-
Elektrotehniki fakultet Univerziteta u Sarajevu
INENJERSKA MATEMATIKA 1
Audaces fortuna iuvat. [Srea pomae one koji su hrabri.]
( Latinska izreka )
Tutorijal 3 (za treu sedmicu nastave u akademskoj 2014/2015.
godini)
G L A V A 1
UVOD: PRIPREMNI MATERIJAL - Preslikavanja (funkcije). Realni
brojevi -
Predvieno je da se kroz tutorijal iz Inenjerske matematike 1
(IM1), pod voenjem i pratnjom
tutora, rjeavaju i drugi zadaci u odnosu na one ija je izrada
data kroz predavanja predmetnog nastavnika (s ciljem da studenti
ovladaju pojmovima, instrumentima i metodama uvedenim tokom
predavanja),
ukljuujui i odreene zadatke s prethodnih ispitnih rokova. Ove
aktivnosti organizuju se tako da se ve tokom izvoenja programskih
sadraja, kroz domae zadae i parcijalne ispite, kontinuirano
provjerava stepen pripremljenosti svakog od studenata koji sluaju
kurs IM1 da ovlada znanjima i vjetinama koje treba postii u okviru
ovog kursa.
U smislu realizacije cilja i zadataka Tutorijala 3 (za treu
sedmicu) izvoenja kursa IM1, odreeni su sljedei zadaci (koji se
preporuuju za preradu prije i/ili u vrijeme asova tog
tutorijala):
Zad. 1. *
Odrediti skup svih vrijednosti realnog parametra m za koje
kvadratna jednaina
22 ( 4) (2 2) 0x m x m
ima rjeenja 1 2,x x koja zadovoljavaju relaciju
1 2
1 11
x x , a zatim za jednu od tako odreenih
vrijednosti parametra m skicirati grafik funkcije f zadane
formulom .22)4(2)( 2 mxmxxf
[ I. 1, 0 . II. 1, 2 . III. 4
1, .7
IV. , 0 8, . ]
Zad. 2. Odrediti skup svih vrijednosti realnog parametra m za
koje jednaina
013)2(2 mxmx ima rjeenja 1 2,x x koja zadovoljavaju relaciju
1 2
1 12
x x , a zatim
za jednu od tako odreenih vrijednosti parametra m skicirati
grafik funkcije f zadane formulom
.13)2()( 2 mxmxxf
[ I. 8, 1 . II. 1
0,3
.
III. , 8 . IV. , 8 0, . ]
Zad. 3. *
Zadana je familija (ft : t R\ {0}) funkcija iz R u R
formulom
,11
:111
)(
2
2
2
2
nnnnn
tt
xx
tx
tt
xt
xxf (n N).
Orediti (prirodne) domene zadanih funkcija u zavisnosti od
(prirodnog) parametra n, a zatim skicirati
grafike dviju od tih funkcija.
(Uputa. Vidi odgovarajui primjer u materijalu Ponavljanje
matematikog gradiva iz srednje kole na /str. nastavnog predmeta
IM1/ http://c2.etf.unsa.ba/course/view.php?id=3 .)
1
-
Zad. 4. *
Odrediti inverznu funkciju funkcije f : R (1, 1), f (x) = 1
x
x, gdje je R skup
realnih brojeva, a zatim skicirati grafike tih funkcija.
(Zadatak 1.3.5. na str. 28 u [Fatki, univ. udb. IM1]).
Zad. 5. Nai skup svih rjeenja nejednaine:
65 2 xx 0.
............... [ I. ( ,3 ) ( 3, + ) . II. ( 3, 3 ). III. ( ,2 )
( 2, + ) . IV. ( 3, 2 ) ( 2, 3 ) .]
Zad. 6. Odrediti skup svih rjeenja nejednaine:
23
4
x
x
x
1.
[ I. (, -3
2) ( -
3
2, 0 ) ( 1, + ). II. ( , 2 ) ( -
3
2, 0 ) ( 1, + ).
III. (, 2) ( 2, 2
417 ) (
2
417 , -
3
2) ( -
3
2, 0 ) ( 1, + ).
IV. (, -3
2) ( -
3
2,
2
417 ) ( 1, + ).]
Zad. 7.*
Ispitati da li skupovi A, B imaju supremum, infimum, maksimum i
minimum u R, ako je:
A : = {x R : x 3 5}, B : = {x R : 5 x x2 6 > 0}. (Primjer
1.3.4. na str. 28 u [Fatki, univ. udb. IM1]).
Zad. 8. *
Skicirajte grafik realne funkcije f jedne realne promjenljive
zadane formulom 52/1)( xxxf , a zatim naite lan u razvoju izraza
nxfx ))(( (po Newtonovoj binomnoj
formuli) koji ne sadri x ako vrijedi da je koeficijent treeg
lana u tom razvoju za 44 vei od koeficijenta drugog lana.
[ I. n = 11; 3. lan. II. n = 9; 1. i 5. lan . III. n = 8; 3. i
8. lan. IV. n = 11; 4. lan.]
(Uputa. Vidi Primjer 1.3.10. na str. 39 u [Fatki, univ. udb.
IM1].)
Zad. 9. Neka je M masa Zemlje, m masa Mjeseca, a l rastojanje
izmeu sredita Zemlje i Mjeseca.
Na kom rastojanju od centra Zemlje mora da se nalazi
meuplanetarna raketa lansirana sa Zemlje u pravcu Mjeseca, da bi ta
raketa mogla nastaviti dalje kretanje u pravcu Mjeseca bez
upotrebe
goriva samo pod uticajem privlane sile Mjeseca? Masa rakete je
m1. (Iz astronomije je poznato
da je 81m
M.)
Zad. 10. Naite maksimalni sabirak 1kT razvoja (po Newtonovoj
binomnoj formuli) izraza
2 11
n
nn
, ( ( 1, 2 )n N\ ).
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
[ I. 2 40T . II. 2
3
nT n . III. 2 11
nT n . IV. 2 3 3T T .]
2
-
Zad. 11. Odrediti sve racionalne realne brojeve x za koje je
22log ( 4 1)x x cio broj.
/Rezultat: x x x x1 2 3 417 1
,4 4
15, ,-= = = -= . / (Zadatak 320, str. 28 i 379 /rjeenje/ u
[Milii
Uumli, I.]).
Zad. 12. Dokazati da za sve aR i nN0 vrijedi identitet
01
1...
1
11 aa
n
na
n
na
n
na
.
.
Napomene:
1. Za rezultate, upute i/ili rjeenja prethodnih i drugih
zadataka iz oblasti koje se prouavaju u okviru predmeta IM1
preporuuje se koritenje sljedeih referenci (i uz pomo ostale
preporuene literature i materijala za IM1 /vidi Inenjerska
matematika 1-Syllabus/):
[1] Huse Fatki, Predavanja iz IM1 u akademskoj 2013./2014.
godini (http:/c2.etf.unsa.ba/) (u narednim tutorijalima iz IM1:
[Predavanja iz IM1] ).
[2] Huse Fatki, Inenjerska matematika 1, tamparija Fojnica d.d.,
Fojnica-Sarajevo, 2012. (http://www.svjetlostkomerc.ba/)
(Univerzitetski udbenik) (u narednim tutorijalima iz IM1: [Fatki,
univ. udb. IM1] ).
[3] Pavle M. Milii, Momilo P. Uumli, Zbirka zadataka iz vie
matematike I, Graevinska knjiga, Beograd, 1973; Nauka, X izd.,
Beograd, 1984. (XV izd. ili bilo koje novije izd.) (u narednim
tutorijalima iz IM1: [Milii Uumli, I.]).
[4] Radomir ivkovi, Huse Fatki, Zoran Stupar, Zbirka zadataka iz
matematike sa rjeenjima, uputama i rezultatima , Svjetlost - OOUR
Zavod za udbenike i nastavna sredstva, Sarajevo, 1987. (u narednim
tutorijalima iz IM1: [FS]).
2. Predvieno je da tutor provjeri da li studenti znaju (iz
srednjokolske matematike i/ili sa predavanja iz IM1): definicije
sljedeih pojmova: binarna relacija, relacija ekvivalencije,
relacija poretka, ureen skup, preslikavanje (funkcija), kompozicija
preslikavanja (sloena funkcija), inverzna funkcija, faktorijelne
funkcije i apsolutna vrijednost realnog broja, kao i formulacije
principa matematike indukcije, Newtonove binomne formule, osnovnih
sredina i najpoznatijih algebarskih nejednakosti.
3. Predvieno je da tutor izradi pred studentima (na tabli) gore
navedene zadatke koji su oznaeni zvjezdicom (*) a koje studenti
nisu mogli/znali samostalno rijeiti (koristei upute i rezultate
u
naznaenoj referenci i uz pomo ostale preporuene literature i
materijala za predavanja iz IM1 u akademskoj 2014/2015. godini).
Ostali ovdje postavljeni zadaci su za samostalno vjebanje, kao i
zadaci: [5] Huse Fatki, Behdet Mesihovi, Zbirka rijeenih zadataka
iz matematike I, ETF, Sarajevo, 1973. (Tehniki odsjek Instituta za
istoriju, Sarajevo); Corons, Sarajevo, 2002. (u narednim
tutorijalima iz IM1: [Fatki - Mesihovi]). Zad. br. 1, 22, 25,
41, 42, 48. i 49.
[3] [Milii - Uumli, 1]. Zad. br. 198, 205, 206, 330, 339, 340,
357 ; 448; 460. i 622.
[4] [FS]. Zad. br. 5.19, 5.24, 5.30. i 5.43.
..@.....................................................................
3
Elektrotehniki fakultet Univerziteta u SarajevuTutorijal 3 (za
treu sedmicu nastave u akademskoj 2014/2015. godini)- Preslikavanja
(funkcije). Realni brojevi -A : = {x( R : ( x 3( ( 5}, B : = {x( R
: 5 ( x ( ( x2 ( 6 > 0}.
