Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige

8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige

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Rsistance des matriaux Sommaire.

Travaux di r igs de rsistance des matriaux 1

Sommair e :

TD1 : Torseur de cohsion 2TD2 : Traction compression. 6TD3 : Cisail lement. 9TD4 : Torsion. 12TD5 : F lexion 18TD6 : Pri ncipe de superposit ion.

22TD7 : Soll icitat ions composes. 25TD8 :F lambement.des poutr es compr imes. 31Elments de cor rection : 35

Cor rigTD 1. 36Cor rigTD 2. 40Cor rigTD 3. 43Cor rigTD 4. 45Cor rigTD 5. 49

Cor rigTD 6. 51Cor rigTD 7. 57Cor rigTD 8. 62

Annexe. 64


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Rsistance des matriaux TD1 : Torseur de Cohsion


TD 1 : Torseurs de Cohsion


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EXERCICE 1.

Soit la poutre encastre en A et supportant un effort inclin F

.

1.Calculer la raction de lencastrement A ( )MetRAA

2.Dterminer le torseur des efforts cohsion.

3.Tracer les diagrammes des efforts de cohsion.

4.A quelle sollicitation est soumise la poutre.

EXERCICE 2.

Pour chacun des exemples suivants, on demande de :

dterminer les actions de liaisons

calculer le torseur de cohsion

tracer les diagrammes des composantes non nulles du torseur de cohsion.


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EXERCICE 3 .

Un arbre de machine 1 est modlis la figure 1 par sa ligne moyenne AB.

1 est guid en rotation par deux roulements que lon peut modliser en A et B par deux

liaisons :

En A : liaison 2-1, sphrique de centre A

En B : liaison 3-1, linaire annulaire daxe (B, x

) ;

En C : larbre supporte une action mcanique extrieure modlisable par un torseur

)14(T tel que :{ }0

)14(C=)14(T

C

avec z50-y600+x-100=)14(C

(Units : newtons et mtres)

1. Calculer dans R= (A, x

, y

, z

) les composantes des torseurs daction mcanique

associs aux liaisons 2-1et 3-1.

2. Pour une section droite repre par son centre de surface G tel que : x5.1=AG

,

exprimer dans R=(G, x

, y

, z

) les composantes du torseur de cohsion.


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EXERCICE 4 .

La poutre est considre en quilibre sur deux appuis linaires en A et C ; elle est change

dans son plan de symtrie par une charge concentre et une change concentre et une charge

rpartie sur BC.

1. Dterminer les reactions aux A et C

2. Donner lexpression des lments de rductions du torseur des actions internes (N, T, Mfz,

Mt, Mfy)

3. Reprsenter graphiquement les variations des composantes algbriques (N(x), T(x), Mfz(x),

Mt(x), Mfy(x)).

Exercice 5.

Un arbre de transmission peut tre modlis comme dans la figure suivante :En A et B, le guidage est ralis par deux roulements billes contact radiaux.

1- Dterminer les actions mcaniques en ces points.

2- Larbre ABCD est assimil une poutre droite. Dterminer les lments du torseur de

cohsion entre A et B.

AB = a = 100 mm

BC = CD = b = 200mm

FD =-100 N

q = 350N/m


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Rsistance des matriaux TD2: Traction - compression

Travaux dir igs de rsistance des matriaux 6

TD 2 : Traction compression.


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EXERCICE 1 .

Soit la vis ci-dessous de longueur 150 mm et de diamtre 16mm, en quilibre sous laction

des deux forces F1 et F2 dintensit chacune 1000daN. La vis est en acier et son module

dlasticit longitudinal est de 200GPa.

1- A quel type de contrainte est soumise la vis ?2- Calculer la valeur de la contrainte.3- Si on adopte un coefficient de scurit de 4, calculer la rsistance lastique de lacier.4- Dterminer lallongement de la vis.

EXERCICE 2 :

Un cble de diamtre 8 mm et de longueur 300m ralis en acier de module dlasticit

E=200GPa et Re = 295 MPa est soumis une contrainte de 40MPa.

1- Vrifier que le coefficient de scurit appliqu ce cble est suprieur 4.2- Calculer la force applique ce cble.3- Calculer lallongement de ce cble.4- Calculer lallongement relatif.5- Dterminer le diamtre que devrait avoir ce cble si le coefficient de scurit est

suprieur ou gal 10.

EXERCICE 3 .

Une poutre horizontale rigide AB, de longueur 1, est fixe deux barres cylindriques

lastiques verticales AA et BB aux points fixes A et B.

On nglige les poids propres de AB, AA, BB.

1. Calculer les allongements l 1et l 2 des deux barres AA et BB, reprsenter lallure de

la poutre AB aprs chargement.

2. Dterminer la section S2qui permet de garder la poutre AB en position horizontale.

P = 3000 N

I1 = 500 mmI2 = 700 mm

E = 20.104N/mm

2

S1= S2 = 40 mm2

e = 300 N/ mm2

s = 6

AC = AB/3


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3. a)Calculer pe.

b) Dterminer les sections S1 et S2 pour que les deux barres restent dans le domaine

lastique.

EXERCICE 4.

Le plancher dun local repose sur certain nombre de poteaux tubulaires. Les poteaux ont une

hauteur h = 3m chacun support une charge verticale F

= 18 104N. On suppose que le

poteau est encastr en deux extrmits.

On donne les caractristiques mcaniques de la fonte utilise Re (en compression 600 MPa).

Le coefficient de scurit vaut 5.

Les tubes doivent tre choisis parmis les sries ci-dessous :

(Extrait dun catalogue, on notera que lpaisseur e du poteau tubulaire e D/40

e 2 2,5 3,5 4

D 80 100 100 140 140 160 160 200

1. Calculer la section minimale de poteau et choisir la dimension de celui-ci.

2. Quel est le raccourcissement de poteau ?


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Rsistance des matriaux TD3 :Cisaillement.


TD 3 : Cisail lement.


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EXERCICE 1.

Sur une presse, le poinon 1de la figure suivante ralise un trou oblong (rectangle 100 x 20 et

deux demi cercles de 20 mm de diamtre) dans une tole 2de 3 mm dpaisseur. La rsistance

la coupure par cisaillement est de 25 daN.mm.

1.Indiquer et calculer la section cisaille par le poinon.

2.Dterminer leffort F minimum ncessaire pour raliser la perforation.

3.Calculer la contrainte de compression dans le poinon.

EXERCICE 2.

Un arbre (1) transmet un mouvement de rotation un moyeu (2) par lintermdiaire dune

clavette (3).

Larbre de diamtre d=32 mm est en acier XC 18 pour lequel Re=265 MPa. Le couple

transmis a pour valeur M=65 Nm.

La clavette a pour dimensions transversales 10 x 8. Lacier de la clavette est E24 pour lequel

e=108MPa.

Le coefficient de scurit choisi est s=3.

La pression maximale admissible sur le flanc AB du contact clavette-moyeu est pm=30 MPa.

On donne AB=4 mm.

On admet que la rsultante F

des actions mcaniques de contact sur le flanc de la clavette

est perpendiculaire la surface de contact la distance d/2 de laxe de larbre.


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1. Calculer la norme de F

2. A partir de la condition de rsistance de non matage, dterminer la longueur minimale de

la clavette.

3. Vrifier la longueur de la clavette partir de la condition de rsistance au cisaillement de

celle-ci. Conclure.

EXERCICE 3.

Lorsquon veut dcouper par poinonnage un trou dans une pice (tle), on exerce par

lintermdiaire dun poinon un effort de cisaillement F

qui se rpartit sur toute la section

cisaille de la pice.

Cependant, pendant le poinonnage, loutil (poinon) travaille en compression et ne doit pas

de ce fait subir de contrainte normale trop importante qui pourrait entraner sa dformation

permanente.

La tle poinonner a pour paisseur e = 4 mm et lacier qui la constitue a une contrainte

tangentielle moyenne de rupture r= 200 MPa. Le trou raliser est carr de cot a = 20 mm.

1.Quel effort F

minimal le poinon doit-il exercer sur la tle pour poinonner.

2.La contrainte pratique de compression du poinon vaut : pc= 240 MPa.

La contrainte de compression dans le poinon est-elle satisfaisante.3.A partir de quelle valeur minimale de a ne peut on plus envisager de poinonner une tle

dpaisseur e= 4 mm.

EXERCICE 4 .

La liaison pivot entre 1 (tirant) et 2 est ralise par lintermdiaire dun axe cylindrique 3.

Dans les deux cas, laction exerce par le tirant est F = 10 000 daN. Les axes 3 sont raliss

dans le mme acier dont la contrainte admissible au cisaillement est 5 daN.mm-2.


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Dterminons et comparant les diamtres d1et d2des deux solutions.


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Rsistance des matriaux TD4 : Torsion.


TD 4 : Torsion.


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EXERCICE 1.

On se propose dtudier la rsistance dun arbre de transmission modlis par une poutre

droite, de section circulaire constante comme lindique la figure ci-dessous :

Les actions mcaniques extrieures qui sexercent sur larbre sont reprsentes par les

torseurs suivants :

Donnes :

Module de Coulomb : G = 8.104MPa .

Coefficient de scurit : s = 3.

Angle limite de torsion :lim =0,45 /m. Contrainte tangentielle la limite lastique (glissement) :Rg= 120MPa.

Questions :

1. Dterminer les composantes du torseur des efforts de cohsion tout au long de

cette poutre

2. Etude de la rsistance de larbre au moment de torsion :2.1. Tracer le diagramme du moment de torsion (Mt).

2.2. Calculer le diamtre minimal (d) de larbre partir de la condition de rigidit.

2.3. Calculer le diamtre minimal (d) de larbre partir de la condition de rigidit.

3. Tracer lesdiagrammes des efforts tranchants Ty et Tz .


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G= 8.104MPa. Une rainure de clavette provoque une concentration de contrainte de valeur

K=4. on adopte un coefficient de scurit s=3.

a) Dterminer le diamtre minimal de cet arbre plein dmini partir de la condition de

rsistance la torsion.b) Pour allger la construction, on se propose de remplacer cet arbre plein par un arbre

creux de diamtre intrieure d1=0.5D. Dterminer les diamtres D et d1 de larbre

creux pour quil rsiste la torsion.

c) Quel est le pourcentage de gain en masse.

d) Pour les deux arbres, dterminer les diamtres d ; D et d1 vrifiant la condition de

rigidit si lim =0.5 / m et conclure.

EXERCICE 3.

Soit deux arbres de transmission construits partir du mme acier, G = 8000 daN.m2. Le

premier est plein (diamtre d1) ; le second est creux (diamtre extrieur D, diamtre intrieur

d = 0,8 D).

Le couple transmettre est de 200 Nm ; la rsistance pratique au cisaillement adopte pour les

deux cas est de 10 daN.mm-2.

Dterminons les dimensions optimales des deux arbres et comparons les poids respectifs des

deux constructions.

EXERCICE 4 .

Etude dun accouplement rigide:

Les accouplements sont un moyeu de transmission de puissance entre un organe moteur et un

autre rcepteur.

Soit transmettre une puissance P=10kw entre un moteur lectrique 1, tournant une

frquence N=1500 tr/ min, et dun rcepteur 2 par lintermdiaire dun accouplement rigide 3.


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Laccouplement tant en acier ayant les caractristiques suivantes :

accouplement tant modlis comme tant une poutre rectiligne reprsent par sa ligne

moyenne Lm.

1. Calculer le couple moteurmC

dont est soumis laccouplement.

On donne :

D=30 mm

d= 0.8D=24 mmRpg acier = 100 MPa

Gacier=80000 MPa

46950=32

)d-D(=I

44

0mm

2

D.

I

Mt=

0max

Mt=G.Io.


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2. Dterminer le torseur de cohsion en G, centre dune section quelconque de la

poutre )LX0(G

.

3. Tracer les diagrammes des efforts de cohsion tout le long de la poutre.

4. Vrifier la rsistance de laccouplement.

5. Un phnomne de concentration de contraintes se produit au niveau de la collerette de

laccouplement sachant que le coefficient de concentration de contraintes en torsion

Kt=3,32 (voir la figure ci-contre).

6. pour viter les vibrations, on impose une valeur limite langle unitaire de torsion : si

lim =0.7 / m.

a) Calculer les nouveaux diamtres (D et d) en appliquant la condition de dformation.

b) Choisissez daprs le tableau suivant les dimensions de laccouplement.

Tube 1 2 3 4 5 6 7

D (mm) 10 15 20 25 30 35 40

d (mm) 8 12 16 20 2 28 32


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Rsistance des matriaux TD5 :Flexion.


TD 5 : F lexion.


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EXERCICE 1.

Le dispositif propos (fig.1) permet de cintrer des tubes de chauffage. Leffort F

de cintrage

est fournie par un vrin hydraulique (non reprsent) dont la tige (7) agit sur une came de

pousse (6), alors que le maintien est assur par deux galets (4) et (5).

Donnes: la limite lastique du matriau2

emm/N340=R .

Cfficient de scurit 3=s .

1- Dterminer leffort ncessaire pour cintrer le tube indiquer.

2- Si le tube est perc dun trou de diamtre mm8=d' calculermaxeff

EXERCICE 2.

Une potence sur colonne destine la manutention se compose dune flche (1) encastre

(soude) sur un support motoris (2). Lensemble peut pivoter (rotation daxe verticaly

)

autour dune colonne fixe (3) grce un motorducteur (5). Le levage est ralis par le palan

(4), mobile entre B et D, et dune capacit ngligeable devant le point de la flche (1).

La flche (1) est modlise par une poutre (fig.2) sous laction dune charge rpartie q

.

1- Dterminer les actions exerces par lencastrement H.

2- Tracer les diagrammes des T et desMfzle long de la poutre.

3- Dterminer lquation de la dforme. En dduire lexpression de la flche maximale.

4- La poutre est constitue par un IPN, sa rsistance pratique est 100=Rpe

MPa.

Dterminer la hauteur minimale de IPN.


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EXERCICE 3.

Le tour de grande capacit propos ralise le tournage dun cylindre de 1 m de diamtre et delongueur 5 m. La masse volumique de lacier est de 7800 kg/m3et le module dYoung E =

20000 daN/mm2.

Ltude du cylindre se ramne au schma (fig.3).

1-Dterminer la valeur de la charge rpartie qcorrespond au poids du cylindre seul (laction

de loutil de coupe est ngligeable).

2-Tracer les diagrammes des T et desMfzle long de la poutre.

3-Dterminer lquation de la dforme. En dduire la flche maximale.

EXERCICE 4 .

La figure 1 reprsente larbre dentre dun rducteur picyclodal. Le modle associ au

systme est donn par la figure 2. Laction du satellite 2 sur le plantaire 1 en A est AF

(2/1).

AF

(2/1) = -1000 Y

(en N).


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On nglige le poids de larbre 11.

1) Isoler larbre 11 et faire linventaire des efforts extrieurs auxquels il est soumis.

2) Calculer les efforts au niveau de lencastrement E.

3) Tracer les diagrammes des efforts tranchants et des moments flchissant.

4) Quelle est labscisse de la section associe la valeur du moment flchissant maximum.

5) Larbre 11 est en C18, calculer son diamtre minimum sachant quil y a concentration de

contraintes au fond de la gorge au point E.

On donne :

a. L = 40 mm.

b. R = 50 mm.

c. Kf = 2.5

d. S = 4

e. Re(C18) = 350 MPa

f. IGZ=64

d 4


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Rsistance des matriaux TD6 : Principe de superposition.


TD 6 : Principe de superposition.


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ABC

EXERCICE1.

Enonc du problme :

Soit une poutre (1) sur trois appuis simples, elle est soumise une charge repartie sur toute

sa longueur et deux charges concentres gaux comme la montre la figure 1

Donnes:

MPa

3000 daN

1) Montrer que le systme est hyperstatique et dterminer son ordre

2) En utilisant le principe de superposition, dcomposer le systme en deux sous systmes

3) Dterminer les ractions des appuis respectivement aux points A, B et C

4) Tracer les diagrammes des efforts tranchants et des moments flchissants le long de la

poutre

5)En crivant la condition de la flche maximale au point E et sachant que la

section de la poutre est circulaire, calculer le diamtre minimale de la poutre

6)Pour la valeur trouve de diamtre, calculer la contrainte maximale dans la

section la plus sollicite (la section C)

EXERCICE2.

Une poutre (2), est encastre en A et B au bti 0, elle est soumise une charge rpartie p sur

toute sa longueur L, et une charge concentre verticale CF

applique son milieu comme le

montre la figure 1 .


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En se basant sur lannexe et en utilisant la mthode de superposition, nous vous demandons

de :1- Discrtiser votre systme deux sous-systmes simples.

2- Dterminer les actions exerces en A et B du systme.

3- Tracer le diagramme des efforts tranchants du systme.

4- Tracer le diagramme des moments flchissant du systme.

5- Donner lexpression de la flche maximale au point C du systme.

6- En crivant la condition de la flche maximale, choisir dans le tableau des UPN le

profil le plus proche de votre solution .

Poutre tudier

Mur

Poutre verticalePoutres transversales y

mdaNq /48=

CF

x

L

A BC

On d o n n e :

L = 2 m.

E = 2.105MPa

FC = 5750 daN.

)(1000

lim mmL

y ite =

Fig.1


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Rsistance des matriaux TD 8 : Flambement des poutres comprimes.


TD 7 : Soll ici tations composes.


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EXERCICE1.

Une poutre section rectangulaire (30*10) , est encastre son extrmit A, et soumise

lautre extrmit B une force de 30 kN applique en C comme indiqu sur la figure ci-

contre.

1) Dterminer les composantes du torseur de section au centre de gravit G de la section

droite S.

2) Calculer les contraintes normales aux points P et P de la section droite S.

3) Tracer le diagramme reprsentant les variations de la contrainte normale dans la section

droite S.

4) Dsirant un coefficient de scurit de 2, quelle est la limite lastique du matriau quil faut

choisir.

EXERCICE 2.

Un arbre cylindrique de diamtre d, de longueur L=1m, est sollicit par un effort F= 19635 N,

et un couple C longitudinaux comme indiqu sur la figure ci-dessous.

Il est constitu dun matriau ayant comme Module de Young : 200 Gpa , Coefficient de

Poisson : 1/3.


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Des mesures exprimentales ont permis denregistrer lallongement longitudinal du cylindre

0,2 mm, ainsi que la rotation des sections extrmes 1,25.

Calculer :

1) Le diamtre d du cylindre en mm.

2) Le rtrcissement du diamtre d en mm

3) La contrainte normale maximale en MPa.4) Le module de Coulomb du matriau.

5) Le couple C appliqu en mN.

6) La contrainte tangentielle maximum en MPa.

EXERCICE 3: Dimensionnement dun arbre de rducteur

La figure 1 reprsente un rducteur de la table coulissante, il est form par un tage dengrenage dentures

droiteet guid en rotation par des roulements billes (modlises par une liaison linaire annulairedaxe

(c,x), une liaison rotulede centre A, voir figure 2 ) .Ce rducteur est accoupl avec un moteur lectrique (9)

au oint E

(fig1)

A

D

BC A E


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Dans ce qui suit nous supposons que :

Tous les poids des pices sont ngligs.

Toutes les pices sont rigides et indformables et toutes les liaisons sont parfaites.

On donne :

Les actions mcaniques qui sexercent sur larbre (10), sont reprsentes par les torseurs

suivants exprims dans la base ),,( zyx :

{T0 / 10(rotule)}A =

),,,(0

0

0

zyxAA

A

A

Z

Y

X

; {T0 / 10(lin_ann)}C =

),,,(

C

0

0

00

zyxCCZ

Y

;

{Tmoteur / 10}E =

),,,(

m

00

00

-0

zyxE

C

et {TRoue / pignon}D =

),,,(0

0

00

zyxDT

R

F

F

Rayon de pignon (r) : r = BD = 44 mm.

RF = 550 N et mC = 60000 Nmm.

yxCD 44120 = et xCA 270=

Les caractristiques du matriau de larbre (10) sont : Rpe= 80 MPa ; Rpg= 40 MPa .

Moment de flexion idale : avec

Remarque :les efforts en newtonet les cotes enmillimtres.

O

x

E

Bati(1)

Arbre(10)

(fig2)

y

B A

120

270

Roue(3)

Pignon

D

C

200

Cm

Arbre(2)


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1.En appliquant le principe fondamentale de la statique sur larbre (10) au point C,

dterminer les inconnues statiques :AX , AY , AZ , CY , CZ et leffort tangentiel TF .

2.On prend dans ce qui suit :

0=AX , NYA 244= , NZA 606= , NYC 306= , NZC 757= NFT 1363=

Dterminer dans le repre ),,,( zyxCR , les composantes algbriques des lments de

rductions du torseur de cohsion en G le long de larbre (10) . Dduire la nature des

sollicitations imposes le long de la poutre.

3.

a. Tracer les diagrammes des sollicitations suivantes le long de larbre.

Mt=f (x) ; MfGy=f (x) et MfGz=f (x) .

b. Dduire la section la plus sollicite.

c. Dterminer MfGzMax, MfGyMax et dduire MfGMAX

4.Ecrire la condition de rsistance relative larbre et dterminer le diamtre minimal.

EXERCICE 4 : Dimensionnement dun arbre de TOURET A MEULER (14 pts).

La figure 1 reprsente un touret, il est constitu

principalement par un arbre guid en rotation, par

des roulements bille (modlise par une liaison

linaire annulairedaxe ),( xC

, une liaison rotule

de centreA.

Larbre est entrain en rotation par un systme

poulie-courroie au point B (voir figure 2)

(fig2)

(fig1)

BCAO

D

TF

Ox

E

Bati(0)

Arbre(1)

C

100 240

Meule (3)

A

90

B

RF

O

t

T

Poulie(2)

B BBy

y


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TD 8 : F lambement des poutr es comprimes.


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EXERCICE 1 :

1. Calculer le rayon de giration de la

section droite :2. Calculer llancement de la poutre :

3. Quelle est la charge maximale tolrable : admF

4. Calculer la charge critique dEuler crF et en dduire le coefficient de scurit k.

On donne : Rpc= 200 MPa, c= 60 , Re= 240MPa, = 3,2 m, E = 2 . 10

5MPa , L =

Avec L :longueur libre de flambage et : longueur rel de la poutre.

Effort admissible : admF

Poutres Courtes Poutres Moyennes Poutres Longues

< 20 20 100 > 100

calcul en compression calcul de Rankine calcul dEuler

F R sadm pc= F

R s

adm

pc

c

=

+

1

2

F

R s

adm

pc

c

=

2

2

Un profil en IPE160, articul en

A et en B, supporte une charge

concentre F dintensit 350 kN.

Caractristiques du profil :4869 cmIGz = 43,68 cmIGy =

21,20 cmS = A

B

Profil

IPE

160


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EXERCICE 2 :

On donne :

Rpc= 200 MPa, c= 60 , Re= 240MPa, L = 1,5 m, E = 2 . 105MPa, Le=L / 2

Le: longueur libre au flombage

Effort admissible: admF

Le pied de la table dun touret meuler est

un profil en UPN 40, encastr en A et en B. Il

peut supporter une force concentre F de 30 kN

Caractristiques du profil :441012,1 mmIGx =

44106,7 mmIGz = 221066,3 mmS =

(fig1)

1. Calculer le rayon de giration de la section

droite :

2. Calculer llancement de la poutre :

3. Quelle est la charge maximale

tolrable : admF

4. Calculer la charge critique dEuler crF et en

dduire le coefficient de scurit k. sachant

que :

F

(fig2)

A

B

A

B

L


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EXERCICE 3 :

1. Calculer le rayon de

giration de la section droite :

2. Calculer llancement de la poutre :

3. Quelle est la charge maximale tolrable : admF

4. Calculer la charge critique dEuler crF et en dduire le coefficient de scurit k.

sachant que :

=crF

admF

On donne :

Rpc= 200 MPa, c= 60 , Re= 240MPa, l = 4 m, E = 2 . 105MPa, Le=2.L

Effort admissible : admF

Un profil HE 300, encastr

en A et libre de se dplacer en B

dans le plan (x, y), supporte une

charge excentre F de 300 kN

(excentration e = 300).

= 8563 1044 = 571 1033

= 25166 1044 = 1680 1033 = 149,1 1022

Caractristiques du profil :

G

300


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Rsistance des matriaux


Elments de correction.


38/71

Rsistance des matriaux corrig TD1 : Torseurs de Cohsion


Cor r igTD 1.

EXERCICE 1

1. La raction de lencastrement A ( )MetRAA

On isole la poutre.

Inventaire :

Action de pesanteur nglige

Effort au point B : F

Effort dencastrement au point A : RA

Moment dencastrement au point A :AM

Bilan :

z.M=M

yR+xR=R

yF.sin-xcos.F=F

AA

AyAxA

Transfert des moments au point A :

z.-LFsin=)y.Fsin-x.cosF(xL+0=FAB+M=MFBFA

PFS :

Rsultante / x : 0=R+cosFAx

Rsultante / y : 0=R+sinF-Ay

Moments / z : 0=sinFL-MA

Dtails du calcul

Nm2000=30sin.4000.1=sinLF=M

N2000=30sin.4000=sinF=R

-3464.1N=0-4000.cos3=-Fcos=R

A

Ay

Ax

2000

0

0

=MA

et

0

2000

3464.1-

=RA


39/71



2. Dtermination du torseur des efforts de cohsion 0 < x < L

N=Ax

R- Mt=0

Ty =Ay

R- Mfy=0

Tz = 0 Mfz= x.R+M- AxFA

3. Diagrammes des efforts de cohsion

4. Sollicitation laquelle est soumise la poutre

Sollicitation de traction + sollicitation de flexion simple


40/71



EXERCICE 3

1. calcul des composantes des torseurs daction mcanique associes aux liaisons 2-1 et 3-1

Torseur des actions appliques sur (1)

{ }0

0

0

Z

Y

X

=T

A

A

A

A1/2 ; { }

0

0

0

Z

Y

0

=T

B

BB1/3 ; { }

0

0

0

50-

600

100-

=TC1/4

Transfert des torseurs au point A

{ }B

B

B

B

A

A

A

A1/3lY

lZ-

0

=

Z

Y

0

0

0

l

+

0

0

0

Z

Y

X

=T

{ }600a

50a

0

=

50-

600

1000-

0

0

a

+

0

0

0

50-

600

100-

=TA1/4

PFS appliqu la pice (1)

0=50-Z+Z

0=600+Y+Y

0=100-X

0=F

BA

BA

A

1/ext

0=a600+lY

0=a50+lZ-

0=0

0=M

B

B1/ext

(6) -240N=l

600a-=Y

B

(5) 20N=l

50a=Z

B

(1) 0N01=XA

(2) 0N36-=600--Y=YBA

(3) 0N3=Z-50=Z BA

A

A

(1)

(2)

(3)

(1)

(2)

(3)


41/71


42/71

Rsistance des matriaux corrig TD2 : Traction compression.


0.06l

l ml E

= =

0.06 0.02%300

ll

= =

0.0372l

l mml E

= =

Cor r igTD 2.

EXERCICE 1 :

1- Traction extension-Allongement.

2- Calcul de la valeur de la contrainte :

3- Si on adopte un coefficient de scurit de 4, calculer la rsistance lastique de lacier.

4- Dterminer lallongement de la vis.

EXERCICE 2 :

1- Vrifier que le coefficient de scurit appliqu ce cble est suprieur 4.

2- Calcul de la force applique au cble.

3- Allongement du cble.

4- Allongement relatif .

5- Le coefficient de scurit est gal 10.

2 2 2.8 201.6 49.6

FS R mm MPa

S = = = = =

49.6 4 198.41ee

RR MPa

s =

2957.375 7

40

eR

s ss

= =

2 2 2

.4 50.24. 2010

S R mmF S NF

S

= = = = ==

2 2

29.5

201068.13

29.5

2. 2. 9.3

eR

MPas

FS R mm

S

SD R mm

= = = =

= = =


43/71



EXERCICE 3

1.Dtermination des allongements :

Allongement1L

:

1

1A

1 S.E

L.F=L

mm125.0=L:ANS.E3

L.P2=L

3

P2=F

11

11A

Allongement2

L :

2

2C2 S.E

L.F=L

mm0875.0=L:ANS.E3

L.P=L

3

P=F

22

2

2C

On a :21

L>L

2.Dtermination de S2

(La poutre reste horizontale) (21

L=L )

2

2

1

1

S.E3

L.P

=S.E3

L.P2

mm28=40.500*2

700=SS.

L2

L=S

211

2

2


44/71



3.

a)Dtermination de la contrainte pratique la traction pe

2pe

e

pe

mm/N50=:ANS

=

b) Condition de rsistance

peB

peA

pe

B

2

pe

A

pe

2

B

pe1

A

FS

FS1

S

F

S

F

EXERCICE 5

1.Force hydraulique supporte par le piston

N5.7068=4

)d-(DP=s)-S.(P=F

22

hyd

2.Vrification de la rsistance de la tige

rsistepoutreLaR


45/71

Rsistance des matriaux corrig TD3 : Cisaillement.


Cor r igTD 3.

EXERCICE 2

1. Si M est le couple transmis :

N5.4062=Fo'd

2

dF=M

2. Soit p la pression au contact clavette-moyeu ; la condition de non matage est :

P Pm avec P =m

S

F

Sm set la surface de matage : Sm= AB x l =4 l

Donc :

mm P4

FetP

4

F

AN : mm33,85

3. Condition de rsistance au cisaillement :

Pmoy

MPa36=3

108=

S

=e

P

Cmoy S

T=

x10=SetF=TC

PP 10

F

10

F

AN : mm11,28

Conclusion :Comme on le voit sur ce calcul, la condition de non matage conduit choisir

une clavette plus longue. Bien que travaillant au cisaillement, on doit toujours calculer une

clavette daprs la condition de non matage.


46/71

Rsistance des matriaux corrig TD3 : Cisaillement.


EXERCICE 3

1.Soit Sc la section cisaille. Pour un trou carr de cot a et de hauteur e : Sc = 4ae.

F

est ici la norme de leffort tranchant. Le poinonnage a lieu lorsquermoy

=

Aveccrimin

cmoy

S.=FdoncS

F=

2.Soit F=N

la valeur absolue de leffort normal dans le poinon.

AN : N64000=Fimin

Soit

2

P a=S la section du poinon.

Soit

PS

N= la contrainte normale de compression.

AN : N160=

Cette contrainte infrieure pcest satisfaisante.

3. On ne peut plus envisager de poinonnage partir du moment o la contrainte de

compression dans le poinon atteint la contrainte pratique.

pc=240 MPa

Condition de poinonnage :PC

Soit (1)a

F

PC2

Nous avons calcul leffort ncessaire au poinonnage :

ae4.=F r

(1) peut alors scrire :PC2

r

a

ae4.

Donc

PC

r

e4.a

AN : mm3.331

a


47/71

Rsistance des matriaux corrig TD4 : Torsion..


Cor r igTD4.

EXERCICE1.

1.Premire coupure: ,

= 1 = 03000 00300.(,, ,)

Deuxime coupure: , = 1 2 = 03000 500300.(,, ,)

Troisime coupure: , = 1 2 3 = 0

1000600 50

6002401000520

(,, ,)

Quatrime coupure: , = +5 = 0100300

50300+21010070 (,, ,)2

2.1. Diagramme du moment de Torsion :2.2.


48/71



Condition de rigidit :

avec

=| |

() =32| |

4

32| |4 = 8105704 =302.3. | | = | | () = 16| |3 | | =9.43| | = 1203 =40 donc larbre rsiste la torsion3.


49/71



4.

La section de centre B est la plus sollicite.

Lintensit de lffort tranchant dans cette section est

= 2

+ 2

=1431.7821

5.

= = 42 = 2.055 =40donc larbre rsiste au cisaillement.

EXERCICE 4

1.Couple moteur Cm :

30

N.C=w.C=P

m

mmmm

N.m66.63=N

P30

=Cm

m

m

2.Torseur de cohsion en G, centre dune section quelconque de la poutre ( Lx0 )

Lquilibre de la poutre impose que Cm=-Cr

{ }0

0

C-

0

0

0

=m

Gcoh


50/71



3.Diagrammes des lments du torseur de cohsion:

4.Rsistance de laccouplement :

MPa23.20=I

RM=

0

t

imaxth

RDG058.0

M

>Dlim

t4

b)on peut choisir les deux derniers cas : D=35 mm et D=40 mm.


51/71

Rsistance des matriaux corrig TD5 : Flexion.


Cor r igTD5.

EXERCICE 4

1.

Action en A du satellite (2) sur le planitaire (1) : AF

= -1000 Y

Effort en E de lencastrement sur (1) : ER

Moment en E de lencastrement sur (1) : EM

2.

PFS :

AF

+ ER

=0

EARF

= =1000 N

N.mm10.4=L.F=M

0=)F(M+M

31/AE

1/AEE

3. Torseur de cohsion

{ }

1000x-40.10

0

0

0

1000-

0

=

1000x-40.10

0

0

0

1000

0

-=33

Gcoh


52/71

Rsistance des matriaux corrig TD5 : Flexion.


4.Abscisse du moment de moment flchissant maximum : x=0

5.Diamtre minimum

3

imaxf

imaxthD2

M64=

3

imaxft

imaxthtimaxeffD

M.K.32=.K=

Condition de rigidit :s

R=R

e

peimaxeff

pe3

imaxftR

D

M.K.32

3

e

fmaxi

R

M32sD

mm2.662Dmini

On peut choisir D=22.66 mm


53/71

Rsistance des matriaux corrig TD6 : Principe de superposition..


Cor r igTD6.

EXERCICE1.

1)

PFS :

(/) = + + + 2 + () = Projection sur laxe (A,): + + 2 2 = 0 (1) ( / ) = () + () + ( ()) + () + () + ()

=

Projection sur laxe (A,):+ 2 2 + = 0 = (2)On 2 quations 3 inconnues do le systme est hyperstatique dordre h=3-2=1

2)

AE C D B

AC

B

A C B CA BE D

+


54/71



on a :

= 1 + 2 = 1 + 2 = 0 ,3 7 5 + 516

= 1 + 2 = 1 + 2 = 0 ,3 7 5 + 516 = = 1 + 2 = 1 + 2 =1,25+ 118 AN :

* Diagramme des efforts tranchants

=

A= 975 daN B= 975 daN C= 4250 daN

T[daN

T[daN

2062.5

937.

-937.5

-2062.5

+

T[daN

2125

2062.5975

937.5

-2125

-2062.5-975

-937.5


55/71



*Diagramme des moments flchissant

( = 0) = 0

( = / 2) = 952,5 ( = ) =1150 ( = 3 / 2) =951,5

( = 2

)

= 0

3) La dforme est maximale (flche maximale) au point E(xE=l/2) et on a :

= = 1 + 2 = 0,0434 3240

= 10,324 3240 Condition de la flche maximale :| | 10,324 3240 1000

1000(10,323 + 2)

240

14

-25

+

937.

-1125

951.

-1150


56/71



AN: 336 4 =5414Ainsi on choisit le profil 140 ayant comme dimensions :

h= 140(mm) ;b=73(mm) ;a=4.7(mm) et l=6.9(mm)

4) On a | ()| = () | ()| = 1150 10377,3 103 =14,88/2EXERCICE2.

1)Discrtisation du systme

2)Les actions exerces A et B

Les actions exerces en A :

= 1 + 2 = 1 + 2:

2+

2=28750+480=29230

A=29230 N

A C B

= A B +

CA B

B

L

= A C B

+

A B

(1) (2)


57/71



= 1 + 2 = 1 + 2 AN :

=

2 +2

12 =57500

8 .2 +480 .4

12

Les actions exerces en B :

= 1 + 2 = 1 + 2

= 2 + 2 =29230

= 1 + 2 = 1 + 2 8 212 = = 14535

= 14535

3)

Le diagramme des efforts tranchants

= 1 + 2 = 2 2 = 28750 480 = 29230

= 1 + 2 =

2 +2 = 28750 + 480 = 29230

AC

480

-28750B x

+A C

B x

-480

=

29230

28750

-28750

-29230

CA

B x


58/71




59/71



4)Le diagramme des moments f lchissants

5)L expression de la f lche maximale en C

= 1 + 2 = 3192 4384 = (2

34384 6)

Condi tion de la f lche maximale

|| 2 34384 1000

384

2.1000 3 + 1000 4

2.1000 3 + 1000 4384. 2.1000.57500.(2000)3 +1000.048.(2000)4384.2.105 .2000 6004

= 6 0 5 = 1 4 0 , = 6 0 , = 7

= 10

B

14375

+

A

-14375

x A

=

x

14455

A

C

B

-14535

B

C x

80


60/71

Rsistance des matriaux corrig TD7 : Sollicitations composes.


Cor r igTD7.

EXERCICE1

EXERCICE 2.


61/71



EXERCICE 4

1) Systme {arbre (1) +poulie (2) + meule (3) }Bilan : - rotule au point A

- Linaire annulaire au point C- Rond du meule- Action de courroie sur poulie- Action de loutil effectuer sur la meule

PFS :Transfert des moments au points A :

= + =24000 0 =

0240240

= + =10000 00= 0240

= + =( )0

0

+ 33000 00( + )=

( )330( + )

0

= + = . 00 + 10000

0 = . +100100

(1) = 0(2) + + = 0(3) + + ( + ) = 0

(4) = ( )(5) 240 100+330( + ) +100(6)240 =100 (7) = 4

(7) + (4) =3 = 3 ; = 1 2 5 ; = 4 = 5 0 0


62/71



(6) = 100240 : =6.66

(5) = 100+330( + ) +100240 : =901.04

(2) = : =22.66(3) = ( + ) + : =376

2) : 0 100

= + ( ) = = 0.0 = 0 + = 00 +

00 0 =

. .

= 0

+

. + . (,, ,) = 016100 825010016 (,, ,)

: 100 340 = = + () + + ()

= + = (100)00 0 = 0(100)(100)

= 0 + . . + (100) + . ( 1 0 0 )


63/71


64/71



() =1600. ; () =10000.

() = 2

() + 2

() = 10127,6

( ) = 464 = 332

Et = 2 + 2 32.3 AN : 11,825


65/71

Rsistance des matriaux corrig TD8 :Flambement des poutres comprimes.


Cor r igTD8.

EXERCICE 2 :

1) = , AN : = 5.57

2) = = 2 AN : =135.623)

> 1 0 0 = .

2( )

2

AN : =7163,824)

= 2 . . 2 =39302,95 =

: = 5; 48

EXERCICE 3 :

1) = Avec : 2 = = 8563 1044ET = 149,11022: = 8563 104149,1102 = 75,78 2)

= , = 2 . : : = 2.4.10375.78 =105.56


66/71

Rsistance des matriaux corrig TD8 :Flambement des poutres comprimes.


3) > 100 = .2( )2

: =200.149,1 1022. (105,5660 )2 =481668,754) = 22

: = 2.2 .105 .8563.104(8.103)2 = 2641,04 .103

5) = = 2641,04 .103

481,66.103 5,48


67/71

Rsistance des matriaux Annexe.


Annexe.


68/71



Charges- Appuis Effort tranchant Moment de flexion Dformation

POUTRES SUR UN APPUI

Flche en A

Gz

AIE

lFy

.3

. 3

=

Flche en A :

Gz

AIE

lpy

.8

. 4=


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POUTRES SUR DEUX APPUIS AUX EXTRMITS

Gz

cIE

lFy

lsia

.48

23

=

=

Flche en C : xc=l/2

Gz

cIE

lpy

.384

.5 4=


70/71




POUTRES SUR DEUX APPUIS AVEC PORTE -FAUX SYMTRIQUE


POUTRES SUR DEUX APPUIS AVEC PORTE -FAUX UNILATRAL



71/71

Documents

Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige