26
BAB IV TURUNAN FUNGSI Setelah kita membahas limit pada bab sebelumnya, kita akan membahas tentang turunan yang konsepnya dikembangkan dari konsep limit. Pembahasan turunan dibagi menjadi dua bagian, bagian pertama membahas pengertian, sifat dan penghitungan turunan suatu fungsi, bagian kedua membahas penggunaan turunan. Bagian pertama akan kita bahas pada bab ini, sedangkan bagian kedua akan dibahas pada bab selanjutnya. TIK : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan mampu menentukan turunan fungsi yang diberikan. 4.1 Pengertian dan Sifat Turunan Perhatikan gambar berikut. 55

Turunan fungsi

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Turunan fungsi

BAB IV

TURUNAN FUNGSI

Setelah kita membahas limit pada bab sebelumnya, kita akan membahas

tentang turunan yang konsepnya dikembangkan dari konsep limit. Pembahasan

turunan dibagi menjadi dua bagian, bagian pertama membahas pengertian, sifat

dan penghitungan turunan suatu fungsi, bagian kedua membahas penggunaan

turunan. Bagian pertama akan kita bahas pada bab ini, sedangkan bagian kedua

akan dibahas pada bab selanjutnya.

TIK : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan mampu

menentukan turunan fungsi yang diberikan.

4.1 Pengertian dan Sifat Turunan

Perhatikan gambar berikut.

L

L1

x x+ h

f(x+h)

f(x)

y = f(x)

Gambar 4.1.

55

Page 2: Turunan fungsi

Pada gambar di atas, garis L menyinggung kurva y f(x) di titik (x,f(x)),

sedangkan garis L1 melalui titik (x,f(x)) dan titik (x+h,f(x+h)). Jika h mendekati

nol, maka garis L1 akan mendekati garis L, sehingga gradien garis L1 akan

mendekati gradien garis L. Hal ini dapat dinyatakan dalam bentuk limit sebagai

berikut:

.

Bentuk dikenal sebagi turunan fungsi y = f(x), yang

dinotasikan dengan

, y’ , , atau f’(x).

Dengan demikian secara geometri, turunan fungsi merupakan gradien dari garis

singgung kurva fungsi tersebut.

Karena turunan dedifinisikan dengan menggunakan limit sedangkan limit

fungsi bisa tidak ada, maka fungsi mungkin tidak mempunyai turunan di beberapa

titik tertentu.

Sebagai contoh, perhatikan fungsi nilai mutlak , yang grafiknya

diberikan dalam gambar di bawah ini.

56

Gambar 4.2.

Page 3: Turunan fungsi

Jika kita memperhatikan gambar dengan cermat, maka kita akan dapatkan

bahwa grafik fungsi nilai mutlak di atas berupa garis lurus, yang sebelah kanan

sumbu y adalah berupa garis y = x sedangkan yang sebelah kiri sumbu y berupa

garis y = -x. Garis di kanan dan kiri sumbu y mempunyai gradien yang berbeda,

sehingga patut dicurigai bahwa fungsi tidak mempunyai turunan di

perpotongan kurva dengan sumbu y, yaitu titik (0,0). Pembuktian bahwa fungsi

tidak mempunyai turunan di titik (0,0) diberikan di bawah ini.

Karena

dan

,

maka

,

sehingga tidak ada.

Contoh:

a. Tentukan garis singgung kurva di titik (2,4)

b. Tentukan apakah di x = 0 fungsi mempunyai turunan ?

Penyelesaian:

a. Gradien garis singgung kurva di titik (2,4) adalah

m = .

57

Page 4: Turunan fungsi

Oleh karena itu persamaan garis singgungnya adalah

b. Karena , maka

mempunyai turunan di x = 0.

Jika kita menentukan turunan secara langsung dengan menggunakan

definisi turunan, maka kita akan mendapatkan banyak kesulitan dan memakan

waktu lama. Untuk itu, diperlukan cara lain di samping dengan menggunakan

definisi secara langsung, yaitu dengan menggunakan sifat dan rumus turunan.

Berikut diberikan beberapa sifat penting dalam pencarian turunan suatu

fungsi.

1. Aturan perkalian dengan konstanta.

Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat diturunkan, maka

2. Aturan jumlah.

Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka

3. Aturan selisih.

Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka

4. Aturan hasil kali.

Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka

58

Page 5: Turunan fungsi

5. Aturan hasil bagi.

Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka

Bukti:

1. Aturan perkalian dengan konstanta.

Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat diturunkan, maka

2. Aturan jumlah.

Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka

3. Aturan selisih.

Untuk latihan

4. Aturan hasil kali.

Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka

59

Page 6: Turunan fungsi

5.

Aturan hasil bagi.

Untuk latihan.

Selanjutnya di bawah ini diberikan beberapa rumus dasar turunan.

Nomor Fungsi Turunan fungsi

1 y = k, k konstanta y’ = 0

2 y = xn y’ = nxn-1

3 y = ln x y’ =

Bukti:

1.

2.

s

60

Page 7: Turunan fungsi

3.

Contoh:

1. Jika h(x) = xg(x) dan g(3) = 5 dan g’(3) = 2, carilah h’(3).

2. Carilah turunan fungsi:

a.

b. y =

Penyelesaian:

1.

2.

a.

=

b.

61

Page 8: Turunan fungsi

4.2.

Aturan Rantai.

Di bawah ini diberikan aturan rantai yang banyak digunakan untuk

menentukan turunan fungsi.

Jika f dan g keduanya mempunyai turunan, dan h = f o g adalah fungsi

komposisi yang didefinisikan oleh h(x) = f(g(x)), maka h mempunyai turunan,

yaitu h’ yang dinyatakan oleh

h ’(x) = f ’(g(x)). g ’(x)

Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x) keduanya fungsi yang

mempunyai turunan, maka

.

Bukti:

62

Page 9: Turunan fungsi

Dengan menggunakan aturan rantai dan dengan menggunakan rumus

sebelumnya kita akan dapatkan rumus-rumus di bawah ini.

Nomor Fungsi Turunan fungsi

1 y = ex y’ = ex

2 y = ax, a 1 y’ = ax ln a

3 y = alog x, a >0, a 1 y’ =

Bukti:

1.

2. Untuk latihan

3. Untuk latihan

4.3. Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Parametrik

Dalam pembahasan sebelumnya, kita telah membahas turunan fungsi

eksplisit. kali ini kita akanm membahas turunan fungsi implisit dan fungsi

parametrik. Metode yang digunakan serupa dengan turunan fungsi eksplisit.

Contoh :

a. Jika x2 + y2 = 25, carilah

b. Jika x = 2t +1

y = t2 + t

tentukan .

63

Page 10: Turunan fungsi

Penyelesaian:

a. Jika kita turunkan kedua ruas persamaan x2 + y2 = 25 terhadap x, maka akan

kita peroleh:

Mengingat y adalah fungsi dari x dan dengan menggunakan aturan rantai,

diperoleh

Oleh karena itu 2x + 2y = 0, sehingga

b. Jika variabel x dan y kita turunkan terhadap parameter t, maka akan kita

peroleh

sedangkan .

Karena yang akan kita cari adalah maka

= .

4.4. Turunan Fungsi Trigonometri dan Siklometri

Rumus dasar dari turunan trigonometri adalah turunan fungsi sinus dan

cosinus, sedangkan turunan fungsi trigonometri yang lainnya dan turunan fungsi

siklometri dapat ditentukan dengan rumus turunan sinus dan cosinus, sifat

turunan, dan aturan rantai.

64

Page 11: Turunan fungsi

Turunan rumus sinus dan cosinus diberikan di bawah ini.

Nomor Fungsi Turunan fungsi

1 y = sin x y’ = cos x

2 y = cos x y’ = - sin x

Bukti:

1.

2.

Contoh:

1. Carilah turunan fungsi:

a.

b.

c.

65

Page 12: Turunan fungsi

d.

e.

f.

g.

2. Carilah turunan fungsi:

a.

b.

Penyelesaian:

1.

a.

b.

c.

d.

e.

66

yx1

21 x

Page 13: Turunan fungsi

f.

g.

2.

a.

b.

4.5. Turunan Tingkat Tinggi

Jika f fungsi yang dapat diturunkan, maka turunannya (f ’) juga berupa

fungsi. Jika f ‘ mempunyai turunan, maka turunan f’ kita notasikan dengan f ’’.

Notasi lain untuk turunan kedua dari y = f(x) adalah

.

67

y

x

1

21 x

y

x

1

12 x

Page 14: Turunan fungsi

Umumnya turunan ke-n dari y = f(x) dinyatakan dengan

.

Contoh:

1. Carilah dari :

a. x2 + y2 = 25

b. y = ln t, x = et

c. y = , x = ln (et +1)

2. Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini:

a.

b.

Penyelesaian :

1. Dari contoh sub bab sebelumnya telah diperoleh dari x2 + y2 = 25, yaitu

.

Karena

Dan mengingat y adalah fungsi dari x, dengan aturan pembagian dan aturan

rantai, diperoleh

Jadi

68

Page 15: Turunan fungsi

2.a. y = ln t, x = et

= =

=

Oleh karena dan maka

.

b. y = , x = ln (et +1)

= =

=

=

3. a.

69

Page 16: Turunan fungsi

b.

Latihan 4.

1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut pada titik yang

diberikan.

a. di titik (- 2, - 7)

b. , di titik (1,1)

2. Tentukan apakah fungsi di bawah ini mempunyai turunan pada titik yang

diberikan.

a. di x = 1

b. di x = 2

c. di x = 1

d. di x = 2

3. Masing-masing bentuk limit di bawah ini menyatakan turunan suatu fungsi

di titik . Tentukan bentuk fungsi, turunan fungsi, dan nilai a

pada setiap kasus.

a.

70

Page 17: Turunan fungsi

b.

4. Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut:

b. G(s) = (s2 + s + 1) (s2 + 2)

c. G(y) = (y2 + 1) (2y – 7)

d.

e.

5. Carilah persamaan garis singgung pada kurva di titik yang diberikan.

a. , di titik (1, 1)

b. , di titik (1, 2)

c. , di titik (4 ; 0,4)

d. , di titik (1, 1)

6. Carilah titik pada kurva y = x3 – x2 – x + 1 yang garis singgungnya

mendatar.

7. a) Gunakan aturah hasil kali sebanyak dua kali untuk membuktikan bahwa

jika f, g, dan h fungsi-fungsi yang mempunyai turunan, maka berlaku

(fgh)’ = f ‘gh + fg’h + fgh ‘

b) Gunakan bagian (a) untuk menentukan turunan fungsi

y =

8. Tentukan nilai

71

Page 18: Turunan fungsi

9. Tulislah fungsi komposisi dalam bentuk f(g(x)). Tentukan fungsi sebelah

dalam u = g(x) dan fungsi sebelah luar y = f(u). Kemudian carilah

a.

b.

c.

10. Carilah turunan fungsi-fungsi berikut

a.

b.

11. Carilah turunan pertama dari fungsi di bawah ini :

a. xy + ln y = 1

b. ln x + xy + ey = 3

c. cos (x + y) – eyx = x

d. sin xy + ln (x + y) = ex

e. eyx + x ln y = sin 2x

12. Carilah nilai turunan pertama dari fungsi di bawah ini pada titik yang

diberikan

a. xy – ln y = x; (0,1)

b. x + xy + 2y – 1 = 0; (1,0)

c. x3y + y3x = 30; (1,3)

d. x2y2 + 4xy = 12y; (2,1)

13. Carilah turunan pertama fungsi yang diberikan

a. y = ln t, x = et

72

Page 19: Turunan fungsi

b. y = , x = ln (et +1)

c. y = et + 2, x = e-t + 5

d. y = et + ln t, x = et + 1

e. y = te2t + t, x = et + t

f. y = t3 + 2t, x = 3t2 + 5

14. Carilah turunan kedua untuk fungsi-fungsi di bawah ini

a.3x3 + 3x2y – 8xy2 + 2y3 = 0

b. xy + y3 = 2

c. x3 – 4y2 = 3

d.

e.

15. Carilah nilai y’’ dari fungsi di bawah ini pada titik yang diberikan

a.x3 + y3 = 3xy; (0,0)

b. 2x2y – 4y3 = 4; (2,1)

c.x2 + y2 = 25; (3,4)

16. Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini:

a.

b.

c.

d.

17. Carilah turunan dari fungsi di bawah ini:

e.

f.

73

Page 20: Turunan fungsi

g.

h.

@@@

74