TX Tintin Def

NOLAN JARA J.

[Escriba texto] Pgina 1

INTEGRAL INDEFINIDA

Sea 3 2( ) ( ) 3 ( )F x x F x x f x x3 anti derivada de 3x2

Porque (x3)=3x2 F(x) f(x) (x3+C): Conjunto de anti derivadas de 3x2 ; C es constante real Porque: (x3+C)= (x3)+( C )= 3x2 En general: ( F(x) + C ) : Conjunto de anti derivadas de f(x) )()( xfxF al conjunto de anti derivadas de f(x) se le llama integral indefinida de f(x). Se denota y define:

( ) ( )f x dx F x C )()( xfxF Por ejemplo

2 33x dx x C , porque la derivada de x3 es 3x2 REGLAS DE INTEGRACIN 1) dxxfCdxxCf )()( 2) dxxfdxxfdxxgxf )()())()(( 3) CxFdxxf )()( )()( xfxF 4) CxFdxxF )()( 5) ( ) ( )dF x F x C ; ( )dz z C 6) ( ) ( )f u du F u C ( ) ( )F u f u TCNICAS DE INTEGRACIN I) INTEGRACION DIRECTA La integracin directa es aplicable cuando identificamos la funcin primitiva de forma inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivacin que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcin primitiva. Ejemplo:

1) 2 22 por que ( ) 2dxdx x C x xdx

2) 3 4 4 34 por que ( ) 4dx dx x C x xdx

3) dxxdxx 22 33 Cx

123

12

Cx

33

3

Cx 3 3 2 por que ( ) 3d x xdx

F derivada de F

F anti derivada de F = f

NOLAN JARA J.


En general:

1

1) ; 11

nn xx dx C nn

111 1 por que ( ) ( ) ( )

1 1 1

nn n nd x d nx x x

dx n n dx n

Si 1 11 ln ; 0n x dx dx x C xx

1 (ln )por que xx

12) ln ; 0dx x C xx

3) x xe dx e C

( )x xpor que e e

4) 0; 1ln

xx aSi a a a dx C

a

1 1 ( ) ( ) lnln ln ln

xx x xapor que a a a a

a a a

5) Senxdx C osx C ( cos ) (cos ) ( )por que x x senx senx

6 ) C osxdx Senx C ( )por que senx cosx

27) sec xdx tgx C 2 ( )por que tgx sec x

28) csc xdx cotgx C 2 2 ( ) ( ) ( ) cospor que cotgx cotgx cosec x ec x

9) secxtgxdx secx c (sec ) secpor que x xtgx

II) POR SUSTITUCIN O CAMBIO DE VARIABLE En muchas ocasiones, cuando la integracin directa no es tan obvia, es posible resolver la integral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado; este procedimiento se conoce como integracin por sustitucin. Ejemplo:

1) senxtgxdx dxcosx

.senx dx

cosx

( ); cosd cosx u xcosx

ln( )cosx C

NOLAN JARA J.


11 ln ln( ) ln( ) lntgxdx du u c cosx c Cosx c Secx cu

ln / /tg x d x s e c x c

2

12)1

dxx ;

2x tg dx sec d

2

2 2

1 11

dx sec dx sec

d c arctan x c

2

1 arctan1

dx x cx

( )3)

( )Secx Secx tgxSecxdx dx

Secx tgx

2Sec x SecxtgxdxSecx tgx

( )tgx Secx dxtgx Secx

( )d tgx Secxtgx Secx

1 lndz z cz

= ln( )secx tgx c z

lnsecxdx secx tgx c

2

14)1

dxx

; 2x tg dx sec d

2

2

1 11

dx sec dsecx

= sec d ln tg sec C ( i )

Como: x tg 12 x

En (i): 22

1 ln( 1)1

dx x x cx

Cxxdxx

)1ln(1

1 22

x

1

NOLAN JARA J.


2

15)1

dxx ; x Sen dx cos d

Como: x sen 1 21 x

2

1I Cos dCos

1 d Sec d

Cos

CtgSec ln

Cx

xx

22 11

1ln Cxx

x

)1)(1(1ln

CxxC

xx

11ln

21

11ln

2/1

Cxxdx

x 11ln

21

11

2

Otra forma:

dxxxdxx )1)(1(1

11

2 dxxx

1

11

121

dxxdxx 11

11

21

dxxxdx

xx

)1()1(

1)1(

21

)1()1(

1)1(

21

xxd

xxd

Cxx 1ln1ln21 C

xx

1

1ln21

Cxxdx

x 11ln

21

11

2

x

NOLAN JARA J.


Ejemplo Hallar las integrales indefinidas siguientes: 1) 1I x x dx . Solucin. Sea 21 1 2r x x r dx rdr En I

drrrrI 2.)1( 2 drrr )(2 245 3

25 3r r C

Crr )53(152 23 Cxx )23()1(

152 2/3

Cxxdxxx32)1(

521 2/3

2) ln(ln )ln

xI dxx x

. Solucin.

Sea 1lnt x dt dxx

En I ln(ln ) 1

lnxI dx

x x

ln ...( ) ; lnt dt i y tt

1dy dtt

En (i)

I dttt1.ln

2

2yydy C Ct 2)(ln2

1 = Cx 2)(ln(ln21

1 1

2 2

ln ln ln3) (ln ) ; ln1 ln 1 ln 1 ln 1

( 1) 1 1( 1 ) 1 1 1 1

x x dx x tI dx d x dt t xxx x x x t

tI dt t dt t t dtt t

3 31 1

2 2 2 22 21 2 1 ln 1 2 ln 13 3

t t c x x c

3) 2ln

1 lnx dx

x x

Problemas: 1) Halle una funcin cuyo grfico tiene un mnimo relativo en x =1 y un mximo

relativo en x = 4. Solucin: PCx ...4,1

2( 1)( 4) 5 4y x x x x dxxxy )45( 23 25 4 1

3 2x x x

2) Halle una funcin cuya recta tangente tiene pendiente (4x+1) para cada x; (1,2) pertenece al grafico de la funcin.

Solucin: ( ) (4 1)Ltm f x x dxxxf )14()( Cxx 22 Cxxxf 22)( ; Como el punto (1,2) pertenece al grafico de la funcin

Cf )1()1(2)1(2 2 1 C ; 12)( 2 xxxf

NOLAN JARA J.


3) Un estudio ambiental de una cierta comunidad sugiere que dentro de t aos el nivel de monxido de carbono en el aire estar cambiando a un ritmo de (0,1) t +0.1 partes de milln por ao; si el nivel actual de monxido de carbono en el aire es de 3.4 Cul ser el nivel dentro de 3 aos?

Solucin: y(t): nivel de monxido de carbono dentro de t aos y(0) = 3.4, y ( 3 )?

1( ) (0,1) 0,110ty t t razn de cambio del nivel del monxido de carbono dentro

de t aos

dttty10

1)( dtt )1(101

)1()1(101 tdt Ct

2)1(

101 2

Ctty 20

)1()(2

Cy 201)0(4.3

2067

C 20

682)(2

ttty

15,42083)3( y

4) La poblacin de EE.UU. era de 100 millones en 1950 y de 200 millones en el ao 2000. Suponiendo que la tasa de crecimiento es en cualquier instante proporcional al tamao de la poblacin, determine el tamao de la poblacin en un instante arbitrario t. Cul es la poblacin proyectada para el ao 2030? Observacin:

* ; 0a x

a x ee d x C aa

* ( )( ) ; 0Sen axCos ax dx C aa

*cos( )( ) ; 0axsen ax dx C a

a

*

1( ( ))( ( )) ( ) ; 11

nn f xf x f x dx C n

n

* Cedxxfe xfxf )()( )(.

* ( ) ln ( )( )

f x dx f x Cf x

NOLAN JARA J.


TABLA DE DERIVADAS Sean u = f(x), v = g(x) y w = h(x), c una constante, n

1) dxdc = 0 2) 1

dxdx

3) dxdw

dxdv

dxduwvu

dxd

4) dxduccu

dxd

5) dxduv

dxdvuuv

dxd

6) 2vdxdvu

dxduv

vu

dxd

7) 1 nn nxxdxd 8)

dxdunuu

dxd nn 1)(

9) si Y=F(u) y u=f(x)dxdu

dudY

dxdY

10) dxdu

uu

dxd 1ln 11)

dxdu

ueu

dxd log)(log

12) dxduee

dxd uu 13)

dxduaaa

dxd uu ln)( , 0a

14) dxdvuu

dxduvuu

dxd vvv .ln1 15) usenu

dxd cos

dxdu

16) dxdusenuu

dxd

cos 17) dxduutgu

dxd 2sec

18) dxduuecgu

dxd 2coscot 19)

dxdutguuu

dxd .secsec

20) dxduguecuecu

dxd cot.coscos 21)

dxdu

uarcsenu

dxd

211

22) dxdu

uu

dxd

211arccos

23)

dxdu

uarctgu

dxd

211

24) dxdu

uguarc

dxd

211cot

25) dxdu

uuuarc

dxd

11sec2

26) dxdu

uuecu

dxd

11arccos2

27)

dxdu

uuu

dxd

28) xgxgfxgfdxd

NOLAN JARA J.


TABLA DE INTEGRALES

1)

cnuduu

nn

1

1

; si n 1 . 2) cuudu ln .

3) cedue uu . 4) 1;0;ln aacaadua

uu .

5) cusenudu cos . 6) csenuuducos . 7) cutgudu secln . 8) csenuudu lncot . 9) ctguuudu seclnsec . 10) cuuudu cotcsclncsc .

11) 0,1 122 ac

autg

aaudu . 12)

c

auau

aaudu ln

21

22 .

13) 0,ln21

22

acau

auaua

du . 14) 0,122

acausen

uadu .

15) cauu

audu 22

22ln . 16) ctguudu2sec .

17) cguudu cotcsc2 . 18) cuutgudu secsec 19) cuguduu csccotcsc . 20) vduuvudv

21) cauuaauuduau 222

2222 ln22

22) 0,22

12

2222 acausenauauduua

NOLAN JARA J.


Hallar las siguientes integrales por el mtodo de sustitucin:

84 5) ) 3 . 7 . iii) . .x xdxi ii x x dx a e dxa x

dxxx

xvidxx

xvdxxx

xiv2

1)171

3).32

31)2252

1

84 52) . 3 . ) ) 6 7 .xevii x sen x dx vii dx ix x dx

x

III) INTEGRACIN POR PARTES La frmula para la "integracin por partes", se deduce a partir de la regla de la diferencial de un producto de funciones. Veamos: Si u = u(x), v = v(x)

( . )d u v udv vdu ( . ) ( )d u v udv vdu uv udv vdu

vduuvudv INTEGRALES QUE SE PUEDEN RESOLVER POR PARTES a) Aquellas cuyo integrando son funciones inversa de las trigonomtricas.

b) Aquellas cuyo integrando es de la forma.

. ; . ; n nx Senbx dx x Cosbx dx n N c) Aquellas cuyo integrando es de la forma.

. ; . ; ax ax n axe Senbx dx e Cosbx dx x e dx d) Integrales de la forma.

; nx lnbxdx n N Ejemplo: 1 ) xI x e d x u v v d u u dv

. x xI x e e dx Ceex xx .

CxedxexI xx )1( 2) 2 ;xI e dx x y x y ydydx 2

arcsen . ; arccos . ; arctg . ; arccot .x dx x dx x dx x dx

NOLAN JARA J.


2 2 2 ( 1)y y yI e ydy y e dy e y C 2 ( 1)xe x C u dv 3) xI Senxe dx uv vdu = u dv

x xSenxe e Cosxdx dxeCosxeSenx xx u dv

( )xSenxe uv vdu ( ( ))x x xSenxe Cosxe e Senx dx

( )x x xSenxe e Cosx e Senxdx ICosxeeSenx xx )( ( )xe Senx Cosx I

CCosxSenxeIx

)(2

4) vduuvdxxln dxxxxx1.))((ln dxxx ln

u dv

dxxx ln Cxxx ln

Cxxxdx )1(lnln

5) )3(31 235 33 dxxexdxex xx 33

3

31 dxex x dyye y3

1 =

3,)1(31 xyCye y

6)5

2

1ln11

x x dxxx

Sugerencia.

5

2

1ln1

1

xux

xdv dxx

Resolver por el mtodo de Integracin por Partes:

25

1( )) ) . . ) .cos .x x

arcsenxi dx ii x e dx iii e x dx

x

dxxxvidxxvdxexiv xx .ln.cos).5.)..) 22 dxxxixdxxxviiidxxvii ).3cos(.).ln.).ln) 22

NOLAN JARA J.


IV) INTEGRACIN DE FUNCIONES RACIONALES

Se llama funcin racional a la del tipo ( )( )( )

P xf xQ x

, donde P(x) y Q(x) son

polinomios. Una funcin racional se denomina propia si el grado del polinomio P(x) es inferior al grado del polinomio Q(x); en el caso contrario la funcin racional se llama impropia. Reciben el nombre de fracciones elementales, las funciones racionales propias del tipo siguiente:

2 22

Ax+B Ax+B ; , 2 ; ; , 2x x

4 0

m m

A A m mx a px qx a px q

p q

Para la integral

2 2 , 2n n

dxI nx a

Se tiene la siguiente formula recurrente:

112 22 2

1 1 2 3. . .2 ( 1) 2 2n nn

x nI Ia n a nx a

Esta frmula permite, despus de aplicada (n-1) veces, reducir la integral dada. INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES CON AYUDA DEL DESARROLLO EN FRACCIONES ELEMENTALES.

Antes de proceder a la integracin de una funcin racional ( )( )

P xQ x

es necesario efectuar

las transformaciones algebraicas y clculos siguientes: 1) Si se da una funcin racional impropia, separar de ella la parte entera, o sea, representarla en la forma

( )( )

P xQ x

= M(x) + ( )( )

R xQ x

, donde M(x) es un polinomio y ( )( )

R xQ x

, una funcin racional

propia. 2) Descomponer el denominador de la funcin racional propia en factores lineales y cuadrticos:

2 2( ) ... ... ...; 4 0nmQ x x a x px q p q 3) Desarrollar la funcin racional propia en fracciones elementales:

1 2 1 1 2 2

1 1 22 2

( ) ... ...( )

m n nm m n n

A B x CA A B x C B x CR xQ x x a x px qx a x a x px q x px q

4) Calcular los coeficientes indeterminados 1 2 1 2 1 2, ,..., , , ,..., , , ,...,m n nA A A B B B C C C ; para lo cual se debe reducir la ultima igualdad a un denominador comn, agrupar los coeficientes de iguales potencias de x en los miembros izquierdo y derecho de la identidad obtenida y resolver el sistema de ecuaciones lineales respecto a los coeficientes buscados. Como resultado, la integracin de una funcin racional se reducir a la integracin del polinomio y de las fracciones racionales elementales. Ejemplo:

NOLAN JARA J.


1) dxxxx

xxI

2

15223

2

2 2

3 2

2 5 1 2 5 12 ( 1)( 2)

x x x xx x x x x x

( 1)( 2) ( 2) ( 1)

( ) ( 1) ( 2) ( 1)( 2)A B C x x A x x B x x Cx x x x x x

CxxBxxAxxxx )1()2()2)(1(152 2 1) Si x = 1 B = 2 2) Si x = -2 C = -1/2 3) Si x = 0 A = Reemplazando en C:

22

1

122/1

2152

23

2

xxxxxxxx

xxxx

I2

121

1121

21

Cxxx )2ln(211ln2ln

21

CxxxI 2ln)1ln(ln 2

2) dxx

xxI

1

2233

2

)1)(1(223

1223

2

2

3

2

xxxxx

xxx

)1)1( 2

xx

CBxx

A

1))(1()1(

3

2

x

CBxxAxx

).....(*))(1()1(223 22 CBxxAxxxx 1) Si x = 1 A = 1 2) Si x = 0 C = 3 3) Si x = -1 B = 2

)1(32

)1(1

1223

23

2

xxx

xxxx

dxxx

dxxx

xdxx

I)1

12)1(

12)1(

122

dx

x

xxxI 222

23

21

121ln1

22

3

23

21ln

t

dtxI

NOLAN JARA J.


CtarctgxI

2/32/31.21ln 3

Cx

arctgxI

)12(33

3341ln 3

3) 7 6 5 4 3 2

8 4

5 4 3 2 132 256

x x x x x x xI dxx x

7 6 5 4 3 2

8 4

5 4 3 2 132 256

x x x x x x xx x

=7 6 5 4 3 2

4 2

5 4 3 2 1( 16)

x x x x x x xx

=

7 6 5 4 3 2

2 2 2

5 4 3 2 1(( 4)( 4))

x x x x x x xx x

=7 6 5 4 3 2

2 2 2 2

5 4 3 2 1( 2) ( 2) ( 4)

x x x x x x xx x x

22222 )4(4)2(2)2(2 x

HExx

FExx

Dx

Cx

Bx

A

IMPORTANTE

1 2 3 2 1

1 2 3 2 1

( )( );( )( ); 2 1;

n n n n n n

n n n n n n

x y x y x x y x y y nx y x y x x y x y y n k k

Ejercicios:

1) 4 3 2

2 2

2 2( 1)( 2)

x x x x dxx x

2) xedx

1

Resolver las siguientes integrales indefinidas:

dxx

xxiiidxxx

xxiidxxx

xi .2

12).23

53).5

32)4

2

34

2

2

9)675).12)

22

3

xdxvi

xxdxvdx

xxiv

dxxxxixdxxxxviii

xxdxvii .

2

3).)2()1(

))3(2

)23422

NOLAN JARA J.


dx

xxxxiidx

xxxxidx

xxxx .

)1(1).

)1()2(15).

965)

23

2

2223

222 32)52)74) xdxxv

xxdxxiv

xxdxxiii

dxxxx

xxI

2

15223

2

dxx

xxI

1

2233

2

4 3 2

2 2

2 2( 1)( 2)

x x x x dxx x

7 6 5 4 3 2

8 4

5 4 3 2 132 256

x x x x x x xI dxx x

V) INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS RACIONALES Para hallar la integral indefinida de la forma

dxCosxSenxR ),( Hacemos:

CosxCosxxtgt

11

2

Como 2

2

1 1cos1 1

Cosx tt xCosx t

212

ttSenx

Diferenciando:

2

2 2

2(1 )(1 )

tCosxdx dtt

2 2

2 2 2

1 2(1 )1 (1 )

t tdx dtt t

dt

tdx 21

2

Ejemplo:

753 CosxSenxdxI

7115

123

12

2

2

2

2

tt

tt

dtt

22 775562 tttdt

6361222 22 ttdt

ttdt

1+t2

1-t2

2t x

NOLAN JARA J.


22

215

23t

dt 2 2 2 3215 15

tarctg

Cxtgarctg

153)2/(2

152

2) 2

2

2 2

21

3 5 7 2 13 5 71 1

dtdx tISenx Cosx t t

t t

2

2 2 2

1 2 2cos , ,1 1 1

t tx senx dx dtt t t

Ejercicio

dxaSenx bCosx c

VI) INTEGRACIN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS En este apartado aprenderemos a integrar funciones que presentan potencias trigonomtricas, Para tal efecto es conveniente tener frescas en la memoria las identidades trigonomtricas principales 10) Para hallar la integral indefinida de la forma

+s n ( )cos ( ) ; m , n Zm ne x x dx a) Si m = 2 k + 1 ; + Zk

2 1 2

2 2

s n ( )cos ( ) s n ( ) cos ( ). s n ( ) cos ( ). ( )

(s n ( )) cos ( ). ( ) ( s ( ) 1) cos ( ). ( ( ))

m n k n k n

k n k n

e x x dx e x x dx e x x sen x dx

e x x sen x dx co x x d cos x

Haciendo la sustitucin: u = cos(x) ; obtenemos: 2 2s n ( )cos ( ) ( s ( ) 1) cos ( ). ( ( )) ( 1)m n k n k ne x x dx co x x d cos x u u du

b) Si n = 2 k + 1 ; + Zk

22 2 22

2 6 12 3 6 3 152 2

2 2 3 2 1( ) (2 3)15 15 2 15 30

2 1 (2 ( ) 3)2 15 30 2

dt dt dtIt t t t

t

arctg t c arctg t c

x xt tg I arctg tg c

NOLAN JARA J.


2 1 2

2 2

s n ( ) cos ( ) s n ( )cos ( ). s n ( ) cos ( ).cos( )

s n ( ) cos ( ).cos( ) ( ).(1 ( )) ( ( ))

m n m k m k

m k m k

e x x dx e x x dx e x x x dx

e x x x dx sen x sen x d sen x

Haciendo la sustitucin: u = sen(x) ; obtenemos: 2 2s n ( ) cos ( ) ( ).(1 ( )) ( ( )) (1 )m n m k m k ne x x dx sen x sen x d sen x u u u du

c) Si m y n son pares positivos, se van disminuyendo los grados haciendo uso de las formulas trigonomtricas:

2

2

1 cos(2 )s n ( )2

1 cos(2 )cos ( )2

xe x

xx

Ejemplo.

1) 2 (1 2 ) 1 1(1 2 ) 22 2 2 4

Cos x xSen xdx dx Cos x dx sen x c 2) 3 2 2(1 cos ) (cos )I Sen xdx Sen xSenxdx x d x )()1( 2 CosxdxCos ;

t = cosx I = 3 3

2 cos( 1) cos3 3t xt dt t c x c

3) dxxSenxdxSen 224 )( 21 2( )

2Cos x dx 2

1 (1 2 2 Cos 2x)4

Cos x dx 1 1 cos4(1 2 2 )4 2

xCos x dx dxxCosxCos )4243(81

1 2 4[3 4 ]8 2 4

Sen x Sen xx C

1 4[3 2 2 ]8 4

Sen xx Sen x C

4) 3 5 2 5 2 5 . (cos )I Sen Cos xdx Sen xCos xSenxdx Sen xCos x d x

2 5( 1)( ) ( ) ; t = cosxCos x Cos x d Cosx I

8 62 5( 1)

8 6t tt t dt c

8 6cos cos8 6

x xI c

5) xdxxCosSen 642 3(1 2 ) (1 2 )

4 8Cos x Cos x dx

2) 2

2

2 2

21

3 5 7 2 13 5 71 1


t t

2

2 2 2

1 2 2cos , ,1 1 1


NOLAN JARA J.


5 3 5 2 5 2

6 8

3) cos cos cos (1 ) ( )

6 8

Sen x xdx Sen x x xdx Sen x sen x d senx

Sen x Sen x c

2 4 2 2 2

2 2

2 2

2

1 cos2 1 cos2 1 cos24) cos ( cos )cos ( . )2 2 2

1 1(1 cos 2 )(1 cos 2 ) ( 2 )(1 cos 2 )8 81 1( 2 ) 2 cos28 81 1 cos 4 1 ( 2 )( ) ( 2 )8 2 8 21 (1 cos 4 )

16

x x xsen x xdx sen x x xdx dx

x x dx sen x x dx

sen x dx sen x xdx

x d sen xdx sen x

x dx

3

21 1 4 2( 2 ) ( 2 )16 16 4 3

sen x sen xsen x d sen x x c

Resolver las siguientes integrales trigonomtricas: 3 3 3 2.) (7 ). ) cos . ) .cos .i sen x dx ii x dx iii sen x x d

4 2 2 2 3) . ) (4 ).cos (4 ). ) 5 .cos 5 .iv sen x dx v sen x x dx vi sen x x dx 20) Para hallar la integral indefinida de la forma

a) Si la potencia de la secante es par

A continuacin se hace la sustitucin u = tgx b) Si la potencia de la tangente es impar

xdxxtan nm sec

xdxxtanxtan

xdxxxtanxdxxtankm

kmkm

212

2122

sec1

secsecsec

22 2 22

2 6 12 3 6 3 152 2

2 2 3 2 1( ) (2 3)15 15 2 15 30

2 1 (2 ( ) 3)2 15 30 2

dt dt dtIt t t t

t

arctg t c arctg t c


NOLAN JARA J.


A continuacin se hace la sustitucin u = secx Observacin: Si n es impar y m es par, todo el integrando se expresa en trminos de secx. Es posible que las potencias de secx requieran integracin por partes.

2 3sectg x xdx Observacin. Integrales de la forma

Se pueden determinar con mtodos semejantes, a causa de la identidad 1+cot2x=csc2x VII) INTEGRACIN DEL PRODUCTO DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Para integrar:

dxSenaxCosbx ; dxSenaxSenbx ; dxCosaxCosbx Se hace uso de:

SenBCosASenACosBBASen )( SenBCosASenACosBBASen )( SenASenBCosACosBBACos )( SenASenBCosACosBBACos )(

De donde:

1s n( )cos( ) s n( ) s n( )21s n( )s n( ) cos( ) cos( )2

1cos( )cos( ) cos( ) cos( )2

e A B e A B e A B

e A e B A B A B

A B A B A B

En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida de :

1) 1

dxsenx

2

2

cos1

x dxsen x

2) 3 2cos2cos

x dxsen x xsenx

1cos

senx dxsenx x

3) cos 1

senx dxsenx x

coscosx dx

senx x

4) 12 cos 5

dxsenx x

4cos cos2 cos

senx x x dxsenx x

VIII) INTEGRACIN DE FUNCIONES IRRACIONALES Se trata de resolver integrales en las que aparezcan radicales. Inicialmente estudiaremos los dos siguientes tipos: 10) Para hallar la integral indefinida de la forma

xtanxdxxx

xtanxdxxxtanxdxxtannk

nknk

secsec1sec

secsecsec12

1212

xdxx nm csccot

NOLAN JARA J.


1 2

1 2, , . . . , n

n

m m mrr ra x b a x b a x bf d x

c x d c x d c x d

Hacemos la sustitucin:

1 2, ( , , ..., )s

na x bt dond e s m cm r r rcx d

20) A menudo es efectivo el mtodo de sustitucin trigonomtrica al trabajar con integrales que contienen en sus integrandos ciertas expresiones algebraicas tales como

2 2 2 2 2 2, ,x a x a a x Para integrar expresiones que contengan:

1) 2 2 , :x a hacemos x atg

2) aSecxhacemosax :,22

3) aSenxhacemosxa :,22

1) 2 2

3 8 3( 1) 5( 1) 4 9 ( 1) 4 9

x xI dx dxx x x x x x

2 22

13 5 *( 1) 4 9( 2) 5

dx dxx x xx

I1 I2

En (I2): 11

11

t

xtx t

t

12t

dtdx

222

9141

1.tdt

tt

tt

tI2 2 2(1 2 ) 4 4 9

dtt t t t t

214 6 1dt

t t

3221

14 3 514 14

dt I

t

1 353 ......(*1)14

I I I

En tgxI 52:1 ;

NOLAN JARA J.


2 2( 2) ( 5)x 5

25dx Sec d

dSec

SecdSecI

55 2

1 //ln tgSec

2

1 ln 4 9 ( 2) .....* 2I x x x

en I3: 3 5 ;

14 14t tg

22

145

143

t

143

t

14/5

2 2

2

2) 4 4

.2

1ln4 1

xI dxx x

solucionx sen

I cx

2 2 33)

(1 ) (1 )

:

xdx

x xSugerencia x tg

En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida de las funciones irracionales:

5) dxx

xx

3

3 2

11

2/132 2121 xx

dx

6) dxxxx

x

1236

3

dxx

xx

3

3 2

11

7)

dx

xx

x3

2 22

22

258 xdx

8) dxx 259

1697 2xdx

x-2

NOLAN JARA J.


9) 3544 2 xx

dx 542 2 xx

dx

10) 12 2 xx

dx 132 xxx

dx

11) 142 2 xxx

dx dxxx

x

21

82

12) dxxx

x

125 2

dxxx

x34

1042

13)

xxx

dx

21 2

dx

xxx

42 11

14) 211 xxx

dx

dxxxx

x211

2

METODO DE CHEVICHEV:(INTEGRACION DE FUNCIONES BINOMIALES)

( ) ; , ,m n pI x a bx dx m n p Q

1) Si p Z, hacemos: x = tr r: m.c.m de los denominadores de m y n

2) Si Zn

m

1 , hacemos sn tbxa ; s: denominador de p

3) Si hacemosZpn

m ,1

n sax b t n s nv a bx t x

Ejemplos:

1)

dxxx

x22

3

16)16(dxxx 2/323 )16(

2;23;2;3 spnm Z

nm

21

2216 tx dxxx 2/323 )16( 2 1/ 2 3 2 1/ 2((16 ) ) ( ) (16 )t t t t dt

dttdttt )161()16( 222 Ctt 16

2

22

116

xxC

tt

2)

dxxxxx

dx 2/12424

)1(1

3) dxxxxxdx 104/12/1

10 )1()1(

Utilizando el mtodo de CHEVICHEV resolver:

23( 1)dx

x x

104( 1)dx

x x

NOLAN JARA J.


3

2 2(9 ) 9x dx

x x

4 21dx

x x

4 3 23 2x x dx 66 665dx

x x

3 1x x dx 44 1 x

xe dx

e

2

3 3 3

6 ; dividir numerador y denominador por coscos

dx xsenx x sen x

NOLAN JARA J.


Funciones trigonomtrica

Relaciones fundamentales

Funciones de suma y diferencia de ngulos

Suma y diferencia de funciones Producto de funciones

2

( ) ( )1

( )1

b aarctg b arctg a arctgab

aarcsen a arctga

cos1 sec

sen1 cosec

cotg1 tg

cos sen tg

sen cos cotg

cos1 tg 1

1 cos sen

22

22

sen

1 cotg 1

1 .cotg tg

22

.tg tg 1 tg tg tg

.sen cos .cos sen sen2

cos - 1 2 sen

.cos 2.sen 2. sen

cotg cotg

1 .cotg cotg cotg

.sen sen .cos cos cos2

cos 1 2 cos

1 - 2.cos 2. cos

sen - cos 2. cos2

22

.cos21 .cos

21 cos . cos

.cos21 .cos

21 sen . sen

.cos21 .sen

21 cos . sen

tg tg cotg cotg .cotg cotg

cotg cotg tg tg .tg tg

2 .sen

2 2.cos sen sen

2 .cos

2 2.sen sen sen

2 .sen

2 2.sen - cos cos

2 .cos

2 2.cos cos cos

.cos cos sen tg tg

.sen sen sen cotg cotg

NOLAN JARA J.


Hallar las siguientes integrales indefinidas:

2. dxx

x

8

4

1

17. dx

xx

244

18. dxxx

x

5

4 1

19. dxx

xxsen

2coscos44

20. dxx 3 1x- 1

1

Hallar las siguientes integrales indefinidas:

En los ejercicios del 1 al 6 encuentre una funcin y = f (x) que satisfaga las ecuaciones diferenciales dadas y las condiciones iniciales prescritas.

NOLAN JARA JARA

[Escribir texto] Pgina 25

Hallar las integrales indefinidas siguientes:

1 1

2 2

ln ln ln1) (ln ) ; ln1 ln 1 ln 1 ln 1

( 1) 1 1( 1 ) 1 1 1 1

x x dx x tI dx d x dt t xxx x x x t

tI dt t dt t t dtt t

3 31 1

2 2 2 22 21 2 1 ln 1 2 ln 13 3

t t c x x c

2) 2

2

2 2

21

3 5 7 2 13 5 71 1


t t

2

2 2 2

1 2 2cos , ,1 1 1


5 3 5 2 5 2

6 8

3) cos cos cos (1 ) ( )

6 8

Sen x xdx Sen x x xdx Sen x sen x d senx

Sen x Sen x c

2 4 2 2 2

2 2

2 2

2

1 cos2 1 cos2 1 cos24) cos ( cos )cos ( . )2 2 2

1 1(1 cos 2 )(1 cos 2 ) ( 2 )(1 cos 2 )8 81 1( 2 ) 2 cos28 81 1 cos 4 1 ( 2 )( ) ( 2 )8 2 8 21 (1 cos 4 )

16

x x xsen x xdx sen x x xdx dx

x x dx sen x x dx

sen x dx sen x xdx

x d sen xdx sen x

x dx

3

21 1 4 2( 2 ) ( 2 )16 16 4 3

sen x sen xsen x d sen x x c

22

2 2 2 2

sec ( )5) ln( 2 )cos 2 2 2 ( )

dx xdx d tgx tgx tg x cx tg x tg x tgx

22 2 22

2 6 12 3 6 3 152 2

2 2 3 2 1( ) (2 3)15 15 2 15 30

2 1 (2 ( ) 3)2 15 30 2

dt dt dtIt t t t

t

arctg t c arctg t c


NOLAN JARA JARA


2

2 2

22

6) ; 21

2 2 2 ( ). ( )1 1

( )

arcsen xI dx x t x t dx tdtx x

arcsent arcsentI tdt dt arcsen t d arcsen tt t t

arcsen t c arcsen x c

4

4 33

7) ;

1 13 3

xx x x

x x

x x

xeI dx t e xe dt xe dxe xe

dtI c ctt e xe

2 23 2

4 6 3 2 3 2 3 2 3 2

2 2 2 22 2

3

3 3

1 38) ; 3365 ( ) 65 ( ) ( ) 65 ( )

1 1 1 1 1 1 1= = ( + ) ( - ) t 3 3(65) 65 3(65) 6565

1 1 1 65 1 1 1 65 = ln ln195 t 1952 65 65 2 65 65

dx x dx x dxI t x dt x dxx x x x x x

dtI dt dtt t t tt t

t xcxt x

c

22

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2

1 1 1 1 49) ;1 1 1 (1 )

1 4 1 4 2. . . . 21 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 )

1 1 1 1 12 2 ln( ) ( ) ;(1 ) (1 ) 2 1 1

x x t tI dx t x dx dtx x x t tt t t tI t dt t dt dtt t t t t t

t xdt arctg t c tt t t x

INTEGRACION DE FUNCIONES DIVERSAS

1) 2 2 23 2) 2 2 1 xsen xsen xdx x x e dx

2

3 2

2 2

2

2

ln 23) 4) 1

5) 2 1 cos 2 6) xln

2 37) 8) 2 3

9) 2

x x

x x

x

x xdx arctgxdxx x

x xdx xdx

e e dx arctg xdxe e

44

2 2 2

2 2

1 10)1

11) 6 4 2 12) ;

13) 14) 2 ln coscos 2 5

x x x

dxdxx

x x dx e sene dx e senxdx

dx sen x xdxx tg x

NOLAN JARA JARA


23

2

6

4 2 343 6

cos15) ( 2)cos( 4 1) 16)

17) 18) ln1

1+19) 20)

x

x

x xx x x dx dxsen x

xe dx x x dxe

dx x dxx x x x x

22 2 2 2 2

21) 22) cos

23) 24)cos 1

ax axe senbxdx e bxdx

dx dxa x b sen x x

5 3

4 4

4

2 2 2 2 3

25) cos ln 26) sec

cos27) 28)4 cos 2

29) 30)4 4 1 (1 )

xdx xtg xdx

dx sen x xdxx x

x xdxdxx x x x

INTEGRACION DE FUNCIONES DIVERSAS 1)

=

3 =

(3 32)

= (3

(5 + ))

=

+

+

2)( + ) = 2 2 + 1 = (4 2) dv = e dx v = 2e

( + ) = 2(2 2 + 1) + 2 (4 2) De nuevo integrando por partes

2 (2 2 + 1) + 2 (4 2)2 + 8 2 (2 2 + 1) 4 (4 2) 32 +

NOLAN JARA JARA


( + ) = [ + + ] +

4) =

= =

= 12 = I = lnx2x + 12 1x dx = 2 + 12 12 + =

+

5) =

= = 1 + 1

=

= 3

= ( 3) 3 + 1

= ( 3) + 1 + 3 + 1

= ( 3) 12 ln( + 1) + 32 + I=

( + ) +

5) ( ) = 2 1 = 4; = 2 =

= (2 1)22 22 De nuevo integrando por partes

= (2 1)22 2 22 + 22

NOLAN JARA JARA


I=(2 1)

+ 2

+ I= + ( ) + 6) = = =

= = 2

= 2

= 2 2 12

=

+

+

7)

()()()() = = ( + 1) = ( + ) + +

8) = = = = 2

= 2 = =

= = 2

= 2 2 12 + 1

= 1 1 + 1 = + +

NOLAN JARA JARA


= ( + ) + 9) = 2 = =

=

= ()

+

=

+

10) =

= (1 + )

Sea 1 + = =

= () , reemplazando y simplificando: I =

1 = 1 + + 1 + + + 1 = ( + + ) + ( + ) + ( + ) + ( ) + + = 0 + = 1 + = 0 = 0 I = () () + ()

+ + + + +

11) = + = 24 ( 1) =

( ) +

+

= = 0

= =

NOLAN JARA JARA


12) = ()

= () () Sea: = =

I= = = d = = I= + = + + I=() + () + 12) =

= = 2 = = = + 2 Por partes una vez ms:

= + 2 2

= + 2 2

=

+

13) =

2 + 5 = 2 + 5 = 15 ()(2) + (5)

I=

+ + +

14) = () = ln() =

ARAJ ARAJ NALON

23 anigP ]otxet ribircsE[

= 2 =

) 1( )( = )( = )( )( = )(=I )( )(=I

+

) + + () + ( )51 ))1 + 4 + ((21 = )1 + 4 + ( )4 + 2(21

) + + ( =

+

= )61

= = = = aeS = =I

+

=

+ 1

=

+

)71

+ 12 + 12 = 4 + 12=I

4 + 12 =

= aeS 2 =

= = = =

NOLAN JARA JARA


= 21 + 4 + = 21 + 4[ + ( )] + = + + () () + 18) I = ( + )

[( + 1)] = + ( + 1) Haciendo = y + 1 =

+ integrandoporpartes

+ = ( 1) + ( 1) + = ( ) + ( + )(( ) ) +

19)

(1 + ) = 1 11 + = +

20) ( )

Haciendo = = 12, reemplazando y simplificando: 12 + 1

1 = 12 1 + 2 1 = 12 + 2 1 1 = 12 + 2 ln 1 + 1 + = + + +

21) ()

NOLAN JARA JARA


()

() = ()

()

+ ()

()

()

()

() = ()

()

()

+

() = ()

()

+

() = () () + +

22) ()

()

+ () = ()

+ ()

()

()

+ ()

()

() = ()

+ ()

()

+

() = ()

+ ()

+

() = () + () + +

23)

Dividiendo entre :

NOLAN JARA JARA


+ = 1 () + () = 1 1 ( ) +

+

24) =

Sea = =

= = 122 = 12(1 + 2) = 12 + 122

= 2 + 24 +

=

+ (())

+ 25) = () Sea = =

Integrandoporpartes:

+ Porpartesunavezms:

+

= + = + 2 + I= ()()

+

26)

ARAJ ARAJ NALON

63 anigP ]otxet ribircsE[

))()1 ( =)()1 ( = )( =)( )( =

+

)72

)2 + 2 ()2 + 2 + ( = 4 + )2 + 2 + () + ( + )2 + 2 () + ( = 1 )2 + 2( + )2 + 2 + 2 2( + ) + 2 + + 2( + ) + ( = 1 0 = + 1 = 2 + 2 0 = 2 + 2 + 2 2 0 = + 2 + + 2

41 + 81 2 + 2 41 81 2 + 2 +

2 + 2 4 2 611 2 + 2 + 4 + 2 611 1 + )1 (1 81 +2 + 2 2 2 611 1 + )1 + (1 81 + 2 + 2 + 2 + 2 611

+ + + ) ( + ) + ( + +

= =

=

=

NOLAN JARA JARA


PROBLEMAS RESUELTOS DE REPASO

1)

Hallar: dxxxI .3. 2

Reemplazamos en este caso:

xdudxdxxdu

xuxg

6.6

3)( 2

En la integral original y tendremos:

Cuduuduux

duuxI 23

23

21

.61.

61.

61

6..

luego siempre debemos regresar a la variable original:

CxxCxI 3.3913

91 2232

2)

Hallar: dxxsenxI .1. 2

Reemplazamos:

xdudxdxxdu

xu

2.2

12

En la integral original:

CuduusenxduusenxI cos.21).(212).(. Regresando a la variable original:

CxI 1cos.21 2

3)

Hallar: dxxxI .ln.1 Reemplazamos:

duxdxdxx

du

xu

..1ln

NOLAN JARA JARA



CuduuduxuxI 332....1 Retornamos a la variable original:

CxxCxI ln).(ln32ln

32 3

4)

Hallar: dxxeI

x.

2

1

Reemplazamos:

duxdxdxx

du

xu

..1

1

22


CedueduxxeI uu

u... 2

2

Retornamos a la variable original

CeI x 1

5) Hallar

dxxxI .ln. Hacemos integracin por partes:

vduuvudv

dxx

duxu

xvdxxdv

.1.ln

2.

2

dxxxxdxxxdx

xxxxdxxx .

21ln.

2.ln..1.

2ln.

2.ln.

222

Cxxxdxxxxxxdxxx

4ln.2.ln.2.21ln.2.ln.

2222

NOLAN JARA JARA


6) Hallar: I = dxsenxx .. Hacemos integracin por partes:

vduuvudv

dxduxuxvdxsenxdv cos.

I = Csenxxxdxxxxdxsenxx cos..coscos... CsenxxxI cos.

En este mtodo se puede dar el caso de tener que aplicarlo dos o ms veces hasta llegar a resolver definitivamente la integral, debemos tener en cuenta tal como ya lo vimos en los ejercicios anteriores que se debe llegar a resolver una sola integral y que la misma sea directa. Veremos algunos casos donde se debe aplicar ms de una vez el mtodo: 7) .cos .xe x dx

Hacemos integracin por partes:

vduuvudv

.cos . .

x xdv e dx v eu x du senx dx

.cos . cos .cos . .x x x xe x dx xe dx e x e senx dx (I) En este caso vemos que la integral que nos queda en el segundo miembro no es directa, por lo consiguiente aplicamos nuevamente el mtodo pero solo a esta integral, un aspecto que se debe tener en cuanta es los signos: Resolvemos solamente: . .x xe senx dx senxe dx

Hacemos: .

cos .

x xdv e dx v eu senx du x dx

. . . .cos .x x xe senx dx e senx e x dx (II) Reemplazamos (II) en (I)

cos . .cos . .cos .x x x xe x dx e x e senx e x dx Eliminamos el corchete:

NOLAN JARA JARA


cos . .cos . .cos .x x x xe x dx e x e senx e x dx

En este caso podemos ver que la integral a resolver en el segundo miembro es igual a la del primer miembro, lo que es viable hacer es realizar un pasaje de trminos con lo que tendramos:

.cos . cos . . cosx x xe x dx e x dx e senx x 2 .cos . . cosx xe x dx e senx x

Luego despejamos la integral original que tenamos que resolver y tendremos:

. coscos .

2

xx e senx xe x dx C

8) Hallar:

dxxsen .2 Esta integral se puede escribir tambin: dxsenxsenx . Hacemos integracin por partes:

vduuvudv

dxxdusenxuxvdxsenxdv

.coscos.

Aplicamos el mtodo de integracin por partes:

dxxxsenxdxxsen .coscos.. 22 En el caso de la integral que aparece en el segundo miembro podemos hacer uso de la relacin trigonomtrica: xsenxxxsen 2222 1cos1cos Reemplazamos esta relacin en la integral anterior y tendremos:

dxxsenxsenxdxxsen .1cos.. 22 Luego operamos de acuerdo a las propiedades ya vistas de las integrales:

dxxsendxxsenxdxxsen .cos.. 22 Luego operamos algebraicamente:

xxsenxdxxsendxxsenxdxxsendxxsen cos..2cos... 222

NOLAN JARA JARA


Cxxsenxdxxsen 2cos..2

9) I=

1 2

3 2 2 2. . . 1 cos . . .cos .I I

sen x dx senx sen x dx senx x dx senx dx senx x dx

Vemos en este caso que la integral 1I es de integracin inmediata, pero la integral 2I no lo es y podemos resolverla por otro mtodo:

11 cos. CxdxsenxI

dxxsenxI .cos. 22 En este caso podemos resolver por sustitucin:

senxdudxdxsenxdu

xu

.

cos

Reemplazando tendremos:

23

222 3

... CuduusenxduusenxI

Retornamos a la variable original:

23

2 3cos CxI

Reemplazando en (I) los resultados obtenidos de 21 IyI obtendremos como resultado final:

Cxxdxxsen 3coscos.3

3

Donde: 21 CCC 10)

dxxsenxdxxsensenxdxxsensenxdxxsen .cos1.....222245

1 2 3

2 4 2 4. 1 2cos cos . . 2 .cos . .cos .I I I

senx x x dx senx dx senx x dx senx x dx

Resolvemos cada una de estas integrales:

NOLAN JARA JARA


11 cos. CxdxsenxI

23

22 3

cos.cos. CxdxxsenxI

dxxsenxI .cos. 43 Se resuelve por sustitucin:

senxdudxdxsenxdu

xu

.

cos

35

335

443 5

cos5

... CxICuduusenxduusenxI

En la integral original tendremos:

Cxxxdxxsen 5coscos32cos.5

35

11)

dxxxdxxdxxdxx .2cos2cos.2141.

22cos1.cos.cos 2

2224

321

.2cos41.2cos

21

41.cos 24

III

dxxdxxdxdxx

11 .41

41 CxdxI

dxxI .2cos212 Por sustitucin:

2.2

2dudxdxdu

xu

2222 24141.cos412.cos21 CxsenICsenuduuduuI

dxxdxdxxdxdxxdxxI .4cos81

81.4cos

81.

24cos1

41.2cos

41 2

3

33 4321.

81 CxsenxI

Reemplazamos en la integral original:

4

4

42cos .4 4 8 32

43 2cos .8 4 32

sen xx sen x xx dx C

sen xx sen xx dx C

NOLAN JARA JARA


12) dxxx .14

Si efectuamos la divisin de estos dos polinomios obtendremos:

)1(

111)1(

111234

234

xxxxx

xxxxxxx

)1(

11)1(

234

xxxx

xx

Cxxxxxdxx

xxxdxxx

1ln234111.1

23423

4

Vemos que las integrales parciales a resolver son todas inmediatas, en el caso de

1xdx se podra plantear una sustitucin de la forma: dxduxu 1 por lo consiguiente la integral adopta la forma: CxICuudu 1lnln 13)

dx

xxxI .

9

123

Factorizamos el denominador:

dx

xxxxdx

xxxI .

33.12.

9.

122

Expresamos como fracciones simples:

dxxCdxx BdxxAdxxxx xI .)3(.)3(.33. 12 Nos independizamos de los smbolos integrales y de los diferenciales para Hallar los valores de A, B y C:

)3)(3()3.(.)3()3)(3(

33.12

)3()3(33.12

xxxxxCxBxxxA

xxxx

xC

xB

xA

xxxx

)3.(.)3()3)(3(12 xxCxBxxxAx

Si 91)30.(0.)30.(0.)30)(30(10.20 ACBAx

Si 185)33.(3.)33.(3.)33)(33(13.23 BCBAx

Si

187)33).(3.()33).(3.()33)(33(1)3.(23 CCBAx

)3(18

7)3(18

591.

9

123 x

dxxdx

xdxdx

xxxI

NOLAN JARA JARA


CxxxdxxxxI

3ln1873ln.185ln91.9

123

14)

dxxx

xI23 4

2

Al factorizar el denominador tendremos:

dxxx

xI)4(

22

Expresndolo como fracciones simples:

dxx

CdxxBdx

xAdx

xxxI

)4()4(

222

Hallamos los valores de A, B y C:

)4(

.)4()4(

)4(

2)4()4(

22

2

222

xx

xCxBxxA

xxx

xC

xB

xA

xxx

2.)4()4(2 xCxBxxAx

Si 210.)40.(0.40200 2 ACBAx

Si 2 3 4 4 2 4 4 .( 4).( 4 4) .( 4)8

x A B C C

Claramente podemos ver que al usar las races que surgen de la factorizacin, solo podemos calcular en este caso dos de las constantes. Para calcular la tercera constante debemos adoptar un valor para x que lgicamente deber ser distinta de las ya adoptadas. Por ejemplo en nuestro caso adoptaremos 1x Si CBACBAx 5511.)41.(1.41211 2 lo que debemos hacer ahora es reemplazar los valores de las constantes ya obtenidas.-

827

835

2151

CC

Tenemos ahora las tres constantes calculadas solo nos basta resolver la integral planteada originalmente:

)4(8

2783

21

)4(

222 x

dxx

dxxdxdx

xxxI

Kxxx

I 4ln827ln

83

21

Ejemplo:

15) dxxxI 22 2

1 .

En este caso tenemos dos races mltiples, solamente debemos repetir el proceso:

NOLAN JARA JARA


dxxDdx

xCdx

xBdx

xAdx

xxI

)2()2(2

12222

Sacamos

comn denominador:

)2()2()2(1

2222 xD

xC

xB

xA

xx

22

2222

22 )2(

)2.(..)2.(.)2(

)2(

1

xx

xxDxCxxBxA

xx

)2.(..)2.(.)2(1 2222 xxDxCxxBxA

Si 41)20.(0.0.)20.(0.)20(10 2222 ADCBAx

Si 2 2 2 2 12 1 ( 2 2) .( 2).( 2 2) .( 2) .( 2) .( 2 2)4

x A B C D C

Nos faltan dos constantes por lo tanto debemos adoptar dos valores. Por ejemplo: Si )21.()1.()1.()21).(1.()21(11 2222 DCBAx

Si )21.()1.()1.()21).(1.()21(11 2222 DCBAx

Una vez que resolvemos nos quedan dos ecuaciones de la forma:

DCBADCBA

13991

Reemplazamos en este sistema los valores de las constantes ya

obtenidos:

DB

DB

41

411

341.9

41.91

21

2339

DB

DB

Nos queda un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, que puede ser resuelto por cualquiera de los mtodos ya conocidos con lo que obtendremos:

41;

41

DB

Reemplazamos en la integral original a calcular:

)2(41

)2(41

41

41

2

12222 x

dxx

dxx

dxxdxdx

xxI

NOLAN JARA JARA


Kxx

xx

I

2ln.41

)2(41ln

41

16)

dxxxI

1

23

El denominador puede ser expresado de la forma: 111 23 xxxx Como podemos ver una de las races es 1x , en cuanto a la ecuacin cuadrtica tiene races complejas, lo que debemos hacer en este caso es expresar la integral como fracciones simples:

)1)(1(

)1)(()1(

1

2

1)1(1

22

2

323

xxx

xCBxxxA

xx

xxCBx

xA

xx

Luego tendremos: )1)(()1(2 2 xCBxxxAx

Si 133)11)(1.()111(211 2 AAcBAx

17)

dxx

xxxI

22

23

1

323

Esta integral se debe expresar como fracciones simples de la siguiente manera:

dx

xDCxdx

x

BAxdxx

xxxI .1

.11

32322222

23

(i)

Luego trabajamos solo con los integrandos para poder sacar un comn denominador con lo que obtenemos:

222

22222

23

)1(

)1)((

111

323

xxDCxBAx

xDCx

x

BAx

x

xxx

)1)((323 223 xDCxBAxxxx

El paso que sigue consiste en formar un sistema de ecuaciones donde la cantidad de ecuaciones debe coincidir con el nmero de constantes a determinar. Para poder determinar dicho sistema debemos primero que nada adoptar valores distintos para la variable x : Si DBDCBAx 3)10)(0.(0.30 2 (I)

Si DCBADCBAx 223)11)(1.(1.31 2 (II)

Si DCBADCBAx 22911)1()1.(91 2 (III) Si DCBADCBAx 51023)12)(2.(2.32 2 (IV) De esta forma me queda el siguiente sistema:

NOLAN JARA JARA


35102922

3223

DCBADCBA

DCBADB

Al resolver el sistema por cualquier mtodo obtenemos:

3101

DCBA

Una vez obtenidos estos valores regresamos a la integral (i) y las reemplazamos:

dx

xxdx

x

xdxx

xxxI .1

3.11

32322222

23

321

.1

3.1

.11

323222222

23

III

dxx

dxx

xdxx

xdxx

xxxI

dxxxI

221

1

Debe ser resuelta por sustitucin:

xdudxdxxdu

xu

2

2

.2

1

Reemplazando

1221 21212. Kuudu

xdu

uxI 121 )1(2

1 Kx

I

dxxxI

122 Debe ser resuelta por sustitucin:

xdudxdxxdu

xu

2

2

.2

1

Reemplazando

21 ln21212. KuuduxduuxI 222 1ln21 KxI

31

221.3

1

131

3 Kxtgdxx

dxx

I 31

3 .3 KxtgI

Lo nico que nos queda por hacer es reemplazar estas integrales en su expresin original:

NOLAN JARA JARA


Kxtgx

xdx

x

xxxI

12222

23.31ln.

21

)1(2

1

1

323

Hallar las integrales indefinidas siguientes:

1) 3 33 3

1 255

x x dxx x

2)

12

12

3 5 3x

xe x dx

e

3) 3 29 3x x dx 4) 2

2

11

x

xe dxe

52 22

3 2 2

2 23

1 1 1 15) 5 6) 2

3 ln 1 ln7) 8) 3

x xdx dxx x x x

x x xdx dxx xx

3

9) ln 10) arcx xdx x senxdx

11) 4 4 4

x dxx 12)

(2 )(2 ). xsen x e dx

13)22( ) xxsen x e dx 14)

2

3

1 x dxx

15) 23 3 3

; dividir numerador y denominador por sencos cos

dx xx x sen x

16) dxx

xx

3

3 2

11

17) 2/132 2121 xx

dx

18) dxxxx

x

1236

3

19) dxx

xx

3

3 2

11

20)

dx

xx

x3

2 22

22

21) 258 xdx

NOLAN JARA JARA


22) dxx 259

23) 1697 2x

dx

24) 3544 2 xx

dx

25) 542 2 xx

dx

26) 12 2 xx

dx

27) 132 xxx

dx

28) 142 2 xxx

dx

29) dxxx

x

21

82

30) dxxx

x

125 2

31)

dxxx

x34

1042

32)

xxx

dx

21 2

33)

dxxx

x42 11

34) 211 xxx

dx

35)

dxxxx

x211

2

Documents

TX Tintin Def