PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA S-1

FAKULTAS ILMU KOMPUTER

UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

SEMARANG

OKTOBER, 2017

TUGAS MATAKULIAH ALJABAR LINIER DAN MATRIK

Disusun Oleh :

1. NIM……….. NAMA 2. NIM……….. NAMA 3. NIM……….. NAMA

1. Jika A = 46

25 B =

64

30 C =

41

05 maka bentuk yang paling sederhana dari

(2A+CT) – (3A

T+4B) adalah . . . .

[ Kunci : – ]

2. Diketahui K =

1138

45

32

c

b

a

dan L =

1148

2145

326

b

jika K =L maka c2 + 4b −a = . . .

[ Kunci : a = 6 b=21 c=28, maka c

2 + 4b −a = 862 ]

3. Diketahui matriks A = cb

a

32

4 dan B =

7

1232

ba

abcjika A = 2B

T maka : a+b+c = ….

[ Kunci : a = 2 b=5 c=8, maka a+b+c = 15 ]

4. Tentukan matrik X, sehingga

23

34

14

30

12

01

X

[ Kunci : ]

5. Diketahui matrik A =

x

x

40

370

1002

,

Tentukan semua nilai x agar matrik A

(a) Invertible [det(A) ≠ 0] (b) not Invertible [det(A) = 0]

[ kunci: (a) untuk semua nilai x matrik A invertible, kecuali x = –3 atau x = –4.]

[ kunci: (b) untuk nilai x = –3 atau x = –4 matrik A Not invertible]

6. Diketahui matrik 2a 1

A=4a 16

, tentukan semua nilai „a‟ agar A menjadi matrik „not

invertible‟ (determinant A = 0).

[ Kunci : a = 0, atau a = ¼ ]

7. Hitung determinant dari matrik A berikut menggunakan operasi baris elementer.

1 1 2 1

1 2 1 1

1 1 1 2

2 1 1 1

A

[ Kunci : ]

8. Hitung determinan dari matrik A berikut,

[ Kunci : det(A) = 39 ]

9. Tentukan matrik A, jika

(5A) – 1

=1 2

3 4

1 -2 3 1

5 -9 6 3A=

-1 2 -6 -2

2 8 6 1

[ Kunci : ]

10. Diketahui matrik A =

a a a

b b b

c c c

1 2 3

1 2 3

1 2 3

Jika det(A) = 5, hitunglah

(a) det ( 3A –1

) + det[ ( 3A) –1

] + det (2A)

(b) det ( A t).det(A) + 4 det ( A

–1 ).det (A)

11. Jika A =

521

1142

831

, tentukan invers A menggunakan metode matrik elementar.

[ Kunci : ]

12. Jika A tentukan invers A menggunakan metode matrik elementar.

[ Kunci : ]

13. Jika

531

532

211

A , tentukan invers A menggunakan metode matrik

elementar.

[ Kunci : A−1

=

123

135

110

]

14. Jika

155

320

111

A , tentukan invers A menggunakan metode matrik elementar.

[ Kunci : A−1

=

4/104/5

8/32/18/15

8/12/18/13

]

15. Jika

325

121

321

A , tentukan invers A menggunakan metode matrik

elementar.

[ Kunci :

1

0

0

3

4/1

2/1

2

4/1

2/1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

, A matrik singular (Tidak punya

invers) ]

14. TOYES adalah mahasiswa Teknik Informatika UDINUS mengirim pesan pada pacarnya

SANTI menggunakan kata kunci: JAMU. Jika pesan yang diterima SANTI adalah “W X O

D W F J I E D W N O T”, tentukan isi pesan rahasia yang dikirim oleh TONI bila

menggunakan modulo 26.

Solusi sistem persamaan linier (SPL) ada 3 kemungkinan, yaitu

1. mempunyai solusi tunggal ( satu solusi), jika SPL tersebut konsisten

2. mempunyai banyak solusi, jika SPL tersebut konsisten ( consistent)

3. Tidak punya solusi, jika SPL tersebut tidak konsisten ( inconsistent )

Contoh 1:

Tentulan solusi persamaan linier berikut, x1 + x2 + 2x3 = 8

−x1 − 2x2 + 3x3 = 1

3x1 −7 x2 + 4x3 = 10

Solusi: Matrik Augmented

STEP 1.

10 473

1 321

8 211

14 2100

9 510

8 211

104 5200

9 510

8 211

2100

9510

8211

Maka bentuk persamaannya menjadi,

x1 + x2 + 2x3 = 8

x2 − 5x3 = −9

x3 = 2

B2+B1

B3−3B1

B2× (−1)

B3 – 10B2

B3/(–52)

STEP 2. Substitusi balik x3 = 2

x2 = 5x3 − 9 =10 – 9 =1

x1 = − x2 − 2x3 + 8 = −1 – 4 +8 = 3

solusinya adalah x1 = 3, x2 = 1, x3 = 2.

Contoh 2:

Tentulan solusi persamaan linier berikut,

33 3

1 42

222 2

1 2

wx

wzyx

wzyx

wzyx

Solusi:

33003

11421

22212

11211

00630

00210

00630

11211

00210

00210

00210

11211

00000

00000

00210

11211

Bentuk prsamaannya adalah

B2−2B1

B3 + B1

B4−3B1

B2/3

B4/3

B3−B2

B4−B2

02

12

zy

wzyx

Misalkan z = s dan w = t , dimana s and t adalah bilangan real, maka

z = s

w = t,

y = 2s

x = t −1

jadi SPL ini mempunyai banyak solusi.

Contoh 3.

Tentulan solusi persamaan linier berikut,

5161112

22 7 3

14 2

uzyx

uzyx

uzyx

Jawab:

Matrik Augmented:

51611121

22731

14121

Gunakan Operasi Baris Elementer (OBE)

41212100

16650

14121

60000

16650

14121

Persamaan terakhir adalah:

60 tapi te

60000 uzyx

Jadi, SPL ini tidak mempunyai solusi (inkonsisten).

B2−B1

B3−B1

B3+2B2

Contoh 4. Berapa nilai „a‟ agar SPL ini,

2)14(4

2 53

4 32

2 azayx

zyx

zyx

(i) mempunyai banyak solusi.

(ii) Tidak punya solusi.

(iii) Mempunyai satu solusi.

Solusi:

Matrik Augmented :

21414

2513

4321

2 aa

14270

101470

4321

2 aa

41600

210

4321

2

710

aa

Tulis Dalam Bentuk Persamaan,

4)4( 4)(

sebagai ditulis bisa (3)persamaan

3)( 4)16(

)2( 2

1)( 4 32

2

710

azaa

aza

zy

zyx

KASUS I . Pers(3)

00 4a

Pers(1) dan (2)

2

4 32

710zy

zyx

B2−3B1

B3−4B1

B2/(−7)

B3−B2

misalkan z = t

78

720

710

434

2

tttx

ty

Dimana „t‟ adalah bilangan real sembarang.

Jadi, SPL ini mempunyai banyak solusi.

KASUS II

konsisten tidak -80 4a

Jadi dalam hal ini SPL tidak punya solusi

KASUS III

1 misalkan ,4,4 aaa

51z

-315z-

41)41)(41( .3. pers z

35

47

35

64

5

3

35

64

5

2

7

10

)(24x

y

SPL mempunyai solusi tunggal bila a 4 dan a -4

dan untuk a=1 solusinya adalah

.dan ,51

3564

3547 zyx

Jadi : (i) a=-4, tidak punya solusi,

(ii) a=4, punya bannyak solusi

(iii)a 4, a -4, punya solisi tunggal .

15. Diketahui dua buah matrik A dan B berikut,

3 2 3 4 8 2 and

4 3 5 8 3 4 6

x y z x y z y z x y zA B

x y z x y z x y z

Gunakan metode Gauss Jordan untuk mendapatkan nilai x, y dan z sedemikian hingga A dan B sama.

[ Kunci : x = −4, y = −1, z = 4 ]

16. Selesaikan system persamaan linier berikut mengggunakan kaidah Crammer.

4 5 2

11 2 3

5 2 1

x y

x y z

x y z

[ Kunci : ]

17. Diketahui matrik A = 122

121

322

, B = 321 dan X = zyx

Selesaikan persamaan berikut, AX T = 3 X

T + 2 B

T untuk mendapatkan nilai x, y, dan z.

[ Kunci : ]

18. diketahui persamaan linier berikut

x + y +2z = a

x + z = b

2x + y + 3z = c

Tentukan a , b, dan c agar persamaan tersebut konsisten.

[ Kunci : ]

19. Untuk nilai berapa sistem persamaan linier berikut

1 0

1 0

x y

x y

a) Mempunyai solusi unik (solusi tunggal)

b) Mempunyai solusi banyak

[ Kunci : ]

20. Untuk nilai berapa sistem persamaan linier berikut

3x + z = 2

3x + 3y + 4z = 4

3y + 2z =

a) Mempunyai solusi unik (solusi tunggal) (petunjuk det(A) )

b) Mempunyai solusi banyak (petunjuk det(A) )

c) Tidak mempunyai solusi (gunakan OBE)

[ Kunci : ]

21. Diketahui system persamaan linier berikut

x x x

x x

x x

1 2 3

1 2

1 3

4

2 2

4 3 0

3

(a) Tulislah system persamaan linier tersebut dalam bentuk AX=B

(b) Tentukan A– 1

menggunakkan operasi baris elementer

(c) Gunakan A– 1

untuk mnyelesaikan system persamaan linier tersebut

22. Tenttukan nilai y menggunakan kaidah Crammer untuk system persamaan linier berikut

2w + x + y + z = 4

x – y + z = 1

w – 2 y = 2

2 x + 4 y = 3

23. Diketahui system persamaan linier berikut

3623

6432

725

zyx

zyx

zyx

(a) Tulislah system persamaan linier tersebut dalam bentuk AX=B

(b) Tentukan A– 1

menggunakkan operasi baris elementer

(c) Gunakan A– 1

untuk mnyelesaikan system persamaan linier tersebut

24. Selesaikan system persamaan linier berikut

x1 + 2x2 + x3 − x4 = 2

3x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1

5x1 + 5x2 − 10 x3 + 13x4 = 7

− x1 − 3x2 + 4 x3 − 5x4 = −1