TS Exercices sur les nombres complexes (1) ?· 3°) Étant donné un nombre complexe z distinct de i,…

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  • TS Exercices sur les nombres complexes (1) 1 Calculer en donnant le rsultat sous forme algbrique 1 2 i 3 2iz ;

    42 1 iz ;

    3 5 2i 5 2iz ; 41 3i i 12

    z

    ; 51

    2 iz

    ; 6

    1 3i1 i

    z

    ; 714i

    z .

    On prsentera les calculs en colonnes. Vrifier les rsultats laide de la calculatrice. 2 Rsoudre dans lquation 2i 3 iz z 1 .

    3 Rsoudre dans 2 le systme () 3 5 2i 1 iz z'z z'

    .

    Indications : Il sagit dun systme linaire de deux quations deux inconnues. Calculer dabord le dterminant. Ne pas poser iz a b . 4 Pour tout nombre complexe i z x y 2;x y , on pose 2Z z z . Dterminer lcriture algbrique de Z en fonction de x et y. En dduire Re Z et Im Z en fonction de x et de y.

    5 Pour tout nombre complexe 1z , on pose 1

    zZz

    .

    On pose i z x y , x et y tant deux rels tels que ; 1 ; 0x y . Dterminer lcriture algbrique de Z en fonction de x et y. On organisera les calculs de manire mthodique. Exprimer Re Z et Im Z en fonction de x et de y (ne pas dvelopper les dnominateurs). 6 Soit un rel. On pose i 5 i 7z . Dterminer tel que iz . 7 Rsoudre dans lquation 2 i 5 4iz z . 8 Rsoudre dans lquation i 2 5i 0z z . Indication : ne pas poser iz a b . 9 Pour tout rel , on pose 1 cos i sinz et 2 1 2 cos i sin 2z . 1) Dterminer les rels tels que 1z soit un rel. 2) Dterminer les rels tels que 2z soit un imaginaire pur.

    10 Rsoudre dans lquation 23i 3i6 13 0

    2 2z zz z

    .

    11 Rsoudre dans lquation 4 22 3 0z z .

    12 Rsoudre dans 2 le systme () 2

    17z z'

    zz'

    .

    On raisonnera par quivalences. 13 1) Factoriser le polynme 4 1P Z Z laide de quatre facteurs du premier degr et rsoudre dans lquation Z 0P .

    2) En dduire la rsolution dans de lquation 42 1 1

    1zz

    E .

    14 On se propose de rsoudre dans lquation 4 3 25 6 5 1 0z z z z E . 1) Vrifier que 0 nest pas solution de (E).

    2) Soit z un nombre complexe non nul. On pose 1Z zz

    .

    a) Calculer 2Z en fonction de z. b) Dmontrer que z solution de (E) 2 5 4 0Z Z (F). 3) Rsoudre lquation (F). 4) En dduire les solutions de (E). 15 On considre le polynme complexe 3 22 3i 3 1 2i 9iP z z z z . Le but de lexercice est de rsoudre dans lquation 0P z (E). 1) a) Soit x un rel quelconque. Calculer iP x en fonction de x ; donner le rsultat sous forme algbrique. b) Dterminer x tel que i 0P x . En dduire que le polynme P z admet une racine imaginaire pure. 2) En utilisant la racine dtermine prcdemment, dterminer une factorisation de P z . 3) En dduire les solutions dans de lquation (E). 16 Rsoudre dans lquation 2 1 0z z E . Indication : Poser iz x y o x et y sont deux rels et dmontrer que E est quivalente un systme de deux quations deux inconnues. Dans les exercices 17 23 , on se place dans le plan complexe P muni dun repre orthonorm direct

    O, ,u v . 17 On considre les points A 1 3i , B 2 i , C 3 3i et D i . Dterminer la nature du quadrilatre ABCD en travaillant avec les affixes. 18 On considre les points A 3 2i , B 5 4i , C 6 5i . Dmontrer que A, B, C sont aligns en travaillant avec les affixes. 19 On considre les points A 1 4i , B 5 3i et C 9 i . Dterminer laffixe du point D tel que le quadrilatre ABCD soit un paralllogramme.

  • 20 Pour tout nombre complexe i z x y ( 2;x y ), on pose 2 i 2 3i 1Z z z z z . 1) Exprimer Re Z et Im Z en fonction de x et de y. 2) On se place dans le plan complexe P muni dun repre orthonorm direct O, ,u v . Dterminer lensemble E des points M du plan complexe daffixe z tels que Z soit rel. On rdigera sur le modle suivant recopier et complter (rdaction sous la forme dune chane dquivalences) On rajoutera le nombre de lignes ncessaires et lon fera attention bien crire les symboles dquivalence les uns sous les autres. Soit M un point quelconque de P daffixe z. On pose i z x y avec 2;x y . M E Z

    Im 0Z

    . 3) Dterminer lensemble F des points M de P daffixe z tels que Z soit imaginaire pur. Reprsenter F sur une figure en prenant 2 cm ou 2 gros carreaux pour unit graphique. 21 tout point M daffixe z on associe le point M' daffixe 22 3iz' z z .

    1) a) Sur un graphique, placer les points A, B, C, D, E daffixes respectives 2i, 1, 31 i4

    , 2i, 1.

    On prendra 2 cm (ou 2 gros carreaux ) pour unit graphique. b) Dterminer les affixes des points A ' , B' , C ' , D' et E ' , puis placer ces points sur le graphique prcdent.

    Rappel de notation : On note Az , Bz , Cz , Dz , Ez les affixes respectives de A, B, C, D, E.

    On note A'z , B'z , C'z , D'z , E'z les affixes respectives de A ' , B' , C ' , D ' , E ' .

    2) On pose iz x y et ' ' i 'z x y , avec x, y, x', y' rels. a) Exprimer x' et y' en fonction de x et y. b) Dterminer et tracer lensemble F des points M du plan tels que M ' appartienne laxe des abscisses. On rdigera sur le modle suivant recopier et complter. Soit M un point quelconque de P daffixe z. On pose i z x y avec 2;x y . M F M ' Ox 'z

    Im ' 0z

    c) Quelles vrifications peut-on faire par rapport aux points A, B, C, D, E ? 22 Le plan complexe P est muni dun repre orthonorm direct O, ,u v .

    On note A le point daffixe i et on pose * \ AP P ( plan P priv du singleton {A} ou plus court plan P priv du point A ). On note f lapplication de P* dans P qui, tout point M de P*, daffixe iz , associe le point M ' daffixe

    ii

    zz'z

    .

    (Laffixe de limage M ' du point M par f est donc donne par MM'M

    ii

    zzz

    ; attention alors la place du

    prime !). 1) Dterminer les points invariants par f (cest--dire confondus avec leur image). On rdigera ainsi la recherche : M est invariant par f si et seulement si M ' M sous la forme dune chane dquivalences et lon conclura ainsi : Les points invariants par f sont les points . et .. . 2) Soit B le point daffixe 2. a) Dterminer laffixe du point B' image de B par f (il sagit donc de calculer B'z ; dans la notation la place du prime). b) Dterminer laffixe du point C, antcdent de B par f. Que remarque-t-on ? 3) tant donn un nombre complexe z distinct de i, on pose i z x y et ' ' i 'z x y , avec x, y, x', y' rels. a) Exprimer x' et y' en fonction de x et y. b) Dterminer lensemble E des points M du plan daffixe z, distincts de A, pour lesquels z' est rel. Soit M un point quelconque de P daffixe iz . On pose i z x y avec 2;x y . M E 'z

    Im ' 0z

    Faire une figure dans le plan. On prendra 4 cm (ou 4 gros carreaux ) pour unit graphique. Placer le point A et reprsenter lensemble E. 23 Le plan complexe P est muni dun repre orthonorm direct O, ,u v . tout nombre complexe 4z , on associe le nombre complexe i 4

    4zZz

    .

    On note A le point daffixe 4. 1) On pose i z x y et iZ X Y , avec x, y, X, Y rels. Exprimer X et Y en fonction de x et y. 2) Dterminer lensemble E des points M du plan complexe, distincts de A et daffixe z, tels que Z soit rel. Faire une figure dans le plan. On prendra 2 cm (ou 2 gros carreaux ) pour unit graphique. Placer le point A et reprsenter lensemble E.

  • Corrig

    2 dsigne lensemble des couples de rels. 2 est lensemble des couples ;x y avec x et y .

    Le 2 en exposant se rfre au fait quun couple est form de deux lments. Un couple est not avec des parenthses. Il y a un ordre.

    1 Calculs dans

    1 8 iz ; 2 4z ; 3 29z , 41 4i2

    z ; 52 1 i5 5

    z ; 6 2 iz ; 7i4

    z

    Conseil : vrifier les calculs avec la calculatrice ou avec un logiciel de calcul formel. Dtail des calculs :

    21 2 i 3 2i 6 4i 3i 2i 8 iz On applique la double distributivit.

    On ncrit pas 1Re 8z ; 1Im 1z car ce nest pas demand. Lnonc demande juste de calculer et de donner le rsultat sous forme algbrique ce que nous avons fait.

    24 2 2 2

    2 1 i 1 i 1 2i 1 2i 4z

    On pourrait aussi utiliser lidentit remarquable 4a b et le triangle de Pascal.

    223 5 2i 5 2i 5 2i 25 4 29z

    41 13i i 1 4i2 2

    z

    ( on fait tomber les parenthses )

    5 2 2 21 2 i 2 i 2 i 2 i

    2 i 2 i 2 i 2 2 1 5z

    i

    On applique lidentit : 2 2i ia b a b a b .

    Le rsultat 52 i

    5z est considr comme forme algbrique (il nest pas ncessaire de repasser 5

    2 1 i5 5

    z )

    52 i

    5z : on nest pas oblig de sparer .

    61 3i 1 i 1 2i 3 4 2i 2 i1 i 1 i 2 2

    z

    71 1 i i i4i 4i i 4 4

    z

    On multiplie le numrateur et le dnominateur par i.

    2 Rsolution dune quation dans On rdige par quivalences. (1)

    On trouve 1 7 i5 5

    S

    .

    Solution dtaille : Rsolvons dans lquation 2i 3 iz z 1 . On rsout comme une quation normale avec les rels. On rassemble les z dans le membre de gauche et les nombres dans le membre de droite. 1 2i i 3z z 2i 1 i 3z (on a factoris le membre de gauche par z)

    i 32i 1

    z

    i 3 2i 12i 1 2i 1

    z

    (a