TUGAS AKHIR MATEMATIKA DASAR

KELOMPOK 2

Anggota:

1. Andi Hartomo Yusuf

2. David Sanjaya

3. Herlin Arina

4. Billi Bastanta Bangun

5. Gavrilla Anggasta Nadia

6. Sabrina Nasmita

7. M. Rully Indrawan

8. Dewa Gde Weda K.D.R

David Sanjaya NPM : 1106066864

Soal :

Hitunglah luas dan volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh y=x2 dan y2 = 8x bila diputar mengelilingi sumbu x= -3 dan sumbu y= -1, serta hitunglah panjang kurvanya!

Jawab :

Grafik dari fungsi-fungsi yang terkait

- Luas (L) menggunakan fungsi f(x) :

∫0

2

(√8 x−x2) dx = ¿

= { (23(8(2))3 /2

) – ( 23¿} – (0) }

= 128

3 – 83

= 40 Satuan Luas

- Luas (L) menggunakan fungsi f(y) :

∫0

4

(√ y− y2

8) dy =

¿

= { (23(4)3 /2

) – ( 1

24¿} – (0) }

= 128

3 – 83

= 40 Satuan Luas

- Volume diputar terhadap sumbu y = -1 :

π∫0

4

(√ y+1)2−( y2

8 )2

dy= π∫0

4

¿¿

= π ¿

=π ¿

= π (120

5−64

5¿ ≈ 11.2 π Satuan Volume

- Volume diputar terhadap sumbu x = -3 :

π∫0

2

(√8 x+3)2−(x2+3)2 dx= π∫

0

2

8 x+6 √8 x−x4−6 x3dx

= π ¿

=π ¿

= π 1208

5 ≈ 241.46 π Satuan Volume

- Panjang kurva :Kita ingin mengetahui panjang kurva dari fungsi y=x2 dan y2 =8x dari x=0 sampai x=2, oleh karena itu kita akan menggunakan teorema phytagoras :Kalau kita masukkan x=2 pada fungsi y=x2 , maka akan didapatkan titik (2,4), begitu juga dengan fungsi y2 =8x, kalau kita masukkan x=2 pada fungsi tersebut maka akan didapat titik (2,4). Lalu gunakan teorema phytagoras :

S=√(4)2+(2)2 = √20

lalu panjang kurva itu dikalikan dengan 2, karena masing-masing fungsi memiliki panjang kurva yang sama.

√20 x 2 = 2√20 = 4√5 Satuan Panjang

HERLIN ARINA NPM: 1106066920

Volume terhadap sumbu (y)

Metode cincin x = 3√ y

V ¿ π∫0

8

[22−¿( 3√ y )2]dy¿

¿ π∫0

8

[4−¿ y2 /3]dy ¿

¿ π(4y- 35

y5 /3)]

80

¿ π(4.8 - 35

y3√ y )

¿ π(32 - 35

.32)

¿ 645

π

Terhadap sumbu x

Metode kulit tabung

y¿ x3

V ¿2 π∫0

2

( xy ) dx

¿2 π∫0

2

( x . x3 ) dx

¿2 π∫0

2

( x4 ) dx

= 2 π5

x5] 20

= 64 π

5

Metode Cakram

V ¿ π∫0

2

(x3)2 ¿dx¿

¿ π∫0

2

x6 dx

¿ π7

x7] 20

¿128π7

Luas permukaan terhadap x

A = ∫0

2

x3 dx

= x4

4 ]

20

= 164

= 4

Luas permukaan terhadap y

X = 3√ y

A = ∫0

8

(2−¿ 3√ y )¿ ] 80

= 2y-34

y43 ]

80

= 2.8 -34

.8.2

= 4

0

3

3

1

1

Mochammad Rully Indrawan NPM : 1106066851

Tentukanlah luas daerah antara kurva y = x2, sumbu x, garis x= 1 dan garis x = 3.a. Terhadap sumbu xb. Terhadap sumbu y

Tentukan volume benda putar yang terbentuk jika a. diputar pada sumbu x b. diputar pada sumbu y

Panjang kurva y = X 2/3 dari titik (1,1) sampai titik ( 8,4 )

Jawab :

1. Luas daerah

Terhadap sumbu x y

9

x 1 3

f ( x ) ≥ 0

A=∫a

b

f ( x ) dx ;a=1 , b=3 , f ( x )=x2

A=∫1

3

x2 dx

A=⌊ x3

3⌋=1

3(33−13 )=26

3

Terhadap sumbu y y

9

A=∫a

b

f ( y ) dy ;a=1 , b=9 , f ( y )=2 – y12

A=∫1

9

2− y12 dy

A=⌊2 y –23

y32 ⌋

A=[2 (9 ) –23

(9 )32]−[2 (1 ) – 2

3(1)

32 ]=26

3

2. Volume

x

Diputar terhadap sumbu y

V y=2π∫1

3

x . x2dx

V y=2 π [¼ x ]31

V y=π

Diputar terhadap sumbu x

V x=π∫1

9

4− y dy

V x=π [ 4 y – ½ y2 ] 91

V x=π

Panjang kurva :

y=x23

y ’=2/3 x−1/3

S=∫1

8

√1+( y ')2 dx

S=∫1

8

√1+4/9 x−2 /3 dx

S=13∫

1

8

√9 x2 /3+ 4x1 /3 dx

u=9 x2 /3+4 du=6 x−1 /3 dx x =1 u = 13 x=8 u=40

S= 118

∫13

40

u1/2du

S=1/27(403/2 – 133 /2)S=7,6

Andi Hartomo Yusuf NPM : 1106066643

No. Urut : 14

Soal Aplikasi Integral

Tentukan luas (terhadap sumbu X dan Y), volume (terhadap sumbu X dan Y) serta panjang

kurva, jika dibatasi oleh kurva , garis dan sumbu Y.

Luas terhadap sumbu X:

Luas terhadap sumbu Y:

Volume terhadap sumbu X:

Volume terhadap sumbu Y

Panjang kurva (L)

, intervalnya berdasarkan batas di sumbu X :

a.) Luas : Terhadap sumbu x :

∫0

2

(4−2 x) dx = ¿

= {4(2) – (2)2} – {0} = 8 – 4

= 4

Terhadap sumbu y : 2x = 4-y

x = 2 - 12

y

∫0

4

(2−12

y )dy = [2y – 14

y2]

= [8 – 4] – [0] = 4

b.) Volume : Terhadap sumbu x :

π∫0

2

¿¿

= π∫0

2

(16−16 x+4 x2)dx

= π ¿

= π [32 - 32 + 323

] – [0] = 323

π ≈ 33.5

Terhadap sumbu y :

π∫0

4

¿¿

= π∫0

4

(4−2 y+ 124

y2)dy

= π ¿

= π [16 – 16 + 6412

]

= 163

π ≈ 16.7

c.) Panjang Kurva :

Gavrilla Anggastanadia (11) NPM : 1106066555

Sabrina Nasmita NPM : 1106066366

Soal

Tentukan luas terhadap sumbu X dan Y, volume terhadap sumbu X dan Y serta panjang kurva, jika dibatasi oleh kurva y=x2, garis x=2 ,dan y=x.

∆S = √∆ x2+∆ y2

= √(2)2+(4)2

= √4+16 = √20 = 2 √5 ≈ 4.47

y=x2

2

y=x

2

4

Y

X

X=2

Sumbu-X

1. Luas terhadap sumbu X:

= ∫0

2

x2−x dx = ¿

= {13(2)3−1

2¿}-(0)}

=83−2

= 23

X=2

4

2

X=√Y

X=Y

Y

2. Luas terhadap sumbu Y: ¿∫0

2

y−√ y dy

+ ∫2

4

( 2−√ y ) dy

¿ [12

y2−26

y32] 2

0+ [2 y−2

3y

32 ]42

¿ [(12

22−26

232 )+{(2 (4 )−2

34

32 )−(2 (2 )−2

62

32)}]

¿2+8−163

−4

¿6−163

¿ 23

2X

Sumbu-Y

2. Luas terhadap sumbu Y: ¿∫0

2

y−√ y dy

+ ∫2

4

( 2−√ y ) dy

¿ [12

y2−26

y32] 2

0+ [2 y−2

3y

32 ]42

¿ [(12

22−26

232 )+{(2 (4 )−2

34

32 )−(2 (2 )−2

62

32)}]

¿2+8−163

−4

¿6−163

¿ 23

y=x2

2

y=x

2

4

Y

X

X=2

Sumbu-X

3. Volume terhadap sumbu X:

¿ π∫0

2

( x2 )2−x2 dx

= π∫0

2

x 4−x2

¿ π [ 15

x5−13

x3] 20 ¿ π ( 1

525−1

323)− (0 )

¿ π ( 325

−83 ) ¿ 56

15π

X=2

2

4

2

X=√Y

X=Y

Y

X

Sumbu-Y

4. Volume terhadap sumbu Y:

¿2 π∫0

2

y ( y−√ y)dy + 2 π∫2

4

y (2−√ y ) dy

¿2 π∫0

2

y2− y32 ¿dy ¿ +

2 π∫2

4 (2 y− y32)dy

¿2 π [ 13

y3−25

y52 ]20+ [ y2−2

5y

52 ]42

¿2 π [( 13

23−25

252 )−(0 )+2 π {(2(4)2−2

54

52 )−(2(2)2−2

5(2)

52)}]

¿2 π {( 83−8√2

5 )}+2 π {(32−645 )−(8−8 √2

5 )} ¿ 16 π

3+64 π−128 π

5−8 π ¿ 536

15π

5. Panjang kurva (L)

kurva : y=x2 , intervalnya berdasarkan batas di sumbu X : 0 ≤ x≤ 2.

rumus :misalkan L adalah panjangbusur kurva y=f (x ) dengan interval atau batas sumbu x :a≤ x≤ b maka ,

L=∫a

b

√1+( dydx )

2

dx

¿∫a

b

√1+ { f ' ( x ) }2 dx

∴ y=x2makadydx

=2 x

L=∫0

2

√1+(2 x )2 dx

¿∫0

2

√1+4 x2 dx

¿∫0

2

(1+4 x2)12 dx

¿ [23

(1+4 x2 )32 ]20

¿ {23

(1+4 ∙ 22 )32 }−2

3(1 )

32

¿ {23

(1+16 )32 }−2

3

¿( 23

√4913)−23

¿46,7−0,7 ≈ 46

4. Volume terhadap sumbu Y:

¿2 π∫0

2

y ( y−√ y)dy + 2 π∫2

4

y (2−√ y ) dy

¿2 π∫0

2

y2− y32 ¿dy ¿ +

2 π∫2

4 (2 y− y32)dy

¿2 π [ 13

y3−25

y52 ]20+ [ y2−2

5y

52 ]42

¿2 π [( 13

23−25

252 )−(0 )+2 π {(2(4)2−2

54

52 )−(2(2)2−2

5(2)

52)}]

¿2 π {( 83−8√2

5 )}+2 π {(32−645 )−(8−8 √2

5 )} ¿ 16 π

3+64 π−128 π

5−8 π ¿ 536

15π

Billi Bastanta Bangun NPM : 1106066870

Diketahui kurva sebagai berikut :

Luas terhadap sumbu x :

∆ A=[√2x−(−x+4 ) ] ∆ x

A=∫0

4

[√2 x−(−x+4 ) ] dx

¿ [ 23

(2 x )32+

12

x2−4 x ]40¿ [ 2

3(2 x ) √2 x+ 1

2x2−4 x ]40

¿ [( 23

8.2√2+ 12

16−16)−0 )]¿ [ 32

3√2−8 ]

-2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

y=-x+4y^2=2x

¿7.2

Luas terhadap sumbu y :

∆ A=[(4− y )−12

y2]∆ y

A=∫0

2

[(4− y )−12

y2]dy

¿ [4 y−12

y2−16

y3]20¿ [4 (2 )−1

2(2 )2−1

6(2 )3]20

¿ [(8−2−86 )−0 )]

¿ [ 286 ]

¿4.67

Volume diputar terhadap sumbu x :

∆ V =π [ (√2 x )2−(−x+4 )2 ] ∆ x

V=π∫0

4

[2 x−( x2−8 x+16 ) ]dx

¿ π [ x2−13

x3+4 x2−16 x ]40¿ π [(16−64

3+64−64)−0 )]

¿ π [ 163 ]

¿5.3 π

Volume diputar terhadap sumbu y :

∆ V =π [ (4− y )2−( 12

y2)2]∆ y

V=π∫0

2

[( y2−8 y+16)−14

y 4]dy

¿ π [ 13

y3−4 y2+16 y− 120

y5]20¿ π [( 8

3−16+32−32

20 )−0 )]¿ π [ 1024

60 ]¿17.1 π

Panjang Kurva :

Diketahui 1 kurva ( y2 = 2x ) sebut sebagai F(x) dan 1 garis linear ( y = -x+4 )Panjang total dari kurva dan garis tersebut dapat dicari dengan rumus sebagai berikut :

Skurva = ∫0

2

√1+(F ( x )' )2 dy

Sedangkan untuk mencari panjang garis y= -x+4 , dapat digunakan persamaan pythagoras :

c =√(a)2+(b)2 , dimana a = 2, b = 2 , dan c adalah panjang kurva yang terkait

Jadi bila kita satukan, rumus tersebut menjadi :

Stotal = ∫0

2

√1+(F ( x )' )2 dy + √(a)2+(b)2

Stotal = ∫0

2

√1+ 116 x2 dy+ √(2)2+(2)2≈ 4.5

Dewa Gde Weda Krishna Ditha Rasanji (1)

NPM : 1106066340

Tugas Matematika Dasar

Soal 6.1(halaman 284) nomor 2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Dewa Gde Weda Krishna Ditha Rasanji(1)

Buat gambar lalu iris secara vertikal

∆A ≈ (x3 - x + 2)

A = ∫−1

2

(x3−x+2)dx

= [ 14

x 4−12

x2+2x ]−1

2

= (4 – 2 + 4) - ( 14−1

2−2)

= 334

y = x3 - x + 2

Irisan dari soal no 2 secara horizontal

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1.5-1

-0.50

0.51

1.52

2.5

A = ∫0

1

ydy +∫1

8

¿¿dy

= 1+[14

y4− y2+2 y ]1

8

= 334

y = x3 - x + 2

Dewa Gde Weda Krishna Ditha Rasanji (1) NPM : 1106066340

Soal 6.2(halaman 291) nomor 2

Volume

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.51

1.52

2.53

3.54

4.5

Metode Cincin

V ≈ π(-x2 + 4x)2 ∆x

= π(x4 -8x3 + 16x2) dx

= π∫0

3

(x4−8 x3+16 x2)dx

= π [ 15

x5−2 x4+163

x3]

0

3

= 153 π

5

≈ 96.13

Metode Kulit Tabung

y = -x2 +4x

V = 2π ∫0

3

3¿¿-x2 + 4x) dx

= 2π ∫0

3

¿¿x2 + 12x) dx

= 2π [−x3+6 x2 ]03

≈ 96.13

Soal 6.4(halaman 306) nomor 13

Panjang Kurva

x =t 3/3, y =t 2/2, 0 ≤ t ≤ 1

dxdt

=t2,

dydt

=t

Panjang = ∫0

1

t √(t¿¿2)2+t 2¿dt

= ∫0

1

√t 4+t 2dt

= ∫0

1

t √t 2+1 dt

= [ 13

(t2+1 )3 /2]0

1

= 13

(2√2−1 )

≈ 0.61