u3 s8 Ecuaciones Diferenciales 1

Facultad de Ingeniería Semestre 2012-II

CURSO: CÁLCULO II

Tema :

ECUACIÓN DIFERENCIAL

Es importante recordar que una ecuación es una proposición matemática que

involucra una igualdad entre dos expresiones de cualquier índole, con la condición de

que estas expresiones contengan términos indefinidos. Estos términos son

expresiones, a veces llamadas incógnitas o indeterminadas, que representan algo (un

número, vector, matriz, función, etc.) que no tiene asignado un valor fijo, pero puede

ser sustituido, en teoría al menos, por cualquier valor apropiado.

Algunos valores convierten a la ecuación en una proposición falsa y otros en una

proposición verdadera (la ecuación conteniendo incógnitas no se puede calificar nunca

como falsa o verdadera, hasta que se sustituyen las incógnitas por valores apropiados);

a estos últimos valores se les llama soluciones de la ecuación.

Las leyes del universo están descritas en el lenguaje de las matemáticas. El álgebra es

suficiente para resolver muchos problemas estáticos, pero la mayoría de los

fenómenos naturales más interesantes involucra cambios descritos por ecuaciones que

relacionan cantidades que cambian.

Debido a que la derivada dx

f xdt

de la función f es la razón a la cual la cantidad

x f t está cambiando respecto de la variable t independiente, es natural que las

ecuaciones que involucran derivadas se usen frecuentemente para describir el

universo cambiante. Una ecuación que relaciona una función desconocida con una o

más derivadas se llama ecuación diferencial.

DEFINICIÓN: Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una o más

variables independientes con alguna variable dependiente y sus derivadas.

2 n

2 n

dy d y d yF x,y, , ,..., 0 1

dx d x d x

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.


Es decir, es una ecuación que contiene las derivadas de una función o variable

dependiente con respecto a una o más variables independientes.

Ejemplos:

1. dy

y xdx

2. cosy y x x

3. 2 2( ) ( ) 0x y dx x y dy

4. 3/ 23/ 22

1dy

y ydx

; Modelo del aprendizaje de una tarea en este caso y

representa el nivel de habilidad del estudiante como función del tiempo, las

constantes , dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.

5. 2 2

2

2 20

u uc

t x

; Cuerda vibrante y la propagación de ondas, donde t representa

el tiempo, x la posición a lo largo de la cuerda, c la rapidez de la onda y u el

desplazamiento de la cuerda, que es una función del tiempo y la posición.

6. 2

2

2

u uk

x t

, ecuación de calor o de difusión.

En la ecuación (1) y es la variable dependiente, y es una función desconocida que

depende de la variable independiente x, dy

dxrepresenta la primera derivada de y con

respecto a x.

ORDEN Y GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

El orden de una ED, es el orden de la derivada más alta que aparece en la

ecuación.

El grado de una ED, está dado por el exponente (GRADO) de la derivada de

mayor orden que aparezca en la ecuación.

Ejemplos:

1. 3 2

2

dx d xx xt sen t

dt dt

es de do2 orden y de er1 grado.

2. ( cos ) 0dy xy x dx es de 1er orden y de er1 grado.

3. 22

22 5 4 7

d y dyy x

dxdx es de do2 orden y de er1 grado.


4.

2 43

36

d dt t

dt dt

es de 3er orden y de 2do grado.

5. sen es de 1er orden y de er1 grado.

6. 22

42

d y dyy

dxdx es de do2 orden y de 4to grado.

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SEGÚN EL TIPO, ORDEN Y

GRADO

1. SEGÚN EL TIPO: se clasifican en: Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y

ecuaciones diferenciales parciales (EDP).

Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO): Esta ecuación diferencial contiene derivadas de

una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.

Ejemplos:

1. 2

2

d y dyx cos x

dxdx

2. 2

2

d gsen

Ldt

3. 1tx'' tx' e

4. 3 7 6dy

ydx

5. 3 4 0x y dx ydy

6. 5du dv

xdx dx

7. 2

23 5 8 0

d y dyy

dxdx

8. 01

2

2

qCdt

dqR

dt

qdL (Ecuación diferencial de la corriente eléctrica, donde q es

la carga eléctrica, R es la resistencia, L es la inductancia y C la capacitancia).

Ecuación Diferencial Parcial (EDP): Esta ecuación diferencial contiene derivadas

parciales de una o más variables dependientes, respecto a dos o más variables

independientes.

Ejemplos:

1. 02

2

y

z

x

z


2. )cos(xyVV yxx

3. 2

2

2

2

2

2

2

22 )(

t

w

z

w

y

w

x

wa

(Ecuación diferencial de la onda)

4. 0u v

y x

5. 2 3u u

x y ux y

6. 2

6 x yx y

2. SEGÚN EL ORDEN: se clasifican en ecuaciones de primer, segundo y tercer orden,

etc., según sea la mayor derivada que aparezca en la expresión. Ejemplo:

1. 2

4

dy xC

dx es de 1er orden.

2. 2

24 4 0

d y dyy

dx dx es de do2 orden.

3. 22

22 5 4 7

d y dyy x

dxdx es de do2 orden.

3. SEGÚN EL GRADO: Se clasifican en lineales (EDL) y no lineales (EDNL), siempre y

cuando la solución diferencial esté dada en forma de polinomio.

Ecuación diferencial lineal (EDL): esta ecuación diferencial tiene dos características

que la distinguen del resto:

a) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado.

b) Los coeficientes de la variable y y de sus derivadas dependen sólo de la variable

independiente x, o bien son constantes.

Su forma general es: 1

1 1 01( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )

n n

n nn n

d y d y dya x a x a x a x y F x

dx dx dx

Donde )(,)(,...,)(,)( 01 xFxaxaxa nn , depende sólo de la variable independiente x .

Si 0F x , la EDO se llama lineal homogénea.

Si 0F x , la EDO se llama lineal no homogénea.


Ejemplo:

3 23

3 24 2

d y d y dyy x

dx dx dx

Ecuación diferencial no lineal (EDNL): Todas las ecuaciones que no sean lineales son

no lineales.

Ejemplos:

1. 2

22 4 0

d y dyxy y

dx dx

2. 2

23 0

d y dyseny y

dx dx

Donde tanto la ecuación (1) como la (2) tienen coeficientes que no son sólo función

de la variable independiente x, y por lo tanto no son ecuaciones diferenciales

lineales.

Ejemplos:

1. 2 2 xx y y senx x y e , Edo. lineal de orden 2 no homogénea.

2. 2 2(1 ) 0x y xy , Edo. No lineal de orden 3 homogénea.

DEFINICIÓN: Decimos que una ecuación diferencial ordinaria de orden n está

expresada en forma implícita cuando tiene la forma: 2

2, , , ,..., 0

n

n

dy d y d yF x y

dx dx dx

Y decimos que está expresada en forma explícita cuando tenemos: 2 1

( )

2 1, , , ,...,

n nn

n n

d y dy d y d yy F x y

dx dx dx dx

ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Las ecuaciones diferenciales aparecen no solo a partir de conceptos puramente

matemáticos, sino también del intento de describir en términos matemáticos

problemas físicos en ciencias. Además, proporcionan un importante instrumento de

trabajo en áreas como la ingeniería y la economía.

1. Ley de enfriamiento de Newton: La razón de cambio del tiempo t (la razón de

cambio respecto del tiempo) de la temperatura T t de un cuerpo es


proporcional a la diferencia entre la temperatura T t del cuerpo y la temperatura

A del medio ambiente. Es decir:

dT

k T t Adt

ó dT

k A T tdt

Donde k es una constante positiva, t es la variable independiente y T la

dependiente

Obsérvese que si T A , entonces 0dT

dt , por lo que la temperatura es una

función decreciente de t y el cuerpo se está enfriando.

Pero si T A , entonces 0dT

dt , por tanto, T está aumentando.

Así, la ley física se traduce en una ecuación diferencial. Si damos valores a k y A,

podremos encontrar una fórmula explícita para T t , y entonces con la ayuda de

esta fórmula será posible predecir la temperatura que tendrá el cuerpo.

2. Dinámica de poblaciones de Malthus: La razón de cambio respecto del tiempo de

una población P t con tasa de natalidad y mortalidad constante es, en muchos

casos sencillos, proporcional al tamaño de la población. Esto es,

dPkP

dt

Donde k es la constante de proporcionalidad.

3. Problema Matemático:

Hállese la ecuación diferencial de la familia de curvas planas descritas:

a) Circunferencias de radio fijo r con centro en el eje x , siendo a arbitrario.

Solución:

La ecuación de la circunferencia es de la forma: 222)( ryax ,

Entonces 2 2x a r y . Derivando se tiene 22

'1

yr

yy

.

Por lo tanto: '22 yyyr ,

222 ))'(1( yyr

b) Parábolas que tienen sus vértices en el origen y sus focos sobre el eje y.

Solución

La ecuación de ésta familia de parábolas es: 2 4x py


Donde el vértice es V(0,0) y el foco F(0,p) como el parámetro es p entonces lo

eliminaremos.

De 2

4x

py

Derivando se tiene 2

2

20

xy x y

y

Entonces 22 0xy x y

2 0x y xy

0y xy

2y xy

4. Problema Físico: Una partícula de masa m se mueve a lo largo de una línea recta (el

eje x) mientras está expuesto a:

1) Una fuerza proporcional a su desplazamiento x de un punto fijo y dirigido hacia 0;

y

2) Una fuerza resistente proporcional a su velocidad.

Solución

La primera fuerza podemos representarla por xk1 y la segunda por dt

dxk2 ,

donde 21 ,kk son factores de proporcionalidad. La fuerza total (masa por

aceleración) igual a F es dado por:

dt

dxkxkF 21

dt

dxkxk

dt

xdm 212

2

.

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Definición: Una función se llama solución de una ecuación diferencial si al sustituir en

ella sus derivadas se satisfacen la igualdad.

Ejemplo: verificar que y x sen x c es solución de la ecuación diferencial 0y y

Solución:

Obteniendo sus derivadas:

y x cos x

y x sen x

Sustituyendo en la ecuación

diferencial: 0y y


0

0 0

sen x sen x

Nota: La gráfica de las soluciones de una ecuación diferencial son llamadas CURVAS

INTEGRALES.

Ejemplo: verificar que 1

cxy x e

x es solución de 0 xy y y ln xy

Solución:

Se tiene 1 cxy ex

. Derivando, obtenemos 1 1 cxy c ex x

De donde 1 1 1 1

ln ln cx cx cx cxxy y y xy x c e e e ex x x x

1 1

0

cx cxc e c ex x

Y la ecuación se satisface para todo 0x .

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Indicar el orden y grado de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales

a)

32

2

d y dyx xy senx

dx dx

b) 3/ 2

21 ( ) 0y y

c) 4

4

d xx t

dt

d) 3 2

1y y

e) 5/ 21/3 21 ( ) 0y k y

f) 2( . )0,

d t x dxt x x

dt dt

2. Diga si las ecuaciones diferenciales dadas son lineales o no lineales. Indique el orden

de cada ecuación.

a) (1 ) 4 5 cosx y xy y x

b) 43

32 0

d y dyx y

dx dx

c) 22 1yy y x

d) 2 ( ) 0xx dy y xy xe dx

e) 2

29

d yy seny

dx

3. Verificar que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales

indicadas:


a) 3 2 310 ; 2x x xdyy e e y e

dx

b) 1 2cos ; 2 cosx x x xy e x c e c xe y y y e x

c) 2 4 y cos x C ; 8dy

senxdx

d) 1 1

102 2

xy senx cos x e

; y y senx

e) ; cossenx

y xy y xx

f) 1 1; y

2

xy e e senx y senx

g) dy x

dx y; 2 2 4 0x y x

h) 2 2 2

10

; 2 1x

x t xy e e dt c e y xy

i) 0

; x sent

y x dt xy y xsenxt

4. Demuéstrese que si 1( )y y x e

2( )y y x son dos soluciones diferentes de la

ecuación 3 4 0y y y , entonces 1 2( ) ( )y Ay x By x también es una solución

siendo A y B constantes.


ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

La solución de una ecuación diferencial de primer orden es una herramienta

matemática que permite resolver diversos problemas de aplicación de la vida real,

desde un problema tan sencillo como el tiempo de vaciado de un tanque, hasta el

hecho de poder calcular la velocidad con que se disuelve un contamínate en el medio

ambiente.

La forma general de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es:

( , , ) 0F x y y

Si en esta ecuación es posible despejar y , resulta:

( , )y f x y

),( yxf

dx

dy

la cual puede también ser representada como: 0),(),( dyyxNdxyxM

donde M y N pueden ser funciones de x e y .

Ejemplo:

Dada la ecuación 22 yxdx

dy , también puede ser representada como

0)( 22 dydxyx ; en este caso 22),( yxyxM y 1),( yxN

1. ECUACIONES DIFERENCIABLES ORDINARIAS DE VARIABLE SEPARABLE.

Ecuación separable:

Si el lado derecho de la ecuación

( , )dy

f x ydx

se puede expresar como una función ( )g x que sólo depende de x, por una función

( )p y que sólo depende de y, entonces la ecuación diferencial es separable.

En otras palabras, una ecuación de primer orden es separable si se puede escribir en la forma:

( ) ( )dy

g x p ydx


Ejemplos:

1. La ecuación 2

2

1

dy x xy

dx y

es de variables separables, pues el lado derecho de

la ecuación se puede expresar como el producto de dos funciones una que depende

de x y la otra que depende de y, es decir:

2

2

1

dy yx

dx y

2. La ecuación xydx

dy 3 no es de variables separables.

Una ecuación diferencial de primer orden y primer grado

0),(),( dyyxNdxyxM …....………(1)

es de variables separables si M y N pueden descomponerse en factores de modo

que cada factor depende solamente de una variable, es decir:

0)()()()( 1221 dyygxfdxygxf ……………(2)

Ahora, si multiplicamos a (2) por

)()(

1

22 xfyg …………………………(3)

Obtenemos lo siguiente

0)(

)(

)(

)(

2

1

2

1 dyyg

ygdx

xf

xf ………………………... (4)

A la ecuación (4) se le denomina ecuación diferencial ordinaria de variable separable

y la solución se obtiene por integración, es decir:

Cdyyg

ygdx

xf

xf )(

)(

)(

)(

2

1

2

1

donde C es la constante de integración.

Nota: A la expresión en (3) se le denomina factor integrante.

Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

1. 0)1()1( 22 dyyxydxx

Solución El factor integrante en este caso es:

2

1

yx


Luego, la ecuación en variables separables será:

01)1(

2

2

dyy

ydx

x

x

Integrando se tiene:

Cdyy

ydx

x

x

1)1(2

2

de donde tenemos :

Cyyx

xx ln1

ln2

2. 0)1()1( 22 dyxydxyx

Solución

El factor integrante en este caso es: )1)(1(

1

xy

Luego, nuestra ecuación en variable separable será:

011

22

dyy

ydx

x

x

Integrando se tiene

Cdyy

ydx

x

x

11

22

Por lo tanto, la solución es:

Cyyy

xxx

1ln2

1ln2

22

3. dyxydxxdy 24

Solución: Podemos ver que la ecuación dada se puede escribir en la siguiente forma:

0)4( 2 ydxdyxx

La ecuación en variable separable es

0)4(

y

dy

xx

dx

Aplicando integración en la ecuación

Cy

dy

xx

dx

)4(

Se tiene:

1ln ln

4 4

xy C

x

4

4

xy K

x


4. Resolver ydye cos x

dx

Solución

de ydye cos x

dx

se tiene: ye dy cos x dx

Entonces: 0ye dy cos x dx

De esto obtenemos: ye sen x +C entonces

y ln sen x +C

Nota: Debemos notar que estamos obteniendo una familia de soluciones, pues para

cada constante C, se tiene una solución. A esta familia de soluciones se llama solución

general.

DEFINICIÓN: Un problema de valor inicial para una EDO de 1er orden, consiste en

resolver una EDO de orden 1 que además tiene una condición inicial de la forma

0 0y x y , con

0 0x , y fijos.

Ejemplo:

resolver

0 1

ydye cos x

dx

y

Solución:

Por el ejercicio 5 sabemos que y ln sen x +C es

la solución general.

Ahora si 0 1y , tenemos: 0 0y ln sen +C

1 ln C

Entonces 1C e e

Por lo tanto y x ln sen x +e . La cual es una

solución particular.


5. Encontrar la solución particular de la ecuación diferencial: 3 2(1 ) 0x dy x ydx

que satisfaga las condiciones x=1; y=2, es decir 1 2y

Solución

Separando variables tenemos:

2

30

1

dy xdx

y x

2

3ln

1

dy xdx C

y x

3

1

1ln ln(1 ) ln

3y x C

3

13ln ln(1 ) 3lny x C

3

3ln ln

1

yC

x

Solución general: 3 3(1 )y C x

De la condición del ejercicio para x=1; y=2, se tiene C=4. Por lo tanto, la solución

particular es:

3 34(1 )y x


APLICACIÓN: Crecimiento poblacional de bacterias

Cuando se estudia el crecimiento de una población se consideran tanto los organismos

que nacen como los que mueren y los que migran. Si P representa a la población en

cualquier instante, y M representa el incremento neto resultante de restar los

organismos que emigran de los que inmigran, entonces la tasa de crecimiento de la

población de estos organismos está dado por:

. .............(1)dP

kP Mdt

Ejemplo: Un biólogo cuenta con una población inicial de 100 bacterias, y en el período

que está considerando observó que no hubo migración de organismo. Determinar la

población de bacterias que se tendrá una vez que han transcurrido 5 días, si sabe que

después de 3 días tiene una población de 150 organismos.

Solución:

La ecuación diferencial (1) modela la velocidad de crecimiento de una población

bacteriana, y se puede resolver por el método de separación de variables

0dP

kPdt

dPkdt

P

Al integrar, se obtiene: 1ln P kt C

O bien 1kt CP e

1

C kt

kt

P e e

Ce

Por lo tanto se tiene: ktP Ce …………………. (2)

- Para obtener el valor de C se utiliza la condición inicial (0) 100P

(0)100 kCe

de donde se obtiene 100C

y la ecuación (2) queda como: 100 ktP e


- El valor de k se puede obtener con la condición que después de 3 días (t=3) tiene

una población de 150 organismos, esto es (3) 150P

(3)150 100

1 150 ln

3 100

ke

k

Por lo tanto la población en cualquier instante t es:

1 150ln

3 100 100t

P e

Ahora si estamos en posibilidad de calcular la población de bacterias una vez que han

transcurrido 5 días (t=5):

1 150ln 5

3 100 100 196.5556P e

Así la población de bacterias después de que han transcurrido 5 días será de 197

bacterias.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En los siguientes problemas verificar que y x satisface la ecuación diferencial

dada. Después determinar un valor de la constante C, talque y x satisfaga la

condición inicial dada.

a) 0 0 2xy y ; y x Ce ; y

b) 22 0 3xy y; y x Ce ; y

c) 1 1 0 5xy y ; y x Ce ; y

d) 1 0 10xy x y; y x Ce x ; y

e) 323 0 0 7x

y x y ; y x Ce ; y

f) 5 5 313 2 2 1

4

dyx y x ; y x x Cx ; y

dx

2. Hallar la solución de las siguientes ecuaciones:

1.- 2 0y xy 2.- 22 0y xy

3.- 3

1

rd

dr

4.- y ysenx


5. 22 1xy y 6.-

2

2

cos3 rr

r

ee

senesen

d

dr

7.- 22( ) 0xx xy dx e y dy 8.- 0cos1 dxsenxyedyy x

9.- ; (0) 2xdyye y e

dx 10.- 2 23 ( 1); (0) 1

dyx y y

dx

11.- 0)1(cos)1( dysenxexdxe yy 12.- yey

xx

dx

dy

cos

126 5

13.- 0)1)(1()1)(1( dxyxdyyx 14.- 0)( dxyydyyxx

15.- 2

2

1

sec

x

y

dx

dy

16.- 0)()4( 22 dyyxydxxyx

17.- 0)2()22( 2 dyxxdxyxxy 18.- 0)(22 ydyedxxyx x

19.- 1)0(;0)1()1( 426 ydyxydxyx 20.- 4ln)2(;0ln' yyxxy

21.- 0ln xdydxyy y(1)=1. 22.- xydx

dycos12

3. Resolver los siguientes problemas

1) De acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, si un objeto a temperatura T

se introduce en un medio con temperatura constante A, entonces la razón de

cambio de T es proporcional a la diferencia de temperatura A-T, esto produce la

ecuación diferencial ( )

( )

dTk A T

dt

k T A

a) Resuelva la ecuación diferencial en términos de T.

b) Sea T la temperatura en (ºF) de un objeto en una habitación cuya

temperatura se conserva constante a 60º. Si la temperatura del objeto baja

de 100º a 90º en 10 minutos, ¿cuánto tiempo se requerirá para bajar la

temperatura a 80º?

2) Un panadero desea conocer el tiempo que debe esperar para poder aplicar el

betún aun pastel. Si el panadero extrae del horno el pan a 220ºC, observa que

después de que han transcurrido 10 minutos tiene temperatura de 190ºC, y


para poder aplicar el betún requiere que la temperatura máxima sea de 150ºC.

Determinar el tiempo mínimo de espera para poder aplicar el betún al pan, si la

temperatura del medio ambiente es de 18ºC.

3) Interés compuesto. Si P(t) es la cantidad de dinero en una cuenta de ahorros

que paga una tasa de interés anual de r% compuesto continuamente, entonces

, años100

dP rPt

dt

Suponga que el interés es de 5% anual, P(0)=$1000 y que no hay retiros.

a) ¿cuánto dinero habrá en la cuenta después de 2 años?

b) En qué momento tendrá la cuenta $4000

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