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Trigonométrie
Plan• I) Cercle trigonométrique.
• II) Angles orientés et cercle trigo.
• III) Convertir des degrés en radians.
• IV) Des radians, mais pour quoi faire ? …
• V) Cosinus et Sinus d’un angle réél.
• VI) A RETENIR !
• VII) Fonction sinus
I) Cercle trigonométriqueDéfinition: On appelle cercle trigonométrique un cercle de centre O , de rayon 1, orienté dans le sens direct (+) c’est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Remarque : la longueur d’un tour complet est égale à 2. Celle d’un quart de tour : 2
)('' AA
Propriété : L’activité « Enroulement de la droite autour du cercle » montre que :
A chaque nombre x de la droite des réels , on peut associer un unique point du cercle.Exemple: x= /2 x = 5 /2 x = - 3/2 correspondent au point B
2
3
2
BB
2
3'
2'
BB
x = - /2 x = + 3/2 correspondent au point B’
II) Angles orientés et cercle trigo
II) Angles orientés et cercle trigo
]2[; xOMOA
)(2; kkxOMOA
)(22
; ZkkOBOA
]2[2
; OBOA
Lire « modulo 2 »
III) Convertir des degrés en radians
angle (°) angle(rad)180
x
180
xxrad
radx
x (°) 0 30 45 60 90 120 180 270 360
0 /6 /4 /3 /2 4/6 3/2 2radx
IV) Des radians … mais pour quoi faire ?
180
xRL
Longueur Angle (°)½
CercleR 180
Arc L x
L
)180
(
xRL
radxRL
Pour simplifier cette formule …
)]2;0[( radx
L
Exemple
cm
RL rad
6,26
5
rad
rad
cmR
6
1803030
5
V) Cosinus et Sinus d’un nombre réel
1- Définition :Soit M le point associé au réel x sur le cercle trigonométrique.
On appelle cosinus et sinus de x les coordonnées du point M dans le repère
cos x : abscisse du point Msin x : ordonnée du point M.
),,( OBOAO
x
xMsin
cos
V) Cosinus et Sinus d’un nombre réel
2- Exemples:cos (0) = 1
cos (/2) = 0
sin (0) = 0
0
1A
1
0B
sin (/2) = 1
cos () = -1
sin () = 0
0
1'A
10
'Bcos (- /2) = 0
sin (- /2) = -1
cos (3/2) = 0
sin (3/2) = -1
10
'B
V) Cosinus et Sinus d’un nombre réel
3- Propriétés :
-1 ≤ cos x ≤ 1-1 ≤ sin x ≤ 1
4- Formule :
(cos x)² + (sin x)² = 1
Preuve: Pythagore … encore lui …
Trg rectangle OHM: OH² + HM² = OM²
(cos x)² + (sinx)² = 1² = 1
VI) A retenir1- Angle orienté:
2- Conversion degré-radian :
)(2.; kkxOMOA
180deg
xxrad
)]2;0[( radrad xxRL
3- Calcul d’un arc de cercle :
4- cos x et sin x (x є ) :
x
xMsin
cosDans le repère ),,( OBOAO
VII) Fonction sinusVoir Activité sous geogebra : « construction fonction sinus »