Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Lokalizácia
Peter MarkošFyzikálny ústav SAV
Katedra fyziky FEI STU
Abstract
Pri ńızkych teplotách sa elektróny správajú ako kvantové častice.Preto sa analýza elektrónového transportu nezaob́ıde bez znalost́ıkvantovej mechaniky. Elektrickú vodivost’ a jej neočakávané vlastnostivysvetĺıme na základe kvantového - vlnového charakteru elektrónu.
– Typeset by FoilTEX –
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
1. Úvod: odpor a vodivost’ nemusia sṕlňat’ Ohmov zákonu.
2. Kvantový charakter pohybu elektrónu.
3. Interferencia vlny.
4. Kadial’ putuje elektrón?
5. Lokalizácia kvantovej častice v náhodom potenciáli.
– Typeset by FoilTEX – 1
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Opakovanie: Ohmov zákon
R1
L1
R2
L2
R1 + R
2+ =
L1+ L
2
V klasickom vodiči predpokladáme, že elektrický odpor narastá úmerne d́ľzke vodiča. Tento
predpoklad potvrdzuje naša každodenná skúsenost’.
Typické vodiče: d́ľzka 1 m Typické teploty: izbová teplota - 300 K.
Zmenšujme teraz rozmer (d́ľzku) vodiča a znǐzujme teplotu. Dostaneme sa do oblasti, kedy
Ohmov zákon neplat́ı.
Namiesto R = R1 + R2 môžeme napr. dostat’
R = R1 + R2 + R1R2. (1)
– Typeset by FoilTEX – 2
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Ohmov zákon nie vždy plat́ı
R = R1 + R2 + R1R2. (2)
Takýto modifikovaný zákon vedie k
exponenciálnemu nárastu odporu. Už
neplat́ı
R(L) ∝ L (3)
ale máme
R(L) ∝ exp(+L/ξ) (4)0 100 200 300 400 500
L
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
R
Samozrejme, vodivost’, 1/R, je exponenciálne malá.
– Typeset by FoilTEX – 3
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Štatistika
Meranie elektrického odporu R alebo elektrickej vodivosti σ prinesie nejaké č́ısla. Ich
presnost’ je daná
• našou šikovnost’ou
• kvalitou pŕıstrojov
• samotným systémom (napr. vysokou teplotou, šumom z okolia apod). Intuit́ıvne ćıtime,
že výsledky by sme vedeli neustále zlepšovat’.
Jednou z ciet vylepšenia je zńı̌zit’ teplotu.
Ale:
– Typeset by FoilTEX – 4
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Katastrofa
V niektorých vzorkách boli pozorované experimentálne obrovské reprodukovatel’né
fluktuácie odporu.
Ked’ sa zmenšovala teplota, fluktuácie neklesali, naopak narastali:
∆g
〈g〉∝ exp−
„
T0
T
«α
(5)
Vysvetlenie takéhoto nárastu je možné len v rámci kvantovej mechaniky.
– Typeset by FoilTEX – 5
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Štatistika a absencia ustrednenia.
-2 -1 0 1 2Fermi energy
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tra
nsm
issi
on
-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1E
10-6
10-4
10-2
100
Tra
nsm
issi
on
Výsledok merania vodivosti v
silne neusporiadanej vzorke.
Meńım len energiu elektrónu,
vzorka je tá istá.
Vodivost’ sa meńı o niekol’ko
rádov.
σ ∼ 0.00001 − 0.95
Dôležité: Vel’ké zmeny
vodivosti sú reprodukovatel’né -
zmenou energie tam a spät’ sa
pohybujeme po tej istej krivke!
Nejde preto o štatistické chyby merania, ale o vlastnost’ neusporiadaného systému.
– Typeset by FoilTEX – 6
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Katastrofa, alebo zauj́ımavá fyzika?
• Nové neočakávané vlastnosti pozorujeme pri vel’mi ńızkych teplotách absolútna nula:
-273.15 C = 0 K; izbová teplota: 300 K, súčasné experimenty: ∼ 100 mK.
• Vzorky sú malé: L ≪ Lφ - preto elektróny prejdú naprieč vzorkou bez toho, aby
interagovali napr. s kmitmi mriežky - pohyb elektrónu je kvantový
• vzorky sú neusporiadané - nejde o pravidelné kryštály
Podstatné: obrovské fluktuácie nie sú výsledkom chyby merania. Ide o prejav novej fyziky,
ktorú pri vyšš́ıch teplotách nevid́ıme.
– Typeset by FoilTEX – 7
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Kvantový popis pohybu elektrónu
Pri vel’mi ńızkych teplotách nie je elektrón klasickou časticou, ale správa sa kvantovo - š́ıri
sa priestorom ako vlna.
Š́ırenie v́ln má svoje osobitosti, na ktoré sme si zvykli, ale intuit́ıvne sa im bránime, ked’
ide o častice.
V kove sa kvantové vlastnosti elektrónu prejavia len vtedy, ked’ je stredná vol’ná dráha
nepružných zrážok vel’mi vel’ká. To je možné, len ak je teplota ńızka. Preto lokalizáciu
vid́ıme len pri vel’mi ńızkych teplotách.
– Typeset by FoilTEX – 8
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Pŕıklad: kvantové tunelovanie elektrónu
-30 -20 -10 0 10x
0
0.2
0.4
Rozptyl na Prechod barierou V=6 a=1, k0=2, var(k)=0.1
|Ψ|2
Τ=0.025
Elektrón je schopný pretunelova’t cez bariéru, aj ked’ je jeho energia menšia ako je výška
bariéry. klasická častica by sa totálne odrazila.
– Typeset by FoilTEX – 9
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Iný pŕıklad: Odraz od potenciálového stupienka I
0x
Rozptyl na potencialovom schode V= + 4, k0=2, var(k)=0.1
|Ψ|2
R=0.631
Ak je energia väčšia, ako potenciálový stupeň, tak klasická častica vždy prejde a pokračuje,
hoci s menšou rýchlost’ou.
Kvantová častica sa dokáže odrazit’. Vieme určit’ len pravdepodobnost’, že prejde na druhú
stranu, ale na začiatku experimentu nevieme povedat’, aký bude presne jeho výsledok.
– Typeset by FoilTEX – 10
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Odraz od potenciálového schodu
0x
Rozptyl na potencialovom schode V= - 4, k0=2, var(k)=0.1
|Ψ|2
R=0.03
Kvantový elektrón sa dokáže odrazit’ aj od schodu “smerom nadol”.
Toto nedokáže žiadna klasická častica.
– Typeset by FoilTEX – 11
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Neusporiadanost’: rôzne modely.
(a) Periodická mriežka.
(b) Rovnaké atómy v rôznych polohách.
(c) Náhodné polohy, konštantný počet
susedov na každý uzol.
(d) Rovnaké polohy, rôzne atómy.
(e) Spinový.
(f) Náhodné preskokové členy.
– Typeset by FoilTEX – 12
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Realizácia náhodnej vzorky
Uvažujme najprv pre jednoduchost’ len
jednorozmerný systém, v ktorom sa
meńı potenciál celkom náhodne:
Takto vyzerajú tir náhodné retiazky.
Na prvý pohl’ad sú skoro rovnaké, ale
mikroskopicky sú úplne iné. Elektrón sa
v každej z nich ćıti inak.0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
n
W
Elektrón prichádza zl’ava, a budeme merat’ pravdepodobnost’, že prejde naprieč takýmto
systémom. Intuit́ıvne je jasné, že táto pravdepodobnost’ bude úmerná vodivosti.
– Typeset by FoilTEX – 13
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Ako sa meńı priepustnost’ takejto vzorky s d́lžkou
0 100 200 300 400 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tra
nsm
issi
on W = 1
0 100 200 300 400 500Length of the system N
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tra
nsm
issi
on W = 2
Vzorka pozostáva z retiazky N bariér náhodnej výšky. Je rozumné očakávat’, že
priepustnost’ vzorky bude prudko klesat’ s jej d́ľzkou.
Pridańım dodatočnej bariéry sa priepustnost’ systému môže niekedy zväčšit’.
– Typeset by FoilTEX – 14
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Dôvod: interferencia elektrónu samého so sebou
– Typeset by FoilTEX – 15
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Myšlienkový experiment
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100n
W
Zoberieme náhodnú vzorku, nájdeme jej vodivost’, a potom zmeńıme náhodnú energiu v
jedinom bode mriežky. Čo sa stane?
Aby to bolo zauj́ımaveǰsie, urob́ıme tento experiment v dvojrozmerných vzorkách.
– Typeset by FoilTEX – 16
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Dvojrozmerný dobre vodivý systém
0 20 40 60 80 1000
20
40
60
80
100
1 %10 %
zmena g ak zmenis eps(r) --> -eps(r) v bode r. W=2 g = 4.99835
Vo vzorke 100 × 100
sme postupne zmenili
znamienko jedinej
náhodnej energie.
Obrázok ukazuje, ako
táto zmena ovplyvnila
vodivost’.
Zmena vodivosti je
maličká, len o 1%.
Elektrón prechádza
celou vzorkou.
– Typeset by FoilTEX – 17
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Dvojrozmerný hořsie vodivý systém
0 20 40 60 80 1000
20
40
60
80
100
1 %10 %100 %
zmena g ak zmenis eps(r) --> -eps(r) v bode r. W=6 g = 0.00084086
Tu sa situácia
dramaticky meńı:
zmenou jedinej
náhodnej energie v
niektorých bodoch
zmeńıme vodivost’ o
viac ako 100% !
– Typeset by FoilTEX – 18
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Dvojrozmerný vel’mi slabo vodivý systém
0-200
-180
-160
-140
-120
-100
<ln
g>
2D_w20_100.g
vel’mi silno neusporiadaný systém je
temer nevodivý.
Meriam vodivost’ pre 10000 vzoriek,
Typická vodivost’ tohto je rádu
g ∼ e−133
Štatistika: nájdem vzorky s vodivost’ou
o dvadsat’ rádov väčšou, resp. menšou.
Vzorky sa ĺı̌sia len realizáciou
náhodného potenciálu, jeho fluktuácie
sú tie isté.
– Typeset by FoilTEX – 19
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Dvojrozmerný vel’mi slabo vodivý systém
-160 -140 -120 -100ln g
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05p(
ln g
)
Takto vyzerá typické
pravdepodobnostné
rozdelenie vodivosti v
silne neusporiadnaom
systéme.
– Typeset by FoilTEX – 20
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Dvojrozmerný vel’mi slabo vodivý systém
0 20 40 60 80 1000
20
40
60
80
100
0.01 %0.1 % 1 %10 %100 %
zmena g ak zmenis eps(r) --> -eps(r) v bode r. W=10
Ak je systém naozaj
silne neusporiadaný,
vyberie si elektrón
jednu dráhu.
– Typeset by FoilTEX – 21
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Dvojrozmerný vel’mi slabo vodivý systém
0 20 40 60 80 1000
20
40
60
80
100
1 % W=2010 % W=20 1 % W=10 10 % W=10
zmena logaritmu g ak zmenis eps(r) --> -eps(r) v bode r
. . . ale tá dráha nemuśı
tiect’ “udoĺım” ako tečie
rieka medzi horami.
– Typeset by FoilTEX – 22
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Dvojrozmerný vel’mi slabo vodivý systém
Uvažujme štatistický súbor 10.000 vzoriek, a pre každú z nich poč́ıtajme pravdepodobnost’
prechodu (transmisiu) elektrónu naprieč vzorkou.
-50 -40 -30 -20 -10ln g W = 10
-160
-140
-120
-100
ln g
W =
20
2D_w20_w10_100.g
porovnáme systémy s rôznou
neusporiadanost’ou: vzorky su
identické, len rozsah náhodnosti
je v tej druhej 2× väčš́ı. (W = 10
resp. W = 20).
Výpčet sme urobili 10000×.
Neexistuje žiadna korelácia medzi
źıskanými hodnotami!
– Typeset by FoilTEX – 23
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Napŕıklad:
Logaritmus pravdepodobnosti prejst’ vzorkou pre jednotlivé vzorky:
vzorka č. W=10 W=20
890 -32.4 -96.10
5657 -29.36 -160.0
Hoci je pravdepodobnost’ vždy malá, ĺı̌si s aod vzorky ku vzorke faktorom až e3 ≈ 30 pre
W = 10 (slabšia neusporiadanost’, ale pri silnej neusporiadanosti až faktorom e64 ≈ 1027.
– Typeset by FoilTEX – 24
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Absencia difúzie v neusporiadanom systéme
Častice aj vlny sa priestorom môžu vol’ne š́ırit’, pokial’ nenarazia na prekážky. častice sa
od prekážky odrazia, vlny sa rozptýlia.
rozptýlené časti v́ln vzájomne interferujú.
P. W. Anderson (1958): Ak sa vlna š́ıri v neusporiadanom (náhodnom) prostred́ı, môže sa
stat’, že “zastane” - nie je schopná pohybu.
– Typeset by FoilTEX – 25
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Časový vývoj
V čase t = 0 pridáme
elektrón do prostriedka
neuspriadanej mriežky a
sledujeme časový vývoj
vlnovej funkcie.
ih̄∂Ψ(~r, t)
∂t= HΨ(~r, t)
Ak je neusporiadanost’ dostatočne vel’ká, vlnový baĺık sa prestane “rozṕınat’” - elektrón je
lokalizovaný v konečnej časti systému.
– Typeset by FoilTEX – 26
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
λ=12
T=0.4 T0
= 83
– Typeset by FoilTEX – 27
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
λ=12
T=12 T0
=110
– Typeset by FoilTEX – 28
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
λ=12
T=20 T0
=134
– Typeset by FoilTEX – 29
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
λ=12
T=28 T0
=141
– Typeset by FoilTEX – 30
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
λ=12
T=36 T0
=123
– Typeset by FoilTEX – 31
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Pravdepodobnost’ návratu P = limt→∞ p(t) do východzieho bodu (Anderson 1958).
Taký systém nie je schopný viest’ elektrický prúd.
– Typeset by FoilTEX – 32
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Ergodická hypotéza
-2 -1 0 1 2Fermi energy
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tra
nsm
issi
on
0 200 400 600 800 1000realization of random energies
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tra
nsm
issi
on
V experimente nikdy nepriprav́ıme 10000 vzoriek, sme radi, ked’ máme jednu. Našt’astie,
zmena Fermiho energie (energie elektrónu) je ekvivalentná zmene vzorky!
– Typeset by FoilTEX – 33
Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia
Záver
• Kvantový charakter elektrónu je zodpovedný za nový jav: elektrónovú lokalizáciu
• Lokalizácia má štatistickú povahu, pretože je výsledkom interferencie mnohých odrazený
v́ln
Poznámka: pretože lokalizácia je daná vlnovou povahou pohybu kvantového elektrónu,
môžeme očakávat’, že podobne mô’zeme pozorovat’ lokalizáciu svetla.
– Typeset by FoilTEX – 34