Trojúhelník – I.část Mgr. Dalibor Kudela

Střední škola, Havířov-Šumbark, Sýkorova 1/613, příspěvková organizaceTento výukový materiál byl zpracován v rámci akce EU peníze středním školám - OP VK

1.5. Výuková sada – Matematika, DUM č.05

TrojúhelníkTrojúhelník je mnohoúhelník, který má právě tři strany a tři vrcholy. Strany značíme malými písmeny , vrcholy velkými písmeny .

Rozdělení trojúhelníků:

A: podle úhlů - ostroúhlý - tupoúhlý - pravoúhlý

B: podle stran - rovnoramenný - rovnostranný - obecný

Ostroúhlý trojúhelník

b

cA

C

B

a

• Všechny vnitřní úhly jsou ostré

0 ,90

Tupoúhlý trojúhelník

b

cA

C

B

a

• Právě jeden vnitřní úhel je tupý ,

zbývající dva úhly jsou ostré

90 ,180

Pravoúhlý trojúhelník

c - přeponaa - odvěsnab - odvěsna90°

ca

b AC

B• Právě jeden vnitřní

úhel je pravý – 90°, zbývající dva úhly jsou ostré

Rovnoramenný trojúhelník

• r - ramena• z - základna (má jiný

rozměr než ramena)

• výška na základnu půlí tuto základnu

r

zA

C

B

r

v

.

Rovnostranný trojúhelník

aA

C

B60 60

60aa

• všechny strany mají stejnou délku

• všechny vnitřní úhly mají velikost 60°

b

cA

C

B

a

Obecný trojúhelník• Každá strana a každý

úhel mají jinou velikost

• Součet všech vnitřních úhlů v libovolném trojúhelníku je 180°

α +ß + = 180°

a + b > ca + c > bb + c > a

Součet délek libovolných dvou stran trojúhelníku je větší než délka strana třetí. ( Trojúhelníková nerovnost)

Výška

b

cA

C

B

a

Výška trojúhelníku je kolmice spuštěná z vrcholu na protější stranu.Průsečík výšky s příslušnou stranou se nazývá pata kolmice.Každý trojúhelník má tři výšky.

Pc

.vc

vb

va

Pa

Pb

.

.

Výška u tupoúhlého trojúhelníku

b

cA

C

B

a

.

Dvě výšky u tupoúhlého trojúhelníku leží vně trojúhelníku.

vc

. vb

.va

Těžnice

b

cA

C

B

a

Těžnice je úsečka, která spojuje vrchol trojúhelníku se středem protější strany.

SaSb

Sc

T

Každý trojúhelník má tři těžnice.Všechny těžnice se protínají v těžišti. Těžiště rozděluje těžnici v poměru 2:1.

tc

ta tb

Střední příčka

b

cA

C

B

a

Střední příčka je úsečka, která spojuje středy dvou stran trojúhelníku.

Sb Sa

Sc

Každý trojúhelník má tři střední příčky.Střední příčka je rovnoběžná s příslušnou stranou a její délka je polovinou této strany.sa

sc

sb

b

cA

C

B

a

Kružnice vepsaná a opsaná trojúhelníku

Každému trojúhelníku lze vepsat a opsat kružnici.

Konstrukce kružnice vepsané trojúhelníku

b

cA

C

B

a

Střed kružnice vepsané je průsečíkem os jeho vnitřních úhlů

b

cA

C

B

a

Konstrukce kružnice opsané trojúhelníku

Střed kružnice opsané leží na průsečíku os stran

Úkol1) Sestrojte trojúhelník ABC, jehož strany mají délky: a = 8 cm,

b = 6 cm, c = 10 cm. V tomto trojúhelníku sestrojte těžnici ta, výšku vc a střední příčku sa, která je rovnoběžná se stranou a.

2) Sestrojte tupoúhlý trojúhelník KLM jehož strany mají délky: k = 4 cm, l = 8 cm, m = 10 cm. V tomto trojúhelníku sestrojte výšky vk a vl .

3) Sestrojte trojúhelník ABC, jehož strany mají délky: a = 8 cm, b = 6,5 cm, c = 10 cm a vepište mu kružnici.

4) Sestrojte trojúhelník ABC, jehož strany mají délky: a = 5 cm, b = 4,5 cm, c = 6 cm opište mu kružnici.