Muchos seres de la NATURALEZA surgen, crecen o se agrupan según formas geométricas poligonales.

El hombre utiliza estas formas en distintos aspectos de su vida. Así, el orden geométrico encaja perfecta-mente en las construcciones de la ARQUITECTURA y la INGENIERÍA.

La geometría ofrece sugerentes soluciones en el mundo de la DECORACIÓN y la MODA.

Los diseñadores gráficos recurren también a estas formas. Son la base del dibujo de los signos y señales de la COMUNICACIÓN VISUAL, que resultan eficaces por su simplicidad y su claridad.

La belleza de muchas obras de ARTE reside así mismo en ajustarse a esquemas geométricos.

Alumno:……………………………………………………………………..………Grupo:……....

LA GEOMETRÍA EN EL ENTORNO

El objetivo de esta unidad es descubrir la presencia de las formas geométricas a nuestro alrededor. Indica aquí elementos de tu entorno cotidiano que contengan formas planas geométricas:

Ahora añade los que han aportado tus compañeros:

Busca fotos apropiadas y, en una lámina A4, realiza con ellas un collage que exprese la gran variedad de campos de nuestro entorno visual en que aparecen las formas planas geométricas. Luego inventa un título para tu composición y añádelo con diferentes tipos de letras recortadas.

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Vamos a ordenarlos por grupos, buscando en revistas imágenes que los ilustren:

TRAZADOS FUNDAMENTALES

Los elementos gráficos fundamentales son los más sencillos con los que se trabaja en el dibujo geométrico. Con ellos se realizan trazados más complejos.

PUNTO: Es el elemento geométrico más simple. Se nombra con letras mayúsculas.

LÍNEA: Es el elemento generado por el movimiento de un punto. Puede ser curva o recta. RECTA: Es una línea en la que el punto se mueve siempre en la misma dirección. Se nombra con letras minúsculas.

Semirrecta: Es una recta determinada por un punto en su inicio.

Segmento: Es una porción de recta limitada por dos puntos.

PLANO: Es una superficie infinita producida por el movimiento de una recta.

POSICIONES DE UNA RECTA:

VERTICAL HORIZONTAL OBLICUA

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS COPLANARIAS:

SECANTES PARALELAS PERPENDICULARES

PARALELISMO: Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común.

PARALELA A UNA RECTA POR UN PUNTO EXTERIOR P:

1. Con centro en un punto A cualquiera de la recta y radio igual a AP, se dibuja un arco de 180º que corta a r en B y C.

2. Con centro en B y C se trazan dos arcos de medida igual a BP que cortan a la semicircunferencia en P y P’.

3. La paralela a la recta r se determina uniendo los puntos P y P’.

P·

r

2

PERPENDICULARIDAD: Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un ángulo de 90º.

PERPENDICULAR A UNA RECTA DESDE UN PUNTO EXTERIOR P:

1. Con centro en P se traza un arco que corte a la recta en dos puntos A y B.2. Desde A y B trazamos dos arcos que se cortan en C.3. Para obtener la perpendicular unimos P con C.

· P

A l l B

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO: Es la recta perpendicular al segmento por su punto medio.

1. Trazamos un arco con centro en A mayor que la mitad del segmento.2. Con el mismo radio se traza un segundo arco desde B que corta al otro en C y D.3. La mediatriz se obtiene uniendo los puntos C y D.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN n PARTES IGUALES: En este ejercicio aplicamos el Teorema de Thales: Los segmentos que se forman por la intersección de rectas paralelas con dos rectas que se cortan son proporcionales.

1. Trazamos desde el extremo A del segmento una semirrecta cualquiera.2. Trasladamos sobre ella n divisiones con la regla o el compás.3. Unimos la última marca n de la semirrecta con el otro extremo B del segmento.4. Trazando paralelas a nB hasta cortar el segmento obtenemos en éste las n partes iguales que numeramos. Divide el segmento AB en cinco partes iguales:

A l l B

Practica el trazado de paralelas y perpendiculares con la escuadra y el cartabón en la lámina 1.

3

ÁNGULOS

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos rectas que se cortan.

RECTO AGUDO OBTUSO LLANO COMPLETO

BISECTRIZ: Es la recta que divide un ángulo en dos partes iguales.

1. Trazamos un arco cualquiera desde V que corta en B y C a los lados del ángulo. 2. Con centro en B y C trazamos dos arcos iguales que se cortan en D. 3. Uniendo V con D obtenemos la Bisectriz.

V

CONSTRUCCIÓN DE UN ÁNGULO IGUAL A OTRO (traslación):

1. Dibujamos una semirrecta situando sobre ella el punto V’, vértice del nuevo ángulo.2. Trazamos un arco cualquiera con centro en V, obteniendo A y B. 3. Con centro en V' trazamos el mismo arco que corta a la recta en B'.4. Con centro en B' y radio AB dibujamos un arco que corta al anterior en A'. 5. Uniendo V' con A' obtenemos el otro lado del ángulo igual al dado.

V

a. Mide y copia en hoja aparte los dos ángulos de esta página con transportador.b. Dibuja los ángulos de 30º, 75º, 120º y 165º.c. Divide un ángulo recto en cuatro partes iguales empleando sucesivas

bisectrices.d. Construye una figura igual a esta

aplicando el procedimiento de traslación de ángulos:

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CIRCUNFERENCIA

Es una curva cerrada y plana cuyos puntos cumplen la propiedad de que están todos a la misma distancia del centro.

ELEMENTOS NOTABLES:

Centro: Punto fijo O que equidista de cualquier punto de la circunferencia.Radio: Distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro.Diámetro: Segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. Mide el doble del radio.Círculo: Porción de plano comprendida por la circunferencia.Cuerda: Segmento entre dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.Arco : Porción de circunferencia comprendida entre dos puntos de la misma.Tangente: Recta que sólo tiene un punto de contacto con la circunferencia, por el que pasa un radio perpendicular a la recta.Secante: Recta que corta en dos puntos a la circunferencia.Exterior: Recta que no tiene contacto con la circunferencia.

Escribe el nombre de cada elemento en esta circunferencia:

HALLAR EL CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA CUALQUIERA:

1. Elegimos tres puntos cualesquiera A, B y C de la misma.2. Hallamos las mediatrices de las cuerdas que hay entre ellos.3. Donde se cortan las mediatrices obtenemos el centro O de la circunferencia.

5

º

POLÍGONOS REGULARES

Un polígono es una región del plano limitada por segmentos denominados lados. Los puntos de intersección de los lados se llaman vértices. Un polígono es regular cuando todos sus lados y ángulos son iguales. Las diagonales unen vértices opuestos.

TRIÁNGULO EQUILÁTERO:

Dado el lado:

1. Trazamos dos arcos de la medida del lado L con centro en los extremos A y B.2. Donde se cortan obtenemos C y lo unimos con A y con B.

A l l B L

PDada la circunferencia circunscrita:

1. Tomamos un diámetro cualquiera de la circunferencia y desde uno de sus extremos P, trazamos un arco con la medida del radio r.

2. Donde corta a la circunferencia obtenemos los vértices A y B.3. Los unimos con el otro extremo C del diámetro y aparece el triángulo buscado.

Repitiendo esta construcción desde C podemos trazar otro triángulo invertido y tenemos la Estrella de David, o el hexágono regular uniendo las 6 divisiones obtenidas.

C C

P P

e. Traza un triángulo equilátero de lado = 5cm.6

O º

º O

º O

CUADRILÁTEROS

RECTÁNGULO dados sus lados:

1. Levantamos dos perpendiculares al lado a desde sus extremos. 2. Sobre éstas trazamos dos arcos con la medida de b. 3. Unimos los vértices así hallados.

a b l l l l

CUADRADO:

Conociendo la diagonal:

1. Dibujamos la mediatriz para hallar el punto medio O de la diagonal.2. Desde éste trazamos una circunferencia de diámetro AB igual a la diagonal d. 3. Donde la circunferencia corta a la mediatriz aparecerán los otros dos vértices C y D

que unimos con A y B.

B

d

A A l l B

Dado el lado:

1. Trazamos perpendiculares al lado desde sus extremos A y B. 2. Con centro en estos dibujamos dos arcos con la medida del lado que cortan a las

perpendiculares en C y D. 3. Uniendo estos vértices cerramos el cuadrado. Prueba a hacerlo en hoja aparte sólo

con escuadra y cartabón.

f. Traza un rectángulo dados sus lados c= 5cm y d= 7cm. g. Inscribe un cuadrado en una circunferencia de radio = 3cmh. Traza con dos triángulos equiláteros un rombo de lado y diagonal menor = 4cm.

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OCTÓGONO inscrito :

1. Trazamos dos diámetros perpendiculares entre sí.2. Hallamos las bisectrices de los ángulos rectos formados por los diámetros. 3. Uniendo los extremos de todos los diámetros aparece el octógono. Inscribe por

este mismo método una estrella de ocho puntas en la otra circunferencia.

PENTÁGONO:

Dado el lado:

1. Hallamos la mediatriz del lado L con dos arcos de la medida del lado.2. Con el compás nos llevamos h (altura de un triángulo equilátero de lado igual a L),

desde A sobre la mediatriz y obtenemos O. 3. Con centro en O y radio OA=h trazamos una circunferencia.4. Sobre ella marcamos la medida del lado L desde A y B.5. Tenemos así cinco vértices que unimos.

A

P

l l A L B

Inscrito:

1. Trazamos dos diámetros perpendiculares entre sí y hallamos el punto medio M del radio OP con la mediatriz.

2. Desde M trazamos un arco de medida MA que corta al mismo diámetro en T. 3. La distancia AT es igual al lado del pentágono. La tomamos con el compás y nos

la vamos llevando sobre la circunferencia desde A hasta obtener cinco vértices.4. Unimos sucesivamente los vértices. Si los unimos alternativamente obtenemos el

polígono estrellado de cinco puntas (pentángulo o polígono áureo).

8

º O

O º

O º

HEXÁGONO dado el lado:

1. Sabiendo que el lado del hexágono es igual al radio de la circunferencia circunscrita, trazamos dos arcos con la medida del lado desde A y B.

2. Donde se cortan los arcos obtenemos O, centro de la circunferencia circunscrita. 3. La trazamos y sobre ella nos llevamos con el compás la medida del lado para hallar

el resto de vértices y los unimos.

A l l B

DODECÁGONO inscrito:

1. Trazamos dos diámetros perpendiculares entre sí.2. Desde cada uno de sus extremos dibujamos un arco con la medida del radio.3. Unimos las doce divisiones así obtenidas. Inscribe un dodecágono en la

circunferencia de arriba y dos estrellas de doce puntas con diferente paso en las abajo.

i. Traza una estrella de dieciséis puntas en una circunferencia de r= 5cm.j. Inscribe un pentángulo en una circunferencia de r= 3cm.k. Busca la forma de inscribir un decágono en una circunferencia de r= 4cm

aprovechando el trazado del pentágono inscrito.l. Dibuja un pentágono de lado = 4cm.m. Traza una estrella de doce puntas de paso 5 en una circunferencia de r= 4cm

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. O . O

. O

HEPTÁGONO inscrito:

1. Trazamos un radio cualquiera OB. 2. Con centro en B y la medida del radio nos llevamos un arco que corta a la circunferencia en S y R. 3. Unimos estos puntos cortando al radio en M. 4. La medida MS es igual al lado del heptágono.5. Marcamos las divisiones y unimos los vértices.

PROCEDIMIENTO GENERAL DE POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS:

1. Trazamos un diámetro vertical y lo dividimos en n partes iguales que numeramos.2. Con centro en sus extremos A y B trazamos dos arcos de radio igual a la longitud del diámetro que se cortan en C y D. 3. Unimos C y D con las divisiones pares (o impares) del diámetro y prolongamos hasta cortar la circunferencia en los n vértices del polígono buscado. Traza en esta circunferencia un eneágono (nueve lados) por el método explicado:

A

B

n. Inscribe una estrella de siete puntas en una circunferencia de r=3cm.o. Prueba a construir un polígono estrellado de once puntas inscrito en una

circunferencia de radio = 5cm.p. Realiza un diseño decorativo en la portada de estos apuntes a base de estrellas

y polígonos. Después coloréalo.10

O º

. O

IGUALDAD Y SEMEJANZA

La igualdad y la semejanza son relaciones geométricas que podemos establecer entre dos o más figuras. Dos figuras iguales tienen el mismo tamaño y la misma forma. Las figuras semejantes tienen la misma forma pero diferente tamaño.

CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS IGUALES

Por traslación: Por giro: A A’.

A

BB C

C O·

1. Nos dan la figura ABC y el punto A’ ya 1.Tenemos la figura ABC y vamos a trasladado. Trazamos paralelas al seg- girarla 90º según el centro de giro O, que mento AA’ por B y C. unimos con cada vértice de la figura.2. Nos llevamos la medida AA’ desde B y 2. Sobre OA medimos los 90º y hallamosC sobre las paralelas y obtenemos B’ y C’. A’ con un arco.3. Unimos A’, B’ y C’ y observamos que 3. Realizamos el correspondiente giro con sus lados son paralelos a ABC. los puntos B y C y cerramos la figura.

Por triangulación: Por coordenadas:

A A’. Y A Y’

B B

C

D

C D X X’

1. Desde A’ trazamos el lado A’B’ 1. Se trazan perpendiculares a los dos paralelo a AB. ejes X e Y desde todos los vértices de la 2. Desde B’ trazamos un arco con la figura dada ABCD.medida BC y otro desde A’ con la medida 2. Se colocan los vértices A’, B’, C’ y D’ aAC. Donde se corten ambos arcos se las mismas distancias de los ejes X’ e Y’ encontrará C’. que en la figura original.3. El punto D’ se halla realizando lamisma operación.

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CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS SEMEJANTES

Dos polígonos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales.

Por radiación desde un punto interior: Por radiación desde un punto exterior:

· A’

A

A A’ ·

.P

P ·

1. Unimos el punto P con cada vértice. 1. Unimos el punto P con cada vértice y2. Vamos trazando paralelas a cada lado prolongamos.comenzando desde A’ y obtenemos el 2. Operamos igual que en el resto de vértices en las intersecciones. procedimiento anterior.

Por cuadrícula:

En la

cuadrícula vacía situamos cadavértice y cada lado en la misma posiciónque ocupa en la original, contando elnúmero de cuadritos, hasta cerrar lafigura completa.

q. Reproduce a distinto tamaño del original una foto o dibujo que te guste por medio de una cuadrícula.

SIMETRÍA

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Es la relación geométrica que se establece entre las partes de una misma figura que son iguales entre sí pero contrapuestas con respecto a un eje o un punto.

Simetría axial

La simetría axial aparece cuando los elementos iguales equidistan, es decir, se encuentran a la misma distancia, pero opuestos, de una recta llamada eje de simetría.

Establece los ejes de simetría de estas figuras y completa el abeto de la derecha.

Simetría radial

En la simetría radial cada punto de una figura se corresponde con otro simétrico que está opuesto en la misma recta y a igual distancia del centro de simetría.

Marca el centro y los radios de simetría en la flor y construye una con el rombo.

Simetría real y simetría aparente

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La simetría de las formas naturales no es geométricamente perfecta por la influencia de factores ambientales, el paso del tiempo, las deformaciones producidas por el movimiento y los gestos, etc. Algunas formas artificiales tampoco cumplen la simetría real, sobre todo en objetos realizados artesanalmente, donde la intervención humana esta sujeta al pulso, el tipo de material empleado o el propio gusto personal. Este tipo de simetría se llama simetría aparente porque, aunque es claramente perceptible, no guarda una disposición exacta de los puntos simétricos. Compruébalo:

Copia en el recuadro inferior estas piezas de ajedrez con ayuda de sus ejes de simetría:

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