Turunan - Handout

  • View
    54

  • Download
    10

Embed Size (px)

DESCRIPTION

matematika

Text of Turunan - Handout

  • TURUNAN

    Departemen MatematikaFMIPA IPB

    Bogor, 2015

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 1 / 52

  • Topik Bahasan

    1 Pendahuluan

    2 Turunan Fungsi

    3 Tafsiran Lain Turunan

    4 Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    5 Rumus-rumus Turunan

    6 Turunan Fungsi Trigonometri

    7 Aturan Rantai

    8 Turunan Implisit

    9 Turunan Tingkat Lebih Tinggi

    10 Laju Terkait

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 2 / 52

  • Pendahuluan

    Mengapa Turunan Penting?

    Pemahaman yang baik tentang konsep turunan fungsi akan memudahkanmemahami laju perubahan suatu variabel yang bergantung pada variabellain, misalnya penentuan:

    Laju pertumbuhan suatu populasi (manusia, ikan, harimau, bakteri,dsb).

    Biaya marjinal suatu produk.

    Kecepatan mobil seorang pembalap pada suatu waktu tertentu.

    Laju perubahan kecepatan aliran darah berdasarkan jarak dengandinding pembuluh.

    Laju penyebaran informasi, gosip.

    Laju peluruhan bahan radioaktif.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 3 / 52

  • Turunan Fungsi

    Turunan Fungsi pada Suatu Titik/Bilangan

    Denisi (Turunan Fungsi pada Suatu Titik/Bilangan)

    Turunan fungsi f pada titik/bilangan a dinyatakan dengan f 0 (a) , adalah

    f 0 (a) = limh!0

    f (a+ h) f (a)h

    (1)

    asalkan limit tersebut ada.

    Bila limit tersebut ada (bukan atau ), maka fungsi f dikatakanterturunkan (memiliki turunan, dierentiable) di a.Perhatikan Gambar (a) berikut.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 4 / 52

  • Turunan Fungsi

    Ilustrasi Geometris Denisi Turunan pada SuatuTitik/Bilangan

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 5 / 52

  • Turunan Fungsi

    Alternatif Formula Turunan

    Bila pada Denisi (1) diambil x = a+ h, akan diperoleh alternatifformula:

    f 0(a) = limx!a

    f (x) f (a)x a (2)

    (lihat Gambar (b))

    )

    f 0 (a) = limh!0

    f (a+ h) f (a)h

    = limx!a

    f (x) f (a)x a

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 6 / 52

  • Turunan Fungsi

    Contoh (Denisi Turunan pada Suatu Titik/Bilangan)

    Gunakan denisi turunan untuk menentukan:

    1 f 0 (0) bila f (x) = 2x+ 1. SOLUSI

    2 f 0 (3) bila f (x) =3x. SOLUSI

    3 f 0 (1) bila f (x) = 5.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 7 / 52

  • Turunan Fungsi

    Turunan Kiri dan Turunan Kanan

    Denisi (Turunan Kiri dan Turunan Kanan)

    Turunan kiri dan turunan kanan dari f pada a didenisikan oleh

    f 0 (a) = limh!0

    f (a+ h) f (a)h

    dan f 0+ (a) = limh!0+

    f (a+ h) f (a)h

    jika limit-limit ini ada.

    Jadi, f 0 (a) ada jika dan hanya jika turunan-turunan sepihak ini ada dansama.Alternatif Formula:

    f 0 (a) = limx!a

    f (x) f (a)x a dan f

    0+ (a) = lim

    x!a+f (x) f (a)

    x a .

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 8 / 52

  • Turunan Fungsi

    Contoh

    Gunakan denisi turunan untuk menentukan f 0(1) bagi fungsi-fungsiberikut.

    1 f (x) =

    8>: x2 + 1 ; x 12x ; x > 1

    2 f (x) = x jx 1j .

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 9 / 52

  • Turunan Fungsi

    Turunan Sebagai Kemiringan Garis Singgung

    Garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a)) adalah garisyang melalui (a, f (a)) yang kemiringan/gradiennya sama denganf 0 (a), yakni turunan f di x = a.Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a))adalah

    y f (a) = f 0 (a) (x a) (3)

    DEMO ANIMASI TURUNAN

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 10 / 52

  • Turunan Fungsi

    Ilustrasi Geometris Persamaan Garis Singgung

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 11 / 52

  • Turunan Fungsi

    Contoh

    Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f (x) = x2 + 2x di titik(1, 3) .SOLUSI

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 12 / 52

  • Turunan Fungsi

    Turunan Sebagai Fungsi

    Ganti titik tetap a dengan variabel x pada denisi turunan (1) dan(2), akan diperoleh fungsi f 0 dengan

    f 0 (x) = limh!0

    f (x+ h) f (x)h

    = limz!x

    f (z) f (x)z x

    (4)

    f 0 pada Persamaan (4) merupakan suatu fungsi, disebut turunanpertama fungsi f .Daerah asal f 0, Df 0 = fx j f 0 (x) adag , Df 0 Df .Nilai f 0 (a) juga dapat dihitung dari Persamaan (4) kemudianmengevaluasi f 0 (x) untuk x = a.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 13 / 52

  • Turunan Fungsi

    Contoh

    Diketahui fungsi f dengan f (x) =px. Gunakan denisi turunan untuk

    menentukan f 0 (x) dan f 0(4). Tentukan Df dan Df 0 .SOLUSI

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 14 / 52

  • Turunan Fungsi

    Soal

    Gunakan denisi turunan untuk menentukan f 0 (x) ,Df , dan Df 0fungsi-fungsi berikut:

    1 f (x) = x2 5.2 f (x) = x

    23 .

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 15 / 52

  • Turunan Fungsi

    Notasi Lain Turunan

    Misalkan y = f (x). Beberapa notasi yang menyatakan turunan f :

    y0 = f 0 (x) =dydx=

    dfdx=

    ddx

    f (x) = Df (x) = Dxf (x)

    Catatan: notasidydx

    ,dfdx

    ,ddxhanya merupakan simbol, bukan

    merupakan operasi pembagian.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 16 / 52

  • Tafsiran Lain Turunan

    Aplikasi TurunanFisika: Kecepatan Sesaat

    Nilai f 0 (a) merupakan laju perubahan sesaat dari y = f (x) terhadap xdi x = a.Misalkan s = f (t) menyatakan fungsi posisi suatu objek pada waktu t,

    kecepatan sesaat objek pada saat t = a adalah

    v = f 0 (a) = limt!0

    st= lim

    t!0f (a+ t) f (a)

    t

    laju objek pada saat t = a adalah jf 0 (a) j, yakni nilai mutlak kecepatansesaat.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 17 / 52

  • Tafsiran Lain Turunan

    Aplikasi TurunanEkonomi, Demogra

    Misalkan C = f (x) menyatakan total biaya produksi (Rp) untukmenghasilkan x barang (ton),

    f 0 (x) = limx!0

    Cx bermakna laju total biaya produksi terhadap

    banyaknya barang (Rp/ton). f 0 (x) dikenal sebagai biaya marjinal.

    Misalkan P = f (t) menyatakan banyaknya populasi pendudukIndonesia pada waktu t (tahun),

    f 0 (t) = limt!0

    Pt bermakna laju perubahan populasi pada waktu t

    (orang/tahun).

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 18 / 52

  • Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Teorema (Keterturunan Berimplikasi Kekontinuan)

    Jika f terturunkan di a, maka f kontinu di a.

    Makna

    Kekontinuan adalah syarat perlu agar f terturunkan, tetapi bukansyarat cukup.Untuk memeriksa keberadaan f 0 (a), terlebih dahulu periksakekontinuan f di a.Jika f kontinu di a, maka f 0(a) belum tentu ada.Jika f tidak kontinu di a, maka f 0(a) tidak ada.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 19 / 52

  • Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Contoh (Kontinu, Tidak Terturunkan)

    Tunjukkan bahwa f (x) = jxj kontinu di x = 0 tetapi f 0 (0) tidak ada.SOLUSI

    Contoh (Kontinu, Terturunkan)

    Tentukan f 0 (1), bila

    f (x) =

    8>: x2 + 1 ; x < 1

    2x ; x 1SOLUSI

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 20 / 52

  • Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Contoh

    Tentukan nilai dari a dan b agar fungsi f dengan

    f (x) =

    8>:px ; 0 x 1

    ax b ; x > 1

    terturunkan di x = 1.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 21 / 52

  • Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Soal (Keterkaitan Turunan dan Kekontinuan)

    1 Tentukan g0(1) dan g0 (1) bila

    g(x) =

    8>>>>>>>>>:1 2x ; x < 1x2 ; 1 x 12x ; x > 1

    2 Fungsi f didenisikan sebagai f (x) =

    8>: x2 ; x amx+ b ; x > a

    Nyatakan nilai m dan b terhadap a agar f terturunkan di a.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 22 / 52

  • Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Di mana Turunan Tidak Ada?

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 23 / 52

  • Rumus-rumus Turunan

    Rumus-rumus Turunan

    Rumus-rumus turunan berikut dapat diperoleh melalui denisi turunan.

    Teorema (Turunan Fungsi)

    Misalkan u = f (x), v = g(x), dan c suatu konstanta

    1.ddx(c) = 0 4.

    ddx(u v) = du

    dx dv

    dx= u0 + v0

    2).

    ddx(xn) = nxn1 5.

    ddx(uv) =

    dudx

    v+ udvdx= u0v+ uv0

    3.ddx(cu) = c

    dudx

    6.ddx

    uv

    =

    dudx

    v udvdx

    v2=

    u0v uv0v2

    ) n : bil. bulat positif

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 24 / 52

  • Rumus-rumus Turunan

    Contoh

    1 Buktikan Teorema Rumus Turunan No. 1, yaituddx(c) = 0. SOLUSI

    2 Tunjukkan bahwaddx(xm) = mxm1 juga berlaku untuk bilangan

    bulat negatif m. SOLUSI

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 25 / 52

  • Rumus-rumus Turunan

    Turunan Fungsi Pangkat

    Teorema (Turunan Fungsi Pangkat Umum)

    Jika n sebarang bilangan real, maka

    ddx(xn) = nxn1 (5)

    Dari pembahasan sebelumnya, berlaku

    ddx(xn) = nxn1,n : bilangan bulat (6)

    Pada pembahasan turunan fungsi implisit akan ditunjukkan bahwa(6) berlaku untuk n : bilangan rasional (pecahan).Pada pembahasan teknik penurunan logaritmik akan ditunjukkanbahwa (6) berlaku untuk n : bilangan real.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 26 / 52

  • Rumus-rumus Turunan

    Contoh1 Tentukan turun