Trigonometría

Triángulo

Un triángulo es un polígono de tres lados. Un triángulo está determinado por

tres segmentos de recta que se denominan lados, o por tres puntos no alineados

llamados vértices.

Los vértices de un triángulo se escriben con letras mayúsculas.

Los lados de un triángulo se escriben en minúscula, con las mismas letras de

los vértices opuestos.

Los ángulos de un triángulo se escriben igual que los vértices.

Propiedades del triángulo

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

A + B + C =180º

El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos

interiores no adyacentes.

α = A + B

α = 180º - C

En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

Tipos de triángulos según sus lados

Triángulo equilátero

Tres lados

iguales.

Triángulo isósceles

Dos lados

iguales.

Triángulo escaleno

Tres lados

desiguales.

Tipos de triángulos según sus ángulos

Triángulo

acutángulo

Tres ángulos

agudos

Triángulo

rectángulo

Un ángulo recto

El lado mayor es la

hipotenusa.

Los lados menores

son los catetos.

Triángulo

obtusángulo

Un ángulo

obtuso.

Teorema de Pitágoras .- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual

a la suma de los cuadrados de los catetos.

TRIGONOMETRÍA

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es

"la medición de los triángulos". Deriva de los términos griegos trigōno triángulo

y metron medida.

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones

trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante.

Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se

aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión . La

trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio

de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangu lación, por ejemplo, son

usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición

de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

Unidades angulares

En la medición de ángulos, y por tanto en trigono metría, se emplean tres unidades,

si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en

matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para

medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al

sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.

Radián: unidad angular natural en trigonometría. En una circunferencia

completa hay 2π radianes.

Grado sexagesimal : unidad angular que divide una circunferencia en 360

grados.

Grado centesimal : unidad angular que divide la circunferencia en 400

grados centesimales.

Circunferencia en radianes y en grados sexagesimales

Ejemplo: Pasar de grados a radianes y viceversa (Regla de tres).

2 rad = 360°

rad 180°

x rad 30º

rad 180°

/3 rad º

Razones trigonométricas

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno,

coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la

circunferencia.

El seno es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.

El coseno es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

La tangente es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

Razones trigonométricas inversas

La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón inversa de seno, o también su

inverso multiplicativo:

La Secante: (abreviado como sec) es la razón inversa de coseno:

La Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón inversa de la tangente:

Razones trigonométricas en una circunferencia

Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas

y su radio es la unidad.

En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se

numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.

El seno es la ordenada. -1 ≤ sen α ≤ 1

El coseno es la abscisa. -1 ≤ cos α ≤ 1

Signos de las razonas trigonometricas

El seno es la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)

y dado que la hipotenusa es igual al radio, que tiene valor = 1, se deduce:

El coseno es la razón entre el cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)

y como la hipotenusa tiene valor = 1, se deduce:

La tangente es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente

O también como la relación entre el seno y el coseno

Tabla de razones trigonométricas

Relaciones entre las razones trigonométricas

Ejemplos

Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas

del ángulo α.

Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del

ángulo α.

Resolución de triángulos rectángulos

Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área . Es necesario

conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.

Para calcular el valor de los ángulos se utilizan las funciones trigonometri cas

inversas con la calculadora:

f(x) = arcsen x

f(x) = arccosen x

f(x) = arctg x

Ejemplos:

1. Se conocen la hipotenusa y un cateto

Resolver el triángulo conociendo:

a = 415 m y b = 280 m.

sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42° 25′

C = 90° - 42° 25′ = 47° 35 ′

c = a cos B c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m

2. Se conocen los dos catetos

Resolver el triángulo conociendo:

b = 33 m y c = 21 m .

tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32 ′

C = 90° − 57° 32′ = 32° 28′

a = b/sen B a = 33/0.8347 = 39.12 m

3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo

Resolver el triángulo conociendo:

a = 45 m y B = 22°.

C = 90° - 22° = 68°

b = a sen 22° b = 45 · 0.3746 = 16.85 m

c = a cos 22° c = 45 · 0.9272 = 41.72 m

4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo

Resolver el triángulo conociendo:

b = 5.2 m y B = 37º

C = 90° - 37° = 53º

a = b/sen B a = 5.2/0.6018 = 8.64 m

c = b · cotg B c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m

EJERCICIOS RESUELTOS

1 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:

13 rad

22π/5rad.

33π/10 rad.

2 Expresa en radianes los siguientes ángulos:

1316°

2 10°

3 127º

3 Sabiendo que cos α = ¼ , y que 270º <α <360°. Calcular las restantes razones

trigonométricas del ángulo α.

4 Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones

trigonométricas del ángulo α.

5 Sabiendo que sec α = 2, 0< α < /2, calcular las restantes razones trigonométricas.

6 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo

7 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el triángulo.

8 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo.

9 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo.

PROBLEMAS RESULTOS

1 Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga.

Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.

3 Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con

un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?

4 Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados

miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.

5 Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se

observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un

ángulo de 60°.

6 Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C

es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°.

¿Cuánto distan A y B?

PROBLEMAS

1. Encuentre el ángulo de elevación del sol si un hombre de 1,75 m. de estatura, produce una

sombra de 82 cm. de longitud en el suelo.

2. Desde un punto que está a 12 m. del suelo, un observador obtiene una medición de 53 grados

para el ángulo de depresión de un objeto que se encuentra en el suelo. ¿Aproximadamente qué

tan lejos está el objeto del punto en el suelo que está directamente bajo el observador?

3. El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 48 grados con la horizontal.

Encuentre la altura del cometa con respecto al suelo, si el cordel mide 87 m. y el extremo de la

cuerda se sostiene a 1,3 m. del suelo.

4. Un avión vuela a una altitud de 10.000 metros y pasa directamente sobre un objeto fijo en

tierra. Un minuto más tarde, el ángulo de depresión del objeto es 42 grados. Determine la

velocidad aproximada del avión.

5. Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edificio, ve el otro lado de la

misma bajo un ángulo de 60 grados con respecto a la horizontal.

6. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del suelo y

observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y la parte inferior

con un ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del edificio señalado.

7. Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos P y Q de una orilla, se observa un

punto R de la orilla opuesta. Si las visuales forman con la dirección de la orilla ángulos de 40

grados y 50 grados, respectivamente, y la distancia entre los puntos P y Q es 30 metros,

determine el ancho del río.

8. Un cuadro localizado sobre una pared es tal que su borde inferior está a una distancia de 20

cm. sobre el nivel del ojo de un observador situado a 2 metros de la pared. Si el ángulo que

forman las visuales con los bordes inferior y superior, respectivamente, mide 10 grados, ¿cuál es

la altura del cuadro?

9. Una escalera de 6 m. de longitud descansa sobre una pared vertical de tal manera que el pie

de la escalera queda a 1,5 m. de la base de la pared. ¿Cuál es el ángulo que la escalera forma con

la pared y hasta qué altura de la pared llega la escalera?

10. Las longitudes de las sombras de dos postes verticales son 22 m. y 12 m. respectivamente.

El primer poste es 7,5 m. más alto que el segundo. Encuentre el ángulo de elevación del sol y la

longitud de cada poste.

11. Un árbol de 12 m. de altura queda a un lado de un arroyo. El ángulo de elevación del árbol,

desde un punto situado a 180 m. es de 3 grados. Determine si el arroyo queda por encima o por

debajo del nivel del señalado punto y calcule la diferencia de nivel.

12. ¿Cuál es la altura de una colina, si su ángulo de elevación, tomado desde su base, es 46

grados, y tomado desde una distancia de 81 m. es de 31 grados.?

13. Sobre un arrecife hay un faro cuya altura es de 7,5 m. Desde un punto situado en la playa se

observa que los ángulos de elevación a la parte superior y a la parte inferior del faro son 47

grados y 45 grados. Calcule la altura del arrecife.

14. Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes

quedan a lados opuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 27

grados y 48 grados. Si la distancia entra las cuñas es de 50 m. ¿cuánto cable se ha gastado?,

¿cuál es la altura a la cual están sujetos los cables?

15. Desde lo alto de una torre de 200 m. sobre el nivel del mar, los ángulos de depresión de dos

botes son de 47 grados y 32 grados respectivamente. Determine la distancia que separa a dichos

botes.

16. Un topógrafo situado en C, localiza dos puntos A y B en los lados opuestos de un lago. Si C

está a 5.000 m. de A y a 7.500 m. de B y el ángulo ACB mide 35 grados. ¿Cuál es el ancho del

lago?

17. Dos guardabosques descubren la misma fogata clandestina en dirección N 52º O y N 55º E,

de sus posiciones respectivas. El segundo guardabosque estaba a 1,93 km. al Oeste del primero.

Si el guardabosque más cercano al fuego es el que debe acudir. ¿Cuál de ellos tiene que ir y

cuánto tendrá que caminar?

18. Un terreno tiene la forma de un triángulo isósceles. La base está frente a un camino y tiene

una longitud de 562 m. Calcule la longitud de los lados si estos forman un ángulo de 23 grados.

19. Un barco sale de un puerto y viaja hacia el Oeste. En cierto punto gira 30 grados Norte

respecto del Oeste y viaja 42 km. adicionales hasta un punto que dista 63 km. del puerto. ¿Qué

distancia hay del puerto al punto donde giró el barco?

20. Desde lo alto de una torre de 300 m. de altura se observa un avión con un ángulo de

elevación de 15 grados y un automóvil en la carretera, en el mismo lado que el avión, con un

ángulo de depresión de 30 grados. En ese mismo instante, el conductor del automóvil ve al

avión bajo un ángulo de elevación de 65 grados. Si el avión, el auto y el observador se

encuentran en un mismo plano vertical: calcule la distancia entre el avión y el automóvil ,

también calcule la altura a la que vuela el avión en ese instante.

21. Un terreno triangular está demarcado por una pared de piedra de 134 m., un frente de 205 m.

hacia la carretera y una cerca de 147 m. ¿Qué ángulo forma la cerca con la carretera?

22. Una escalera de mano, cuyo pie está en la calle, forma un ángulo de 30 grados con el suelo,

cuando su extremo superior se apoya en un edificio situado en uno de los lados de la calle, y

forma un ángulo de 40 grados cuando se apoya en un edificio situado en el otro lado de la calle.

Si la longitud de la escalera es de 50 m., ¿cuál es el ancho de calle?

23. Un árbol ha sido roto por el viento de tal manera que sus dos partes forman con la tierra un

triángulo rectángulo. La parte superior forma un ángulo de 35 grados con el piso, y la distancia,

medida sobre el piso, desde el tronco hasta la cúspide caída es de 5 m.. halle la altura que tenía

el árbol.

24. Un observador detecta un objeto volador no identificado situado estáticamente en un punto

del espacio. El observador, por medio de un telémetro y un sextante, determina que el OVNI se

encuentra a 4460 m. en un ángulo de elevación de 30 grados. De pronto el OVNI descendió

verticalmente hasta posarse en la superficie terrestre. Determine a qué distancia del punto de

observación descendió este objeto y qué distancia debió descender hasta tocar tierra.

25. El ángulo de una de las esquinas de un terreno en forma triangular, mide 73 grados. Si los

lados, entre los cuales se encuentra dicho ángulo, tiene una longitud de 175 pies y 150 pies,

determine la longitud del tercer de los lados.