Trigo Geometrie Complexes

7/17/2019 Trigo Geometrie Complexes

http://slidepdf.com/reader/full/trigo-geometrie-complexes 1/4

M1 : GEOMETRIE ET NOMBRES COMPLEXES.

Page 1 sur 4

GEOMETRIE, TRIGONOMETRIE ET NOMBRES COMPLEXES.

L’alphabet grec :

Il existe 24 lettres en grec classique qui sont les suivantes :

Α α alpha Β β bêta Γ γ gamma Δ δ delta Ε ε epsilon Ζ ζ dzeta

Η η êta Θ θ thêta Ι ι iota Κ κ kappa Λ λ lambda Μ μ mu

Ν ν nu Ο ο omicron Ξ ξ xi Π π pi Ρ ρ rhô Σ σ sigmaΤ τ tau Υ υ upsilon Φ φ (ϕ) phi Χ χ khi Ψ ψ psi Ω ω oméga

On utilise aussi la lettre : ϖ appelée « pi dorien ».

I : Géométrie.1°) Aires :

Figure rectangle parallélogramme triangle trapèze

forme

Surface ab ah2

hb

( )

2

h b B+

h b

ah

B

h b

b a

Figure ellipse disque sphère cylindre

forme a b r r r

h

Surface abπ 2r π 24 r π S. lat. = 2 rhπ

2°) Volumes :Figure cube cône boule cylindre

forme

volume3a

3d a=

2

3

r hπ

34

3

r π 2r hπ

3°) A propos de triangles :Triangle quelconque Triangle rectangle

α β γ π + + = 2

π α β + = 2 2a b c+ = 2

sin( ) sin( ) sin( )

a b c

α β γ = = cosinus

adjacent

hypoténuse= ; sinus

opposé

hypoténuse=

2 2 2 2 .cos( )a b c bc α = + − tangente opposé

adjacent = ;

1cotangente

tangente=

A

B

c

a

b

β

α

γ C

hrd

rh

r a

A

C

c (hypoténuse)

a

b

α

β B




Page 2 sur 4

II : Trigonométrie.Dans le cercle de rayon unité ci-contre, on a, en fonction de l’angle orienté θ :

tan( ) OQ π

sin( )OQ θ =cos( )OP θ = k OP

θ = , θ 2

π ≠ + .

Valeurs remarquable

s :

O

⊕ cercle de rayon06

π 4

π 3

π 2

π π

sin 01

2 2

2

3

2 1 0

cos 1 3

2

2

2

1

2 0 -1

tan 01

3 1 3 ∞ 0

Relat u elles ions su :

La fonction cosinus est paire impaires.

Les fonctions sinus et tangente sont

2 2cos ( ) sin ( ) 1θ θ + = .2

2

2

1 cos(2 ) tan ( )sin ( )

2 1 tan ( )

θ θ θ

θ

−= =

+

sin( )tan( )

cos( )

θ θ

θ = 2

2

1 cos(2 ) 1cos ( )

2 1 tan ( )

θ θ

θ

+= =

+

Angles remarquables :

( )

( )a

aπ

π −

+ sin( ) sincos( ) cos

tan( ) tan

a aa a

a a

π π

π

+ = −+ = −

+ =

sin( ) sincos( ) cos

tan( ) tan

a aa a

a a

π π

π

− =− = −

− = −

2a

a2

π

π

+

−

sin( ) cos2

cos( ) sin2

1tan( )

2 ta

a a

a a

aan

π

π

π

+ =

+ = −

+ = −

sin( ) cos2

cos( ) sin2

1tan( )

2 ta

a a

a a

aan

π

π

π

− =

− =

− =

Addition :cos( ) cos . cos sin .sina b a b a b+ = − . cos( ) cos . cos sin .sina b a b a b− = +

sin(a b) sin . cos cos . sina b a b+ = + sin( ) sin . cos cos .sina b a b a b− = − 2 2

2

2

cos sin ( )

cos(2 ) 2cos 1

1 2sin ( )

a a

a a

a

⎧ −⎪

= −⎨⎪ −⎩

sin(2 ) 2sin .cosa a a=

tan( ) tan( )tan( )

1 tan( ) tan( )

a ba b

a b

++ =

−

tan( ) tan( )tan( )

1 tan( ) tan( )

a ba b

a b

−− =

+

unité

P

Q

cosinus

sinus tangente

M T

θ




Page 3 sur 4

Linéarisation :

[ ]1

cos .cos cos( ) cos( )2

a b a b a b= + + − 2 1 cos(2 )cos ( )

2

aa

+=

[ ]1

sin .sin cos( ) cos( )2

a b a b a b= − − + 2 1 cos(2 )sin ( )

2

aa

−=

[ ]1

sin .cos sin( ) sin( )2

a b a b a b= + + − 1

sin . cos sin(2 )2

a a a=

Factorisation :

cos cos 2cos .cos2 2

p q p p q

+ −⎛ ⎞ ⎛ q+ = ⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟

⎠ cos cos 2sin .sin

2 2

p q p p q

+ −⎛ ⎞ ⎛ − = − ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

q ⎞⎟

⎠

sin sin 2sin .cos2 2

p q p p q

+ −⎛ ⎞ ⎛ + = ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

q ⎞

⎟ ⎠

sin sin 2sin .cos2 2

p q p p q

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

q

III : Nombres complexes.1°) Les représentations d’un nombre complexe.

Forme algébrique Forme trigonométrique Représentation de Fresnel

ei z r = θ , avec r > 0 z a ib= + ,

avec 21i = − .

Remarque : souvent, enphysique, l’imaginaire pur iest noté j.

Module : 2 2 z a b= + .

2 2r z a b= = + .

arg( )θ = soit :

arctan 0

arctan 0

b si a

a

b si aa

⎧ ⎛ ⎞ >⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠= ⎨

⎛ ⎞⎪ + <⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

θ

π

.

z est représenté dans le plancartésien xOy par le point M :

tel que : x yOM ae be= +

M

axe réelx

y

r

θ

O

axeimaginaire

a

b

2°) Conjugué d’un complexe.

Soit z le nombre complexe : i z a ib re θ = + = .

On note le nombre complexe conjugué de z , avec : ia ib re θ −= − = z .

Remarque : en physique, le complexe conjugué est souvent noté z* au lieu de . C’est

dû au fait que la notation X peut désigner aussi en physique la valeur moyenne de X .

3°) Opérations sur les nombres complexes :

' ' z z z z + = + ' . zz z z = '2

z z z = ( ) arg( )arg z z = −

'). ' . ' 'e' (i i i z z re r e rr += =θ θ θ θ ' . zz z z = ' ( '

' e

' ' '

ii

i

z re r

z r e r

−= =θ

)θ θ

θ

' '

z

z z =

Formule de Moivre : m( )cos sin cos( ) sin( )m

i m iθ θ θ + = + θ .

Formules d’Euler :exp( ) ( )

cos( )2

ix exp ix x

+ −= et

exp( ) ( )sin( )

2

ix exp ix x

i

− −= .



Documents

Trigo Geometrie Complexes