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1 www.pontodosconcursos.com.br Aula 1 – TRT 4ª Região – Parte 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS . .......................................................................................................... 2 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS . ...................................................................................... 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS . .................................................................................... 3 Propriedade comutativa da adição . ........................................................................................ 4 Propriedade associativa da adição . ......................................................................................... 4 Existência do elemento neutro da adição . .............................................................................. 4 Propriedade do fechamento da adição . .................................................................................. 5 Propriedade comutativa da multiplicação . ............................................................................. 6 Propriedade associativa da multiplicação . .............................................................................. 6 Existência do elemento neutro da multiplicação . ................................................................... 6 Propriedade do fechamento da multiplicação. ....................................................................... 7 Propriedade Distributiva . ......................................................................................................... 7 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS. . ..................................................................................... 11 REGRAS DOS SINAIS NAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS . ...................................... 12 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS . ................................................................................... 14 Potências . .................................................................................................................................. 33 Relação das questões comentadas nesta aula . ......................................................................... 38 Gabaritos . .................................................................................................................................. 45

TRT4 PACEXE BAS Matematica Guilherme Neves Aula 01 - Parte 01

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Aula 1 – TRT 4ª Região – Parte 1CONJUNTOS NUMÉRICOS . .......................................................................................................... 2

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS . ...................................................................................... 2

OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS . .................................................................................... 3

Propriedade comutativa da adição . ........................................................................................ 4

Propriedade associativa da adição. ......................................................................................... 4

Existência do elemento neutro da adição. .............................................................................. 4

Propriedade do fechamento da adição. .................................................................................. 5

Propriedade comutativa da multiplicação . ............................................................................. 6

Propriedade associativa da multiplicação. .............................................................................. 6

Existência do elemento neutro da multiplicação. ................................................................... 6

Propriedade do fechamento da multiplicação. ....................................................................... 7

Propriedade Distributiva . ......................................................................................................... 7

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS. . ..................................................................................... 11

REGRAS DOS SINAIS NAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS . ...................................... 12

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS. ................................................................................... 14

Potências . .................................................................................................................................. 33

Relação das questões comentadas nesta aula. ......................................................................... 38

Gabaritos . .................................................................................................................................. 45

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CONJUNTOS NUMÉRICOS

Não podemos ministrar um curso de Matemática sem falar sobre números. O engraçado é que definir o que é um número está fora do escopo deste curso. Para falar a verdade, é bem complicado definir o que são números...

O professor Giuseppe Peano (1858-1932) era um matemático notável.

Na introdução de seu trabalho intitulado Sul concetto de numero (1891), escreveu: Uma criança, desde tenra idade, usa as palavras um, dois, três, etc., posteriormente usa a palavra número; somente muito mais tarde a palavra agregado aparece em seu vocabulário. E como a filologia nos ensina, o desenvolvimento dessas palavras ocorre na mesma ordem nas línguas indo-européias. Portanto, do ponto de vista prático, a questão me parece resolvida; ou seja, não há vantagem, no ensino, definir número. Esta ideia é muito clara para os alunos e qualquer definição iria somente confundi-los.

Por outro lado, mesmo sem definir os “números”, todos nós temos uma noção bem definida sobre esses objetos matemáticos. E não precisamos falar que os números estão ao nosso redor como bem disse Pitágoras:

“Os números governam o mundo”.

Nesta primeira parte da aula, apresentaremos os chamados conjuntos numéricos e suas propriedades.

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

A noção de um número natural surge com a pura contagem de objetos. Ao contar, por exemplo, os livros de uma estante, temos como resultado um número do tipo:

0,1,2,3…

Obviamente não poderíamos ter um número negativo de livros. Também não poderíamos imaginar alguém falando: “Tenho 3,4231 livros na minha estante”.

A este conjunto denominamos conjunto dos números naturais.

Se por acaso houver a necessidade de excluir o número 0 (zero), indicaremos com um asterisco sobrescrito à letra N.

Este conjunto é chamado conjunto dos números naturais não-nulos.

1,2,3,4…

No conjunto dos números naturais, podemos definir apenas duas operações básicas: adição e multiplicação.

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Você deve estar se perguntando: “E por que não subtração e divisão?”

A questão é a seguinte: dizemos que uma operação está bem definida quando sempre podemos operar naquele conjunto. Por exemplo: Será que é sempre possível somar dois números naturais? É claro que sim!!

Podemos efetuar 2+3=5, 3+0=3 e assim por diante.

Ou seja, a soma de dois números naturais também é um número natural. Por isso, dizemos que o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à adição.

Será que é sempre possível multiplicar dois números naturais? É claro que sim!!

Podemos efetuar 3 x 5 = 15, 4 x 1 = 4, 8 x 0 = 0...

Podemos então concluir que o produto de dois números naturais é também um número natural. Ou seja, o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à multiplicação.

Será que é sempre possível subtrair dois números naturais? Agora respondemos em alto e bom tom... NÃO!!!

Podemos efetuar 5 – 3 = 2. Por outro lado, não podemos efetuar (no conjunto dos números naturais) 3 – 5. Isto porque o resultado desta operação é um número negativo. Podemos então dizer que o conjunto dos números naturais NÂO É FECHADO em relação à subtração.

Da mesma maneira sabemos que o conjunto dos números naturais NÃO É FECHADO em relação à divisão. Podemos efetuar 8 : 2 = 4, mas não podemos efetuar 2 : 8 (o resultado desta operação, como iremos ver adiante, é uma fração que não é um número natural).

Observe que falamos algumas expressões tipicamente matemáticas como soma, adição, multiplicação, produto, etc.

Qual é a diferença entre soma e adição? É a mesma coisa? Vejamos...

OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS

Como bem já dissemos, podemos definir apenas duas operações no conjunto dos números naturais: adição e multiplicação.

Vamos aprender detalhadamente cada uma dessas operações.

Considere o seguinte cálculo: 3 + 5 = 8.

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O símbolo “+” representa a operação de adição. O resultado da adição é chamado de soma.

Portanto “adição” e “soma” não têm o mesmo significado. Adição é o nome da operação. Soma é o resultado da adição.

Definimos então a operação de adição:

a,b parcelas c soma

a b c→⎡

+ = ⎢ →⎣

No nosso exemplo, os números 3 e 5 são as parcelas e 8 é a soma.

Vejamos algumas propriedades importantes da adição.

Propriedade comutativa da adição

Esta propriedade afirma que alterar a ordem das parcelas não altera a soma. Em símbolos:

para todos a,b Na b b a+ = + ∈

Obviamente sabemos que 3 + 5 = 8 e 5 +3 = 8, portanto 3 + 5 = 5 + 3.

Ex.: 4554 945954

+=+⎭⎬⎫

=+=+

Propriedade associativa da adiçãoA adição de três números naturais pode ser feita associando-se as duas primeiras ou as duas últimas parcelas. Aqui, devemos obedecer à regra de que devemos primeiro efetuar as operações que se encontram dentro dos parêntesis.

5)(3253)(2 10825)(32105553)2(

++=++⎭⎬⎫

=+=++=+=++

Existência do elemento neutro da adição

Existe o número 0 (zero) que possui a seguinte propriedade.

0 0

Desta forma, 5 + 0 = 0 + 5 = 5. Por esta razão, o número zero é chamado de elemento neutro da adição.

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Propriedade do fechamento da adição

A soma de dois números naturais é um número natural.

Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a adição é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai adicionar dois números naturais? Com certeza o resultado (a soma) será um número natural!! Não tem como a soma ser um número negativo, um número irracional, etc.

Vamos falar um pouquinho agora sobre a multiplicação. Observe o seguinte cálculo:

3 4 12

Podemos representar a operação da multiplicação por dois símbolos (ou nenhum como veremos adiante). Usualmente, utilizamos o ·.

Assim, 3 4 3 · 4 12.

Quando estamos trabalhando com letras ou com expressões dentro de parêntesis é muito comum não utilizamos símbolo algum para representar a multiplicação. Assim,

3 3 .

Ou seja, 3 3 · 3 .

Vamos nos deparar muitas vezes com expressões do tipo: 2 1 .

Observe que não há símbolo algum entre os parêntesis do meio. Esta expressão significa que devemos multiplicar as expressões que estão nos parêntesis.

Daqui por diante usaremos indistintamente os símbolos

2 1 2 · 1 2 1

·. Normalmente utilizaremos quando estivermos trabalhando exclusivamente com números e utilizaremos quando houver letras na expressão. Mas não se preocupe... Você pode utilizar qualquer um dos dois símbolos. Veja o que fica melhor esteticamente e utilize... Ok?

Podemos agora definir a operação da multiplicação, suas propriedades e nomenclaturas.

a,b fatores c produto

a b c→⎡

× = ⎢ →⎣

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Da mesma maneira que foi comentado na operação de adição, convém observar a diferença entre “multiplicação” e “produto”. Multiplicação é o nome da operação e produto é o resultado da multiplicação.

Propriedade comutativa da multiplicação

A ordem dos fatores não altera o produto.

É-me indiferente efetuar 3 x 4 ou efetuar 4 x 3. O resultado (produto) será o mesmo 12.

Desta forma, podemos afirmar que para todos a,bab ba N= ∈ .

Lembre-se que significa a vezes b. Ou seja,

· ·

2772 14271472

⋅=⋅⎭⎬⎫

=⋅=⋅

Propriedade associativa da multiplicação

A multiplicação de três números naturais pode ser feita associando-se os dois primeiros ou os dois últimos fatores.

5)(4354)(3 602035)(436051254)3(

⋅⋅=⋅⋅⎭⎬⎫

=⋅=⋅⋅=⋅=⋅⋅

Existência do elemento neutro da multiplicação

Existe o número 1 (um) que possui a seguinte propriedade:

· 1 1 ·

Ou seja, tanto faz efetuar 4 vezes 1 ou 1 vezes 4: o resultado é igual a 4.

Por essa razão, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicação.

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Propriedade do fechamento da multiplicação

O produto de dois números naturais é um número natural.

Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a multiplicação é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai multiplicar dois números naturais? Com certeza o resultado (o produto) será um número natural!! Não tem como o produto ser um número negativo, um número irracional, etc.

Temos ainda uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adição. É a chamada propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ou simplesmente propriedade distributiva.

Propriedade Distributiva

Antes de enunciar a propriedade seja com palavras seja com símbolos, vejamos um exemplo. Efetue 2 · 3 5 .

Existe uma hierarquia entre as operações matemáticas. Se não estivessem escritos os parêntesis, no caso, 2 · 3 5, deveríamos efetuar primeiramente 2 · 3 6 e em seguida adicionar o 5. No caso, 2 · 3 5 6 5 11.

Mas no nosso caso há os parêntesis. Devemos, portanto, ignorar a hierarquia das operações, pois devemos efetuar obrigatoriamente as operações que estão dentro dos parêntesis.

2 · 3 5 2 · 8 16

A propriedade distributiva nos diz que na multiplicação de uma soma por um número natural, multiplicam-se cada um dos termos por esse número e em seguida somamos os resultados. No caso, para efetuar 2 · 3 5 podemos multiplicar 2 por 3, multiplicar 2 por 5 e finalmente somar os dois resultados.

2 · 3 5 2 · 3 2 · 5 6 10 16

Utilizaremos bastante este fato ao trabalhar com “letras”... Por exemplo, a expressão 2 · 3 pode ser desenvolvida da seguinte maneira:

Ou simplesmente:

2 · 3 2 · 2 · 3 2 · 6

2 · 3 2 6

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01. (TCE/PB/2006/FCC) Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcionário responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a seguinte resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição de dois números naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos substituídos por letras.” M A R R A + M A R R A T O R T A

Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então, ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros do acervo dessa biblioteca é um número

a) menor que 70000.

b) compreendido entre 70000 e 75000.

c) compreendido entre 75000 e 80000.

d) compreendido entre 80000 e 85000.

e) maior que 85000.

Resolução

Vamos entender o enunciado. Ele simplesmente efetuou uma adição e trocou os algarismos por letras. Letras iguais correspondem a números iguais e letras distintas correspondem a algarismos distintos.

Olhemos inicialmente para os algarismos das unidades. Devemos descobrir um número tal que A A A+ = . Ou seja, qual é o número que somado com ele mesmo, é igual a ele mesmo?? Só pode ser o número zero!! Tem-se, então, que 0A = . Observe que 0 + 0 = 0 (lembre-se que o número zero é o elemento neutro da adição). Já podemos substituir as letras A por 0.

M 0 R R 0

M 0 R R 0

T O R T 0

Observe os algarismos das dezenas e das centenas. Aparentemente realizamos a mesma operação R R+ e obtemos dois resultados distintos. Isso se deve ao fato de a soma ser maior do que 10 e somos obrigados a acrescentar uma unidade na casa das centenas. Devemos testar R para o seguinte conjunto de valores: {5,6,7,8,9} (pois a soma deve ser maior do que 10).

Será que R = 5? Rapidamente concluímos que R não pode ser 5, pois ao efetuar R + R = 10, temos que T = 0. Mas lembre-se que letras distintas

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correspondem a algarismos distintos. E como A = 0, T não pode ser 0 e consequentemente R não pode ser 5.

Será que R = 6? Vejamos o que acontece... Lembre-se que 6 + 6 =12.

M 0 R=6 R=6 0

M 0 R=6 R=6 0

T O=1 R=3 T=2 0

Observe o absurdo. Ao efetuarmos 6 + 6 obtemos 12. Escrevemos o algarismo das unidades 2 no resultado e “subimos 1”. Na coluna do meio devemos efetuar R + R + 1 (este 1 é aquele que “subiu”). Temos que 6 + 6 + 1 = 13, então escrevemos o algarismo das unidades 3 e subimos 1. Temos agora que R = 3. Absurdo, já que estávamos supondo que R = 6.

Da mesma maneira, testando R = 7 e R = 8 chegamos a absurdos parecidos com o caso R = 6.

Chega-se a conclusão de que R=9.

0 9 9 0

0 9 9 0

9 8 0

Desse modo, sabemos que T=8. Logo, a soma será escrita da seguinte forma:

4 0 9 9 0

4 0 9 9 0

8 1 9 8 0

Logo, MARRA=81980.

Letra D

02. (Senado Federal/2008/FGV) Na operação de multiplicação abaixo, cada letra representa um algarismo

O valor de A+B+C é:

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a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

Resolução

3 1 3, 3 2 6, 3 3 9 3 4 12, 3 5 15, 3 6 18 3 7 21, 3 8 24, 3 9 27

× = × = × =× = × = × =× = × = × =

Ao multiplicarmos o algarismo C pelo número 3, obtemos um número cujo algarismo das unidades é igual a 4. Logo, 8C = . Como 3 8 24× = , ao efetuarmos o produto do número 3 pelo algarismo B, devemos adicionar 2 ao resultado.

1 A B 8

x 3

A B 8 4

O produto 3 B⋅ deverá ser um número cujo algarismo das unidades seja igual a 6, pois ao adicionarmos 2 teremos como resultado um número cujo algarismo das unidades é igual a 8. Logo, B=2, pois 3 2 6× = .

1 A 2 8

X 3

A 2 8 4

Finalmente, o número A deve ser tal que 3 A⋅ termine em 2. Portanto, 4A = .

1 4 2 8

X 3

4 2 8 4

Como 4A = , 2B = e 8C = , temos que 14A B C+ + = .

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Letra E

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

Vimos anteriormente que o conjunto dos números naturais é fechado em relação à adição e à multiplicação. Com o intuito de definir a operação “subtração” ampliaremos o conjunto dos números naturais.

Criamos, portanto, o conjunto dos números inteiros que é representado pela letra Z (inicial de zahl - número em alemão).

Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

Dizemos que o número – é o simétrico ou oposto do número .

Por exemplo, o número 5 é o simétrico de 5 e reciprocamente: 5 é o simétrico de 5.

Neste conjunto destacam-se os seguintes subconjuntos:

(1) Conjunto dos inteiros não nulos (diferentes de zero):

| 0 … 3, 2, 1,1,2,3,…

(2) Conjunto dos inteiros não positivos (menores ou iguais a zero):

| 0 … 3, 2, 1,0

(3) Conjunto dos inteiros não negativos (maiores ou iguais a zero):

| 0 0,1,2,3,4…

(4) Conjunto dos inteiros negativos (menores que zero):

| 0 … 3, 2, 1

(5) Conjunto dos inteiros positivos (maiores que zero):

| 0 1,2,3,4…

Observe que o número 0 não pertence ao conjunto dos inteiros positivos e não pertence ao conjunto dos inteiros negativos. Portanto, o número 0 (zero) não é positivo e não é negativo. Dizemos que zero é neutro.

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Observe que sempre que efetuarmos a adição de um número com o seu oposto (simétrico) o resultado será igual a 0. Desta forma:

5 5 0

2 2 0

3 3 0

Podemos então definir a operação “subtração” da seguinte maneira:

a minuendo b subtraendo c diferença

a b c→⎡

⎢− = →⎢⎢ →⎣

Rapidamente percebemos que a subtração não é uma operação comutativa. Basta olhar, por exemplo, que 5 – 3 = 2 e 3 – 5 = - 2. A subtração também não goza da propriedade associativa e não possui elemento neutro.

Podemos afirmar que o conjunto dos números inteiros é FECHADO em relação à subtração. Ou seja, se você vai calcular a diferença entre dois números inteiros, com certeza o resultado será um número inteiro.

Observe ainda que todos os números naturais são números inteiros, mas nem todos os números inteiros são naturais. Dizemos que o conjunto dos números naturais é subconjunto dos números inteiros.

REGRAS DOS SINAIS NAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS( )a− a − =

( ) ( ) ( )a b a b a b ab⋅ − = − ⋅ = − ⋅ = −

( ) ( )a b− ab ⋅ − =

As observações acima são conhecidas como “Regra dos sinais” para a multiplicação (e divisão) de inteiros.

Sinais dos números Resultado

iguais positivo

diferentes negativo

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Exemplos:

2 · 3 6

2 · 3 6

2 · 3 6

2 · 3 6

Vejamos como operar a adição e a subtração com números inteiros.

Se os números possuírem sinais iguais, devemos adicionar os números e repetir o sinal.

2 3 5

2 3 5

Se os números possuírem sinais opostos, devemos subtrair os números e repetir o sinal do maior.

5 2 3

5 2 3

03. (TRT/2006/FCC) O esquema abaixo representa a subtração de dois números inteiros, na qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras X, Y, Z e T.

Obtido o resultado correto, a soma X+Y+Z+T é igual a:

a) 12

b) 14

c) 15

d) 18

e) 21

Resolução

Podemos reescrever o enunciado da seguinte maneira:

Multiplicando (ou dividindo)números de mesmo sinalobtemos um resultado positivo.

Multiplicando (ou dividindo)números de sinais opostosobtemos um resultado negativo.

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Onde a primeira linha representa o minuendo, a segunda linha o subtraendo e a terceira linha representa a diferença.

Para descobrirmos o valor de Z, devemos perceber que 6 2 4− = . Portanto, 2Z = .

Para descobrirmos o valor de X, devemos perceber que 17 9 8− = . Portanto, 7X = .

Concluído esse raciocínio inicial, temos plenas condições de terminar a subtração.

7, 1, 2, 8 18

X Y Z TX Y Z T= = = =+ + + =

Letra D

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

Até o presente momento, conseguimos definir 3 operações básicas: adição, multiplicação e subtração. Com os números expostos não temos condições de definir a divisão. Isto porque com números inteiros podemos dividir 8 por 2, mas não podemos dividir 2 por 8. Para resolver este impasse, vamos definir o conjunto dos números racionais que é representado pela letra Q.

O número p é chamado numerador da fração e o número q é chamado denominador da fração.

O conjunto dos racionais é formado por todas as frações em que o numerador é inteiro e o denominador é um inteiro não-nulo e também por todos os

4 9 6

0 9

3 8 4

4 9 7 6 0 9 2

3 8 4

4 9 7 6 1 0 9 2 3 8 8 4

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números que podem ser representados desta forma. Todo número na forma de decimal finito ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração.

Todos os números naturais são números racionais, pois todos podem ser escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1.

221

Todos os números inteiros são números racionais, pois todos podem ser escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1.

221

Observe que o sinal pode ser colocado em qualquer lugar da fração. Desta forma:

21

21

21 2

Além dos números naturais e números inteiros, todos os números decimais finitos e as dízimas periódicas também são números racionais.

Números decimais finitos são números como 1,47 ; 2, 513 ; 3,0154.

Para transformar números decimais finitos na forma de fração devemos seguir os seguintes passos:

i) Colocar no numerador todo o número sem a vírgula.

ii) Colocar no denominador o número 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais.

1,47147100

2,5132.5131.000

3,015430.15410.000

Finalmente as dízimas periódicas. O que são dízimas periódicas? São números decimais com infinitas casas decimais. Só isso? Não...

É preciso que exista certo conjunto de números que se repitam periodicamente infinitas vezes. Vejamos alguns exemplos:

0,14141414141414141414141414141414141414141414….

Observe que o conjunto de dígitos 14 se repete infinitas vezes.

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32,021 …

Observe que o conjunto de dígitos 546 se repete infinitas vezes.

Pense em uma raça preguiçosa... pensou?

A raça mais preguiçosa que existe é a dos MATEMÁTICOS!

Os Matemáticos são tão preguiçosos que adoram inventar abreviações, notações e símbolos... Tudo para escrever pouco.

Imagine se estivéssemos dando esta aula em um quadro...Teríamos uma preguiça enorme de escrever

(Aqui no computador é muito fácil... Basta utilizar CTRL+C e CTRL+V!!)

32,021 …

A notação é a seguinte: utiliza-se uma barra em cima dos dígitos que se repetem, ou seja, do período. Portanto,

32,021546546546546546… 32,021546

Muito mais simples, não?

A pergunta que surge é a seguinte: se afirmamos que as dízimas periódicas são números racionais e os números racionais são representados por frações, como transformamos as dízimas periódicas em frações?

Existem diversos métodos para fazer esta transformação. Há livros que costumam separar as dízimas periódicas em simples e compostas. Há livros que fazem esta transformação utilizando sistemas de equações. Há outros que utilizam P.G. (progressão geométrica). Pela experiência que temos, julgamos o método abaixo como o mais simples por diversas razões.

i) Qual a utilidade de separar as dízimas periódicas em simples e compostas?

ii) Você gosta armar sistemas de equações e resolvê-los? Um pouco trabalhoso para resolver uma simples questão de dízima periódica, não?

iii) É realmente necessário aprender Progressão Geométrica para resolver uma simples questão de dízima periódica?

Vejamos um exemplo: transformar em fração o número 3,12851851851…

O primeiro passo é colocar naquela notação da barra que falamos anteriormente.

3,12851851851… 3,12851

Denominaremos “Número Completo” e abreviaremos por NC o número da dízima periódica sem a vírgula e sem a barra. No nosso exemplo,

312.851.

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Denominaremos “Número fora da barra” e abreviaremos por NFB os números que estão fora da barra. No nosso exemplo, 312.

Meio caminho já foi andado. O numerador da fração é o número .

Por enquanto, nossa fração está assim:

3,12851312.851 312

E como fica o denominador?

Você deve contar quantos algarismos estão embaixo da barra. No nosso caso, há 3 números embaixo da barra. A regra nos diz que devemos colocar no denominador tantos 9’s (noves) quantos forem os números embaixo da barra. Como são 3 números embaixo da barra, devemos colocar 3 noves no denominador.

3,12312.851 312

Pronto? Ainda não!! Falta só uma coisinha para terminar...

Vamos olhar agora para os números que estão “entre a vírgula e a barra”. Quantos são eles? 2!!!

A regra nos diz que devemos colocar tantos zeros quantos forem os algarismos entre a vírgula e a barra.

3,312.851 312

Pronto!!!

3,12851312.851 312

99.900312.539

Se você só acredita vendo... pegue uma calculadora e divida 312.539 por

99.900

99.900.

Muito fácil não??

E olhe que já colocamos como primeiro exemplo um número bem difícil.

Vamos praticar um pouco mais.

Transforme em fração o número 0,666666…

Vamos colocar na notação da barra.

0,666… 0, 6

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ú 6

ú 0

Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto, colocamos apenas um 9 no denominador.

Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não colocamos zeros no denominador.

0,666…6 09

69

23

Transforme em fração o número 0,13434343434…

Vamos colocar na notação da barra.

0,1343434… 0,134

ú 134

ú 1

Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9’s no denominador.

Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Apenas um!! Portanto, colocamos um zero no denominador..

0,1343434…134 1990

133990

Transforme em fração o número 0,999…

Vamos colocar na notação da barra.

0,999… 0, 9

ú 9

ú 0

Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto, colocamos apenas um 9 no denominador.

Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não colocamos zeros no denominador.

0,999…9 09

99 1

Portanto, 0,999… 1

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Observe que 0,99999999999... não é APROXIMADAMENTE 1!! É IGUAL a 1!!

A bem da verdade, 0,999… 1 representam o mesmo número. Apenas estão escritos de maneiras diferentes.

04. (BNB 2003/ACEP) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é igual a:

A) 88 B) 89 C) 90 D) 91 E) 92

Resolução

Para transformar a expressão decimal 0,011363636... em uma fração o primeiro passo é escrever na notação da barra.

0,011363636… 0,01136

ú 1.136

ú 11

Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9’s no denominador.

Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Três!! Portanto, colocamos três zeros no denominador.

0,011361.136 1199.000

1.12599.000

A questão pede que coloquemos a resposta na forma de fração irredutível. Fração irredutível é aquela que não pode mais ser simplificada. Claramente podemos simplificar o numerador e o denominador por 5.

1.12599.000

22519.800

Na realidade, podemos simplificar o numerador e o denominador por 5 várias vezes.

22519.800

453.960

9792

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Agora podemos simplificar o numerador e o denominador por 9.

9792

188

Agora não dá para simplificar mais. Temos, portanto, uma fração irredutível.

0,011363636…188

A questão pede para efetuar onde 1 88.

1 88 89

Letra B

Agora que já definimos o conjunto dos números racionais, podemos falar na divisão propriamente dita.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

→→→→

+⋅=

restorquocienteqdivisorddividendoD

r qdD ou d | D q r

Exemplo:

38 | ___9__2 4

Ou seja, 38 dividido por 9 é igual a 4 e resto 2. Isto porque 9 · 4 2 38.

Quando o resto de uma divisão é zero, dizemos que a divisão é exata.

É importante frisar que é impossível dividir por 0. Ou seja, o divisor nunca pode ser 0.

Assim, não há sentido na fração 5/0.

05. (ANVISA 2010/CETRO) Considere 0,00003 e 3.600.000. Desse modo, b/a vale

a) cento e vinte trilhões.

b) cento e vinte bilhões.

c) um bilhão e duzentos milhões.

d) cento e vinte milhões.

e) um milhão, cento e vinte mil.

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Resolução

Para efetuar a divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais e em seguida “apagar as vírgulas”.

3.600.000,000000,00003

360.000.000.0003 120.000.000.000

Letra B

06. (ALESP 2010/FCC) Ana Maria decidiu preparar uma torta cuja receita indicava 200 gramas de chocolate em barra. Em sua dispensa, havia uma barra de 350 gramas, mas ela não dispunha de uma balança para pesar a quantidade necessária. Então, ela decidiu dividir a barra em partes iguais e pegar a quantidade de partes que correspondessem a 200 gramas. Dentre os esquemas abaixo, em que os retângulos escuros correspondem às partes da barra de chocolate usadas por Ana Maria, aquele que representa os 200 gramas pedidos na receita é

Resolução

Para calcular a fração correspondente, devemos dividir a quantidade necessária de chocolate pelo total da barra.

200350

A priori, deveríamos dividir a barra de chocolate em 350 partes iguais e tomar 200 destas partes.

Por outro lado, para facilitar a vida de Ana Maria, podemos simplificar esta fração. Percebe-se facilmente que podemos simplificar a fração por 50.

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200 dividido por 50 é igual a 4 e 350 dividido por 50 é igual a 7.

200350

47

Vamos analisar cada uma das alternativas:

(A) FALSO. A barra foi dividida em 16 partes e foram tomadas 9 partes. A fração correspondente é igual a 9/16.

(B) FALSO. A barra foi dividida em 15 partes e foram tomadas 8 partes. A fração correspondente é igual a 8/15.

(C) VERDADEIRO. A barra foi dividida em 14 partes e foram tomadas 8 partes. A fração correspondente é igual a 8/14. Simplificando a fração por 2 temos:

814

47

(D) FALSO. A barra foi dividida em 12 partes e foram tomadas 8 partes. A fração correspondente é igual a:

812

23

(E) FALSO. A barra foi dividida em 10 partes e foram tomadas 6 partes. A fração correspondente é igual a:

610

35

Letra C

07. (Pref. de Salvador 2008/FCC) Um guarda municipal, em 2007, permaneceu como vigilante em três instalações municipais. Na primeira, ele trabalhou 1/4 de um ano; na segunda, durante 2/3 do que sobrou do ano. Descontando, do total de dias do ano, suas férias de 30 dias e folgas de 45 dias, quantos dias ele trabalhou na terceira instalação considerando o ano de 360 dias? (A) 15 (B) 18 (C) 20 (D) 30 (E) 45 Resolução

O problema manda considerar o ano de 360 dias.

Na primeira instalação municipal, ele trabalhou 1/4 de um ano.

14

14 · 360 90

Sobram 360 90 270 .

Na segunda instalação municipal, ele trabalhou 2/3 do que sobrou do ano.

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23 270

23 · 270 180

Ele teve ainda 30 dias de férias e 45 dias de folga.

Já temos no total: 90 180 30 45 345 .

Para completar o ano faltam 360 345 15 dias. Estes 15 dias correspondem aos dias trabalhados na terceira instalação municipal.

Letra A

08. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Do total de pessoas que estiveram comprando bilhetes nos guichês de uma estação do Metrô em certo dia, sabe-se que: 3/8 foi atendido por Dagoberto, 2/5 por Breno e as demais por Leandro. Nessas condições, o número de pessoas atendidas por Leandro corresponde a que fração do total de pessoas atendidas nesse dia?

(A) 1/5 (B) 9/40 (C) 1/4 (D) 19/40 (E) 31/40

Resolução

Dagoberto atendeu 3/8 das pessoas e Breno atendeu 2/5 das pessoas. Juntos, eles atenderam:

38

25

15 1640

3140

Isto significa que o total de pessoas foi dividido em 40 partes. Dagoberto e Breno, juntos, atenderam 31 destas partes. Destas 40 partes, sobram 40 31 9 . Desta forma, a fração correspondente às pessoas

atendidas por Leandro é igual a 9/40.

Letra B

09. (METRO-SP 2009/FCC) Certo artigo é vendido em uma loja ao preço de N reais a unidade. Ao conferir o total a ser pago pela compra de 14 unidades desse artigo, Orozimbo logo percebeu que o vendedor cometera um engano: ao efetuar a multiplicação de 14 por N, ele inverteu as posições do algarismo das unidades com o das dezenas de N e, com isso, obteve 2 142 reais. Nessas condições, de quantos reais a quantia certa a ser paga diferia da errada? (A) 212 (B) 224 (C) 252

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(D) 266 (E) 284

Resolução

Orozimbo multiplicou 14 por N (este N é “falso”) e obteve 2.142 reais.

14 · 2.142

2.14214 153

Como o problema informou que Orozimbo inverteu as posições do algarismo das unidades com o das dezenas de N, então o valor verdadeiro de N é 135. A quantia certa a ser paga é igual a:

A quantia certa a ser paga difere da errada

14 135 1.890

2.142 1.890 252 .

Letra C

10. (TCE-MG 2007/FCC) Considere o número inteiro e positivo X4Y, em que X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. Sabendo que 15 480 : (X4Y) = 24, então X4Y é um número compreendido entre

a) 800 e 1 000 b) 600 e 800 c) 400 e 600 d) 200 e 400 e) 100 e 200

Resolução

A expressão 15.480 : (X4Y) pode ser escrita assim:

15.4804

Temos então:

15.4804 24

O número (X4Y) que está dividindo, pode “passar para o segundo membro” multiplicando.

15.480 24 24 ( 4 ) 15.480 ( 4 ) 645 ( 4 )

X Y X YX Y

= ⇒ ⋅ = ⇒ =

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Letra B

11. (Agente de Estação – METRO-SP 2010/FCC) A soma de três números inteiros positivos é igual ao maior número inteiro de 5 algarismos distintos. Se adicionarmos a cada um dos números o maior número inteiro de 3 algarismos, a nova soma será igual a (A) 102 996. (B) 102 960. (C) 102 876. (D) 101 726. (E) 101 762.

Resolução

O maior número de 5 algarismos distintos é 98.765.

Vamos assumir que os três números inteiros positivos considerados são iguais a , .

Portanto, 98.765

O maior número inteiro de 3 algarismos é 999 (observe que aqui os algarismos não devem ser distintos).

Vamos adicionar a cada um dos 3 números o número 999.

Letra E

999 999 999 3 · 999 98.765 2.997 101.762

12. (Agente de Estação – METRO-SP 2010/FCC) Especialistas dizem que, em um carro bicombustível (álcool e gasolina), o uso de álcool só é vantajoso se o quociente do preço por litro de álcool pelo do de gasolina for, no máximo, igual a 70%. Se o preço do litro da gasolina é R$ 2,60, então NÃO é vantajoso usar álcool quando o preço por litro de álcool (A) é no máximo de R$ 1,70. (B) é superior a R$ 1,82. (C) está compreendido entre R$ 1,79 e R$ 1,86. (D) é igual a R$ 1,78. (E) é menor que R$ 1,80.

Resolução

Vamos calcular 70% do preço da gasolina.

70% 2,6070100 · 2,60 0,7 · 2,60 1,82

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Portanto, só é vantajoso utilizar o álcool se o seu preço for, no máximo, R$ 1,82. Não é vantajoso, portanto, utilizar o álcool se o seu preço for superior a R$ 1,82.

Letra B

13. (TCE-PB 2007/FCC) Quantos algarismos são usados para numerar de 1 a 150 todas as páginas de um livro?

a) 327 b) 339 c) 342 d) 345 e) 350

Resolução

Da página 1 até a página 9 são usados 9 x 1 = 9 algarismos.

Da página 10 até a página 99 são usados 90 x 2 = 180 algarismos.

Da página 100 até a página 150 são usados quantos algarismos?

Cada página tem 3 algarismos. Da página 100 até a página 150 são 51 páginas!

Portanto, teremos 51 x 3 = 153 algarismos.

Total: 9 + 180 + 153 = 342 algarismos.

Letra C

Questões envolvendo páginas de livros e quantidades de algarismos para escrever as páginas são muito frequentes em provas da FCC.

Por isso, desenvolvi uma “fórmula” para resolver instantaneamente questões deste tipo. Esta fórmula dá certo se o número de páginas do livro for maior que 99 e menor que 1.000. Ou seja, se o número de páginas tiver 3 algarismos (o número total de algarismos deve ser maior que 189).

Considerando que são páginas e algarismos para escrever estas páginas, a relação é a seguinte:

1083

Ou, isolando o A:

Vamos resolver novamente esta questão, substituindo o valor de

3 108

por 150.

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3 · 150 108

450 108

342

Muito fácil, não?

14. (Pref. de São Paulo 2008/FCC) Um livro tem N páginas numeradas de 1 a N. Se na numeração das páginas desse livro foram usados 657 algarismos, então N é igual a (A) 235 (B) 244 (C) 245 (D) 254 (E) 255

Resolução

Utilizando a relação que eu desenvolvi e mostrei na questão anterior (observe que o número de páginas P foi chamado de N).

1083

657 1083 255 á

Letra E

15. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Considere que na numeração das X páginas de um manual de instruções foram usados 222 algarismos. Se a numeração das páginas foi feita a partir do número 1, então (A) X < 95 (B) 94 < X < 110 (C) 109 < X < 125 (D) 124 < X < 130 (E) X > 129

Resolução

Questão idêntica!!

1083

222 1083 110 á

Letra C

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16. (TRF 1ª Região 2007/FCC) Um técnico judiciário foi incumbido da montagem de um manual referente aos Princípios Fundamentais da Constituição Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a contra-capa, a numeração das páginas foi feita a partir do número 1 e, ao concluí-la, constatou-se que foram usados 225 algarismos, o total de páginas que foram numeradas é (A) 97 (B) 99 (C) 111 (D) 117 (E) 126

Resolução

Mais uma!!

1083

225 1083 111 á

Letra C

17. (Delegado de Polícia - Pol. Civil – FCC 2006) Uma pessoa fez uma compra no valor de R$19,55. Tinha com ela as seguintes moedas: 15 de R$1,00; 10 de R$0,50; 8 de R$0,25; 8 de R$0,10 ; 4 de R$0,05. Se fez o pagamento utilizando a maior quantidade possível dessas moedas, então:

a) sobraram 7 moedas. b) sobraram 8 moedas. c) dentre as moedas que sobraram, 2 eram de R$0,10. d) dentre as moedas que sobraram, 2 eram de R$0,25. e) dentre as moedas que sobraram, 3 eram de R$0,05.

Resolução

As moedas totalizam R$ 23,00. Já que o pagamento é de R$ 19,55, o troco será de R$ 23,00 – R$ 19,55 = R$ 3,45. Se o pagamento deverá ser feito utilizando a maior quantidade possível de moedas, o troco deverá ser devolvido com a menor quantidade possível de moedas. Para devolver R$ 3,45 (troco) com a menor quantidade possível de moedas devemos utilizar 3 moedas de R$ 1,00, 1 moeda de R$ 0,25 e 2 moedas de R$ 0,10.

Letra C

18. (BAHIA GAS 2010/FCC) Sendo x e y números reais, definiremos a operação ☺ tal que x☺y é igual a x−y. Partindo-se dessa definição, é correto dizer que (x☺y)☺(y☺x) é igual a (A) 2x (B) 2y (C) 2(x−y) (D) −2(x−y)

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(E) −2x

Resolução

Podemos simplesmente substituir o símbolo ☺ pelo sinal da subtração.

(x☺y)☺(y☺x)=

Colocando o número 2 em evidência, temos:

2 2

2 2 2

Letra C

19. (Agente Administrativo DNOCS 2010/FCC) Seja Δ a operação definida por 3 5 , qualquer que seja o inteiro . Calculando 2 2obtém-se um número compreendido entre:

(A) −20 e −10 (B) −10 e 20 (C) 20 e 50 (D) 50 e 70 (E) 70 e 100

Resolução

Para calcular o valor de 2 devemos substituir o valor de por 2.

Para calcular o valor de

2 3 5 · 2 3 10 13

2 devemos substituir o valor de por 2.

2 3 5 · 2 3 10 7

Portanto, 2 7 .

Para calcular o valor de 7 devemos substituir o valor de por 7.

7 3 5 · 7 3 35 38

Desta forma:

Letra D

2 2 2 7 13 38 51

20. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Considere que é um número racional definido pela sentença . Calculando-se 11obtém-se um número

(A) negativo.

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(B) compreendido entre 0 e 1. (C) compreendido entre 1 e 2. (D) compreendido entre 2 e 3. (E) maior do que 3.

Resolução

Para calcular 11 devemos substituir por 11.

113 · 11 8

8258

Portanto:

11258

Para calcular devemos substituir por 25/8.

258

3 · 258 88

758 88

9,375 88

1,3758

Ao dividir um número positivo e menor que 8 por 8 obtemos um número que está compreendido entre 0 e 1. De fato:

1,3758 0,171875

Letra B

21. (MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá?

a) 12 horas b) 30 horas c) 20 horas d) 24 horas e) 16 horas

Resolução

Existe uma tática muito boa para resolver problemas envolvendo produção e tempo. A tática é a seguinte: perguntar o que cada objeto produz na unidade de tempo.

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A primeira torneira enche o tanque em 24 horas. Isto significa que eu posso dividir o tanque em 24 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora.

Desta maneira, a primeira torneira enche 1/24 do tanque em 1 hora.

A segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Isto significa que eu posso dividir o tanque em 48 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora. Como o tanque foi dividido em 48 partes, cada parte representa 1/48 do tanque. Ou seja, a segunda torneira enche 1/48 do tanque em 1 hora.

Ora, se a primeira torneira em 1 hora enche 1/24 do tanque e a segunda torneira em 1 hora enche 1/48 do tanque, então juntas em 1 hora encherão:

124

148

2 148

348

116

Analogamente, se juntas as torneiras enchem o tanque completamente em horas, em 1 hora encherão 1/x.

Assim:

1 116

16 .Letra E

O tanque foi dividido em 24 partes iguais. A torneiraenche cada parte em 1 hora, totalizando 24 horas.

Cada parte representa do tanque.

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Vamos agora criar uma resolução geral para problemas de produção e tempo?

Considere que um objeto execute um serviço em horas, outro objeto execute um serviço o mesmo serviço em horas, outro objeto execute o mesmo serviço em horas e assim por diante. Considere ainda que juntos, os objetos executem o serviço em horas. Temos a seguinte relação:

1 1 1

No nosso caso, a primeira torneira enche o tanque em 24 horas e a segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Elas enchem o tanque em .

124

148

1

2 148

1 348

1

Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:

3 · 1 · 48

483 16 .

22. (Oficial de Chancelaria – MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema foram incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a execução de tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos, eles executariam a tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de executá-la em 5 horas, o esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em a) 6 horas e 30 minutos. b) 7 horas e 30 minutos. c) 6 horas. d) 7 horas. e) 8 horas.

Resolução

Alfeu executa o serviço sozinho em 5 horas. Gema executa o serviço sozinha em horas. Juntos, executariam o serviço em 3 horas.

15

1 13

1 13

15

1 5 315

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1 215

Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:

2 · 1 · 15

152 7,5 7 30

Letra B

Potências

A multiplicação de fatores iguais pode ser escrita na forma de potência. Observe:

4 4 · 4 · 4 · 4 · 4 1.024

Na potência 4 4 é a base (fator que se repete) e 5 é o expoente (número de vezes que o fator se repete).

Sendo um número real e um número inteiro maior que 1, define-se:

· · … ·

Exemplos:

5 5 · 5 · 5 125

8 8 · 8 64

23

23

·23

49

2 2 · 2 · 2 8

• Toda potência de expoente 1 é igual a base.

IMPORTANTE

Se o expoente é um número par, o resultado da potência é positivo.

Se o expoente é ímpar e a base é um número negativo, o resultado dapotência é negativo.

Se a base é positiva, o resultado da potência é positivo.

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• Toda potência de expoente 0 é igual a 1.

1, 0

Observação: 0 é çã á .

• Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de expoente positivo.

1

Exemplos:

5 5

34

1

25

52

1258

515

15

Propriedades Operatórias

·

Em palavras:

• Para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes são adicionados.

• Para dividir potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes são subtraídos.

• Para elevar uma potência a outra potência, conserva-se a base e os expoentes são multiplicados.

Exemplos

5 · 5 5 5

55 5 5

5 5 · 5

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23. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) A soma dos algarismos do número 10 3 é:

a) 88 b) 89 c) 91 d) 95 e) 97

Resolução

Qual o significado de

Com dez fatores “x”.

· · · · · · · · ·

Portanto, 10 10.000.000.000

A soma dos algarismos é

10 3 10.000.000.000 3 9.999.999.997

9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 88.

Letra A

24. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Simplificando , encontra-se:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 221

Resolução

Vamos relembrar algumas propriedades das potências.

Lembre-se que para multiplicar duas potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. Assim,

·

/

E da mesma forma que · , temos que · (óbvio não?).

Como podemos utilizar estas propriedades para resolver esta questão?

Observe que 20 = 18+2 e 19 = 18 +1. Portanto:

2 2 2 · 2

2 2 2 · 2

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2 22

2 · 2 2 · 22

Podemos colocar 218 em evidência:

2 · 2 2 · 22

2 · 2 22

2 2 4 2 6

Letra C

25. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Simplificando a expressão onde n pertence ao conjunto dos números inteiros, obtém-se o seguinte resultado:

a) 1/3 b) 1/27 c) 3 d) 27 e) 1/9

Resolução

Vamos resolver de duas maneiras. A primeira, utilizando as propriedades vistas na questão anterior.

3 3 33 3 3

3 · 3 3 · 3 3 · 33 · 3 3 · 3 3 · 3

Vamos colocar 3n em evidência no numerador e no denominador.

3 · 3 3 · 3 3 · 33 · 3 3 · 3 3 · 3

3 · 3 3 33 · 3 3 3

3 3 33 3 3

3 3 33 3 3

13

19

127

9 3 1

9 3 12713

132713/1

1327

·113

127

Ufa! Trabalhoso... Vejamos uma maneira bem mais fácil!

Dê uma olhada para as alternativas. Percebeu que o valor de não influencia na resposta? Desta maneira, vamos escolher um valor arbitrário. É óbvio que vamos escolher um número bom! E qual seria um número bom? Eu escolheria o número 3 porque todos os expoentes deixam de ser negativos.

3 3 33 3 3

Esta é a expressão. Vamos substituir por 3.

3 3 33 3 3

3 3 33 3 3

9 3 1243 81 27

13351

Simplificando por 13...

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13351

127

Bem melhor, não?!

Letra B

26. (Pref. de Resende 2007/CEPERJ) Considere-se que 10 , 3 . O valor de tal que 10 9.000 é:

a) 3,628 b) 3,746 c) 3,882 d) 3,015 e) 3,954

Resolução

Perceba que

Mas o enunciado nos disse que

9.000 9 · 1.000 3 · 10

3 10 , .

Portanto:

9.000 9 · 1.000 3 · 10 10 , · 10

Lembre-se que para elevar uma potência a outra potência, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

9.000 10 , · 10 10 , · 10 10 , · 10 10 , 10 ,

10 9.000

10 10 ,

3,954

Letra E

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Relação das questões comentadas nesta aula

01. (TCE/PB/2006/FCC) Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcionário responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a seguinte resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição de dois números naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos substituídos por letras.” M A R R A + M A R R A T O R T A

Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então, ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros do acervo dessa biblioteca é um número

a) menor que 70000.

b) compreendido entre 70000 e 75000.

c) compreendido entre 75000 e 80000.

d) compreendido entre 80000 e 85000.

e) maior que 85000.

02. (Senado Federal/2008/FGV) Na operação de multiplicação abaixo, cada letra representa um algarismo

O valor de A+B+C é:

a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

03. (TRT/2006/FCC) O esquema abaixo representa a subtração de dois números inteiros, na qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras X, Y, Z e T.

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Obtido o resultado correto, a soma X+Y+Z+T é igual a:

a) 12

b) 14

c) 15

d) 18

e) 21

04. (BNB 2003/ACEP) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é igual a:

A) 88 B) 89 C) 90 D) 91 E) 92

05. (ANVISA 2010/CETRO) Considere 0,00003 e 3.600.000. Desse modo, b/a vale

a) cento e vinte trilhões.

b) cento e vinte bilhões.

c) um bilhão e duzentos milhões.

d) cento e vinte milhões.

e) um milhão, cento e vinte mil.

06. (ALESP 2010/FCC) Ana Maria decidiu preparar uma torta cuja receita indicava 200 gramas de chocolate em barra. Em sua dispensa, havia uma barra de 350 gramas, mas ela não dispunha de uma balança para pesar a quantidade necessária. Então, ela decidiu dividir a barra em partes iguais e pegar a quantidade de partes que correspondessem a 200 gramas. Dentre os esquemas abaixo, em que os retângulos escuros correspondem às partes da barra de chocolate usadas por Ana Maria, aquele que representa os 200 gramas pedidos na receita é

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07. (Pref. de Salvador 2008/FCC) Um guarda municipal, em 2007, permaneceu como vigilante em três instalações municipais. Na primeira, ele trabalhou 1/4 de um ano; na segunda, durante 2/3 do que sobrou do ano. Descontando, do total de dias do ano, suas férias de 30 dias e folgas de 45 dias, quantos dias ele trabalhou na terceira instalação considerando o ano de 360 dias? (A) 15 (B) 18 (C) 20 (D) 30 (E) 45

08. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Do total de pessoas que estiveram comprando bilhetes nos guichês de uma estação do Metrô em certo dia, sabe-se que: 3/8 foi atendido por Dagoberto, 2/5 por Breno e as demais por Leandro. Nessas condições, o número de pessoas atendidas por Leandro corresponde a que fração do total de pessoas atendidas nesse dia?

(A) 1/5 (B) 9/40 (C) 1/4 (D) 19/40 (E) 31/40

09. (METRO-SP 2009/FCC) Certo artigo é vendido em uma loja ao preço de N reais a unidade. Ao conferir o total a ser pago pela compra de 14 unidades desse artigo, Orozimbo logo percebeu que o vendedor cometera um engano: ao efetuar a multiplicação de 14 por N, ele inverteu as posições do algarismo das unidades com o das dezenas de N e, com isso, obteve 2 142 reais. Nessas condições, de quantos reais a quantia certa a ser paga diferia da errada? (A) 212 (B) 224

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(C) 252 (D) 266 (E) 284

10. (TCE-MG 2007/FCC) Considere o número inteiro e positivo X4Y, em que X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. Sabendo que 15 480 : (X4Y) = 24, então X4Y é um número compreendido entre

a) 800 e 1 000 b) 600 e 800 c) 400 e 600 d) 200 e 400 e) 100 e 200

11. (Agente de Estação – METRO-SP 2010/FCC) A soma de três números inteiros positivos é igual ao maior número inteiro de 5 algarismos distintos. Se adicionarmos a cada um dos números o maior número inteiro de 3 algarismos, a nova soma será igual a (A) 102 996. (B) 102 960. (C) 102 876. (D) 101 726. (E) 101 762.

12. (Agente de Estação – METRO-SP 2010/FCC) Especialistas dizem que, em um carro bicombustível (álcool e gasolina), o uso de álcool só é vantajoso se o quociente do preço por litro de álcool pelo do de gasolina for, no máximo, igual a 70%. Se o preço do litro da gasolina é R$ 2,60, então NÃO é vantajoso usar álcool quando o preço por litro de álcool (A) é no máximo de R$ 1,70. (B) é superior a R$ 1,82. (C) está compreendido entre R$ 1,79 e R$ 1,86. (D) é igual a R$ 1,78. (E) é menor que R$ 1,80.

13. (TCE-PB 2007/FCC) Quantos algarismos são usados para numerar de 1 a 150 todas as páginas de um livro?

a) 327 b) 339 c) 342 d) 345 e) 350

14. (Pref. de São Paulo 2008/FCC) Um livro tem N páginas numeradas de 1 a N. Se na numeração das páginas desse livro foram usados 657 algarismos, então N é igual a (A) 235 (B) 244

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(C) 245 (D) 254 (E) 255

15. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Considere que na numeração das X páginas de um manual de instruções foram usados 222 algarismos. Se a numeração das páginas foi feita a partir do número 1, então (A) X < 95 (B) 94 < X < 110 (C) 109 < X < 125 (D) 124 < X < 130 (E) X > 129

16. (TRF 1ª Região 2007/FCC) Um técnico judiciário foi incumbido da montagem de um manual referente aos Princípios Fundamentais da Constituição Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a contra-capa, a numeração das páginas foi feita a partir do número 1 e, ao concluí-la, constatou-se que foram usados 225 algarismos, o total de páginas que foram numeradas é (A) 97 (B) 99 (C) 111 (D) 117 (E) 126

17. (Delegado de Polícia - Pol. Civil – FCC 2006) Uma pessoa fez uma compra no valor de R$19,55. Tinha com ela as seguintes moedas: 15 de R$1,00; 10 de R$0,50; 8 de R$0,25; 8 de R$0,10 ; 4 de R$0,05. Se fez o pagamento utilizando a maior quantidade possível dessas moedas, então:

a) sobraram 7 moedas. b) sobraram 8 moedas. c) dentre as moedas que sobraram, 2 eram de R$0,10. d) dentre as moedas que sobraram, 2 eram de R$0,25. e) dentre as moedas que sobraram, 3 eram de R$0,05.

18. (BAHIA GAS 2010/FCC) Sendo x e y números reais, definiremos a operação ☺ tal que x☺y é igual a x−y. Partindo-se dessa definição, é correto dizer que (x☺y)☺(y☺x) é igual a (A) 2x (B) 2y (C) 2(x−y) (D) −2(x−y) (E) −2x

19. (Agente Administrativo DNOCS 2010/FCC) Seja Δ a operação definida por 3 5 , qualquer que seja o inteiro . Calculando 2 2obtém-se um número compreendido entre:

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(A) −20 e −10 (B) −10 e 20 (C) 20 e 50 (D) 50 e 70 (E) 70 e 100

20. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Considere que é um número racional definido pela sentença . Calculando-se 11obtém-se um número

(A) negativo. (B) compreendido entre 0 e 1. (C) compreendido entre 1 e 2. (D) compreendido entre 2 e 3. (E) maior do que 3.

21. (MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá?

a) 12 horas b) 30 horas c) 20 horas d) 24 horas e) 16 horas

22. (Oficial de Chancelaria – MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema foram incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a execução de tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos, eles executariam a tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de executá-la em 5 horas, o esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em a) 6 horas e 30 minutos. b) 7 horas e 30 minutos. c) 6 horas. d) 7 horas. e) 8 horas.

23. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) A soma dos algarismos do número 10 3 é:

a) 88 b) 89 c) 91 d) 95 e) 97

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24. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Simplificando , encontra-se:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 221

25. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Simplificando a expressão onde n pertence ao conjunto dos números inteiros, obtém-se o seguinte resultado:

a) 1/3 b) 1/27 c) 3 d) 27 e) 1/9

26. (Pref. de Resende 2007/CEPERJ) Considere-se que 10 , 3 . O valor de tal que 10 9.000 é:

a) 3,628 b) 3,746 c) 3,882 d) 3,015 e) 3,954

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Gabaritos01. D 02. E 03. D 04. B 05. B 06. C 07. A 08. B 09. C 10. B 11. E 12. B 13. C 14. E 15. C 16. C 17. C 18. C 19. D 20. B 21. E 22. B 23. A 24. C 25. B 26. E