Tratamiento Digital de Señales - Proakis

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Esta cuarta edicin expone los fundamentos de las seales y sistemas discretos en el tiempo, y del procesamiento digital de seales. Este texto es adecuado para estudiantes de Inge-niera Elctrica, Ingeniera Informtica y Ciencias de la Com-putacin. El libro es apropiado para cursos preuniversitarios y universitarios y proporciona informacin tanto terica como aplicaciones prcticas. Los primeros diez captulos se ocupan de los temas bsicos sobre el procesamiento digital de seales y son adecuados para cursos preuniversitarios. Los cuatro ltimos captulos tratan temas ms avanzados sobre el procesamiento digital de sea-les, la prediccin lineal y los filtros lineales ptimos, los fil-tros adaptativos y la estimacin del espectro de potencia. Este material es apropiado para cursos de nivel universitario sobre procesamiento digital de seales.

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Otro libro de intersEmilio Soria; Gustavo Camps Valls;Marcelino Martnez; Jos Vicente Francsl Tratamiento digital de seales Problemas y ejercicios resueltos PEArSoN PrENTICE HALLISBN 84-205-3559-1

4 ed.

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Proakis Manolakis

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John G. Proakis Dimitris G. Manolakis

Tratamiento digital de seales

4 edicin

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TRATAMIENTO DIGITALDE SEALES

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TRATAMIENTO DIGITAL DE SEALES

Cuarta Edicin

JOHN G. PROAKISDepartment of Electrical and Computer Engineering

Northeastern UniversityBoston, Massachusetts

DIMITRIS G. MANOLAKISMIT Lincoln LaboratoryLexington, Massachusetts

Traduccin Vuelapluma

Madrid Q Mxico Q Santa Fe de Bogot Q Buenos Aires Q Caracas Q LimaMontevideo Q San Juan Q San Jos Q Santiago Q So Paulo Q White Plains Q

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DERECHOS RESERVADOS 2007 por PEARSON EDUCACIN S.A.Ribera del Loira, 2828042 Madrid

TRATAMIENTO DIGITAL DE SEALESJohn G. Proakis y Dimitris G. Manolakis

ISBN: 978-84-8322-347-5

Deposito Legal: PRENTICE HALL es un sello editorial autorizado de PEARSON EDUCACIN S.A.

Authorized translation from the English language edition, entitled DIGITAL SIGNAL PROCES-SING, 4TH Edition by PROAKIS, JOHN G.; MANOLAKIS, DIMITRIS G., published by PearsonEducation, Inc, publishing as Prentice Hall, Copyright 2007

EQUIPO EDITORIALEditor: Miguel Martn-RomoTcnico editorial: Marta Caicoya

EQUIPO DE PRODUCCIN:Director: Jos A. ClaresTcnico: Diego Marn

Diseo de Cubierta: Equipo de diseo de Pearson Educacin S.A.

Impreso por:

IMPRESO EN ESPAA - PRINTED IN SPAINEste libro ha sido impreso con papel y tintas ecolgicos

TRATAMIENTO DIGITAL DE SEALES

John G. Proakis y Dimitris G. ManolakisPEARSON EDUCACIN S.A., Madrid, 2007

ISBN: 978-84-8322-347-5

Materia: Informtica, 0004.4

Formato: 195 x 250 mm. Pginas: 996

Datos de catalogacin bibliogrfica

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A Felia, George y ElenaJohn G. Proakis

A AnnaDimitris Manolakis

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Contenido

11 IInnttrroodduucccciinn .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..11

1.1 Seales, sistemas y tratamiento de seales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1.1.1 Elementos bsicos de un sistema de tratamiento digital de seales . . . . . . . . . . . . . .4 1.1.2 Ventajas del tratamiento digital de seales sobre el analgico . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.2 Clasificacin de las seales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.2.1 Seales multicanal y multidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.2.2 Seales continuas y discretas en el dominio del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.2.3 Seales continuas y seales discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.2.4 Seales deterministas y seales aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.3 Concepto de frecuencia en seales continuas \hfill y discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . .10 1.3.1 Seales sinusoidales continuas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101.3.2 Seales sinusoidales discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 1.3.3 Exponenciales complejas armnicamente relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

1.4 Conversiones analgica-digital y digital-analgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 1.4.1 Muestreo de seales analgicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 1.4.2 Teorema de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 1.4.3 Cuantificacin de seales continuas en amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 1.4.4 Cuantificacin de seales sinusoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 1.4.5 Codificacin de muestras cuantificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 1.4.6 Conversin digital-analgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 1.4.7 Anlisis de seales y sistemas digitales frente a seales y sistemas

discretos en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 1.5 Resumen y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

22 SSeeaalleess yy ssiisstteemmaass ddiissccrreettooss eenn eell ttiieemmppoo .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..3377

2.1 Seales discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 2.1.1 Algunas seales discretas en el tiempo elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 2.1.2 Clasificacin de las seales discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 2.1.3 Manipulaciones simples de las seales discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . .44

2.2 Sistemas discretos en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 2.2.1 Descripcin de entrada-salida de los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 2.2.2 Diagrama de bloques de los sistemas discretos en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 2.2.3 Clasificacin de los sistemas discretos en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 2.2.4 Interconexin de sistemas discretos en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

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VIII Contenido

2.3 Anlisis de sistemas lineales discretos e invariantes en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 2.3.1 Tcnicas para el anlisis de los sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 2.3.2 Descomposicin en impulsos de una seal discreta en el tiempo . . . . . . . . . . . . . .64 2.3.3 Respuesta de los sistemas LTI a entradas arbitrarias: la convolucin . . . . . . . . . . .65 2.3.4 Propiedades de la convolucin y la interconexin de sistemas LTI . . . . . . . . . . . . .71 2.3.5 Sistemas lineales invariantes en el tiempo causales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 2.3.6 Estabilidad de los sistemas lineales invariantes en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . .76 2.3.7 Sistemas con respuestas al impulso de duracin finita e infinita . . . . . . . . . . . . . . .79

2.4 Sistemas discretos en el tiempo descritos mediante ecuaciones en diferencias . . . . . . . . . . .79 2.4.1 Sistemas discretos en el tiempo recursivos y no recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 2.4.2 Sistemas lineales invariantes en el tiempo caracterizados por ecuaciones

en diferencias de coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83 2.4.3 Solucin de las ecuaciones en diferencias lineales de coeficientes constantes . . . .87 2.4.4 Respuesta al impulso de un sistema recursivo, lineal e invariante en el tiempo . . .94

2.5 Implementacin de sistemas discretos en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96 2.5.1 Estructuras para la realizacin de sistemas lineales invariantes en el tiempo . . . . .97 2.5.2 Realizacin de sistemas FIR recursivos y no recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

2.6 Correlacin de seales discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103 2.6.1 Secuencias de correlacin cruzada y autocorrelacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104 2.6.2 Propiedades de la autocorrelacin y de la correlacin cruzada . . . . . . . . . . . . . . .106 2.6.3 Correlacin de secuencias peridicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109 2.6.4 Secuencias de correlacin de entrada-salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

2.7 Resumen y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

33 LLaa ttrraannssffoorrmmaaddaa zz yy ssuuss aapplliiccaacciioonneess aall aannlliissiiss ddee llooss ssiisstteemmaass LLTTII .. .. .. .. .. .. .. ..113311

3.1 La transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131 3.1.1 La transformada z directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132 3.1.2 La transformada z inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138

3.2 Propiedades de la transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140

3.3 Transformadas z racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152 3.3.1 Polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152 3.3.2 Posicin de los polos y comportamiento en el dominio

del tiempo de seales causales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155 3.3.3 Funcin de transferencia de un sistema lineal invariante en el tiempo . . . . . . . . .158

3.4 Inversin de la transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161 3.4.1 Transformada z inversa por integracin de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1613.4.2 Transformada z inversa mediante expansin en serie de potencias . . . . . . . . . . . .163 3.4.3 Transformada z inversa mediante expansin en fracciones parciales . . . . . . . . . .165 3.4.4 Descomposicin de las transformadas z racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172

3.5 Anlisis en el dominio z de sistemas LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173 3.5.1 Respuesta de sistemas con funciones de transferencia racionales . . . . . . . . . . . . .173 3.5.2 Respuestas transitoria y en rgimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174 3.5.3 Causalidad y estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176

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Contenido IX

3.5.4 Cancelaciones polo-cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177 3.5.5 Polos de orden mltiple y estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179 3.5.6 Estabilidad de los sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180

3.6 Transformada z unilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183 3.6.1 Definicin y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184 3.6.2 Solucin de las ecuaciones en diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188 3.6.3 Respuesta de los sistemas de polos y ceros con condiciones

iniciales distintas de cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189 3.7 Resumen y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192

44 AAnnlliissiiss eenn ffrreeccuueenncciiaa ddee sseeaalleess .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..220033

4.1 Anlisis en frecuencia de las seales continuas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203 4.1.1 Series de Fourier para seales peridicas continuas en el tiempo . . . . . . . . . . . . .205 4.1.2 Espectro de densidad de potencia de seales peridicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208 4.1.3 Transformada de Fourier de seales aperidicas continuas en el tiempo . . . . . . .211 4.1.4 Espectro de densidad de energa de seales aperidicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215

4.2 Anlisis en frecuencia de seales discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218 4.2.1 Serie de Fourier para seales peridicas discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . .218 4.2.2 Espectro de densidad de potencia de seales peridicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221 4.2.3 Transformada de Fourier de seales aperidicas discretas en el tiempo . . . . . . . .224 4.2.4 Convergencia de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226 4.2.5 Espectro de densidad de energa de seales aperidicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229 4.2.6 Relaciones entre la transformada de Fourier y la transformada z . . . . . . . . . . . . .233 4.2.7 El Cepstro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235 4.2.8 Transformada de Fourier de seales con polos en la circunferencia unidad . . . . .236 4.2.9 Clasificacin de las seales en el dominio de la frecuencia:

concepto de ancho de banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238 4.2.10 Rangos de frecuencia de algunas seales naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240

4.3 Propiedades de la seal en los dominios de la frecuencia y del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . .241

4.4 Propiedades de la transformada de Fourier para seales discretas en el tiempo . . . . . . .244 4.4.1 Propiedades de simetra de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245 4.4.2 Propiedades y teoremas de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252


Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261

55 AAnnlliissiiss eenn eell ddoommiinniioo ddee llaa ffrreeccuueenncciiaa ddee ssiisstteemmaass LLTTII .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..226699

5.1 Caractersticas en el dominio de la frecuencia de los sistemas LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .269 5.1.1 Respuesta a seales sinusoidales y exponenciales complejas:

funcin de respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .270 5.1.2 Respuestas en rgimen permanente y transitoria a seales de entrada

sinusoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .277 5.1.3 Respuesta en rgimen permanente a seales de entrada peridicas . . . . . . . . . . . .278 5.1.4 Respuesta a seales de entrada aperidicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .279

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5.2 Respuesta en frecuencia de los sistemas LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .281 5.2.1 Respuesta en frecuencia de un sistema definido mediante una funcin racional .281 5.2.2 Clculo de la respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284

5.3 Espectros y funciones de correlacin en la salida de los sistemas LTI . . . . . . . . . . . . . . . .288 5.3.1 Espectros y funciones de correlacin de entrada-salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .288 5.3.2 Funciones de correlacin y espectros de potencia de seales de entrada

aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .289 5.4 Sistemas LTI como filtros selectivos de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291

5.4.1 Caractersticas del filtro ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .292 5.4.2 Filtros paso bajo, paso alto y paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294 5.4.3 Resonadores digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299 5.4.4 Filtros de hendidura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .302 5.4.5 Filtros peine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304 5.4.6 Filtros paso todo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .308 5.4.7 Osciladores sinusoidales digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .310

5.5 Sistemas inversos y deconvolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .312 5.5.1 Invertibilidad de los sistemas LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313 5.5.2 Sistemas de fase mnima, fase mxima y fase mixta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .316 5.5.3 Identificacin del sistema y deconvolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .320 5.5.4 Deconvolucin homomrfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322


Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324

66 MMuueessttrreeoo yy rreeccoonnssttrruucccciinn ddee sseeaalleess .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..334444

6.1 Muestreo y reconstruccin ideales de seales continuas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . .344

6.2 Tratamiento discreto en el tiempo de seales continuas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . .353

6.3 Convertidores analgico-digital y digital-analgico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .359 6.3.1 Convertidores analgico-digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .360 6.3.2 Cuantificacin y codificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .361 6.3.3 Anlisis de los errores de cuantificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .364 6.3.4 Convertidores digitales-analgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .366

6.4 Muestreo y reconstruccin de seales paso banda continuas en el tiempo . . . . . . . . . . . . .368 6.4.1 Muestreo uniforme o de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .368 6.4.2 Muestreo intercalado o no uniforme de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .374 6.4.3 Representaciones de seales paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .379 6.4.4 Muestreo empleando las representaciones de la seal paso banda . . . . . . . . . . . .381

6.5 Muestreo de seales discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .382 6.5.1 Muestreo e interpolacin de seales discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . .383 6.5.2 Representacin y muestreo de seales paso banda discretas en el tiempo . . . . . .387

6.6 Convertidores A/D y D/A con sobremuestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .388 6.6.1 Convertidores A/D con sobremuestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .388 6.6.2 Convertidores D/A con sobremuestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .393


Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .395

X Contenido

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77 TTrraannssffoorrmmaaddaa ddiissccrreettaa ddee FFoouurriieerr:: pprrooppiieeddaaddeess yy aapplliiccaacciioonneess .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..440033

7.1 Muestreo en el dominio de la frecuencia: la transformada discreta de Fourier . . . . . . . .403 7.1.1 Muestreo en el dominio de la frecuencia y reconstruccin de seales

discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .403 7.1.2 Transformada discreta de Fourier (DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .409 7.1.3 La DFT como una transformacin lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .411 7.1.4 Relacin de la DFT con otras transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .414

7.2 Propiedades de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .416 7.2.1 Propiedades de periodicidad, linealidad y simetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .416 7.2.2 Multiplicacin de dos DFT y convolucin circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .421 7.2.3 Propiedades adicionales de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .426

7.3 Mtodos de filtrado lineal basados en la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .430 7.3.1 Uso de la DFT en el filtrado lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .430 7.3.2 Filtrado de secuencias de datos largas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .434

7.4 Anlisis en frecuencia de seales utilizando la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .436

7.5 Transformada discreta del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .443 7.5.1 DCT directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .443 7.5.2 DCT inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444 7.5.3 La DCT como transformada ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .445


Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .449

88 CCllccuulloo eeffiicciieennttee ddee llaa DDFFTT:: aallggoorriittmmooss ddee llaa ttrraannssffoorrmmaaddaa rrppiiddaa ddee FFoouurriieerr .. ..445588

8.1 Clculo eficiente de la DFT: algoritmos FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .458 8.1.1 Clculo directo de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4598.1.2 Mtodo divide y vencers para calcular la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .460 8.1.3 Algoritmos FFT base 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .465 8.1.4 Algoritmos FFT base 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .472 8.1.5 Algoritmos FFT de base dividida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .477 8.1.6 Implementacin de los algoritmos FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .480

8.2 Aplicaciones de los algoritmos FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .481 8.2.1 Clculo eficiente de la DFT de dos secuencias reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .481 8.2.2 Clculo eficiente de la DFT de una secuencia real de 2 N puntos . . . . . . . . . . . . .482 8.2.3 Uso de los algoritmos FFT en el filtrado lineal y la correlacin . . . . . . . . . . . . . .483

8.3 Mtodo de filtrado lineal para calcular la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .485 8.3.1 Algoritmo de Goertzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .485 8.3.2 Algoritmo de la transformada z chirp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .487

8.4 Efectos de cuantificacin en el clculo de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .491 8.4.1 Efectos de cuantificacin en el clculo directo de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . .491 8.4.2 Errores de cuantificacin en los algoritmos FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .493


Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .497

Contenido XI

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99 IImmpplleemmeennttaacciinn ddee ssiisstteemmaass ddiissccrreettooss eenn eell ttiieemmppoo .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..550033

9.1 Estructuras para la realizacin de sistemas discretos del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .503

9.2 Estructuras para sistemas FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .505 9.2.1 Estructura de la forma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .506 9.2.2 Estructuras en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .506 9.2.3 Estructuras basadas en el muestreo en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .508 9.2.4 Estructura en celosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .513

9.3 Estructuras para sistemas IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .520 9.3.1 Estructuras en forma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .520 9.3.2 Diagramas de flujo de seales y estructuras transpuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .522 9.3.3 Estructuras en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .527 9.3.4 Estructuras en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .528 9.3.5 Estructuras en celosa y en celosa-escalera para sistemas IIR . . . . . . . . . . . . . . .531

9.4 Representacin de nmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .537 9.4.1 Representacin de nmeros en punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .537 9.4.2 Representacin de nmeros en punto flotante binario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .540 9.4.3 Errores debidos al redondeo y el truncamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .543

9.5 Cuantificacin de los coeficientes del filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .546 9.5.1 Anlisis de la sensibilidad en la cuantificacin de los coeficientes del filtro . . . .547 9.5.2 Cuantificacin de los filtros FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .554

9.6 Efectos del redondeo en los filtros digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .557 9.6.1 Oscilaciones de ciclo lmite en sistemas recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .558 9.6.2 Cambio de escala para impedir el desbordamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .562 9.6.3 Caracterizacin estadstica de los efectos de cuantificacin

en las realizaciones de punto fijo de filtros digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .564 9.7 Resumen y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .571

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .572

1100 DDiisseeoo ddee ffiillttrrooss ddiiggiittaalleess .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..558844

10.1 Consideraciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .584 10.1.1 La causalidad y sus implicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .585 10.1.2 Caractersticas de los filtros prcticos selectivos en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . .588

10.2 Diseo de filtros FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .589 10.2.1 Filtros FIR simtricos y antisimtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .589 10.2.2 Diseo de filtros FIR de fase lineal utilizando ventanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .592 10.2.3 Diseo de filtros FIR de fase lineal mediante el mtodo basado

en el muestreo en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .598 10.2.4 Diseo de filtros FIR de fase lineal con rizado constante ptimo . . . . . . . . . . . . .605 10.2.5 Diseo de diferenciadores FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .616 10.2.6 Diseo de transformadores de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .619 10.2.7 Comparacin de los mtodos de diseo de los filtros FIR de fase lineal . . . . . . .623

10.3 Diseo de filtros IIR a partir de filtros analgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .625 10.3.1 Diseo de filtros IIR mediante aproximacin de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . .626

XII Contenido

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10.3.2 Diseo de filtros IIR basado en la invarianza del impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . .630 10.3.3 Diseo de filtros IIR mediante la transformacin bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .635 10.3.4 Caractersticas de los filtros analgicos ms comnmente utilizados . . . . . . . . . .638 10.3.5 Algunos ejemplos de diseos de filtros digitales basados

en la transformacin bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .647 10.4 Transformaciones en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .648

10.4.1 Transformaciones de frecuencia en el dominio analgico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .649 10.4.2 Transformaciones de frecuencia en el dominio digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .652


Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .655

1111 TTrraattaammiieennttoo ddiiggiittaall ddee sseeaalleess ddee ttaassaa mmllttiippllee .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..666699

11.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .670

11.2 Diezmado por un factor D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .673

11.3 Interpolacin por un factor I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .677

11.4 Conversin de la frecuencia de muestreo por un factor racional I/D . . . . . . . . . . . . . . . . .680

11.5 Implementacin de la conversin de la frecuencia de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .683 11.5.1 Estructuras de los filtros polifsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .684 11.5.2 Intercambio de filtros y submuestreadores/sobremuestreadores . . . . . . . . . . . . . .685 11.5.3 Conversin de la frecuencia de muestreo mediante filtros peine

con integrador conectado en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .686 11.5.4 Estructuras polifsicas para filtros de diezmado e interpolacin . . . . . . . . . . . . . .688 11.5.5 Estructuras para la conversin de la frecuencia de muestreo racional . . . . . . . . . .690

11.6 Implementacin multietapa de la conversin de la frecuencia de muestreo . . . . . . . . . . . .692

11.7 Conversin de la frecuencia de muestreo de seales paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .696

11.8 Conversin de la frecuencia de muestreo por un factor arbitrario . . . . . . . . . . . . . . . . . . .696 11.8.1 Remuestreo arbitrario con interpoladores polifsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .698 11.8.2 Remuestreo arbitrario con estructuras de filtros Farrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .698

11.9 Aplicaciones del tratamiento multitasa de seales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .700 11.9.1 Diseo de desplazadores de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .700 11.9.2 Interfaz de sistemas digitales con diferentes frecuencias de muestreo . . . . . . . . .701 11.9.3 Implementacin de filtros paso bajo de banda estrecha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .702 11.9.4 Codificacin subbanda de seales de voz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .703

11.10 Bancos de filtros digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .705 11.10.1 Estructuras polifsicas de bancos de filtros uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .709 11.10.2 Transmultiplexores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .711

11.11 Banco de filtros espejo en cuadratura de dos canales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .711 11.11.1 Eliminacin del aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .713 11.11.2 Condicin para una reconstruccin perfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .715 11.11.3 Forma polifsica del banco de filtros QMF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .715 11.11.4 Banco de filtros FIR QMF de fase lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .715 11.11.5 Banco de filtros IIR QMF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .717

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11.11.6 Reconstruccin perfecta de bancos de filtros FIR QMF de dos canales . . . . . . . .717 11.11.7 Bancos de filtros QMF de dos canales con codificacin subbanda . . . . . . . . . . . .718

11.12 Banco de filtros QMF de M canales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .719 11.12.1 Condiciones para reconstruccin perfecta y eliminacin del aliasing . . . . . . . . . .721 11.12.2 Forma polifsica del banco de filtros QMF de M canales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .721


Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .726

1122 PPrreeddiicccciinn lliinneeaall yy ffiillttrrooss lliinneeaalleess ppttiimmooss .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..773355

12.1 Seales aleatorias, funciones de correlacin y espectros de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . .735 12.1.1 Procesos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .736 12.1.2 Procesos aleatorios estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .737 12.1.3 Promedios estadsticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .737 12.1.4 Promedios estadsticos para procesos aleatorios conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . .738 12.1.5 Espectro de densidad de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .739 12.1.6 Seales aleatorias discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .740 12.1.7 Promedios temporales para un proceso aleatorio discreto en el tiempo . . . . . . . .741 12.1.8 Procesos ergdicos respecto de la media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .742 12.1.9 Procesos ergdicos respecto de la correlacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .743

12.2 Representacin de innovaciones de un proceso aleatorio estacionario . . . . . . . . . . . . . . . .744 12.2.1 Espectros de potencia racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .746 12.2.2 Relaciones entre los parmetros del filtro y la autocorrelacin . . . . . . . . . . . . . . .747

12.3 Prediccin lineal directa e inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .748 12.3.1 Prediccin lineal directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .748 12.3.2 Prediccin lineal inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .751 12.3.3 Coeficientes de reflexin ptimos para los predictores

en celosa directo e inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .753 12.3.4 Relacin entre un proceso auto-regresivo y la prediccin lineal . . . . . . . . . . . . . .754

12.4 Solucin de las ecuaciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .754 12.4.1 Algoritmo de Levinson-Durbin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .755 12.4.2 El algoritmo de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .758

12.5 Propiedades de los filtros lineales de error de prediccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .762

12.6 Filtros auto-regresivos en celosa y auto-regresivos de media mvil en celosa-escalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .765

12.6.1 Estructura auto-regresiva en celosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .766 12.6.2 Procesos auto-regresivos de media mvil y filtros en celosa-escalera . . . . . . . . .767

12.7 Filtros de Wiener para filtrado y prediccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .769 12.7.1 Filtro FIR de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .770 12.7.2 Principio de ortogonalidad en la estimacin lineal por mnimos cuadrados . . . . .772 12.7.3 Filtro IIR de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .773 12.7.4 Filtro de Wiener no causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .777


Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .779

XIV Contenido

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1133 FFiillttrrooss aaddaappttaattiivvooss .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..778855

13.1 Aplicaciones de los filtros adaptativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .785 13.1.1 Identificacin del sistema o modelado del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .787 13.1.2 Ecualizacin de canal adaptativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .787 13.1.3 Cancelacin de eco en la transmisin de datos a travs de canales telefnicos . .791 13.1.4 Supresin de interferencias de banda estrecha en una seal de banda ancha . . . .794 13.1.5 Mejorador de lnea adaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .798 13.1.6 Cancelacin de ruido adaptativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .799 13.1.7 Codificacin lineal predictiva de seales de voz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .799 13.1.8 Matrices adaptativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .802

13.2 Filtros FIR adaptativos en forma directa: el algoritmo LMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .804 13.2.1 Criterio del error cuadrtico medio mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .805 13.2.2 El algoritmo LMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .807 13.2.3 Algoritmos estocsticos de gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .808 13.2.4 Propiedades del algoritmo LMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .810

13.3 Filtros adaptativos en la forma directa: algoritmos RLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .816 13.3.1 Algoritmo RLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .816 13.3.2 Algoritmos de factorizacin LDU y de raz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .820 13.3.3 Algoritmos RLS rpidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .821 13.3.4 Propiedades de los algoritmos RLS para la forma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .823

13.4 Filtros adaptativos en celosa-escalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .825 13.4.1 Algoritmos recursivos de mnimos cuadrados en celosa-escalera . . . . . . . . . . . .825 13.4.2 Otros algoritmos en celosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .843 13.4.3 Propiedades de los algoritmos en celosa-escalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .846


Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .850

1144 EEssttiimmaacciinn ddeell eessppeeccttrroo ddee ppootteenncciiaa .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..885555

14.1 Estimacin de los espectros procedentes de observaciones de duracin finita de seales .855 14.1.1 Clculo del espectro de densidad de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .856 14.1.2 Estimacin de la autocorrelacin y del espectro de potencia

de seales aleatorias: el periodograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86014.1.3 Uso de la DFT en la estimacin del espectro de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .864

14.2 Mtodos no paramtricos para la estimacin del espectro de potencia . . . . . . . . . . . . . . .866 14.2.1 El mtodo de Bartlett: promediado de periodogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .867 14.2.2 Mtodo de Welch: promediado de periodogramas modificados . . . . . . . . . . . . . .868 14.2.3 Mtodo de Blackman y Tukey: suavizado del periodograma . . . . . . . . . . . . . . . .870 14.2.4 Prestaciones de los estimadores no paramtricos del espectro de potencia . . . . . .872 14.2.5 Requisitos de clculo de los estimados no paramtricos del

espectro de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .875 14.3 Mtodos paramtricos para la estimacin del espectro de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . .876

14.3.1 Relaciones entre la autocorrelacin y los parmetros del modelo . . . . . . . . . . . . .878 14.3.2 Mtodo de Yule-Walker para los parmetros del modelo AR . . . . . . . . . . . . . . . .880 14.3.3 Mtodo de Burg para los parmetros del modelo AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .880

Contenido XV

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14.3.4 Mtodo de mnimos cuadrados no restringido para los parmetros del modelo AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .883

14.3.5 Mtodos de estimacin secuenciales para los parmetros del modelo AR . . . . . .884 14.3.6 Seleccin del orden del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .885 14.3.7 Modelo MA para la estimacin del espectro de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .886 14.3.8 Modelo ARMA para la estimacin del espectro de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .888 14.3.9 Resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .889

14.4 Mtodos basados en bancos de filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .895 14.4.1 Realizacin mediante banco de filtros del periodograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . .896 14.4.2 Estimados espectrales de varianza mnima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .899

14.5 Algoritmos de autoanlisis para la estimacin del espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .902 14.5.1 Mtodo de descomposicin armnica de Pisarenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .903 14.5.2 Autodescomposicin de la matriz de autocorrelacin para sinusoides

en ruido blanco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .905 14.5.3 Algoritmo MUSIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .907 14.5.4 Algoritmo ESPRIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .908 14.5.5 Criterios de seleccin del orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .911 14.5.6 Resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .911


Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .915

AA GGeenneerraaddoorreess ddee nnmmeerrooss aalleeaattoorriiooss .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..992255

BB TTaabbllaass ddee llooss ccooeeffiicciieenntteess ddee ttrraannssiicciinn ppaarraa eell ddiisseeoo ddee ffiillttrrooss FFIIRR ddee ffaassee lliinneeaall .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..993311

RReeffeerreenncciiaass yy bbiibblliiooggrraaffaa .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..993377

RReessppuueessttaass aa llooss pprroobblleemmaass sseelleecccciioonnaaddooss .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..995566

nnddiiccee .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..996677

XVI Contenido

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Prefacio

El desarrollo de este libro est basado en nuestra experiencia en la imparticin de cursos a estudiantes pre-universitarios y universitarios sobre el tratamiento digital de la seal a lo largo de los ltimos aos. En el librose presentan los fundamentos de los sistemas y seales discretas en el tiempo y el procesamiento digital, ascomo aplicaciones para los estudiantes de Ingeniera elctrica, Ingeniera Informtica y Ciencias de laComputacin. El libro es adecuado para cursos de uno o dos semestres de duracin sobre sistemas discretosy tratamiento digital de seales. Tambin es adecuado para un curso sobre tratamiento digital de seales de unsemestre destinado a estudiantes universitarios de primer ao.Se supone que el estudiante ha seguido cursos sobre Clculo avanzado (incluyendo ecuaciones diferencialesnormales) y Sistemas lineales para seales continuas en el tiempo, incluyendo una introduccin a la transfor-mada de Laplace. Aunque en el Captulo 4 se describen las series de Fourier y las transformadas de Fourierde seales peridicas y aperidicas, lo mejor es que los estudiantes hayan adquirido estos conocimientos enun curso anterior. El libro incluye informacin terica, as como aplicaciones prcticas. Se proporcionan numerosos problemasbien diseados, con el fin de ayudar al estudiante a dominar los temas. Hay disponible un manual de solucio-nes que slo los profesores pueden descargar. Tambin en el sitio web del editor hay disponibles (en ingls)una serie de presentaciones en Microsoft PowerPoint para los profesores. En la cuarta edicin del libro, hemos aadido un nuevo captulo sobre filtros adaptativos. Los captulos dedi-cados al tratamiento de seales multitasa y al muestro y reconstruccin de seales se han modificado y actua-lizado sustancialmente. Tambin hemos aadido material sobre la transformada discreta del coseno.En el Captulo 1 se describen las operaciones implicadas en la conversin analgico-digital de seales anal-gicas. El proceso de muestreo de una sinusoide se ha descrito en detalle, asimismo, se explica el problema delaliasing. La cuantificacin de seales y la conversin digital-analgica tambin se explican en trminos gene-rales, aunque el anlisis se aborda en captulos posteriores.El Captulo 2 est dedicado por completo a la caracterizacin y el anlisis en el dominio del tiempo de los sis-temas lineales discretos en el tiempo e invariantes en el tiempo (e invariantes en el desplazamiento) y de lasseales discretas en el tiempo. Se deduce la operacin de convolucin y los sistemas se clasifican de acuerdocon la duracin de su respuesta al impulso como FIR (finite-duration impulse response, respuesta al impulsode duracin finita) y como IIR (infinite-duration impulse response, respuesta al impulso de duracin infinita).Se presentan los sistemas invariantes en el tiempo caracterizados por ecuaciones en diferencias y se obtienela solucin de las ecuaciones en diferencias con condiciones iniciales. El captulo concluye con un tratamien-to de la correlacin discreta en el tiempo.La transformada z se introduce en el Captulo 3. Se presentan las transformadas z unilateral y bilateral, y losmtodos para determinar la transformada z inversa. Se ilustra el uso de la transformada z en el anlisis de los sistemas lineales invariantes en el tiempo e importantes propiedades de sistemas, tales como la causalidady la estabilidad se relacionan con las caractersticas en el dominio z.El Captulo 4 se ocupa del anlisis de las seales en el dominio de la frecuencia. Se presentan la serie deFourier y la transformada de Fourier tanto para seales continuas en el tiempo como discretas en el tiempo. En el Captulo 5, se caracterizan los sistemas discretos LTI (linear time-invariant, lineal invariante en el tiem-po) en el dominio de la frecuencia mediante su respuesta en frecuencia y se determina su respuesta a sealesperidicas y aperidicas. Se describen una serie de sistemas discretos en el tiempo, entre los que se incluyenresonadores, filtros de hendidura, filtros paso todo y osciladores. Tambin se considera el diseo de una seriede filtros FIR e IIR simples. Adems, se hace una introduccin a los conceptos de sistemas de fase mnima,fase mixta y fase mxima, y al problema de la deconvolucin.

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En el Captulo 6 se hace un estudio del muestreo de seales continuas en el tiempo y la reconstruccin deseales a partir de sus muestras. Se cubre el muestreo y reconstruccin de seales paso banda, el muestreo de seales discretas en el tiempo y la conversin A/D y D/A. El captulo concluye con los convertidores A/Dy D/A con sobremuestreo. La DFT, sus propiedades y aplicaciones, son los temas que se tratan en el Captulo 7. Se describen dos mto-dos para utilizar la DFT en los procesos de filtrado lineal. Tambin se describe el uso de la DFT para llevar acabo el anlisis en frecuencia. El ltimo tema que se aborda en este captulo es la transformada discreta delcoseno. El Captulo 8 trata el clculo efectivo de la DFT. En este captulo se incluyen descripciones de los algoritmosFFT (fast Fourier transform, transformada rpida de Fourier) en base 2, base 4 y de base dividida, y las apli-caciones de los algoritmos FFT al clculo de la convolucin y la correlacin. Se presentan el algoritmo deGoertzel y la transformada chirp-z como dos mtodos de clculo de la DFT utilizando filtrado lineal. El Captulo 9 se ocupa de la realizacin de los sistemas IIR yFIR. Se abordan las realizaciones en la formadirecta, en cascada, paralelo, en celosa y en celosa-escalera. El captulo tambin examina los efectos decuantificacin sobre una implementacin digital de sistemas FIR e IIR.En el Captulo 10 se presentan tcnicas para el diseo de filtros digitales FIR e IIR. Las tcnicas de diseoincluyen tanto mtodos directos en tiempo discreto como mtodos que implican la conversin de filtros ana-lgicos en filtros digitales mediante varias transformaciones.El Captulo 11 se ocupa de la conversin de la frecuencia de muestreo y sus aplicaciones al tratamiento multitasa digital de seales. Adems de describir el diezmado y la interpolacin por un entero y por factoresracionales, se presentan mtodos para la conversin de la frecuencia de muestreo por un factor arbitrario eimplementaciones mediante estructuras de filtros polifsicos. Este captulo tambin se ocupa de los bancos defiltros digitales, los filtros QMF (quadrature mirror filters, filtros espejo en cuadratura) de dos canales y losbancos QMF de M canales. Los filtros de prediccin lineal y de Wiener se tratan en el Captulo 12. En este mismo captulo tambin seincluyen descripciones del algoritmo de Levinson-Durbin y del algoritmo de Schur para resolver ecuacionesnormales, as como los filtros AR en celosa y ARMA en celosa-escalera.El Captulo 13 se ocupa de los filtros adaptativos de un nico canal basados en el algoritmo LMS y en losalgoritmos recursivos de mnimos cuadrados RLS (recursive least squares). Se describen los algoritmos FIRen la forma directa y RLS en celosa para las estructuras de los filtros. El tema principal del Captulo 14 es la estimacin del espectro de potencia. La exposicin cubre una descrip-cin de los mtodos no paramtricos y basados en modelos (paramtricos). Tambin se describen los mto-dos basados en la auto-descomposicin, incluyendo MUSIC y ESPRIT.En un curso avanzado de un semestre para estudiantes con conocimientos previos sobre sistemas discretospueden utilizarse los Captulos 1 hasta 5 para realizar un rpido repaso y luego continuar con los Captulos 6hasta 10.En un primer curso universitario sobre tratamiento digital de la seal, los primeros seis captulos proporcio-narn al estudiante un buen repaso sobre los sistemas discretos. El profesor puede ver rpidamente estos temasy luego ver en detalle los Captulos 7 hasta 11, para seguir con temas seleccionados de los Captulos 12 hasta 14. Se incluyen muchos ejemplos a lo largo del libro y aproximadamente 500 problemas que el estudiante puederealizar en casa. Al final del libro se incluyen las respuestas a problemas seleccionados. Muchos de los pro-blemas pueden resolverse numricamente utilizando una computadora, con un paquete software como porejemplo MATLAB. Hay disponible tambin (en ingls) un manual del estudiante: Student Manual for DigitalSignal Processing with MATLAB.MATLAB se incluye como herramienta software bsica para este manual. El profesor puede considerar tambin utilizar otros libros complementarios que contengan ejercicios basados en computadora, como porejemplo, Computer-Based Exercises for Signal Processing Using MATLAB (Prentice Hall, 1994) de C. S.Burrus et al.

XVIII Prefacio

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Los autores estn en deuda con los colegas que les han proporcionado valiosas sugerencias despus de haberrevisado las ediciones anteriores de este libro. Entre ellos queremos mencionar a W. E. Alexander, G. Arslan,Y. Bresler, J. Deller, F. DePiero, V. Ingle, J.S. Kang, C. Keller, H. Lev-Ari, L. Merakos, W. Mikhael, P. Monticciolo, C. Nikias, M. Schetzen, E. Serpedin, T. M. Sullivan, H. Trussell, S. Wilson y M. Zoltowski.Tambin quieren expresar su agradecimiento a R. Price por su recomendacin de incluir los algoritmos FFTde base dividida y otras sugerencias relacionadas. Por ltimo, deseamos expresar nuestro reconocimiento amuchos estudiantes licenciados por sus sugerencias y comentarios, en especial a A. L. Kok, J. Lin, E. Sozery S. Srinidhi, que ayudaron en la preparacin de diversas ilustraciones y del manual de soluciones.

John G. ProakisDimitris G. Manolakis

Prefacio XIX

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1Introduccin

El tratamiento digital de seales es un rea de la ciencia y la ingeniera que se ha desarrollado muy rpidamentea lo largo de los ltimos cuarenta aos. Este rpido desarrollo es el resultado de los importantes avances tantoen la tecnologa digital en el campo de la informtica como en la fabricacin de los circuitos integrados. Lascomputadoras digitales y el hardware digital asociado de hace cuatro dcadas eran de tamao relativamentegrande, adems de muy caros y, en consecuencia, su uso estaba limitado a las aplicaciones de propsito generalen tiempo no real (fuera de lnea) cientficos y comerciales. El rpido desarrollo de la tecnologa de circuitosintegrados, empezando con la integracin a media escala (MSI, medium-scale integration), continuando conla integracin a gran escala (LSI, large-scale integration), y actualmente con la integracin a muy gran escala(VLSI, very-large-scale integration) de los circuitos electrnicos ha estimulado el desarrollo de computadorasdigitales y hardware digital de propsito especial ms potente, de menor tamao, ms rpido y menos costoso.Estos circuitos digitales baratos y relativamente rpidos han hecho posible la construccin de sistemas digita-les altamente sofisticados capaces de llevar a cabo tareas y funciones de tratamiento de seales digitales, quenormalmente son bastante complejas y/o caras de implementar mediante circuitera analgica o sistemas detratamiento de seales analgicas. En consecuencia, muchas de las tareas de tratamiento de seales que con-vencionalmente se realizaban por medios analgicos, actualmente se llevan a cabo empleando hardware digitalque es ms barato y a menudo ms fiable.

No queremos dar a entender que el tratamiento digital de seales es la solucin adecuada para todos losproblemas de tratamiento de seales. As, en el caso de muchas seales con anchos de banda muy grandes, eltratamiento en tiempo real es un requisito. Para dichas seales, el procesamiento analgico, o quiz ptimo seala nica solucin posible. Sin embargo, siempre que se disponga de circuitos digitales y se tenga la velocidadsuficiente como para utilizar el tratamiento digital, ser preferible emplear dichos circuitos.

Los sistemas digitales no slo proporcionan sistemas de tratamiento de seales ms baratos y fiables,sino que presentan tambin otras ventajas. En particular, el hardware de procesamiento digital permite realizaroperaciones programables. Mediante software, es ms fcil modificar las funciones de procesamiento de sealesque mediante hardware. Por tanto, el hardware digital y el software asociado proporcionan un mayor grado deflexibilidad al diseo del sistema. Adems, generalmente, se consigue un mayor grado de precisin con elhardware y el software digital que con los circuitos y sistemas de procesamiento de seales analgicos. Portodas estas razones, en las tres ltimas dcadas se ha producido un crecimiento explosivo en la teora deltratamiento digital de seales y sus aplicaciones.

El objetivo de este libro es presentar una introduccin a las tcnicas y herramientas de anlisis bsicas parael tratamiento digital de seales. Comenzaremos presentando la terminologa que es imprescindible conocery describiendo las operaciones asociadas con el proceso de convertir una seal analgica a un formato digital

2 Tratamiento digital de seales

adecuado para su procesamiento. Tambin veremos que el procesamiento digital de seales analgicas tienesus inconvenientes. El primero y ms importante es que la conversin de una seal analgica a formato digitalimplica muestrear la seal y cuantificar las muestras, lo que produce una distorsin que nos impide reconstruir laseal analgica original a partir de las muestras cuantificadas. Esta distorsin puede controlarse seleccionandola adecuada tasa de muestreo y la precisin del proceso de cuantificacin. En segundo lugar, hay que tener encuenta los efectos debidos a la precisin finita en el procesamiento digital de las muestras cuantificadas. Aunqueestas importantes cuestiones se abordan con cierto detalle en el libro, el nfasis se ha puesto en el anlisis y eldiseo de los sistemas de tratamiento de seales y en las tcnicas de clculo.

1.1 Seales, sistemas y tratamiento de sealesUna seal se define como cualquier magnitud fsica que vara con el tiempo, el espacio o cualquier otra variableo variables independientes. Matemticamente, describimos una seal como una funcin de una o ms variablesindependientes. Por ejemplo, las funciones

s1(t) = 5t

s2(t) = 20t2(1.1.1)

describen dos seales, una que vara linealmente con la variable independiente t (tiempo) y una segunda quevara cuadrticamente con t. Veamos otro ejemplo, considere la funcin

s(x,y) = 3x+2xy+10y2 (1.1.2)Esta funcin describe una seal de dos variables independientes x e y que podran representar las dos

coordenadas espaciales de un plano.Las seales descritas por las Ecuaciones (1.1.1) y (1.1.2) pertenecen a una clase de seales que se definen de

forma precisa especificando la dependencia funcional de la variable independiente. Sin embargo, existen casosen los que tal relacin funcional es desconocida o extremadamente compleja como para tener ninguna utilidadprctica.

Por ejemplo, una seal de voz (vase la Figura 1.1.1) no se puede describir funcionalmente medianteexpresiones como la Ecuacin (1.1.1). En general, un segmento de voz se puede representar con un alto gradode precisin como la suma de varias seales sinusoidales de diferentes amplitudes y frecuencias, es decir, como

Ni=1

Ai(t)sen[2Fi(t)t +i(t)] (1.1.3)

Figura 1.1.1. Ejemplo de una seal de voz.

Captulo 1 Introduccin 3

donde {Ai(t)}, {Fi(t)} y {i(t)} son los conjuntos de amplitudes, frecuencias y fases (posiblemente variablescon el tiempo), respectivamente, de las seales sinusoidales. De hecho, una forma de interpretar la informacino el mensaje enviado en un corto segmento de tiempo de la seal de voz consiste en medir las amplitudes,frecuencias y fases contenidas en dicho segmento de la seal.

Otro ejemplo de seal natural es la de un electrocardiograma (ECG). Una seal de este tipo proporcionaa un mdico informacin sobre el estado del corazn de un paciente. De la misma manera, la seal de unelectroencefalograma (EEG) proporciona informacin sobre la actividad del cerebro.

Las seales de voz, de un electrocardiograma y de un electroencefalograma son ejemplos de seales quecontienen informacin y que varan como funciones de una sola variable independiente que, normalmente, es eltiempo. Un ejemplo de una seal que es una funcin de dos variables independientes es una seal de imagen. Lasvariables independientes en este caso son las coordenadas espaciales. Se trata tan slo de unos pocos ejemplosde las innumerables seales naturales que pueden encontrarse en el mundo real.

Asociados a las seales naturales se encuentran los medios con los que se generan. Por ejemplo, las seales devoz se generan al pasar el aire a travs de las cuerdas vocales. Las imgenes se obtienen mediante la exposicinde una pelcula fotogrfica ante una escena u objeto. Por tanto, normalmente la generacin de seales estasociada con un sistema que responde a un estmulo o fuerza. En una seal de voz, el sistema est formado porlas cuerdas vocales y el tracto bucal, tambin conocido como cavidad bucal. El estmulo en combinacin con elsistema es lo que se denomina fuente de seal. Por tanto, existen fuentes de voz, fuentes de imgenes y muchosotros tipos de fuentes de seal.

Un sistema tambin se puede definir como un dispositivo fsico que realiza una operacin sobre una seal.Por ejemplo, un filtro utilizado para reducir el ruido y las interferencias que distorsionan una seal deseada quetransporta informacin es un sistema. En este caso, el filtro realiza ciertas operaciones sobre la seal, que tienenel efecto de reducir (filtrar) el ruido y las interferencias de la seal de informacin deseada.

Cuando pasamos una seal a travs de un sistema, como en el caso del filtro, decimos que hemos procesadoo tratado la seal. En este caso, el procesamiento de la seal implica filtrar el ruido y las interferencias de la sealdeseada. En general, el sistema se caracteriza por el tipo de operacin que realiza sobre la seal. Por ejemplo,si la operacin es lineal, el sistema es lineal. Si la operacin que se realiza sobre la seal no es lineal, se diceque el sistema es no lineal, etc. Tales operaciones suelen referirse como tratamiento de la seal.

Para nuestros propsitos, es conveniente ampliar la definicin de sistema para incluir no slo los dispositivosfsicos, sino tambin la implementacin software de operaciones sobre una seal. En el procesamiento digitalde seales de una computadora digital, las operaciones efectuadas sobre una seal consisten en una serie deoperaciones matemticas especificadas por un programa de software. En este caso, el programa representa unaimplementacin del sistema por software. Luego tenemos un sistema que se implementa sobre una computadoradigital por medio de una secuencia de operaciones matemticas; es decir, tenemos un sistema de procesamientodigital de seales implementado por software. Por ejemplo, una computadora digital puede programarse parallevar a cabo un filtrado digital. Alternativamente, el tratamiento digital de seales se puede realizar mediantehardware digital (circuitos lgicos) configurado para realizar las operaciones especificadas. En una implemen-tacin de este tipo, tendremos entonces un dispositivo fsico que realizar las operaciones especificadas. En unsentido amplio, un sistema digital puede implementarse como una combinacin de hardware y software digital,realizando cada uno de ellos su propio conjunto de operaciones especificadas.

Este libro aborda el tratamiento de seales por medios digitales, tanto software como hardware. Dado quemuchas de las seales que se encuentran en el mundo real son analgicas, tambin vamos a considerar el problemade convertir una seal analgica en una seal digital con el fin de poder procesarla. Las operaciones que llevea cabo un sistema as podrn normalmente especificarse en forma matemtica. El mtodo o conjunto de reglaspara implementar el sistema mediante un programa que realice las operaciones matemticas correspondientesse denomina algoritmo. Por lo general, hay disponibles muchas formas o algoritmos mediante los que se puedeimplementar un sistema, bien por software o por hardware, para realizar las operaciones y clculos deseados. Enla prctica, estaremos interesados en aquellos algoritmos que sean eficientes y rpidos en lo que respecta a losclculos, y tambin sean fciles de implementar. Por tanto, un tema importante en el estudio del procesamiento


Sealanalgicade entrada

Sealanalgicade salida

Procesadorde sealesanalgicas

Figura 1.1.2. Tratamiento de una seal analgica.

digital de la seal es el empleo de algoritmos eficientes para realizar operaciones como el filtrado, la correlacino el anlisis de espectros.

1.1.1 Elementos bsicos de un sistema de tratamiento digital de sealesLa mayor parte de las seales con las que se trabaja en los distintos campos de la ciencia y la ingeniera sonanalgicas por naturaleza. Es decir, las seales son funciones de una variable continua, como por ejemplo,el tiempo o el espacio, y normalmente toman valores en un rango continuo. Tales seales pueden procesarsedirectamente mediante sistemas analgicos apropiados (como filtros, analizadores de frecuencias o multiplica-dores de frecuencia), con el fin de cambiar sus caractersticas o de extraer la informacin deseada. En tal caso,podemos decir que la seal se ha procesado de forma directa en su forma analgica, como se ilustra en la Figura1.1.2. Tanto la seal de entrada como la seal de salida son analgicas.

El tratamiento digital de seales proporciona un mtodo alternativo de procesar una seal analgica, comose ilustra en la Figura 1.1.3. Para poder realizar un tratamiento digital, es necesario disponer de una interfazentre la seal analgica y el procesador digital. Esta interfaz se denomina convertidor analgico-digital (A/D).La salida del convertidor A/D es una seal digital que es adecuada como entrada del procesador digital.

El procesador digital de seales puede ser una computadora digital programable grande o un pequeomicroprocesador programado para realizar las operaciones deseadas sobre la seal de entrada. Tambin puedeser un procesador digital cableado configurado para realizar un conjunto de operaciones especificado sobre laseal de entrada. Las mquinas programables proporcionan la flexibilidad de poder cambiar las operaciones deprocesamiento de la seal mediante una modificacin del software, mientras que las mquinas cableadas sondifciles de reconfigurar. En consecuencia, los procesadores de seal programables son de uso muy comn. Porel contrario, cuando las operaciones de tratamiento estn bien definidas, una implementacin cableada de lasoperaciones puede optimizarse, dando lugar a un procesador de seales ms econmico y que normalmentetrabaja ms rpido que su contrapartida programable. En aplicaciones en las que la salida digital del procesadordigital de seal tenga que entregarse al usuario en formato analgico, como por ejemplo en los sistemas decomunicacin por voz, tendremos que proporcionar otra interfaz entre el dominio digital y el analgico. Unainterfaz as es un convertidor digital-analgico (D/A). De este modo, la seal que se proporciona al usuarioest en forma analgica, como ilustra el diagrama de bloques de la Figura 1.1.3. Sin embargo, existen otrasaplicaciones prcticas que implican el anlisis de la seal, en las que la informacin deseada se encuentra enformato digital y, por tanto, no es necesario emplear un convertidor D/A. Por ejemplo, en el procesamientodigital de las seales de radar, la informacin extraida de la seal de radar, como por ejemplo la posicin de un

Sealanalgicade entrada

ConvertidorA/D

ConvertidorD/A

Sealanalgicade salida

Procesador de sealesdigitales

Sealdigital

de entrada

Sealdigital

de salida

Figura 1.1.3. Diagrama de bloques de un sistema de tratamiento digital de seales.


avin y su velocidad, puede simplemente imprimirse en un papel. En este caso, no hay necesidad de utilizar unconvertidor D/A.

1.1.2 Ventajas del tratamiento digital de seales sobre el analgicoComo hemos mencionado anteriormente, existen muchas razones por las que el tratamiento digital de sealesanalgicas es preferible a procesar dichas seales analgicas directamente en el dominio analgico. En primerlugar, un sistema digital programable proporciona la flexibilidad de reconfigurar las operaciones del tratamientodigital de la seal simplemente modificando el programa. Sin embargo, normalmente, la reconfiguracin de unsistema analgico implica un rediseo del hardware seguido de los procesos de realizacin de pruebas y deverificacin que permiten comprobar que todo funciona correctamente.

Tambin, las consideraciones de precisin desempean un papel importante en la determinacin de la formadel procesador de seales. Las tolerancias de los componentes de los circuitos analgicos hacen extremada-mente difcil que el diseador del sistema pueda controlar la precisin de un sistema de tratamiento de sealesanalgicas. Por el contrario, un sistema digital proporciona un control mucho mejor en lo que respecta a losrequisitos de precisin. Tales requisitos, a su vez, exigen especificar los requisitos de precisin del convertidorA/D y del procesador digital de seales, en trminos de longitud de palabra, artimtica en coma flotante o comafija, y factores similares.

La seales digitales se almacenan fcilmente en soportes magnticos (cinta o disco) sin deteriorarse operder fidelidad, aparte de la introducida por la conversin A/D. Como consecuencia, las seales se hacentransportables y pueden procesarse en tiempo no real en un laboratorio remoto. El tratamiento digital de sealestambin permite la implementacin de algoritmos de tratamiento de seales ms sofisticados. Normalmente, esmuy difcil efectuar operaciones matemticas precisas sobre seales analgicas, pero esas mismas operacionespueden implementarse de forma rutinaria en una computadora digital mediante software.

En algunos casos, una implementacin digital del sistema de procesamiento de seales es ms barata quesu contrapartida analgica. Este menor coste puede deberse al hecho de que el hardware digital es ms barato o,quizs, es el resultado de la flexibilidad de poder realizar modificaciones proporcionada por la implementacindigital.

Como consecuencia de estas ventajas, el procesamiento digital de seales se ha aplicado en sistemas prcticoscubriendo un amplio rango de disciplinas. Por ejemplo, podemos citar la aplicacin de tcnicas de tratamientodigital de seales en el procesamiento de voz y la transmisin de seales a travs de canales telefnicos, enel procesamiento y transmisin de imgenes, en los campos de la sismologa y la geofsica, en la prospeccinpetrolfera, en la deteccin de explosiones nucleares, en el tratamiento de seales recibidas del espacio exteriory en muchas otras aplicaciones. Algunas de estas aplicaciones las comentaremos en los captulos siguientes.

Sin embargo, como ya hemos mencionado, la implementacin digital tambin tiene sus limitaciones. Unalimitacin prctica es la velocidad de operacin de los convertidores A/D y de los procesadores digitales deseales. Veremos que las seales que tienen anchos de banda extremadamente grandes requieren convertidoresA/D con una muy alta velocidad de muestreo y procesadores digitales de seales rpidos. As, existen sealesanalgicas con anchos de banda grandes para las que la solucin que proporciona el tratamiento digital seencuentra ms all del estado del arte del hardware digital.

1.2 Clasificacin de las sealesLos mtodos que utilicemos para procesar una seal o para analizar la respuesta de un sistema dependernenormemente de los atributos caratersticos de la seal especificada. Existen tcnicas que slo se aplican afamilias especficas de seales. En consecuencia, cualquier investigacin que hagamos sobre el procesamientode seales deber comenzar por la clasificacin de las seales implicadas en la aplicacin concreta.


1.2.1 Seales multicanal y multidimensionalesComo se ha explicado en la Seccin 1.1, una seal se describe mediante una funcin de una o ms variablesindependientes. El valor de la funcin (es decir, de la variable dependiente) puede ser una magnitud escalar real,una magnitud compleja o incluso un vector. Por ejemplo, la seal

s1(t) = Asen3tes una seal real. Sin embargo, la seal

s2(t) = Ae j3t = Acos3t + jAsen3tes compleja.

En algunas aplicaciones, mltiples fuentes o mltiples sensores generan las seales. Dichas seales puedenrepresentarse en forma vectorial. La Figura 1.2.1 muestra las tres componentes de una seal vectorial querepresenta la aceleracin en la superficie terrestre debida a un terremoto. Esta aceleracin es el resultado de tres

Ondas S Ondas de superficie

Tiempo (segundos)

Ace

lera

cin

en

g/10

Ondas P

Sur

Este

Sur

Vertical

Vertical

Este

Figura 1.2.1. Tres componentes de la aceleracin en tierra medida a pocos kilmetros del epicentro de unterremoto. (De Earthquakes, por B. A. Bold, 1988 de W. H. Freeman and Company. Reproducido con permisodel editor.)


I(x1, y1)

x10x

y1

y

Figura 1.2.2. Ejemplo de una seal bidimensional.

tipos bsicos de ondas elsticas. Las ondas primarias (P) y las ondas secundarias (S) se propagan dentro delcuerpo de la roca y son longitudinales y transversales, respectivamente. El tercer tipo de onda elstica recibe elnombre de onda superficial, porque se propaga cerca de la superficie de la Tierra. Si sk(t), k = 1, 2, 3, denotala seal elctrica procedente del sensor k como una funcin del tiempo, el conjunto de p = 3 seales se puederepresentar mediante un vector S3(t), donde

S3(t) =

s1(t)s2(t)

s3(t)

Decimos que un vector de seales as es una seal multicanal. Por ejemplo, en electrocardiografa, se utilizanelectrocardiogramas (ECG) de 3 tomas y de 12 tomas, que generan seales de 3 y 12 canales.

Fijmonos ahora en las variables independientes. Si la seal es una funcin de una sola variable indepen-diente, se dice que la seal es unidimensional. Por otro lado, se dice que una seal es M-dimensional si su valores una funcin de M variables independientes.

La imagen de la Figura 1.2.2 es un ejemplo de una seal bidimensional, dado que la intensidad o brillo I(x,y)en cada punto es una funcin de dos variables independientes. Por otra parte, una imagen de televisin en blancoy negro puede representarse como I(x,y,t), puesto que el brillo es una funcin del tiempo. Por tanto, la imagende TV puede tratarse como una seal tridimensional. En cambio, una imagen de TV en color puede escribirsemediante tres funciones de intensidad de la forma Ir(x,y,t), Ig(x,y,t) e Ib(x,y,t), las cuales se corresponden conel brillo de los tres colores principales (rojo, verde, azul) como funciones del tiempo. Por tanto, una imagen deTV en color es una seal tridimensional de tres canales, que puede representarse mediante el vector:

I(x,y,t) =

Ir(x,y,t)Ig(x,y,t)

Ib(x,y,t)

En este libro vamos a tratar fundamentalmente con seales unidimensionales de un solo canal, reales ocomplejas, y vamos a referirnos a ellas simplemente como seales. En trminos matemticos, estas seales se


describen mediante una funcin de un sola variable independiente. Aunque la variable independiente no tienepor qu ser necesariamente el tiempo, es costumbre emplear t como la variable independiente. En muchoscasos, las operaciones y algoritmos para el procesamiento de seales desarrollados en el texto para sealesunidimensionales de un slo canal pueden extenderse a seales multidimensionales y multicanal.

1.2.2 Seales continuas y discretas en el dominio del tiempoLas seales se pueden clasificar en cuatro categoras diferentes dependiendo de las caractersticas de la variableindependiente tiempo y de los valores que stas tomen. Las seales continuas en el tiempo o seales analgicasestn definidas para cada instante de tiempo y toman sus valores en el intervalo continuo (a,b), donde a puedeser y b puede ser . Matemticamente, estas seales pueden describirse mediante funciones de una variablecontinua. La onda de voz mostrada en la Figura 1.1.1 y las seales x1(t) = cost, x2(t) = e|t|, < t < son ejemplos de seales analgicas. Las seales discretas en el tiempo slo estn definidas en determinadosinstantes especficos de tiempo. Dichos instantes de tiempo no tienen que ser equidistantes, aunque, en la prctica,normalmente estn igualmente espaciados para facilitar los clculos. La seal x(tn) = e|tn|, n = 0, 1, 2, . . .es un ejemplo de una seal discreta en el tiempo. Si utilizamos el ndice n para los instantes de tiempo discretoscomo la variable independiente, el valor de la seal ser una funcin de una variable entera (es decir, seruna secuencia de nmeros). Por tanto, una seal discreta en el tiempo se puede representar matemticamentemediante una secuencia de nmeros reales o complejos. Con el fin de resaltar la naturaleza discreta de unaseal, denotaremos dicha seal como x(n) en lugar de como x(t). Si los instantes de tiempo tn estn igualmenteespaciados (es decir, tn = nT ), tambin se utiliza la notacin x(nT ). Por ejemplo, la secuencia

x(n) ={

0.8n, si n 00, en otro caso (1.2.1)

es una seal discreta en el tiempo, que se ha representado grficamente en la Figura 1.2.3.En la prctica, las seales discretas en el tiempo pueden originarse de dos formas:

1. Seleccionando valores de una seal analgica en instantes discretos de tiempo. Este proceso se denominamuestreo y se estudia ms en detalle en la Seccin 1.4. Todos los instrumentos de medida que realizanmedidas a intervalos de tiempo regulares proporcionan seales discretas en el tiempo. Por ejemplo, laseal x(n) de la Figura 1.2.3 puede obtenerse muestreando la seal analgica x(t) = 0.8t , t 0 y x(t) = 0,t < 0 una vez por segundo.

2. Acumulando una variable en un perodo de tiempo. Por ejemplo, el nmero de coches que pasan por unacalle determinada en una hora o el valor del oro diario, dan lugar a seales discretas en el tiempo. LaFigura 1.2.4 muestra una grfica del nmero de manchas solares de Wlfer. Cada muestra de la sealdiscreta en el tiempo proporciona el nmero de manchas observadas durante un intervalo de 1 ao.

01

1

x(n)

1 2 3 4 5 6 7 n

Figura 1.2.3. Representacin grfica de la seal discreta en el tiempo x(n) = 0.8n para n > 0 y x(n) = 0 paran < 0.


17700

100

200

1790 1810 1830 1850 1870

Nm

ero

de m

anch

as so

lare

s

Ao

Figura 1.2.4. Nmero de manchas solares de Wlfer (17701869).

1.2.3 Seales continuas y seales discretasLos valores de una seal continua o discreta en el dominio del tiempo pueden ser continuos o discretos. Siuna seal toma todos los valores posibles en un rango finito o infinito, se dice que es una seal continua.Alternativamente, si la seal toma valores dentro un conjunto finito de posibles valores, se dice que la seal esdiscreta. Normalmente, estos valores son equidistantes y, por tanto, pueden expresarse como un mltiplo enterode la distancia entre dos valores sucesivos. Una seal discreta en el tiempo que tiene un conjunto de valoresdiscretos es una seal digital. La Figura 1.2.5 muestra una seal digital que toma uno de cuatro valores posibles.

Para que una seal pueda ser procesada digitalmente, debe ser discreta en el tiempo y sus valores tienen queser discretos (es decir, tiene que ser una seal digital). Si la seal que se va a procesar es una seal analgica,se convierte en una seal digital muestrendola en instantes discretos de tiempo, obtenindose as una sealdiscreta en el tiempo, y cuantificando a continuacin sus valores en un conjunto de valores discretos, comose describe ms adelante en el captulo. El proceso de conversin de una seal continua en una seal discretase denomina cuantificacin, y es bsicamente un proceso de aproxi

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