Tugas Statistik Bu Ani

7/25/2019 Tugas Statistik Bu Ani

1/8

9.2. VARIANS BERSYARAT

Varians dari fungsi padat peluang f(y/x)disebut varians bersyarat dari YolehX = x. Varians bersyarat didefenisikan sebagai berikut :

Defenisi 9.3

MisalkanX dan Yadalah dua variabel acak dengan fungsi padat gabungan f(x,y)dan

f( y / x)adalah fungsi kepadatan bersyaratan dari YolehX = x. Varians bersyarat dari

YolehX = xdinotasikan oleh Var (Y / x)dan didefenisikan sebagai berikut :

x

Y2|

(E (Y|x ))

2

Var ( Y|x )=E

Dimana E (Y|x ) dinotasikan sebagai rata-rata bersyarat dari YolehX = x.

Contoh 9.6.

MisalkanXdan Y adalah variabel acak kontinu dengan fungsi kepadatan peluang

gabungan :

f(x , y )={ey

untuk0


2/8

[ey ]x

ex

.

!ehingga" fungsi kepadatan bersyarat dari YolehX = xadalah :

h (y|x )=f(x , y )

f1(x )

ey

ex

e(yx ) untuk y>x .

!ehinggaX = x" Y berdistribusi eksponensial dengan parameter=1 dan tempat

parameterx. #ata-rata bersyarat dari YolehX = xadalah :

E (Y|x )=

y h (y|x ) dy

x

y e(yx ) dy

0

(z+x ) ez dz dimana z=yx

ez dz+0

zez dz

x0

x (1 )+(2 ) = x + 1.


3/8

Dengan cara yang sama" kita dapat menghitung distribusi moment kedua dari

h(y / x).

E (Y2|x )=

y2

h (y|x ) dy

x

y2

e(y x ) dy

0

(z+x)2 ez dz dimanaz=yx

x20

ez

dz+0

z2

ez

dz+2x0

z ez

dz

x2(1 )+(3 )+2x(2)

x2+2+2x

(1+x )2+1


4/8

Maka :

x

Y2|(E (Y|x ))2

Var ( Y|x )=E

$ (1+x)2+1(1+x)2

$ %.

Remark 9.2

Varians dari Yadalah &. 'ni bisa ditunjukkan dengan mengikuti : ketika marginal

dari Y adalah &. 'ni bisa ditunjukkan dengan mengikuti : ketika marginal dari Y

diberikan oleh : f2 (y )=0

y

ey

dx=y ey " (ilai ekspektasi dari Y adalah

E (Y)=0

y2

ey

dy=(3 )=2,dan E (Y2 )=0

y3

ey

dy=(4 )=6. !ehingga varians

dari Yadalah Var(Y) = 6 4 = 2. )ika diketahuiX = x maka variansnya adalah %.

Teorema 9.3

Misalkan X dan Y adalah dua variabel acak dengan rata * rataXdan Y dan

standar deviasiX dan

Y . )ika +kspektasi bersyarat dari YolehX = x adalah

linear dalamx" maka :

Ex (Var (Y|X))=(12 )Var (Y)

Dimana dinotasikan dengan koefisien korelasi dariX dan Y.

Contoh 9.7


5/8

Misalkan E (Y|X=x )=2x dan Var ( Y|X=x )=4x2

" dan misalkan X

berdistribusi seragam pada interval dari , sampai %. Apa varians dari Y ?

enyelesaian :

)ika E (Y|X=x ) adalah sebuah fungsi linear darix maka :

E (Y|X=x )=Y+Y

X(xX)

Dan Ex (Var (Y|X))=Y2

(12

) .

ita diberikan bah/a :

Y+Y

X(xX)=2x

Y

X=2

=2X

Y 01.23

Diketahui bah/a : Var ( Y|X=x )=4x2

etika X ~ U!" (#,1) di dapat kepadatan dariXmenjadi f(x) = 1pada interval

0,"%3" sehingga :

Ex (Var (Y|X))=

Va r (Y|X=x ) f(x ) dx

0

1

4x2

dx


6/8

4

[

x3

3

]0

1

4

3.

Melalui teorema 1.4" diperoleh :

4

3=E

x

(Var (Y|X))

Y2 (12 )

Y2 (14 X

2

Y2 )

Y24X

2

!ehingga :

Y2=

4

3+4X

2

etikaX ~ U!" (#,1)" varians dariXdidapatX

2 = 1

12.

!ehingga Varians dari Y

adalah :Y

2= 43+ 412

= 1612

+ 412

= 2012

=53

.

Contoh 9.

Misalkan E (X|Y=y )=3y dan Var (X|Y=y )=2 " dan misalkan fungsi

kepadatan Yadalah :


7/8

f(y )= { ey

untuk y>00untuk yanglainnya

Apa varians dariX ?

enyelesaian :

Melalui teorema 1.4" diperoleh :

Var (X|Y=y )=X2 (12 )=2 01.53

Dan : X+ X

Y (yy )=3y

Maka :=3

Y

X .

Dari 01.53 " kita peroleh :Ey(Var (X|Y))=2 sehingga :

X2

(19 Y

2

X2 )=2

X2 =9Y

2+2

!ekarang kita menghitung varians dari Y. 6ntuk ini" kita butuh$(Y) dan$(Y2).

E (Y)=0

y f(y ) dy

0

y ey

dy

(2)

$ %.


8/8

Dengan cara yang sama diperoleh :

E (Y2 )=0

y2

f(y ) dy

0

y2

ey

dy

(3)

$ &

!ehingga :

Var (Y)=E (Y2 ) [E (Y) ]2=21=1.

)adi" Varians dariX bisa dihitung :

X2 =9Y

2+2

$ 10%3 7 &

$ %%.

Documents

Tugas Statistik Bu Ani