46
BAB II MATERI A. KALKULUS 1. LIMIT FUNGSI Konsep limit fungsi merupakan bagian yang sangat penting dalam Kalkulus. Banyak konsep lain yang didasarkan pada konsep limit fungsi, seperti konsep kekontinuan fungsi dan konsep turunan fungsi. Sehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan. Secara intuitif, ide dari limit fungsi f pada suatu titik c adalah L, adalah bahwa nilai f(x) akan dekat dengan L jika x dekat dengan c. Definisi Limit Fungsi Misal AR. f : A R , cR. L R disebut limit dari f di c, jika untuk setiap >0 , terdapat >0, sehingga untuk sebarang |x – c| < , x di A, maka |f(x) – L | < . Definisi ini seringkali disebut kriteria - dalam membuktikan limit fungsi pada suatu titik tertentu. Inti langkah ini adalah jika diberikan sebarang > 0, harus dapat ditemukan sehingga untuk sebarang x yang memenuhi |x – c| < akan berakibat |f(x) – k | < jika memang benar limit fungsi f di titik c adalah L. Selanjutnya jika L merupakan limit fungsi f di titik c, dikatakan f konvergen ke L di titik c. Dan seringkali 2

TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

  • Upload
    lyduong

  • View
    264

  • Download
    17

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

BAB II

MATERI

A. KALKULUS

1. LIMIT FUNGSI

Konsep limit fungsi merupakan bagian yang sangat penting dalam

Kalkulus. Banyak konsep lain yang didasarkan pada konsep limit fungsi, seperti

konsep kekontinuan fungsi dan konsep turunan fungsi. Sehingga memahami

konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman

konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan.

Secara intuitif, ide dari limit fungsi f pada suatu titik c adalah L, adalah

bahwa nilai f(x) akan dekat dengan L jika x dekat dengan c.

Definisi Limit Fungsi

Misal AR. f : A R , cR. L R disebut limit dari f di c, jika untuk setiap

>0 , terdapat >0, sehingga untuk sebarang |x – c| < , x di A, maka |f(x) – L | <

.

Definisi ini seringkali disebut kriteria - dalam membuktikan limit fungsi

pada suatu titik tertentu. Inti langkah ini adalah jika diberikan sebarang > 0,

harus dapat ditemukan sehingga untuk sebarang x yang memenuhi |x – c| <

akan berakibat |f(x) – k | < jika memang benar limit fungsi f di titik c adalah L.

Selanjutnya jika L merupakan limit fungsi f di titik c, dikatakan f konvergen ke L

di titik c. Dan seringkali ditulis dalam symbol L=lim

x→cf

atau L=lim

x→cf ( x )

atau f(x)L , jika xc. Kemudian jika f tidak punya limit di titik c dikatakan f

divergen di c.

Dari definisi limit tersebut di atas kemudian muncul pertanyaan tentang

kemungkinan banyaknya nilai limit fungsi f pada suatu titik, tunggal atau bisa

lebih dari satu. Ternya limit fungsi di suatu titik ( jika ada ) haruslah tunggal ,

seperti hasil teorema berikut.

Teorema

Misal AR. f : A R , cR . Jika f punya limit di c, maka limitnya tunggal.

2

Page 2: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

Dalam menunjukan limit suatu fungsi pada nilai yang ditunjuk dengan

dengan meggunakan criteria - memerlukan suatu teknik tertentu, walaupun pada

dasarnya adalah “hanya” menentukan besarnya yang bergantung pada besarnya

yang diberikan. Namun terdapat tipe-tipe fungsi yang harus menggunakan “trik”

tertentu dalam mendapatkan yang diinginkan. Seringkali harus disusun analisis

pendahuluan sebelum secara sistematik dilakukan langkah formalnya. Berikut

beberapa contoh cara menentukan besarnya , dari yang diberikan.

1.limx→c

k=k.

Analisis Pendahuluan: Dalam hal ini dapat dimisalkan f(x) = k dan L=k. Sehingga

untuk nilai x manapun |f(x) – k| adalah 0. Sehingga selalu lebih kecil dari

sebarang yang diberikan. Hal ini tentu memudahkan pemilihan , karena untuk

sebarang x yang memenuhi |x – c| < , untuk sebarang pilihan akan berakibat |

f(x) – k | < .

Jadi Berdasarkan criteria -, yaitu jika diambil sebarang > 0, dapat ditemukan

sehingga untuk sebarang x yang memenuhi |x – c| < akan berakibat |f(x) – k| <

. Jadi dapat disimpulkan limx→c

k=k.

2.limx→c

x=c.

Bentuk fungsi ini lebih komplek dari contoh sebelumnya, karena jika dimisalkan

f(x) = x dan L=c, maka nilai |f(x) – c | = x – c. Sehingga pilihan benar-benar

tergantung pada nilai yang diberikan, tidak bisa sebarang lagi seperti contoh

terdahulu.

Analisis Pendahuluan: Jika diberikan sebarang , dan harus ditemukan sehingga

untuk nilai berlaku x yang memenuhi |x – c| < , harus dipenuhi |f(x) – L | < .

Perhatikan nilai |f(x) – L | = |x – c|, sehingga jika dipilih =, maka jika |x – c | <

, akan berakibat |f(x) – L| < , karena |f(x) – L | = |x – c|.

Sehingga prosedur formalnya adalah sebagai berikut. Ambil >0 sebarang. Pilih

= , maka jika |x – c | < , akan berakibat |f(x) – c|< , karena |f(x) – L | = |x – c|.

3.limx→c

x2=c2

3

Page 3: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

Perhatikan bentuk fungsi f(x) = x2 dengan L = c2 pada contoh ini, tentunya

pembuktian nilai limitnya sama dengan c2 tidak dapat dilakukan analog dengan

cara pembuktian terdahulu. Disini tampak bahwa bentuk |f(x) – L | = |x2 – c2|

bentuknya lebih rumit dibangkan dengan bentuk pada contoh terdahulu.

Perhatikan bahwa |f(x) – L | = |x2 – c2| = |x + c| |x – c|, padahal akan dicari semua

nilai x yang memenuhi |x – c| < , harus dipenuhi |f(x) – L | < . Ini tidak bias

segera dilakukan karena |f(x) – L | = |x2 – c2| , memuat factor dalam bentuk |x + c|

dan |x – c| . Cara yang termudah adalah dengan membatasi nilai |x – c| dengan

suatu nilai tertentu, kemudian kita dapatkan batas dari nilai | x + c| dan baru dicari

nilai yang membatasi nilai |x – c|.

Analisis Pendahuluan.

Ambil > 0 sebarang. Akan dicari >0 , sehingga untuk x yang memenuhi |x – c|

< , harus dipenuhi |f(x) – L | <. Sekarang batasi dahulu nilai |x – c | misalkan

kurang dari 1( boleh nilai yang lain asalkan positif ). Selanjutnya dari |x – c | <1,

diperoleh |x| |c| + 1, sehingga |x+c| |x| + |c| 2|c| + 1.

Dari sini didapatkan jika |x – c| < 1, akan dipenuhi |f(x) – L | = |x2 – c2| = |x + c| |x

– c| ( 2|c| + 1 )|x – c|. Sehingga dari bentuk terakhir ini , jika dikehendaki

bernilai kurang dari > 0 yang diberikan, dapat dipilih nilai x sehingga |x – c| <

ε2|c|+1 . Akibatnya jika dipilih

δ=inf{1 , ε2|c|+1}, maka jika |x – c | < , akan

berakibat |f(x) – L| < .

Berikut diberikan definisi operasi aljabar dua fungsi sebelum dibahas

teorema limit dari fungsi-fungsi yang telah dioperasikan secara aljabar.

Definisi

Misal AR dan fungsi-fungsi f,g terdefinisi pada A ke R. Didefinisikan jumlah

f+g, selisih f – g , dan hasil kali fg di A ke R sebagai fungsi berikut, (f+g)(x) =

f(x) + g(x), (f – g)(x) = f(x) – g(x), (fg)(x) = f(x)g(x), untuk setiap x A.

Selanjutnya jika bR , didefinisikan perkalian bf, sebagai fungsi (bf)(x) = bf(x)

4

Page 4: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

untuk setiap xA. Akhirnya, jika h(x)0 untuk xA, didefinisikan hasilbagi f/h

sebagai fungsi ( f

h )( x )= f ( x )h( x ) untuk setiap xA.

Berdasarkan definisi ini, dapat dikaji limit dari fungsi-fungsi yang didefinisikan

tersebut.

Teorema

Misal AR dan fungsi-fungsi f,g terdefinisi pada A ke R, cR titik cluster dari A dan b R.

1. Jika limx→c

f=L dan

limx→c

g=M, maka

limx→c

( f +g)=L+M,

limx→c

( f−g )=L−M, limx→c

fg=LM,

limx→c

bf =bL

2. Jika h: AR, h(x)0 untuk setiap xA, dan limx→c

h=H 0, maka

limx→c

fg= L

H .

3.limx→c

[ f ]n=[limx→cf ]n

4.limx→c

[ f ]1n=[limx→c

f ]1n

5. Jika limx→c

f=L, maka

limx→c

|f|=|L|

6. Jika limx→c

|f|=0, maka

limx→c

f=0

7. Jika dipenuhi a f(x) b untuk setiap xA, xc, dan jika limx→c

fada

maka a limx→c

f b

8. Jika dipenuhi g(x) f(x) h(x) untuk setiap xA, xc, dan jika

L= limx→c

g=limx→c

hada maka

limx→c

f = L.

Limit di takhingga

5

Page 5: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

Masalah lain yang muncul adalah adanya suatu fungsi yang dalam istilah

aljabar dikatakan mempunyai asimtot datar, yaitu fungsi-fungsi yang menuju

suatu bilengan real tertentu jika x menuju bilangan yang cukup besar ( x ),

seperti fungsi f(x) =

1x , jika x . Berikut definisi limitnya.

Definisi

Misal AR, f : A R.

(a) Misalkan (a,) A untuk suatu aR. Suatu bilangan real L merupakan limit

dari fungsi f jika x , dan ditulis limx→∞

f=L∈R, jika untuk setiap > 0,

terdapat bilangan asli K sedemikian sehingga untuk x > K, berlaku |f(x) – L |

< .

(b) Misalkan (-, b) A untuk suatu bR. Suatu bilangan real L merupakan limit

dari fungsi f jika x -, dan ditulislimx→∞

f=L∈R, jika untuk setiap >0,

terdapat bilangan aslik K sedemikian sehingga untuk x < K, berlaku |f(x) – L |

< .

Limit Fungsi Aljabar

Menentukan limit fungsi berbeda dengan membuktikan bahwa bilangan

yang ditunjuk merupakan limit dari suatu fungsi yang diberikan. Pada beberapa

fungsi nilai limit dapat ditentukan dengan cara menentukan nilai fungsi di titik

yang ditunjuk.(jika fungsi tersebut terdefinisi pada titik yang ditunjuk). Berikut ini

diberikan cara menentukan limit fungsi aljabar.

Menentukan Limit dengan memfaktorkan atau merasionalkan bentuk akar.

Cara ini digunakan untuk menentukan nilai limit fungsi aljabar yang

berbentuk fungsi rasional yaitu f ( x )= g( x )

h (x ) pada titik c dan x-c merupakan

faktor dari fungsi g(x) maupun h(x). Bentuk fungsi f(x) dapat direduksi menjadi

fungsi yang tidak lagi memuat faktor x-c, sehingga limitnya sama dengan nilai

fungsinya.

Contoh:

6

Page 6: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

limx→ 1

x2−1x−1

=limx→1

(x−1)( x+1)x−1

=limx→1

(x+1 )=2

Menentukan limit fungsi untuk x.

Untuk menentukan limit fungsi rasional untuk x, dapat dilakukan

dengan membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dan

menggunakan fakta bahwa lim

x→∞

1x=0 .

Sehingga,

limx→∞

x3−4 x2+73−6 x2−2 x3 =lim

x→∞

x3

x3−4 x2

x3 + 7x3

3x3 −

6 x2

x3 −2 x3

x3

=limx→∞

1−4x+ 7

x3

3x3−

6x−2

=−12

Limit Fungsi Trigonometri

Dalam menentukan limit fungsi trigonometri, salah satu hasil yang terkait dengan

limit fungsi trigonometri yang harus diingat adalah limx→0

sin xx

=1 dan

limx→0

cos(x )−1x

=0.

Hasil ini ini diperoleh dengan memperhatikan fakta bahwa:

Dengan menggunakan ketaksamaan fungsi sinus dalam trigonometri, yaitu x -

16

x3 sin(x) x untuk x0, dan x sin(x) x -

16 x3, untuk x 0, maka

diperoleh ketaksamaan x -

16 x2 (sin(x))/ x 1. untuk setiap x0. Selanjutnya

karena limx→0

(1−16

x2)=1, sehingga dapat disimpulkan bahwa

limx→0

sin (x )x

=1.

(Catatan: Beberapa buku menggunakan pendekatan sudut dalam membuktikan

masalah ini, untuk hasil limx→0

cos (x )−1x

=0 dapat dilakukan dengan langkah

serupa). Sehingga,

limx→ 0

sin 2 xx

=limy→0

sin yy

2

=2 limy→0

sin yy

=2

7

Page 7: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

2. KEKONTINUAN PADA SUATU TITIK

Dalam pembahasan tentang limit fungsi, sama sekali tidak diperhatikan

keterdefinisian fungsi yang dimaksud pada titik yang dibicarakan keberadaan

limitnya. Dengan kata lain keberadaan limit fungsi tidak tergantung pada

keterdefinisian fungsi yang dimaksud pada titik tersebut. Selanjutnya pada kajian

kekontinuan fungsi, keterdefinisian fungsi yang dimaksud pada titik yang

dibicarakan menjadi syarat utama, karena Kekontinuan suatu fungsi pada suatu

titik adalah menguji apakah limit fungsi tersebut sama dengan nilai fungsi pada

titik tersebut. Sebelum lebih jauh mengkaji karakteristik fungsi-fungsi kontinu,

berikut disajikan definisinya.

Definisi Kekontinuan fungsi pada suatu titik

Misal AR. f : A R , c A. Fungsi f dikatakan kontinu di c, jika untuk setiap

>0, terdapat > 0 sedemikian sehingga untuk setiap xA, dengan | x – c | < ,

maka |f(x)-f(c)|< .

Perhatikan bahwa dalam pembahasan kekontinuan fungsi f: AR pada titik c,

agar dipenuhi f (c )=lim

x→cf

, harus dipenuhi tiga hal yaitu (a) fungsi f harus

terdefinisi pada c, (b) limit fungsi f pada titik c ada di R, dan kedua nilai dari (a)

dan (b) sama.

1. Fungsi f(x) = k merupakan fungsi kontinu di R. Ini mudah dipahami

karena telah diketahui bahwa limx→c

f ( x)= limx→c

k=k, dan f(c) = k, untuk

sebarang c di R. Jadi f kontinu di R.

2. Fungsi f(x) = x merupakan fungsi kontinu di R. Seperti contoh diatas telah

diketahui limx→c

f ( x)=c = f(c) , untuk sebarang c di R.

3. Fungsi f(x) = x2 merupakan fungsi kontinu di R. Seperti contoh diatas telah

diketahui limx→c

f ( x)=c2 = f(c) , untuk sebarang c di R.

4. Fungsi f ( x)=1

x kontinu pada himpunan A = {xR| x>0} , tetapi tidak

kontinu di titik 0. Dari bahasan limit fungsi telah diketahui bahwa untuk

8

Page 8: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

c A = {xR| x>0}, limx→c

1x=1

c . Sedangkan di titik 0, fungsi f(x) tidak

terdefinisikan. Jadi fungsi f ( x)=1

x tidak kontinu di 0.

3. TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA

Definisi Turunan

Misalkan I R suatu selang dan fungsi f : I R, dan cI. Bilangan real L

disebut turunan fungsi f pada titik c jika untuk setiap bilangan 0 terdapat

bilangan 0 sedemikian sehingga untuk setiap x I dengan 0 xc,

berlaku |f ( x ) −f (c )

x −c−L|<ε

.

Dalam hal ini kemudian seringkali dikatakan bahwa fungsi f differentiabel di titik

c, dan dan ditulis f’ (c) = L. Dengan pernyataan yang lain, turunan dari fungsi f di

c dinyatakan dalam bentuk limit sebagai f ' (c )= lim

x→c

f ( x )−f (c )x −c asalkan

limitnya ada.

Secara umum, notasi yang di gunakan untuk menyatakan turunan suatu

fungsi f adalah f’ atau Df. Sedangkan jika fungsi ditulis dalam bentuk y=f(x)

seringkali ditulis sebagai Dy atau

dydx . Selanjutnya dengan menggunakan definisi

limit dapat ditentukan nilai turunan suatu fungsi pada suatu titik tertentu.

Pandang fungsi konstan f ( x )=k , −∞<x<∞ , dengan k bilangan real. Untuk

titik c sebarang, f ( x )−f (c )

x−c= c−c

x−c=0 , x≠c

.

Akibatnya, f ' (c )=lim

x→c

f ( x )−f (c )x−c

= limx→ c

0=0.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa f’(x)=0.

Kemudian fungsi identitas f ( x )=x ,−∞<x<∞ .

Untuk titik c sebarang , f ( x )−f (c )

x−c= x−c

x−c=1

asalkan xc , akibatnya

f ' (c )=limx→c

f ( x )−f (c )x−c

=limx→ c

1=1

9

Page 9: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

Demikian juga, misal f ( x )=x3 , −∞<x<∞ maka

Untuk titik c sebarang ,

f ( x )−f (c )x−c

= x3−c3

x−c=(x−c )( x2+xc+c2 )

x−c

= x2+xc+c2 , asalkan xc.

Akibatnya, f ' (c )= lim

x→cx2+ xc+c2=3c2

.Sehingga dapat disimpulkan

bahwa f’(x)=3x2. Akhirnya, jika f ( x )=1

x, x≠0

.

Untuk titik c sebarang,

f ( x )−f (c )x−c

=

1x−1

cx−c

=(c−x )

xc ( x−c )=− 1

xc

asalkan xc. Akibatnya, f ' ( x )= lim

x→ c− 1

xc=− 1

c2.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa f’(x)=− 1

x2.

Berikut ini teorema-teorema yang terkait dengan turunan fungsi.

Teorema

Misalkan I R suatu interval,kemudian misalkan c I ,dan fungsi -fungsi f:I R

and g : I R adalah fungsi diferensiabel pada titik c , maka berlaku :

(a) Jika R , maka fungsi f diferensiabel pada titik c, dan ( αf ) ' ( c )=αf ' (c )

(b) Fungsi jumlah f + g diferensiabel pada titik c, dan ( f +g ) ' ( c )= f ' ( c )+g ' ( c )

(c) Fungsi hasilkali fg diferensiabel pada titik c, dan

( fg ) ' ( c )= f ' ( c ) g (c )+ f (c ) g' ( c )

(d) Jika fungsi g(c) 0, maka fungsi hasil bagi f/g diferensiabel pada titik c,

dan

( fg ) (c )= f ' (c ) g ( c )−f ( c ) g' (c )

( g (c )2 )Berikut adalah rumus- rumus turunan fungsi.

1.

ddx

( ln x )=1x

10

Page 10: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

l

P(x,f(x))

(x + h)x

Y

X

Q(x+h,f(x+h))h

g

y = f(x)

2.

ddx

( ax )=ax . ln a

3.

ddx

(e x)=ex

4.

ddx

(sin x )=cos x

5.

ddx

(cos x )=−sin x

6.

ddx

( tan x )= 1cos2 x

7.

ddx

(ctgx )=− 1sin2 x

8.

ddx

(arcsin x )=− ddx

(arccos x )=− 1√1−x2

9.

ddx

( arctgx )=− ddx

(arc cot gx )= 11+x2

Beberapa contoh Penggunaan Turunan

Perhatikan gambar berikut:

Garis l pada gambar di atas memotong kurva y = f(x) di titik P(x,f(x)) dan

Q(x+h,f(x+h). Jika titik Q bergerak sepanjang kurva mendekati P maka h

akan mendekati nol dan garis l akan menjadi garis g, yaitu garis singgung

kurva dititik P. Gradien garis l adalah f ( x+h )− f ( x )

h , sedangkan

11

Page 11: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

gradien garis g adalah limh→0

f ( x+h )−f ( x )h . Dari pembahasan

sebelumnya limh→0

f ( x+h )− f ( x )h merupakan turunan dari fungsi f yaitu

f’(x).

Jadi gradien garis singgung kurva y =f(x) di titik (x,f(x)) adalah

f ' ( x )= limh→0

f ( x+h )− f ( x )h

Sedangkan persamaan garis singgung kurva y =f(x) di titik (a,f(a)) adalah

y− f (a )=f ' (a )( x−a ) atau y= f (a )+ f ' (a )(x−a )

Sehingga untuk menentukan persamaan garis singgung kurva

y=2 x2−4 x−5 di titik (2,-5) dapat dilakukan sebagai berikut.

Dari y= f ( x )=2 x2−4 x−5⇒ f ' (x )=4 x−4 , sehingga f ' (2)=4 .

Diperoleh persamaan garis singgung kurva di titik (2,-5) adalah y=4x-18.

Untuk membahas penerapan turunan berikut didefinisikan tentang fungsi

naik dan fungsi turun, serta teorema terkait.

Definisi Fungsi Naik

Fungsi f dikatakan naik pada interval I jika untuk setiap dua bilangan

x1 , x2 di I dengan x1<x2 berlaku f ( x1 )< f ( x2)

Definisi Fungsi Turun

Fungsi f dikatakan turun pada interval I jika untuk setiap dua bilangan

x1 , x2 di I dengan x1<x2 berlaku f ( x1 )> f ( x2)

Teorema

Misalkan I interval terbuka

1. Jika f ' ( x )>0 untuk semua x di I, maka f naik pada I

2. Jika f ' ( x )<0 untuk semua x di I, maka f turun pada I

3. Jika f ' ( x )=0 untuk semua x di I, maka f konstan pada

Berdasarkan teorema tersebut diperoleh, fungsi f ( x )=x2 naik pada

interval (0 ,∞) , karena untuk setiap x di (0 ,∞) , f ' ( x )=2 x>0 .

12

Page 12: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

Sedangkan fungsi f ( x )=x2 turun pada interval (−∞ ,0 ) , karena untuk

setiap x di (−∞ ,0 ) , f ' ( x )=2 x<0 .

Misalkan x0 titik dalam domain f(x). Terdapat 4 keadaan yaitu:

1. f ( x )naik di x0 jika f ' ( x0)>0

2. f ( x )turun di x0 jika f ' ( x0)<0

3. f ' ( x0)=0

4. f ' ( x0) tidak ada (tak memiliki turunan di x0 )

Dalam keadaan 3 dan 4, x0 disebut sebagai titik kritis. Khusus

f ' ( x0)=0 , x0 disebut sebagai titik stasioner f(x).

Pada fungsi f ( x )=3−x2, karena f ' ( x )=0 hanya dipenuhi oleh x = 0,

maka titik kritis hanyalah 0. Tepatnya x = 0 merupakan titik stasioner f(x).

Pada fungsi f ( x )=|x|. f ' (0 ) tidak ada . Jadi x = 0 titik kritis namun

bukan titik stasioner.

Selanjutnya misal x0 titik dalam domain fungsi f(x)

a. f(x) dikatakan mempunyai maksimum mutlak di x0 jika

f ( x )≤f ( x0 ) untuk setiap x dalam domain f(x).

b. f(x) dikatakan mempunyai minimum mutlak di x0 jika

f ( x )≥f ( x0 ) untuk setiap x dalam domain f(x).

c. f(x) dikatakan mempunyai maksimum lokal (relatif) di x0 jika dan

hanya jikaf ( x )≤ f ( x0 ) untuk semua x yang dekat dengan x0 .

d. f(x) dikatakan mempunyai minimum lokal (relatif) di x0 jika dan

hanya jikaf ( x )≥ f ( x0 ) untuk semua x yang dekat dengan x0 .

Teorema:

Jika f’ dan f’’ ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a, b) yang

memuat titik c, maka syarat perlu dan cukup supaya fungsi f mencapai

nilai ekstrim pada x = c adalah f’(c) = 0 dan f’’(c) ≠ 0.

13

Page 13: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

A

B“ derivatifnya adalah”

Jika f’’(c) < 0, maka f(c) adalah nilai maksimum.

Jika f’’(c) > 0, maka f(c) adalah nilai minimum.

4. ANTI TURUNANPada bagian ini akan dibahas tentang konsep “anti turunan” (anti

derevatif), “integral tak tentu” dari suatu fungsi dan beberapa hal dasar yang pada akhirnya membantu kita untuk menemukan teknik yang sistematik dalam menentukan suatu fungsi jika derivatifnya diketahui.

Kita telah memahami bahwa:

xxxdxd

xxdxd

xxdxd 1)1(;2)7(;cos)(sin 2

.

Jika A dan B adalah himpunan fungsi dan kita buat relasi “derivatifnya adalah” dari A ke B, maka untuk beberapa fungsi di atas dapat diillustrasikan sebagai berikut.

Dengan memperhatikan tabel di atas kita dapat mengatakan bahwa:

(1) xcos adalah derivatif dari xsin

(2) x2 adalah derivatif dari 72 x

(3) xx1

adalah derivatif dari x1

Uraian diatas secara formal dapat dinyatakan dengan definisi berikut.

Fungsi F disebut anti derivatif dari fungsi f pada suatu selang jika )()(' xfxF pada selang itu.

Perhatikan bahwa, fungsi-fungsi 2222 2,112,32,2 xxxx semuanya

merupakan anti derivatif dari karena derivatif dari setiap fungsi itu adalah .

Demikian juga untuk sebarang konstanta c, cx 22 merupakan anti derivatif dari 3

32 x

. Itu menunjukkan bahwa anti derivatif suatu fungsi tidak tunggal (lebih dari sebuah).Secara umum dinyatakan dengan teorema berikut ini.

14

Page 14: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

Teorema Jika F (x ) anti derevatif dari , maka untuk sebarang konstanta c, F (x )+c juga anti derivatif dari f ( x ) .

Teorema Jika F (x )dan G( x )anti derevatif dari , maka G( x )=F ( x )+cuntuk suatu konstanta c.

Jika F (x ) adalah fungsi sehingga

ddx

[ F( x )]=f (x ), maka fungsi dengan bentuk

F (x )+c disebut anti derevatif dari f ( x ) dan ditulis dengan

∫ f ( x )dx=F ( x )+c ………………….(1)

Simbol ∫ dibaca “integral” dan f ( x )disebut “integran”.

Pernyataan (1) dibaca “integral tak tentu dari fx) sama dengan F (x ) ditambah c. Kata “tak tentu” menunjukkan bahwa hasilnya tak tentu (banyak fungsi yang mungkin), c disebut konstanta pengintegralan. Untuk menyederhanakan

penulisan, seringkali dx “dimasukkan” pada integran.

Contoh, ∫1 . dx ditulis dengan ∫ dx dan ∫ 1

x2dx

ditulis dengan ∫ dx

x2.

Sehingga kita dapat menulis:

∫ 4 xdx=2 x2+c , ∫cos xdx=sin x+c , ∫− 1

x √xdx= 1

√ x+c

, ∫ 4 x3 dx=x 4+c ,

∫ 12 x

dx=12

ln|x|+c, ∫ 1

2 xdx=1

2ln 1

2x+c

,∫sin 2 x dx=−1

2cos2 x+c

,

∫sin 2 x dx=−cos2 x+cRumus pengintegralan “dasar” diberikan pada tabel berikut ini.

No Derivatif Anti Derivatif

1ddx

[ x ]=1 ∫ dx=x+c

2ddx

[ ln x ]=1x( x>0) ∫ dx

x=ln|x|+c

3 ddx

[ xn+1

n+1]=xn ,(n≠−1) ∫ xn dx= 1

n+1xn+1+c

4ddx

[ sin x ]=cos x ∫cos x dx=sin x+c

5ddx

[ x ]=1 ∫sin x dx=−cos x+c

6ddx

[ ex ]=ex ∫ ex dx=e x+c

15

Page 15: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

7x

tgxdxd

2cos1

][ ∫ 1cos2 x

dx=tgx+c

8x

ctgxdxd

2sin1][ ∫ 1

sin2 xdx=−ctgx+c

Kita ingat kembali bahwa ∫ f ( x )dx berarti anti derevatif dari f ( x ).

Dengan kata lain, ∫ f ( x )dx adalah fungsi yang derivatifnya adalah f ( x ). Dengan

demikian kita memperoleh hasil

ddx∫ f (x )dx = f ( x )

.Hasil ini membantu kita dalam membuktikan teorema berikut ini.

Teorema

(a) Jika c adalah konstanta, maka ∫ c . f ( x )dx = c∫ f ( x )dx .

(b) ∫ [ f ( x )+g( x ) ]dx=∫ f ( x )dx+∫ g( x )dx

Kita perhatikan bahwa

ddx

[ 1n+1

f ( x )n+1+c ]=n+1n+1

f ( x )n . f ' ( x )

= f ( x )n . f '( x )

Dengan demikian, ∫ f ( x )n . f ' ( x ) dx= 1

n+1f ( x )n+1+c

.

Mengingat df ( x )=f ' (x )dx , maka dapat dirumuskan

Dengan metode yang sama seperti di atas (analog), dapat dikembangkan formula yang lebih umum berikut.

No Anti Derivatif

1 ∫ dfx= f ( x )+c

2 ∫ df ( x )f (x )

= ln|f ( x )|+c

3 ∫ f ( x )n df ( x )= 1n+1

f ( x )n+1+c

4 ∫cos f ( x ) df (x )=sin f ( x )+c

5 ∫sin f ( x ) df ( x )=−cos f ( x )+c

6 ∫ e f ( x ) df ( x )=e f (x )+c

∫ f ( x )n df ( x )= 1n+1

f ( x )n+1+c ; n±−1

16

Page 16: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

7 ∫ df ( x )cos2 f ( x )

=tgf ( x )+c

8 ∫ df ( x )sin2 f ( x )

dx=−ctgf ( x )+c

5. INTEGRAL PARSIAL

Teknik lain sebagai salah satu alternatif yang mungkin dapat dilakukan

untuk menentukan integral tak tentu adalah dengan pengintegralan parsial. Teknik

ini didasarkan pada turunan hasil kali dua fungsi.

Misalkan u=f ( x ) dan v=g( x ) , maka

ddx [ f (x ). g ( x )]=f ( x ) . g,( x )+g( x ) . f ,( x )

.Dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan di atas (dan menggunakan

Teorema 1.4) kita peroleh f ( x ). g( x )=∫ f ( x ) . g ,( x )dx +∫ g ( x ). f ,(x )dx

Atau ∫ f ( x ) . g ,( x )dx= f ( x ) .g( x )−∫ g( x ) . f ,( x )dx .

Karena dv=g ,(x )dx dan du= f ,( x )dx , persamaan terakhir dapat ditulis sebagai berikut.

Persamaan di atas sering kita sebut dengan Rumus Integral Parsial (bagian demi

bagian).

Untuk menentukan ∫ x cos x dx , misalkan x cos x dx sebagai u dv . Salah satu

caranya adalah dengan memisalkan u=x dan dv=cos x dx . Dengan pemisalan

itu kita peroleh du=dx dan v=∫ cos x dx= sin x+c . Dengan rumus integral parsial kita peroleh,

∫ x cos x dx = x . (sin x+c )−∫ sin x dx=x . sin x + cos x +C .6. INTEGRAL TERTENTU

Konsep penting yang mengkaitkan Integral tak tentu dengan Integral tertentu

adalah suatu teorema yang seringkali disebut sebagai Teorema Dasar Kalkulus.

Teorema Dasar Kalkulus

∫u dv = u .v−∫ v du

17

Page 17: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

X

Y

ba

y=f(x)

Misalkan fungsi f kontinu pada [a, b] dan misalkan F sebarang anti turunan dari f,

maka ∫a

b

f ( x ) dx = F (b )−F (a ).

Sehingga, ∫1

3

( x2−2 x ) dx=[ 13 x

3−x

2 ]1

3

=

23 karena f ( x )=x2−2 x kontinu pada

[1,3] dan F (x )=1

3x3−x2

anti turunan dari f.

Sedangkan ∫0

πsin x dx =[−cos x ]0

π

=2 karena f ( x )=sin x kontinu pada [0, π ] dan

anti turunan dari f adalah F (x )=−cos x .

MENENTUKAN LUAS DAERAH BIDANG

Salah satu penggunaan integral tentu adalah untuk menentukan luas daerah

bidang. Tentu tidak semua daerah bidang dapat ditentukan luasnya dengan mudah.

Pada bagian ini kita akan membahas cara menentukan luas daerah bidang yang

dibatasi oleh beberapa kurva yang diketahui atau dapat ditentukan persamaannya.

Luas daerah yang dibatasi y= f ( x ) , garis x=a , garis x=b dan sumbu

X; f ( x )≥0 untuk 0≤x≤b , adalah L=∫

a

b

f ( x )dx.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2+1 , sumbu-X, garis x=−1

dan x=2 dapat dilakukan sebagai berikut.

L=∫−1

2

y dx =∫−1

2

(x2+1)dx

18

Page 18: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

C

B

A

m

= [ 13 x

3+x ]

−1

2

= ( 8

3+2)−(−1

3−1)=18

3=6

.

Jika f bernilai negatif pada suatu sub interval [a,b], maka luas daerah D adalah

L=∫a

b

|f ( x )|dx

Luas daerah yang dibatasi y=f ( x ) , y=g (x ),garis x=a , garis x=b dan

sumbu Y adalah L=∫

a

b

|f ( x )−g ( x )| dx

7. VOLUME BENDA PUTAR

Jika suatu daerah bidang datar diputar mengelilingi sebuah garis lurus,

maka akan terbentuk suatu benda putar. Garis tetap itu kita sebut sumbu

putar. Sebuah contoh jika daerah segitiga ABC diputar mengelilingi sisi AC maka

akan terbentuk kerucut (lihat gambar).

Jika daerah lingkaran diputar dengan sumbu garis m maka akan terbentuk torus (seperti ban).

Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y= f ( x ) ,

sumbu-X, garis x=a dan garis x=b diputar mengelilingi sumbu-X adalah:

V=π∫a

b

y2 dx

19

Page 19: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

Sehingga volume benda putar V yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh

kurva y=√x , sumbu X dan garis x=4 diputar mengelilingi sumbu X adalah,

V =∫0

4

π (√x )2 dx = π∫0

4

xdx =

π [ 12 x2 ]

0

4

=8 π

.Kemudian volume benda putar V yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh

kurva y=x3, sumbu Y dan garis y=3 diputar mengelilingi sumbu Y adalah,

V =∫0

3

π ( 3√ y )2dy = π∫03

3

y23 dy

=

π [ 35 y53 ]

0

3

=π 9 3√95

.

B. TRIGONOMETRI

Trigonometri sebagai suatu metode dalam perhitungan untuk

menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perbandingan-perbandingan pada

bangun geometri, khususnya dalam bangun yang berbentuk segitiga. Pada

prinsipnya trigonometri merupakan salah satu ilmu yang berhubungan dengan

besar sudut, Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, dimana terdiri dari dua

buah kata yaitu trigonom berarti bangun yang mempunyai tiga sudut dan sisi

(segitiga) dan metrom berarti suatu ukuran. Dari arti dua kata di atas, trigonometri

dapat diartikan sebagai cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang

perbandingan ukuran sisi suatu segitiga apabila ditinjau dari salah satu sudut yang

terdapat pada segitiga tersebut. Dalam mempelajari perbandingan sisi-sisi segitiga

20

Page 20: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

rr

OA

B

A

B

C

ca

bGb. 1. perbandingan trigonometri

pada trigonometri, maka segitiga itu harus mempunyai tepat satu sudutnya (900)

artinya segitiga itu tidak lain adalah segitiga siku-siku.

1. SATUAN SUDUT

Sebuah sudut dihasilkan oleh putaran sebuah sinar terhadap titik pangkalnya.

Terdapat beberapa satuan untuk menyatakan besar sudut :

Derajat siksagesimal, dimana satu putaran penuh dibagi menjadi 360 bagian

yang sama. Setiap bagian disebut 10 . Sehingga satu putaran penuh = 360 0

Radian.

Satu radian adalah besarnya sudut yang menghadap busur lingkaran yang

panjangnya sama dengan jari-jari.

AOB = 1 rad

Hubungan radian dengan derajat

360 =

2πrr rad

= 2 rad

180 = rad

pendekatan 1 rad = 57,3.

2. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU

Gambar di samping adalah segitiga siku-siku dengan titik sudut sikunya di C.

Panjang sisi di hadapan sudut A adalah a,

panjang sisi di hadapan sudut B adalah b, dan

panjang sisi di hadapan sudut C adalah c.

Terhadap sudut :

Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut

Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut

Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa

21

Page 21: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

ca

hipotenusa panjang A

sudut depan di siku-siku sisi panjang sin

ac

A

sudut depan di siku-siku sisi panjanghipotenusa panjang csc

y

x X

Y P(r, )

r

O

Gb.B. koordinat kutub

y

x X

YP(x,y)

O

Gb.A koordinat kartesius

Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan trigonometri

terhadap sudut sebagai berikut:

1.

2.c os α=panjang sisi siku-siku di dekat (berimpit ) sudut A

panjang hipotenusa= b

c

3.tan α=panjang sisi siku-siku di depan sudut A

panjang sisi siku-siku di dekat sudut A= a

b

4.

5.sec α=panjang hipotenusa

panjang sisi siku-siku di dekat sudut A= c

b

6.cot α=panjang sisi siku-siku di dekat sudut A

panjang sisi siku-siku di depan sudut A= c

a

Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus:

3. KOORDINAT KARTESIUS DAN KOORDINAT KUTUB

Cara lain dalam menyajikan letak sebuah titik pada bidang xy selain koordinat

kartesius adalah dengan koordinat kutub.

Pada gambar A titik P(x,y) pada koordinat kartesius dapat disajikan dalam

koordinat kutub dengan P(r, ) seperti pada gambar B.

tan α=sin αcos α

cot α=cos αsin α

sec α= 1cos α

csc α= 1sin α

22

Page 22: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

O

B

A

Y

X45O

O

B

C

Y

X30O30O

A

Jika koordinat kutub titik P(r, ) diketahui, koordinat kartesius dapat dicari

dengan hubungan:

cos α= xr x=r cos α sehingga koordinat kutubnya

adalah P(r cosα , rsin α )

sin α= yr y=rsin α

4. NILAI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT ISTIMEWA

Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat dicari

tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator, yaitu: 0, 30, 45,60, dan

90. Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30, 45,dan 90.

Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa digunakan

lingkaran satuan x2 + y2 = 1 seperti gambar berikut ini.

a. Sudut 450

Perhatikan segitiga OAB dengan OAB= 450 ,maka :

OA=OB

OA2 + OB2 = OC2

OA2 + OA2 = r2

2OA2 = 1

OA2 = OA = = OB

Sehingga koordinat P( x,y) adalah (

b. Sudut 300

Perhatikan segitiga sama sisi yang terbentuk, yakni segitiga OAB, dan C

terletakpada AB. dengan sudut COB = 30o . Segitiga OAB adalah segitiga

sama sisi dengan r =1, CB=CA= dan OC=

12 √3

.

23

Page 23: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

221

Sehingga P(x,y) adalah

P( 12 √3 , 1

2)

sin 30 °= 12

cos 30°= 12 √3

tan 30°= 1√3

=13 √3

Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.

0 30 45 60 90

sin 021 1

2 √3 1

cos 1 321 1

2 √2 12 0

tan 013 √3 1 √3

tak terdefinisi

cot tak terdefinisi √3 1

13 √3 0

Gambar grafik :

y=sin x

24

Page 24: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

y

x X

YP(x,y)

r

1O

5. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUATU SUDUT DI BERBAGAI KUADRAN

P adalah sembarang titik di kuadran I dengan koordinat (x,y). OP adalah

garis yang dapat berputar terhadap titik asal O dalam koordinat kartesius,

sehingga XOP dapat bernilai 0 sampai dengan 90. Perlu diketahui bahwa

OP=√ x2+ y2=r dan r 0

Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat

didefinisikan dalam absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut:

1.sin α=ordinat P

panjang OP= y

r 4. csc α=panjang OP

ordinat P= r

y

2.cos α=absis P

panjang OP= x

r 5. sec α=panjang OP

absis P= r

x

3.tan α=ordinat P

absis P= y

x 6. cot α=absis P

ordinat P= x

y

y= cos x

y= tangent x

25

Page 25: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

Gb. titik di berbagai kuadran

y

x X

YP(x,y)

r1

O

y

x X

YP(x,y)

r

2O

y

xX

Y

r

P(x,y)

3O

y

xX

Y

r

P(x,y)

4O

Dengan memutar garis OP maka XOP = dapat terletak di kuadran I, kuadran

II, kuadran III atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini.

Sedangkan untuk mencari besar sudut jika diketahui harga sinus, cosinus atau

perbandingan trigonometri yang lain maka kita dapat mencarinya dengan Invers

Fungsi Trigonometri

Perhatikan y = Cos x

Misalkan x = /3 maka y = Cos /3 = ½

Ini berarti untuk setiap nilai x maka nilai y adalah tunggal

Misalkan y = ½ maka x = /3 + k.360 atau

x = - (/3) + k.360

Ini berarti bahwa jika y diketahui maka ditemukan lebih dari satu nilai x

y = Cos x : bila kita ingin menyatakan x dalam y maka :

x = Sudut yang nilai Cosinusnya y

x = Arcus Cosinus y

x = Arc Cos y atau x = Cos-1 y

Jadi untuk sudut x`dalam radian,

f = {(x,y) | y = Cos x, x R} : merupakan fungsi dari R R, tetapi

f-1 = { (y,x) | x = Cos-1 y ; -1 y 1 , y R}  adalah Invers dari f atau relasi

Siklometri

Bagaimana menjadikan f-1 sebagai fungsi ??

26

Page 26: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

y

xX

Y

P(x,y)

r

(90-)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

y = x

Gb. sudut yang berelasi

O

Caranya adalah dengan membatasi daerah hasilnya.

Apabila daerah hasil relasi siklometri dibatasi maka relasi siklometri dapat

menjadi fungsi siklometri. Adapun pembatasan tersebut adalah sebagai berikut.

Fungsi Daerah Asal Daerah Hasil

x = Sin-1 y [ -1, 1]

[ - 2

, 2

]

x = Cos-1y [ -1, 1] [0, ]

x = tan-1y ( -, ) [ - 2

, 2

]

x = Cosec-1y ( -, -1] [1, )[ - 2

, 2

], x 0

x = Sec-1y ( -, -1] [1, ) [0, ] , x 2

x = Cot-1y ( -, ) (0, )

6. RUMUS PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI

Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut (90 ), (180 ),

(360 ), dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus,

misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut dengan (90 - ) dan

pelurus (suplemen) untuk sudut dengan (180 - ). Contoh: penyiku sudut 50

adalah 40, pelurus sudut 110 adalah 70.

a. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (90 - )

Dari gambar, Titik P1 (x1,y1) bayangan dari P(x,y) akibat pencerminan garis y

x, sehingga diperoleh:

a. XOP = dan XOP1 = 90 -

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

27

Page 27: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

y

x X

Y

P(x,y)r

(180-)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O

Gb. . sudut yang berelasi

Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh:

1)sin (90 °−α )=

y1

r1= x

r=cosα

2)cos (90 °−α )=

x1

r1= y

r=sin α

3)tan (90 °−α )=

y1

x1= x

y=cot α

Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut

dengan (90 - ) dapat dituliskan sebagai berikut:

b. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - )

Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari

titik P(x,y) akibat pencerminan

terhadap sumbu y, sehingga

1). XOP = dan XOP1 = 180 -

2). x1 = x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan:

1)sin (180 °−α )=

y1

r1= y

r=sin α

2)

cos180 cos

1

1rx

rx

3)tan (180°−α )=

y1

x1= y−x

=−tan α

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

a. sin (90 °−α )=cosα d. csc (90 °−α )=secα

b. cos (90 °−α )=sin α e. sec (90 °−α )=cosec α

c. tan (90 °−α )=cot α f. cot ( 90°−α )=tan α

a. sin (180−α ) °=sin α ° d. csc (180 °−α )=cscα

b. cos (180 °−α )=−cosα e. sec (180 °−α )=−sec α

c. tan (180°−α )=−tan α f. cot (180 °−α )=−cot α28

Page 28: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

y

x X

YP(x,y)

r (180+)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1O

Gb. sudut yang berelasi

y

x

X

YP(x,y)

r(360-1)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1O -

Gb. sudut yang berelasi

c. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + )

Dari gambar di samping titik P1(x1,y1)

adalah bayangan dari titik P(x,y) akibat

pencerminan terhadap garis y x,

sehingga

1). XOP = dan XOP1 = 180 +

2). x1 = x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan:

1)sin (180 °+α )=

y1

r1=− y

r=−sin α

2)cos (180 °+α )=

x1

r1=−x

r=−cos α

3)tan (180°+ α )=

y1

x1=− y−x

= yx=tan α

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

d. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- )

Dari gambar di samping diketahui titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y) akibat

pencerminan terhadap sumbu x, sehingga

a. XOP = dan XOP1 = -

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan

a. sin (180 °+α )=−sin α d. csc (180 °+α )=−csc α

b. cos (180 °+α )=−cos α e. sec (180 °+α )=−sec α

c. tan (180°+ α )=tan α f. cot (180 °+α )=cot α

29

Page 29: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

y

x X

Y P(x, y)

r

O

Gb. . rumus identitas

1)sin (−α )=

y1

r 1=− y

r=−sin α

2)cos (−α )=

x1

r1= x

r=cosα

3)tan (−α )=

y1

x1=− y

x=−tan α

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

Untuk relasi dengan (- ) tersebut identik dengan relasi dengan 360 ,

misalnya sin (360 ) sin

7. IDENTITAS TRIGONOMETRI

Dari gambar di samping diperoleh cos α= x

r ,sin α= y

r dan

r=√x2+ y2.Sehingga

sin2 α+cos2 α = y2

r 2 +x2

r 2

= x2+ y2

r2 =r2

r2=1

a. sin (−α )=−sin α d. csc (−α )=−csc α

b. cos (−α )=cosα e. sec (−α )=sec α

c. tan (−α )=−tan α f. cot (−α )=−cot α

sin2 +cos2 1Jadi

30

Page 30: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

A D E B

C

G F

Begitu pun untuk :

1+tgn2 α =sec2 α1+ctgn2 α =cos ec2 α

8. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut

a. Rumus cos ( + ) dan cos ( )

Pada gambar di samping diketahui

garis CD dan AF keduanya adalah garis

tinggi dari segitiga ABC. Akan dicari rumus

cos ( + ).

cos (α+β )=ADAC

AD=AC cos (α+ β )Pada segitiga sikusiku CGF

sin α=GFCF GF=CF sin α …………..(1)

Pada segitiga sikusiku AFC,

sin β=CFAC CF=AC sin β …………..(2)

cos β=AFAC AF=AC cos β …………..(3)

Pada segitiga sikusiku AEF,

cos α=AEAF AE=AF cos α …………..(4)

Dari (1) dan (2) diperoleh

GF AC sin sin

Karena DE GF maka DE AC sin sin

Dari (3) dan (4) diperoleh

AE AC cos cos

Sehingga AD AE DE

31

Page 31: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

AC cos ( + ) AC cos cos AC sin sin

Jadi untuk menentukan cos ( ) gantilah dengan lalu

disubstitusikan ke rumus cos ( + ).

cos ( ) cos ( + ())

cos cos () sin sin ()

cos cos sin (sin )

cos cos + sin sin

e. Rumus sin ( + ) dan sin ( )

Untuk menentukan rumus sin ( + ) dan sin ( ) perlu diingat rumus

sebelumnya, yaitu: sin (90 ) cos dan cos (90 ) sin

sin ( + ) cos (90 ( + ))

cos ((90 ) )

cos (90 ) cos + sin (90 ) sin

sin cos + cos sin

Untuk menentukan sin ( ), seperti rumus kosinus selisih dua sudut

gantilah dengan lalu disubstitusikan ke sin ( + ).

sin ( ) sin ( + ( ))

sin cos () + cos sin ()

sin cos + cos (sin )

sin cos cos sin

f. Rumus tan ( + ) dan tan ( )

Dengan mengingat tan α=sin α

cos α , maka

tan (α+β )=sin (α+β )cos (α+ β )

=sin α cos β+cos α sin βcos α cos β−sin α sin β

cos ( + ) cos cos sin sin

cos ( ) cos cos + sin sin

sin ( + ) sin cos + cos sin

sin ( ) sin cos cos sin

32

Page 32: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

tan (α+β )=

sin α cos β+cosα sin βcosα cos βcos α cos β−sin α sin βcos α cos β

=

sin αcos α

+sin βcos β

1−sin αcosα

⋅sin βcos β

= tan α+ tan β

1− tan α tan β

Jadi

Untuk menentukan tan ( ), gantilah dengan lalu disubstitusikan ke

tan ( + ).

tan ( ) tan ( + ( ))

=tan α+ tan (−β )1−tan α tan (−β )

=tan α− tan ( β )1−tan α (−tan β )

= tan α− tan β1+ tan α tan β

Jadi

g. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

Dari rumusrumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat dikembangkan

menjadi rumus trigonometri untuk sudut rangkap.

sin 2 sin ( + ) sin cos + cos sin

2 sin cos

cos 2 cos ( + ) cos cos sin sin

cos2 sin2

Rumusrumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2 dapat diturunkan

dengan mengingat rumus dasar cos2 + sin2 1.

cos 2 cos2 sin2 cos 2 cos2 sin2

tan (α+β )= tan α+ tan β1− tan α tan β

sin 2 2 sin cos

cos 2 cos2 sin2

tan (α−β )=tan α− tan β1+ tan α tan β

33

Page 33: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

+

+

cos2 (1 cos2) (1 sin2) sin2

2cos2 1 1 2 sin2

Sehingga

tan 2α= tan (α+α )= tan α+ tan α

1−tan α tan α= 2 tan α

1− tan2 α

h. Mengubah Rumus Perkalian ke rumus Penjumlahan/Pengurangan

Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut

diperoleh:

cos ( + ) cos cos sin sin

cos ( ) cos cos + sin sin

cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos

cos ( + ) cos cos sin sin

cos ( ) cos cos + sin sin

cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin

Dari rumus sinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut

diperoleh:

sin ( + ) sin cos + cos sin

sin ( ) sin cos cos sin

sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos

sin ( + ) sin cos + cos sin

1) cos 2 cos2 sin2

2) cos 2 2cos2 1

3) cos 2 1 2 sin2

tan 2α= 2 tan α1−tan2 α

cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos

cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin

sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos

34

Page 34: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

sin ( ) sin cos cos sin

sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos

9. LUAS SEGITIGA

Dalam geometri untuk mencari luas segitiga terlebih dahulu kita harus

menentukan tinggi segitiga tersebut dan juga alasnya, kemudian digunakan

rumus bahwa

L=

Dalam pembahasan kali ini kita akan memanfaatkan aturan sinus dan aturan

cosinus untuk menghitung luas segitiga.

Perhatikan

Luas ABC=

Dengan mengganti nilai t dengan diperoleh

Dan jika t diganti dengan diperoleh

Sedangkan jika kita mengganti posisi garis tinggi segitiga misalnya dari sudut

A dan tegak lurus terhadap BC akan diperoleh rumus luas segitiga yang lain

yaitu

Rumus luas segitiga ini dimanfaatkan untuk menghitung luas segitiga yang

diketahui besarnya salah satu sudut dan dua sisi yang mengapit sudut

tersebut.

sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin

35

Page 35: TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA Web viewSehingga memahami konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan

36