x =1

2x′, cioe passando al

sistema di riferimento (x, y) la variabile x subisce una contrazione di fattore1

2. Dunque

1

In generale, avremo x =1

hx′. Pertanto se

1

h> 1 allora il grafico subisce una dilatazione orizzontale

di fattore1

h, se

1

h< 1 allora il grafico subisce una contrazione orizzontale di fattore

1

h.

h < 1 =⇒ dilatazione orizzontale di fattore1

h

h > 1 =⇒ contrazione orizzontale di fattore1

h

Osservazione. Cosa e successo al periodo passando da sin x a sin 2x? Si e dimezzato...

Esempio. Grafico di y = sin1

2x

2

2 Dilatazioni e contrazioni verticali

Supponiamo di volere disegnare il grafico della funzione

y = 2 sin x

In generale, vogliamo imparare a disegnare il grafico della funzione

y = Kf(x) conK > 0

a partire dal grafico della funzione y = f(x).Poniamo {

x′ = x

y′ =y

K

Avremo y′ = f(x′). Disegniamo allora il grafico di y′ = sin x′ nel nuovo sistema di riferimento (x′, y′).

Ora disegniamo il grafico di y = 2 sinx. Avendo posto y′ =y

2avremo y = 2y′, cioe passando al

sistema di riferimento (x, y) la variabile y subisce una dilatazione di fattore 2. Dunque

3

In generale, avremo y = Ky′. Pertanto se K > 1 allora il grafico subisce una dilatazione verticaledi fattore K, se K < 1 allora il grafico subisce una contrazione verticale di fattore K.

K < 1 =⇒ contrazione verticale di fattore K

K > 1 =⇒ dilatazione verticale di fattore K

Osservazione. Cosa e successo al periodo passando da sin x a 2 sin x? E’ rimasto invariato...

Esempio. Grafico di y =1

2sinx

3 Traslazioni orizzontali

Supponiamo di volere disegnare il grafico della funzione

y = sin(x+

π

3

)4

In generale, vogliamo imparare a disegnare il grafico della funzione

y = f(x+ h) conh ∈ R

a partire dal grafico della funzione y = f(x).Poniamo {

x′ = x+ h

y′ = y

Avremo y′ = f(x′). Disegniamo allora il grafico di y′ = sin x′ nel nuovo sistema di riferimento (x′, y′).

Ora disegniamo il grafico di y = sin(x + π). Avendo posto x′ = x + h avremo x = x′ − h, cioepassando al sistema di riferimento (x, y) la variabile x subisce una traslazione di ampiezza |h|. Inparticolare, se −h > 0 cioe h < 0 si ha una traslazione verso destra, se −h < 0 cioe h > 0 si ha unatraslazione verso sinistra.

h > 0 =⇒ traslazione verso sinistra di ampiezza |h|h < 0 =⇒ traslazione verso destra di ampiezza |h|

Dunque

Osservazione. Cosa e successo al periodo passando da sin x a sin(x+ π3)? E’ rimasto invariato...

5

Esempio. Questo e il grafico di y = cos(x− π

4

)

4 Traslazioni verticali

Supponiamo di volere disegnare il grafico della funzione

y = sin x+ 2

In generale, vogliamo imparare a disegnare il grafico della funzione

y = f(x) +K conK ∈ R

a partire dal grafico della funzione y = f(x).Poniamo {

x′ = x

y′ = y −K

Avremo y′ = f(x′). Disegniamo allora il grafico di y′ = sin x′ nel nuovo sistema di riferimento (x′, y′).

6

Ora disegniamo il grafico di y = sin x + 2. Avendo posto y′ = y − K avremo y = y′ + K, cioepassando al sistema di riferimento (x, y) la variabile y subisce una traslazione di ampiezza |K|. Inparticolare, se K > 0 si ha una traslazione verso l’alto, se K < 0 si ha una traslazione verso il basso.

K > 0 =⇒ traslazione verso l’alto di ampiezza |K|K < 0 =⇒ traslazione verso il basso di ampiezza |K|

Dunque

Osservazione. Anche in questo caso il periodo e rimasto invariato...

Esempio. Disegniamo il grafico di y = arctan x− 1

7

5 Simmetrie

Supponiamo di voler disegnare il grafico di y = sin(−x). In generale vogliamo imparare a disegnareil grafico della funzione

y = f(−x)

a partire dal grafico della funzione y = f(x).Poniamo {

x′ = −x

y′ = y

da cui otteniamo x = −x′. Passando dunque dal sistema di riferimento (x′, y′) al sistema diriferimento (x, y), si e operata una simmetria rispetto all’asse y.

Supponiamo ora di voler disegnare il grafico di y = − sin x. In generale vogliamo imparare adisegnare il grafico della funzione

y = −f(x)

a partire dal grafico della funzione y = f(x).Poniamo {

x′ = x

y′ = −y

da cui otteniamo y = −y′. Passando dunque dal sistema di riferimento (x′, y′) al sistema di riferimento(x, y), si e operata una simmetria rispetto all’asse x.

8

6 Grafici di |f (x)| e di f (|x|)Abbiamo che

y = |f(x)| =

{f(x), se f(x) ≥ 0

−f(x), se f(x) < 0

Applichiamo al grafico della funzione y = | sinx|.

9

Abbiamo che

y = f(|x|) =

{f(x), se x ≥ 0

f(−x), se x < 0

Applichiamo al grafico della funzione y = |x|2−|x|, ottenendolo dal grafico della funzione f(x) =x2 − x.

Osservazione. La funzione y = f(|x|) e sempre una funzione pari (infatti f(| − x|) = f(|x|)).

10