Upload
nissa-khofifatur
View
33
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ANALISIS VARIANSI TERAPAN
ANALISIS COVARIANSI (ANACOVA) DUA ARAH
Disusun oleh:
Kelompok 8
1. Sita Rahmahdewi (11/316647/PA/13782)
2. Ayu Aulia (11/316653/PA/13788)
3. Nisa Khofifatur Rifqoh (11/316660/PA/13795)
4. Nuning Setiyarti (11/316688/PA/13817)
5. Awwalina Ghaida R. (11/316691/PA/13820)
6. Elok Arisma (11/316799/PA/13926)
7. Prastyani Betari (11/316811/PA/13937)
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS GADJAH MADA
YOGYAKARTA
2013
Analisis Kovariansi 2 Arah
Analisis kovariansi adalah teknik statistik yang merupakan perpaduan antara
analisis regresi dengan analisis variansi atau anava (Rencher, 1998:178). Analisis
kovariansi dilakukan berdasarkan pertimbangan bahwa dalam kenyataanya variable
tertentu yang tidak dapat dikendalikan, tetapi sangat mempengaruhi variabel respon
yang diamati. Variabel yang demikian disebut variabel konkomitan. Dengan kata lain,
analisis kovariansi berfungsi untuk memurnikan pengaruh variabel respon dari pengaruh
variabel konkomitan. Variabel independen dalam analisis kovariansi sering disebut
dengan faktor. Analisis kovariansi dapat diterapkan pada percobaan satu faktor, dua
faktor maupun banyak faktor. Untuk percobaan yang terdiri dari satu faktor disebut analisis
kovariansi satu arah. Sedangkan percobaan yang terdiri dari dua faktor disebut analisis
kovariansi dua arah. Berikut adalah tabel pengamatan analisis kovariansi dua arah dalam
rancangan acak lengkap.
Tabel pengamatan analisis kovariansi dua arah :
Tabel di atas menjelaskan percobaan yang terdiri dari dua faktor yaitu faktor 1
dengan level z dan faktor 2 dengan level b, dengan subjek sebanyak n dan satu variabel
konkomitan.
Menurut Rencher (1998 : 183), model linear ANCOVA dua arah adalah :
Ylkr = Β΅ + Ξ±l + Ξ³k + (Ξ±Ξ³)lk + Ξ²Xlkr + Ξ΅lkr (1.1)
dengan:
Ylkr = nilai pengamatan pada satuan pengamatan ke-r yang memperoleh taraf ke- l
dari faktor 1 dan taraf ke-k dari faktor 2
Β΅ = rata-rata keseluruhan
Ξ±l = taraf ke- l pengaruh faktor 1
Ξ³k = taraf ke- k pengaruh faktor 2
(Ξ±Ξ³)lk = pengaruh interaksi taraf ke- l faktor 1 dan taraf ke- k faktor 2
Ξ΅lkr =galat yang muncul dari satuan percobaan ke-r yang memperoleh kombinasi
perlakuan lk (taraf ke- l dari faktor 1 dan taraf ke- k dari faktor 2)
Xlkr = nilai pengamatan ke-lkr pada variabel konkomitan
Ξ² = koefisien regresi antaraYlkrdengan Xlkr
Dalam model tersebut asumsi yang harus dipenuhi adalah β πΌπππ=1 =
β πΎπ = β (πΌπΎ)ππππ=1 = π
π=1 0 dan Ξ΅lkr ~ N(0, Ο2).
Dalam persamaan (1.1) di atas di terdapat metode regresi linear sederhana yaitu:
Ylkr = Ξ²0+ Ξ²1Xlkr + Ξ΅lkr (1.2)
Untuk analisis data analisis kovariansi dua arah diperlukan jumlah-jumlah kuadrat
dan hasil kali sebagai berikut :
Rumusan Jumlah Kuadrat
a. Jumlah kuadrat total (JKT) dan jumlah hasil kali total (JHKT) untuk variable X
dan Y
JKTY = β β β (π¦πππππ=1
ππ=1
ππ=1 β οΏ½Μ οΏ½β¦)2
JKTX = β β β (π₯πππππ=1
ππ=1
ππ=1 β οΏ½Μ οΏ½β¦)2
JHKT = β β β (π₯πππππ=1
ππ=1
ππ=1 β οΏ½Μ οΏ½β¦) (π¦πππ β οΏ½Μ οΏ½β¦)
Dengan derajat bebas abn-1
b. Jumlah kuadrat perlakuan (JKP) dan jumlah hasil kali perlakuan (JHKP) untuk
variable X dan Y
JKPY = π β β (οΏ½Μ οΏ½ππ.ππ=1
ππ=1 β οΏ½Μ οΏ½β¦)2
JKPX = π β β (οΏ½Μ οΏ½ππ.ππ=1
ππ=1 β οΏ½Μ οΏ½β¦)2
JHKP = π β β (οΏ½Μ οΏ½ππ. β οΏ½Μ οΏ½β¦)(οΏ½Μ οΏ½ππ.ππ=1
ππ=1 β οΏ½Μ οΏ½β¦)
Dengan derajat bebas ab-1
c. Jumlah kuadrat factor 1 (JKA) dan jumlah hasil kali factor 1 (JHKA) untuk
variable X dan Y
JKAY = ππ β (οΏ½Μ οΏ½π..ππ=1 β οΏ½Μ οΏ½β¦)2
JKAX = ππ β (οΏ½Μ οΏ½π..ππ=1 β οΏ½Μ οΏ½β¦)2
JHKA = ππ β (οΏ½Μ οΏ½π.. β οΏ½Μ οΏ½β¦ππ=1 )(οΏ½Μ οΏ½π.. β οΏ½Μ οΏ½β¦)
Dengan derajat bebas a-1
d. Jumlah kuadrat factor 2 (JKB) dan jumlah hasil kali factor 2 (JHKB) untuk
variable X dan Y
JKBY = ππ β (οΏ½Μ οΏ½.π.ππ=1 β οΏ½Μ οΏ½β¦)2
JKBX = ππ β (οΏ½Μ οΏ½.π.ππ=1 β οΏ½Μ οΏ½β¦)2
JHKB = ππ β (οΏ½Μ οΏ½.π. β οΏ½Μ οΏ½β¦ππ=1 )(οΏ½Μ οΏ½.π. β οΏ½Μ οΏ½β¦)
Dengan derajat bebas b-1
e. Jumlah kuadrat interaksi factor 1 dan 2 (JKAB) dan jumlah hasil kali interaksi
factor 1 dan 2 (JHKAB) untuk variable X dan Y
JKABY = JKPY - JKAY - JKBY
= π β β (οΏ½Μ οΏ½ππ.ππ=1 β οΏ½Μ οΏ½π..
ππ=1 β οΏ½Μ οΏ½.π. + οΏ½Μ οΏ½β¦)2
JKABX = JKPX β JKAX β JKBX
= π β β (οΏ½Μ οΏ½ππ.ππ=1 β οΏ½Μ οΏ½π..
ππ=1 β οΏ½Μ οΏ½.π. + οΏ½Μ οΏ½β¦)2
JHKAB = JHKP - JHKA - JHKB
= π β β (οΏ½Μ οΏ½ππ.ππ=1 β οΏ½Μ οΏ½π..
ππ=1 β οΏ½Μ οΏ½.π. + οΏ½Μ οΏ½β¦) (οΏ½Μ οΏ½ππ. β οΏ½Μ οΏ½π.. β οΏ½Μ οΏ½.π. + οΏ½Μ οΏ½β¦)
Dengan derajat bebas (a-1)(b-1)
f. Jumlah kuadrat galat (JKG) dan jumlah hasil kali galat (JHKG) untuk variable X
dan Y
JKGY = JKTY - JKPY
= β β β (π¦πππππ=1
ππ=1
ππ=1 β οΏ½Μ οΏ½ππ.)
2
JKGX = JKTX- JKPX
= β β β (π₯πππππ=1
ππ=1
ππ=1 β οΏ½Μ οΏ½ππ.)
2
JHKG = JHKT- JHKP
= β β β (π₯πππππ=1
ππ=1
ππ=1 β οΏ½Μ οΏ½ππ.) (π¦πππ β οΏ½Μ οΏ½ππ.)
Dengan derajat bebas ab(n-1)
Dengan menggunakan metode estimator kuadrat terkecil akan dilakukan
pendugaan parameter pada model (1.1) sebagai berikut :
Ξ΅lkr =Ylkr - Β΅ -Ξ±l -Ξ³k - (Ξ±Ξ³)lk -Ξ²(Xlkr- οΏ½Μ οΏ½β¦)
JKG = β β β ππππ2π
π=1ππ=1
ππ=1
JKG =β β β (ππππ β Β΅ β πΌπ β πΎπ β (πΌπΎ)ππ β Ξ²(π₯πππ β οΏ½Μ οΏ½β¦))2ππ=1
ππ=1
ππ=1
1. Estimator parameter Β΅
ππ½πΎπΊ
ππ= 0
ππ½πΎπΊ
ππ= β2 β β β(ππππ β οΏ½ΜοΏ½ β πΌπ β πΎπ β (πΌπΎ)ππ β Ξ²(π₯πππ β οΏ½Μ οΏ½β¦)) = 0
π
π=1
π
π=1
π
π=1
diketahui bahwa β πΌπππ=1 = β πΎπ = β (πΌπΎ)ππ
ππ=1 = π
π=1 0 maka persamaan di atas
menjadi :
β β β ππππ β
π
π=1
π
π=1
π
π=1
β β β οΏ½ΜοΏ½ = 0
π
π=1
π
π=1
π
π=1
Y... β abnοΏ½ΜοΏ½ = 0
οΏ½ΜοΏ½ = π β¦
πππ= οΏ½Μ οΏ½ β¦
Jadi, diperoleh οΏ½ΜοΏ½ = οΏ½Μ οΏ½ β¦ (1.16)
2. Estimator parameter Ξ±l
ππ½πΎπΊ
ππΌπ= 0
ππ½πΎπΊ
ππΌπ= β2 β β(π
πππ β οΏ½ΜοΏ½ β οΏ½ΜοΏ½π β πΎπ β (πΌπΎ)ππ β οΏ½ΜοΏ½(ππππ β οΏ½Μ οΏ½β¦)) = 0
π
π=1
π
π=1
β β ππππ β
π
π=1
π
π=1
β β οΏ½ΜοΏ½ β
π
π=1
π
π=1
β β οΏ½ΜοΏ½π β
π
π=1
π
π=1
β β οΏ½ΜοΏ½(ππππ β οΏ½Μ οΏ½ β¦ = 0
π
π=1
π
π=1
Yl. . β bn οΏ½Μ οΏ½ β¦ β bn οΏ½ΜοΏ½π β bn οΏ½ΜοΏ½(ππ.. β οΏ½Μ οΏ½β¦) = 0
οΏ½ΜοΏ½π = ππ..
ππ β
πποΏ½Μ οΏ½β¦
ππ β οΏ½ΜοΏ½
(ππ..β οΏ½Μ οΏ½β¦ )
ππ
οΏ½ΜοΏ½π = οΏ½Μ οΏ½π.. β οΏ½Μ οΏ½ β¦ β οΏ½ΜοΏ½(ππ.. β οΏ½Μ οΏ½β¦)
Jadi diperoleh οΏ½ΜοΏ½π = οΏ½Μ οΏ½π.. β οΏ½Μ οΏ½ β¦ β οΏ½ΜοΏ½(ππ.. β οΏ½Μ οΏ½β¦) (1.17)
3. Estimator parameter Ξ³k
ππ½πΎπΊ
ππΎπ= 0
ππ½πΎπΊ
ππΎπ= β2 β β(ππππ β οΏ½ΜοΏ½ β πΌπ β οΏ½ΜοΏ½π β (πΌπΎ)ππ β οΏ½ΜοΏ½(ππππ β οΏ½Μ οΏ½β¦)) = 0
π
π=1
π
π=1
β β ππππ β
π
π=1
π
π=1
β β οΏ½ΜοΏ½ β
π
π=1
π
π=1
β β πΎπ β
π
π=1
π
π=1
β β οΏ½ΜοΏ½(ππππ β οΏ½Μ οΏ½ β¦ = 0
π
π=1
π
π=1
ππ.. β an οΏ½Μ οΏ½ β¦ β an πΎπ β bn οΏ½ΜοΏ½(ππ.. β οΏ½Μ οΏ½β¦) = 0
πΎπ = π.π.
ππ β
πποΏ½Μ οΏ½β¦
ππ β οΏ½ΜοΏ½
(π.π.β οΏ½Μ οΏ½β¦ )
ππ
πΎπ = οΏ½Μ οΏ½.π. β οΏ½Μ οΏ½ β¦ β οΏ½ΜοΏ½(π.π. β οΏ½Μ οΏ½β¦)
Jadi diperoleh πΎπ = οΏ½Μ οΏ½.π. β οΏ½Μ οΏ½ β¦ β οΏ½ΜοΏ½(π.π. β οΏ½Μ οΏ½β¦) (1.18)
4. Estimator parameter (πΌπΎ)ππ
ππ½πΎπΊ
π(πΌπΎ)ππ= 0
ππ½πΎπΊ
π(πΌπΎ)ππ= β2 β(ππππ β οΏ½ΜοΏ½ β οΏ½ΜοΏ½π β πΎπ β (πΌπΎ)Μππ β οΏ½ΜοΏ½(ππππ β οΏ½Μ οΏ½β¦)) = 0
π
π=1
β ππππ β
π
π=1
β ππππ β
π
π=1
β οΏ½ΜοΏ½ β
π
π=1
β οΏ½ΜοΏ½π β
π
π=1
β πΎπ β
π
π=1
β(πΌπΎ)Μππ β
π
π=1
β οΏ½ΜοΏ½(ππππ β οΏ½Μ οΏ½ β¦ ) = 0
π
π=1
πππ. β n οΏ½Μ οΏ½ β¦ β nοΏ½ΜοΏ½π β n πΎπ β n(πΌπΎ)Μππ β οΏ½ΜοΏ½(πππ. β οΏ½Μ οΏ½β¦) = 0
(πΌπΎ)Μππ =πππ.
π β
ποΏ½Μ οΏ½β¦
π β
π(οΏ½Μ οΏ½π..β οΏ½Μ οΏ½β¦β οΏ½ΜοΏ½( ππ..β οΏ½Μ οΏ½β¦ )
πβ
π(οΏ½Μ οΏ½.π.β οΏ½Μ οΏ½β¦β οΏ½ΜοΏ½( π.π.β οΏ½Μ οΏ½β¦ )
πβ
οΏ½ΜοΏ½(πππ.β οΏ½Μ οΏ½β¦ )
π
(πΌπΎ)Μππ = οΏ½Μ οΏ½ππ.β οΏ½Μ οΏ½π.. β οΏ½Μ οΏ½.π. + οΏ½Μ οΏ½ β¦ β οΏ½ΜοΏ½(οΏ½Μ οΏ½ππ. β οΏ½Μ οΏ½π.. β οΏ½Μ οΏ½.π. + οΏ½Μ οΏ½β¦) (1.19)
Jadi diperoleh (πΌπΎ)Μππ = οΏ½Μ οΏ½ππ.β οΏ½Μ οΏ½π.. β οΏ½Μ οΏ½.π. + οΏ½Μ οΏ½ β¦ β οΏ½ΜοΏ½(οΏ½Μ οΏ½ππ. β οΏ½Μ οΏ½π.. β οΏ½Μ οΏ½.π. + οΏ½Μ οΏ½β¦)
5. Estimator parameter Ξ²
ππ½πΎπΊ
ππ½= 0
ππ½πΎπΊ
ππ½= β2 β β β (ππππ β οΏ½ΜοΏ½ β οΏ½ΜοΏ½π β πΎπ β (πΌπΎ)Μππ β οΏ½ΜοΏ½(ππππ βπ
π=1ππ=1
ππ=1
οΏ½Μ οΏ½β¦))(ππππ β οΏ½Μ οΏ½ β¦ ) = 0 (1.20)
Dari persamaan (1.16), (1.17), (1.18), (1.19) disubsitusikan ke persamaan (1.20)
sebagai berikut :
β β β [ππππ β οΏ½Μ οΏ½ππ=1
ππ=1 β¦ β π
π=1 ( οΏ½Μ οΏ½π.. β οΏ½Μ οΏ½β¦ β οΏ½ΜοΏ½(οΏ½Μ οΏ½π.. β οΏ½Μ οΏ½β¦)) β (οΏ½Μ οΏ½.π. β οΏ½Μ οΏ½β¦ β οΏ½ΜοΏ½(οΏ½Μ οΏ½.π. β
οΏ½Μ οΏ½β¦)) β (οΏ½Μ οΏ½ππ. β οΏ½Μ οΏ½π.. β οΏ½Μ οΏ½.π. + οΏ½Μ οΏ½β¦ β οΏ½ΜοΏ½((οΏ½Μ οΏ½ππ. β οΏ½Μ οΏ½π.. β οΏ½Μ οΏ½.π. + οΏ½Μ οΏ½β¦)) β οΏ½ΜοΏ½(ππππ β
οΏ½Μ οΏ½...)](ππππ β οΏ½Μ οΏ½...) = 0
atau
οΏ½ΜοΏ½(β β β (ππππ β οΏ½Μ οΏ½ππ=1
ππ=1 β¦ )π
π=12 β β β β (οΏ½Μ οΏ½ππ. β οΏ½Μ οΏ½π
π=1ππ=1 β¦ )(ππππ β οΏ½Μ οΏ½β¦)] =π
π=1
β β β ππππ(ππππ β οΏ½Μ οΏ½ β¦ )ππ=1
ππ=1 β β οΏ½Μ οΏ½πππ(ππππ β οΏ½Μ οΏ½β¦)π
π=1ππ=1
dimana
JKPX = nβ β (οΏ½Μ οΏ½ππ. β οΏ½Μ οΏ½β¦)2ππ=1
ππ=1
= β β β (οΏ½Μ οΏ½ππ. β οΏ½Μ οΏ½ππ=1
ππ=1 β¦ )(ππππ β οΏ½Μ οΏ½β¦) π
π=1
JHKT =β β β (ππππ β οΏ½Μ οΏ½ππ=1
ππ=1 β¦ )(ππππ β οΏ½Μ οΏ½β¦)π
π=1
= β β β οΏ½Μ οΏ½ππ.(ππππ β οΏ½Μ οΏ½ππ=1
ππ=1 β¦ )π
π=1
JHKT =β β β (ππππ β οΏ½Μ οΏ½ππ=1
ππ=1 β¦ )(ππππ β οΏ½Μ οΏ½β¦)π
π=1
= β β β οΏ½Μ οΏ½πππ(ππππ β οΏ½Μ οΏ½ππ=1
ππ=1 β¦ )π
π=1
JHKP =π β β (οΏ½Μ οΏ½ππ. β οΏ½Μ οΏ½β¦ππ=1 )(οΏ½Μ οΏ½ππ. β οΏ½Μ οΏ½β¦)π
π=1
= β β β οΏ½Μ οΏ½ππ.(ππππ β οΏ½Μ οΏ½ππ=1
ππ=1 β¦ )π
π=1
Sehingga persamaan (1.20) dapat ditulis :
οΏ½ΜοΏ½(JKTX β JKPX) = (JHKT β JHKP)
οΏ½ΜοΏ½ = π½π»πΎπ β π½π»πΎπ
π½πΎππ β π½πΎππ=
π½π»πΎπΊ
π½πΎπΊπ
Jadi estimator Ξ² adalah :
οΏ½ΜοΏ½ = π½π»πΎπΊ
π½πΎπΊπ (1.21)
Kemudian menentukan jumlah-jumlah kuadrat terkoreksi. Berawal dari persamaan
regresi οΏ½ΜοΏ½πππ = οΏ½ΜοΏ½(ππππ β οΏ½Μ οΏ½πππ) + οΏ½Μ οΏ½πππ. Jumlah kuadrat galat terkoreksi merupakan selisih
kuadrat antara pengamatan dengan persamaan regresi.
Jumlah kuadrat galat terkoreksi adalah :
JKGYX = β β β (ππππ β οΏ½ΜοΏ½πππππ=1
ππ=1 )π
π=12
= β β β (ππππ β (οΏ½ΜοΏ½(ππππ β οΏ½Μ οΏ½ππ.ππ=1
ππ=1 ) + οΏ½Μ οΏ½ππ.))π
π=12
= β β β ((ππππ β οΏ½Μ οΏ½ππ.) β οΏ½ΜοΏ½(ππππ β οΏ½Μ οΏ½ππ.ππ=1
ππ=1 ))π
π=12
= β β β (ππππ β οΏ½Μ οΏ½ππ.)2π
π=1ππ=1
ππ=1 - β β β οΏ½ΜοΏ½(ππππ β οΏ½Μ οΏ½ππ.
ππ=1
ππ=1 ))π
π=12
= JKGY β Ξ²2β β β (ππππ β οΏ½Μ οΏ½ππ.ππ=1
ππ=1 )π
π=12
= JKGY β Ξ²2JKGX
= JKGY - π½π»πΎπΊ2
π½π»πΎπΊπ2JKGX
= JKGY - π½π»πΎπΊ2
π½πΎπΊπ
dengan derajat bebas = ab (n - 1) β 1 (1.22)
Analog dengan persamaan (1.22) jumlah kuadrat total terkoreksi diperoleh :
JKTYX = β β β (ππππ β οΏ½ΜοΏ½πππππ=1
ππ=1 )π
π=12
= β β β (ππππ β (οΏ½ΜοΏ½(ππππ β οΏ½Μ οΏ½...ππ=1
ππ=1 ) + οΏ½Μ οΏ½β¦))π
π=12
=β β β ((ππππ β οΏ½Μ οΏ½...) β οΏ½ΜοΏ½(ππππ β οΏ½Μ οΏ½...ππ=1
ππ=1 ))π
π=12
= β β β (ππππ β οΏ½Μ οΏ½...)2π
π=1ππ=1
ππ=1 - β β β οΏ½ΜοΏ½(ππππ β οΏ½Μ οΏ½...
ππ=1
ππ=1 ))π
π=12
= JKTY β Ξ²2β β β (ππππ β οΏ½Μ οΏ½...ππ=1
ππ=1 )π
π=12
= JKTY β Ξ²2JKTX
= JKTY - π½π»πΎπ2
π½π»πΎππ2JKTX
= JKTY - π½π»πΎπ2
π½πΎππ
dengan derajat bebas = ab (n - 1) β 1 = ab(n-2) (1.23)
Untuk mendapatkan uji hipotesis tentang pengaruh faktor 1, 2, dan interaksinya, perlu
diperoleh jumlah kuadrat terkoreksi untuk faktor-faktor tertentu. Total dari masing-
masing bentuk (A, B, dan AB) diperoleh dengan menambahkan galat ke bentuk jumlah
kuadrat dan jumlah hasil kali (A+E, B+E, AB+E).
JK (A+G) terkoreksi = (JKAY + JKGY) - (π½π»πΎπ΄+π½π»πΎπΊ)2
π½πΎπ΄π+ π½πΎπΊπ (1.24)
Jumlah kuadrat faktor 1 terkoreksi adalah :
JKAYX = JK(A+G)terkoreksi β JKGYX
= (JKAY + JKGY) - (π½π»πΎπ΄+π½π»πΎπΊ)2
π½πΎπ΄π+ π½πΎπΊπβ π½πΎπΊπ +
π½π»πΎπΊ2
π½πΎπΊπ
= JKAY - (π½π»πΎπ΄+π½π»πΎπΊ)2
π½πΎπ΄π+ π½πΎπΊπ+
π½π»πΎπΊ2
π½πΎπΊπ (1.25)
dengan derajat bebas = (a-1) β 1 + 1 = a-1
JK (B+G) terkoreksi = (JKBY + JKGY) - (π½π»πΎπ΅+π½π»πΎπΊ)2
π½πΎπ΅π+ π½πΎπΊπ (1.26)
Jumlah kuadrat faktor 2 terkoreksi adalah :
JKBYX = JK(B+G)terkoreksi β JKGYX
= (JKBY + JKGY) - (π½π»πΎπ΅+π½π»πΎπΊ)2
π½πΎπ΅π+ π½πΎπΊπβ π½πΎπΊπ +
π½π»πΎπΊ2
π½πΎπΊπ
= JKBY - (π½π»πΎπ΅+π½π»πΎπΊ)2
π½πΎπ΅π+ π½πΎπΊπ+
π½π»πΎπΊ2
π½πΎπΊπ (1.27)
dengan derajat bebas = (b-1) β 1 + 1 = b-1
JK (AB+G) terkoreksi = (JKABY + JKGY) - (π½π»πΎπ΄π΅+π½π»πΎπΊ)2
π½πΎπ΄π΅π+ π½πΎπΊπ (1.28)
Jumlah kuadrat interaksi terkoreksi adalah :
JKABYX= JK(AB+G)terkoreksi β JKGYX
= (JKABY + JKGY) - (π½π»πΎπ΄π΅+π½π»πΎπΊ)2
π½πΎπ΄π΅π+ π½πΎπΊπβ π½πΎπΊπ +
π½π»πΎπΊ2
π½πΎπΊπ
= JKABY - (π½π»πΎπ΄π΅+π½π»πΎπΊ)2
π½πΎπ΄π΅π+ π½πΎπΊπ+
π½π»πΎπΊ2
π½πΎπΊπ (1.29)
dengan derajat bebas = (a-1)(b-1) β 1 + 1 = (a-1)(b-1)
Kuadrat tengah terkoreksi dapat diperoleh dengan membagi jumlah kuadrat terkoreksi
dengan derajat bebasnya.
A. Pengujian Asumsi ANACOVA 2 Arah
Untuk ANACOVA sejumlah asumsi diperlukan yang beberapa diantaranya sama
dengan ANAVA yakni yang menyangkut variabel dependen, tetapi ada asumsi
tambahan yang terkait dengan variabel konkomitan. Beberapa asumsi-asumsi yang
harus dipenuhi sebelum pengujian ANACOVA sebagai berikut :
a. Antar pengamatan independen
b. Variabel dependen berdistribusi normal
c. Homogenitas varians
d. Ada hubungan antara variabel dependen dengan variabel konkomitan
e. Koefisien regresi homogen antar perlakuan
f. Variabel konkomitan tidak berkorelasi dengan perlakuan
B. Pengujian Hipotesis
a) Hubungan linear antara variabel dependen dan variabel konkomitan
H0 : π½ = 0 (artinya variabel X tidak mempengaruhi Y)
H1 : π½ β 0 (artinya variabel X mempengaruhi Y)
Tingkat Signifikansi
Ξ± = 0,05
Statistik Uji
Fhit =
(π½π»πΎπΊ)2
π½πΎπΊπβ
π½πΎπΊππππ(πβ1)β1β
Daerah Kritik
H0 ditolak jika Fhit> F(Ξ±,1,ab(n β 1) β 1)
Kesimpulan
b) Koefisien regresi homogen antar perlakuan
H0 : koefisien regresi homogen antar perlakuan
H1 : koefisien regresi tidak homogen
Tingkat Signifikansi
Ξ± = 0,05
Statistik Uji
Menurut Winner(1971:786)
Fhit = π1
ππβ1β
π2ππ(πβ2)β
dimana :
S1 = β β(π½π»πΎπΊππ)2
π½πΎπΊπ₯ππ
ππ=1
ππ=1 β
(π½π»πΎπΊ)2
π½πΎπΊπ₯
S2 = π½πΎπΊπ β β β(π½π»πΎπΊππ)2
π½πΎπΊπ₯ππ
ππ=1
ππ=1
JHKGππ = β β π₯ππππ=1
ππ=1 π¦ππ β β
β(π₯ππ) β(π¦ππ)
π
π½πΎπΊπ₯ππ= β β π₯ππ
2ππ=1
ππ=1 β β
β(π₯ππ)2
π
Daerah Kritik
H0 ditolak jika Fhit> F(Ξ±,(ab-1),ab(n β 2) )
Kesimpulan
c) Variabel konkomitan tidak berkorelasi dengan perlakuan
Uji ini dapat dilakukan secara terpisah untuk faktor 1 , faktor 2 dan interaksi
faktor 1 dan faktor 2.
Faktor 1
H0 : variabel konkomitan tidak berkorelasi dengan faktor 1 yang
dicobakan.
H1 : variabel konkomitan berkorelasi dengan faktor 1 yang dicobakan.
Tingkat Signifikansi
Ξ± = 0,05
Statistik Uji
Fhit =
JKA(aβ1)β
JKGab(nβ1)β
Daerah Kritik
H0 ditolak jika Fhit> F(Ξ±,(a β 1),ab(n β 1) )
Kesimpulan
Faktor 2
H0 : variabel konkomitan tidak berkorelasi dengan faktor 2 yang
dicobakan.
H1 : variabel konkomitan berkorelasi dengan faktor 2 yang dicobakan.
Tingkat Signifikansi
Ξ± = 0,05
Statistik Uji
Fhit =
JKBX(bβ1)β
JKGXab(nβ1)β
Daerah Kritik
H0 ditolak jika Fhit> F(Ξ±,(b β 1),ab(n β 1) )
Kesimpulan
Interaksi antara Faktor 1 dan Faktor 2
H0 : variabel konkomitan tidak berkorelasi dengan interaksi faktor 1 dan
faktor 2 yang dicobakan.
H1 : variabel konkomitan berkorelasi dengan interaksi faktor 1 dan
faktor 2 yang dicobakan.
Tingkat Signifikansi
Ξ± = 0,05
Statistik Uji
Fhit =
JKABX(aβ1)(bβ1)β
JKGXab(nβ1)β
Daerah Kritik
H0 ditolak jika Fhit> F(Ξ±,(a β 1)(b β 1),ab(n β 1) )
Kesimpulan
d) Pengaruh Perlakuan
Pengaruh Interaksi Faktor 1 dan Faktor 2
H0 : Ξ±Ξ³11 = Ξ±Ξ³12 = β― = Ξ±Ξ³ab = 0 (tidak ada pengaruh faktor 1 dan
faktor 2 terhadap respon yang diamati)
H1 : β Ξ±Ξ³lk β 0 l = 1,2, β¦ , a dan k = 1,2, β¦ , b (ada pengaruh
interaksi faktor 1 dan faktor 2 terhadap respon yang diamati)
Tingkat Signifikansi
Ξ± = 0,05
Statistik Uji
Fhit =
JKABYX(aβ1) (bβ1)β
JKGYXab(nβ1)β
Daerah Kritik
H0 ditolak jika Fhit> F(Ξ±,(a β 1)(b β 1),ab(n β 1) )
Kesimpulan
Pengaruh Faktor 1
H0 : πΌ1 = πΌ2 = β― = πΌπ = 0 (tidak ada pengaruh faktor 1 terhadap
respon yang diamati)
H1 : β πΌπ β 0 π = 1,2, β¦ , π (ada pengaruh interaksi faktor 1
terhadap respon yang diamati)
Tingkat Signifikansi
Ξ± = 0,05
Statistik Uji
Fhit =
JKAYX(aβ1)β
JKGYXab(nβ1)β
Daerah Kritik
H0 ditolak jika Fhit> F(Ξ±,(a β 1),ab(n β 1) )
Kesimpulan
Pengaruh Faktor 2
H0 : πΎ1 = πΎ2 = β― = πΎπ = 0 (tidak ada pengaruh faktor 2 terhadap
respon yang diamati)
H1 : β πΎπ β 0 π = 1,2, β¦ , π (ada pengaruh faktor 2 zterhadap
respon yang diamati)
Tingkat Signifikansi
Ξ± = 0,05
Statistik Uji
Fhit =
π½πΎπ΅ππ(πβ1)β
π½πΎπΊππππ(πβ1)β
Daerah Kritik
H0 ditolak jika Fhit> F(Ξ±,(b - 1),ab(n β 1) )
Kesimpulan
Tabel ANACOVA 2 Arah
Sumber
Variasi
Sebelum dikoreksi KT
regresi
db
regresi
Setelah dikoreksi Fhit
db JKX JKY JHK db JK KT
Faktor 1 a-1 JKAX
JKA
Y
JHKA - - a-1 JKA
YX
π½πΎπ΄ππ
π β 1
πΎππ΄ππ
πΎππΊππ
Faktor 2 b-1 JKBX JKBY JHKB - - b-1 JKBY
X
π½πΎπ΅ππ
π β 1
πΎππ΅ππ
πΎππΊππ
Interaksi (a-1)
(b-1)
JKAB
X
JKA
BY
JHKA
B
- - (a-1)
(b-1)
JKA
BYX
π½πΎπ΄π΅ππ
(π β 1)(π β 1)
πΎππ΄π΅ππ
πΎππΊππ
Galat ab
(n-1) JKGX
JKG
Y
JHKG
π½π»πΎπΊ2
π½πΎπΊπ 1
ab
(n-1)-1
JKG
YX
π½πΎπΊππ
ππ(π β 1) β 1 -
Total abn-1 JKTX JKTY JHKT - - abn-2 - - -
Contoh
Seorang peneliti melakukan suatu percobaan untuk mengetahui efek keragaman bunga
(faktor A : LP, WB) dan kelembaban (faktor B : rendah dan tinggi) terhadap hasil
tanaman bunga (Y). Karena ukuran petak tidak berukuran sama, peneliti tersebut
menggunakan ukuran petak (X) sebagai variabel konmomitan. Setiap perlakuan
dilakukan replikasi sebanyak 6 kali.
Tabel data sebagai berikut :
Faktor A
(VarietasBunga) Subjek
Faktor B (Tingkat Kelembaban)
Rendah Tinggi
Y X Y X
LP
1 15 98 10 71
2 4 60 12 80
3 7 77 14 86
4 9 80 13 82
5 14 95 2 46
6 5 64 3 55
WB 1 4 55 11 76
2 5 60 10 68
3 8 75 2 43
4 7 65 3 47
5 13 87 7 62
6 11 78 9 70
Pendefinisian tabel :
Faktor A
(VarietasBunga) Subjek
Faktor B (Tingkat Kelembaban) Rata-rata
Rendah Tinggi
Y X Y X Y X
LP
1 15 98 10 71
2 4 60 12 80
3 7 77 14 86
4 9 80 13 82
5 14 95 2 46
6 5 64 3 55
Rata-rata 9 79 9 70 9 74.5
WB
1 4 55 11 76
2 5 60 10 68
3 8 75 2 43
4 7 65 3 47
5 13 87 7 62
6 11 78 9 70
Rata-rata 8 70 7 61 7.5 65.5
Rata-rata Total 8.5 74.5 8 65.5 8.25 70
Faktor A : Varietas Bunga
Level Faktor : LP, BW
Faktor B : Tingkat Kelembaban
Level Faktor : Rendah, Tinggi
Variabel Y : Hasil Bunga
Variabel Konkomitan : Ukuran Petak
PERHITUNGAN :
1. Analisis Variansi Variabel Y
π½πΎπ΄π =β ππ..
2π
ππβ
πβ¦2
πππ=
8942 + 7862
6.2β
16802
2.2.6= 486
π½πΎπ΅π =β π.π.
2π
ππβ
πβ¦2
πππ=
8942 + 7862
6.2β
16802
2.2.6= 486
π½πΎπΊπ = β β β ππππ2
ππ
πβ
β β πππ.2
ππ
π
= (982 + 602 + β― + 702) β4742 + 4202 + 4202 + 3662
6= 4114
π½πΎππ = β β β ππππ2
ππ
πβ
πβ¦2
πππ= 5086
JKABY = 5086 β 4114 β 486 β 486 = 0
2. Analisis Variansi Variabel X
π½πΎπ΄π =β ππ..
2π
ππβ
πβ¦2
πππ=
1082 + 902
6.2β
1982
2.2.6= 13,5
π½πΎπ΅π =β π.π.
2π
ππβ
πβ¦2
πππ=
1022 + 962
6.2β
1982
2.2.6= 1,5
π½πΎπΊπ = β β β ππππ2
ππ
πβ
β β πππ.2
ππ
π
= (152 + 42 + β― + 92) β542 + 542 + 482 + 422
6= 372
π½πΎππ = β β β ππππ2
ππ
πβ
πβ¦2
πππ= 388.5
JKABX = 388.5 β 13.5 β 1.5 β 372 = 1.5
3. Analisis Variansi Variabel XY
π½π»πΎπ΄ =β ππ..π ππ..
ππβ
πβ¦πβ¦
πππ=
108 . 894 + 90 . 786
2 . 6β
198 . 1680
2 .2 .6= 81
π½π»πΎπ΅ =β π.π.π π.π.
ππβ
πβ¦πβ¦
πππ=
102 . 894 + 96 . 786
2 . 6β
198 . 1680
2 .2 .6= 27
π½π»πΎ πΊ = β β β (πππππ
ππ
β οΏ½Μ οΏ½ππ.)(ππππ β οΏ½Μ οΏ½ππ.) = 1219
π½π»πΎ π΄π΅ = π β β(
ππ
οΏ½Μ οΏ½ππ. β οΏ½Μ οΏ½π.. β οΏ½Μ οΏ½.π. + οΏ½Μ οΏ½...)(οΏ½Μ οΏ½ππ. β οΏ½Μ οΏ½π.. β οΏ½Μ οΏ½.π. + οΏ½Μ οΏ½...) = 0
JHK T = JHKA + JHKB + JHKE + JHKAB = 1327
Setelah Dikoreksi
π½πΎπ΄ππ = (π½πΎπ΄π + π½πΎπΊπ) β(π½π»πΎπ΄ + π½π»πΎπΊ)2
π½πΎπ΄π + π½πΎπΊπ= 216,08
π½πΎπ΅ππ = (π½πΎπ΅π + π½πΎπΊπ) β(πππ΅ + πππΈ)2
π½πΎπ΅π + π½πΎπΊπ= 443,33
π½πΎπ΄π΅ππ = (π½πΎπ΄π + π½πΎπΊπ) β(πππ΄π΅ + πππΈ)2
πππ΄π΅π + πππΈπ= 135,523
π½πΎπΊππ = (π½πΎπΊπ) β(π½π»πΎπΊ)2
π½π»πΊπ= 119,48
Sumber
Variasi
Sebelum Dikoreksi KT
Regresi
db
Regresi
Setelah Dikoreksi Fhit
db JKX JKY JHK db JK KT
Faktor A 1 486 13,5 81 - - 1 216,08 216,08 34,364
Faktor B 1 486 1,5 27 - - 1 443,33 443,33 70,504
Interaksi 1 0 1,5 0 - - 1 135,52 135,53 21,553
Galat 20 4114 372 1219 361,2 1 19 119,48 6,288 -
Total 23 5086 388,5 1327 - - 22 - - -
Pengujian Hipotesis
a. Hubungan linear antara variabel dependen dan variabel konkomitan
H0 : π½ = 0 (artinya variabel independen tidak mempengaruhi hasil bunga)
H1 : π½ β 0 (artinya variabel independen mempengaruhi hasil bunga)
Tingkat Signifikansi
Ξ± = 0,05
Statistik Uji
Fhit =(π½π»πΎπΊ)2/π½πΎπΊπ
π½πΎπΊππ/ππ(πβ1)β1 =
361,2
6,288 = 57,443
Daerah Kritik
H0 ditolak jika Fhit>F(0,05;1;19) = 4,38
Kesimpulan
H0 ditolak karena Fhit>F(0,05;1;19). Jadi dapat disimpulkan bahwa variabel
independen yaitu varietas bunga dan tingkat kelembaban mempengaruhi hasil
bunga.
b. Koefisien regresi homogen antar perlakuan
H0 : koefisien regresi homogen antar perlakuan
H1 : koefisien regresi tidak homogen antar perlakuan
Tingkat Signifikansi
Ξ± = 0,05
Statistik Uji
JHKGππ = β β π₯ππ.ππ=1
ππ=1 π¦ππ. β β
β(π₯ππ.)β(π¦ππ.)
π= [(474 . 54) + (420 . 54) +
(420 . 48) + (366 . 42)] β [91188 + 75456
6] = 83808 β 27774 = 56034
π½πΎπΊπ₯ππ= β β π₯ππ
2ππ=1
ππ=1 β β
β(π₯ππ)2
π = [4742 + 4202 + 4202 + 3662] β
(8942+ 7862)
6= 711432 β 236172 = 475260
S1 = β β(π½π»πΎπΊππ)2
π½πΎπΊπ₯ππ
ππ=1
ππ=1 β
(π½π»πΎπΊ)2
π½πΎπΊπ₯ = 6606,508 β 361,196 = 6245,312
S2 = π½πΎπΊπ β β β(π½π»πΎπΊππ)2
π½πΎπΊπ₯ππ
ππ=1
ππ=1 = 372 β 6606,508 = -6234,508
Fhit = π1
ππβ1β
π2ππ(πβ2)β
= 2081,77
β389,66 = -5,343
Daerah Kritik
H0 ditolak jika Fhit> F(Ξ±,(ab-1),ab(n β 2) ) = F(0,05; 3; 16) = 3,24
Kesimpulan
H0 tidak ditolak karena Fhit<F(0,05; 3; 16). Jadi dapat disimpulkan bahwa koefisien
regresi homogen antar perlakuan.
c. Variabel konkomitan tidak berkorelasi dengan perlakuan
Uji ini dapat dilakukan secara terpisah untuk faktor A, faktor B dan interaksi faktor
A dan faktor B.
Interaksi antara Faktor A dan Faktor B
H0 : variabel ukuran petak tidak berkorelasi dengan interaksi faktor varietas
bunga dan tingkat kelembaban
H1 : variabel ukuran petak berkorelasi dengan interaksi faktor varietas
bunga dan tingkat kelembaban
Tingkat Signifikansi
Ξ± = 0,05
Statistik Uji
Fhit =
JKABX(aβ1)(bβ1)β
JKGXab(nβ1)β
= 0/1
4114/20 = 0
Daerah Kritik
H0 ditolak jika Fhit> F(Ξ±,(aβ 1)(b β 1),ab(n β 1) ) = F(0,05; 1; 20) = 4,35
Kesimpulan
H0 tidak ditolak karena Fhit<F(0,05; 1; 20). Jadi dapat disimpulkan bahwa
variabel ukuran petak tidak berkorelasi dengan interaksi faktor varietas
bunga dan tingkat kelembaban.
Faktor A
H0 : variabel ukuran petak tidak berkorelasi dengan faktor varietas bunga
H1 : variabel ukuran petak berkorelasi dengan faktor varietas bunga
Tingkat Signifikansi
Ξ± = 0,05
Statistik Uji
Fhit =
JKπ΄π(aβ1)β
JKπΊπab(nβ1)β
= 486/1
4114/20 = 2,363
Daerah Kritik
H0 ditolak jika Fhit> F(Ξ±,(a β 1),ab(n β 1) ) = F(0,05 ; 1; 20) = 4,35
Kesimpulan
H0 ditolak karena Fhit < F(0,05; 1; 20). Jadi dapat disimpulkan bahwa variabel
ukuran petak tidak berkorelasi dengan faktor varietas bunga.
Faktor B
H0 : variabel ukuran petak tidak berkorelasi dengan faktor tingkat
kelembaban
H1 : variabel ukuran petak berkorelasi dengan faktor tingkat kelembaban
Tingkat Signifikansi
Ξ± = 0,05
Statistik Uji
Fhit =
JKBX(bβ1)β
JKGXab(nβ1)β
= 486/1
4114/20 = 2,363
Daerah Kritik
H0 ditolak jika Fhit>F(Ξ±,(a β 1),ab(n β 1) ) = F(0,05 ; 1; 20) =4,35
Kesimpulan
H0 tidak ditolak karena Fhit<F(0,05; 1; 20). Jadi dapat disimpulkan bahwa
variabel ukuran petak tidak berkorelasi dengan faktor tingkat kelembaban.
d. Pengaruh Perlakuan
Pengaruh Interaksi Faktor A dan Faktor B
H0 : tidak ada pengaruh faktor varietas bunga dan faktor tingkat
kelembaban terhadap hasil bunga
H1 : ada pengaruh faktor varietas bunga dan faktor tingkat kelembaban
terhadap hasil bunga
Tingkat Signifikansi
Ξ± = 0,05
StatistikUji
Fhit =
JKABYXa (bβ1)β
JKGYXab(nβ1)β
= 21,553
Daerah Kritik
H0 ditolak jika Fhit > F(0,05;1;19)= F(Ξ±,(a β 1)(b β 1),ab(n β 1))= 4,38
Kesimpulan
Karena Fhit > F(0,05;1;19) maka H0 ditolak, sehingga disimpulkan bahwa ada
pengaruh faktor varietas bunga dan faktor tingkat kelembaban terhadap hasil
bunga.
Faktor A (Varietas Bunga)
H0 : tidak ada pengaruh faktor varietas bunga terhadap hasil bunga
H1 : ada pengaruh faktor varietas bunga terhadap hasil bunga
Tingkat Signifikansi
Ξ± = 0,05
StatistikUji
Fhit =
JKAYX(aβ1)β
JKGYXab(nβ1)β
= 34,3638
Daerah Kritik
H0 ditolak jika Fhit > F(0,05;1;19) =F(Ξ±,(a β 1),ab(n β 1))= 4,38
Kesimpulan
Karena Fhit> F(0,05;1;19) maka H0 ditolak, sehingga disimpulkan bahwa ada
ada pengaruh faktor varietas bunga terhadap hasil bunga.
Faktor B (Tingkat Kelembaban)
H0 : tidak ada pengaruh faktor tingkat kelembaban terhadap hasil bunga
H1 : ada pengaruh faktor tingkat kelembaban terhadap hasil bunga
Tingkat Signifikansi
Ξ± = 0,05
StatistikUji
Fhit =
π½πΎπ΅ππ(πβ1)β
π½πΎπΊππππ(πβ1)β
= 70,504
Daerah Kritik
H0 ditolak jika Fhit > F(0,05;1;19) = F(Ξ±,(b β 1),ab(n β 1))= 4,38
Kesimpulan
Karena Fhit > F(0,05;1;19) maka H0 ditolak, sehingga disimpulkan bahwa ada
pengaruh faktor tingkat kelembaban terhadap hasil bunga.