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Triangulierung
Professor Dr. Günther Nürnberger Referentin: Mona Nimtz
Approximationstheorie
Flächeninhalt von Dreiecken
Gegeben sind 3 nicht kollineare Punkte
Flächeninhalt mit Hilfe von Trapezen
Flächeninhalt von Dreiecken
Gegeben sind 3 nicht kollineare PunkteFlächeninhalt mit Hilfe von TrapezenAT = ½ det (M)M = [ 1 1 1 ] [ x1 x2 x3]
[ y1 y2 y3]
Wichitge BegriffeGeben ist ein Dreieck T |T| ist die Länge der Längstens KantepT die Länge des InkreisradiuskT:= |T| / pT wird als Formparameter bezeichnetFür ein gleichseitiges Dreieck: kT= 2 √ 3
TriangulationEine Zerlegung ߡ:= {T1,…,TN} einer Figur
in Dreiecke nennt man eine Triangulierung ( in der Ebene)Hierbei ist entweder eine Kante oder ein
Eckpunkt gemeinsam
Stars von DreieckenUnter dem „closed star“ stari(v)
versteht man die Menge aller Dreiecke aus ߡ mit angegrenzenden Eckpunkten v
Unter dem „closed star“ stari(T) versteht man die Vereinigung alles angrenzenden Dreicke
Euler‘sche RelationenVI := Anzahl der inneren EckpunkteVB:= Anzahl der RandeckpunkteV:= Anzahl aller EckpunkteEI := Anzahl der inneren KantenEB := Anzahl der RandkantenE := Anzahl aller KantenN:= Anzahl der Dreiecke
EB = VB
EI = 3VI + VB –3
N = 2 VI+ VB –2
Clough-Tocher Hierbei werden die Dreiecke mit Hilfe
des Schwerpunktes in 3 kleine Dreiecke zerlegt
Powell-SahinHierbei wird der Umkreismittelpunkt
sowohl mit den Ecken, als auch mit den Seitenmittelpunkten verbunden
Powell-Sahin-12Diese Methode funktioniert wie die
Powell.Sahin-Methode, wobei hier zusätzlich die Seitenmittelpunkte miteinander verbunden werden
Gleichmäßige Unterteilung
Bei dieser Methode werden die Seitenmittelpunkte verbunden
Dadurch entstehen 4 gleiche Dreiecke
Triangulierung Typ IHier werden Rechtecke durch eine
Diagonale in 2 Dreiecke unterteilt
Triangulierung Typ IIHier werden die Rechtecke durch 2
Diagonalen in 4 Dreicke zerteilt
Der Farbalgorithmus Dieser besagt, dass er möglich
ist eine Triangulierung in nur 2 Farben einzufärben
Dabei dürfen jedoch Nachbardreiecke die gleiche Farbe haben
Quellen• Lai, Schumaker: Spline Functions on Triangulations• Nürnberger, Zeilfelder: Lagrange interpolation by bivariate C-splines• http://deposit.ddb.de/cgi-bin/dokserv?idn=982481713&dok_var=d1&dok_ext=pdf&file
name=982481713.pdf• Wikipedia: dreiecksfläche• Bilder von verschiedenen Seiten• http://www.henked.de/maple/dictionary.htm