12
Two-sample hypothesis tests of means of a fuzzy random variable q Manuel Montenegro, Mar õa Rosa Casals, Mar õa Asunci on Lubiano, Mar õa Angeles Gil * Dpto. de Estad õstica, I.O. y D.M., Facultad de Ciencias, Universidad de Oviedo, C/Calvo Sotelo, s/n, E-33071 Oviedo, Spain Abstract In this paper we will consider some two-sample hypothesis tests for means concerning a fuzzy random variable in two populations. For this purpose, we will make use of a generalized metric for fuzzy numbers, and we will develop an exact study for the case of normal fuzzy random variables and an asymptotic study for the case of simple general fuzzy random variables. Ó 2001 Elsevier Science Inc. All rights reserved. 1. Introduction Inferential statistical techniques can be used to ``predict'' the characteristics of a population based on a sample from it. These techniques are commonly used to determine whether or not two samples came from groups having similar characteristics. Researchers in dierent ®elds often wish to see if two populations are similar or dierent with respect to some characteristic. When such a characteristic can be properly modeled by means of a fuzzy random variable as intended by [1]), our aim is to use the data obtained from two independent samples from the Information Sciences 133 2001) 89±100 www.elsevier.com/locate/ins q Expanded version of a communication presented at the Seventh Fuzzy Theory and Technology Conference, Atlantic City, NJ, February±March 2000. * Corresponding author. Tel.: +34-8510-3356; +34-8510-3356. E-mail address: [email protected] M.A. Gil). 0020-0255/01/$ - see front matter Ó 2001 Elsevier Science Inc. All rights reserved. PII: S 0 0 2 0 - 0 2 5 5 0 1 ) 0 0 0 7 8 - 0

Two-sample hypothesis tests of means of a fuzzy random variable

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Two-sample hypothesis tests of means of a fuzzy random variable

�������� ���� ���� � � �� ���� �� ������ ������ ������ �

���� ��� ����� ������ ���� ������������ ��������� �������� ������ ���� � !

����� �� ������� � ���� � ����� � ���� �� ���� �� ��������� �� ������� ������ ������� ���

����� ! ������� ����

��������

"� ��� ���� � �� ������� ��� ������� ���� ���� � � ��� ���� ���������

� ����� ������ ������ �� �� ����� ����# $�� ��� ������� � �� ��% �� �� �

������� � ��� ��� ����� ������� ��� � �� ���� �� &�� � ��� ��� � ��� ��

����� ����� ������ ������� ��� �� ����� � �� � ��� ��� � ��� �� ���� ����

����� ������ �������# � '(() *���� +���� "��# � ���� � �����#

� ���� ������

"���� �� � � �� ��� ����,�� ��� � ��� � --����� .. � ������ ��� ����� � ����� ��� ���� �� � ���� ���� � # ��� ����,�� �� ���������� � � ���� �� �� �� �� �� ����� ��� ���� ������ ������������ ������ ��� ���#�������� �� ��/�� 0�� �� � ���� � � �� �� ����� ���� �� ������

�� ��/�� �� � ���� � ��� ������ ��� ��# 1�� ���� � ������ ��� �� ���� ������ ���� �� ���� �� � ����� ������ ������ 2�� �� ��� �� 3)45���� ��� �� � �� � �� � �� ���� ���� �� ������� ����� ���� �

"������ ��� +����� )66 2'(()5 789)((���#����#���:��� :���

�*&����� ������ �� � ��������� ��� ���� � � � +�� � $���� ����� ��� ��������

�������� � �� �� �� �� ;<� $������9����� '(((#! ������������ �� ���# �#= >6?�7@)(�66@AB >6?�7@)(�66@A#

��"�� ����# ����C�����#���#������#� 2�#�# �5#

(('(�('@@:():D � � ���� �� � � '(() *���� +���� "��# � ���� � �����#

E""= + ( ( ' ( � ( ' @ @ 2 ( ) 5 ( ( ( F 7 � (

Page 2: Two-sample hypothesis tests of means of a fuzzy random variable

����� ���� � � �� �� �� �%� � � � � � �� ���� �����0��� ��/���� �� � --����.. �� �� ����� ����#$�� ��� ������� � 0�� � ��� �� ����� ��� � ��� �� ����� � ������

����� ������ ������ �� ����� �� E��� ��� �����.� ��� 3'4# ���� � ������ �� �,��� ��� ������ �� ����� ,�� ��� � �� ���� �� ���� ������� ��� �� 2� �� &�� �� �����&��� �� ������ ���5 ������ � �� ������ ������ ������ �� ������ �� �� ���� �� �� ����# �� ��� �,����� ��� ��� � ��� �� � �� �� ������� �����#�� ����� � ��� � �� ���� ������� �������� � � ��� ����

����� ������ �������# ������� �� �� �� ���,���� � � ����� �� � �� ����� �� �� � ����� � ��� ��� ������� � ��� �� �� ����� � 0�� ����� �� ��/�� �� ����� ��� � �������� ����� ������������� 2 �� �� ����� �� �������� ���� �� ��� &����� ���&���� �� �� ��� ��� � ��� �� ������ �� ���� ���� � ����5# �� �� ���,���� �� �� ���� ��� ��� ��� �������� �� � �� ��� ���� �� ���0 � ��� �� � ���� ��� �� �� ���� �������� ����� ������ �������#� ����� &��� �� &����� � ��� �� � ������ ��� �� � ��������

� ���� 0���� ��� ����� � �� ���� �� �� � �� �� ���� ����#

� �������������

� ����� ��� � ���� �� � ����� ���� � �� �� � ���� �� � ���� � ��� � ����� 2����� ���� � ���� �� ����� � ������ �� ����5 ��� �� � �(� )�� �� � � (�� ������ � ����� �� � ������ �� ��# "� ��� ����� �� �� �� � � ����� ��� �� ���������� ����� ������ �������# ��� � �������� � ���� ����� � �� � $�%%� ����" ���&�� 2��� ���

������� �� ���������� ����� ������ ������ �� ������ ����� � 5 �������� � �� � ����� �� �� ��� � �� �� ��������� �� � E��� ��� ����� 3)4�� ���� ��� � � � � ����� ���� �� � ��� ������� �� � � � �������0�� �� �� ����� � ������� ��� � � � �� �� � ������ ������ ����& � ��� �� � � �(� )� ��� �#� ����� ������ ������ � � � � ����� �� ���� � � ����'�&�� &������ ��

��� ��� ��� ��(� � �)����� � � 2�� � ��(��� � ������(�� �5# "� � �� �� ��� ����� ������ ����� ������ ������� � �(�� ��� ���� 2�� ����� ���5 ��� �� � ���,� ����� � �� �� ���� � �� ���� �� � ���� � ��� � ������.��� ��� 364 �� �� 2����� �� ��� ��� ,��� � ������ �� ��������� �� � ��������� � ��5 ��� � � � �(� )�#� ����� ������ ������ � � � � ����� �� ���� � � ���"� �� E��� ���

�����.� ��� 3'4 ��� ��� ��� ��� ��� ��� � � �(� )� ��� ��� � � � ������� � ����� ��� � &����� �� � ���%���%� ��� �� � �� ���� ��� ��� � ��� �� � ����� � ���� � � � ����� 2 �� ������ � � �� � ���� �� �� � � � ����� ��� ��������� � G���.� & �����

8( �� �������'�� �� �� � ��$��"���� � ��� � !�� )*��!+ ,-.!��

Page 3: Two-sample hypothesis tests of means of a fuzzy random variable

������� 3?9A45� ��� � � � � � �� � ������� ������ ������ ������� ��� � ����� � � ��� ���� ������ ��� ���� � �� � ��� ,�� � (#� ����� ������ ������ � � � � ����� �� ���� � � �"��� ��� ��� ��� ���

� �������� � �� ���� �� 0�� #H� � ��������� ���� � ���� ��� � �0�� 2�� ��� ��� ���� 3F45# $��

��� � � �� ��� � ���� ��������� ����� ������ �������� � �������� ��� ��� �� ����� � � ������ ����� ��� ��� � ���� ��� ��� ��� 2�� ��� ��� ���� 379)(45# ���� � ��� ��� �� �� ������ �� I� ������ �# 3))4 ��� � ������� ��� ��� �� ��� � � ������ �� J�������� ;�� �� 3)'4# �� �� ����� ��� �� I� ����� �# ��%� �� �� ���������� ����0� ���� �������� ������ / ��� � ����� ��� � ��������� �� ���� �� �������� � ������ �� � ������� ������(� )����(�)�� 2��(�)� ���� � I�� ��0� �� �(� )�5 ������� � �� � � ��������� ��� � ��� ������ ��� ���� ���� ���� ���� ��� � �� ������� ���� �� �� ����� ������ ��� �� � ����� �� �0�� ��

�� � ��� ��� �

������������������������������������������������������(�)�

�� ���� ���

� �� �'�����

��

��� �� � ����� ������ � �(� �� �� �0�� �� ��

�� � ���� ���� �������������������������������������������������������������������(�)�

����� �� � ����� ��� �' �� ����

�� � ����� �� � � ��� ��� �)� �� ��� ���#

� ���������� ����� �� ����� ��� ������ ����� ��� �� ���������

������� ������� � ������ �� ��%���� ����� ��� ���� �� �������� ���� �� � � � �� �� �������� � ��/��� �� � �� ���������������� ����# �� &�� ��� ���� ��� �� ��� � � �� �� �� ����� �� ���� ���������� �� � ����� ��� ���� ������ � ������� ������ ������������ �� �� ��/�� ����� ����� ��� � ������ ���� ������ ���� ���� � ��� ������ � �� � ��� ��%���� � ������ ���� ��� �� %����� ������ ���� ���� �� ��#1�� � �� �� � ����� ������ �������� � ����� �� ����� �����

������ ������ �� ��� � ���� � ����� � ��� ��� ��� � �� �� �� ������ ���� ��� ���� �� 2�����5 ������ ���� �� ����� � ��/� ��� �� � ������� ����� ���# "� ��� �� ��� � �� ����� � ����� �� ���� � ������� ��� �� ������ � ��� � � �� ��� ���� �� � �� ����� ��� ��� ���� ��������� ������ ����� ���� � ����� ������ ������ �� ��������� � � ������� � � �� ��� ���� �� ������� ������ ����� ���� � ������� ������ ������#

�� �������'�� �� �� � ��$��"���� � ��� � !�� )*��!+ ,-.!�� 8)

Page 4: Two-sample hypothesis tests of means of a fuzzy random variable

������� �� �������� � ����� ��)��)� � � ��� ��'��'���# � � � ������ ����� ������ ������ ������� � �� � ��# �� ����� ��� �������� �� � ��� �) �� ��� ��� � �� ��) � ���� � �� ��� � ����� ��� �������� �� � ��� �' �� ��� � �� ��' � ���� ��#H�� 0�� ������ �� ��� � ������ � ����� ���� �� � �� �����

����� ����� ����� ����� � �� ����� � ������ ,�� ��%���� ���������'# +����� �� ������� ������ ����� �� �� � ���� ��� �� ������� ����� �))� � � � ��) ) ���� � 0�� ��� �')� � � � ��' ' ���� � ��������� �� �) ��� �' ��� � ������������ ���� ����� ����#"� � ���� � � � ���� ���� �� � ����� ��� ����� ���� �� ,���

� �� � � �� ���� ���� �( � ��� � ���� � �� ���� ����' � ( ������ �

� ��� �� �� � ��� � ���� ��� ���� ����' � (� $�� ��� ������� � � � � �� ��

� �� ������� �� ���� ��

� ��

� �)��'

� �' � ��

���� ��� ���� ��� �� �'

�' �)� )� �)� '�� � �

���

�' � )�') '�'' ) ' � '

���

�'� � �)� ��� ���)

��� ���������' �� � )� '��

"� ��� � �� � ����� �� �� � ���� ��� �� � ��� � ��� ��� �� 2�

3845� �� � &���� ��� � ��� ��� 2���� ���� �� � � � ���5� � ��� ������ �� ���� �(

�� �)��'

� �' � � ) � � '

�'�

��

���� � �� ���� ��� �� �'

� ��� � �� � ��� ���'����

�'� �)

� ���)

���

� � �

�'�� � )� '�� ���� 0 �������� �� � � ������� � � �� �� ��� 2��������5 ���������� ����� �� ���

) '� ) '�'� ) '

� ) � � ' �'

)��) �)� � � ) �' '

��) �'� � � ' �'

8' �� �������'�� �� �� � ��$��"���� � ��� � !�� )*��!+ ,-.!��

Page 5: Two-sample hypothesis tests of means of a fuzzy random variable

���� ���� ���� �( 2����� ����� ��� �� � ��� ��5 � � � � �� �� 0 ����� � ��� ���� ��� �� � �)� ) ' � '� ���� �� �����# �� � ����,����� ��� � � �� =

������� �� �� ���� �� ��� ��������� ��� � � �(� )� ��� � ����������

�( � ��

���� � �� ���� ��� �� �'

� (����� ��� � ��������

�� � ��

���� � �� ���� ��� �� �'

� (�

��� ���������� �( ���� � �� �������� �������

) '� ) '�'� ) '

�� �)��'

� �' )

��) �� �)���)

� �' '��) �

� �'���'

� �' � ���

����� �� �� ��� )((�)� �� ������ � �� ��� �)� ) '�' �����������#

"� �� �������� ���� �� ��� ������ �� � ������ � ����� ���� �� � �� ����� ����� ����� ����� ����� � �� ����� � ������ %���� ��������� �') ��� �''� ��� ������� ������ ����� �� ������� � � �� ����� ��� �� �� ����� ����� �� ������� ������ � ������ � ��� ��� �������� ������� � ��� ������ �� =

������� �� �� ���� �� ��� ��������� ��� � � �(� )� ��� � ���������� �(����� ��� � �������� �� � ������� 6#)� ��� ���������� �( ���� � �� ���������������

�� �)��'

� �'��')� )� ��''� '�

� �'��

����� �'� �� ��� )((�)� �� ������ � �� ��� �') ������������

"� �������� ��� ������ ��� �� � ���� ������ � ��� � � ��������� ���� �( � ��� ��% �� �� � � � ��� � ������� � 2��������5����� ����� ���� ���� �� � ����� ���� �� � K�%����� ��/�����)� � �)� �� ���� �� ��� �'� � �'� �� ���� ��� ����� �� ��� ��� ��� � ����� �����#

� ���������� ���������� ����� �� ����� ��� ������ ����� ��� �� ���������

1�� ������ � �� � ����� ���� ����� � ���� �� ������� ������� � ������ �� ��%���� ����� ��� ���� �� �� � ���� �� � ����� � ��

�� �������'�� �� �� � ��$��"���� � ��� � !�� )*��!+ ,-.!�� 86

Page 6: Two-sample hypothesis tests of means of a fuzzy random variable

��� ���� ��� �� � � � �� �� ����� �� �� ���� ���� ,�� ���� ����� ���� ������� ���� +��� ����� 2��� ������� ����� �� �� � ���� ����5#1�� � �� �� � ����� ������ �������� � �� �� ��� ����� ���� �������& ����� �� ��� ��� � � ��� �� ������� ������ �������� ������ ��� ��� ���� ���� �� �� ������� ��� ����� ������ �������#K����� � ����� � �� ��� ���� ��� �� ����� � � �� ���� �� ��� �� ���

���� ����� ���� ����� �� ,�� ���� �� ���� ��# ����� �� � ����� �� ��������� ����� ������ ������ � �� �������� �� � �� ����� ���� �� ����� ��� � 0�� ��� �� ������� ����� �� ��� ����� ��� � �������� +��� ����� ��� � ���� � �����# �� ������ ��� �� � ����������� ������ �� ���� �� ���� ��� ��� �� � ���� ��� �� �� ����� �� �� � ����� � �� ��� � � ��� ���� �� � ��� ���� ������� ��� �&�� ��� ���� �� � ����� ��� �� +� ��� 6#������� �� �������� � ����� ��)��)� � � ��� ��'��'���# � � � �

����� ������ ������ ������� � �� � ��� �� �� �� �) � ����� ������������ �%� �� �) ��/�� ����� ��))� � � � ���)�) �� � �������� �� �))� � � � � �)�) ����� ��� 2�##� � ���) � �) ���)� � ��)�� � �)�� � � )� � � � � �)55� ��� �� �' � �%� �� �' ��/�� ����� ��')� � � � ���'�' �� � �������� �� �')� � � � � �'�' � ����� ��� 2�##� ����' � �' ���'� � ��'�� � � �'�� � �� � )� � � � � �'55#�� ����� ��� ����� ��� �� � ��� �) �� ��� ��� � �� ���� �� 2���

� �� � �� ������� ����� � � � ��))� � � � � �)��)�)�� ��� �)�) � )� �)�)

��) �)�5���� � ����� ��� ����� ��� �� � ��� �' �� ��� � �� ���� � 2��� �� � �� ������� ����� � � ��')� � � � � �'��'�)�� ��� �'�' � )�

�'�)���) �'�� 5#

���=

������� �� ��� ���� ���� � )� '� � ���� ������� ) �������� ���������� ������ �� ���� ������� ����������� ���� � � �)� �� ������� '�������� �������� ����� ����� ������ �� ���� ������� ����������� ����� � �' �� ��� �������� ���� ������� �� ��� ����� ) ����� ����� ������ ��#

��� � ) � �))� � � � � )��)�)�� � �(� )��)�) �� � )� � �������� ����� �� ��)�2� � �)� � � � � �) � )�5 � ��� ���������� �� ��� ����� ) ����� ����� ������ ����� ! ' � �!))� � � � � !)��'�)�� � �(� )��'�) ���� !'�� � �������� ����� �� ��'��2� � �)� � � � � �' � )�5 � ��� ���������� �� ��� ����� ' ����� ����� ������ ������ �) � ���� � )� ����� ��� ���� � ����� ��� �� ��� ����� ) ����� ����������� ��� �� �� �' � ���� ! '� ����� ��� ���� � ����� ��� �� ��� ����� '����� ����� ������ ��� ���=2�5 ����������������������

) '�'�� ) � ! '�

��

� �)��'

� �'��� �

����� ��� ���� �� �� �'��

�� � ������� �� ��� ��� ��� ����� ������ �� ������ � �� �� ) � � �� ' � � �� � ������� ���� ������������ ������� �'��� � � ( ��

8? �� �������'�� �� �� � ��$��"���� � ��� � !�� )*��!+ ,-.!��

Page 7: Two-sample hypothesis tests of means of a fuzzy random variable

�'�� ) � ! '� � (� ����� �'��� � � ���� ��"����� ���)���� � � ���� ���� � ����������� �� ��� ������ ������ ��� ��

���� � �

� ��

���� ��� ���� �� �� �'��))

���

� ��

���� ��� ���� �� �� �'��)��)�)�

� ��

���� ��� ���� �� �� �'��')

���

� ��

���� ��� ���� �� �� �'��'��'�)�

���������������

���������������

�� �"����� ���) �� ��� ������ �� ��� ������ ��������� ������

"����� �� �) � ) '

)"������ �)

"

" ) ' '

"��� �� �)

� �

�����

"������ �) � �)����#� � �)#���#� "��� �

� �) � �'�� ����#�� � �'#� ����#� �

�� �'�� ) � ! '� �� ��� �� ��� �������� �� �'��� �#2��5 � �'��� � � (� �� ����� �� � ���� ��� �� ���� ���� ������

�' ��

���� ��� ���� �� �� �'

��)� ��)��

��

�' ��

���� ��� ���� �� �� �'

��'� ��'��

��

�' ��

���� ��� ���� �� �� �'

��)� ��'�

���� �� ������ ���

'� )�

'� �� �)��'

� �'�� �

����� ��� ���� �� �� �'��

�� � ������� �� ��� ��� ��� ����� ������ �� ������ � �� �� ) � � �� ' � � �� � ���� ��������� ��� �� ����� �) �' � ' ���������� ������������� ������ �� ���� �� ����� �� �������#

�� �������'�� �� �� � ��$��"���� � ��� � !�� )*��!+ ,-.!�� 8@

Page 8: Two-sample hypothesis tests of means of a fuzzy random variable

" ����� � �������� �� � ,��� � �� � �� ����� ��� ����� �������� �� ��� ���� �� ����� �� ,����� � ��

� � ���� ��� ���� ���' � (� � ��� � �������� �� � ����� � �� ������� �'��� �# ����,�� �� � � ��� ���� ���� �( � ��

� � ���� ��� ���� ���' � ( ������ � � ��� ���� � ��

� � ���� ��� ���� ���' � (� � ��� ������ �� =

������� �� !������ ��� �������� � ������� ?#)# �� ���� �� ��� ��������� ��� � � �(� )� ��� � ����������

�( � ��

���� ��� ���� �� �� �'

� (

����� ��� � ��������

�� � ��

���� ��� ���� �� �� �'

� (�

��� ���������� �( ���� � �� �������� �������

'� ) '� �� �)��'

� �'� ��

����� � �� ��� )((�)� �� ������ � �� ��� ���� ��������� �� ���������� ��������� ������ �� �)�')�) �$�')�$� ���� �)� � � � � �$ 2$� �) �' � '5 ��� ����� ����� ��� �� ��� ������

�� ��

���� ��� ���� �� �� �'� �

� �

����� ����� � ���� ��� ���� ���'� �� ��� "����� ������

� �� � ���� ��� ���� ��

� �'� �� � )) � )'

� ') � ''

� �

����

� ))�# �

�' ��

���� ��� ���� �� �� �'

��)� ��)#�

� )'�#� �

�' ��

���� ��� ���� �� �� �'

��)� ��'#��

� ')��# �

�' ��

���� ��� ���� �� �� �'

��'�� ��)#�

� ''��#� �

�' ��

���� ��� ���� �� �� �'

��'�� ��'#��

�� # �� � ��) �' � '� � ��) �' � '� ������ ���� ���� �� � �"����� ���)#

8A �� �������'�� �� �� � ��$��"���� � ��� � !�� )*��!+ ,-.!��

Page 9: Two-sample hypothesis tests of means of a fuzzy random variable

# ����������� �$�����

�� ���������� �� ����� ?#' �� ��� ��� �� � �� ���� �� � �����&���� �� ����� �� � ��� �� ������ �� ����� �� � L��� ��� �� ���� ����� �� � ����M���� � ������ ��� �� � E��������� ��� ����� �� +����#

%$����� ������� � ����� ���� �� � ���� �� �� ���� ���� �) ��� �'���� ������� �� ������� ������ ����� �� @( ���� �� � 0�� ��� ���?@ ���� �� � ����� ��� �� ����� � ������� 2������ �5 ��� �� �������#N����� � �%� �� � ���� I�" K� 2��)5� ��*�� 2��'5� LO�� 2��65���HOLP 2��?5� ��� HN*���+� 2��@5# *&�� � �� � ������� �� ������ ��� ������� �� �� ��� �� � ����� � � 2������ ����� ����� ���5 ��� ���� �� $� ��� ������ ���� ������ �� � ��� � ��� ���� ���(� )((� �� ����� 2� $��# )5=��) � ��(� '(�� ��' � �)(� '(� ?(��

��6 �

��'(� ?(� �� �'(� ?(��) �� �?(� @(��)� ��@(� F(� �� �@(� F(��( � ������

�����������

��? �

��A(� F(� �� �A(� F(��) �� �F(� 7(��)� ��7(� 8(� �� �7(� 8(��( � ������

�����������

��@ � )� ��7(� )((�� ���

$��# )# N��� �� � ������ �������#

�� �������'�� �� �� � ��$��"���� � ��� � !�� )*��!+ ,-.!�� 8F

Page 10: Two-sample hypothesis tests of means of a fuzzy random variable

���� %���� �( �� �� ��' ���

%��

� '�� � � �� � %

'

��

)� ' ��%%��

� '�� � � � %

'� %

��

) � ������

�������

���

��� �� %��'� %���� � ���� �� %��'� �� �� �� %��'�)� ���� %��'� �� � ������

$�� � �������� ����� ���� �) ��� �' � ������ ����� �� � ��� ����� � �� ��� )#�� � � �� ���� ���� �( � ��

� � ���� �)�� ���� �'���' � ( ������ �� ��� �� �� �� � ��

� � ���� �)�� ���� �'���' � (� ��� ���� �)� ������� �'� ��� � ����� ��� ����� ���� �� � ��� �) ��� �'� ��� ����� ������� ��� � �� �� � � ����� ����� �� �(� )�� � �������� ������� � ���� �� E���� ��� G������� 3)64 � �������� � ����� � ����� ���� ��� �� ����� ?#' �� � ���� ���� �( ����� � �M� � � ������0���� � � �����

'�8@�)'8�6FF7 � FF8F�A8�'����� �'� �� � )((�)� �� ���� � �� � �����,��� ��� ���� ��� �� � 2������&��� �5 �� ��� �� �����#����,�� �� � � � � (�(@ � ���� ���� �( ���� � ���� �� �� �

� � � (�)( � ����� � �M� � 2�� ���� � ����� �� �����&��� � ������ � � � ��') � '�8@�)'8�6FF7�FF8F�A8� � (�(F@�#

& '����� ��! �����(�

�� � ��� �� ��� ���� ����� � ������ � �� � � ���������� �� ������ ��� � �������� � ����� � �� ��� ���� ��� �� ����� ?#)2��5 ��������� ���� ������ � ��� �� 3)64# �� � ��� � �� ���� ��� ���� ���� �� �� ����� � ���� ����� �� � ����� �� 2�5 �� ����� ?#)#�� � ���� �� ��� ���� ����� � ������ � �� � �� �� � ���� �� �

��� �� ���� ���� � ������� � ����� � �� �����&��� ��� �� +� ��� ?� ��� �� �� � ����� ��� �� � ���������� �� � ���� � � ����� ��

��� )

L� � �� � ������ ������� ���� ���� �� �) ��� �'

���� ��) ��' ��6 ��? ��@

�) @ ') )' 8 6

�' ' )8 F )' @

87 �� �������'�� �� �� � ��$��"���� � ��� � !�� )*��!+ ,-.!��

Page 11: Two-sample hypothesis tests of means of a fuzzy random variable

������ / ��� �# +���� ���� ������� �� � ���� �� 3)?4 �� � � ������� ���� � ����#�� � ��� �

� � ��� ��� �� ��� ���� ��� � ���� �� � ����� ��� �� �� �� ������ �� J����� ��� ;�� �� 3)'4 �� ������ �� �� ������ �� � ������=

&� ��� ���� �'

������)�'��(�)�'

' ����� ��� � ' ����� ��� ' ����� ���

� ' ����� ����&��� �� �� ������ ��� � � ������ ���� ��� �� ������� ���) �� � ��� ���� �� ������ 1 �� � ���� ��� ��� ���� �� �0�� %��# & ���������� � ��'���� ��� 2� �� � ������ ���� ���� �� �� � �� ������5 �� � I������ ���� �����) � �(� )��# ��� ������� �� ������ � �� J����� ���;�� �� 3)'4� �� � � ) � � ��� �

� �������� �� � � � ��� & ������������ � � %�� ���� ��

�&��� �� ���� � ��� �����&)��� ���� �

&)�)� )� ���(�)�

�' �� ����

&)��)��)� ���(�)�

�)� ��' �� ����

&)�)��)� � &)��)� )� ���(�)�

��)� �� �� ����

" ����� � �� �� ��� � ���� �� & ����� �� � � ��� �� ��� ���� ������������ ��� ���� & #

��(����� !������

�� ������ �� ��� ���� ��� �� ��� ��� ������ � �� L *+"� ��� ;�# EI87�)@6? �� � +������ �*�# " � 0������ ������ �� ��� �����%������#

)���������

3)4 �#�# E���� L#�# ������ $���� ������ �������� <# �� �# ���# ���# ))? 2)87A5 ?(89?''#

3'4 �#�# E���� L#�# ������ �� ����� �� ������ � ��� ����� ������ �������� ���# E�����#

)6 2)87@5 )6F69)6F8#

364 �#<# ������� "� ���� �� � ����� ���� ����� <# �� �# ���# ���# )' 2)8A@5 )9)'#

�� �������'�� �� �� � ��$��"���� � ��� � !�� )*��!+ ,-.!�� 88

Page 12: Two-sample hypothesis tests of means of a fuzzy random variable

3?4 �#�# G���� �� ����� �� � ������ �� ������ ��� � � ������ ��� � �����&��� ���������

E�� )� "�����# +��# 7 2)8F@5 )889'?8#

3@4 �#�# G���� �� ����� �� � ������ �� ������ ��� � � ������ ��� � �����&��� ���������

E�� '� "�����# +��# 7 2)8F@5 6()96@6#

3A4 �#�# G���� �� ����� �� � ������ �� ������ ��� � � ������ ��� � �����&��� ���������

E�� 6� "�����# +��# 8 2)8F@5 ?697(#

3F4 E# L������� E# J���� � ��� +���� �� $���� + �= ����� ��� ������ ����� 1���

+��� �0�� +�������� )88?#

374 �# ��� ����� �#�# ������ �#�# �� *� ��� ��� ����� ����� �� �� ����� ������

������� �� � I������ ��� & � ��= E�������� �� � +�� � "E�O �������� ��# '� )887�

��# )(('9)((F#

384 �#�# ������� ����� ������ � ���������� ���� �� �� �� ����� ���������� E�#L#

������ O��������� � H����� )888#

3)(4 �#�# �������� �#�# �� *� ��� ��� � &�� � ��� �� ����� ������ ������� �� ������

�������� ���� 0�� ����� ����� + � # E��# ?( 2)8885 'FF9'8@#

3))4 �# I� ������ ;# ������ �# +���� H� � �� ���� �� ��� ���� � �� ����� �������

�� ���� Q +�� ����� ��� ' 2)88@5 F)97?#

3)'4 �# J������ 1# ;�� ��� H� � ������� �� ������ ����� �������� ��= �# I� ������ �#�#

�� L#�# ����� 2*��#5� + � �� ��� ������� ������� ��� ������� �� $���� L� ��

E�������N��� 2�� ����� '(()5 ��# ''968#

3)64 �# E����� J# G�������� ������ �� 0 � � �� � ���������0� �� � ���� �� �����������I���# <# ?' 2'(((5 ''69'6F#

3)?4 �# ����� ������ ��� ��� � � �� ������ ������� ���� ������� �� ����� ��������

E�#L# ������ O��������� � H����� '(((#

)(( �� �������'�� �� �� � ��$��"���� � ��� � !�� )*��!+ ,-.!��