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Janina Körper Institut für Meteorologie
Turbulenzparametrisierung in FOOT3D
Seminar zur Planetarischen Grenzschicht20.12.2006
Janina Körper
Janina Körper Institut für Meteorologie
Gliederung
• Einführung in das Koordinatensystem in FOOT3D
• Turbulenzparametrisierung • Umsetzung in FOOT3D• Quellen
Janina Körper Institut für Meteorologie
Orographiefolgendes gestauchtes η-
System
Quelle (9)
Vorteile:
• Strömungsrichtung und Koordinaten sind parallel
• Wir erreichen eine hohe Auflösung in den Bereichen, die uns interessieren
Janina Körper Institut für Meteorologie
Orographiefolgendes η-System
hHhzH
−−=η H Höhe des Modeloberrandes
h Höhe der Topographie
Transformationsbeziehungen:
hHH
hhHH
hhHH
z
yy
xx
−=∂
∂−
−=∂
∂−
−=∂
η
ηη
ηη
ˆ
ˆ
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Damit wird aus den horizontalen Bewegungsgleichungen:
gtuv
vgxxvpt uDvvfcud ∂+−
−+∂∂+∂−=
0
**ˆ )(
θθπηπθ η
gtvv
vgyyvpt vDuufcvd ∂+−
−−∂∂+∂−=
0
**ˆ )(
θθπηπθ η
Druckgradient CorioliskraftDivergenz
lokalzeitlicheÄnderung
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Aufbau der planetarischen Grenzschicht
Höhe
Quelle (4)
bis ca. 1mm
bis 20-60 m
bis ca. 1000 m
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∫ ∫ ∫ ∫∆ ∆ ∆ ∆∆∆∆∆
=x y z t
adxdydzdttzyx
a 1
• Man fängt bei der Navier-Stokes-Gleichung z. B. für die u-Komponente des Windes an:
• Man macht jetzt einen Störungsansatz, d.h. man zerlegt jede Variable a in den Mittelwert und den variablen Anteil (a = a + a´):
• Damit wird aus der Bewegungsgleichung*:
Störungsansatz
xpfv
zww
yvv
xuu
tu
∂∂−+
∂∂+
∂∂+
∂∂−=
∂∂
ρ1)(
)''''''(1)(zwu
yvu
xuu
xpvf
zuw
yuv
xuu
tu
∂∂+
∂∂+
∂∂−
∂∂−+
∂∂+
∂∂+
∂∂−=
∂∂
ρ
*Gemischte Terme (z.B. uu‘) werden vernachlässigt; Benutzung der Kontinuitätsgleichung
neue Unbekannte
∫ ∫ ∫ ∫∆ ∆ ∆ ∆∆∆∆∆
=x y z t
adxdydzdttzyx
a 1Schließungsproblem
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Gradientansatz
ϕϕ ϕϕ ii xxii KuF ∂−== ''
Der turbulente Fluss einer skalaren Größe ϕ in Richtung xi:
Für Impulsflüsse:
euuKuuF ijixjxuxjiux jijiji 32)('' δ+∂+∂−==
mit:
)''''''(21
2
2
wwvvuuqe ++== Turbulente kinetische Energie (TKE)
K Diffusionskoeffizient
Unbekannte sind nun die Diffusionskoeffizienten
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Turbulente Flussdivergenz im η-System
[ ][ ] [ ])()()()()(
)()()(
ˆˆ
ˆˆˆ
ϕηϕηϕηηϕηϕη
η ϕηηϕηϕη
ηηηη
ηϕ
zzyyxxyyxxz
yyxxzturbt
FFFFzFz
FzFzFz
∂∂+∂∂+∂∂∂−∂∂+∂∂− ∂=
∂∂+∂∂+∂∂− ∂=∂
Entwicklungsbedarf: Die Transformierung der Gleichung führt zu (wenn auch sehr geringen) Unterschieden in der numerischen Lösung.
Mit dieser Gleichung können wir also die Entwicklung turbulenter Flüsse bestimmen.
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Zentrale Gleichung für die Turbulenzparametrisierung
ε−++∂∂= sbxzext PPeKedii)(
lq
uuuP
wgP
ixjis
vv
b
j
74.0
''
''
3
=
∂−=
=
ε
θθ
mit
Ps Scherungsterm
Pb Auftriebsterm
ε Dissipation
l Mischungsweglänge
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Quelle (7)
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Quelle (7)
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Stabilität und Turbulenz
Quelle (4)
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Zeitliche und räumliche Variabilität der TKE
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Berechnung der vertikalen Diffusionskoeffizienten
MzM
HzH
ze
SqlKSqlKqlK
=== 2.0
SH und SM sind empirische Parameter und Stabilitätsabhängig.Sie wurden aus vereinfachten diagnostischen Beziehungen für die turbulenten Fluktuationen von Impuls, Temperatur und Feuchte abgeleitet.
l ist die Mischungsweglänge
Diffusionskoeffizient für die TKE:
Diffusionskoeffizient für Temperatur und Feuchte:
Diffusionskoeffizient für den Impuls:
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Mischungsweglänge
Quelle (8)
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Berechnung der Mischungsweglänge
Blackadar-Ansatz
∞∞ +
=lzzll
κκ
∫
∫=∞ H
H
dzq
dzzql
0
01.0mit der Grenzlänge:
H Höhe des Modelloberandesκ Karmankonstante=0.4
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Berechnung der horizontalen Diffusionskoeffizienten
1. Um Faktor 2.5 erhöhte vertikale Diffusionskoeffizienten (Gross, 1988)
2. Parametrisierung nach Tag (1979)
[ ]222 )()(2)(04.0 vuuvyxK yxyxhor ∂+∂+∂+∂∆∆=
Die Parametrisierungsmethode, die den größeren Wert liefert, wird benutzt.
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Literatur(1) L. Bernhard (2000):Integration von GIS und dynamischen Atmosphärenmodellen auf
Basis interoperabler objektorientierter Komponenten, Diplomarbeit(2) W. Brücher, M. Sogalla, M. J. Kerschgens (2003): FOOT3DK-Handbuch(3) G. L. Mellor und T. Yamada (1982): Development of a Turbulence Closure Model for
Geophysical Fluid Problems, Rev. Geophys. Space Phys., 20,851-875(4) U. Cubasch(2006): Physikalische Parametrisierung: vertikaler Austausch, Vorlesung
Klimamodellierung(5) G. Gross (1988): A Numerical Study of the Land and See Breeze Including Cloud
Formation, Beitr. Phys. Atmosph., 59, 97-114(6) P. M. Tag, F. W. Murray und L. R. Kvenig (1979): A Comparison of Several Forms of
Eddy Viscosity Parametrization in a Two Dimensional Cloud Model, J. Appl. Meteorol., 19, 1429-1441
(7) M. Kriegel (2004): Numerische Simulation von Quellluftsystemen, KI. Luft- und Kältetechnik,12, 505-510
(8) Internet (letzter Zugriff 9.12.06): http://max.pi.tu-berlin.de/Lehre/SLII/folien_VL.d/SL_10.internet.pdf
(9) D. Teuchert, M.Kerschgens: Einsatz eines diagnostischen Strömungsmodells im operationellen Betrieb für die Umgebungsüberwachung im Nahbereich kerntechnischer Anlagen, http://www.meteo.uni-koeln.de/content/downloads/596.pdf