TURUNAN FUNGSI VEKTOR

DAN

OPERATOR DIFERENSIAL VEKTOR

Sebagai tugas Mata Kuliah Analisis Vektor

Dosen : Endang Dedi, Drs, M.SI.

Diisusun Oleh:

Dani Jaelani 09512012

Fitri Astriani Dewi 09512009

Eneng Herlina 08512041

Silvia Nuraeni 08511111

N. N Retno Pratiwi 08512030

Gita Marlinda 08512025

Sandi Rustandi 07511019

YAYASAN GRIYA WINAYA

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

(STKIP) GARUT

Jln. Pahlawan Sukagalih No.32 Telp.(0262) 233556 Garut-44151

TUGAS 4

TURUNAN FUNGSI VEKTOR

1. Definisi turunan fungsi vektor

Diberikan ( ) ( ) ( ) ( ) yang terdefinisi pada selang terbuka .

Turunan pertama fungsi vektor di ditulis ( ) didefinisikan sebagai berikut:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

bila limit ini ada.

Fungsi vektor yang mempunyai turunan di dikatakan terdiferensialkan di t dan yang

mempunyai turunan pada selang terbuka D.

a. Arti Geometri ( )

Perhatikan gambar di bawah ini:

Gambar di atas memperlihatkan fungsi vektor ( ) di 3 yang terdefinisi pada selang

terbuka D. Fungsi vektor ini menyatakan kurva C yang arah gerakannya tertentu.

D

t

x

y

z

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

g.s

( )

C

Jika ( )ada dan tidak nol, maka vektor ( ) menyatakan vektor singgung pada kurva C di

.

Jadi arti geometri turunan fungsi vektor di suatu titik pada kurva adalah vektor singgung pada

kurvanya di titik itu.

b. Dengan menggunakan definisi di atas, buktikan bahwa jika:

( ) ( ) , maka ( )

Bukti:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

(( ) ( ) ( ) ) ( ( ) )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

jika: ( ) ( ) , maka ( )

2. Buktikan teorema berikut:

Diberikan ( ) ( ) ( ) ( ) yang terdefinisi pada selang terbuka .

Jika ( ) ada, maka ( ) ( ) ( ) ( )

Bukti:

Dari definisi turunan fungsi vektor yang ditulis bentuk komponennya, diperoleh:

( )

( ) ( )

( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) )

, ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

-

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3. Perhatikan persamaan garis singgung fungsi vektor di titik ( ) pada kurva

( ) adalah ( ) ( ) ( )

a. Diketahui fungsi vektor ( ) ( ) ( ) . Tentukan persamaan garis

singgung di titik ( ) pada kurva

Jawab:

Titik P tercapai bila .

Turunan fungsi F di diperoleh dengan menentukan turunan dari setiap

komponen fungsi vektornya di

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Vektor arah garis singgung di titik ( ), pada kurva adalah

( ) ( ) dan vektor penyangganya ( ).

Jadi persamaan garis singgung di titik P pada kurva adalah:

( ) ( ) ( )

Pesamaan garis singgung tersebut dapat dinyatakan sebagai persamaan koordinat

( ) ( )

Dari kesamaan dua vektor di diperoleh: ( )

( )

( )

Eliminasi t dari pers (2) dan (3)

Persamaan koordinat garis singgung di titik P pada kurva adalah:

{

b. Tentukan vektor singgung satuan pada parabola di titik (1,1)

Jawab:

Persamaan parabola dapat ditulis sebagai suatu fungsi vektor

( ) ( )

Maka: ( ) ( )

Titik (1,1) tercapai bila t=1

( ) ( ( )) ( )

‖ ( )‖ √ √

( ) ( )

‖ ( )‖

( )

( )

4. Buktikan teorema berikut:

Jika fungsi vektor dan fungsi real h semuaanya terdiferensialkan pada selang

terbuka D, maka:

a. ( ) ( ) ( ) ( )

Bukti:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

Maka:

( ) ( )

(( )( ) ( )( ) ( )( ) )

,( )( ) -

,( )( ) -

(( )( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) ( ) ( ( ) ))

( ( ) ( ) ( ( ) ))

( ) ( ) ( ) ( )

b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Bukti:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

maka:

( ) ( )

(( )( ) ( )( ) ( )( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

, ( ) ( ) ( ) - ( ),

( )

( )

( )

-

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Bukti:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

(( )( ) ( )( ) ( )( ))

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

[ ( )

( )

( )

]

[ ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Khusus untuk fungsi dan di R3

Bukti:

( )( ) |

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

|

( ) ( )

( ) ( )

, ( ) ( ) ( ) ( )- , - , -

( ) ( )

(, ( ) ( ) ( ) ( )- , ( ) ( ) ( ) ( )-

, ( ) ( ) ( ) ( )- )

((, ( ) ( ) ( ) ( )- )

(, ( ) ( ) ( ) ( )- )

(, ( ) ( ) ( ) ( )- )

( ) ( )

( )

[ ( )

( )

( )

]

( ) ( )

( )

[ ( ) ( )

( )

] ( )

( )

( )

[ ( )

( )

( )

]

[ ( )

( )

( )

( ( )

( )

( )

( )

( )

)]

5. Diketahui fungsi ( ) ( ) ( ) , ( ) dan

( ) .

Tentukanlah ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

[( ) ( ) ] , -

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0( ) .( ) ( ) /1 ,( )(( ) ( )

)-

[( ) ( ) ] ,( ) ( ) -

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ( ) ( )] , ( ) ( )-

|

| |

|

[( ) ( )

( ) ] ,( )

( ) (

) -

( )

( )

( )

TUGAS 5

OPERATOR DIFERENSIALVEKTOR

1. Perhatikan definisi berikut:

A. Medan Skalar

1) Diberikan fungsi skalar ( ) yang terdefinisi pada daerah DR3.

Himpunan skalar * ( ) ( ) + disebut Medan Skalar.

2) Diberikan ( ) medan skalar yang diferensiabel pada daerah DR3.

Vektor gradien disingkat grad didefinisikan dengan

Dimana

dan dinamakan operator differensial vektor.

B. Medan Vektor

1) Diberikan fungsi vektor ( ) yang terdefinisi pada daerah DR3.

Himpunan vektor * ( ) ( ) + desebut medan vektor.

2) Diberikan ( ) ( ) ( ) medan vektor yang

diferensiabel pada daerah DR3. Divergen disingkat div didefinisikan

dengan ( )

( )

( )

3) Diberikan ( ) ( ) ( ) medan vektor yang

diferensiabel pada daerah DR3. Rotasi atau curl disingkat Rot

didefinisikan dengan: |

|

2. Dari definisi di atas:

a. Berikan contoh medan skalar dan medan vektor

Contoh medan skalar

(1) temperatur pada setiap titik di dalam atau di atas permukaan bumi pada

suatu tempat tertentu mendefinisikan sebuah medan skalr.

(2) (x,y,z) = x3y-z2 mendefinisikan sebuah medan skalar.

Contoh medan vektor

(1) Jika kecepatan pada setiap titik (x,y,z) dalam sebuah fluida yang sedang

bergerak diketahui pada suatu saat tertentu, maka sebuah medan vektor

terdefinisikan.

(2) V(x,y,z) = xy2i –2 yz

3j + x

2zk mendefinisikan sebuah medan vektor.

b. Kenapa

dikatakan operator differensial vektor?

Karena Operator nabla dengan simbul , bukan suatu vektor dalam arti

biasanya. Sebagai vektor, dia tidak berdiri sendiri, lazimnya sebagai operator

matematik baru berarti bila dia bekerja kepada suatu fungsi

c. Jelaskan bahwa ( )

( )

( )