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Título: Estudio y construcción del inversor de Hart

Resumen: para llevar a cabo nuestro trabajo, hemos realizado una investigación sobre la inversión y

las ideas matemáticas involucradas en el funcionamiento del inversor de Hart. Con la finalidad de

construir un mecanismo inversor de Hart que pasara por una recta preestablecida, hemos diseñado

un par de simulaciones. Nos hemos percatado que el diseño de tal mecanismo no es sencillo pues un

diseño inadecuado o bien errores en su armado conllevan mecanismos con poca movilidad. El

mecanismo que diseñamos tiene un desempeño aceptable. Nuestra investigación se desarrolló en

nuestra escuela y contamos con apoyo de un profesor de la Facultad de Ciencias1.

Introducción

Cuestiones históricas

Desde hace mucho tiempo, las conexiones articuladas se han empleado en la construcción de

máquinas. Dentro de los problemas a resolver se encuentra la transformación de un movimiento

circular a uno rectilíneo. Con respecto a este problema James Watt encontró una solución aproximada

y pese a los esfuerzos de muchos matemáticos, el problema estuvo un tiempo sin solución. Fue por

ello una gran sorpresa cuando, en 1864, un oficial naval francés, Peaucellier, inventó una sencilla

conexión que resolvía el problema (Courant & Herbert, 1979).

Otra conexión que resuelve el problema es el mecanismo inversor de Hart, el cual realiza una labor

similar al inversor de Peaucellier, pero comparado con este usa menos barras (Bogomolny, 2018). El

mecanismo inversor de Hart es un enlace mecánico que genera un movimiento rectilíneo perfecto a

partir de un movimiento circular y viceversa sin necesidad de utilizar guías correderas. Fue ideado y

publicado por el matemático y geómetra británico Harry Hart en 1874–1875 (Wikipedia, 2018).

Marco teórico

¿Qué es la inversión?

Dada una circunferencia con radio 𝑟 y centro en 𝑂, si se define un punto 𝑃 y la semirrecta 𝑂𝑃, entonces

el punto inverso de 𝑃, es el punto 𝑄 tal que cumple la relación (ver la figura 1):

𝑂𝑃 ∙ 𝑂𝑄 = 𝑟2

1 Se omiten nombres de acuerdo con las normas de participación.

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Figura 1. Definición de inversión.

Al centro de la circunferencia se le llama centro de inversión, mientras que a la circunferencia se le

llama circunferencia de inversión. A la transformación de un punto en su punto inverso, se le llama

inversión.

Dentro de las propiedades más importantes de la inversión podemos mencionar las siguientes:

Si un punto 𝑃 es inverso de un punto 𝑄, entonces 𝑄 es el inverso de 𝑃; es decir que si un punto es

inverso de otro, entonces el inverso del inverso es el mismo punto.

Si un punto 𝑃 está dentro de la circunferencia de inversión, entonces su inverso está afuera (figura 2

izquierda). Si el punto 𝑃 está afuera de la circunferencia de inversión, entonces su inverso está adentro

de la circunferencia (figura 2 centro). Si el punto 𝑃 está en la circunferencia de inversión, entonces es

su mismo inverso (figura 2 derecha). Además, el inverso del centro de la circunferencia no está

definido.

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Figura 2. Relación entre un punto y su inverso con respecto a la circunferencia de inversión.

Cualquier recta que no pase por el centro 𝑂 se transforma en una circunferencia la cual si pasa por el

centro y viceversa, como se muestra en la figura 3. En dicha figura se aprecia un ejemplo en cual se

visualiza que cuando la recta pasa por afuera de la circunferencia de inversión, su inverso traza la

parte de una circunferencia por dentro de la circunferencia de inversión y cuando el punto sobre la

recta pasa por dentro del círculo, la circunferencia se está trazando por fuera.

Figura 3. Una recta que no pasa por el origen se transforma en una circunferencia que sí pasa por el centro de inversión.

Un poco de propiedades geométricas del contraparalelogramo

El contraparalelogramo es un cuadrilátero con dos pares de lados iguales, en los cuales un par de

lados se cortan entre sí.

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Figura 4. Propiedades del contraparalelogramo.

Considerando el contraparalelogramo 𝐴𝐷𝐸𝐶, si trazamos el segmento 𝐴𝐸 (ver figura 5 izquierda),

podemos apreciar que Δ𝐴𝐶𝐸 = Δ𝐸𝐷𝐴 por 𝐿𝐿𝐿; en consecuencia ∠𝐴𝐶𝐸 = ∠𝐸𝐷𝐴 = 𝛽. Por otra parte, si

trazamos el segmento 𝐶𝐷 (ver figura 5 derecha), puede apreciarse que Δ𝐴𝐶𝐷 = Δ𝐸𝐷𝐶 por 𝐿𝐿𝐿 y en

consecuencia ∠𝐶𝐴𝐷 = ∠𝐷𝐸𝐶 = 𝜃. Finalmente puede concluirse que Δ𝐴𝐶𝑋 = Δ𝐸𝐷𝑋 por 𝐴𝐿𝐴 porque

tienen iguales los lados 𝐴𝐶 y 𝐶𝐸 y comunes los ángulos 𝛽 y 𝜃, con lo cual también puede concluirse

que 𝐶𝑋 = 𝑋𝐷 y 𝐴𝑋 = 𝑋𝐸. En la figura 4 derecha, se muestra un contraparalelogramo con estas

relaciones especificadas.

Figura 5. Construcciones auxiliares en contraparelelogramos.

Explicación del funcionamiento del inversor de Hart

Para describir el funcionamiento del inversor de Hart, primero señalaremos que si se traza una recta

por dos vértices de un contraparalelogramo y luego se traza una perpendicular hacia dicha recta que

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pase por los vértices opuestos, como se muestra en la figura 6, entonces se forman dos triángulos

rectángulos congruentes.

Figura 6. Situación que se presenta en el inversor de Hart.

La afirmación anterior puede evidenciarse si se considera que por ser un contraparelogramo ∠𝐴𝐵𝐶 =

∠𝐴𝐷𝐶 = 𝜃 y además como 𝐵𝑋 = 𝑋𝐷, entonces Δ𝐵𝑋𝐷 es isósceles y ∠𝑋𝐵𝐷 = ∠𝑋𝐷𝐵 = 𝛼. Luego de la

suma de ángulos se cumple:

𝜔1 + 𝜃 + 𝛼 = 180°

𝜔2 + 𝜃 + 𝛼 = 180°

De donde se concluye que 𝜔1 = 𝜔2. Además, como ∠𝐴𝐸𝐵 = ∠𝐶𝐹𝐷 = 90°, puede concluirse ∠𝐵𝐴𝐸 =

∠𝐹𝐶𝐷 = 𝛿 y entonces Δ𝐵𝐴𝐸 = Δ𝐹𝐶𝐷 por 𝐴𝐿𝐴.

Teniendo en mente el resultado anterior, puede explicarse de mejor manera el funcionamiento del

inversor de Hart. En él, en el contraparalelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷 se localizan los puntos 𝑂, 𝑃 y 𝑄 colineales y

fijos sobre las barras 𝐴𝐵, 𝐴𝐷 y 𝐵𝐶, respectivamente como se muestra en la figura 7, de tal manera que

(Courant & Herbert, 1979):

𝐴𝑂

𝑂𝐵=

𝐴𝑃

𝑃𝐷=

𝐶𝑄

𝐵𝑄=

𝑚

𝑛

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Figura 7. Relaciones geométricas en el inversor de Hart.

Como la recta que pasa por 𝑂𝑄 define segmentos iguales entre las transversales 𝐴𝐵 y 𝐴𝐶, resulta ser

paralela a la recta 𝐸𝐹. Luego entonces, Δ𝐴𝐵𝐶~Δ𝐴𝑂𝑃 por ser triángulos entre paralelas y lo mismo

ocurre con Δ𝐴𝐵𝐷 y Δ𝑂𝐵𝑄.

De la semejanza entre Δ𝐴𝐵𝐶 y Δ𝐴𝑂𝑃, se tiene:

𝑂𝑃

𝐵𝐶=

𝐴𝑂

𝐴𝐵=

𝑚

𝑚 + 𝑛⇒ 𝑂𝑃 = 𝐵𝐶 (

𝑚

𝑚 + 𝑛)

De la semejanza entre Δ𝐴𝐵𝐷 y Δ𝑂𝐵𝑄, se tiene:

𝑂𝑄

𝐴𝐷=

𝑂𝐵

𝐴𝐵=

𝑛

𝑚 + 𝑛⇒ 𝑂𝑄 = 𝐴𝐷 (

𝑛

𝑚 + 𝑛)

A su vez, como 𝐴𝐸𝐹𝐷 es un rectángulo, 𝐴𝐷 = 𝐸𝐹, con lo cual puede escribirse:

𝑂𝑄 = 𝐸𝐹 (𝑛

𝑚 + 𝑛)

Por lo cual se tiene:

𝑂𝑃 ∙ 𝑂𝑄 = 𝐵𝐶 (𝑚

𝑚 + 𝑛) ∙ 𝐸𝐹 (

𝑛

𝑚 + 𝑛) = 𝐵𝐶 ∙ 𝐸𝐹 ∙ (

𝑚

𝑚 + 𝑛) ∙ (

𝑛

𝑚 + 𝑛)

Por otra parte, considerando que Δ𝐴𝐸𝐵 = Δ𝐷𝐹𝐶, puede escribirse 𝐸𝐹 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝐵, mientras que 𝐵𝐶 =

𝐸𝐶 − 𝐸𝐵, por lo cual:

𝐵𝐶 ∙ 𝐸𝐹 = (𝐸𝐶 − 𝐸𝐵)( 𝐸𝐶 + 𝐸𝐵) = 𝐸𝐶2 − 𝐸𝐵2

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Pero puede preciarse que tanto 𝐸𝐶 como 𝐸𝐵 forman parte de triángulos rectángulos, por lo cual podrá

escribirse:

𝐸𝐶2 = 𝐴𝐶2 − 𝐴𝐸2

𝐸𝐵2 = 𝐴𝐵2 − 𝐴𝐸2

Con lo cual se observa:

𝐸𝐶2 − 𝐸𝐵2 = 𝐴𝐶2 − 𝐴𝐵2

∴ 𝐵𝐶 ∙ 𝐸𝐹 = 𝐴𝐶2 − 𝐴𝐵2

Así, entonces:

𝑂𝑃 ∙ 𝑂𝑄 = 𝐵𝐶 ∙ 𝐸𝐹 ∙ (𝑚

𝑚 + 𝑛) ∙ (

𝑛

𝑚 + 𝑛)

𝑂𝑃 ∙ 𝑂𝑄 = (𝐴𝐶2 − 𝐴𝐵2) ∙ (𝑚

𝑚 + 𝑛) ∙ (

𝑛

𝑚 + 𝑛)

Considerando que 𝑚 y 𝑛 son valores fijos, que 𝐴𝐶 y 𝐴𝐵 son las barras del mecanismo, las cuales son

fijas, puede apreciarse que los tres factores que definen el producto 𝑂𝑃 ∙ 𝑂𝑄 son constantes y por

consecuencia, en este aparato:

𝑂𝑃 ∙ 𝑂𝑄 = 𝑐𝑡𝑒

Y 𝑂𝑃 y 𝑂𝑄 son puntos inversos.

Finalmente, al mecanismo se fija el punto 𝑂 y se enlazan con barras los puntos 𝑂 y 𝑃 a un punto 𝑆 fijo

en torno al cual se hace girar. Como consecuencia 𝑃 describe una circunferencia y 𝑄 traza una recta.

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Figura 8. El inversor de Hart.

Objetivos

Construir un inversor de Hart que pase por una recta preestablecida.

Planteamiento del problema

Deseamos entender los fundamentos matemáticos en el proceso de inversión y en el inversor de Hart

para construir un inversor de Hart tal que pase por una recta deseada.

Hipótesis

Pueden llevarse a cabo simulaciones para después construir un inversor de Hart y predecir su

funcionamiento.

Desarrollo

Simulación del inversor de Hart con base en el punto que se mueve sobre la circunferencia

Trazar los puntos 𝑂 y 𝑆 y fijarlos. Trazar una circunferencia con centro en 𝑆 y radio 𝑂𝑆. Agregamos un

tercer punto (𝑃) en la circunferencia, este podrá moverse libremente en la silueta de la circunferencia.

Véase la figura 9.

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Figura 9. Pasos para simular el inversor de Hart

Dibujar el deslizador 𝑂𝐴 y el deslizador 𝑃𝐴. Trazar la circunferencia 𝑐1 con centro en 𝑃 y radio 𝑃𝐴.

Trazar la circunferencia 𝑐2 con centro en 𝑂 y radio 𝑂𝐴. Después se coloca una intersección de 𝑐1 y 𝑐2,

siendo este el punto 𝐴. Ver la figura 10.

Figura 10. Pasos para simular el inversor de Hart

Se coloca una semirrecta que pase por los punto 𝐴𝑂, de igual manera se pone otra que pase por 𝐴𝑃.

Sobre la semirrecta trazar el punto 𝐵 de tal manera que esté más lejos que la distancia del punto 𝐴 al

punto 𝑂. Ver la figura 11.

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Figura 11. Pasos para simular el inversor de Hart

Definir el número

𝑃𝐷 =𝑂𝐵 ∙ 𝐴𝑃

𝑂𝐴

Y trazar la circunferencia 𝑐3 con centro en 𝑃 y radio 𝑃𝐷. La semirrecta 𝐴𝑃 y 𝑐3 se intersectan en 𝐷.

Trazar los segmentos 𝐴𝐵 y 𝐴𝐷. Véase la figura 12.

Figura 12. Pasos para simular el inversor de Hart

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(Por facilidad, se recomienda ocultar los trazos de las circunferencias 𝑐1, 𝑐2 y 𝑐3.)

Hacemos una circunferencia donde el centro es el punto 𝐷 y el radio el segmento 𝐴𝐵, llamando a esta

circunferencia 𝑐4, y otra circunferencia donde el centro será el punto 𝐵 y radio el segmento 𝐴𝐷, la cual

se llamará 𝑐5; y ponemos un punto en la intersección de 𝑐4 y 𝑐5 , el cual será el punto 𝐶. Ver la figura

13.

Figura 13. Pasos para simular el inversor de Hart

Trazar los segmentos 𝐵𝐶 y 𝐷𝐶 para formar el contraparalelogramos 𝐴𝐵𝐶𝐷. Trazar la semirrecta 𝑂𝑃, la

cual se cortará con segmento 𝐵𝐶 en el punto 𝑄 y activar su rastro. Finalmente trazar los segmentos

𝐴𝑆 y 𝑆𝑃 para obtener el inversor de Hart. Véase la figura 14.

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Figura 14. Pasos para simular el inversor de Hart

Construcción del inversor de Hart a partir del punto que se mueve en la recta

Se dibujan los deslizadores 𝑏, 𝑚, 𝑂𝐵 y 𝐵𝑄. Se traza la recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 y se localiza el punto 𝑄 en ella.

También se dibuja el punto 𝑂 y se fija. Después se traza la semirrecta 𝑂𝑄. Ver la figura 15.

Figura 15. Pasos para simular el inversor de Hart

Se traza la circunferencia 𝑐1 con centro en 𝑄 y radio 𝐵𝑄. Posteriormente se traza la circunferencia 𝑐2

con centro en 𝑂 y radio 𝑂𝐵. Después se marca la intersección entre 𝑐1 y 𝑐2 como el punto 𝐵, como se

muestra en la figura 16.

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Figura 16. Pasos para simular el inversor de Hart

Se trazan las semirrectas 𝐵𝑂 y 𝐵𝑄 y en la semirrecta 𝐵𝑂 se traza el punto 𝐴, más alejado de 𝑂 que el

punto 𝐵. Luego de esto se dibuja el segmento 𝐵𝐴 como se muestra en la figura 17.

Figura 17. Pasos para simular el inversor de Hart

Se define el número

𝑄𝐶 =𝑂𝐴 ∙ 𝑄𝐵

𝑂𝐵

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Y con centro en 𝑄 se traza la circunferencia 𝑐3 con radio 𝑄𝐶. La circunferencia 𝑐3 corta a la semirrecta

𝐵𝑄 en el punto 𝐶 y se traza el segmento 𝐵𝐶, como se muestra en la figura 18.

Figura 18. Pasos para simular el inversor de Hart

Con centro en 𝐶 y radio 𝐴𝐵 se traza la circunferencia 𝑐4. Con centro en 𝐵 y radio 𝐵𝐶 se traza la

circunferencia 𝑐5. Las circunferencias 𝑐4 y 𝑐5 se cortan en 𝐷. Ver la figura 19.

Figura 19. Pasos para simular el inversor de Hart

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Se trazan los segmentos 𝐴𝐷 y 𝐷𝐶 y se forma el contraparalelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷. Se traza la semirrecta 𝑂𝑄,

la cual intersecta 𝐴𝐷 en 𝑃 y se tiene el inversor de Hart como se muestra en la figura 20.

Figura 20. Pasos para simular el inversor de Hart

Diseño del prototipo

Para diseñar nuestro prototipo, nos hemos basado en un mecanismo encontrado en la red (Perez,

2018), el mecanismos se muestra en la figura 21 izquierda. Al construir el mecanismo, nos hemos

dado cuenta que la trayectoria de 𝑃 y de 𝑄 no pueden cruzarse porque eso significaría que las barras

del mecanismo colisionarían y no se dibujaría más que un segmento muy reducido de recta, como se

muestra en la figura 21 derecha.

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Fuente:

https://www.youtube.com/watch?v=HKiwpCbYhkc

Figura 21. La parte izquierda muestra el inversor de Hart que tomamos como base y la parte derecha un inversor en donde

las barras colisionan.

Entonces nos dimos a la tarea de encontrar una recta cuya trayectoria no se cruzará con la

circunferencia que describe el punto 𝑃. Para ello usamos la construcción del inversor con base en la

recta como se muestra en la figura 22 izquierda.

Después nos dimos a la tarea de ir variando el tamaño de las barras de tal manera que fuera cómodo

construirlas con reglas y abatelenguas. Una manera en que lo conseguimos fue cambiar la ordenada

al origen de la recta y cambiando los valores entre 𝑂𝐵 y 𝐵𝑄, como se muestra en la figura 22 derecha.

Figura 22. Diseño de nuestro inversor de Hart.

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Finalmente cambiamos las longitudes de las barras moviendo el punto 𝐴. El resultado se muestra en

la figura 23 izquierda.

Figura 23. Diseño de nuestro inversor de Hart.

Nos percatamos que con nuestra simulación del inversor de Hart a partir de la recta, no se puede

determinar el centro de la circunferencia con precisión y por lo tanto no podríamos determinar las

longitudes de los segmentos 𝑆𝑃 y 𝑆𝑂. Así que para solucionar esto nos apoyamos de la construcción

del inversor a partir de la circunferencia haciendo que se aproximara al resultado de la simulación

previa en un decimal, para que así con esta animación poder determinar el centro y las longitudes de

las barras restantes. El proceso final se muestra en la figura 23 derecha.

Construcción física del inversor de Hart

Luego de llevar a cabo nuestras simulaciones del inversor de Hart, llegamos a la conclusión que las

medidas para un buen diseño de este mecanismo serían como las que se muestran en la figura 24.

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Figura 24. Medidas empleadas en la construcción de nuestro inversor.

Se perforan un par de reglas para formar las barras que contienen los puntos 𝐴, 𝑃, 𝐷 y los puntos

𝐵, 𝑄, 𝐶, de acuerdo con las medidas mostradas en la figura 24. También se perforan un par de

abatelenguas para formar los brazos que tienen los puntos 𝐴, 𝑂, 𝑃 y 𝐶, 𝐷, siguiendo las mismas

medidas. Se usan un par de abatelenguas para formar las barras 𝑂𝑆 y 𝑆𝑃; estos abatelenguas se

tendrán que recortar.

Se hacen dos hoyos en una hoja y un papel cascarón los cuales estén a una distancia de 4.5 [cm]. Por

los orificios se colocan tornillos como se muestra en la figura 25. Uno de los puntos será 𝑂 y el otro 𝑆;

en el orificio 𝑂 se coloca el tornillo más pequeño.

Figura 25. Construcción física del inversor de Hart.

Colocamos la barra 𝑂𝑆 y encima de ella los brazos 𝐴𝑂𝐵 y 𝑆𝑃. Después fijamos todas las barras con

rondanas y tuercas como se muestra en la figura 26. El tornillo más grande debe quedar en el agujero

correspondiente al punto 𝐵.

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Figura 26. Construcción física del inversor de Hart.

Ahora colocamos tuercas en los tornillos correspondientes a los puntos 𝐴, 𝑃 y 𝐷 para permitir el

movimiento del brazo 𝐴𝑃𝐷 por encima del brazo 𝑆𝑃. Obsérvese la figura 27.

Figura 27. Construcción física del inversor de Hart.

Colocamos la barra 𝐴𝑃𝐷 y la fijamos con rondanas y tuercas como se aprecia en la figura 28.

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Figura 28. Construcción física del inversor de Hart.

Ahora ajustamos la altura de la barra 𝐵𝑄𝐶 de tal manera que sobrepase a la barra 𝐴𝑃𝐷 como se

muestra en la figura 29.

Figura 29. Construcción física del inversor de Hart.

Finalmente colocamos la barra 𝐵𝑄𝐶 y la sujetamos con rondanas y tuercas (ver la figura 30).

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Figura 30. Construcción física del inversor de Hart.

Resultados

Nuestro dispositivo terminado se muestra a continuación en la figura 31.

Figura 31. Nuestro dispositivo terminado y algunos detalles de su configuración.

Análisis de resultados

Nuestras simulaciones están hechas para que la recta resultante del mecanismo sea una recta paralela

a uno de los ejes a una distancia de 11 [cm]. Para comprobar el funcionamiento de nuestro dispositivo

imprimimos en una hoja de papel dicha recta y la pegamos debajo del mecanismo. En la figura 32,

podemos apreciar que el mecanismo tiene un desempeño bastante aceptable en cuanto a precisión y

en cuanto al segmento rectilíneo que es capaza de trazar.

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Figura 32. Verificación de resultados.

Análisis de costos

La tabla siguiente enlista los materiales empleados y su costo2.

Material Costo total $

4 abatelenguas 2.00

2 reglas de madera 5.00

4 tornillos 5

32× 1 pulgada 6.00

1 tornillo 5

32×

1

2 pulgada 1.00

4 tornillos 5

32× 1.5 pulgada 4.00

15 rondanas 7.50

17 tuercas 8.50

Puede apreciarse que el costo de la construcción del mecanismo fue de $34, lo cual puede

considerarse como bajo.

Ventajas de nuestro inversor de Hart

2 El uso de rondanas es opcional y los precios varían.

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En la red pueden encontrarse las longitudes para construir un inversor de Hart, como por ejemplo en

(Wikipedia, 2018) o bien pueden encontrarse ejemplos de inversores construidos de manera eficiente

como en (Perez, 2018), sin embargo en ningún sitio se detalla el procedimiento para llevar a cabo la

construcción y tampoco se detalla el procedimiento que se siguió para diseñar tal mecanismo. En este

aspecto nuestro trabajo resuelve ambas cuestiones además de que proporciona una metodología

sencilla de diseño del inversor con el añadido de hacerlo pasar por una recta deseada, cosa que ningún

sitio de los consultados maneja.

Conclusiones

Con esta investigación pudimos aprender que el inversor es un mecanismo el cual a partir de un

movimiento circular produce una perfecta línea recta, lo cual es un tema muy interesante para

profundizar en más ámbitos de posibles usos.

La simulación que realizamos ha sido importante pues contribuyó a entender mejor el funcionamiento

del inversor de Hart, además de las propiedades del contraparalelogramo. Pudimos constatar que a

través de la teoría se obtienen medidas precisas, las cuales ayudan a no poner los puntos en cualquier

sitio y obtener la construcción deseada; la ventaja de saber y calcular las medidas y los trazos es que

así el mecanismo no tendrá tantos errores y en cualquier caso, de tenerlos, sería fácil corregirlos.

El armado fue lo más importante de este proyecto, es la teoría llevada a la práctica. La construcción

de este mecanismo fue todo un reto para todos los integrantes del equipo, incluyendo nuestros

asesores. En el proceso de ensamblaje se buscó siempre la mejor forma de conseguir un mejor

funcionamiento, además de que en el proceso se presentaron varias dificultades y también nos

pudimos percatar que el ensamble del mecanismo tiene que ser muy minucioso y cualquier error en

las medidas significa que éste ya no pasará por la recta predicha; sin embargo, gracias a todas las

dificultades encontradas en la construcción del inversor de Hart, fuimos paulatinamente mejorando el

trabajo hasta el punto en cual el resultado lo consideramos bueno pues se logró que el inversor de

Hart pasará por una recta que ya se había determinado y con buen nivel de precisión.

Finalmente, consideramos que esta experiencia enriquecerá nuestra futura vida de estudiantes.

Bibliografía

Bogomolny, A. (28 de febrero de 2018). Cut the Knot. Obtenido de Hart's inversor:

https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/HartInversor.shtml

Courant, R., & Herbert, R. (1979). ¿Qué es la matemática? Madrid: Aguilar.

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Perez, L. (10 de febrero de 2018). YouTube. Obtenido de Mecanismo de Hart:

https://www.youtube.com/watch?v=HKiwpCbYhkc

Wikipedia, c. (2018 de febrero de 2018). Wikipedia, The Free Encyclopedia. Obtenido de Hart's

inversor: https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Hart%27s_inversor&oldid=807924035