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travi e telai elasto-plast. 1

Introduzione al comportamento delle strutturein campo elasto-plastico

Travi e telai elastoplastici

Giorgio Novati

Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Politecnico di Milano

Laboratorio di Costruzione dell’Architettura, a.a. 2006-07


Flessione-elastoplastica

diagrammi delle deformaz. εsull’altezza della sezione(le sezioni ruotano ma si mantengonopiane, anche in fase elastoplastica).

diagrammi dello sforzo σ sull’altezza dellasezione [ si assume materiale elastico-perfetta-mente plastico, con tensione di snervamento σ0 , (comport. simmetrico a traz. e comp.) ].

eM

pM

diagramma momento-rotazione(rotazione relativa tra due sezionia distanza unitaria);diagramma ricavabile sperimentalmente

Sezione con doppio asse di simmetria: diagrammi della deformazione e dello sforzo:

0ε0ε0ε

eyey

eyε

∞

∞

ey

0σ 0σ 0σ

ey

0− σ

0σ

0− σ

σ

eM pM

ye = semi-altezza del nucleo elastico


Flessione elasto-plastica:

p

e

Mfattore di forma

Mα = =

e

MM

2.37

2.00

1.70

1.50

1.27

e

χχ

Tutte le curve tendonoasintoticamente a Mp / Me

fattore di forma αper varie sezioni

comportamento sezionale dedotto sulla base di comportamento elastico-perfettamente plastico del materiale

diagramma Momento – Curvatura per varie sezioni

e e, M curvatura e momentoχ =al limite elastico


Il momento in fase elasto-plastica può essere espresso come segue: 0 0 0e eM W Z Z= + −σ σ σ

zona plasticizzata

zona ancora in campo elastico(nucleo elastico)

0−σ

0σ

0σ

0σ

0σ

0−σ

0−σ0−σ

Sezioni doppiamente simmetriche

Momento plastico: con Z = modulo plastico =0 0pA

M y dA Z= =∫σ σ 2A

y dA S=∫

S = momentostatico di metàsezione

0( ) 1p pe e e e

e e p e

M MM Z Z W Z WM M M M Z

− + −⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

σ modulo di resistenza eW =(del nucleo elastico)modulo plastico eZ =(del nucleo elastico)

1 ( )p e

e e

MMM M

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

χφχ

Quindi:


0σ

0σ

assebaricentrico

asse diequisuperficie

Travi inflesse con sezione ad un solo asse di simmetria:comportamento elastoplastico

(a) (b) (c) (d)

(a): distribuzione degli sforzi al limite elastico

(d): distribuzione degli sforzi a completa plasticizzazione

(b) e (c): fasi elastoplastiche intermedie

G

0σ

0σ 0σ0σ


Cerniera plastica ― calcolo plastico di travi inflesse

Si assume che in regime elastoplastico la struttura possa essere interpretata come formata da tronchiperfettamente elastici connessi da cerniere plastiche localizzate in alcune sezioni.

In ogni sezione lungo la trave è potenzialmente presente una cerniera plastica interpretabile come unosnodo ad attrito (cerniera “arrugginita”) che non ruota finché .

M

φ

0M+0M+

χ

M

1tan EI−

0M−0M−

0 0M M M− +< <posizione limitedell’asse neutro

0M

0M

ϕ

assegeometrico

Altre ipotesi (ragionevoli per travi e telai):

- il centro di rotazione relativa di due sezioni adiacenti è sull’assegeometrico della trave (non si ha quindi alcuna elongazionedell’asse geometrico quando si manifesta una rotaz. plast.);- taglio e azione assiale non influenzano il comportamentoflessionale.

0M

0M


Analisi evolutiva elasto-plasticadi trave doppiamente incastratacon carico uniform. distribuito

bp :

2bp 24λ

2bp 12−λ

Fase elastica: Eλ < λ

+E b( )pλ − λE bpλ

0M−

0M+

0 = +

EM( ,x)Δ λ − λ

0M 2

EM ( ,x)λ

2E b( ) p 8λ − λ

bpλ

=

cernieraplastica

E E 0: M( ,A e B) Mλ λ = −

0E 2

b

12Mp

λ =

Fase elasto-plastica: E Lλ < λ < λ L E L E 0: M( ,K) M( ,K) Mλ λ + Δ λ − λ =

:

carico base

λ moltiplicatoredei carichi

EI cost.= 0 0 0M M cost. M+ −= − = =

p = λ pbA

K

B

0L 2

b

16Mp

λ =

E Emom. flett. (x) M( , x) M( , x)= λ + Δ λ − λ

E Espost. trasv. v( ,x) v( ,x)= λ + Δ λ − λ

p = λL pbA

K

B

situazione di collasso:

0M−


Analisi evolutiva elasto-plasticadi trave doppiamente incastrata con

carico uniform. distribuito (continuaz.)

deform.plasticacontenuta

deform.plasticalibera

fEf Lf

deform.elastica

20

E1 Mf32 EI

=

20

L E1 M 8f f

12 EI 3= =

Eλ

Lλ

λdiagramma carico-freccia (in mezzeria)

0L 2

b

16Mp

λ =

0E 2

b

12Mp

λ =

E

L

D

Rf

la freccia residua (in D):4 2

L b 0R L

p 1 Mf f384 EI 24 EIλ

= − =

momento residuo (in D)

+

=

0M− 0M−

04 M3

0M

02 M3

−

momento a collasso incipiente

momento elastico per carico λLpb dal basso 01 M3

momento residuo (risulta costante)

Scarico elastico lungo LD

risorsaplastica:

L

E

4 1.333

λ= =

λ

EI cost.= 0 0 0M M cost. M+ −= − = =

p = λ pbA

K

Bbp carico base=


0E L

8MP P= =

L’iperstaticita’ e’ condizione necessaria ma non sufficiente affinche’ possa attuarsi unaridistribuzione dei momenti.

In questo caso non avviene alcunaridistribuzione.

All’aumentare del carico si formanocontemporaneamente 3 cerniere plastiche.

EI cos t.=0 0M M cost.+ −= − =

2 2

LP

Trave incastrata alle estremita con carico conc. in mezzeria

2 2

AM CM

BM

PA

BC

A B CPM M M8

= = =

+−−

P

f

f


Struttura isostatica: comportamento elasto-plastico •Non presenta alcuna risorsa plastica (le uniche risorse

plastiche sono quelle che si manifestano a livello sezionale).

•Il collasso avviene al raggiungimento del momento limitein una sezione (nodo D): la cerniera plastica che si forma (in D) trasforma la struttura in un meccanismo.

•Questo comportamento è tipico di tutti i sistemi isostatici.

b3 P4

− λb

1 P4

− λ

M( , x)λ

E E 0: M( ,D) Mλ λ = −

0E L

b

4 M3 P

λ = λ =

+0 0EI cost. ; M M cost. −= = − =

λ bP / 2 λ bP

A

B C D

G+

in D

Meccanismodi collasso:

λL bPλL bP /2

A G

DB C


la struttura è sede di un meccanismo di collasso plastico; “meccanismo”: spostam. rigido infinitesimo delle aste, compatibile con i vincoli int. ed esterni;“plastico”: nel meccanismo la rotazione di ciascuna cernieradeve essere concorde con il verso del momento limite ivipresente.

per λ = λL i momenti sono “conformi” cioè in equilibrio con i carichi (amplificati da λL) e compatibili con la resistenzalocale:

0 L 0M (x) M( , x) M (x)− +≤ λ ≤

La situazione limite, per λ=λL, detta anche di collasso plastico, è così caratterizzata:

La situazione di collasso plastico

un fattore di carico λL + δλ di poco superiore al valore limitenon è tollerabile dalla struttura: i carichi in eccesso non possonoessere equilibrati da incrementi di momento compatibili con i limiti di resistenza; se imposti, compiono lavoro positivo che sitraduce in energia cinetica.

0M−

0M+

0

momento flettentea collasso (per λ=λL):

L bpλmeccanismo di collasso:

EI cost.=

0 0 0M M cost. M+ −= = =

bpλ


Analisi evolutiva elasto-plastica di travecon incastro e due appoggi, con carico concentrato

Efase elastica: λ < λ

1 1 E 1 1 EM ( ,x) M( ,x) M ( ,x)λ = λ + Δ λ − λ

b3 P

56−λ

bPλ

b9 P56

−λb

1 P7

λ M( ,x)λ

1 EM ( ,x)Δ λ − λ

E b3( ) P

32− λ − λ

E b13( ) P64

λ − λ

E 11^ fase el-plast. : λ < λ < λ

1 E 1 1 E 0: M( ,B)+ M ( ,B) Mλ λ Δ λ − λ =

1 2 L2^ fase el-plast. : λ < λ < λ = λ

2 1 2 2 1 0: M( ,C)+ M ( ,C) Mλ λ Δ λ − λ = −

1 b( )Pλ − λ

2/ 2/

A

2 1M ( ,x)Δ λ − λ

E E 0: M( ,A) Mλ λ = − in A

in B

in C

2/ 2/

A B C D

1 b1( ) P2

− λ − λ

risorsaplast.: L

E

8 1.2866.22

λ= =

λ

L bPλA B C D

Meccanismo di collasso:

+

+0 0EI cost. ; M M cost. −= = − =

b 0P = M

E =6.22 λ

1=6.769 λ

2 L 8 λ = λ =

carico base

CB D

2/ 2/

E b( )Pλ − λA B C D

= cerniera plastica

2 2 1 1 2 2 1M ( ,x) M ( ,x) M ( ,x)λ = λ + Δ λ − λ

momentia collasso


100

80.9

82.7

30.4

44.4

E 11^ fase el.-plast.: λ < λ < λ

1 46.0λ = formaz. cerniera pl. in C

Efase elastica: λ < λ

E 39.0λ = formaz. cerniera pl. in E1 22^ fase el.-plast.: λ < λ < λ

2 46.7λ = formaz. cerniera pl. in D

2 3 L3^ fase el.-plast.: λ < λ < λ = λ

3 L 50λ = λ = formaz. cerniera pl. in A

Dati: Pb = 1EI = cost.

0 0M M cost. 100+ −= = =

Analisi evolutiva elasto-plasticadi telaio

L

E1.28λ

=λ

5 10

5

bPλbPλ

A

B C D

E

31.4

100

97.3

10064.2

33.4

66.8

100

100

100

100

100

100

100

50


Analisi evolutiva di travature elastoplastiche sotto carichi crescenti proporz. (calcolo passo-passo)

• E’ una successione di analisi elastiche ognuna riguardante una nuova strutturameno iperstatica di quella del passo precedente*, fino alla formazione di un meccanismo.

• Se il sistema e’ caricato da forze concentrate, il momento flettente ha dei massimiin corrispondenza dei punti di applicazione dei carichi e delle sezioni di estremita’delle travi; sono queste le “sezioni critiche” dove potranno attivarsi le cerniereplastiche.

• Oltre a fornire il carico di collasso, l’analisi passo-passo fornisce informazioni sulleazioni interne e sul regime deformativo (spostamenti e rotaz. plastiche) lungo tuttoil processo di carico [azioni interne e deformazioni sono influenzate da eventuali“distorsioni” (cedim. vincolari, difetti di assemblaggio, variazioni di temperatura) ]

• Alternativa al calcolo passo-passo: e’ possibile determinare il carico di collasso e ilmeccanismo di collasso con metodi diretti (“analisi limite”) che non richiedonoalcuna informazione sull’evoluzione della riposta strutturale.

* a meno di scarichi locali


A G

DB

C

Meccanismi di collasso plastico completi ( o “totali”)e incompleti (o “parziali”)

struttura 3 volte iperst.A G

DB C

meccanismo incompleto(3 cerniere plastiche)

A G

DB C

meccanismo completo(4 cerniere plastiche)

A G

DB C

meccanismo completo(4 cerniere plastiche)

Le azioni interne presenti a collasso in una struttura che sviluppi un meccanismo “completo” sonostaticamente determinate (cioè possono essere calcolate con consideraz. di equilibrio in base aimomenti plastici e al moltiplicatore di collasso.Cosi’ non è per i meccanismi “incompleti” (iperstatiche residue).


Figure tratte dal testo“Progetto Antisismico di Edifici in Cemento Armato”,E. Cosenza et al., IUSS Press, 2004

Duttilità di travi inflesse in c.a.


Requisiti:

1. adeguata resistenza;2. adeguata capacita’ di rotazione

plastica (ad M ≅ M0);3. adeguata rigidezza in campo

elastico

1. in modo da poter trasmettere il mom. plastico M0 (il più piccolo dei due relativi ai due elementi da connettere);

2. così da permettere che avvenga una redistribuzione dei momenti con successiva formazionedi cerniere plastiche in altre posizioni;

3. in modo da non indurre (in campo elastico) un allontanamento progressivo dellaconfigurazione deformata rispetto all’indeformata.

Requisiti a cui devono soddisfare le connessioniin una strutt. in acciaio per l’analisi in campo elasto-plastico

Motivazioni:

capacita’ di rotazionerichiesta

θ

0M

M

A

C

B

= rotaz. relativa

= momento trasmesso

comport. idealedi riferimento

con incrudimento

D

Solo la connessione Aè adeguata.


Esperienze comparativesu nodi saldatiin acciaio Fe360 e Fe510

tratto da libro Massonet, Save (1980)

Per il nodo tipo 2 il momento plasticoteorico non viene raggiunto (l’anima del nodoentra prematuramente in regime plastico).


Problema di impatto su trave elasto-plastica

t1 = istante in cui la massa m viene lasciata cadere daaltezza h [ v(t1) = 0 , con v = velocità della massa]

t2 = istante del contatto con la trave

t3 = istante in cui si realizza lo spostamentomassimo wmax secondo il meccanismo di travedi figura con cerniera plastica in mezzeria[ v(t3) = 0 , con v = velocità della massa]

Forme di energia predominanti nel fenomeno: energia potenziale (EP), energia cinetica (EC),energia dissipata nella cerniera plastica (ED).

Bilancio energetico tra istanti t1 e t3 : 1 3EP(t ) EP(t ) ED− =

max pmg(h w ) M+ = ϕ max4wcon 2L

ϕ = θ =

φ (rotaz. plast.)

pM

M

energia dissipata

Progetto trave: dati m, h, L, wmax , si determina M p richiesto.

maxp

max

mg L(h w )M4 w

+=

L / 2 L / 2

θ θ

maxw

maxwL / 2

θ =

hmax(h w )+

m

(trascurando energia elastica)

h

L / 2 L / 2

m

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