TRƯỜNG THPT

CHUYÊN

NGUYỄN HUỆ

KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI

NĂM HỌC 2012 – 2013

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1: (2 điểm)

Cho hàm số 4 22 2 y x x có đồ thị (C).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .

2. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số

cộng.

Câu 2: (2 điểm)

1. Giải phương trình: 1

2sin +tanx+ 1 tan3xcos3x

x

2. Giải hệ phương trình:

2

2

2

log 2

4 1 4 0

yx

x xy y

Câu 3: (2 điểm)

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho A(5;1) và đường tròn (C) :

2 2 2 4 2 0 x y x y . Viết phương trình đường tròn (C’) có tâm A, cắt đường tròn (C) tại hai

điểm M, N sao cho MN = 3

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 0 x y z và đường thẳng

(d): 3 2 1

2 1 1

x y z. Viết phương trình đường thẳng ( ) đi qua M(3;0;-3) cắt đường thẳng (d)

và mặt phẳng (P) lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của AB.

Câu 4: (1 điểm)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BA = a. Tam giác SAC

cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N là trung điểm của

SA, BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABC) bằng 600.

Câu 5: (2 điểm)

1. Tìm 4

30

2sinx+cosx

(sinx+cosx) dx

2. Tìm m để phương trình : 2 23 3 3 22 2 2 2 x mx m x mx m x mx m có 2 nghiệm dương

phân biệt.

Câu 6: (1điểm)

Xét các số thực dương cba ,, . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

ca

cb

b

ca

a

cbP

32

)(12

3

34

2

)(3

.

----------------------HẾT----------------------

Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên:…………………………………………………SBD:…………………………………

www.tuoitrebentre.vn

TRƯỜNG THPT

CHUYÊN

NGUYỄN HUỆ

KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI

NĂM HỌC 2012 – 2013

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN

Câu ý Nội dung Điểm

1

(2điểm)

1 4 22 2 y x x

TXĐ: R

3' 4 4 y x x . 0

' 01

xy

x

0,25

Giới hạn: ;lim limx x

y y

bảng biến thiên

X -∞ 1 0 1 +∞

y’ – 0 + 0 – 0 +

Y

0,25

Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; 3);(1; )

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 1);(0;1)

Điểm cực đại (0; 2) ; điểm cực tiểu ( 1; 3);(1; 3)

0,25

Đồ thị

đồ thị hàm số có 2 điểm uốn là 1 7 1 7

( ; );( ; )3 33 3

Nhận xét: đồ thị nhận trục oy là trục đối xứng

0,25

2 Hoành độ giao điểm là nghiệm của pt: 4 22 2 0 x x m (1)

Từ câu 1) suy ra pt có 4 nghiệm phân biệt 3 2 m 0,25

Đặt 2( 0) t x t

Phương trình trở thành : 2 2 2 0 t t m

Khi 3 2 m thì phương trình (1) có 4 nghiệm là:

2 1 1 2 t t t t

0,25

4 nghiệm lập thành cấp số cộng 2 1 1 2 1

2 9 t t t t t 0,25

y

O x

+∞ +∞

3

3

2

4

2

-2

-4

-5 5

www.tuoitrebentre.vn

Theo định lý Vi-ét ta có:

111 2

2

1 2 1

110 22 5

2 599 2( )

25

ttt t

t t m t mm tm

Vậy 59

25 m

0,25

2

(2điểm)

1 Điều kiện:

2cos3x 0 x

6 3

k 0,25

1 1 2sin2sin 1 tan 3 tan 2sin 1

cos3 cos3 cos3

1sinx=1

(2sin 1)( 1) 0 2cos3

cos3x=1

xPt x x x x

x x x

xx

0,5

21 6

sinx=52

26

x k

x k

(không thỏa mãn điều kiện)

2os3x=1 3 2

3

kc x k x

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là: 2

3

kx

.

0,25

2 2

2

2

log 2 (1)

4 1 4 0 (2)

yx

x xy yĐiều kiện: x>0.

Từ (2) suy ra y<0

(2) 2 2 2 2 44 1 4 16 16 4 x xy y x x y x y 2 2 2 4 2 24 16 16 0 ( 4)(4 4) 0 x y x x y xy x xy

2

2

44 xy x

y ( vì 24 4 0 x xy )

0,25

Thay vao (1) ta được: 2

2 22

4log 2 4.2 2log ( ) 2 0 y y y

y

Xét 2

2( ) 4.2 2log ( ) 2 '( ) 4.2 .ln 2

ln 2 y yf y y f y

y

0,25

Đặt ( 0) t y t

22 2ln 2 1 2'( ) 0 4.2 .ln 2 0 0 2ln 2

ln 2 2 ln 2

t

t

tf y

t t t

Xét 2

2 2 ln 2 2 1( ) '( ) 0

ln 2

t t ttg t g t t

t t

Ta có bảng biến thiên

T 0

1

ln 2 +∞

g’(t) – 0 +

g(t)

0,25

+∞ +∞ 1

( )ln 2

g

www.tuoitrebentre.vn

Vì

1

2 2ln 21 2

( ) 2 .ln 2 2.ln 2 2.ln 2 0ln 2

t

g tt

'( ) 0 0 ( ) f y y f y nghịch biến trên khoảng ( ;0)

Nên phương trình f(y)= 0 có nghiệm duy nhất 1 4 y x

Vậy hệ có nghiệm (4;-1)

0,25

3

(2điểm)

Đường tròn (C) có tâm I(1;-2)

bk R = 3 .

Gọi H là giao điểm của MN và AI

Ta có : 2 2 3

2 IH IM MH

5IA

0,25

0,25

TH1: A và I nằm khác phía với MN

Ta có : 3 7

52 2

HA IA IH

Trong tam giác vuông MHA ta có : 2 2 13 AM HM AH

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: 2 2( 5) ( 1) 13 x y

0,25

TH2: A và I nằm cùng phía với MN

Vì IA>IH nên I nằm giữa H và A

Ta có : 3 13

52 2

HA IA IH

Trong tam giác vuông MHA ta có :

2 2 43 AM HM AH

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: 2 2( 5) ( 1) 43 x y

0,25

2 Gọi điểm (3 2 , 2 ; 1 ) ( ) A t t t d và ( , , ) ( )B a b c P 0,25

M là trung điểm của AB

3 2 6 3 2

2 0 2

1 6 5

t a a t

t b b t

t c c t

Vì ( , , ) ( ) 2 0 (3 2 ) (2 ) ( 5 ) 2 0 B a b c P a b c t t t

1 t

Suy ra A(5;-1;-2) và B(1;1;-4)

0,5

Vậy phương trình đường thẳng ( ) là:

3 2

3

x t

y t

z t

0,25

H

N

M

AI

H

N

M

AI

www.tuoitrebentre.vn

4

(1điểm)

Gọi I là trung điểm AC, do tam giác

SAC cân nên SI AC mà

( ) ( )SAC ABC suy ra ( )SI ABC

0,25

Gọi H là trung điểm AI suy ra MH//SI suy ra MH (ABC) do đó: 0( ,( )) 60MN ABC MNH .

2

2ABC

aS

0,25

Xét tam giác HCN có : 3 2

;2 4

a a

NC HC

22 2 2 0 5 10

2 . . os458 4

a a

NH HC NC HC NC c NH

0,25

Trong tam giác MHN có MH = NH.tan 0 30 3060 ; 2

4 2a SI MH a

31 30.

3 12SABC ABCV SI S a

0,25

5

(2điểm)

1 4 4

3 3 3

0 0

2sinx+cosx osx(2 tan x+1)

(sinx+cosx) cos x(tanx+1)

cdx dx

Đặt t = tanx 2

1

os dt dx

c x. Đổi cận x =0 0 t ; 1

4 x t

Vậy 1 1 1

3 2 3

0 0 0

(2 t +1) 2 1

(t+1) (t+1) (t+1) I dt dt dt

0,25

0, 5

11

2

0 0

2 1 5

1 2(t+1) 8

t 0,25

2 2 23 3 3 2 212 2 (3 3 ) ( 3 )

2

x mx m x mx m x mx m x mx m

Xét 1

( ) 22

tf t t là hàm đồng biến trên R

Vậy pt 2 2 2 0 x mx m

0,25

0,25

Pt có 2 nghiệm dương phân biệt2' 0 2 0

0 2 0 2

0 2 0

m m

S m m

P m

Vậy m>2

0,5

BC

A

S

I

H

M

N

www.tuoitrebentre.vn

6

(1điểm)

(*)

4110,

yxyxyx

Dấu “=” xảy ra yx

8

32

12

3

341

2

)(3211

ca

cb

b

ca

a

cbP

cabacba

32

4

3

1

2

1334

0,5

Áp dụng (*): baba 32

4

3

1

2

1

cbacaba 334

16

32

4

32

4

0,25

cbacaba 334

16

32

4

3

1

2

1

51611 PP

Dấu “=” xảy ra acb3

2

Min khiP ,5 acb3

2

0,25

Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa

www.tuoitrebentre.vn