1

4. TURUNAN

2

4.1 Konsep Turunan 4.1.1 Turunan di satu titik Definisi 4.1 Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang I yang memuat c. Turunan

pertama fungsi f di titik c, ditulis

didefinisikan sebagai bila limit ini ada.

Arti geometris: Perhatikan gambar disamping Kemiringan tali busur PQ adalah :

Jika x c , maka tali busur PQ akan

berubah menjadi garis singgung di ttk P

dgn kemiringan

cx

cfxfcf

cx

)()(lim)('

P(c,f (c))

Q f(x)

x

y

cx

cfxfmPQ

)()(

(c)fcx

f(c)f(x)m '

cx

lim

)(' cf

3

Jadi, arti geometris dari adalah kemiringan garis singgung kurva f di titik (c,f(c)).

Sedangkan arti fisis dari adalah laju perubahan nilai fungsi f(x) terhadap peubah x.

Notasi Lain :

Contoh Diketahui , tentukan Jawab :

)(',)(

cydx

cdf

xxf

1)(

9

1

3

1lim

33

3lim

3311

lim3

3lim3

3333

x)x(x

x

xx

x

)f(f(x))f'(

xxxx

)(' cf

)(' cf

)3('f

4

4.1.2 Turunan Sepihak

Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

bila limit ini ada.

Fungsi f dikatakan mempunyai turunan ( diferensiabel ) di c atau,

ada jika

sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.

cx

cfxfcf

cx

)()(

lim)('

cx

f(c)f(x)(c)f

cx

'

lim

)(' cf

)()()('dan)()( ''_

'' cfcfcfcfcf

5

Contoh : Diketahui

1,21

1,3)(

2

xx

xxxxf

Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1 Jika ya, tentukan

Jawab :a.

11

)1(lim

1lim

1

)121(3lim

1

)1()(lim)1(

1

2

1

2

11

'

x

xx

x

xx

x

xx

x

fxff

xx

xx

b.1

)121(21lim

1

)1()(lim)1(

11

'

x

x

x

fxff

xx

1)1)(1(

1lim2

1

22lim

11

xx

x

x

xxx

Jadi, f diferensiabel di x=1. .1)1(maka,1)1()1( ''' fff

)1('f

6

Teorema 4.1 Jika f diferensiabel di c f kontinu di c. Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah bahwa

Perhatikan bahwa

Maka

Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.

)()(lim cfxfcx

cxcxcx

cfxfcfxf

,).()()(

)()(

)()()(

)(lim)(lim cxcx

cfxfcfxf

cxcx

)(lim.)()(

lim)(lim cxcx

cfxfcf

cxcxcx

0).(')( cfcf

= f(c). Terbukti.

7

Contoh Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel

di x = 0 Jawab:

f kontinu di x = 0, karena,

f(0) = 0

dan

Selanjutnya selidiki apakah f (x) diferensiabel di x = 0 atau

0,

0,||)(

xx

xxxxf

0)(lim)(lim00

xxfxx

0lim)(lim00

xxfxx

0)(lim0

xfx

)0()(lim0

fxfx

)0()0( '' ff

1lim|0|||

lim0

)0()(lim)0(

000

'

x

x

x

x

x

fxff

xxx

.1lim|0|||

lim0

)0()(lim)0(

000

'

x

x

x

x

x

fxff

xxx

1)0()0(1 '' ff

Jadi,

Karena , maka f tidak diferensiabel di 0.

8

Contoh: Tentukan konstanta a dan b agar fungsi f(x) diferensiabel di

1 ;

Jawab : Agar fungsi f (x) diferensiabel di x=1, maka f (x) harus

kontinu di x=1 dan 1. Syarat agar f kontinu di 1 adalah : Maka

1,

1,)(

2

xax

xbxxf

)1()1( '' ff

).(lim)(lim)1(11

xfxffxx

11limlim1

2

1

ababaaxbxa

xx

1

)1(lim

1lim

1

)1()(lim)1(.2

2

1

2

11

'

x

aax

x

abx

x

fxff

xxx

21lim1

1lim

1

2

1

xx

xxx

ax

xa

x

aax

x

fxff

xxx

1

1lim

1lim

1

)1()(lim)1(

111

'

2)1()1( '' aff

.

Maka diperoleh : a = 2 dan b = 1.Agar

9

4.2 Aturan Pencarian Turunan

Fungsi Turunan Pertama Definisi 4.3 Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi

turunan pertama dari f, ditulis , didefinisikan sebagai

atau jika h=t-x

bila limitnya ada.

Notasi lain ,bentuk dikenal

sebagai notasi Leibniz.

xxt

xftfxf

xt,

)()(lim)('

xh

xfhxfxf

h,

)()(lim)('

0

)(,,)(

,,' xfDyDdx

xdf

dx

dyy xx

dx

dy

)(' xf

10

Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan sebagai berikut :

1. Fungsi konstanta, jika f (x)=k, maka

2. Fungsi pangkat,

3. Penjumlahan fungsi :

4. Perkalian fungsi :

5. Pembagian fungsi :

dengan g(x) 0.

Rrxxr

dx

xd rr

,0;1

(x)g(x)f

dx

g(x)f(x)d ''

)()()()(

)()( '' xgxfxgxfdx

xgxfd

)(

)()()()(2

'')(

)(

xg

xgxfxgxf

dx

d xgxf

Contoh Tentukan fungsi turunan pertama dari 1

3)(

2

x

xxf

Jawab: .

)1(

16

)1(

261

)1(

)3(2)1.(1)('

22

2

22

22

22

2

x

xx

x

xxx

x

xxxxf

0)(' xf

11

4.3 Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus

( Coba buktikan sendiri )!Turunan fungsi trigonometri yang lain :

1. 2.

3. 4.

Contoh: Tentukan dari Jawab:

xxfxxf cos)('sin)(

xxfxxf sin)('cos)(

x

dx

xd 2sectan

xdx

xd 2csccot

xx

dx

xdtansec

sec

xx

dx

xdcotcsc

csc

xxxf sin)( 2

).cossin2(cossin2)(' 2 xxxxxxxxxf

)(' xf

12

4.4 Aturan Rantai

Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dan ada , maka

Jika y = f (u ) , u = g(v), dan v = h(x) maka :

Contoh: Jika Tentukan

Jawab:

dx

du

du

dy

dx

dy

dx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy

du

dy

dx

du

1;12;3 22 xvvuuy

dx

dy

xxxvxudx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy4).1)1(2(64.)12(62.2.6 2

)1(24 2 xx

13

4.5 Turunan Tingkat Tinggi

Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).

Turunan pertama

Turunan kedua

Turunan ketiga

Turunan ke-n

Contoh : Tentukan dari

Jawab : , maka

f x

df x

dx' ( )

2

2

)("dx

xfdxf

3

3

)('"dx

xfdxf

n

nn

dx

xfdxf )(

)()( )1()( xfdx

dxf nn

xxy sin4 3

xxy cos12' 2 xxy sin24''

''y

14

4.6 Turunan Fungsi Implisit

Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda.

Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi implisit dari x. Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.

Contoh:Tentukan y’ dari bentuk implisit Sin(xy) = x2 + 1 Jawab: Dx (Sinxy) = Dx(x2 + 1)

Cos(xy) Dx(xy) = 2x

Cos(xy) (y + x ) = 2x

Maka )(

)(2'

xyxCos

xyyCosxy

'y

15

4.7 Garis singgung dan garis normal

Persamaan garis singgung fungsi y = f(x) di titik (x0,y0) dengan kemiringan m adalah y – y0 = m( x – x0 ).

Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut dengan garis normal.

Persamaan garis normal di titik (x0,y0) adalah

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal

fungsi di (2,6). Jawab :

Pers. Garis singgung Pers. Garis normal

).(1

00 xxm

yy

62 23 xxy

42.42.3)6,2('43' 22 yxxy

24)2(46 xyxy

2

1

4

16)2(

4

16 xyxy

.2

13

4

1 xy