Trigonometria No Triangulo Retangulo e Medidas de Arcos e Angulos Na Circunferencia

Trigonometria no Tringulo Retngulo e Medidas de arcos e ngulos na circunferncia

Notas de Aula 02 Semestre 2 - 2010

Tpicos Fundamentais de Matemtica - Licenciatura em Matemtica Osasco -2010

1

Tringulo Retngulo

So tringulos nos quais algum dos ngulos internos reto. O maior dos lados

de um tringulo retngulo oposto ao vrtice onde se encontra o ngulo reto

e chamado de hipotenusa. Os outros dois lados menores so chamados de

catetos.

Exemplo:

O ngulo do vrtice em reto.

O lado a hipotenusa.

Os lados e so os catetos.

O lado oposto ao ngulo , e adjacente ao ngulo .

O lado oposto ao ngulo , e adjacente ao ngulo .

Relaes Mtricas no Tringulo Retngulo

Consideremos um tringulo retngulo qualquer:

No : a medida do cateto . a medida do cateto . a medida da hipotenusa. a altura do tringulo quando se toma por base a hipotenusa ( ) o ngulo formado no vrtice o ngulo formado no vrtice

Os e so retngulos e so semelhantes ao , pois pode-se concluir que os trs tringulos possuem os trs ngulos internos congruentes.




2

Pela semelhana dos tringulos , , e , temos as seguintes relaes

entre as medidas:

Como

Como

Como

, o que implica que o produto dos catetos igual ao produto da altura pela

hipotenusa.

Como

Teorema de Pitgoras

Das relaes (1) e (2) acima, temos

Mas,

Ento

Conclumos,

Trigonometria no Tringulo Retngulo




3

Se tomarmos vrios tringulos retngulos semelhantes, digamos ,

,..., , podemos disp-los conforme a figura abaixo:

Ao tomarmos os tringulos deste conjunto, por semelhana de tringulos

teremos que :

Ou seja, a razo entre o cateto oposto a um determinado ngulo e a

hipotenusa de um tringulo retngulo sempre constante. A esta razo

chamamos de seno do ngulo e representamos por .

Tambm por semelhana de tringulos teremos que :

Ou seja, a razo entre o cateto adjacente a um determinado ngulo e a

hipotenusa de um tringulo retngulo sempre constante. A esta razo

chamamos de cosseno do ngulo e representamos por .

Tambm por semelhana de tringulos teremos que :

Ou seja, a razo entre o cateto oposto a um determinado ngulo e o cateto

adjacente ao mesmo ngulo de um tringulo retngulo sempre constante. A

esta razo chamamos de tangente do ngulo e representamos por .

Ainda por semelhana de tringulos teremos que :




4

Ou seja, a razo entre o cateto adjacente a um determinado ngulo e o

cateto oposto ao mesmo ngulo de um tringulo retngulo sempre constante.

A esta razo chamamos de cotangente do ngulo e representamos por

.

Resumindo :

Dado um tringulo retngulo qualquer de ngulos internos e , teremos

sempre que:

Das relaes acima conclumos diretamente que o seno de um ngulo igual

ao cosseno de seu complementar , o cosseno de um ngulo igual ao seno de

seu complementar, e que a tangente de um ngulo igual a cotangente (ou ao

inverso da tangente) de seu complementar.

Lembrando: ngulos complementares so aqueles cuja soma das medidas

resulta em um ngulo reto.




5

Ento,

Razes Trigonomtricas para alguns ngulos Notveis

Consideramos os valores de , comovalores de ngulos

notveis, para os quais os valores de Seno, Cosseno e Tangente esto listados

na tabela abaixo.

Medida do gulo (em graus)

seno cosseno tangente cotangente

No h

No h

Observao:

como a medida dos catetos nunca excede a medida da hipotenusa de

um tringulo retngulo, os valores de seno e cosseno dos ngulos

internos ao tringulo nunca excedem o valor de 1.

Note que quanto temos ngulos internos de , no temos

tringulos de fato, mas podemos estender o clculo do seno e cosseno

para estes casos.




6

Encontrando o valor de um ngulo a partir do valor de uma razo

trigonomtrica.

Se pensarmos em estabelecer uma relao entre o conjunto dos ngulos

no intervalo e o conjunto dos nmeros reais, veremos que tal relao

uma funo injetora. Portanto, pode-se estabelecer uma funo inversa pela

qual, a partir de uma valor dado de , podemos encontrar o valor de .

Sendo assim definimos para os ngulos internos de um tringulo

retngulo que :

Se , ento , e se , ento .

Ou seja,

Da mesma forma definimos:

e

Exemplos:

Medidas de Arcos de Circunferncia

Um arco de circunferncia a curva que temos que percorrer sobre uma

circunferncia para sairmos de um ponto A sobre ela e atingirmos um ponto B

sobre ela. Abaixo esto exemplificados os arcos , e




7

Note que, dados dois pontos sobre uma circunferncia h duas possibilidades

para traarmos arcos ligando estes dois pontos.

O Radiano

O radiano (smbolo rad) um arco unitrio cujo comprimento igual ao raio da

circunferncia que contm o arco a ser medido. Abaixo exemplificamos um

arco de medida igual a 1 radiano.

Sabemos que a razo entre o dimetro de uma circunferncia e seu permetro

sempre igual a 3,1415927..., que um nmero irracional que chamamos de

. Ou seja, se chamado de C o comprimento da circunferncia, temos

Ento, pela forma como definimos radianos, dizemos que um arco de

circunferncia completo (ou simplemente uma circunferncia) ter sempre o

comprimento de rad.

A correspondncia entre radianos e graus

Estabelecemos a seguinte correspondncia para a converso de unidades de

medida de arco de circunferncia:

Medidas de arcos e ngulos




8

Dado um ngulo , consideremos uma circunferncia de centro e raio .

Sejam e os pontos onde os lados do ngulo intercepta a

circunferncia traada.

Fazendo construes desta forma, a cada arco corresponder um nico

ngulo . Convencionando que a um arco unitrio corresponde um ngulo

central unitrio, decorre que o arco e o ngulo central correspondente

passam a ter a mesma medida.

Comprimento de arcos de circunferncia

Da forma como definimos, dado um arco de circunferncia medido em

radianos, sabemos que cada radiano corresponde a um carco cujo

comprimento ( o raio da circunferncia). Ento, dado o raio da

circunferncia e a medida do arco dada em radianos, o comprimento do arco

da circunferncia ( ) ser dado por: .




9

Exerccios

1)Calcular o valor da hipotenusa e da altura em relao hipotenusa num

tringulo retngulo cujos catetos medem 3 e 4.

Resposta: medida da hipotenusa .

Altura em relao hipotenusa

.

2)Calcule as medidas x,y,z e t, no tringulo abaixo:

Resposta:

.

3)Calcular a rea de um tringulo retngulo em que as projees dos

catetos sobre a hipotenusa medem, respectivamente, e .

Resposta: .

4)Qual a hipotenusa de um tringulo retngulo de permetro 56 e altura

igual a

.

Resposta: 25

5)A figura mostra um edifcio que tem 15 m de altura, com uma escada

colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifcio. Calcule o

comprimento dessa escada.




10

6)Na figura tem-se que BCAB e F ponto mdio do lado BE do retngulo

BCDE.

Qual a rea do retngulo

BCDE?

7)Aplicando as relaes mtricas nos tringulos retngulos abaixo,

determine o valor de x:

a) b)

c) d)

8)Com base no tringulo abaixo, assinale a alternativa correta.

6

n 12

3 9

b

3

62

x

y

h

b c

a

2 4




11

9)Assinale a opo correta dentre as alternativa abaixo.

10)O ngulo de elevao do p de uma rvore, a 50 m da base de uma encosta, ao topo da encosta de 60. Que medida deve ter um cabo para ligar o p da rvore ao topo da encosta?

11)Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o barco sob um ngulo de 90 com relao linha da costa e o outro sob um ngulo de 45. Qual deve ser a distncia entre o barco e costa, se a distncia entre os observadores igual a 50 metros?

12)Um barco parte de A para atravessar um rio. A direo de seu deslocamento forma um ngulo de 120 com a margem do rio. Sendo a largura do rio 60 m, qual a distncia AB percorrida pelo barco na viagem que faz de uma margem outra?

13)Calcular os ngulos internos de um tringulo retngulo no qual os

catetos medem 9 e 12 cm. Obs: Se no encontrar valores notveis para

as relaes trigonomtricas d a resposta em funo da relao

trigonomtrica inversa.

Resposta: Os dois ngulos internos medem

e

.

14)Calcular os lados de um tringulo retngulo cuja altura em relao

hipotenusa 4 e um dos ngulos .

Resposta: hipotenusa=

. Catetos:

e .




12

15)Calcule os ngulos de um tringulo retngulo de hipotenusa 20,

sabendo que a mediana relativa a um dos catetos mede 15. Obs: Se no

encontrar valores notveis para as relaes trigonomtricas d a

resposta em funo da relao trigonomtrica inversa.

Lembrete: a mediana de um tringulo a reta que liga um vrtice deste

tringulo ao ponto mdio do lado oposto a este vrtice.

Resposta:

e

16) (FFCLUSP 66)

Na figura ao lado, os ngulos

e , i= 1,2,... so retos. Quanto vale a soma dos

segmentos , , ...em funo da medida de ( ) e de ?

Resposta:

17)Calcular o ngulo formado pela diagonal e o menor lado de um

retngulo cujos lados esto na razo

. Se no encontrar valores

notveis para as relaes trigonomtricas d a resposta em funo da

relao trigonomtrica inversa.

Resposta:

.

18)Calcular a rea de um tringulo isceles cuja base mede 2 e

.

Resposta: .




13

19) Um observador v o topo de um prdio, construdo em um terreno

plano, sob um ngulo de . Afatando-se do edifcio mais 30 metros,

ele passa a ver o topo do prdio sob um ngulo de . Qual a altura

do prdio?

Resposta:

metros.

20)A partir de um ponto, observa-se o topo de um prdio sob um ngulo de 30. Caminhando 24 m em direo ao prdio, atingimos outro ponto, de onde se v o topo do prdio segundo um ngulo de 60. Desprezando a altura do observador, calcule, em metros, a altura do prdio.

21)Para medir a altura de um prdio, um agrimensor sobe ao seu topo e avista a base de uma rvore sob um ngulo de depresso de 30(ver figura). Em seguida, mede a distncia do prdio rvore e registra 1203m. Qual a altura do prdio?




14

22)Para obter a altura H de uma chamin, um engenheiro, com um aparelho especial, estabeleceu a horizontal AB e mediu os ngulos e tendo a seguir medido BC=h. Qual a altura da chamin em funo de e h ?

Resposta:

23)A seguir est representado um esquema de uma sala de cinema, com o

piso horizontal. De quanto deve ser a medida aproximada de AT para que um espectador sentado a 15 metros da tela, com os olhos 1,2 metros acima do piso, veja o ponto mais alto da tela, que T, a 30 da horizontal?

24) Converter para radianos

a. (Resposta:

)

b. (Resposta:

)

c. (Resposta:

)

d. (Resposta:

)

e. (Resposta:

)




15

25) Converter para Graus

a.

(Resposta: )

b.

(Resposta: )

c.

(Resposta: )

d.

(Resposta: )

e.

(Resposta: )

26) Transforme em radianos e

radianos em graus.

Resposta:

, e

.

27)Converter para radianos:

a. (Resposta:

)

b. (Resposta:

)

28)Qual a medida, em radianos, de um arco de 20 cm de comprimento

contido numa circunferncia de raio igual a 8 cm ?

Resposta: 2,5 radianos.

29)Um arco de circunferncia mede 30 cm e o raio da circunferncia mede

10 cm. Calcular a medida do arco em radianos.

Resposta: 3 rad.

30)Qual o comprimento de um arco correspondente a um ngulo de ,

contido numa circunferncia de raio igual a 1 cm ?

Resposta:

cm.

31)O ponteiro dos minutos de um relgio mede 10 cm. Qual a distncia

que sua extremidade percorre em 30 minutos?

Resposta: Aproximadamente 31,4 cm.

32) Calcular a medida do ngulo central que um arco de comprimento

determina em uma circunferncia de raio .

Resposta:




16

33)Calcular o menor dos ngulos formados pelos ponteiros de um relgio

que est marcando:

a. 1 h (Resposta: )

b. 1 h 15 min (Resposta: )

c. 1 h 40 min. (Resposta: )

Referncias

Dante, L. Roberto. Matemtica: Contexto e aplicaes. Volume 1. Ed. 3.

Impresso 1. Editora tica. So Paulo.2003.

Iezzi, Gelson (e outros). Fundamentos de Matemtica Elementar. Volume

3. Ed Atual. So Paulo. 1977.

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