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TRASFORMAZIONI GEOMETRICHETRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

Appunti di Disegno Tecnico Industriale 427

Introduzione

Una trasformazione dello spazio è una funzione generica che trasforma un punto p in un

altro punto p’ :

( )pp χ='

Essendo p = (x,y,z) e p’ = (x’,y’, z’)

Per il momento non facciamo alcuna ipotesi sulla forma della funzione; ipotizzeremo soltanto che in tutto il dominio spaziale esistano e siano continue le derivate parziali:

j

i

x

x

∂∂ '

Dal punto di vista applicativo risulta utile conoscere alcune caratteristiche associate ad una trasformazione generica, quali ad esempio: variazione di lunghezza, variazione d’areae variazione di volume. Riportiamo nelle trasparenze che seguono alcuni risultati notevoli.

2


Matrice jacobiana

La matrice jacobiana A di una trasformazione è definita nel modo che segue:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

z

z

y

z

x

zz

y

y

y

x

yz

x

y

x

x

x

'''

'''

'''

A


Matrice jacobiana - esempio

Sia data la seguente trasformazione dello spazio:

( )( )

++=+=

+=

zyxz

zxy

xxx

2'

cos'

sin3'

:

2

χ

La matrice jacobiana è la seguente:

( )( )

−+

=112

10sin

00cos6

x

xx

A

3


Variazione di volume

Consideriamo una generica trasformazione che porta il punto p in p’ :

Si dimostra che, puntualmente, la variazione del volume infinitesimo di materiale, espressa da dV’/dV è data dal determinante della matrice jacobiana:

( )Adet' =

dV

dV

Se det(A) = 1 in tutti i punti dello spazio la trasformazione si dice isocora.


Variazione d’area

Consideriamo una generica trasformazione che porta il punto p in p’ e due superfici

infinitesime dA e dA’ nell’intorno dei punti p e p’ . Siano n ed n’ le normali alle due

superfici nei due punti p e p’ .Si dimostra che il rapporto tra le aree delle due superfici infinitesime è dato dalla seguente relazione (formula di Nanson):

( )[ ] dAdA BNAn det'' =

dove B è la matrice jacobiana della trasformazione inversa:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

'''

'''

'''

z

z

y

z

x

zz

y

y

y

x

yz

x

y

x

x

x

B

4


Variazione di lunghezza. Moti rigidi.

Consideriamo ancora una generica trasformazione che porta il punto p in p’ e due vettori

infinitesimi dS e dS’ uscenti dai punti p e p’ .

Si dimostra che tra le lunghezze dei segmenti infinitesimi esiste la seguente relazione:

( )AuAuS

S T

d

'd•=

dove • indica il prodotto scalare, mentre urappresenta il vettore unitario collineare a dS.Condizione necessaria e sufficiente affinchè la trasformazione non comporti variazioni di lunghezza è che la matrice jacobiana sia ortogonale:

IAA =T

Quando questa relazione è valida per ciascun punto dello spazio la trasformazione è un moto rigido.


Trasformazioni lineari.

Le relazioni introdotte nelle precedenti trasparenze sono valide a prescindere dalla forma

funzionale assunta dalla trasformazione χ. D’ora in avanti restringeremo il dominio alle trasformazioni lineari, ovvero quelle esprimibili nella seguente forma:

+

=

z

y

x

t

t

t

z

y

x

rrr

rrr

rrr

z

y

x

333231

232221

131211

'

'

'

tRpp +='

Ovvero, in forma matriciale:

È facile vedere che, nel caso di trasformazione lineare, la matrice jacobiana A coincide con

la matrice R. Osserviamo quindi che, in generale, una trasformazione lineare non è

conservativa di lunghezze, aree e volumi.

5


Trasformazione lineare. Esempio.

Effetti della trasformazione lineare indicata qui di seguito. Linea continua (blu) e linea a tratti (rossa) rappresentano la figura rispettivamente prima e dopo la trasformazione.

0

2

4

6

8

0

2

4

6

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

+

=

5.0

5.1

0.3

6.12.03.0

1.04.13.0

5.02.02.1

'

'

'

z

y

x

z

y

x


Cambiamento di scala.

Una trasformazione lineare in cui sono tutti nulli gli elementi della matrice R eccetto quelli

della diagonale principale, ed è nullo il vettore t è un cambiamento di scala.

=

z

y

x

s

s

s

z

y

x

z

y

x

00

00

00

'

'

'

I coefficienti sx, sy ed sz rappresentano il cambiamento di scala lungo le direzioni x, y e zrispettivamente.

6


Cambiamento di scala. Esempio

=

z

y

x

z

y

x

5.100

03.10

006.0

'

'

'

Effetti del cambiamento di scala. Linea continua (blu) e linea a tratti (rossa) rappresentano la figura rispettivamente prima e dopo la trasformazione.

0

2

4

6

8

0

2

4

6

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8


Traslazione.

Una trasformazione lineare in cui la matrice R è identica, è una traslazione.

∆∆∆

+

=

z

y

x

z

y

x

z

y

x

100

010

001

'

'

'

I coefficienti ∆x, ∆y ed ∆z rappresentano il la traslazione lungo le direzioni x, y e zrispettivamente.

7


Traslazione. Esempio

Effetti di una traslazione. Linea continua (blu) e linea a tratti (rossa) rappresentano la figura rispettivamente prima e dopo la trasformazione.

+

=

2

5.3

1

100

010

001

'

'

'

z

y

x

z

y

x

0

2

4

6

8

0

2

4

6

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8


Rotazione attorno ad un asse coordinato (1).

Consideriamo, dapprima, una rotazione attorno all’asse Z che porta il punto P sul punto Q.

Osserviamo che le coordinate del punto Qpossono esprimersi in funzione delle coordinate del punto P nel modo che segue:

( )

+=+=

)sin(

cos

φθφθ

Ry

Rx

Q

Q

Applicando le formule di addizione di seno e coseno otteniamo:

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]

+=−=

φθφθφθφθ

sincos)cos(sin

sinsin)cos(cos

Ry

Rx

Q

Qma:

( )( )

==

P

P

yR

xR

φφ

sin

cos

quindi:( ) ( )( ) ( )

+=−=

θθθθ

sincos

sincos

PPQ

PPQ

yxy

yxx

8


Rotazione attorno ad un asse coordinato (2).

Pertanto otteniamo, in forma matriciale, la seguente espressione.

( ) ( )( ) ( )

−=

z

y

x

z

y

x

100

0cossin

0sincos

'

'

'

θθθθ

In maniera analoga si ricavano le espressioni equivalenti per rotazioni attorno agli assi y e z.

( ) ( )( ) ( )

−=

z

y

x

z

y

x

θθθθ

cossin0

sincos0

001

'

'

'

Rotazione attorno all’asse x:

( ) ( )

( ) ( )

−=

z

y

x

z

y

x

θθ

θθ

cos0sin

010

sin0cos

'

'

'

Rotazione attorno all’asse y:


Rotazione attorno ad un asse generico (1).

L’operazione di rotazione attorno ad un’asse generico è ricondotta alla rotazione attorno ad un asse coordinato (in questo caso l’asse z). Supponiamo di voler eseguire una rotazione di angolo β attorno all’asse di versore u. Procediamo nel seguente modo:

1) eseguiamo una rotazione attorno all’asse z di un angolo θ;

2) eseguiamo una rotazione attorno all’asse x’ di un angolo (φ - π/2);

3) a questo punto l’asse z trasformato coincide con l’asse u. Eseguiamo quindi una rotazione di un angolo β attorno a ztrasformato;

4) eseguiamo a ritroso le due rotazioni precedenti

x y

z

9


Rotazione attorno ad un asse generico (2).

Si dimostra che la matrice di trasformazione è la seguente:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

−++−−−−−−++−+−−−−+

=

z

y

x

uccsuuucsuuuc

suuucuccsuuuc

suuucsuuucucc

z

y

x

zxzyyzx

xyzyzyx

yxzzxyx

2

2

2

111

111

111

'

'

'

dove ux, uy e uzsono le componenti del versore u, mentre:

( )( )

==

ββ

sin

cos

s

c

x y

z


Non commutatività delle rotazioni.

L’operazione di rotazione può essere applicata in sequenza, ottenendo così una composizione di trasformazioni. Detta composizione non è commutativa, ovvero, in generale risulta:

ABBA RRRR ≠

0

2

4

6

8

0

2

4

6

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1) Rotazione di 45° attorno all’asse x

0

2

4

6

8

0

2

4

6

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

2

4

6

8

0

2

4

6

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

2) Rotazione di 45° attorno all’asse z

1) Rotazione di 45° attorno all’asse z 2) Rotazione di 45° attorno all’asse x

0

2

4

6

8

0

2

4

6

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

10


Altre considerazioni sulle rotazioni.

Abbiamo visto che una rotazione può esprimersi attraverso la seguente relazione:

Rpp ='

Risulta che: se la trasformazione associata alla relazione di cui sopra è una rotazione, allora la matrice R è ortogonale.

Viceversa: se R è una matrice ortogonale, allora la trasformazione ad essa associata è una rotazione, una riflessione o una composizione di queste due trasformazioni.

Risulta inoltre che il numero di parametri indipendenti di una matrice ortogonale NxN è pari a N(N-1)/2. Nello spazio tridimensionale dunque una generica rotazione è definita da 3 parametri indipendenti.

Vedasi per confronto la formula per la rotazione attorno ad un asse generico. Qui i parametri sono: s, c, ux, uy e uz. Tuttavia s e c sono funzione dell’angolo di rotazione β; mentre ux, uy e uz sono funzione degli angoli θ e φ.


Coordinate omogenee.

Un generico punto dello spazio (x,y,z) può essere rappresentato in coordinate omogenee da una quaterna di valori (x,y,z,1) o, equivalentemente, da un qualsiasi suo multiplo (wx,wy,wz,w), con w ≠ 0. Per w = 0 il punto in coordinate omogenee rappresenta un punto improprio.

Punto proprio dello spazio

Rappresentazione in coordinate cartesiane

( )zyx ,,=p

Rappresentazione in coordinate omogenee

( )1,,, zyx=p

( )wwzwywx ,,,=p

Punto improprio dello spazio

Rappresentazione in coordinate cartesiane

Rappresentazione in coordinate omogenee

NON RAPPRESENTABILE

( )0,,, zyx=p

Rappresenta la direzione definita dai coseni direttori x, y e z

11


Coordinate omogenee. Esempio.

Esempio. I seguenti punti dati in coordinate omogenee

( )( )( )2/5,2,1,2/1

10,8,4,2

5,4,2,1

−−−−

corrispondono al seguente unico punto in coordinate cartesiane:

( )5/4,5/2,5/1


Trasformazioni in coordinate omogenee.

Le coordinate omogenee consentono di scrivere le trasformazioni lineari in forma compatta. Abbiamo visto che in coordinate cartesiane una generica trasformazione lineare viene scritta nel seguente modo:

tRpp +='

In coordinate omogenee tale trasformazione si semplifica nel modo che segue:

Rpp ='

Dunque in coordinate omogenee è possibile rappresentare, per mezzo di una sola matrice, rotazioni, traslazioni e cambiamenti di scala.

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Traslazione e cambiamento di scala in coordinate omogenee.

In coordinate omogenee è facile vedere che una traslazione assume la seguente forma:

∆∆∆

=

11000

100

010

001

1

'

'

'

z

y

x

z

y

x

z

y

x

Mentre per il cambiamento di scala si ha:

=

11000

000

000

000

1

'

'

'

z

y

x

s

s

s

z

y

x

z

y

x


Rotazione in coordinate omogenee.

In coordinate omogenee una rotazione si esprime nel seguente modo:

=

11000

0

0

0

1

'

'

'

333231

232221

131211

z

y

x

rrr

rrr

rrr

z

y

x

Essendo gli r ij i coefficienti di una matrice di rotazione come precedentemente visto.

13


Esercizio 1.

Determinare l’espressione in coordinate cartesiane dei seguenti punti dati in coordinate omogenee:

( )( )( )( )

====

2,0,0,2

1,2,0,0

4,6,4,2

2,5,6,3

3

3

2

1

p

p

p

p

Risulta:

( )( )( )( )

====

0,0,1

2,0,0

2/3,1,2/1

2/5,3,2/3

3

3

2

1

p

p

p

p


Esercizio 2.

( )( )

==

0,2,7

1,4,3

2

1

p

p

Risulta:

( )0,,, 121212 pppppp zzyyxx −−−=∞p

Determinare il punto improprio associato alla direzione definita dai seguenti due punti:

Da cui:

( )0,1,2,4 −−=∞p

Normalizziamo (rendiamo il vettore di lunghezza unitaria):

∞

∞∞ =

pp

u

( )21

0,1,2,4 −−=∞u

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Esercizio 3.

Determinare la variazione di volume nel punto p = (1,0,0) associata alla seguente trasformazione:

===

zz

yy

xx

2'

6'

3'

:

2

χ

=200

060

006x

A

1) Determiniamo la matrice jacobiana: 2) Calcoliamo la matrice jacobiana nel punto p:

( )

=200

060

006

0,0,0A

3) Calcoliamo il determinante della matrice jacobiana nel punto p :

( )[ ] 24266det 0,0,1 =⋅⋅=A


Esercizio 4 (1).

Determinare la matrice di trasformazione, in coordinate omogenee, associata alla seguente sequenza di trasformazioni:

1) Rotazione di 45° attorno all’asse z;

2) Cambiamento di scala di tre unità in direzione y;

3) Traslazione di 2 unità in direzione x e di 5 unità in direzione z.

Prima trasformazione. Risulta:

( ) ( )( ) ( )

−

=

−

=

1000

0100

002/22/2

002/22/2

1000

0100

00cossin

00sincos

1θθθθ

R

15


Esercizio 4 (2).

Prima trasformazione. Risulta:

( ) ( )( ) ( )

−

=

−

=

1000

0100

002/22/2

002/22/2

1000

0100

00cossin

00sincos

1θθθθ

R

0

2

4

6

8

0

2

4

6

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8


Esercizio 4 (3).

Seconda trasformazione. Abbiamo:

=

1000

0100

0030

0001

2R

0

2

4

6

8

0

2

4

6

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

16


Esercizio 4 (4).

Terza trasformazione. Abbiamo:

=

1000

5100

0010

2001

3R

0

2

4

6

8

0

2

4

6

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8


Esercizio 4 (5).

Le diverse trasformazioni possono comporsi e dare la trasformazione complessiva:

−

==

1000

0100

002/22/2

002/22/2

1000

0100

0030

0001

1000

5100

0010

2001

123 RRRR

Ricordiamo che in generale non vale la proprietà commutativa. Dunque la sequenza delle trasformazioni non può essere variata.

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