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TRIGONOMETRÍA. ETIMOLOGÍA Trigonometría viene de Tri-gonos = tres ángulos = triángulo y de metros = medir Es decir, significa medida de ángulos DEFINICIÓN La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. - PowerPoint PPT Presentation
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TRIGONOMETRÍA
ETIMOLOGÍA
Trigonometría viene de
Tri-gonos = tres ángulos = triángulo
y de metros = medir
Es decir, significa medida de ángulos
DEFINICIÓN
La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos.
MEDIDAS DE ÁNGULOS:
•SISTEMA SEXAGESIMAL
•SISTEMA CENTESIMAL
•RADIANES
•SISTEMA SEXAGESIMAL
La circunferencia se divide en 360 partes iguales.
Cada una de ellas es un grado sexagesimal.
Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.
En la calculadora aparece con la denominación DEG
Notación:
30 grados, 40 minutos y 15 segundos = 30º 40’ 15’’
RADIANES
R
RUn radián es la medida del ángulo central cuyo arco mide lo mismo que el radio de la circunferencia
Una circunferencia mide 2 radios y como cada radio da lugar a un radián:
360º equivalen a 2 radianes
¿A cuantos grados sexagesimales equivale un radián?
360º ___________ 2 rad x = 360º/2 = 57,29º
xº ___________ 1 rad
SISTEMA CENTESIMAL
0º
400º
100º
200º
300º
Cada cuadrante se divide en 100 partes.
En la calculadora aparece con la denominación GRA.
Actualmente apenas se utiliza.
0
0
De la misma manera, los siguientes ángulos son equivalentes :
180º ________ rad
90º ________ /2 rad
30º ________ /6 rad
60º ______ 2/6 =/3 rad
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
En un triángulo rectángulo definimos las siguientes razones trigonométricas del ángulo agudo
x
yh
αcosαsen
xy
contiguocatetoopuestocateto
αtg
hx
hipotenusacontiguocateto
αcos
hy
hipotenusaopuestocateto
αsen
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Así mismo definimos las razones trigonométricas recíprocas:
x
yh
yh
αsen1
αcosec
xh
αcos1
αsec
yx
αtg1
αcotg
Construimos triángulos rectángulos semejantes que contengan al ángulo
Según el Teorema de Thales sus lados son proporcionales, por lo que:
y y' y''
x x' x''
'x''y'
x'y'
xy
αtg
Las razones trigonométricas de un ángulo son independientes del triángulo en el que se calculen.
Diremos que las razones trigonométricas son propias de cada ángulo, lo califican y lo diferencian de los demás ángulos.
De todos los triángulos rectángulos semejantes, elegimos el de hipotenusa la unidad.
De esta manera, el seno y el coseno se identifican con la longitud de los catetos:
R = 1
αseny1y
αsen
Circunferencia goniométrica
αcosx1x
αcos
y'αtg1y'
αtgThalesaplicandoxy
αtg
Aplicando Pitágoras en el triángulo rectángulo de hipotenusa la unidad:
sen2cos2 = 1
IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS
Como consecuencia de la primera igualdad se cumple:
-1 ≤ sen ≤ 1
-1 ≤ cos ≤ 1
Dividiendo ambos miembros entre sen2a:
1 + cotg2a = cosec2 a
Y dividiendo entre cos2a:
tg2a + 1 = sec2a
RAZONES DE LOS ÁNGULOS PRINCIPALES DEL 1er CUADRANTE
•ÁNGULO DE 60ºConsideremos un triángulo equilátero de lado la unidad.
Calculamos su altura h aplicando Pitágoras:
23
43
41
121
1h2
2
Hallamos las razones del ángulo de 60º en el triángulo rectángulo de la izquierda:
2
1
1
1/260ºcos
2
3h
1
h60ºsen
31/2
23
1/2
h60ºtg
•ÁNGULO DE 30ºConsideramos el mismo triángulo rectángulo que para el ángulo de 60º ya que su complementario es el de 30º:
60ºcos21
121
30ºsen
60ºctg31
2321
30ºtg
60ºsen23
h1h
30ºcos
•ÁNGULO DE 45ºConsideramos un triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa la unidad
Aplicando Pitágoras:
22
21
x
2
222
2x 1
x x 1
22
x1x
45ºcos45ºsen
1xx
45ºtg
Las razones del ángulo de 45º serán:
R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
sen
cos
sen
sen
sen
sen
1
Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto
sen 90º = 1A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0
cos 90º = 0
Observa que al ir disminuyendo el ángulo hasta 0º el seno va disminuyendo, hasta llegar a ser 0, mientras que el coseno va aumentando hasta valer 1. Es decir,
sen 0º = 0
cos 0º = 1radio=1
1
P(x,y)
O X
Y
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º, 90º, 180º Y 270º
Ángulo coseno seno tangente
0º 1 0 0
90º 0 1 ∞
180º - 1 0 0
270º 0 -1 ∞
(1,0)
(0,1)
(-1,0)
(0,-1)
SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
X
Y
O 1a
A
sen
cos
sen
cos
sen
cos
sen
cos
b
B
g
C
d
D
-1 0 1
El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores mayores o iguales a –1 y menores o iguales a 1
1sen1
1cos1 -1
-1
1
++_ _
SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO
__ +
+
TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
X
Y
O 1
A
a tg
cotg
tg
cotg
tg
cotg
tg
cotg
g
C
d
D
B
b
La tangente y la cotangente de un ángulo puede tomar cualquier valor .
tg
gcot
+_
+ _
TANGENTE Y COTANGENTE
REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL 1er CUADRANTE
a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
º
º -
sen = cos ( 90º - )
cos = sen ( 90º - )
tg = ctg ( 90º - )
º
º -
sen (180º - ) = sen
tg (180º - ) = - tg
cos (180º - ) = - cos
b1) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
b) ÁNGULOS DEL SEGUNDO CUADRANTE
GEOGEBRA
HTML
b2) ÁNGULOS y /2 +
sen ( /2 + ) = cos
cos ( /2 + ) = - sen
tg ( /2 + ) = - cotg
c) ÁNGULOS DEL TERCER CUADRANTE
c1) y 180º +
sen (180º + ) = - sen
cos (180º + ) = - cos
tg (180º + ) = tg
c2) y 270 -
sen (270º-) = - cos
cos (270º-) = - sen a
tg (270º-a) = cotg a
d) ÁNGULOS DEL CUARTO CUADRANTE
d1) y 270 +
d2) y 360 – o
sen (270 + ) = - cos
cos (270 + ) = sen
tg (270 + ) = - ctg
sen (360º - ) = - sen
cos (360º - ) = cos
tg (360º - ) = - tg
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1.1. FUNCIÓN SENOFUNCIÓN SENO
2.2. FUNCIÓN COSENOFUNCIÓN COSENO
3.3. FUNCIÓN TANGENTE FUNCIÓN TANGENTE
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x
6
3
2
3
26
5 6
73
42
33
53
11 24
4
34
54
7
2
1
2
1
2
3
2
3
1
1
2
2
2
2
0
a
sen a2
2
2
2
2
2
2
22
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
2
3
2
30 1 0 01
6
4
3
2
3
26
5 6
73
4
2
33
53
11 24
34
54
70
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x
2
3
4
6
23
114
73
53
24
36
5 6
74
53
4
2
1
2
1
2
3
2
3
1
1
2
2
2
2
02
3
a
COS a2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
12
3
2
3
2
3
2
3 01 0 11
6
4
3
2
3
26
5 6
73
4
2
33
53
11 24
34
54
70
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x
3
3
1
1
6
3
2
3
26
5 6
73
42
33
53
11 24
4
34
54
70
3
3
3
3
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
y = sen xy = cos x
y = tg x
