Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
VI. TRASLAZIONE ROTAZIONE ROTO-TRASLAZIONE
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 1
TRASLAZIONE
''sin
cosAOOA
YOA
XOA
bOO
aOO
sin'
cos'
'''';'''' OOOAAOAOOOOA
)cos(')cos(''
sin'sin''sin'
cos'cos''cos'
OOOAOA
YbyOOAOOA
XaxOOAOOA
)cos(')cos('''
sin'sin'sin''
cos'cos'cos''
OOOAAO
ybYOOOAAO
xaXOOOAAO
ROTAZIONE DI DI OA
dopoposizioneAOOAYOA
FIGinizialeposizioneOAXOA
''sin
1.cos
OAOA
OAOAAO
XsenYy
YsenXx
senOAysenAO
OAxAO
cos
sin)sin(cos)cos(''
cos
cos
)(''
)cos(cos''
OAOA
OAOAAO
xyY
yxX
OAOAY
AOAX
OAYAO
OAXAO
cos
sin)sin(cos)cos(''
sincos
sincos
sincoscossin
sinsin'coscos
)sin(sin''
)cos(cos''
Matrice di Rivoluzione:
cossin
sincos
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 2
ROTO-TRASLAZIONE
Sia OA’(X,Y) e angolo e O’A’(x,y) angolo e
)',cos'( bsenOOaOO come da figura da cui l' Eq. di Vag:
)1'sin')sin(''
cos'cos')cos(''
bYsenOOOAAO
aXOOOAAO
Sviluppiamo:
)()'()cos()cos'cos'('' sensenOOOAsenOOOAAO
cos'cos''' OOOAAO Infine l’Uguaglianza ]cos'cos''' OOOAAO *) da cui:
yasenbXsenYsenOOsenOAAO
xbsenaYsenXOOOAAO
)cos()cos()(')('sin''
)cos()cos()cos(')cos('cos''
1bis)
Inoltre dalla 1):
ysenaXbYsenOOOAsenOOsenOAAO
xsenbYaXsensenOOOAOOOAAO
)(cos)()cos'cos'(cos)''(sin''
)(cos)()'sin'(cos)cos'cos'(cos''
e le due forme uguali e risolutive:
1*)
yasenbXsenYsenaXbYAO
xbsenaYsenXsenbYaXAO
)cos()cos()(cos)(sin''
)cos()cos()(cos)(cos''
Spostando i termini nella 1):
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 3
2*)
YbybxsenyOOAOOA
XaxaysenxOOAOOA
)cos(sin'sin''sin'
)cos(cos'cos''cos'
2)
da cui l'Uguaglianza:
cos'cos' OOAOOA **)
Se =0 la 1) e la 2) diventano una traslazione.
Se 0' OO la 1) e la 2) diventano una rotazione.
Traslazione e Rotazione nello stesso riferimento indichiamo la
loro generica posizione:
Traslazione: AB=A’B’ ABOBOAABOAOBOAOBAB come
FIG.1 con angoli , e
sinsinsin
coscoscos
OAOBAB
OAOBAB
sinsinsin
coscos
ABOAOB
ABosOAOB
sinsinsin
coscoscos
ABOBOA
ABOBOA
Roto-Traslazione: AB=A’B’ '''''''''''' BAOBOABAOAOBOAOBBA
come FIG.2 con angoli ’,’ e ’=+
'sin''sin''sin''
'cos''cos''cos''
OAOBBA
OAOBBA
'sin'''sin'sin'
'cos'''cos''cos'
BAOAOB
BAOAOB
'sin''''sin'sin
'cos'''cos''cos'
BAOBOA
BAOBOA
Per =0 sarà ’= solo traslazione
Per AA’ sarà ’= solo rotazione
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 4
ROTO-TRASLAZIONE DELLE FIGURE
Proseguendo nel ragionamento precedentemente fatto, possiamo pensare O' come
centro di una qualsivoglia figura, come ad esempio:
rA'O Circonferenza
2222 senmcosqA'O Ellisse con centro O'
sen
p;
cos
pA'O
11
Parabola con Fuoco O'
2
222
cos
senmqA'O Iperbole
Infatti se volessimo scrivere una IPERBOLE
tan'
coscos'
myAsenO
qxAO
Supposto O'(a;b;0) rispetto ad O di YOX; e angoli
=xO’X, =AOX, applicherò la 2*) vista:
b)(senA'OYOAsen
a)cos(A'OXcosOA e l’Eq. di Vag:
bsencos
qcostanmOAsen
asentanmcoscos
qcosOA
da cui l'Uguaglianza:
Se nell'ultima espressione vista consideriamo OO'=0 la roto-traslazione
diventa una semplice rotazione degli assi. Fatto si e' che O' O e O'A OA,
per cui l' ultima espressione diventa l'Eq. di Vag:
O A OAq
m'cos
cos( ) tan sen( )= = - + -
OA OAq
x
OA OA m y
cos cos( )cos
sen sen( ) tan
OAq
m= +cos
cos tan sen
Essendo gli angoli )( ,si avrà:
sen)costanmsencos
q(cos)sentanmcos
cos
q()(sentanm)cos(
cos
qOA
ed infine l’ Eq. di Vag dell'Iperbole vista, ruotata di un angolo :
OAq
m X
OAq
m Y
OA X Y X Y
coscos
cos tan sen
sencos
sen tan cos
cos sen cos( ) sen( )
)cos(')(tan)cos(cos
0
OOsenmq
OA
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 5 Se avessimo voluto scrivere una PARABOLA, in analogia alla Iperbole:
sincos1
pyAsen'O
coscos1
pxcosA'O
Supposto O’=F (a;b;) e V(p/2;0) applicando la 2*)
analogamente all’esempio visto:
b)(senA'OYOAsen
a)cos(A'OXcosOA
bsencoscos1
pcossin
cos1
psinOA
asensincos1
pcoscos
cos1
pcosOA
b)sin(cos1
psinOA
a)cos(cos1
pcosOA
da cui l’uguaglianza:
cos'OOcoscos1
pOA
sin2
pb)180sin(FVsinOF'sinOV
cos2
pa)180cos(FVcosOF'cosOV
)'cos(2
p)'cos(OFOV
Se consideriamo OO'=0 la roto-traslazione diventa una semplice rotazione degli
assi ed avremo che O' O e O'A OA, F=0, =+ e
l'Eq. di Vag:
)sin(OAsinFA
)cos(OAcosFA OAFA
dove ricordiamo essere: )xp()cos1
pOA
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 6
OSSERVAZIONE: negli esempi visti, si tenga presente il variare delle
relative tangenti:
Rotazione:
senq
m)tan(tan Iperbole 1) ;
tantanmq
msentanq
tantanq
m1
tansenq
m
tan
tanq
m)tan(tan Ellisse 2) ;
tantanmq
tanmtanq
tantanq
m1
tantanq
m
tan
Roto-Traslazione:
cosasenmsencosq
cosbqsencosmsentanIperbole)1
)cos1(a)cos(p
)cos1(b)sin(ptanParabola)1
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 7
ROTAZIONE DELLA FIGURA (ELLISSE)
Facciamo l'esempio della sola rotazione di una ellisse; per
definizione di Ellisse:
Eq. di Vag:
msenOAsen
qOA coscos
Ma:
)(
)cos(cos
OAsenOAsen
OAOA
Sviluppiamo:
senqmsenOAsen
senmsenqOA
)cos(cos)(
)(cos)cos(cos
Essendo la precedente espressione una Eq. di Vag si avrà di
conseguenza:
OA q
OA m
cos( ) cos
sen( ) sen
OA q m= - + -cos cos( ) sen sen( )
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 8
ROTAZIONE DI UNA IPERBOLE EQUIL.(ESEMPIO)
Nel riferimento xOy tra le IP.EQ.
vi e' quella avente per asintoti
gli assi:
2axy dove
2');(' aOVaaVeRa
Si consideri una normale IPER.EQ.
m=q (vedi CAP.III LE CURVE Pag.7).
Posto q2=2a2 si avrà
2222 2aqYX
per cui
21cos
2;2 sen
aOAaq
2;cos
2;
cos
2aOVsen
aY
aX
Si consideri una rotazione di 45° del riferimento xOy per cui A
andrà in A’ e OA≡OA’. Calcoliamo il punto A’ rispetto ai due
riferimenti
5,045cos4545ˆ'
ˆˆ
senAOA
xOAXOA
5,0)(4545cos)45('
5,0)(4545cos)45cos('cos
YXXsenYysenOA
YXYsenXxOA
YOAsen
XOA
x X Ya a
y X Ya a
( ) ,cos
( sen ) .cos
( sen )
( ) ,cos
( sen ) .cos
( sen )
0 52
1 05 1
0 52
1 05 1
se facciamo: 22222
2
1)(5,0)( aYXYXxy riotteniamo la equazione di
partenza.
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 9
ROTAZIONE DI UNA IPERBOLE EQUILATERA (continua)
Sia data una Iperb. Eq. del tipo:
2222 aYX
e la sua Eq. di Vag:
sena
Y
aX
cos
2
cos
2
21cos
2sen
aOA
la sua rotazione di 45° e' l'Eq. di Vag vista:
2axy
xa
ya
21
21
cos( sen )
cos( sen )
22
2
222
2
sen1cos
2)sen1(2
cos)sen1()sen1(
cos
2'
aaaOA
Dunque OA e OA' hanno lo stesso valore. Ma non è la stessa cosa se
facessimo:
poichè pur rappresentando la stessa Iperb. Eq. le loro coord. si
presentano diversamente, in quanto riferite a due riferimenti
diversi.
XYa
xya
a 2
12
2
2
2
2 2
cossen ;
cos( sen )
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 10
LA ROTO-TRASLAZIONE DI UNA ROTO-TRASLAZIONE
Analogamente a quanto detto precedentemente, nella roto-traslazione
di una roto-traslazione avremo:
senOOsenOOsenAOYsenOA
OOOOAOXOA
')(''')'(''
cos')cos(''')'cos(''cos
12
12
cioè l'Eq. di Vag:
sensenOOsenOO
AsenO
OOOO
AO
YsenXOA
')('''
)'(''
coscos')cos('''
)'cos(''
cos
1
2
1
2
ma anche l'Uguaglianza:
)cos(')(cos''')'(cos''
1
2
OOOO
AOOA
(uguaglianza che non e' che il Teorema delle Proiezioni.)
Posto )(')'( 12 si potrà scrivere:
)cos(')cos(''')'cos('' OOOOAOOA
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 11
REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA
(somma di due segmenti orientati)
Se nell’ ultima eq. vista poniamo O’O”=zero avremo che O”A diventa
O’A, da cui l’equazione:
)cos(O'O)cos(A'O
sensenO'OsenA'OcoscosO'OcosA'OYsencosXOA
Quest'ultima espressione non e' che la rappresentazione della regola
del parallelogramma dove OA e' dato
Fig.1 Fig.2
dalla somma dei due segmenti OO' e O'A orientati, come in Fig.1.
Se in un riferimento yox (Fig.2) poniamo O'A=OO” con i relativi
angoli visti sopra possiamo ancora scrivere l'Uguaglianza:
)cos('OO)cos(''OOOA
Da cui l'Eq. di Vag:
sensen'OOsen''OOcoscos'OOcos''OOysencosxOA
che ha lo stesso significato di quanto visto sopra ed applicabile ad
un numero qualunque di segmenti orientati.
Importante è che nella somma di due o più segmenti orientati, il
loro risultato è IDENTICO sia che i segmenti siano uno attaccato
all’altro (Fig.1), sia che partano da uno stesso punto (Fig.2).
(Uno o tutti gli angoli ,, possono avere anche verso opposto: ad esempio
l’angolo dà AO, mentre dando allo stesso angolo il valore(180+) avremo OA
.
Se ad esempio ricaviamo da e dobbiamo dargli il giusto valore considerando i
segni del numeratore e denominatore del rapporto X
Ytan
)
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 12
DISTANZA DI DUE PUNTI
(come differenza di due seg. orient.)
Abbiamo visto che applicando la regola del parallelogramma (vedi
figura a lato) risulta l’uguaglianza:
e dalla considerazione che:
);;();;( bbcc yxByxC
c
c
yOC
xOC
sin
cos
b
b
yOB
xOB
sin
cos
abbiamo
cioè una Eq. di Vag quando si prenda
l'angolo BCX=
CBOBOC
OBOC
yxyx bbcc
)cos()cos(
)sensencos(cos)sensencos(cos
sencos)sencos(
In generale:
orient.) seg. due di (distanza
orient.) segmenti due di (somma
)cos(OB)cos(OCCB
)cos(OB)cos(OCOA.Ug
Eq. di Vag
*) (distanza) sen)OBsenOCsen(cos)cosOBcosOC(CB
*) (somma) sen)OBsenOCsen(cos)cosOBcosOC(OA
OBsenOCsenCBsen
cosOBcosOCcosCB
differenza come
distanza *)*;
OBsenOCsenOAsen
cosOBcosOCcosOA somma *)*
Nella distanza come differenza il valore di CB (come modulo) è dato dalla radice
quadrata della somma dei quadrati di **); mentre la differenza dei segmenti
orientati è data da (OC-OB) per BC e (OB-OC) per CB
; ed il valore di si ha
analizzando i segni del numeratore e denominatore del rapporto X
Ytan
:
X
Y
I°Quadrante =;
X
Y
II°Q. vale (180-);
X
Y
III°Q. vale (180+);
X
Y
IV°Q. vale (360-)
OA OC OB cos( ) cos( )
( )cos ( )senx x y y CBc b c b
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 13
cosOBcosOC
sinOBsinOCtan;
cosOBcosOC
sinOBsinOCtan
Quadriamo e sommiamo le **)
***) )cos(2222
OBOCOBOCOA Somma di due segmenti
***) )cos(2222
OBOCOBOCCB distanza di due punti
La seconda espressione non è che il Teorema di Carnot, mentre la
prima è lo stesso teorema con segno cambiato. Posto ( - )= (angolo dei due seg. Orientati) e sviluppate le ***) in forma parametrica
abbiamo:
222 2sinOBOC2cosOBOCOA
222 2sinOBOC2cosOBOCCB (uguale alle ***) ricordando che
2
cos12cos 2
e
2
cos12sin 2
)
Espressioni che ci riportano alle Eq. Parametrica di Vag di due
ellissi con angoli rispettivamente 𝛽𝑒𝑙𝑙𝑖𝑠𝑠𝑒 𝑒 𝛽𝑒𝑙𝑙𝑖𝑠𝑠𝑒′ :
ellisseellisseellisse
ellisse
OBOCOBOCOA
OBOCOA
OBOCOA
sin2sincos2cos
2sinsin
2coscos
'' sin2sincos2cos2sin'sin
2cos'cos
ellisseellisse
ellisse
ellisse
OBOCOBOCCB
OBOCBC
OBOCBC
2tantan OBOC
OBOCellisse
2tantan
' OBOC
OBOCellisse
2
2
'tan
tan
OBOC
OBOC
ellisse
ellisse
2tantantan 2' ellisseellisse
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 14
VALORE DEGLI ANGOLI IN UNA ROTO-TRASLAZIONE
Fig. 1 Fig. 2
Si consideri dunque una roto-traslazione di un sistema XOY in quello
xOy, come in fig.1 dove il punto C ruota secondo una Ellisse; esso
per quanto detto precedentemente nella “Somma di due segmenti
orientati” può essere anche rappresentato da fig.2 ove si ponga
CA=OO' e +=, XOA ˆ2
Si può scrivere per entrambi i casi di fig.1 e fig.2 l’uguaglianza
somma di due segmenti:
Nelle figure abbiamo disegnato il segmento OC come
la distanza di un punto di ellisse cioè
preso in valore assoluto, essendo la distanza di una Eq. di Vag;
mentre CA = OO' = R
OA OC CA OC OO cos( ) cos( ) cos( ) ' cos( )
OC q m cos sen
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 15
L'angolo e' una costante perchè la posizione dell' asse x, pur spostandosi, e' parallela a se stessa. dunque:
)(cos
)cos(coscoscos
1
2222
2
1
2222
2
RsensensenmqYOAsen
RsenmqXOA
Se tra gli angoli 1 e esiste una relazione del
tipo: ecc. oppure 11
1 Doppurec
dove c e D e l'angolo sono
costanti avrò
1
1
1
1
11 )( cuiper ;;;
D
cD
c
e potrò ridurre la mia equazione alla sola o alla sola 1:
2
1
1
1
12
1
1
1
1 coscoscos
sen
D
cRsenOCsen
D
cROCOA
oppure all'eguaglianza:
)(
)(
)(
cos)cos(
1
2
12
12
12
D
cROCOA
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 16
ESEMPIO 1° (come circonferenza traslata)
Fig.1 Fig.2
Le due figure hanno lo stesso significato, scriviamone l'Uguag.
generale sapendo che i rispettivi raggi sono OC=R, CA=r, (OA somma
di segmenti, CO’ distanza di due punti) e angolo AOX= (Fig.2):
rsenRsenOAsen
rROArROA
12
12
212
coscoscos)cos()cos(
se 1
1
360;1
dadato (le fig. si riferiscono a questa
ipotesi)
rsenRsenOAsen
rROA
12
12 coscoscos
12
12
)(
cos)(cos
senrROAsen
rROA
1
22
1
22
1
222
2cos2)(cos)( RrrRsenrRrROA
Poichè R ed r sono costanti poniamo (R+r)=q, (R-r)=m per cui
1
22
1
222
cos senmqOA che rappresenta effettivamente una ellisse
perchè:
1
1
12 tan
cos)(
)(tan
q
m
rR
senrR
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 17
Abbiamo visto come il punto A, dato dai segmenti orientati OC e
CA (oppure OO' e OC) descriva effettivamente una ellisse.
Si osservi che i valori q ed m, diventati gli assi dell'ellisse,
possono sempre essere intesi come somma (q=R+r) e differenza (m=R-r)
di due circonferenze, le quali ovviamente ricaveranno il loro valore
da
rRm
rRq
rmq
Rmq
2
2
Sapendo che la distanza del fuoco dall'origine e':
DdcrRrRrRmqc 22222 4)()(
dove D e d sono i diametri delle circonferenze.
Mentre l'eccentricità: rR
Rr
q
ce
2
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 18
ESEMPIO 2° (Ellisse dei due Moti)
(Distanza degli estremi dei raggi in una Circonferenza Traslata)
Prendendo in cosiderazione anziche' la somma dei due
segmenti orientati, la distanza di tali due segmenti (gli estremi
dei raggi delle due circonferenze) cioe' la distanza CO' (fig. 2
Cap. VI Pag. 16), per quanto detto a Cap. VI Pag. 12 (DISTANZA DI
DUE PUNTI) essa e' data (vedi figura sotto):
avremo posto e )'cos()'cos(' 11 rRCO
1
1
22
1
22
1
22
1
222
1111
1111
tanm
q'tan
senqcosmsen)rR(cos)rR('CO
qsensen)rR(rsenRsen'sen'CO
cosmcos)rR(cosrcosR'cos'CO
dove si vede che la distanza CO' dei due raggi e' la distanza di una
ellisse di centro O' e angolo ’, e
assi )(),( rRmrRq . Pertanto
tutte le distanze: CO'; C'O'';
C''O'''; ecc. date da 1=COX e
=O'OX sono le distanze dei punti di una ELLISSE il cui centro e' di
volta in volta O'; O''; O''';. ed
angoli
'; ''; ''';ecc.
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 19
ESEMPIO 3°(COME CIRCONFER. ROTO-TRASLATA)
Fig. a Fig. b
Il sistema xCy (con raggio r) e' ruotato di un angolo (con verso
antiorario), i raggi sono R ed r,con (Fig.a) =-1, AOX=2; e con
(Fig.b) OO'=CA=r, OC=R.
L'Uguaglianza, in generale, che lega i segmenti orientati è:
)(cosr)cos(ROA*] 2121
)(rsenRsenOAsen
)cos(rcosRcosOA
12
12
)cos(rRrR)(cosrRrROA 122
1
222
222
)(cosrRrR)cos(rRrROA2
2222 122
1
222
dove sviluppando il coseno e moltiplicando R ed r per
)(sen)(cos
221
2
1
2 si avrà:
)(rsenR)(senr)(senR
)(cosrR)(cosr)(cosR
)(rsenR)(cosrRrROA
22
22
22
22
22
22
1
2
1
22
1
22
1
2
1
22
1
22
1
2
1
2222
)(sen)rR()(cos)rR(OA22
1
22
1
222
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 20
ESEMPIO 3° (CONTINUA)
Essendo l'ultima espressione vista il quadrato di uno spazio del
tipo
OA2 = x2 + y2 potremo prendere un opportuno angolo x tale che
xx sensenrRrROA
)
2()(cos)
2cos()(*]2 11
e facendo (R+r) = q, (R-r) = m, e posto )(2
1
=:
tan)2
tan(tan
)2
()(
cos)2
cos()(
1
1
1
11
11
q
m
X
Y
senmsenrRY
qrRX
x
OA viene a rappresentare la distanza di un punto di Ellisse dal suo
centro, al variare di 1 da 0 1 360. Ciò implica che il campo di
variabilità di )(2
1
(per costante) sia egualmente 0 )(
21
360.
Se in un sistema X1OY1 (fig. a lato)
applichiamo la 2*] abbiamo una ellisse
e se poniamo il valore di 2
2
x il
variare di 1 nell'Eq. di partenza in
2*]farà variare x e quindi 2 dando
tutti i punti )Y,X( 11 della ellisse con
Eq. di Vag che nel sistema XOY della pagina precedente 1*], abbiamo visto
essere:
)(cosr)cos(ROA 212 dove 2 è proprio l’angolo (Fig.a) di OA rispetto all’asse X.
Nel sistema 11OYX possiamo scrivere
l’equazione di una Ellissi con l'Eq. di Vag:
Questa ellisse, rispetto agli assi coord.X,Y e' ruotata di 2
, mentre
la rotazione da cui eravamo partiti era di ,per la sola circonferenza di raggio r, come se, essendo due le circonferenze,
ciascuna fosse stata ruotata di
22, e tutto il sistema fosse
ruotato di 2
.
OA X Y X Yx x
cos sen cos( ) sen( )
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 21
ESEMPIO 4°
(Distanza degli estremi dei raggi in una circonferenza roto-
traslata)
In questo caso l' eq. rappresentativa e' la stessa di quella
dell'ESEMPIO 3° (Cap. VI Pag. 19) cambiata di segno e dalla Fig.a e
Fig.b dell’esempio stesso si ha:
)(cosr)cos(R'CO 2122
Facendo gli stessi passaggi dell'ESEMPIO 3° si ha:
)(sen)rR()(cos)rR('CO22
1
22
1
222
che e' un quadrato del tipo 2
1
2
1
2
' YXCO per cui stabilito un angolo
2
x si ha, in analogia a quanto visto:
tanm
qtan
qsenY)(sen)rR(sen'CO
cosmX)cos()rR(cos'CO
x
x
x
11
11
2
2 3*]
Come vediamo dall’equazione sopra
risultano scambiati soltanto la
posizione degli assi q ed m.
Tenendo presente come visto al Cap.
VI Pag. 18 che al variare di in
3*] CO',C'O'',C''O''', ecc. sono le
distanze di una Ellisse dal proprio
centro e che fatto OO'O''O''' ecc. avro' una Ellisse proprio come
da fig. a lato.
Anche qui come nell'ESEMPIO 3°
avendo ruotato il riferimento XOY
di , risulta invece come se la
rotazione fosse solo di /2 e riguardasse tutto il sistema nel suo insieme.
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 22
ESEMPIO 5°(ROTAZIONE DI UN SISTEMA TRASLATO)
Nell'Esempio 2° di Cap. VI Pag.18
abbiamo considerato la distanza degli
estremi dei raggi in una
circonferenza traslata dove O'C e' la
distanza di un punto di Ellisse dal
suo centro, come nella fig. 1 con
=-1.
Come fatto nell’ESEMPIO 3°(Fig.a)
ruotando un sistema di (ma questa
volta in senso orario)l'intero
sistema ruota di /2. Nel sistema
11OYX come da fig. 2, O'C e' sempre
la distanza di un punto di Ellisse
dal suo centro, ed è dato come distanza dei due segmenti orientati
R e r (DISTANZA DI DUE PUNTI Cap.VI Pag.12). La sua Eq.di Vag ,con
2
(perché è in senso orario), è:
)2
(rsen)2
(Rsen)2
(senC'O
)2
cos(r)2
cos(R)2
cos(C'O
1
1
Se a questo punto supponiamo che 2
anzichè fisso sia variabile e che
vari in valore come
12
l'equazione diventerà:
rcosR
Rsen)tan(
Rsen)(rsenRsen)(senC'O
rcosR)cos(rcosR)cos(C'O
1
1
1
111
111
2
2
22
22
*)
Fig.2
Fig.1
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 23
e si presenterà come in Fig.3 ponendo: 101x 2;
cioè l'equazione *) della pagina precedente diventa:
0
0
sin'
coscos'
RsenCO
rRCO
x
x
0
222
0
2
0
2
00
cos2)sin()cos('
.sin)(cos)cos('
RrrRRrRCO
VagdiEqRsenrRCO xx
Dalla Fig.3 si deduce:
;rcosR
Rsen
cos
sentan
0
0
x
xx
che risolta e sviluppata, darà: xx sen
R
rsen )( 0
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 24
TEOREMA DEI PIANETI
Da ciò che abbiamo visto in Fig.3 data una circonferenza di raggio
R, stabilita una distanza OO'=r, minore di R, ogni distanza O'C,
può svilupparsi:
2)(
2cos)(
)22
(cos2)22
(cos)22
(cos
)22
(cos22
2cos2'
022022
02020202202022
0202220222
senrRrR
senrRrsenrsenR
senrRrrRrRrRCO
**)
Essendo quest' ultima espressione un quadrato del tipo 22
2
' yxCO
potrò avere un angolo E tale che:
b)
22)('
2cos
2cos)(cos'
00
00
senqsenrRsenCO
mrRCO
E
E
2tan
m
q
2tan
rR
rRtan 00E
Abbiamo che b) è l’Eq. di Vag di una ELLISSE di angolo E e semi-
assi q>m, contata da m.
Se prendiamo il punto O’ (come da Fig.4) avremo i valori
dell’ellisse: )22
(cos22
2cos2' 0202220222
senrRrrRrRrRCO
che sviluppata come abbiamo visto darà:
2)(
2cos)(' 022022
2 senrRrRCO e quindi
22)('
2cos
2cos)(cos'
00
00
senmsenrRsenCO
qrRCO
E
E
2
tan2
tantan 00
q
m
rR
rRE
di semi-assi q>m, contata da q.
Ponendo
2
0 si avrà la stessa equazione dell’ Ellisse illustrata
nel Cap. III° (Le Curve “ELLISSE”).
I valori che abbiamo determinato per la distanza O'C non formano una
Ellisse intera, bensì meta' Ellisse, per il fatto che
2
0 cioè
che, per un valore di 0 compreso tra 0 0 180 sarà 0 90 e quindi darà per il valore di una semi circonferenza il valore di un
settore di ellisse come possiamo vedere in Fig.5, nella quale e'
mostrato (a computer) che per tutte le distanze OC dei punti della
circonferenza si hanno le distanze O’C’ dei punti della semi-
ellisse.
In figura si vede anche che il
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 25
punto P percorre l’arco PA della
semi-circonferenza e l’arco PA’ del
settore dell’ Ellisse nello stesso
tempo;come dire che il semiperimetro
della Ellisse è percorso nello
stesso tempo in cui è percorso
l’intero perimetro della
Circonferenza; ed inoltre nel
Cap.VII vedremo che la velocità di
percorrenza dell’area della
circonferenza è doppia della
velocità di percorrenza dell’ area
dell’ellisse.
Nella Fig.5 data una circonferenza
come nella Fig.3, fatti:
mrR;qrR;r'OO;ROC
avremo: rcosR
sinRtan
0
0x
e 0
222 cosRr2rRC'O [1]
sviluppata secondo **): 2
sin)rR(2
cos)rR(C'O 0220222
e per quanto visto in b) della pagina precedente, abbiamo
O'C=vettore di Ellisse, di angolo E e centro in O'. Abbiamo cosi stabilito una corrispondenza biunivoca tra
circonferenza ed ellisse legati dalle formule
2
2
rRr
mqR
rRm
rRq
dove i valori dei semi-assi q>m della ellisse vengono ad essere
q=O'A e m=O'P, pari alla distanza massima e minima di un punto della
circonferenza dal proprio centro.
Tale corrispondenza ci permette di dare la:
DEFINIZIONE del"Teorema dei Pianeti": data una circonferenza, ed un qualunque punto-fisso nello spazio,
che non appartenga alla perpendicolare al centro di tale
circonferenza, la sua distanza dai punti della circonferenza sono
vettori di ellisse, la traiettoria un Ellisse e il punto-fisso il
suo centro. (Vedere anche la dimostrazione del Teorema con l’Eq. di Vag nello Spazio al
Cap.III Pag.14)
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 26
ESEMPIO 6° TEOREMA DEI PIANETI
La Fig.6 è la stessa di Fig.5 con gli stessi valori
mrR;qrR;r'OO;ROC , ma con O’ centro dell’ ellisse
spostato. Possiamo quindi scrivere
0
22
0
222
cosRr2rR)180cos(Rr2rRC'O
che sviluppata come al solito
2sinm
2cosq
2sin)rR(
2cos)rR(C'O 022022022022
2
che diventa Eq. Di Vag di una ellisse, ma questa volta con
l’equazione della ellisse scritta nel modo usuale che conosciamo.
Pertanto con le solite relazioni:
2
2
rRr
mqR
rRm
rRq
2msen
2sin)rR(sinC'O
2cosq
2cos)rR(cosC'O
00
E
00
E
E0
E
0 sin)2
sinm(cos)2
cosq(C'O
2
tanq
m
2tan
rR
rRtan 00E
Possiamo concludere, tenendo presente la Fig.6:
a)data una circonferenza di raggio 2
mqR
e un punto O’ distante
2
mqr
dal suo centro, la distanza di ogni punto della
circonferenza dal punto O’ è la distanza di un corrispondente punto
dell’ ellisse dal suo centro, con angolo E dato da 0/2 angolo della circonferenza.
b) e che il raggio vettore R spazza l’area della circonferenza nello
stesso tempo in cui il raggio vettore dell’Ellisse spazza metà della
propria area.
La Fig.6 è tracciata con valori di R=10, r=8.
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 27
ESEMPIO 7° TEOREMA DEI PIANETI
Abbiamo anche che, data una circonferenza e un punto fuori di essa
O, come in Fig.31, la distanza di tale punto da tutti i punti A
della circonferenza e' la distanza di un Punto di Ellisse dal
proprio centro. Posto CA=R’:
2sen)'ROC(
2cos)'ROC()
2sen
2(cos'ROC2'ROCcos'ROC2'ROCOA 02202202022
2
0222
Esisterà un x per cui:
2sen)'ROC(senOA
2cos)'ROC(cosOA
0x
0x
)2
)'(cos2
cos)'( 00 xx sensenROCROCOA
Questa ultima espressione e' una Eq. di Vag che rappresenta una
Ellisse con angolo al centro x e assi )'( ROCq e )'( ROCm con la
relazione:
2tan
2tan
'
'tan 00
q
m
ROC
ROCx
Nella Fig.31 segnata con A’ ricavata al computer con le
caratteristiche della ellisse di centro in O, sono le stesse di
quelle viste, quando tale punto era interno alla circonferenza.
Invertendo q con m abbiamo la figura segnata con A” accanto che è la
stessa di quella di sopra ma con la ellisse ruotata di 90°.