TUGAS GEOMETRI EUCLID I (PROBLEM 7.1.1) Disusun untuk memenuhi salah satu tugas perkuliahan

Dari Bapak Drs. Yudi Soeharyadi, M.Si., Ph.D

Disusun oleh :

M. HASAN SALIMIN

NIM : 138060107

PROGRAM MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PASCASARJANA

UNIVERSITAS PASUNDAN

BANDUNG

2015

M.HasanSalimin|1

TUGAS I

EXERCISE 7.1.1 (halaman 282)

NO 4, 5, 6, 7 dikumpulkan sebelum tanggal 8 Maret 2015

Kemudian Berikan contoh Quadrilateral Euclid seperti Persegi, Oblong, Rhombus,

Rhomboid, Trapezia (Gambarnya)

M.HasanSalimin|2

7.1.1 Problems

4. Examine the propositions of Book I of the Elements listed in this section.

a. Which are constructions?

Penyelesaian :

Dari 48 Proposisi yang ada dalam konstruksi saya memilih Proposisi 1, di mana

memungkinkan membuat segitiga sama sisi dari garis lurus terbatas yang

diberikan.

Ilustrasi langkah-langkah kontruksi :

Membuat garis lurus terbatas, misal yang menghubungkan titik A dan titik B

Membuat lingkaran dengan titik pusat A, dan jari-jari ������

Membuat lingkaran dengan titik pusat B, dan jari-jari ������

Labeli intersection (persimpangan kedua lingkaran) dengan titik C

Membuat garis ������ dan ������

M.HasanSalimin|3

Ketika diperbesar terlihat bahwa sudut pada titik A, B, dan C sama yaitu 600. Dan

panjang ������ = ������ = ������ menunjukkan bahwa segitiga tersebut merupakan

segitiga sama sisi.

M.HasanSalimin|4

b. Which of these correspond to today’s triangle congruence propositions, and

to which triangle congruence proposition does each correspond?

Penyelesaian :

Proposisi 4 :

Jika dua segitiga memilki dua sisi sama besar, bersesuaian, dan sudut yang

diapit dua sisi yang sama besar juga sama besar, maka alas segitiga itu yang

bersesuaian juga sama besar, lalu kedua segitiga yang dimaksud juga sama

besar, sudut-sudut lainnya yang bersesuaian juga sama besar.

Diberikan ABC dan DEF dua segitiga yang memiliki dua sisi AB dan

AC berturut-turut sama dengan sisi DE dan DF. Yakni AB dengan DE dan

AC dengan DF. Sudut BAC sama besar sudut EDF. Maka yang diminta adalah

menunjukkan bahwa sisi BC sama besar dengan sisi EF, segitiga ABC juga

akan sama dengan segitiga DEF, dan sudut-sudut yang lain yang bersesuaian

juga akan sama besar, yakni ABC dengan DEF dan ACB dengan DFE.

Bila segitiga ABC diletakkan di segitiga DEF, titik A diletakkan pada

titik D dan ruas garis AB di DE, titik B juga berimpitan di titik E, pada AB

yang diberikan sama besar dengan DE, maka karena AB berimpitan dengan

DE, ruas garis AC juga berimpit dengan DF, bahwa diketahui sudut BAC

sama dengan sudut EDF. Maka titik C juga akan berimpit dengan titik F,

berdasarkan ruas garis AC sama dengan DF. Karena B berimpit dengan E,

maka ruas garis BC juga berimpit dengan EF.

Jika B berimpit E, C dengan F, dan BC tidak berimpit dengan EF,

maka dua garis tersebut akan melingkupi sebuah luasan. Hal itu sangat

M.HasanSalimin|5

mustahil (post 1). Maka sisi BC berimpit dengan EF, yang tentunya sama

besar (gag 4) Maka semua bagian segitiga ABC berimpit dengan segitiga

DEF, yang artinya sama besar (gag 4). Begitupula dengan sudut-sudut lainnya

yang bersesuaian juga berimpit, yakni ABC dengan DEF dan ACB dengan

DFE (gag 4).

Maka, Jika dua segitiga memiliki dua sisi yang bersesuaian sama bear,

sudut apit yang bersesuaian juga sama besar, maka sisi lain segitiga-segitiga

tersebut juga sama besar, segitiga-segitiga tersebut juga sama besar, dan sudut-

sudut lainnya juga sama besar.

Proposisi 8

Jika segitiga memiliki dua sisi yang sama besar pada segitiga yang lainnya,

dan alas mereka juga sama, maka sudut yang diapit oleh sisi-sisi yang sama

pada kedua segitiga juga sama besar.

M.HasanSalimin|6

Kalo dilanjutkan jadi berimpit.

M.HasanSalimin|7

Proposisi 26

Jika dua segitiga memiliki dua sudut yang sama besar, dan sebuah sisi

bersesuaian yang sama besar, baik sisi yang diapit sudut tersebut maupun sisi

yang menghadap salah satu sudut, maka sisi-sisi lain di segitiga-segitiga

tersebut yang bersesuaian juga sama besar, begitu pula dengan sudut yang

ketiga.

∆��� ≡ ∆���

�� ≡ ��

�� ≡ ��

�� ≡ ��

������ ≡ ������

������ ≡ ������

������ ≡ ������

M.HasanSalimin|8

c. Which is the Pythagoeran Theorem?

Penyelesaian :

Proposisi 47 : Pada segitiga siku-siku, persegi di sisi yang menghadap ke sudut

siku-siku sama besar dengan persegi di sisi-sisi yang membentuk

siku-siku.

Jika langsung digambar dengan GeoGebra Proposisi di atas langsung terbukti.

Di mana terlihat bahwa Luas Persegi ABCD + Luas Persegi A’BFE = Luas Persegi AA’GH

Di mana terlihat bahwa Luas Persegi ABEF + Luas Persegi CDHG = Luas Persegi ACJI

M.HasanSalimin|9

d. Which conveys in modern language that the sum of the measures of the

angles of a triangle is 180°?

Penyelesaian :

Proposisi 32 :

Pada setiap segitiga, jika satu sisi diperpanjang maka sudut eksternalnya sama

besar dengan jumlah sudut internal berseberangan, dan (jumlah) tiga sudut

internalnya sama besar dengan dua sudut siku-siku.

M.HasanSalimin|10

Diberikan ABC sebuah segitiga, kemudian salah satu sisinya diperpanjang ke D. Kita

katakan bahwa sudut eksternal ACD sama besar dengan (jumlah) sudut internal

berseberangan CAB dan ABC, dan (jumlah) ketiga sudut internalnya, ABC, ACB, dan BAC,

sama besar dengan dua sudut siku-siku.Diberikan CE melalui titik C paralel terhadap AB

(prop. 1.31).

Sejak AB paralel CE, sudut dalam berseberangan BAC dan ACE sama besar satu

dengan lainnya (prop 1.29). Selanjutnya, sejak AB paralel CE, dan garis BD melaluinya,

maka sudut eksternal ECD sama besar dengan sudut dalam berseberangan ABC (prop 1.29).

Padahal ACE telah ditunjukkan sama besar dengan BAC. Jadi, keseluruhan BAC dan ABC

sama besar dengan ACD.

Kemudian ACB ditambahkan ke keduanya, jumlah ACB dan ACD sama besar dengan

jumlah BCA, BAC, dan ABC. Padahal jumlah ACD dan ACB juga sama besar dengan dua

sudut siku (parp 1.13). Jadi (jumlah) ACB, CBA, dan CAB juga sama besar dengan dua sudut

siku.

Jadi, pada setiap segitiga, (jika) satu sisi diperpanjang, maka sudut eksternalnya sama

besar dengan (jumlah) dua sudut internal berseberangannya. Dan (jumlah) tiga sudut

internalnya sama dengan dua sudut siku-siku.

M.HasanSalimin|11

e. In Propositions 35 through 45, what is the meaning of the word “equal”?

Penyelesaian :

Proposition 35.

Parallelograms which are on the same base and in the same parallels are equal to

one another.

Proposition 36.

Jajar genjang yang alasnya sama besar dan diantara garis sejajar yang sama saling

sama besar

Proposition 37.

Segitiga dengan alas yang sama diantara garis sejajar yang sama saling sama

besar.

M.HasanSalimin|12

Proposition 38.

Segitiga yang alasnya sama besar dan diantara garis sejajar yang sama saling

sama.

Proposition 39.

Segitiga yang sama besar dan memiliki alas yang sama dan sesisi, juga diapit dua

garis sejajar yang sama.

Proposition 40.

Segitiga yang sama besar dimana alasnya juga sama besar di satu garis yang

sesisi, juga diantara garis sejajar yang sama

M.HasanSalimin|13

Proposition 41.

Jika jajar genjang memiliki alas yang sama dengan segitiga dan diantara garis

sejajar yang sama, maka jajar genjang itu dua kali lebih besar dari segitiganya.

Proposition 42.

Untuk membangun jajar genjang yang sama besar dengan suatu segitiga dari suatu

sudut.

Proposition 43.

In any parallelogram the complements of the parallelograms about the diameter

are equal to one another.

M.HasanSalimin|14

Proposition 44.

Untuk menerapkan jajargenjang yang sama dengan segitiga tertentu pada sebuah

garis lurus dengan sudut tertentu.

Proposition 45.

To construct, in a given rectilineal angle, a parallelogram equal to a given

rectilineal figure.

M.HasanSalimin|15

Dari ke 10 proposisi di atas saya menyimpulkan bahwa arti “equal” di sana

adalah kongruen. Di mana dikatakan sama jika garis yang bersesuaian sama

panjang, dan sudut yang bersesuaian pun sama besar. Saya tidak mengatakan

“equal” itu sebangun karena secara sekilas kalo kita melihat dua buah gambar

yang sebangun, kita tidak serta merta menyebutnya sama karena ukurannya

berbeda hanya perbandingannya saja yang sama. Dan perlu diketahui di sini kata

rhomboid sudah dirubah dengan Parallelograms (Jajar Genjang), juga ada

complement of parallelogram (komplemen dari jajar genjang).

M.HasanSalimin|16

5. Consider the following “definition” of point

(1) An extremity that has no dimension (Posidonius)

(2) Something that is indivisible (Aristotle)

(3) A monad having position (Proclus)

(4) Something that has no part (Euclid)

(5) An absolutely simple space element (Friedrich Ueberweg)

(6) A sphere that does not include any other sphere (Edward Huntington)

a. If you were attempting to describe a point to someone, which definition would

you use and why?

Saya memilih definisi yang diungkapkan oleh Aristoteles, bahwa titik adalah

sesuatu yang tak terpisahkan, titik walaupun memiliki dimensi yang relatif kecil

bahkan dianggap tidak berdimensi memiliki esensi tersendiri. Karena bahkan

dalam penyusunan sebuah garis kita memerlukan kumpulan titik-titik tersebut.

Walaupun hal ini masih tetap akan menghasilkan definisi yang blunder karena

masih banyak lagi benda kecil di muka bumi ini. Sebagaimana halnya yang

diungkapkan Proclus bahwa Point is a monad having position, titik itu adalah

suatu makhluk/benda bersel satu (kecil) yang menempati suatu kedudukan, namun

ketika kita harus mendefinisikan lagi sesuatu (monad) yang menempati ruang itu

apa? Misal dijawab oleh kita noktah yang ada pada bidang, nanti selanjutnya

kitapun harus mendefhinisikan tentang noktah itu apa, dan seterusnya. Sehingga

dalam definisi terdapat definisi selalu begitu dan seterusnya. Oleh karena itu

banyak orang yang beranggapan bahwa konsep yang memiliki sifat demikian itu

termasuk pada kategori unsur yang tidak terdefinisi.

b. Create your own “definition” of point.

Penyelesaian :

Titik adalah unsur dasar seni rupa yang terkecil. Semua wujud dihasilkan mulai

dari titik. Titik dapat pula menjadi pusat perhatian, bila berkumpul atau berwarna

beda.Titik yang membesar biasa disebut bintik.

M.HasanSalimin|17

6. Consider the following “definition” of line.

(1) Breadthless length (Plato)

(2) A magnitude extended one way (Proclus)

(3) The path of a point when moved (Proclus)

(4) A straight line as a line which lies evenly with the points on itself (Euclid)

(5) A collection of points

a. Which definition do you prefer and why?

Saya lebih menyukai Plato yang mendefinisikan bahwa garis itu Breadthless

length. Hal ini mendeskripsikan bahwa garis akan memiliki satu dimensi, panjang,

namun tidak memiliki luas. Dari definisi tersebut belum ditetapkan ketentuan

panjang dan luasnya. Saya sependapat karena garis senantiasa berhubungan

dengan panjang, seperti halnya keliling lingkaran menurut saya itu pun merupakan

garis yang panjang (Relatif) dan melingkar sehingga terbentuklah keliling

lingkaran.

b. Do any of these definitions ensure that a line is not circular?

Jawab :

Saya lihat tidak ada definisi di atas yang benar-benar memastikan bahwa garis

tidak melingkar, karena dalam kehidupan nyata pun jarang ditemukan garis yang

benar-benar lurus, apalagi kalo dihubungkan dengan kehidupan nyata sulit juga

mencari garis/ line karena pada dasarnya setiap benda walaupun itu benang tentu

mempunyai volume (sekalipun mungkin sangat kecil). Dan apabila kita

berimajinasi menarik garis lurus dari kedudukan titik kita misalnya dengan arah

konstan, pada akhirnya pasti akan kembali lagi ke kedudukan titik awal. Ini

menunjukkan bahwa bumi pun bulat, jadi garis bisa melingkar.

M.HasanSalimin|18

7. Consider the following “definitions” of plane

(1) A surface which lies evenly with the straight lines on itself (Euclid)

(2) A surface that is stretched to the utmost (proclus)

(3) A flat surface as that which can be laid through any three given points

(Moritz Pasch)

(4) An infinite set of points equidistant from two fixed points in space (Nicholas

Lobachevsky)

(5) The set of all points on all lines joining every two points of a triangle whose

sides are lines – not line segments (Mario Pieri)

(6) A surface such that a straight line joining any two of its points lies entirely in

the surface

(7) A collections of lines

a. Which “definition” do you feel comes closest to describing the planes you

have studied in geometry?

Jawab :

Saya rasa definisi dari Moritz Pasch lebih mendekati penjelasan bidang datar

(Plane) dalam geometri. Kita ketahui bersama sebuah bidang datar minimal

terbentuk dari 3 titik pada kedudukan berbeda yang dihubungkan dengan garis

(walopun mungkin kita ketahui bahwa garispun merupakan kumpulan titik-

titik). Contoh : Bidang datar segitiga

b. Which do you feel provides the most breadth to create “nonintuitive”

planes?

Jawab :

Sepertinya yang paling leluasa dalam menulis bidang datar ke arah non intuitif

adalah definisi dari Mario Pieri. Dimana pendapatnya mengarah pada

Geometri projektif dapat juga dipandang sebagai geometri konstruksi dengan

hanya satu straightedge (sisi-lurus). Karena geometri projektif tidak

melibatkan konstruksi jangka, maka tidak ada lingkaran, tidak ada sudut, tidak

ada pengukuran, tidak ada garis sejajar, dan tidak ada konsep intermediasi.

Dimaklumi bahwa teorema-teorema yang digunakan di dalam geometri

projektif adalah pernyataan-pernyataan yang lebih sederhana.

M.HasanSalimin|19

Penyelesaian Gambar Quadrilateral Euclid dari beberapa istilah yang

ditanyakan seperti (Persegi, Oblong, Rhombus, Rhomboid dan Trapezia) dijelaskan

sebagai berikut :

Pada Definisi halaman 279 Nomor 22 tercantum bahwa :

Of quadrilateral figures, a square is that which is both equilateral and right-angled; an oblong

that which is right-angled but not equilateral; a rhombus that which is equilateral but not

right-angled; and a rhomboid that which has its opposite sides and angles equal to one

another but is neither equilateral nor right-angled. And let quadrilaterals other than these be

called trapezia.

Berdasarkan definisi 22 di atas gambar-gambarnya adalah sebagai berikut :

1. Persegi (Square) = 4 sisi nya sama dan sudutnya semua siku-siku

2. Dari definisi dapat diperkirakan oblong itu serupa dengan persegi panjang (rectangle)

gambarnya kurang lebih seperti ini =

3. Rhombus that which is equilateral but not right angled, di sini dikatakan bahwa rhombus

itu sebuah bangun segiempat yang sama sisi tapi sudutnya tidak siku-siku, mungkin di

masa kini kita sebut Rhombus ini sebagai belah ketupat yang gambarnya kurang lebih

seperti ini :

4. Berdasarkan definisi dapat diketahui bahwa Rhomboid sisi yang berlawanan

(berhadapan) mempunyai panjang yang sama dan sudutnya satu dengan yang lain sama

namun bukan merupakan sudut siku-siku.

Gambarnya kurang lebih sebagai berikut :

5. Dan yang terakhir definisi 22 di atas menyebut trapezia yang mana gambarnya

sebagaimana trapesium yang kita kenal pada saat ini yaitu sebagai berikut :

M.HasanSalimin|20

M.HasanSalimin|21