. 1. Chứng minh rằng hàm số y = x3 − 3x2 + 3x không có cực trị.

. 2. Chứng minh rằng hàm số y = x2 + |x| có cực tiểu tại x = 1, mặc dù nó không có đạo hàm ngay

tại điểm đó.

. 3. Xác định các hệ số a, b, c, d của hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, biết rằng đồ thị của nó có hai

điểm cực trị là (0; 0) và (1; 1).

. 4. Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(2m− 1)x + 1. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.

ĐS. m 6= 1.

. 5. (A, 2002) Cho hàm số y = −x3 +3mx2 +3(1−m2)x+m3−m2. Viết phương trình đường thẳng

đi qua hai diểm cực trị của đồ thị hàm số.

ĐS. y = 2x−m2 + m.

. 6. (B, 2002) Cho hàm số y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10. Tìm để m hàm số có ba điểm cực trị.

ĐS. m < −3; 0 < m < 3.

. 7. (Dự bị 2002) Cho hàm số y = (x −m)3 − 3x. Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có

hoành độ x = 0.

ĐS. m = −1.

. 8. (Dự bị 2002) Cho hàm số y =x2 + mx

1− x.

Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm

cực trị của đồ thị hàm số bằng 10?

ĐS. m = 4.

. 9. (A, 2005) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = mx +1

x(m là tham số).

Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của

(Cm) bằng1√2.

ĐS. m = 1.

. 10. (ĐH, CĐ, khối B, 2005) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y =x2 + (m + 1)x + m + 1

x + 1(m là tham

số).

Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng

cách giữa hai điểm đó bằng√

20.

. 11. (Dự bị 2005) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y =x2 + 2mx + 1− 3m2

x−m(m là tham số).

Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.

ĐS. −1 < m < 1.

1

. 12. Cho hàm số y =x2 + mx + 3

x + 1.

Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm

số ở về hai phía của đường thẳng (d) : 2x + y − 1 = 0.

ĐS. −3− 4√

3 < m < −3 + 4√

3.

. 13. (Dự bị 2004) Cho hàm số y =x2 − 2mx + 2

x− 1.

Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A,B. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng AB

song song với đường thẳng 2x− y − 10 = 0.

ĐS. m <3

2.

. 14. (Dự bị 2006) Cho hàm số y = x3 + (1 − 2m)x2 + (2 −m)x + m − 2. Tìm các giá trị của m để

đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

ĐS. m < −1;5

4< m <

7

5.

. 15. Cho hàm số y = x4 − 2mx2 + m− 1. Tìm m để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị tạo thành

ba đỉnh của một tam giác đều.

ĐS. m = 3√

3.

. 16. (Dự bị 2004) Cho hàm số y = x4 − 2mx2 + 1. Tìm m để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị

tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

. 17. (Dự bị 2004) Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1)x2 + 3m(m + 2)x + 1. Chứng minh rằng hàm số

luôn có cực đại và cực tiểu. Xác định các giá trị của m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các

điểm có hoành độ dương.

ĐS. m > 0.

. 18. Cho hàm số y =x2 − (m + 3)x + 3m + 1

x− 1.

Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số cùng âm.

ĐS.1

2< m < 1; m > 5.

. 19. (A, 2007) Cho hàm số

y =x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m

x + 2, m là tham số. (1)

Tìm m để hàm số (5) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng

với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.

ĐS. m 6= 0, m = −4±√24.

. 20. (B, 2007) Cho hàm số

y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x− 3m2 − 1 (m là tham số). (2)

2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (6).

b) Tìm m để hàm số (6) có cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị của hàm số (6) cách đều gốc

toạ độ.

ĐS. b) m = ±1

2.

. 21. (Dự bị A, 2007) Cho hàm số y = x + m +m

x− 2có đồ thị là (Cm).

(a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1.

(b) Tìm m để đồ thị (Cm) có các điểm cực trị A,B sao cho đường thẳng AB đi qua gốc toạ độ

O.

. 22. (Dự bị B, 2007) Cho hàm số y = −x + 1 +m

2− xcó đồ thị là (Cm).

(a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1.

(b) Tìm m để đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu. Gọi A là điểm cực đại của (Cm),

tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại A cắt trục tung Oy tại điểm B sao cho tam giác OAB

là tam giác vuông cân.

. 23. Giải các phương trình sau

a)√

x2 − 6x + 6 = 2x− 1;

b) (Khối D, 2006)√

2x− 1 + x2 − 3x + 1 = 0;

c) (x + 5)(2− x) = 3√

x2 + 3x;

d) (Dự bị 2005)√

3x− 3−√5− x =√

2x− 4;

e)√

7− x2 + x√

x + 5 =√

3− 2x− x2;

f)√

2x2 + 5x + 2− 2√

2x2 + 5x− 6 = 1;

g) (Khối D, 2004)

2√

x + 2 + 2√

x + 1−√x + 1 = 4;

h)√

x + 2√

x− 1 +√

x− 2√

x− 1 =x + 3

2.

. 24. Tìm m để phương trình√

2x2 + mx = 3− x có nghiệm duy nhất.

. 25. (Khối B, 2004) Tìm m để phương trình sau có nghiệm

m(√

1 + x2 −√

1− x2 + 2) = 2√

1− x4 +√

1 + x2 −√

1− x2.

. 26. (A, 2007) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 3√

x− 1 + m√

x + 1 = 2 4√

x2 − 1.

. 27. Giải phương trình 3√

x + 1− 3√

x− 1 = 6√

x2 − 1.

. 28. (Khối B, 2006) Tìm m để phương trình√

x2 + mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm phân biệt.

. 29. (Khối B, 2007) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của m, phương trình sau có hai nghiệm

thực phân biệt:

x2 + 2x− 8 =√

m(x− 2).

. 30. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

3

(a)√

x + 3 +√

6− x−√

(x + 3)(6− x) = m;

(b)√

x + 1 +√

3− x−√

(x + 1)(3− x) = m;

(c) x2 −√4− x2 + m = 0;

. 31. (Dự bị D, 2007) Tìm m để phương trình√

x− 3− 2√

x− 4 +√

x− 6√

x− 4 + 5 = m có đúng

hai nghiệm.

. 32. (Dự bị B, 2007) Tìm m để phương trình 4√

x2 + 1−√x = m có nghiệm.

. 33. (Dự bị B, 2007) Tìm m để phương trình 4√

x4 − 13x + m + x− 1 = 0 có đúng một nghiệm.

. 34. (Dự bị 2, khối D, 2006) Giải phương trình x + 2√

7− x = 2√

x− 1 +√−x2 + 8x− 7 + 1.

. 35. (Dự bị, khối B, 2006) Giải phương trình√

3x− 2 +√

x− 1 = 4x− 9 + 2√

3x2 − 5x + 2.

. 36. (Dự bị 1, khối D, 2006) Giải phương trình 4x − 2x+1 + 2(2x − 1) sin(2x + y − 1) + 2 = 0.

. 37. Giải bất phương trình

a)√

x2 − 2x− 15 < x− 2;

b)√−x2 + 6x− 5 > 8− 2x;

c)√

8x2 − 6x + 1− 4x + 1 6 0;

d)√

x2 − 4x + 5 + 2x > 3;

e)√

(x + 5)(3x + 4) > 4(x− 1);

f) (A, 2004)

√2(x2 − 16)√

x− 3+√

x− 3 >7− x√x− 3

g) (x + 1)(x + 4) < 5√

x2 + 5x + 28;

h) x2 +√

2x2 + 4x + 3 > 6− 2x;

i) 2x2 +√

x2 − 5x− 6 > 10x + 15;

j) (A, 2005)√

5x− 1−√x− 1 >√

2x− 4;

k)√

2x + 7−√5− x >√

3x− 2;

l)2x−1 + 4x− 16

x− 2> 4.

m) x2 +√

2x2 + 4x + 3 > 6− 2x;

n) 9x2−2x − 2

(1

3

)2x−x2

6 3;

. 38. (Dự bị A, 2007) Tìm m để bất phương trình m(√

x2 − 2x + 2 + 1)

+ x(2 − x) 6 0 có nghiệm

x ∈ [0; 1 +√

3].

. 39. Giải các phương trình sau

a) 3.16x + 37.36x = 26.81x.

b) 32x2+6x−9 + 4.15x2+3x−5 = 3.52x2+6x−9.

c) 27x + 12x = 2.8x.

d) 5.23x−3 − 3.25−3x + 7 = 0.

e)(√

5 + 2√

6)x

+(√

5− 2√

6)x

= 10.

f)(√

4−√15)x

+(√

4 +√

15)x

= (2√

2)x.

g) 8.41/x +8.4−1/x−54.21/x−54.2−1/x = −101.

h) 53x + 9.5x + 27(5−3x + 5−x) = 64.

i) 1 + 3x/2 = 2x.

j) 2x−1 − 2x2−x = (x− 1)2.

k) 3log2 x = x2 − 1.

. 40. (D, 2007) log2(4x + 15.2x + 27) + 2 log2

1

4.2x − 3= 0.

4

. 41. (Dự bị D, 2007) Giải phương trình 23x+1 − 7.22x + 7.2x − 2 = 0.

. 42. (Dự bị B, 2007) Giải phương trình log3(x− 1)2 + log√3(2x− 1) = 2.

. 43. (Dự bị B, 2007) Giải phương trình (2− log3 x). log9x 3− 4

1− log3 x= 1.

. 44. (Dự bị A, 2007) Giải phương trình log4(x− 1) +1

log2x+1 4=

1

2+ log2

√x + 2.

. 45. (Dự bị D, 2006) log3(3x − 1) log3(3

x+1 − 3) = 6.

. 46. (Dự bị B, 2006) log√2

√x + 1− log 1

2(3− x)− log8(x− 1)3 = 0.

. 47. (BKHN, 2000) log4(x + 1)2 + 2 = log√2

√4− x + log8(4 + x)3.

. 48. (Dự bị, 2002)1

2log√2(x + 3) +

1

4log4(x− 1)8 = log2(4x).

. 49. (Phân viện Báo chí Tuyên truyền, 2002)

log27 (x2 − 5x + 6)3 =1

2log√3

(x− 1

2

)+ log9(x− 3)2.

. 50. (Dự bị D, 2006) 2(log2 x + 1) log4 x + log2

1

4= 0.

. 51. (Dự bị A, 2006) logx 2 + 2 log2x 4 = log√2x 8.

. 52. (A, 2007) 2 log3(4x− 3) + log 13(2x + 3) 6 2.

. 53. (Dự bị A, 2007) Giải bất phương trình (logx 8 + log4 x2) log2

√2x > 0.

. 54. (Dự bị D, 2007) Giải bất phương trình log1/2

√2x2 − 3x + 1 +

1

2log2(x− 1)2 > 1

2.

. 55. (CĐSP Quảng Bình) log1/2(x− 1) + log1/2(x + 1)− log1/√

2(7− x) = 1.

. 56. (B, 2006) log5(4x + 144)− 4 log5 2 < 1 + log5(5

x−2 + 1).

. 57. (CĐTCKT 2006) 3√

log1/2 x + log4 x2 − 2 > 0.

. 58. (Dự bị B, 2003) log 12x + 2 log 1

4(x− 1) + log2 6 6 0.

. 59. (Dự bị, 2006) logx+1(−2x) > 2.

. 60. (CĐ Y tế Thanh Hoá, 2006)√

log20,5 x + 4 log2

√x 6

√2(4− log16 x4).

. 61. (Dự bị, 2005) 9x2−2x − 2

(1

3

)2x−x2

6 3.

. 62. (Dự bị, 2002) log 12(4x + 4) > log 1

2(22x+1 − 3.2x).

. 63. (D, 2006) 2x2+x − 4.2x2−x − 22x + 4 = 0.

5

. 64. (A, 2006) 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0.

. 65. (B, 2007) (√

2− 1)x + (√

2 + 1)x − 2√

2 = 0.

. 66. (D, 2003) 2x2−x − 22+x−x2= 3.

. 67. (Dự bị B, 2006) 9x2+x−1 − 10.3x2+x−2 + 1 = 0.

. 68. (CĐSPHN, A, 2002) 4x−√x2−5 − 12.2x−1−√x2−5 + 8 = 0.

. 69. (Cao đẳng khối A, D, 2006) 32x2+2x+1 − 28.3x2+x + 9 = 0.

. 70. (ĐHSPHCM, 2002) 4log2 2x − xlog2 6 = 2.3log2 4x2.

. 71. (Dự bị, 2004) log π4

[log2(x +

√2x2 − x)

]< 0.

. 72. (CĐKT, 2005) Tìm tập xác định của hàm số y =√

log√5(x2 −√5x + 2).

. 73. 2.[log121(x− 2)]2 >[log 1

11(√

2x− 3− 1)].[log 1

11(x− 2)

].

. 74. (CĐSPHN, A, Dự bị, 2002) log1/3(x− 1) + log1/3(2x + 2) + log√3(4− x) < 0.

. 75. (CĐSP Vĩnh Phúc, 2002) log4(3x − 1). log 1

4

3x − 1

166 3

4.

. 76. (Dự bị, 2004)2x−1 + 4x− 16

x− 2> 4.

. 77. (Dự bị, 2004) 2x12

log2 x > 232

log2 x.

. 78. (CĐSP Hà Tĩnh, 2002) 2(log2 x)2 + xlog2 x 6 4.

. 79. (Cao đẳng khối A, B, 2005) 32x+4 + 45.6x − 9.22x+2 6 0.

. 80. (CĐKTĐN, 2007) 5.4x + 2.25x 6 7.10x.

. 81. (Dự bị 2002) Tìm a để phương trình sau có nghiệm 91+√

1−t2 − (a + 2)31+√

1−t2 + 2a + 1 = 0.

. 82. (Dự bị 1, B, 2003) Tìm m để phương trình 4(log2

√x)2− log 1

2x+m = 0 có nghiệm thuộc khoảng

(0; 1).

. 83. (Cao đẳng Giao thông, 2003) Tìm m để phương trình 34−2x2 − 2.32−x2+ 2m− 3 = 0 có nghiệm.

. 84. (A, 2002) Cho phương trình

log23 x +

√log2

3 x + 1− 2m− 1 = 0. (3)

(a) Giải phương trình (3) khi m = 2.

(b) Tìm m để phương trình (3) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3√

3].

. 85. Tìm a để phương trình sau có nghiệm:

91+√

1−x2 − (a + 2).31+√

1−x2+ 2a + 1 = 0.

6

1 Hệ đối xứng loại một, hệ phản xứng

. 1. Giải các hệ phương trình sau:

a)

{x + y + xy = 11,

x2 + y2 + 3(x + y) = 28;

b)

{x + y = 4,

(x2 + y2) (x3 + y3) = 280;

c)

{ √x2 + y2 +

√2xy = 8

√2,√

x +√

y = 4;

d)

√x

y+

√y

x=

5

2,

x2 + y2 + xy = 21;

e)

{3(√

x +√

y) = 4√

xy,

xy = 9;

f) (A, 2006)

{x + y −√xy = 3,√

x + 1 +√

y + 1 = 4;

g)

{x2 + y2 − x + y = 2,

xy + x− y = −1;

h)

{x− xy − y = 1,

x2y + xy2 = 6.

. 2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

a) (D, 2004)

{ √x +

√y = 1,

x√

x + y√

y = 1− 3m;b)

{x + y + xy = m,

x2 + y2 = m.

. 3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

{x + y + xy = m + 2,

x2y + xy2 = m + 1.

2 Hệ đối xứng loại hai

. 1. Giải các hệ phương trình sau:

a)

{xy + x2 = 1 + y,

xy + y2 = 1 + x;

b)

{x3 = 3x + 8y,

y3 = 3y + 8x;

c)

{x3 + 1 = 2y,

y3 + 1 = 2x;

d)

{ √x + 5 +

√y − 2 = 7,√

y + 5 +√

x− 2 = 7;

e)

{2x + y = 3

x2 ,

2y + x = 3y2 ;

f) (B, 2003)

{3y = y2+2

x2 ,

3x = x2+2y2 .

. 2. Giải các phương trình sau:

a) x3 − 3 3√

2 + 3x = 2;

b) x3 − 6 = 3√

x + 6.

. 3. (A, 2003)

x− 1

x= y − 1

y,

2y = x3 + 1.

. 4. (B, 2002)

{3√

x− y =√

x− y,

x + y =√

x + y + 2.

7

. 5. (ĐHSP khối D, E, 2001) Cho hệ phương trình

{ √x + 1 +

√y − 2 =

√m,√

y + 1 +√

y − 2 =√

m.(4)

a) Giải hệ (5) khi m = 9;

b) Tìm m để hệ phương trình (5) có nghiệm.

. 6. (Dự bị A, 2007) Giải hệ phương trình

x +√

x2 − 2x + 2 = 3y−1 + 1,

y +√

y2 − 2y + 2 = 3x−1 + 1.

. 7. (Dự bị B, 2007) Giải hệ phương trình

x +2xy

3√

x2 − 2x + 9= x2 + y,

y +2xy

3√

y2 − 2y + 9= y2 + x.

. 8. (Dự bị B, 2007) Chứng minh rằng hệ phương trình

ex = 2007− y√y2 − 1

,

ey = 2007− x√x2 − 1

có đúng hai nghiệm (x; y) thoả mãn x > 1, y > 1.

3 Phương pháp đặt ẩn phụ

. 1. Giải các hệ phương trình sau:

a)

{x(x + 2)(2x + y) = 9,

x2 + 4x + y = 6;

b)

{ √2x + y + 1−√x− y = 1,

3x + 2y = 4;

c)

x + y +x

y= 5,

(x + y)x

y= 6;

d)

x + y +1

x+

1

y= 5,

x2 + y2 +1

x2+

1

y2= 9;

e)

{x + y + x2 + y2 = 8,

xy(x + 1)(y + 1) = 12;

f)

{1 + x3y3 = 19x3,

y + xy2 = −6x2.

4 Hệ đẳng cấp

. 1. Giải các hệ phương trình sau:

a)

{x2 + xy = 6,

x2 + y2 = 5;

b)

{2x2 + 3xy + y2 = 12,

x2 − xy + 3y2 = 11;

c)

{(x− y)2y = 2,

x3 − y3 = 19;

d)

{x2 − 5xy + 6y2 = 0,

4x2 + 2xy + 6x− 27 = 0;

. 86. Giải các hệ phương trình sau:

8

a) (D, 2007) Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

x +1

x+ y +

1

y= 5,

x3 +1

x3+ y3 +

1

y3= 15m− 10.

.

b) (Dự bị khối D, 2005)

{ √2x + y + 1−√x + y = 1

3x + 2y = 4

c) (Dự bị khối D, 2005)

{x2 + y2 + x + y = 4

x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2

d) (Khối A, 2006)

{x + y −√xy = 3√

x + 1 +√

y + 1 = 4(x, y ∈ R)

e) (Dự bị Khối A, 2006)

{x2 + 1 + y(y + x) = 4y

(x2 + 1)(y + x− 2) = y(x, y ∈ R)

f) (Dự bị Khối A, 2006)

{x3 − 8x = y3 + 2y

x3 − 3 = 3(y2 + 1)(x, y ∈ R)

g) (Khối D, 2006) Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

{ex − ey = ln(1 + x)− ln(1 + y),

y − x = a.

h) (Dự bị Khối D, 2006)

{x2 − xy + y2 = 3(x− y),

x2 + xy + y2 = 7(x− y)2(x, y ∈ R)

i) (Dự bị Khối D, 2006)

{ln(1 + x)− ln(1 + y) = x− y,

x2 − 12xy + 20y2 = 0.

j) (Dự bị Khối B, 2006)

{(x− y)(x2 + y2) = 13,

(x + y)(x2 − y2) = 25(x, y ∈ R).

k) (Dự bị, 2005)

{x2 + y = y2 + x,

2x+y − 2x−1 = x− y

l) (Dự bị 2002)

{x− 4|x|+ 3 = 0,√

log4 x−√log2 y = 0.

. 87. Giải các phương trình sau:

1) (A, 2006)2(cos6 x + sin6 x)− sin x cos x√

2− 2 sin x= 0.

2) (A, 2007) (1 + sin2 x) cos x + (1 + cos2 x) sin x = 1 + sin 2x.

3) (D, 2006) cos 3x + cos 2x− cos x− 1 = 0.

4) (D, 2007)(sin

x

2+ cos

x

2

)2

+√

3 cos x = 2.

9

5) (B, 2007) 2 sin2 x + sin 7x− 1 = sin x.

6) (Dự bị A, 2007) Giải phương trình sin 2x + sin x− 1

2 sin x− 1

sin 2x= 2 cot 2x.

7) (Dự bị A, 2007) Giải phương trình 2 cos2 x + 2√

3 sin x cos x + 1 = 3(sin x +√

3 cos x).

8) (Dự bị B, 2007) Giải phương trình sin

(5x

2− π

4

)− cos

(x

2− π

4

)=√

2 cos3x

2.

9) (Dự bị B, 2007) Giải phương trìnhsin 2x

cos x+

cos 2x

sin x= tan x− cot x.

10) (Dự bị D, 2007) Giải phương trình 2√

2 sin(x− π

12

)cos x = 1.

11) (Dự bị D, 2007) Giải phương trình (1− tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x

12) (Dự bị B, 2006) (2 sin2 x− 1) tan2 2x + 3(cos2 x− 1) = 0.

13) (Dự bị B, 2006) cos 2x + (1 + 2 cos x)(sin x− cos x) = 0.

14) (Dự bị D, 2006) cos3 x + sin3 x + 2 sin2 x = 1.

15) (Dự bị D, 2006) 4 sin3 x + 4 sin2 x + 3 sin 2x + 6 cos x = 0.

16) 2 cos 2x + sin2 x cos x + sin x cos2 x = 2(sin x + cos x).

17) 3− 4 sin2 2x = 2 cos 2x(1 + 2 sin x).

18) 2 cos x +1

3cos2(x + π) =

8

3+ sin 2x + 3 cos

(x +

π

2

)+

1

3sin2 x.

19) cos2(x +

π

3

)+ cos2

(x +

2π

3

)=

1

2(sin x + 1).

20) sin(3x +

π

4

)= sin 2x. sin

(x +

π

4

).

21) (Dự bị A, 2006) cos 3x. cos3 x− sin 3x sin3 x =2 + 3

√2

8.

22) (Dự bị A, 2006) 2 cos(2x− π

6

)+ 4 sin x + 1 = 0.

23) (B, 2006) cot x + sin x(1 + tan x tan

x

2

)= 4.

24) (A, 2005) cos2 3x cos 2x− cos2 x = 0.

25) (B, 2005) 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.

26) (D, 2005) cos4 x + sin4 x + cos(x− π

4

)sin

(3x− π

4

)− 3

2= 0.

27) (Dự bị 2005) 2√

2 cos3(x− π

4

)− 3 cos x− sin x = 0.

28) (Dự bị 2005) 4 sin2 x

2−√3 cos 2x = 1 + 2 cos2

(x− 3π

4

).

29) (Dự bị 2005) sin x cos 2x + cos2 x(tan2 x− 1) + 2 sin3 x = 0.

30) (Dự bị 2004) 4(sin3 x + cos3 x) = cos x + 3 sin x.

31) sin x. sin 2x + sin 3x = 6 cos3 x.

32) (Dự bị 2004)1

cos x− 1

sin x= 2

√2 cos

(x +

π

4

).

10

33) (Dự bị 2004) sin 2x− 2√

2(sin x + cos x)− 5 = 0.

34) 1 + sin3 x + cos3 x =3

1sin 2x.

35) cos 3x− sin 2x =√

3(cos 2x− sin 3x).

36) sin x + sin 2x =√

3(cos x + cos 2x).

37) 4(sin4 x + cos4 x) +√

3 sin 4x = 2.

. 88. (A, 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N,P lần lượt là trung điểm của

các cạnh SB, BC,CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện

CMNP .

. 89. (B, 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là

điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của

BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng

MN và AC.

. 90. (Dự bị A, 2007) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a√

5

và BAC = 120◦. Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh rằng MB ⊥ MA1 và tính

khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A1BM).

. 91. (Dự bị A, 2007) Cho hình chóp S.ABC có góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

60◦, các tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách từ

điểm B đến mặt phẳng (SAC).

. 92. (Dự bị B, 2007) Trong mặt phẳng (P ) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C

thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P ) tại

A, lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60◦. Gọi H,K lần lượt

là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Chứng minh rằng tam giác AHK là tam

giác vuông và tính thể tích của khối chóp S.ABC.

. 93. (Dự bị B, 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc

với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = a√

2. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A

trên các cạnh SB, SD. Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK) và tính thể tích của khối chóp O.AHK.

. 94. (Dự bị D, 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC =

a, AA1 = a√

2. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AA1 và BC. Chứng minh rằng

MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA1 và BC1. Tính thể tích của khối chóp

M.A1BC1.

. 95. (Dự bị D, 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung

điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM ⊥ B1C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM

và B1C.

11

. 96. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau, OA = a, OB = b,

OC = c. Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng

sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 1.

. 97. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. Gọi α, β, γ lần lượt là

các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC), (OAC), (OAB). Chứng minh rằng

cos α + cos β + cos γ 6√

3.

. 98. (Khối B, 2002) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a.

a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D;

b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B1B, CD,A1D1. Tính góc giữa hai đường

thẳng MP và C1N .

. 99. (ĐH Ngoại thương HCM, 2002) Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′ có cạnh bằng a. Giả sử

M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và DD′.

a) Chứng minh rằng MN//(A′BD)

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và MN.

. 100. (Học viện quan hệ quốc tế, khối D, 2001) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C ′D′ với AB =

a, BC = b, AA′ = c.

a) Tính diện tích tam giác ACD′ theo a, b, c.

b) Giả sử M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Hãy tính thể tích tứ diện D′DMN theo

a, b, c.

. 101. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết SA =a.√

6

2.

. 102. (Dự bị 2002) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với

mặt phẳng đáy (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo A khoảng

cách từ điểm S đến đường thẳng BE.

. 103. (Dự bị 2002) Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đường thẳng vuông

góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và

(SBC) bằng 60◦. Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a.

. 104. (Khối B, 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và

mặt đáy bằng ϕ (0◦ < ϕ < 90◦). Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SAB)

theo ϕ. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và ϕ.

. 105. (Khối A, 2006) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng chiều

cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O′ lấy điểm B

sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO′AB.

12

. 106. (Dự bị, Khối A, 2006) Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C ′D′ có các cạnh AB = AD = a,AA′ =a√

3

2và BAD = 60◦. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A′D′ và A′B′. Chứng minh

rằng AC ′ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN .

. 107. (Dự bị, Khối A, 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =

a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60◦. Trên

cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =a√

3

3. Mặt phẳng BCM cắt SD tại điểm N . Tính thể tích

khối chóp S.BCMN .

. 108. (Khối A, 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a

và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A

trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM .

. 109. (Dự bị, Khối D, 2006) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là

đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC) bằng b.

Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

. 110. (Dự bị, Khối D, 2006) Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′ có cạnh bằng a và điểm K thuộc

cạnh CC ′ sao cho CK =2

3a. Mặt phẳng (α) đi qua A, K và song song với BD chia khối lập

phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.

. 111. (Khối B, 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,AD =

a√

2, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với

mặt phẳng (SMB). Tính thể tích khối tứ diện ANIB.

. 112. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD = 60◦, SA vuông góc với

mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C ′ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P ) đi qua AC ′ và song

song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B′ và D′. Tính thể tích khối chóp

S.AB′C ′D′.

. 113. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C ′ có A′.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh

bên A′A = b. Gọi α là góc xen giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A′BC). Tính tan α và thể tích

của khối chóp A′.BB′C ′C.

. 114. Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC có

AB = BC = 2a, ABC = 120◦. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC).

. 115. Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy ACB =

60◦, BC = a, SA = a√

3. Gọi M là trung điểm của cạnh SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB)

vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích của khối tứ diện MABC.

. 116. (Cao đẳng Tài chánh Kế toán, 2006) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a

và góc ASB = 60◦. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

13

. 117. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng

(ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

. 118. (Khối B, 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C ′D′ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh

a, góc BAD = 60◦. Gọi M là trung điểm của cạnh CC ′. Chứng minh rằng bốn điểm B′,M,D, N

cùng nằm trên một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA′ theo a để tứ giác B′MDN là hình

vuông.

. 119. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng 2√

6. Các

điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AC, AB. Tính thể tích hình chóp S.AMN

và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó.

. 120. Trong không gian cho hai đường thẳng

d1 :x

1=

y + 1

2=

z

1và d2 :

{3x− z + 1 = 0,

2x + y − 1 = 0.

a) Chứng minh rằng d1, d2 chéo nhau và vuông góc với nhau;

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng cắt cả hai đường thẳng d1, d2 và song song với

đường thẳng

∆ :x− 4

1=

y − 7

4=

z − 3

−2.

. 121. Cho hai điểm A(1;−1; 2), B(3; 1; 0) và mặt phẳng (P ) có phương trình x− 2y − 4z + 8 = 0.

a) Lập phương trình đường thẳng (d) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: (d) nằm trong mặt

phẳng (P ), (d) vuông góc với đường thẳng AB và (d) đi qua giao điểm của đường thẳng AB

với mặt phẳng (P ).

b) Tìm toạ độ điểm C trong mặt phẳng (P ) sao cho CA = CB và mặt phẳng ABC vuông góc

với mặt phẳng (P ).

. 122. Cho tam giác ABC có điểm B(2; 3;−4), đường cao CH có phương trình ∆1 :x− 1

5=

y − 2

5=

z

−5và đường phân giác trong góc A là AI có phương trình ∆2 :

x− 5

7=

y − 3

1=

z + 1

2. Lập

phương trình chính tắc cạnh AC.

. 123. Cho tam giác ABC có điểm A(−1;−1; 2), đường cao BK và đường trung tuyến CM lần lượt

có phương trình

d1 :x + 1

2=

y − 1

3=

z − 4

4, d2 :

x− 1

2=

y + 2

−3=

z − 5

1.

Lập phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB, AC của tam giác ABC.

. 124. (A, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

d1 :x

2=

y − 1

−1=

z + 2

1và d2 :

x = −1 + 2t,

y = 1 + t,

z = 3.

14

(a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.

(b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P ) : 7x + y− 4z = 0 và cắt cả

hai đường thẳng d1, d2.

. 125. (D, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(−1; 2; 4) và đường thẳng

∆ :x− 1

−1=

y + 2

1=

z

2.

(a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với

mặt phẳng (OAB).

(b) Tìm toạ độ M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.

. 126. (B, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho mặt cầu

(S ) : x2 + y2 + z2 − 2x + 4y + 2z − 3 = 0

và mặt phẳng (P) : 2x− y + 2z − 14 = 0.

(a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S ) theo một đường tròn có bán

kính bằng 3.

(b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S ) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)

lớn nhất.

. 127. (Dự bị A, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(−1; 3;−2), B(−3; 7;−18)

và mặt phẳng (P ) : 2x− y + z + 1 = 0.

(a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với (P ).

(b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P ) sao cho MA + MB nhỏ nhất.

. 128. (Dự bị A, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(2; 4; 6)

và đường thẳng (d) có phương trình

6x− 3y + 2z = 0,

6x + 3y + 2z − 24 = 0

(a) Chứng minh rằng các đường thẳng AB và OC chéo nhau.

(b) Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với (d) và cắt các đường thẳng AB và OC.

. 129. (Dự bị B, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(−3; 5;−5), B(5;−3; 7) và

mặt phẳng (P ) : x + y + z = 0.

(a) Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P ).

(b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P ) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.

. 130. (Dự bị B, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0),M(0;−3; 6) và mặt

phẳng (P ) có phương trình x + 2y − 9 = 0.

15

(a) Gọi (S ) là mặt cầu có tâm là điểm M và có bán kính OM . Chứng minh rằng (P ) tiếp xúc

với (S ). Tìm toạ độ tiếp điểm của (P ) và (S ).

(b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa các điểm A và M , đồng thời, (Q) cắt các trục

Oy,Oz tại các điểm tương ứng B, C sao cho thể tích của khối tứ diện OABC bằng 3

(đ.v.t.t.)

. 131. (Dự bị D, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) :x− 3

2=

y + 2

1=

z + 1

−1và mặt phẳng (P ) có phương trình x + y + z + 2 = 0.

(a) Tìm toạ độ giao điểm M của (P ) và (d).

(b) Viết phương trình đường thẳng ∆ thuộc (P ) sao cho ∆ vuông góc với (d) và khoảng cách

từ M đến ∆ bằng√

42.

. 132. (Dự bị D, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z − 1 = 0

và hai đường thẳng

(d1) :x− 1

2=

y − 3

−3=

z

1, (d2) :

x− 5

6=

y

4=

z + 5

−5.

(a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d1) và vuông góc với (P ).

(b) Tìm các điểm M thuộc (d1) và N thuộc (d2) sao cho đường thẳng MN song song với (P )

và đường thẳng MN cách (P ) một khoảng bằng 2.

. 133. (A, 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′ với

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A′(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

(a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A′C và MN .

(b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A′C và tạo với mặt phẳng 0xy một góc α biết cos α =1√6.

. 134. (B, 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) và hai đường thẳng:

d1 :x

2=

y − 1

1=

z + 1

−1, d2 :

x = 1 + t,

y = −1− 2t,

z = 2 + t.

(a) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A đồng thời song song với d1 và d2.

(b) Tìm toạ độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho ba điểm A,M, N thẳng hàng.

. 135. (D, 2006) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường thẳng

d1 :x− 2

2=

y + 2

−1=

z − 3

1; d2 :

x− 1

−1=

y − 1

2=

z + 1

1.

(a) Tìm toạ độ điểm A′ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1.

16

(b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2.

. 136. (Dự bị, A, 2006, dự bị 1) Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C ′ có

A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A′(0; 0; 2)..

(a) Chứng minh A′C vuông góc với BC ′. Viết phương trình mặt phẳng (ABC ′).

(b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B′C ′ trên mặt phẳng (ABC ′).

. 137. (Dự bị, A, 2006, dự bị 2) Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C ′D′ có các cạnh AB = AD =

a, AA′ =a√

3

2và góc BAD = 60◦. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh A′D′ và A′B′.

Chứng minh AC ′ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích của khối chóp A.BDMN.

. 138. (Dự bị, A, 2006, dự bị 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

(α) : 3x + 2y − z + 4 = 0

và hai điểm A(4; 0; 0), B(0; 4; 0). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB

(a) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (α).

(b) Xác định toạ độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (α), đồng thời K cách đều

gốc toạ độ O và mph (α).

. 139. (Dự bị, D, 2006, dự bị 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 4x− 3y +

11z − 26 = 0 và hai đường thẳng

d1 :x

−1=

y − 3

2=

z + 1

3,

x− 4

1=

y

1=

z − 3

2.

(a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.

(b) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên mặt phẳng (P ) đồng thời ∆ cắt cả d1 và d2.

. 140. (Dự bị B, 2006) Cho hai điểm A(0; 0; 4), B(2; 2; 0) và mặt phẳng (P ) có phương trình 2x + y −z + 5 = 0.

(a) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P ).

(b) Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P ).

. 141. Cho hai điểm A(1;−1; 2), B(3; 1; 0) và mặt phẳng (P ) có phương trình x− 2y − 4z + 8 = 0.

a) Lập phương trình đường thẳng (d) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: (d) nằm trong mặt

phẳng (P ), (d) vuông góc với đường thẳng AB và (d) đi qua giao điểm của đường thẳng AB

với mặt phẳng (P ).

b) Tìm toạ độ điểm C trong mặt phẳng (P ) sao cho CA = CB và mặt phẳng ABC vuông góc

với mặt phẳng (P ).

17

. 142. Cho điểm A(1;−1; 1) và hai đường thẳng (d1), (d2) có phương trình

d1 :

x = −t,

y = −1 + 2t,

z = 3t

và d2 :

{3x + y − z + 3 = 0,

2x− y + 1 = 0.

Chứng minh rằng (d1), (d2) và A cùng nằm trong một mặt phẳng.

. 143. Cho tam giác ABC có điểm A(−1;−1; 2), đường cao BK và đường trung tuyến CM lần lượt

có phương trình

d1 :x + 1

2=

y − 1

3=

z − 4

4, d2 :

x− 1

2=

y + 2

−3=

z − 5

1.

Lập phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB, AC của tam giác ABC.

. 144. (Dự bị khối A, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A

thuộc đường thẳng d : x − 4y − 2 = 0, cạnh BC song song với d, phương trình đường cao

BH : x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M(1; 1). Tìm toạ độ của các đỉnh A,B, C.

. 145. (Khối D, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình

x2 + y2 − 2x − 2y + 1 = 0 và đường thẳng d : x − y + 3 = 0. Tìm toạ độ điểm M nằm trên d

sao cho đường tròn tâm M , có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C ) , tiếp xúc ngoài với

đường tròn (C ).

. 146. (Dự bị khối D, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : x−y+1−√2 = 0

và điểm A(−1; 1). Viết phương trình đường tròn (C ) đi qua A, gốc toạ độ O và tiếp xúc với

đường thẳng d.

. 147. (Khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình

x2 + y2 − 2x− 6y + 6 = 0 và điểm M(−3; 1). Gọi T1, T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ

từ M đến (C ). Viết phương trình đường thẳng T1T2.

. 148. (Dự bị khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B với

A(1;−1), C(3; 5). Đỉnh B nằm trên đường thẳng d : 2x − y = 0. Viết phương trình các đường

thẳng AB, BC.

. 149. (Dự bị khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1),

đường cao qua đỉnh B có phương trình là x− 3y − 7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có

phương trình là x + y + 1 = 0. Xác định toạ độ B và C của tam giác.

. 150. (Dự bị A, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình

x2 + y2 = 1. Gọi (C ′) là đường tròn có tâm I(2; 2) và cắt (C ) tại hai điểm A,B sao cho độ dài

đoạn thẳng AB bằng√

2. Viết phương trình của đường thẳng AB.

. 151. (Dự bị A, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2; 0).

Biết phương trình các cạnh AB,AC lần lượt là 4x + y + 14 = 0, 2x + 5y − 2 = 0. Tìm toạ độ

các đỉnh A, B, C.

18

. 152. (Dự bị B, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình

x2 + y2 − 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d có phương trình x + y − 1 = 0. Xác định toạ độ

các đỉnh của hình vuông ABCD ngoại tiếp (C ), biết rằng đỉnh A thuộc d.

. 153. (Dự bị B, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình

x2 + y2 − 2x + 4y + 2 = 0. Gọi (C ′) là đường tròn có tâm M(5; 1), (C ′) cắt (C ) tại hai điểm

A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng√

3. Viết phương trình của đường tròn (C ′).

. 154. (Dự bị D, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2; 1). Lấy điểm B thuộc trục

Ox có hoành độ không âm và điểm C thuộc trục Oy có tung độ không âm sao cho tam giác

ABC vuông tại A. Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.

. 155. (Dự bị D, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các điểm A(2; 1), B(2;−1) và các

đường thẳng

d1 : (m− 1)x + (m− 2)y + 2−m = 0, d2 : (2−m)x + (m− 1)y + 3m− 5 = 0.

Chứng minh rằng d1 luôn cắt d2. Gọi P là giao điểm của d1 và d2, tìm m sao cho tổng khoảng

cách PA + PB lớn nhất.

. 156. (Dự bị, 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d :

x− 2y + 2 = 0. Tìm trên d hai điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC.

. 157. (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác cân ABC có trọng tâm

G

(4

3;1

3

), phương trình đường thẳng BC là x− 2y − 4 = 0 và phương trình đường thẳng BG

là 7x− 4y − 8 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C.

. 158. (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(0; 5), B(2; 3). Viết phương

trình đường tròn đi qua hai điểm A,B và có bán kính R bằng√

10.

. 159. (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : x2+y2−4x−6y−12 = 0.

Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d : 2x− y + 3 = 0 sao cho MI = 2R, trong đó I là tâm

và R là bán kính của đường tròn (C ).

. 160. (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông ở A. Biết

A(−1; 4), B(1;−4) và đường thẳng BC đi qua điểm M

(2;

1

2

). Tìm toạ độ đỉnh C.

. 161. (Dự bị, 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d1 : x + y + 5 = 0, d2 :

x+2y−7 = 0 và điểm A(2; 3). Tìm điểm B thuộc d1 và điểm C thuộc d2 sao cho tam giác ABC

có trọng tâm là điểm G(2; 0).

. 162. (Dự bị, 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm I(−2; 0) và hai đường thẳng

d1 : 2x− y + 5 = 0, d2 : x + y − 3 = 0. Viếte phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt

hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại A,B sao cho# »

IA = 2# »

IB.

. 163. (Cao đẳng Y tế 2006) Cho hai đường thẳng d1 : 2x + y− 1 = 0, d2 : 2x− y + 2 = 0. Viết phương

trình đường tròn có tâm nằm trên trục Ox đồng thời tiếp xúc với d1 và d2.

19

. 164. ((Cao đẳng MGTW 3 2006) Cho hai đường thẳng (d1) : x− y + 2 = 0, (d2) : 2x + y− 5 = 0 = 0

và điểm M(−1; 4).

(a) Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (d1), (d2) lần lượt tại A và B sao cho M là trung

điểm của đoạn AB.

(b) Viết phương trình của đường tròn (C ) qua M và tiếp xúc với đường thẳng (d1) tại giao

điểm của (d1) và trục tung.

. 165. (CĐSP Hà Nội, 2006) Cho tam giác ABC có điểm A(1; 2), đường trung tuyến BM và đường

phân giác trong CD tương ứng có phương trình 2x + y + 1 = 0, x + y − 1 = 0. Hãy viết phương

trình đường thẳng BC.

. 166. Cho đường tròn (C ) : x2 + y2 − 4x + 6y − 21 = 0.

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M(5; 2).

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) song song với đường thẳng 5x + 12y − 1 = 0.

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) vuông góc với đường thẳng 2x + 5y = 0.

. 167. Cho họ đường cong (Cm) có phương trình x2 + y2 − 2(m + 1)x− 4(m− 1)y + 5−m = 0.

a) Tìm m để (Cm) là đường tròn.

b) Khi (Cm) là đường tròn, xác định m để đường thẳng x− y + 2 = 0 là tiếp tuyến của (Cm).

. 168. Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) A3x + C2

x = 14x;

b) (TN, 2006) C4n + C5

n = 3C6n+1;

c) PxA2x + 72 = 6(A2

x + 2Px);

d) C2nC

n−2n + 2C2

nC3n + C3

nCn−3n = 100;

e) A3n+1 + Cn−1

n+1 = 14(n + 1);

f)1

2A2

2x − A2x 6 6

xC3

x + 10;

g) A3n + 2Cn−2

n 6 9;

. 169. (Dự bị 2005) Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn đẳng thức 2Pn + 6A2n − PnA2

n = 12.

. 170. (Dự bị 2004) Cho tập A gồm n phần tử (n > 7). Tìm n, biết rằng số tập con gồm 7 phần tử

của tập A bằng hai lần số tập con gồm 3 phần tử của tập A.

. 171. (D, 2005)Tìm giá trị của biểu thức M =A4

n+1 + 3A3n

(n + 1)!,

biết rằng C2n+1 + 2C2

n+2 + 2C2n+3 + C2

n+4 = 149.

. 172. Tìm tất cả các số tự nhiên x, y sao cho Ay−1x : Ay

x−1 : Cyx−1 = 21 : 60 : 10.

. 173. (A, 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho

C12n+1 − 2.C2

2n+1 + 3.22.C32n+1 − 4.23.C4

2n+1 + · · ·+ (2n + 1).22n.C2n+12n+1 = 2005

(Ckn là số tổ hợp chập k của n phần tử).

20

. 174. (A, 2006) Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niutơn của

(1

x4+ x7

)n

,

biết rằng C12n+1 + C2

2n+1 + · · ·+ Cn2n+1 = 220 − 1.

(n nguyên dương, Ckn là số tổ hợp chập k của n phần tử).

. 175. (A, 2002) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của

(1

x3+√

x5

)n

,

biết rằng Cn+1n+4 − Cn

n+3 = 7(n + 3).

. 176. (Dự bị D, 2005) Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức (2 − 3x)2n, trong đó n là số

nguyên dương thoả mãn C12n+1 + C3

2n+1 + C52n+1 + · · ·+ C2n+1

2n+1 = 1024.

. 177. (D, 2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của

a)

(3√

x +14√

x

)7

, (x > 0); b)

(2√

x +34√

x

)20

, (x > 0); c)

(2x3 +

1

x2

)10

, (x 6= 0).

. 178. (Dự bị, 2002) Giả sử n là số nguyên dương và

(1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ akx

k + · · ·+ anxn.

Biết rằng tồn tại số nguyên k (1 6 k 6 n− 1) sao choak−1

2=

ak

9=

ak+1

24, hãy tính n.

. 179. (Dự bị, 2002) Gọi a1, a2, . . . , a11 là các hệ số trong khai triển sau

(x + 1)10(x + 2) = x11 + a1x10 + a2x

9 + · · ·+ a11.

Tính hệ số a5.

. 180. (Dự bị A, 2003) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có

6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3?

. 181. (Dự bị A, 2003) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà

mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau?

. 182. (Dự bị A, 2006) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số

khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó.

Đáp số. 96 số. Tổng bằng 2599980.

. 183. (ĐHSP Hà Nội, 2002) Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một

được thành lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8?

Đáp số. 37332960.

. 184. (HVQHQT, 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi

số gồm chín chữ số khác nhau và chữ số 9 đứng ở vị trí đứng giữa?

. 185. (Kinh tế Quốc dân, 2001) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên,

mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có mặt hai chữ số 5?

21

. 186. (Dự bị D, 2005) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm

5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có mặt hai chữ số 1 và 5?

. 187. (Ngoại thương HCM, 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có sáu chữ số khác

nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh

nhau?

. 188. (Dự bị D, 2006) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5

chữ số khác nhau mà mỗi số lập được đều nhỏ hơn 25000?

Đáp số. 360.

. 189. (Cao đẳng A, 2004) Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 3 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách

chọn 3 em trong lớp trực nhật sao cho trong 3 em đó luôn có cán bộ lớp?

. 190. (CĐSP Hà Nội, 2005) Trong một tổ học sinh của lớp 12A có 8 học sinh nam và 4 học sinh nữ.

Thầy giáo muốn chọn 3 học sinh để làm trực nhật lớp học, trong đó phải có ít nhất 1 học sinh

nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

. 191. (D, 2006) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh

lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4

học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

Đáp số. 255.

. 192. (Dự bị D, 2006) Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp học thành 3 tổ, tổ 1 có

10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh.

Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy?

. 193. (B, 2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu

cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh chỉ

có 4 nam và 1 nữ?

Đáp số. C37 .C

726C

24C

919 + C2

7 .C826C

35C

818 + C2

7 .C826C

25C

819.

. 194. (Dự bị, 2005) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập

một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ?

Đáp số. 3690

. 195. Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung

bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu

hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả ba loại câu hỏi (khó, trung bình,

dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?

Đáp số. 56875.

. 196. Cho tập hợp A gồm n phần tử (n > 4). Biết rằng, số tập hợp con gồm 4 phần tử của A bằng

20 lần số tập hợp con gồm 2 phần tử của A. Tìm k ∈ {1, 2, . . . , n} sao cho số tập hợp con gồm

k phần tử của A là lớn nhất.

22

Đáp số. k = 9.

. 197. (Dự bị 2004) Biết rằng (2 + x)100 = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ a100x

100. Chứng minh rằng a2 < a3.

Với giá trị nào của k (0 6 k 6 99) thì ak < ak+1?

. 198. (Dự bị 2005) Tìm k ∈ {0, 1, 2, . . . , 2005} sao cho Ck2005 đạt giá trị lớn nhất.

. 199. (Dự bị 2004) Giả sử (1+2x)n = a0+a1x+a2x2+· · ·+anxn. Biết rằng a0+a1+a2+· · ·+an = 729.

Tìm n và số lớn nhất trong các số a0, a1, . . . , an.

. 200. Khai triển đa thức P (x) = (1 + 2x)100 thành dạng a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ a100x

100. Tìm

(a) a45;

(b) a0 + a1 + · · ·+ a100;

(c) a1 + 2a2 + · · ·+ 100a99;

(d) lớn nhất trong các số a0, a1, . . . , a100.

. 201. (Dự bị A, 2007) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm bốn chữ số khác

nhau?

. 202. (Dự bị A, 2007) Trên các cạnh AB,BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3, n

điểm phân biệt khác các đỉnh A,B,C,D. Tìm n, biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + 6 điểm

đã cho là 439.

. 203. (Dự bị B, 2007) Tìm x, y ∈ N thoả mãn hệ phương trình

A2x + C3

y = 22,

A3y + C2

x = 66.

. 204. (Dự bị B, 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển (x2+2)n, biết A3n−8C2

n+C1n = 49.

. 205. (Dự bị D, 2007) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà

mỗi số ấy gồm bốn chữ số khác nhau?

5 Tóm tắt lí thuyết

1. Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R là

(x− a)2 + (y − b)2 = R2. (5)

Ngược lại mỗi phương trình có dạng (5) là phương trình của một đường tròn nhận I(a; b) làm

tâm và có bán kính bằng R.

2. Mỗi phương trình có dạng

x2 + y2 − 2ax− 2by + c = 0. (6)

với a2 + b2 − c > 0 là phương trình của một đường tròn nhận I(a; b) làm tâm và có bán kính

R =√

a2 + b2 − c.

23

6 Bài tập

. 1. Viết phương trình đường tròn (C ) trong các trường hợp sau:

(a) (C ) qua ba điểm A(2; 4), B(−1; 3), C(1; 1);

(b) (C ) qua hai điểm A(3; 1), B(−1; 3) và có tâm ở trên đường thẳng ∆ : 3x− y − 2 = 0;

(c) (C ) qua hai điểm A(1; 0), B(2; 0) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x− y = 0;

(d) (C ) qua điểm M(1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 3x−4y+2 = 0 tại điểm N(−2;−1).

. 2. (D, 2003) Cho đường tròn (C ) : (x− 1)2 + (y − 2)2 = 4 và đường thẳng d : x− y − 1 = 0. Viết

phương trình đường tròn (C ′) đối xứng với đường tròn (C ) qua đường thẳng d. Tìm toạ độ các

giao điểm của (C ) và (C ′).

ĐS. (C ′) : (x− 3)2 + y2 = 4. Các giao điểm A(1; 0), B(3; 2).

. 3. Cho đường tròn (C) : x2 + y2− 2x− 4y + 3 = 0. Lập phương trình đường tròn (C ′) đối xứng với

đường tròn (C ) qua đường thẳng d : x− 2 = 0.

. 4. (Dự bị khối D, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : x−y+1−√2 = 0

và điểm A(−1; 1). Viết phương trình đường tròn (C ) đi qua A, gốc toạ độ O và tiếp xúc với

đường thẳng d.

ĐS. x2 + y2 − 2y = 0, x2 + y2 − 2x = 0.

. 5. (Dự bị B, 2003) Cho đường thẳng d : x− 7y +10 = 0. Viết phương trình của đường tròn có tâm

thuộc đường thẳng ∆ : 2x + y = 0 và tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm A(4; 2).

ĐS. (x− 6)2 + (y + 12)2 = 200.

. 6. (A, 2004) Cho hai điểm A(0; 2) và B(−√3;−1). Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác OAB.

ĐS. Trực tâm H(√

3;−1), tâm đường tròn ngoại tiếp (−√3; 1).

. 7. (B, 2005) Cho hai điểm A(2; 0) và B(6; 4). Viết phương trình đường tròn (C tiếp xúc với trục

hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.

ĐS. (x− 2)2 + (y − 7)2 = 49.

. 8. (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(0; 5), B(2; 3). Viết phương

trình đường tròn đi qua hai điểm A,B và có bán kính R bằng√

10.

. 9. (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : x2+y2−4x−6y−12 = 0.

Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d : 2x− y + 3 = 0 sao cho MI = 2R, trong đó I là tâm

và R là bán kính của đường tròn (C ).

ĐS. M1(−4;−5),M2

(24

5;63

5

).

24

. 10. (D, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x− 2y + 1 = 0

và đường thẳng d : x− y + 3 = 0. Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng d sao cho đường tròn

tâm M , có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).

ĐS. M1(1; 4),M2(−2; 1).

. 11. (CĐSP Quảng Bình, 2006) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ và cắt đường tròn

(x− 1)2 + (y + 3)2 = 25 thành một dây cung có độ dài bằng 8.

ĐS. y = 0, 3x− 4y = 0.

7 Tiếp tuyến của đường tròn

7.1 Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường tròn

. 1. Cho đường tròn (C) : (x + 2)2 + (y − 3)2 = 25. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại

điểm A(−5; 7).

. 2. Cho đường tròn (C) : x2 + y2− 4x + y− 12 = 0 và đường thẳng ∆ : x + 2y + 4 = 0. Viết phương

trình các tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) và ∆.

7.2 Tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến song song, vuông góc với

đường thẳng cho trước; có hệ số góc k cho trước

. 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn x2 + y2 + 10x − 2y + 6 = 0 biết tiếp tuyến song

song với đường thẳng 2x + y − 7 = 0.

ĐS. 2x + y − 1 = 0, 2x + y + 19 = 0.

. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn x2 + y2 − 2x + 4y = 0 biết tiếp tuyến vuông góc

với đường thẳng x− 2y + 9 = 0.

ĐS. 2x + y − 5 = 0, 2x + y + 5 = 0.

. 3. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn x2 + y2 − 4x− 6y + 1 = 0 biết tiếp tuyến có hệ số

góc k = 2.

ĐS. 2x− y − 1−√60 = 0, 2x− y − 1 +√

60 = 0.

7.3 Tiếp tuyến xuất phát, đi qua, kẻ từ một điểm cho trước

. 1. Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn x2 + y2 + 2x− 4y = 0 biết tiếp tuyến đi qua điểm

A(4; 7).

ĐS. 2x− y − 1 = 0, x− 2y + 10 = 0.

. 2. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + x − 3y − 3 = 0. Gọi M, N là các tiếp điểm của các tiếp tuyến

kể từ điểm A(1;−2) đến (C). Tính độ dài đoạn thẳng MN .

ĐS. 3.

25

. 3. (B, 2006) Cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x − 6y + 6 = 0 và điểm M(−3; 1). Gọi T1 và T2 là

các tiếp điểm của các tiếp tuyến kể từ điểm M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T1T2.

ĐS. 2x + y − 3 = 0.

7.4 Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

. 1. (Dự bị 2006) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn

(C1) : x2 + y2 − 4y − 5 = 0 và (C2) : x2 + y2 − 6x + 8y + 16 = 0.

Hướng dẫn. (C1) và (C2) ngoài nhau và có bán kính bằng nhau.

ĐS. 2x + y + 3√

5− 2 = 0; 2x + y − 3√

5− 2 = 0; y = −1; 4x− 3y − 3 = 0.

. 2. (Dự bị 2002) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn

(C1) : x2 + y2 − 10 = 0 và (C2) : x2 + y2 + 4x− 2y − 20 = 0.

Hướng dẫn. (C1) và (C2) cắt nhau và có bán kính bằng nhau.

ĐS. x + 7y − 5 + 25√

2 = 0; x + 7y − 5− 25√

2 = 0.

. 3. (CĐ Y tế Thanh Hoá, 2005) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn

(C1) : x2 + y2 − 4x− 2y + 4 = 0 và (C2) : x2 + y2 + 4x + 2y − 4 = 0.

ĐS. x = 1, y = 2, 4x− 3y − 10 = 0,−3x− 4y + 5 = 0.

26