Click here to load reader

U7-Multiplicacion y Division de Fracciones

  • View
    212

  • Download
    3

Embed Size (px)

Text of U7-Multiplicacion y Division de Fracciones

Gua para maestros - Matemticas 60 grado

1

Unidad

Multiplicacin y divisin de fracciones

(16 horas)

Expectativas de logro

Aplican las propiedades bsicas de la multiplicacin. Resuelven problemas de la vida real que implican fracciones. Usan la calculadora o computadora para comprobar multiplicaciones y divisiones con fracciones.

Relacin y desarrolloCuarto GradoCapacidad Fundamento de la medicin de la capacidad Comparacin directa e indirecta de capacidades Unidades ociales ml de capacidades y sus relaciones Adicin y sustraccin de capacidades con las unidades ociales

Quinto GradoDivisibilidad de Nmeros Mltiplo de un nmero Mnimo Comn Mltiplo de dos nmeros Divisores de un nmero Nmeros primos y compuestos Descomposicin de un nmero en factores que son nmeros primos Mximo Comn Divisor de dos nmeros

Sexto GradoDivisibilidad de Nmeros

Fracciones Cantidad menor que 1 en forma fraccionaria Estimacin del concepto de nmero fraccionario para representar situaciones de la vida real

Adicin y Sustraccin de fracciones Adicin de fracciones cuyos denominadores sean diferentes Sustraccin de fracciones cuyos denominadores sean diferentes

Fracciones Concepto y construccin numeral de una fraccin Fracciones equivalentes Reduccin de fracciones a su mnima expresin Comparacin de dos fracciones Adicin de dos fracciones que tienen el mismo denominador Sustraccin de dos fracciones que tienen el mismo denominador Fracciones propias, impropias y mixtas Transformacin de fracciones impropias en fracciones mixtas Transformacin de fracciones mixtas en fracciones impropias

Multiplicacin y Divisin de fracciones Multiplicacin de una fraccin por un nmero natural Multiplicacin de dos fracciones Multiplicacin de una fraccin mixta por un nmero natural Multiplicacin de tres fracciones Divisin de una fraccin entre un nmero natural Divisin de dos fracciones Divisin de una fraccin mixta entre un nmero natural

86

Unidad 7 - Multiplicacin y divisin de fracciones

Plan de estudioLeccin

(16 horas) Distribucin de horas1/1

Contenidos Representar el cociente de la divisin de nmeros naturales con fraccin Fraccin propia x nmero natural Fraccin propia nmero natural Sentido de la multiplicacin por una fraccin Fraccin propia x fraccin propia Simplicacin en el proceso de la multiplicacin Nmero natural x fraccin propia Fraccin mixta x fraccin mixta rea del rectngulo y de las otras guras La relacin de dimensin entre el multiplicando y el producto Propiedades de la multiplicacin Multiplicacin de tres fracciones Sentido de la divisin entre una fraccin Fraccin propia fraccin propia Simplicacin en el proceso de la divisin Nmero natural fraccin propia Fraccin mixta fraccin mixta La relacin de dimensin entre el dividendo y el cociente Divisin y/o multiplicacin de ms de dos fracciones Conversin de multiplicacin y/o divisin de nmeros naturales, decimales y/o fracciones en multiplicacin de fracciones

1. Representemos el cociente con fraccin (1 hora) 2. Multipliquemos y dividamos fracciones (2 horas) 3. Multipliquemos fracciones (7 horas)

1/2 2/2 1/7 2/7

3/7 4/7 5/7 6/7~7/7 4. Dividamos fracciones (5 horas) 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5

Ejercicios (1 hora)

1/1

Ejercicios

Gua para maestros - Matemticas 60 grado

87

Puntos de leccinRecordemos Para que surjan ideas acerca de la forma de multiplicar y dividir fracciones de parte de los nios y las nias, se hace un repaso de las siguientes propiedades de la multiplicacin y de la divisin:

natural, porque se puede considerar que est repetida tantas veces cierta cantidad (est dividida en tantas partes iguales) y puede servir como una introduccin al tema de la multiplicacin (divisin) por (entre) una fraccin. Segundo, se espera que surjan las ideas para encontrar el resultado de parte de los nios y las nias sin necesidad de darles muchas sugerencias. Enseanza de la multiplicacin Sentido de la operacin Como en el caso de los nmeros decimales, se puede usar la tcnica de las casillas. l de pintura para Ejemplo: Si se utiliza(n) trazar 1 m de lnea, cuntos litros de pintura se utilizarn para trazar m de lnea? Se sustituyen nmeros en las casillas:

Leccin 1: Representemos el cociente con fraccinSe trata de expresar el cociente de una divisin de nmeros naturales con una fraccin. Como se han enseado fracciones como nmeros que representan cantidades que no son mltiplos enteros de una unidad de medida, hay que ensear el tema relacionando con alguna cantidad y utilizando la grca. Ejemplo: Dividir una cinta de 2 m de longitud en 3 partes iguales. PO: 2 3

Despus se conrma que (cantidad de pintura en 1 m) x (longitud de la lnea) = (cantidad total de pintura). Forma del clculo

Si se hubiera enseado este tema en 5to grado, se habra podido tratar la conversin de fracciones en nmeros decimales con la divisin.

Explicacin de (a)

x2

Leccin 2: Multipliquemos y dividamos fraccionesEn esta leccin se trata la forma de multiplicar (dividir) una fraccin por (entre) un nmero natural. Si se utiliza la tcnica de la grca, se puede ensear directamente el clculo por (entre) una fraccin. Las razones por las cuales se ha puesto esta leccin son: Primero, es fcil entender el sentido de la multiplicacin (divisin) por (entre) un nmero

,

88

Unidad 7 - Multiplicacin y divisin de fracciones

(b) Propiedad de la multiplicacin

(b) Propiedad de la divisin

(c) Sentido de la fraccin En en hay 4 veces , por lo tanto .

(c) Sentido de la fraccinEn hay 4 veces . Si se divide en 3 . partes iguales, cada parte mide Por lo tanto si se divide parte mide .

x 2 hay 4 x 2 veces

Enseanza de la divisin Sentido de la operacin l de pintura para Ejemplo: Si se utiliza(n) trazar m de lnea, cuntos litros se utilizarn para 1 m de lnea? Se sustituyen nmeros en las casillas. 6 l, 3 m PO: 6 3 l, 3 m PO: 3

en 3 partes, cada

(d) Fraccin equivalente, es decir en veces . en 3 partes iguales, cada parte hay 12

Si se divide

Despus se conrma que (cantidad total de pintura) (longitud de la lnea) = (cantidad de pintura en 1 m). Forma del clculo

mide 12 3 = 4, 4 veces , o sea . En la clase es importante tratar de sacar las ideas de los nios y las nias en vez de ensear la forma mecnicamente. En el CT se utiliza la manera (a).

Leccin 3: Multipliquemos fraccionesExplicacin de 3 Como en el caso de los nmeros decimales y en la leccin anterior, el sentido de la operacin y la forma del clculo se ensean de la siguiente manera. Sentido de la operacin En la misma situacin que la leccin anterior, se sustituyen fracciones en las casillas:

(a)

Los docentes tienen que estar concientes que la situacin donde se multiplica por una fraccin es totalmente nueva para los nios y las nias y no es fcil entenderla. Forma del clculo

Gua para maestros - Matemticas 60 grado

89

Explicacin de (a)

2)

Nmero natural por fraccin [C] Para calcular en la forma de fracciones, se convierte el nmero natural en una fraccin impropia cuyo denominador es 1. Ejemplo: Pero es ms rpido multiplicar el nmero natural por el numerador de la fraccin. Ejemplo:

3)

Fraccin mixta por fraccin mixta [D] Se convierten las fracciones mixtas en impropias y se calcula como en el caso de las fracciones propias. Ejemplo:

(b) Propiedad de la multiplicacin El mecanismo de este clculo se puede ensear con la siguiente grca.

(c)

Uso de la situacin del problema La cantidad de pintura para cantidad para m es 2 veces la m, que se calcula dividiendo

la cantidad para 1 m entre 3, por lo tanto,

1)

Despus de ensear la forma general de la multiplicacin de fracciones propias, se ensean los siguientes puntos: Simplicacin [B] [H]: Es mejor simplicar antes de multiplicar. Ejemplo:

Posibles equivocaciones:

90

Unidad 7 - Multiplicacin y divisin de fracciones

Hay que corregir este error explicando que los productos 1 x 2 y x corresponden a las y partes indicadas en la grca de arriba y que faltan las partes que corresponden a 1 x a 4) x 2.

La frmula del rea del rectngulo [E] En 5to grado se ensea la frmula del rea del rectngulo largo x ancho con rectngulos cuyas medidas de los lados se dan con nmeros naturales y en la unidad 3 de este grado, se ensea que esta frmula tambin se aplica a rectngulos cuyas medidas de los lados se dan con nmeros decimales. En esta unidad se extiende el rango de la frmula a las fracciones. Como se ense la forma de la multiplicacin con la grca, los nios y las nias lo podrn entender fcilmente.

Tambin estas propiedades son vlidas con las fracciones. En esta unidad estn explicadas la primera y la tercera con la grca de rectngulo. Con el concepto de volumen, por ejemplo, que se ensea en la siguiente unidad, se puede explicar la segunda. Hay que estar conscientes que la segunda propiedad es la razn por la cual se omiten los parntesis en la multiplicacin de ms de dos nmeros.

Leccin 4. Dividamos fraccionesSentido de la operacin Igual que el ejemplo de la Leccin 2, se sustituyen las fracciones en las casillas: Forma del clculo

5)

El caso donde el multiplicador es menor que 1 [F] Como en el caso de los nmeros decimales, si el multiplicador es menor que 1, el producto es menor que el multiplicando, lo cual se puede explicar con una grca como se hizo antes.

Explicacin de

(a)

6)

Propiedades de la multiplicacin [G]

vecesGua para maestros - Matemticas 60 grado

91

(b) Propiedad de la divisin

2. Nmero natural fraccin [C] Se calcula como en el caso de la multiplicacin. Ejemplo:

(c) Uso de la situacin del problema Como l es la cantidad para m, 3 es la cantidad para m. Multiplicndolo por 4,

3)

se obtiene la cantidad para 1 m:

Fraccin mixta fraccin mixta [D] Como en el caso de la multiplicacin, primero se convierten en fracciones impropias. Ejemplo:

Variante: Multiplicando por 4, se encuentra la cantidad para 3 m. Dividindolo entre 3, se obtiene la cantidad para 1 m.

4)

El caso donde el divisor es menor que 1 [E] Como en el caso de los nmeros decimales, si el divisor es menor que 1, el cociente es mayor que el dividendo, lo cual se puede explicar con una grca como se hizo anteriormente.

1)

Despus de ensear la forma general de la divisin de fracciones propias, se ensean los siguientes puntos: Simplicacin [B] Como en el caso de la multiplicacin es mejor simplicar antes de multiplicar.

5)

Clculos con nmeros naturales y decimales [F] Como los nmeros naturales y decimales se

92

Unidad 7 - Multiplicacin y divisin de fracciones

pueden expresar como fracciones y la divisin de fracciones se puede expresar como una multiplicacin, la multiplicacin y la divisin de estos nmeros se pueden calcular como multiplicacin de fracciones. Ejemplo:

Gua para maestros - Matemticas 60 grado

93

Desarrollo de clases1. Leer el problema, captar la situacin y escribir el PO. [A1] 2. Entender que no se puede expresar exactamente con un nmero decimal hasta las milsimas. 3. Tratar de representar el cociente con fraccin. [A2] M: Vamos a dibujar dos recipientes de 1 l de capacidad. * Lo esencial es dividir en 3 partes iguales cada 1 l.Contina en la siguiente pgina

Leccin 1: (1/1)

Representemos el cociente con fraccinrales con fraccin.

Objetivo: Expresar el cociente de la divisin de nmeros natuMateriales:

94

Unidad 7 - Multiplicacin y divisin de fracciones

Leccin 1: (1/1)

Representemos el cociente con fraccin[Continuacin]

viene de la pgina anterior

4. Representar el cociente de 5 3 con fraccin. [A3] * Se espera que los nios y las nias utilicen la grca como se hizo anteriormente. 5. Confirmar la forma de representar el cociente con fraccin. 6. Resolver y .

Gua para maestros - Matemticas 60 grado

95

1. Leer el problema, captar su sentido y escribir el PO. [A1] * En cuanto a la manera de presentar el problema, vase Notas. 2. Conrmar que (cantidad de pintura en 1 m) x (longitud de la lnea) = (cantidad total de pintura). 3. Tratar de encontrar el resultado consultando la grca. [A2] * Si los nios y las nias tienen dicultad en entender el sentido de la grca, se puede presentar la situacin usando nmeros naturales como las palabras de Kike. * Habrn nios o nias que quieran usar el procedimiento +

Leccin 2: (1/2)

Multipliquemos y dividamos fracciones

Objetivo: Multiplicar una fraccin por un nmero natural. Materiales:

. Despus de elogiarlos, se les indica que piensen con la grca. * El producto se puede expresar en la forma de fraccin mixta o impropia. * En cuanto a las otras maneras, vase Puntos de leccin. 4. Presentar las ideas y discutir sobre ellas. 5. Conrmar la forma del clculo. 6. Resolver . Como en el caso de los nmeros decimales y explicado en Puntos de leccin, se puede presentar la situacin con casillas en vez de los nmeros y despus sustituirlas por los nmeros.

96

Unidad 7 - Multiplicacin y divisin de fracciones

Leccin 2: (2/2)

Multipliquemos y dividamos fracciones

Objetivo: Dividir una fraccin por un nmero natural. Materiales:

1. Leer el problema, captar la situacin y escribir el PO. [B1] * Vase Notas de la clase anterior. 2. Confirmar que (cantidad total de pintura) (longitud de la lnea) = (cantidad de pintura en 1 m) 3. Tratar de encontrar el resultado consultando la grca. [B2] * Si los nios y las nias tienen dicultad en entender el sentido de la grca, se puede representar la situacin usando nmeros naturales como las palabras de Kike. * En cuanto a las otras maneras, vase Puntos de leccin. 4. Presentar las ideas y discutir sobre ellas. 5. Conrmar la forma del clculo. 6. Resolver .

Gua para maestros - Matemticas 60 grado

97

1. Leer el problema, captar la situacin y escribir el PO. [A1] * Se puede aplicar la tcnica de la casilla, explicada en Notas de la primera clase de la leccin anterior. Que conrmen la relacin entre cantidades con palabras. 2. Pensar en la razn por la cual se puede encontrar la respuesta con la multiplicacin. 3. Presentar las ideas y discutir sobre ellas. 4. Pensar en la forma de calcular. [A2] * Si no surge alguna idea, los nios y las nias pueden consultar las ideas del CT.Contina en la pgina siguiente

Leccin 3: (1/7)

Multipliquemos fraccionescin y realizar el clculo: fraccin propia x fraccin propia.

Objetivo: Conocer el sentido de la multiplicacin por una frac-

Materiales:

98

Unidad 7 - Multiplicacin y divisin de fracciones

Leccin 3: (1/7)

Multipliquemos fracciones[Continuacin]

viene de la pgina anterior

5. Presentar las ideas y discutir sobre ellas. 6. Conrmar la forma del clculo. * Se puede dar un problema ms, cambiando los datos del problema [A], y hacer que los nios y las nias den una explicacin sobre la forma del clculo. 7. Resolver .

Gua para maestros - Matemticas 60 grado

99

1. Calcular

. [B]

Leccin 3: (2/7)

Multipliquemos fracciones

2. Presentar las formas y discutir sobre ellas. RP: Sin simplicacin. - Simplicacin despus de la multiplicacin. - Simplicacin antes de la multiplicacin. Que se den cuenta que si se simplica antes de multiplicar, se reduce la dimensin de los nmeros. 3. Resolver .

Objetivo: Conocer la forma de simplicacin y la forma de multiplicar un nmero natural por una fraccin propia.

Materiales:

. [C] 4. Calcular 3 x * Lo esencial es convertir el nmero natural en una fraccin impropia cuyo denominador es 1. 5. Resolver * , y .

Sin simplicacin Con simplicacin El producto es un nmero natural

100

Unidad 7 - Multiplicacin y divisin de fracciones

Leccin 3: (3/7)

Multipliquemos fracciones

1. Pensar en la forma de multiplicar fracciones mixtas. [D] 2. Presentar las ideas y discutir sobre ellas. RP: (Es una equivocacin. Hay que explicar el porqu usando la grca.) 3. Conrmar la forma de multiplicar fracciones mixtas. 4. Resolver * y .

Objetivo: Multiplicar fracciones mixtas. Materiales:

Sin simplicacin Con simplicacin

Gua para maestros - Matemticas 60 grado

101

1. Pensar en la manera de encontrar el rea de un rectngulo. [E] 2. Presentar las ideas y discutir sobre ellas. 3. Conrmar que se aplica la frmula del rea utilizando la grca. Que se den cuenta de la similitud entre las grcas utilizadas en las primeras clases de esta unidad y las presentadas aqu. 4. Resolver .

Leccin 3: (4/7)

Multipliquemos fracciones

Objetivo: Aplicar la misma frmula del rea aun cuando la medida est dada en fracciones.

Materiales:

102

Unidad 7 - Multiplicacin y divisin de fracciones

Leccin 3:

Multipliquemos fracciones

1. Leer el problema y escribir el PO. [F] 2. Adivinar cul de los productos es menor que 12. 3. Conrmar con el clculo y explicar la razn usando la grca. Que reconozca las partes de la grca que corresponden al multiplicando, al multiplicador y al producto. 4. Conrmar que en la multiplicacin de fracciones, el producto es menor que el multiplicando si el multi-plicador es menor que 1, como en el caso de los nmeros decimales. 5. Resolver .

Objetivo: Conrmar que, si el multiplicador es una fraccin pro(5/7) pia, el producto es menor que el multiplicando. Objetivo: Calcular aplicado las propiedades de la multiplica(6/7~7/7) cin. Materiales: Multiplicar tres fracciones.

[Hasta aqu 5/7] [Desde aqu 6/7~7/7] 1. Calcular la multiplicacin de dos fracciones en diferente orden de factores. [G1] Que se den cuenta que la propiedad conmutativa de las fracciones se deduce de la misma propiedad de los nmeros naturales.Contina en la siguiente pgina

Gua para maestros - Matemticas 60 grado

103

viene de la pgina anterior

2. Calcular la multiplicacin de tres fracciones en diferente orden. [G2] Que recuerden que se puede cambiar el orden del clculo igual que en el caso de los nmeros naturales. 3. Calcular de dos maneras el rea de la unin de dos rectngulos. [G3] 4. Conrmar que tres propiedades de la multiplicacin son vlidas con las fracciones. * Las frmulas representan la propiedad conmutativa, asociativa y distributiva respectivamente. No se ensean estos trminos.Contina en la siguiente pgina

Leccin 3: (6/7~7/7)

Multipliquemos fracciones[Continuacin]

104

Unidad 7 - Multiplicacin y divisin de fracciones

Leccin 3: (7/8~8/8)

Multipliquemos fracciones[Continuacin]

viene de la pgina anterior

5. Conrmar que se omiten los parntesis en la multiplicacin de ms de dos nmeros y que se puede calcular en cualquier orden. 6. Calcular aplicando las propiedades anteriores . * (1) Primero se multiplica . (2) Primero se multiplica .

7. Confirmar que cuando se multiplica por 1 el valor no cambia. 8. Comparar la forma de multiplicar tres fracciones. [H] 9. Conrmar que se simplica antes de multiplicar. 10. Resolver .

11. Resolver . * El motivo de este ejercicio es reforzar la habilidad de multiplicar fracciones antes de pasar a la divisin.

Gua para maestros - Matemticas 60 grado

105

1. Leer el problema, captar la situacin y escribir el PO. [A1] * Como en el caso de la multiplicacin se puede utilizar la tcnica de la casilla. 2. Pensar en la razn por la cual se puede encontrar la respuesta con la divisin. 3. Presentar las ideas y discutir sobre ellas. 4. Pensar en la forma de calcular. [A2] * Si no surge alguna idea, los nios y las nias pueden consultar las ideas del CT.Contina en la pgina siguiente

Leccin 4: (1/5)

Dividamos fracciones

Objetivo: Conocer el sentido de la divisin entre una fraccin yrealizar el clculo: fraccin propia fraccin propia.

Materiales:

106

Unidad 7 - Multiplicacin y divisin de fracciones

Leccin 4: (1/5)

Dividamos fracciones[Continuacin]

viene de la pgina anterior

5. Presentar las ideas y discutir sobre ellas. 6. Conrmar la forma del clculo. * Se puede dar otro problema ms, cambiando los datos del problema [A] y hacer que los nios y las nias den una explicacin sobre la forma del clculo. 7. Resolver .

Gua para maestros - Matemticas 60 grado

107

1. Calcular

. [B]

Leccin 4: (2/5)

Dividamos fracciones

2. Presentar las formas y discutir sobre ellas. RP: Sin simplicacin. Simplicacin despus de la multiplicacin. Simplicacin antes de la multiplicacin. Que apliquen lo aprendido en la leccin 3. 3. Resolver 4. Calcular . . [C]

Objetivo: Conocer la forma de simplicacin y la forma de dividirun nmero natural entre una fraccin.

Materiales:

* Lo esencial es convertir el nmero natural en una fraccin impropia cuyo denominador es 1. 5. Resolver * , y .

Sin simplicacin Con simplicacin El cociente es un nmero natural

108

Unidad 7 - Multiplicacin y divisin de fracciones

Leccin 4:

Dividamos fracciones

Objetivo: Dividir fracciones mixtas. (3/5) Objetivo: Conrmar que si el divisor es una fraccin propia, el (4/5) cociente es mayor que el dividendo. Materiales:

1. Pensar en la forma de dividir fracciones mixtas. [D] Que apliquen la experiencia obtenida en la leccin 3. 2. Presentar las ideas y discutir sobre ellas. 3. Conrmar la forma de dividir fracciones mixtas. 4. Resolver * y .

Sin simplicacin Con simplicacin

[Hasta aqu 3/5] [Desde aqu 4/5] 1. Leer el problema y escribir el PO. [E1] 2. Adivinar cul de los cocientes es mayor que 15. [E2] 3. Conrmar con el clculo y explicar la razn con la grca. 4. Conrmar la conclusin.Contina en la siguiente pgina

Gua para maestros - Matemticas 60 grado

109

viene de la pgina anterior

5. Resolver

.

Leccin 4: (4/5)

Dividamos fracciones[Continuacin]

[Hasta aqu 4/5] [Desde aqu 5/5]

Objetivo: Dividir y/o multiplicar ms de dos fracciones y realizar (5/5) clculos con nmeros decimales convirtindolos enfracciones.

Materiales:1. Calcular . [F] Que lo conviertan en la multiplicacin de tres fracciones. 2. Resolver .

3. Calcular 0.9 6 x 5 x 2.7 en la forma de fraccin. [G] Que se den cuenta que hay ca-sos donde se puede simplicar. Que se den cuenta que, un procedimiento donde hay multiplicacin y/o divisin de nmeros naturales, decimales y/o fracciones se puede convertir en un procedimiento de mul-tiplicacin de fracciones. 4. Resolver .

110

Unidad 7 - Multiplicacin y divisin de fracciones

Unidad 7: (1/1)

Ejercicios

Los ejercicios tratan sobre: Multiplicacin de fracciones Divisin y multiplicacin de fracciones Problemas de aplicacin * Multiplicacin: (1), (4) Divisin: (2), (3), (5)

Objetivo: Conrmar lo aprendido. Materiales:

Gua para maestros - Matemticas 60 grado

111