EL TRINGULO DE PASCAL Bellezas

matemticas

1 Dpto. de Matemticas colegio NUESTRA SEORA DEL PILAR - Madrid

El Tringulo de Pascal1 es una disposicin de nmeros con forma de tringulo,

construida de tal manera que cada elemento es la suma de los dos inmediatamente

superiores a l, y donde inicialmente se coloca el nmero 1 en los lados exteriores.

Al Tringulo de Pascal tambin se le conoce como el Tringulo de Tartaglia.2

Los elementos de las dos primeras filas tambin son unos:

1

fila 0

1 1 fila 1

1 2 1 fila 2

1 3 3 1 fila 3

1 4 6 4 1 fila 4

1 5 10 10 5 1 fila 5

1 6 15 20 15 6 1 fila 6

1 7 21 35 35 21 7 1 fila 7

1 8 28 56 70 56 28 8 1 fila 8

etc. etc. etc. fila 9

No es, estrictamente, una figura geomtrica con 3 ngulos y 3 lados: es una

tabla numrica infinita de forma triangular, que posibilita que permite resolver toda

una gama de problemas de clculo; adems, es una figura elegante y curiosa a la

vez, llena de caractersticas, particularidades y regularidades, algunas de las cuales

vamos a ir viendo. Para entendernos mejor, unas consideraciones previas:

El vrtice superior comienza con un 1.

En los lados del tringulo tambin se escriben unos.

Diagonales son las lneas paralelas a los lados del tringulo.

Filas son las lneas horizontales del tringulo.

Las filas del tringulo se numeran empezando por la 0, no la 1.

Todas las filas son simtricas respecto a la bisectriz del tringulo.

Cada fila tiene tantos nmeros ms 1, como indica el nmero de la fila;

por ejemplo, la 5 fila tiene 5+1= 6 nmeros.

1 Blaise Pascal, matemtico y filsofo francs del siglo XVII, populariz el

Tringulo. 2 Niccolo Fontana, gran matemtico italiano del siglo XVI. Tartaglia significa

tartamudo, en italiano, que lo era, debido a un accidente infantil.

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Una de las razones de la importancia del Tringulo de Pascal o de Tartaglia, es

su relacin con el BINOMIO DE NEWTON que permite un rpido y fcil clculo de

binomios elevados a cualquier exponente natural. Para ello, debes acudir al

documento correspondiente.

PROPIEDADES

El Tringulo de Pascal tiene innumerables propiedades, y vamos a ver algunas

de ellas. Puedes buscar otras ms.

SUMA DE LOS NMEROS DEL TRINGULO

La suma de los nmeros de cada fila es igual al doble de la anterior.

Y adems, son sucesivas potencias de 2 con exponente natural.

Por ejemplo, en las 6 primeras filas tenemos:

1 fila 0

1 1 fila 1

1 2 1 fila 2

1 3 3 1 fila 3

1 4 6 4 1 fila 4

1 5 10 10 5 1 fila 5

En general, la suma de todos los nmeros de una fila y de los nmeros de la fila

que estn por encima de ellas es igual a:

Por ejemplo, la suma de todos los nmeros de la fila 3 y de los nmeros que

estn por encima de ella, sera, vista de 3 formas:

1.

2.

3. Con nuestra frmula:

NMEROS PRIMOS

Si el primer elemento de una fila, sin contar el 1 con que empiezan y terminan

todas, es un nmero primo, entonces todos los nmeros de esa fila sern divisibles

por l.

Por ejemplo, si volvemos al primer Tringulo y tomamos la fila 7, vemos que el

primer nmero es el propio 7; y los dems nmeros, exceptuando los extremos,

son: {7, 21, 35, 35, 21, 7}. Es decir, son todos divisibles por el 7 inicial.

Puedes comprobarlo con cualquier otra fila que comience por nmero primo.

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LAS POTENICAS DE 11

En este caso, SLO PARA LAS 5 PRIMERAS FILAS, el nmero formado por las

cifras que indican cada fila del Tringulo de Pascal representa las sucesivas

potencias de 11 de exponente natural.

Vindolo ms concretamente:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Como se ve, funciona para las primeras 5 filas nicamente (contando la fila 0,

como la primera, recuerda!)

OTROS TRINGULOS

Aparte del Rectngulo de Tartaglia, existen otros tringulos, como el numrico,

el de Leibniz

El TRINGULO ARMNICO DE LEIBNIZ 3 est formado por nmeros

racionales (fracciones), y sus propiedades son similares al de Pascal.

Los nmeros situados en los laterales del tringulo, en vez de unos, son los

inversos de la sucesin de los nmeros naturales:

etc.

Aparte de eso, otra gran diferencia es que cada nmero es igual a la suma de los

dos que tiene por debajo de l.

3 Leibniz fue un gran matemtico alemn de los siglos XVII y XVIII, y cuya

mayor aportacin a esta ciencia exacta fue el desarrollo del clculo infinitesimal.

etc. etc.