Učbenik

UNIVERZITET U BEOGRADU

Momcilo Pataric

Aleksandar Stojanovic

POMERANJE POTKOPANOGTERENA I ZASTITA

OBJEKATA 00RUDARSKIH RADOVA

RUDARSKO-GEOL05KI FAKULTET

Beograd, 1994.

Dr MomCilo Pataric, redovni profesorDr Aleksandar Stojanovic, redovni profesorRudarsko-geoloSki fakultet u Beogradu

POMERANJE POTKOPANOG TERENA IZASTITA OBJEKATA OD RUDARSKIH RADOVA

YU ISBN 86-80887-45-5

Recezenti:Prof Dr Petar MilanovicProf Jovan Sutic

Izdaje: Rudarsko-geoloski fakultet, Beograd, Dusina 7

Knjiga je kao monografija odobrena za stampanje od Komisije za izdavackudelat.nost Rudarsko-geoloskog fakult.eta u Beogradu resenjem br. 5/94.

U fiu8nsiranju ave knjige ucestvavalo jeMinistarstvo za nauku i tehnologiju Republike Srbije - Beograd.

Tehnieki urednik: Mr Zorka Bulatovie

Tiraz: 250 primerakaStampa: "MST Gajie" , Beograd

eIP - KaTaJIOrH3aUHja y ny6mIKaUHjHHapo)lHa 6H6JIHOTeKaCp6Hje, Beorpa,n;

622.83

IIATAPMli, MOMt.IHJIOPomeranje potkopanog terena i zaStita objekata od rudarskih radova / MomCilo

Patarie, Aleksandar Stojanovic. - Beograd : Rudarsko -geoloski fakultet, 1994(Beograd: MST Gajie). - VIII, 298 str. : graf. prikazi ; 24 em

Na vrhu nasI. str.: Univerzitet u Beogradu. -

Tiraz 250. -Bibliografija: str. 293-298ISBN 86-80887-45-5

1. CTojaHoBHn AJIeKcaH,n;ap622.1

a) Py,n;HHUH- IIoMepaIbe CTeHa 5) Py,n;apcKa MepeIbaID=31766540

Sva prava zadrzava izdavacBeograd 1994. godina

Sadrzaj

1. OPSTA RAZMATRANJA 1

1.1. Dvod, istorijski prikaz 1

1.2. Pojmovi, definicije, oznake 8

1.2.1. .Pomeranje 8

1.2.1.1. Uleganje 9

1.2.1.2. Horizontalno pomeranje 10

1.2.2. Deformacije 10

1.2.2.1. Nagib 11

1.2.2.2. Krivina 11

1.2.2.3. Horizontalne deformacije 12

1.2.3. Uglovni parametri 12

1.2.3.1. Granicni uglovi 12

1.2.3.2. Uglovi sigurnosti 15

1.2.3.3. Uglovi pukotina 15

1:2.3.4. Uglovi punih pomeranja '.' , 16

1.2.3.5. Ugao maksimalnog uleganja 16

1.3. Otkopavanje kao uzrok pomeranja potkopanog terena 16

1.4. Prikaz procesa u masivu 22

1.4.1. Opsta zapazanja 0 preraspodeli primarnog podzemnogpritiska .. 25

1.4.2. Proucavanje procesa na modelima 26

1.4.3. Proucavanje procesa pomeranja dubinskim reperima u

potkopanom masivu 29

1.4.4. Proucavanje procesa pomeranja merenjem u potkopanim

i natkopanim rudnickim prostorijama 36

1.4.5. Ocena stabilnosti masiva u pogledu naponskog stanja 3~

IV Sadrzaj

1.4.5.1. Metode izazvane visokofrekventne akusticne emisije 38

1.4.5.2. Metode elektromagnetnog sondiranja 38

1.4.5.3. Seizmicka bez-busotinska metoda 38

1.4.5.4. Metoda prirodne akusticne emisije 39

1.4.5.5. Metoda prirodne elektromagnetne emisije 39

1.5. Pristup proucavanju procesa, izbor matematickog model a 39

1.6. Pomeranja u masivu sa horizontalnim slojevima 41

1.6.1. Raspodela pritiska u slojevitoj sredini 41

1.6.2. Ravansko uleganje ; 42

1.6.3. Horizontalno pomeranje 45

1.6.4. Opsti slucaj 47

1.7. Pomeranje u masivu sa nagnutim slojevima 49

1.7.1. Ravansko uleganje 49

1.7.2. Opsti slucaj 52

1.7.3. Pomeranje u proizvoljnom pravcu 54

2. TEORIJSKI OSVRTI NA OSNOVNE KARAKTERISTIKE PROCESA

POMERANJA 56

2.1. Uleganje povrsine masiva ciji su slojevi horizontaini 56

2.1.1. Granicni uglovi 56

2.1.2. Pomocni uglovi 59

2.1.3. Graficko odredivanje vrednosti granicnih uglova 65

2.2. Uleganje povrsine masiva Ciji su slojevi nagnuti 68

2.2.1. Granicni uglovi 68

2.2.2. Ugao maksimainog uleganja 71

2.2.3. Promena granicnih uglova sa dubinoIrl 76

2.2.4. Opsti slucaj promene granicnih uglova 79

2.3. Puna povrsina otkopavanja 83

2.3.1. Masiv sa horizontalnim slojevima 83

2.3.2. Masiv sa nagnutim slojeviina 85

2.3.3. Uglovi punih pomeranja 88

Sadrzaj v

2.4. Horizontalno pomeranje 90

2.4.1. Ravansko pomeranje - uslovi 90

2.4.2. Ravansko pomeranje povrsine masiva Ciji su slojevi horizontalni .91

2.4.3. Ravansko pomeranje povrsine Cijisu slojevi nagnuti 95

3. DEFORMACIJE U TACKI 102

3.1. Nagib 102

3.1.1. Definicija 102

3.1.2. Glavni nagib ' 103

3.1.3. Ekstremne vrednosti 106

3.2. Krivina 108

3.2.1. Definicija 108

3.2.2. Uvijanje 110

3.2.3. Glavne krivine 111

3.2.4. Ekstremne vrednosti ; 113

3.3. Dilatacije 115

3.3.1. Otklon 115

3.3.2. Klizanje 117

3.3.3. Definicija; glavne dilatacije ..........................•......... 121

3.3.4. Ekstremne vrednosti 123

4. OPAZANJA POMERANJA POTKOPANOG TERENA 126

4.1. Cilj i metode opazanja 126

4.2. Standardna metoda 127

4.2.1. Projektni elaborat 127

4.2.2. Mreze, profili 127

4.2.3. Merenje i obrada rezultata 129

4.3. Racionalna metoda 138

4.3.1. Minimalni broj taeaka 138

4.3.2. Odredivanje osnovnih parametara uleganja masiva eiji su

slojevi horizontalni 139

VI Sa-drzllj

4.3.3. Odredivanje osnovnih parameta, &. uleganja masiva Ciji st!

sIojevi naguRti 143

4.3.4. Optimalan broj taeaka 145

4.3.5. Odredivanje parametalo. horizontainog pomeranja masiva 146

5. PROGNOZNL VREDNOSTI ZA IWDNIKE SA NEIZUCENIM

PROCESOM POMERANJA 150

5.1. Opsta razmatranja 150

5.1.1. Dvod 150

5.1.2. Koeficijent cvrstoce krovinskog masiva 151

5.2. Parametri najveCih pomeranja 152

5.2.1. Apsolutno maksimalno uleganje 152

5.2.2. Maksimalno horizontalno pomeranje 153

5.2.3. Neki izvedeni parametri 154

5.3. Uglovni parametri 155

5.3.1. Tablica prognoznih vrednosti 155

5.3.2. Empirijski obrazac za odrdivanje ugla maksimalnog uleganja 158

5.3.3. Empirijski obrazac za granicni ugao 8 160

5.3.4. Empirijski obrazac za granicne uglove 13 i J 160

5.4. Proracun prognoznih vrednosti pomeranja i deformacija 164

5.4.1. Masiv sa horizontalnim slojevima 164

5.4.2. Masiv sa nagnutim slojevima 165

5.4.3. Ekstremne vrednosti pomeranja i deformacija 168

6. ZASTITNI STUBOVI 170

6.1. ZaStita objekata 171

6.1.1. Kriterijumi zaStite 171

6.1.2. Teorijsko razmatranje 0 bezopasnoj dubini 173

6.1.3. Engleska 175

6.1.4. Poljska 176

6.1.5. SSSR 177

6.1.5.1. Zgrade 177

Sadrzaj Vll

6.1.5.2. Industrijski objekti 179

6.1.5.3. Inzenjerski objekti 183

6.1.5.4. Saobracajnice 185

6.1.5.5. Hidro-objekti 18'7

6.~. Odredivanje uglova sigurnosti 189

6.2.1. Odredivanje tacnih vrednosti " 189

6.2.2. Priblizan naCin racunanja '" 194

6.3. Konstruisanje zaStitnih stubova 197

6.4. Otkopavanje zaStitnih stubova 202

6.4.1. Opsti pristup " ., 202

6.4.2. Uzajamni polozaj objekta i otkopanog prostora " 202

6.4.3. Etapno otkopavanje " 208

6.4.4. Smanjenje efektivne debljine otkopavanja 212

7. OSTECENJA NA OBJEKTIMA I OBESTECENJE VLASNIKA 221

7.1. Pojave na objektima 221

7.2. Obesteeenje vlasnika " 226

7.2.1. Uvodni komentar " 226

7.2.2. Procena stete 227

7.2.2.1. Iskustvo iz Nemaeke 227

7.2.2.1. Iskustvo iz SSSR-a 231

7.2.3. Pravne osnove naknade stete 233

1. DODATAK " 237

1.1. Neki pojmovi i definicije teorije rasp odele

1.1.1. Verovatnoca 237

1.1.2. Slueajne promenljive 239

1.1.3. Binomna raspodela 240

1.1.4. Normalna raspodela " 242

1.1.5. Laplasov integral. 224

1.2. Krive pomeranja i deformacija za masiv sa horizontalnim slojevima .. 247

1.2.1. Osnovni obrasci " 247

Vlll Sadrzaj

1.2.2. Puna povrsina otkopavanja 249

1.2.3. Pod-povrsina , 255

1.3. Krive pomeranja i deformacija za masiv sa nagnutim slojevima 259

1.3.1. Uleganje 259

1.3.2. Nagib i krivina " 262

1.3.3. Horizontalnapomeranja i dilatacija , 267

1.4. JednaCina termodifuzije 272

1.4.1. Izvodenje 272

1.4.2. Opste resenje za neograniceni stap 274

1.4.3. Opste resenje za neogranicenu plocu 278

1.4.4. Granicni uslovi za poremeceni masiv 280

II. DODATAK 283

ILL Pomeranje potkopanog terena u tudnicima metala i nemetala 283

II. 1.1. Specificnosti 283

II.1.2. Pomeranja pri otkopavanju slepih rudnih tela 284

II. 1.2.1. Obrasci A.G. Akimova (SSSR) 285

II.1.2.2. Kriterijum LN. Kisimova (Bugarska) 287

n.1.3. Uglovne karakteristike procesa pomeranja 288

ILIA. Pojave na povrsini terena 288

Prilog I 291

Prilog II 292

LITERATURA 293

PredgovoT

U ovoj knjizi obraduje se probl~matika pomeranja potkopanog terena i z3Stitaobjekata iznad rudarskih radova, u rudnicima sa podzemnom eksploatacijom.Rudarskim radovima narusava se prirodna ravnoteia potkopanog krovinskog masiva i on se ponovo uravnotezava sa prateCim pojavama u jami i na povrSini terena.Ujami se javlja povecani pritisak na podzemne rudnicke prostorije, ana povrsiniterena nastaju promene reljefa i ostecenja na objektima.

eilj knjige je pre svega da popuni prazninu koja u ovoj oblasti postoji nana.sem jezickom prostoru. Prvenstveno je namenjena specijalistickim kursevimana smeru za rudarska merenja, posto je ova problematika vec vise od jednog vekacleo te discipline. Sa njom se susrecu i specijalisti u drugim oblastima, pa cezadovoljiti i potrebe sire strucne javnosti.

Pomenuti prakticni razlozi su uslovili izlaganje materije u vidu udzbenika,pa smo nastojali da koristimo matematicki aparat predvidjen uobicajenim programima tehnickih fakulteta. Pojedine oblasti koje izlaze iz ovih okvira izlozenesu u dodatku I, na kraju knjige. U dodatku JI obradeno je pomeranje potkopanogmasiva u rudnicima metalicnih i nemetalicnih sirovina, posto joB ne postoje odgovarajuee opste prihvacene metode za proracun pomeranja j deformacija u timsredinama.

Knjiga sadrzi i mnoge rezultate na.seg dugogodisnjeg istraiivackog rada, kojisu nametnuli nacin izlaganja razlicit od uobicjenog u slicnim udzbenicima, pa jezbog toga sadriaj dobrim delom i monografskog karaktera.

Izlozena. materija je podeljena u sedam poglavlja, poglavlja na potpoglavlja,a potpoglavlja na odeljke. Tako se na primer oznaka 2.3.1. odnosi se na drugopoglavlje, treCe potpoglavlje, pnrj odeljak. Oznake koje pocinju arapskim bro

jevima (1.27) oanose se na poglavlje, a rimskim (I.27) na dodatak. Numeracijacitirane literature data je u uglastim, a obrazaca u okruglim zagradama.

Tehnickoj opremljenosti knjige mnogo je doprinela Mr.Zorka Bula-tovie, dipl.ing.rudarstva, na cemu joj srdacno zahvaljujemo.

Posebnu zahvalnost dugujemo Dr.Mariji Dra.skic, docentu Pravnog fakultetau Beogradu, iija na.m je pamoc pri obradi odeljka 7.2.3. bila dragocena.

Beograd 1994. godina Au tori

1~Opsta razmatranja

1.1. Uvorl, istorijski prikaz

Pojave osteeenja objekata i pomeranja potkopanog terena zapazene su josu ranom rudarstvu, kao neizbezne posledice rudarske proizvodnje. Neizbeznoststetnih posledica po objekte na povrsini terena, moze se objasniti uslovljenoseulokacije rudnika. Za razliku od drugih struka, u rudarstvu se ne mogu po zeljibirati lokacije proizvodnih pogona. Jame i kopovi su tamo gde su lezista. A lezistasu cesto u blizini i ispod naseljenih mesta, ili nekih drugih prirodnih itehnickihobjekata. U tom smislu rudarstvo je u toku celog svog istorijskog razvoja suocenosa problemom moraine i materijalne. odgovornosti za razne vidove ugrozavanja iosteeenja covekove zivotne sredine.

U XV i XVI veku vee su postojali zakoni koji su propisivali minimalnu dubinu otkopavanja pri podzemnom dobijanju mineralnih sirovina. Tako na primer,belgijski zakon iz tog vremena propisuje minimalnu dubinu otkopavanja od 100m. ispod grada Lijeza. Poznat je propis Bavarskog kneza (XVI v.), koji rudarimapreti smrtnom kaznom ako ugroze vodonosne horizonte iz kojih se grad Lijez snabcleva vodom. Sa pravom se tvrdi da je borba sa ovim pojavama glavno obelezjecelokupne istorije ruclarstva.

U predugljarskoj fazi rudarenja kada su lezista metalicnih sirovina otkopavanana malim dubinama, sa rudnim telima koja su u odnosu na ugljene slojeve manjegprostranstva, a po pravilu u cvrstim stenskim masivima, nastajale su na terenugrube degradacije reljefa u vidu proloma-pingi, koje, osim jasnih topografskihpromena, nisu imale znacaj stetnih posledica u smislu kako se to danas ocenjuje.

Posledice postaju veea potencijalna opasnost za objekte na povrsini terena iza rad u jami, pocetkom proslog veka, kada je zapoceta masovna eksploatacija pougljenim bazenima. Ugljeni slojevi su veeeg prostranstva, nalaze se u sedimentnim

2 1. Opsta razmatranja

stenskim masivima, koji po fizicko-mehanickim osobinama pogoduju pojavamapomeranja, tako da su se pri otkopavanju na veCim dubinama pojavile posledicekoje ranije nisu bile zapazene. Proloma i vidljivih pukotina bilo je sve manje, apojavila su se osteeenja na mestima gde se po dotadaiinjem iskustvu ne hi moglaoeekivati. Ranije su se prolomi pojavljivali sarno u izdanackoj zoui neposrednoizuad lezista, a sada, posebuo pri otkopavanju nagnutih slojeva, zapazana suosteeenja i izvan otkopanog prostora. Da bi se ove pojave objasnile, zapoceto je napojedinim rudnicima u Rurskom bazenu, oko 1860. godine, sa merenjima, koja suistovremeno posluzila za ocenn potencijalne opasnosti projektovanih zeljezniekihpruga i kanala. Postepeno su ova merenja prosirena na ceo bazen, a sakupljenirezultati iz jednog duzeg vremenskog perioda omogucili su 1897. godine objavljivanje "Dortmundskih pravila", u Kojima se prviput od strane rudarskih organa,daju instruktivno parametri za konstruisanje zaiititnih stubova.

Takva merenja su, pored vaznosti u pogledu sigurnosti, imala za pojedinerudnike i ekonomski znacaj, jer su na osnovu njih razdvojene stvarne stete koje sunastale od rudarskih radova, od pseudo-steta, nastalih od nekog drugog uzroka.

Zbog toga se takva sistematska merenja neprekidno obnavljaju u velikimugljenim bazenima Nemacke od pre 130 godina, Poljske 70 godina, SSSR-a 50godina, Francuske 20 godina, a u naiioj zemlji, sa skromnim programima merenja,od pre 20 godina.

Iz tih dugogodisnjih merenja na rudnicima sa razliCitim prirodno-geoloskimi rudarsko-tehnoloskim uslovima eksploatacije, dobijeni su obimni i raznovrsnirezultati, koje su pojedini autori analizirali i sa vise ili manje uspeha stvaralioriginalne metode proracuna za prognozu parametara pomeranja.

Postoji mnogo takvih metoda, vise empirijskog nego teorijskog karaktera, aliuglavnom za horizontalne i blago nagnute slojeve. Za slojeve sa veCim padomprognoze su vrsene sa veeom strucnom improvizacijom i manjom pouzdanoscusracunatih parametara, zbog cega su autori ove knjige posebnu paznju posvetiliovom problemu.

Ocigledno je da se problem pomeranja terena i osteeenja objekata iznadrudarskih radovajavlja u svim zemljama, u kojimase obavljajamskaeksploatacija.To se vidi iz strucne literature u kojoj su opisani mnogi primeri otkopavanja iapodnaselja, saobracajnica, reka i mora; iz Nemaeke, Poljske, SSSR-a, Cehoslovacke,Madarske, Bugarske, Belgije, Engleske, Japana, Kine, ....

I ako se u tim zemljama otklanjanje stetnih posledica od pomeranja potkopa

nog masiva zasniva prakticno na istim resenjima, koja ee biti opisana u ovoj knjizi,smatramo da posebno treba prikazati iskustva iz Nemaeke, Poljske, SSSR-a, Francuske, sa osvrtom na aktuelnost ove problematike u jugoslovenskom rudarstvu.

1. Opsta razmatranja 3

N amaeka. U ovoj zemlji mogu se pratiti sve faze proucavanja prohlematikezaStitnih stuhova.

Prva faza je od 1860. godine do pocetka ovog veka i nju karakterisu sistematskamerenja, sa rezultatima i "teorijama" Iokalnog znacaja koje danas imaju vise istorijski znacaj.

Drugu fazu karakterise pojava univerzalnih teorija u kojima se konstatuje da sepomeranja potkopanog masiva mogu proucavati sarno na osnovu rezultata sistematskih merenj a na povrsini terena. Praktican znacaj tih metoda (" teorij a")biD je u tome sto je dobijena moguenost da se parametri pomeranja korektnoprognoziraju pre pocetka @tkopavanja, ali sarno za slucaj horizontalnog sloja.

Ovu fazu koja je danas na zavrsetku, karakterise primena racunara sa programima u kojima se otkopana povrsina daje putem koordinata, a graficki prikazpomeranja se dohija u vidu situacije sa iscrtanim izolinijama na ploteru. Smatralo se da su istrazivanja ovih pojava vee pri kraju i da se u teorijskom smislune moze vise nista znacajnije dobiti. Medutim pojavili su se neki fenomeni prikoncentrisanom i hrzom otkopavanju manjih otkopnih polja, koji se na osnovuprethodnog iskustva nisu mogli ocekivati. To je otvorilo treeu fazu u proucavanjuproblematike zaStitnih stubova.

Treeu fazu karakterisu istrazivanja diskretnosti procesa u kome se rudarskotehnoloski faktori eksploatacije iskazuju kao dominantniji od prirodno-geolookihuslova lezista. Pretpostavlja se da, kod brzog i koncentrisanog otkopavanja, potkopani masiv gubi povezanost u veCim blokovima, koji kao celina padaju u otkopaniprastor, tako da se vrednost koeficijenta uleganja priblizavajedinici, a istovremenose vremenski faktor procesa smanjuje na polovinu od poznatih vrednosti iz prve idruge faze. ad sirokih cela sa dnevnom proizvodnjom 500 tonal dan, uvedena sucela sa proizvodnjom 1200 tona/dan, pa cak i sa 4000 tona/dan, sa duzinama 2401). i napredovanjem 7-15 m/dan. avo je ponovo aktueliziralo sistematska merenjai tamo gde se ona vee oko 100 godina obavljaju, uz zahtev za usavrsavanjemmetoda proracuna, koje ee uz uvodenje rudarsko-eksploatacionih faktora, poveeatipouzdanost prognoziranih parametara.

Sve ove faze mogu se pratiti na primeru Rurskog bazena, koji jos uvek ostajejedinstven primer velike koncentracije podzemnih radova, industrijskih postrojenjai naseljenih mesta na jednom istom relativno malom prostoru (30 x 80 km). NaseIjenost je 1840. hila oko 230 000 Ijudi, danas oko 6 miliona.

Poznato je da se u ovom bazenu kameni ugalj vadio jos u 14 veku. U 1860.godini 4,4 mil. tona; 1910. godine 90 mil. tona; 1965. godine 125 mil. tonaj danas78 mil. tona. Do sada je proizvedeno ukupno oko 8,5 milijardi tona.

Na tom prostoru razvilo se jedno privredno podrucje sa svim vrstama objekatana povrsini (rudarskih, industrijskih, stambenih; zeljeznickih, putnih i vodenih


saobracajnica; mostovima, magistrolnim cevovodima) za koje klasicno ostavljanjestubova, kao delova lezista koji se ne otkopavaju, nije ekonomski opravdano naduhinama veCirn od 200 m.

Danas na srednjirn dubinama do 800 m, i sa otkopima na dubinama veCimod 1300m, to ne hi bilo ni tehnicki opravdano.

Zbog toga se klasicno ostavljanje neotkopanih zaStitnih stubova primenjujesarno za na.jvainije rudarske ob.Jekte, a sve ostalo se potkopava, ostecuje i sanira.Uleganjau pojedinim gradovima (Dortmund) su j do 14 metara.

Proizvodn.Ia 11 tim uslovima zasniva se na misl.Ienjllrudarskih meraca, koji u svo.Iimprojektima odredu.Iu uslove, dispoziciju i plallograme otkopavanja.

Za nastale stete sarno koncern RAG (Rur) trenutilO daje 200-300 milionamaraka godisnje. Ako se uzme u obzir i naknada za stete koje ee se kasnije .laviti,troskovi se penju i na 1,5 milijardi DM godisn.Ie.

Poljska. U zaStitnim stubovima poljskih rudnika na1azi se oko 11 mili.Iardi tona kamenog Ilglja i na.IveCimdelom rezerve koje su dostupne rudarskimradovima. Do sada .Ie otkopana jedna milijarda sto iznosi oko 41 % godiSnjeproizvodnje.

Za obestecenje i sanaci.Iu ostecenih objekata da.Ie se oko 2 % od ukupne cenekostanja za svaku tonu otkopanog uglja. Otkopavaju se stubovi ispod svih vrstatehnickih objekata. Posebno su interesantna otkopavanja ispod gradova Bitoma,Horzova, Sosnovica i Katovica.

KoristeCi rezultate dugogodisn.Iih merenja u sljonskom bazenu iz perioda prei posle drugog svetskog rata, pol.Iski strucn.Iaci su stvarali originalne metode proracuna - koje omogucu.Iu dirigovano otkopavan.Ie, pri eemu deformaci.Ie ostaju ugranicama dozvoljenih vrednosti. Data .Ie mogucnost da se iz dozvoljenih deformaci.Ia pouzdano odlede dinamicke i geometri.Iske karakteristike otkopne metode.

Poseban uspeh poljskih strucnjaka .Ie otkopavanje zaStitnih stubova okana,koje se intenzivno koristi posledn.Iih decenija. Stubovi se otkopavaju ne samepri likvidaciji rudnika, vec i pre pocetka eksploataci.Ie uz odgovarajuca tehniekaresenja, koja omogucu.Iu elasticno ponaSan.Ie obloge i ureda.Ia u oknu.

Opste prihvacena koncepcija u NR Poljskoj je da se zaStitni stubovi otkopavaju.

SSSR. Iskustvo iz ove zeml.Ie.Ie posebno interesantno zbog originalnog prig..tupa u sistematskom proucavanju problematike zaStitnih stubova. Do prvog svetskog rata i neposredno posle n.Iega korisceno je inostrano iskustvo, a 1929. godinezapoceto .Ie sa sistematskim merenjima po svim veCim ugl.Ienim bazenima. Poobimu i sistematicnosti u pristupu, ova istrazivanja su daleko ispred svih ostalihkoja su vrsena pri proucavanju ave problematike. Merenja i ostala opazanja su


obavljana po unapred zadatim instrukcijama, a izvrsioci su bili strucnjaci sa rudnika i iz specijalizovanih drzavnih institucija.

Rezultati tih dugorocno planiranih istrazivanja su u prvom redu od velikevaznosti za racionalnu proizvodnju u pojedinim bazenima, a zatim preko uopstavanja dobijenih rezultata i za bazene sa slicnim prirodno-geoloskim uslovima ukojima iz nekih razloga merenja nisu vrsena. Rezultati su postupno uopstavaniza uslove pojedinih bazena i putem privremenih instrukcija od lokalnog znacaja,

korisceni za donosenje prakticnih resenja i proracun potrebnih parametara pomeranja. Iz Cisto empirijskih istrazivanja dobijene su tipske krive i jednaCine kojeinzenjerima u praksi sluze za proracun uleganja, horizontalnih pomeranja i deformacija na povi:sini terena.

Takav pristup je rezultirao u donosenju jedinstvenih "Pravila zaiiite industrij

skih i prirodnih objekata" 1981. godine [83J. Ova pravila omogucuju da se, naosnovu pribliznih fizicko-mehanickih karakteristika nekog leziSta, mogu odreditiosnovni uglovni parametri i za rudnike gde merenja nisu vriiena.

To je od posebne vaznosti i za zemlje u kojima masovna i sistematska merenjanisu vrsena, a problematika zaiititnih stub ova postane odjednom veoma aktuelna.U tom slucaju metodom inzenjerske analogije mogu se koristiti podaci koji vaze zaodgovarajuce uslove u rudnicima SSSR-a. To se uspesno koristi i u jugoslovenskomrudarstvu.

Mnogobrojni su i primeri otkopavanja zaiititnih stubova ispod gradova, reka,saobracajnica i okana, koji su zahvaljujuci pouzdanosti prognoznih podataka resavani kao rutinski zadaci rudarske prakse.

Paralelno sa opazanjem pomeranja potkopanog terena, opazano je i ponaiianjeobjekata kao konstrukcije i na osnovu obimnog materijala propisane su konstruktivne mere zaiitite, normativna i instruktivna dokumentacija za gradnju na rudnickim terenima. Propisane su i dozvoljene deformacije i tehnicko-ekonomski pokazatelji za razne stepene ostecenja, pocev od pojave prslina do potpunog unistenjaobjekta. Znacaj takvih pokazatelja dosao je do izrazaja pri otkopavanju ispodgradova, sela, mikrorejona, gde su jednovremeno izlozeni uticaju rudarskih radovaraznovrsni objekti, nadzemne i podzemne instalacije.

Danas se uspesno otkopava ispod gradova: Donjeck,Gorlovka, Stahanov, Karaganda, Kizelevsk, Prokopievsk, Pavlograd, Enakijevo, ... Sarno u Donbasu jegodisnje oko 15 000 zgrada i objekata pod uticajem rudarskih radova, u timuslovima se otkopava oka 30-35 mil. tona/god. uglja, od cega oko 87 % sa remontom ostecenih objekata. U tim uslovima veliki znacaj ima prognoza moguCihpomeranja i deformacija.

Posebno je interesantna problematika stabilnosti izvoznih i ventilacionih okana. U mnogim slucajevima razjaiinjen.je uzrok ostecenju okana zbog lose odredenih

1. Opsta razmatranja

granica zaStitnih stubova. Za novo projektovana okna razmatra se mogucnostotkopavanja stubova, jer sada na veeim dubina.ma za jedno okno ostaje od 6 do10 mil. tona. uglja u zaStitnom stubu.

Merenja na proueavanju procesa pomeranja potkopanog masiva se i dalje nastavljaju. Sarno, sada u cilju otkrivanja fenomena vezanih za diskretnost procesa,slieno prethodno pomenutoj III fazi istrazivanja u ugljenim bazenima Nemaeke.

Zapazeno je da napredovanje sirokih cela ad 100-200 mimes. ima mnago veCiuticaj na pojave osteeenja objekata, nego pri ravnomernom otkopavanju brzinama30-50 mimes. Otkopavaju se slojevi debljine manje od metra, do nekoliko desetina metara, sa padovima od 00 do gOo. Dubine otkopavallja su dostigle 1200m. Zapazene su pojave osteeenja kapitalnih objekata i pri standardno ostavljenimzaStitnim stubovima. Oeekuje se poveeanje proizvodnje iz slojeva ispod naseljenihmesta, prirodnih i tehnickih objekata, na oko 100 mil. tona godiSnje.

Smanjenjem r~tojanja opazanih taeaka na povrsini terena sa 10-15 m, na 2-5 m,izmerene su veee vrednosti deformacija i njihov diskretniji raspored. Diskretnostje zapazena ne sarno prostorno, vee i vremenski, sto je uslovilo da se pomeralljepotkopanog terena i problematika zastitnih stubova i dalje intenzivno proueava.

Programi istrazivanja su prosireni, tako da obuhvataju svu problematiku koja seodnosi na reagovanje stenskog masiva pri izvodenju rudarskih radova u njemu.

Francuska. Do 1961. godine ovaj problem kao da nije postojao u rudarstvuove zemlje, i kako oni slobodno kazu, kao daje iz raznih razloga bio ignorisan. Tekkada su osteeenja na potkopanim terenima postala na materijalnom i psiholookomplanu uznemiravajuea, pristupilo se proueavanju problematike zaStitnih stubova.Troskovi sanacije i obesteeenja su u 1967. godini iznosili u Basenu Nord 31 mil.franaka, sto je ekvivalentno vrednosti 20 do 25 mehanizovanih otkopa. Prosecnooptereeenje po toni bila je 1,29 F, au nekim bazenima se poveealo za 0,67, pa cak iza 1,70 F. Oko 15 mil. F. je odlazilo na obesteeenja treeim licima, pa i pored togagradani nisu bili zadovoljni, vec su osnivani komiteti za zaStitu gradana i raznekomisije, u kojima su predstavnici raznih ministarstava i privrednih grana branililojalno i upomo svoje interese, pri eemu je cesto briga 0 opstim interesima bilamaskirana odbranom posebnih i privatnih interesa.

Materijalni troskovi i psiholoSka reagovanja su primorali rudare da iz manjevise pasivnog pristupa kroz sanaciju i obesteeenja, preau na resavanje problemasvim mogueim metodama koja osteeenja svode na minimum.

Dalji put je bio u sopstvenim sistematskim programiranim opazanjima i dobijanju pouzdanih osnovnih parametara za prognoze. Usledilo je upoznavanjesa metodologijom prognoziranja kroz studijska putovanja 11 Englesku, Nemaeku,Poljsku. Za potkopana podrucja saCinjene su podloge koje su koristili urbanisti i

--- ~~~ ..~...._~.. --_. -~ .._--" ---------------


SV"l koji su zainteresovani za koriBcenje takvih terena. Zapoceto je i sa otkopavanjem zaStitnih stubova, primenom metoda otkopavanja prilagodenih uslovima minimizacije deformacija na povrSini terena.

Stvorene su posebne sluzbe za proucavanje ove problematike, od generalnedirekcije, do direkcija pojedinih pogona, sa definisanim zadacima u smislu merenja,teoretskih proucavanja i projektovanja otkopavanja ispod objekata.

Jugoslavija. U naSoj zemlji JOB uvek raspolaiemo sa skromnim iskustvompri atkopavanju zaStitnih stubova. Otkopava se na malim i srednjim dubinama,taka da u zaStitnim stubovima nisu ostajale znatnije rezerve, a naseljenost rudnickih podrucja nije velika, tako da posebnih problema i zahteva do pre dvadesetakgodina nije ui hilo.

Na pojedinim uaSim rudnicima otkopavani su do sada ugiavnom zastitni stubovi ispod objekata manjeg znacaja, za koje su dozvoljene vece vrednosti dozvoljenih deformacija. To su putevi, lokalne pruge, manji vodotoci i tek od skora seoskanaselja.

Ukupno ostavljene rezerve u zaStitnirn stubovima vecihjugoslovenskih rudnikasa jamskom eksploatacijom krecu se od 20-40 %. Sve ovo ukazuje na naSu obavezuda te rezerve smatramo privremeno izgubljenim i da se postupno traze racionalnareiienja za njihovo otkopavanje. U tom smislu vec postoje ohrabrujuca raspolozellJa.

Postavlja se pitanje koliko smo spremni za taj zadatak. UporedujuCi se sazemljama Cijeje iskustvo u tom pogledu prikazano u ovim razmatranjima, mozemokonstatovati sledeee:

- Ne raspolazemo pouzdanim geometrijskim parametrima sa kojima bi se izvrsila prognoza moguCih ostecenja na povrsini terena, Hi odredili podaci zaprojektovanje otkopavanja II jami.

- Podaci kojima za sada raspolazemo, ne mogu se jos uvek llopstiti da bi sekoristili u svim bazenima sarno za lokalnosti na kojima su izmereni.

- Upuceni smo da metodom inzenjerske analogije, sa vecom ili manjom pouzdanoscu, usvojimo osnovne podatke iz inostranih instrukcija. To ce bitinuznost sve dok putem definisanih, II vidu redovnih zadataka rudnickih mernistva, ne obavimo sistematska merenja i na naSim rudnicima.

- Ne raspolazemo sopstvenim opazanjima 0 ponaiianju i osteeenjima gradevinskih objekata na nasim terenima.To se pre svega odnosi na specificne objektenaSih sela, koji podnose i vece deformacije, nego sto se za slicne objekte dozvoljava u inostranim instrukcijama. Specificnost je i jako izrazen reljef na nekimnaSim rudnicima. Sva ta pitanja zahtevaju posebna istrazivanja.


- Nieffio imali sopstvene metode za prognozu mogucih deforrnacija. Koristilismo inostrane, Cija je zajednicka karakteristika da, uz pouzdane ulazne podatke, daju pouzdane rezultate sarno za horizonta1ne i blago nagnuteslojeve.

Verujemo da ee naSi strucnjaci naCi u ovoj knjizi odgovore na veei broj pitanjakoja se, u vezi pomeranja potkopanog terena i osteeenja objekata, postavIjaju uteoretskom i prakticnom smislu.

Ocekujemo da ee to biti i podsticaj za obimnija merenja na rudnicima, kao iza dalja teoretska proucavanja u naucnim institucijama.

1.2. Pojrnovi, definicije, oznake

Nedostatak strucne literature iz ove oblasti na naSem jeziku uslovljava koriseenje inostrane literature, najcesee sa nemackog i ruskog jezickog podrucja, ukojoj su termini, definicije i simboli razliCito standardizovani.

Zbog toga se u radovima jugoslovenskih autora pojedini termini razliCitooznacavaju i definisu, pa je u ovom poglavlju bilo neophodno da se najceseekorisceni strucni izrazi prilagode naSem jezickom podrucju.

U tom slucaju definisane su na pocetku geometrijske karakteristike procesapomeranja, koje obuhvataju sve elemente koji odreduju proces u masivu, ukljucu

juCi i povrsinu. terena.

To su osnovni linearni elementi pomeranja karakteristicnih tacaka na povrsiniterena koji se odreduju direktnim merenjem, zatim deformacije izveclene iz direktno merenih vreclnosti pomeranja, a posebuo uglovni parametri kojima se odredujepolozaj karakteristicnih tacaka ulegnuea terena u odnosu na otkopani prostor.

1.2.1. Porneranja su promene polozaja pojeclinih tacaka koje nastaju u potkopanam masivu i na povrsini terena, kao primarne i sekundarneposledice uticajaotkopavanja.

U geometrijskom smislu to je vektor koji povezuje pacetni polozaj neke tackeu neporemeeenom masivu, sa polozajem u koji je presla posle zavrsenog procesauravnotezavanja. Ako proces nije okoncan ovaj vektor ima trenutnu vl'ednost.

Projekcija ovog vektora na pravac vertikale je uleganje, a na horizontalu,horizontalno pomeranje.

Dea povrsine terena zahvaeen pomeranjem naziva se ulegnuee . Na vertikalnim presecima ulegnuce se prikazuje krivama uleganja po karakteristicnimpravcima lezista, ili otkopanog prostora, (sl. 1.1).


Slika 1.1.

9

1.2.1.1. Uleganje se odreduje periodicnim nivelanjem u toku procesa pomecanja. Oznacava se sa U, a vrednost mu se iskazuje u mm.

U vezi sa ovom komponentom postoje termini maksimalno relativno uleganje

iUmax.rel) i maksimalno apsolutno uleganje (Umax.aps.).

Maksimalno relativno uleganje je najveca vrednost ulegnuca, koja sa daljimpoveeanjem otkopanog prostora raste do vrednosti maksimalnog apsolutnog ulegan]a.

Maksimalno apsolutno uleganje je najveca dostignuta vrednost, koja sa "daljimpovecanjem otkopanog prost ora ne raste, vec se na ulegnucu javlja ravno dnoulegnuto za ovu vrednost.

Ako ulegnuce ima ravno dno, imaee ga i kriva uleganja za bilo koji profileija ravan preseca tu oblast ulegnuca. Obrnuto ne vazi. Kriva uleganja mozeimati ravno dno i kada ga ulegnuee nema. To je sillcaj kada je otkopana povrsinaizduzenog oblika - pojas po pruzanju sloja, tako da je ulegnuce nad njenim sred:ljim delom polucilindricnog oblika sa paralelnim izolinijama uleganja u horizon

talnoj projekciji, (s1. 1.1).

Krive uleganja u profilima po padu tada su jednake, a u profilu po pruzanjuimaju raVDOdno. Za takve slucajeve koristi se naziv ravansko uleganje.


Analogno pojmu otkopana povrsma u horizontalnoj projekciji, odnosnoza ravno dno ulegnuea puna povrsina otkopavanja, ili kada nema ravnog dnanepotpuna povrsina otkopavanja, koriste se za krive uleganja u vertikalnimpresecima pojmovi otkopana duiiina, odnosno puna duiiinaotkopavanja i nepotpuna duzID.a otkopavanja.

1.2.1.2. Horizontalno pomeranje po nekom odredenom pravcu odredujese iz poznatih koordinata dva uzastopna polozaja neke tacke, u vidu polarnihkoordinata pomeranja P i direkcionog ugla v; pomeranja se izrazavaju u mm, auglovi u stepenima.

Za horizontal no odredivanje uzastopnih stanja koriscte se teresticke metode(tahimetrijska·metoda, rede metoda presecanja), au novije vreme na veeim podrucjima i aerofotogrametrija.

Za prakticne svrhe potrebna su pomeranja po karakteristicnim pravcima uodnosu na otkopani prostor, odnosno u pravcu pruianja i glavnog pada sloja.U tom slucaju projektuje se vektor horizontainog pomeranja na ove pravce, ilise pomeranja neposredno opaiaju preko direktno merenih duzina izmedu tacakapostavljenih u pravcu pruzanja i glavnog pada sloja.

1.2.2. Deformacije su relativne promene koje nastaju zbog neravnomernihuleganja, ili horizontalnih pomeranja na potkopanom terenu.

Raeunaju se iz razlike apsolutnih vrednosti uleganja,· ili horizontalnih pomeranja susednih tacaka, svedenih na jedinicu duzine (mm/m). Na osnovu njihovihvrednosti odreduje se step en ugrozenosti pojedinih objekata na povrsini terena .

• Vertikalne deformacije su izrazene preko promene nagiba i zakrivljenosti terena .

• Horizontalne deformacije-dilatacije, izrazene su preko izduzenja ili skraeenjapojedinih intervala izmedu susednih tacaka.

Dilatacije se odreduju iz horizontalnih pomeranja susednih taeaka na povrsiniterena. Na ist! naCin mogu se odrediti i dilatacije u vertikalnoj ravni, na primer,pri oceni geometrijsko-konstruktivne stabilnosti vertikalnih okana. U tom slueajuse promene horizontalnog preseka okna opazaju preko pomeranja nekoliko taeakapostavljenih po poprecnim profilima, na odredenim dubinama. Tacke se ugradujuu oblogu okna tako da leze na istoj vertikali.

U tom slueaju razlike horizontainih pomeranja susednih taeaka po istoj vertikali, svedene na jedinicu njihovog rastojanja daju nagibe, odnosno stanje vertikalnosti okna, a razlike uleganja svedene na jedinicu rastojanja, daju vertikalnedeformacije po oblozi okna.


1.2.2.1. Nagib, je odnos razlike uleganja susednih tacaka prema njihovom rastojanju. Oznacava se sa N, a izrazava u (mm/m). Sa koordinatnim pocetkomi.znad sredine otkopanog prostora, x-osom u pravcu pruzanja, y-osom u pravcupada, bice nagibi po usponu pozitivni, a po padu negativni.

H cUA-UBIv = ----lAB

(1.1)

1.2.2.2. Krivina (poluprecnik krivine), je odnos razlike nagiba susednih in.en·ala, premasrednjoj vrednosti njihovih duzina. Kao parametar pogodniji jepoluprecnik krivine dobijen kao njena reciprocna vrednost. Oznacavaju se sa K,odnosno R.

Sa predznacima nagiba iz predhodne definicije konveksne krivine su pozitivnea konkavne negativne.

.,..'-.

A B pre uleganja C

]{ = ~NI

R=!]{

(1.2)

(1.3)

PoSto se nagibizrazava u (mm/m), a rastojanje I u metrima dimenzija krivine je

mm m---- 103 -- 1.-l!L x _ = ...ill.... = --

m 103 Km Km

a poluprecnik krivine dobija seu kilometrima.

12 1. Opsta razmatranja.

1.~.2.3. Hurizantalne defQrmacije - dila.taeije su izduienja (+), ili suacenja (-), interval", izmedu susednih taeaka, svedenih na jedinicu duzinej izraiavaju se u (mm/m).

Izduzenja se javljaju ako su posle pomeranja potkopanog terena poveeana horizontalna rastojanja izmedu susednih tacaka, a skracenja u obrnutom slucaju.

~-'---A:.-,-- \,AS[.-P;-j

AP = PB - PA

D= APlAB

(104)

1.2.3. Uglovni parametri procesa pomeranja su geometl'ijske karakteristike uslovnog ili fiziekog karaktera, koje odreduju stanje potkopanog masiva.Sluze kao osnovni podaci pri projektovanju mreza za opazanje potkopanog terena,za odredivanje zaStitnih stubova ispod prirodnih ili tehniekih objekata, kao i zaproracune odredivanja ostalih parametara procesa pomeranja.

Odreduju' se na vertikalnim preseeima po karakteristicnim ravnima ulegnuca,odnosno u praveu pruzanja i pada sloja. Na sliei 1.2, prikazani su granieni uglovi(cSl, f3l, /'1, /,pt), uglovi sigurnosti (02, f32, /'2, 'YP2) , uglovi pukotina (03, f33, /'3,

/'p3), uglovi p'unog ulaganja (04, f34, /'4) i ugao maksimalnog uleganja (0).

Granicni uglovi, uglovi sigurnosti i uglovi pukotina vezani su za taeke izvan,a uglovi punih pomeranja za taeke iznad otkopanog prostora. Uglovi obelezeni sa

(/'pl, /'p2, /'p3) javljaju se u podinskom delu strmih slojeva (550 ~ a:S 60°), kadaje i podina zahvacena proeesom pomeranja.

Posto su uglovni parametri geometrijske karakteristike istog procesa i zavise od fizicko-mehaniekih i rudarsko-geoloskih faktora u istom masivu, mogu seizmedu njih postaviti odredene zavisnosti, koje se navode u sledeeim poglavljima.

1.2.3.1. Granicni uglovi (81) f31) /'1, /'pl).

Granicni uglovi su uglovne karakeristike procesa kojima se ogranicava povrsinaterena zahvacena pomeranjima usled utieaja otkopavanja, uz pretpostavku da se

izvan te granice pomeranja i deformacije mogu zanemariti.

To su uglovi izmedu horizontale i linije koja spaja granicu otkopavanja ujami, sa nekom granicnom taekom na povrsini terena, (s1. 1.2). Graniena taeka sedefinise vrednoscu izmerenog pomeranja.


Slib 1.2.

13

Mogu se meriti obe komponente vektora ukupnog pomeranja-horizontalna ivertikalna, koje su na perifernom delu ulegnuca milimetarske vrednosti. Merackigledano, u smislu metode, tacnosti i racionalnosti merenja, lakse je odrediti granicnu taeku preko vertikalne komponente-uleganja, odnosno nivelanjem.


Preciznim uivelmauGtn visoKe tacnosti ;.noif.. Be ostvariti ±1 mm/km. Medu

tim OWi:\. IIlerenja visoke tacnosti spadajl' u grupv specijalnih z~ataka, a 0paZanjepomeranja potkopanog terena je redovan zadatak, za koji se koriste instrumenti imetode obicne tehnicke taeuosti, odnosno tehrricki nivelman sa greskom od ±10mm/km.

A.nalizom ponovljenih merenja no. istim tackama, u vlakovima postavljenimpo glavnim presecima ulegnuea, dobijeno je sa raznih rudnika u SSSR-u, da odstupanja do 6 mm iznose 96 0/00, [3). To znaCi do. su pouzdana sarno ona uleganjakoja su veea od 6 mm. Zbog toga je za granicni kriterijum odredena standardnimmetodama merenja usvojena apsolutna vrednost uleganja od 10 mm, pri cemuje korektnije ako se ulegallje no. granicnoj tacki iskazuje u promilima od maksimalnog uleganja. To omogucuje do. se uporeduju granicni uglovi pri otkopavanjuslojeva razliCite debljine, sto preko apsolutne vrednosti uleganja na granicnojtackinije moguce; 'a posebno kod nagnutih slojeva, omogucuje analiticku vezu izmedugranicnih uglova (51,,81, 'Yl) i ugla maksimalnog uleganja (8).

Kao opsti pojam, granicni ugao treba shvatiti kao uglovnu karakteristikuvczanu za neku granicu uticaja, koja je uslovljena proizvoljnim granicnim uleganjem na povrsini terena.

U sirem smislu to moze biti bilo koji ugao vezan za tach sa poznatimuleganjem, izrazenim u promilima od apsolutnog maksimalnog uleganja, uslovnonazvan pomocni granicni ugao.Pomocni zbog toga, sto se pomocu njega moze odrediti vrednost vezana za nekudrugu tacku sa drugim zadatim uleganjem. Sa standardnim metodama opazanja,to je taeka sa uleganjem od 10 mm, do koje se prakticno registruju uleganjametodom tehniekog nivelmana.

Analize pokazuju da ovaj granicni uslov ne odreduje granicu izvan koje sedeformacije mogu zanemariti.

U uzem smislu, to je ugao redukovan na neku referentnu granicnu tacku, naono uleganje, odnosno granicu, izvan koje se i deformacije mogu zanemariti. Zamaksimalna apsolutna uleganja do 5 m, [Umax .aps. ~ 5000 mm), to su granicnetacke:

- za stenski mas1v sa koeficijentom cvrstoce f < 4, sa uleganjem 1 % odUmax.aps.

- za stenski masiv sa koeficijentom cvrstoce f > 4, sa uleganjem 0,5 % odUmax.aps.

Sva ova razmatranja 0 granicnim uglovima vaze uz uslov pune povrsine otkopavanja, odnosno pojave apsolutnog maksimalnog uleganja, ili ravnog dna no. ulegnucu povrsine terena.


Ovo je strog uslov jer se puna povrsina otkopavanja teze ostvaruje na srednjimi veCim dubinama, a posebno kod nagnutih slojeva.Moze se postaviti blazi, realniji, uslov potpunosti otkopavanja, sto ee biti razmotreno u sledeeem poglavlju.

1.2.3.2. U glovi sigurnosti (82,Ih12, JP2) su odredeni horizontalom i linijam koja spaja granicu otkopavanja sa tackom dozvoljenih defarmacija na povrsinicerena. Sluze za konstruisanje zaStitnih stubova.

Zastitni stubovi ispod prirodnih i tehnickih objekata konstruisu se sa uslovIjenim vrednostima pojedinih deformacija, odnosno nagibom (N), krivinom (K)

- poluprecnikom krivine (R) ili horizontalnim deformacijama (D), Cije vrednostizavise od vrsteobjekta i kategorije zaStite.

Ako bi se u tom smislu za svaku vrstu objekta posebno odredivali uglovisigurnosti, dobiee se onoliko vrednosti koliko ima kategorija zaStite. To se radisarno u nekim'specijalnim slucajevima zaStite.

U praksi se pri resavanju rutinskih problema i u instrukcijama saCinjenim zatu svrhu, to pojednostavljuje na taj naCin sto se usvajaju jedinstvene - optimalnevrednosti kriterijuma zaStite, koje vaze za sve vrste objekata.

Tako na primer u sovjetskim instrukcijama koje koristimo i u naSoj praksi,usvojene su za granicu sigurnosti sledeee vrednosti, pri prosecnom rastojanjuizmedu taeaka od 10 do 15 m.

- nagib- krivina

- horizontalne deformacije

N = 4 .10-3 [4 mm/m].

K = 0,2.10-3 [Km-i] ili (l/Km].

D = +2 .10-3 [2 mm/m].

U podpoglavlju 6.2 izraeunavaju se uglovi sigurnosti na osnovu poznatihparametara pomeranja. Posto ovi parametri, pored ostalog, zavise i od vrednosti uleganja na granicnim taekama, ovim postupkom dovode se u vezu granicnauleganja sa vrednostima deformacija na granici sigurnosti, odnosno granicni uglovii uglovi sigurnosti.

1.2.3.3. U glovi pukotina (83, ,83, 13, IP3) odreduju mesto na povrsini terenana kame se moze javiti najudaljenija pukotina od granice otkopavanja. Dobijajuse spajanjem granice otkopanog prostol'a sa mestom najudaljenije pukotine, ako seona javlja, ili sa mestom na kome su najveee horizontalne deformacije - istezanja.

Ovi uglovi nisu toliko znacajni za rudnike uglja kao !ito su granicni uglovi iuglovi sigurnosti, sem u slucajevima kada pomoeu njih odreduju zaStitni stuboviispod vodotoka i hidro-objekata.


1.2;.3.4.. Uglovi punih pomeranja. ('lp,1P1,tP2) nalaze se u delu iznadotkfJpnog prostora, a odreduju se spajanjem granice otkopavanja, sa granicomravnog dna na ulegnucu povrsine terena u slucaju otkopane nad-povr§ine, ili satackom apsolutnog maksimalnog uleganja. u slucaju pune povrsine, ato je vise teoretski slucaj. Ove uglove treba shvatiti sarno kao parametre koji omogucavajuodredivanje zone jednakih uleganja na povrsini terena. Sa njima nije korektnoodredivati zone jednakih pomeranja u potkopanom masivu.

Orijentisani su ne od horizontale, vec od ravni sloja. Prema slici 1.2 za punupovrsinu otkopavanja vaze sledece geometrijske relacije:

tP = 61

tPl = 11 - a

'tP2 = PI +a

1.2.3.5. Ugao maksimalnog uleganja (e) dobija se spajanjem sredineotkopanog prostora u preseku po glavnom padu sloja, sa tackom maksimalnoguleganja na povrsni terena u slucaju otkopane pod-povrsine, ili sa sredinom ravnogdna u slucaju otkopane nad-povrsine. U regularnim lezisnim uslovima manji jeod 90°, a orijentisan je u pravcu pada sloja.

1.3. Otkopavanje kao uzrok pomeranjapotkopanog terena

Pomeranje potkopanog krovinskog masiva razmatra se na primeru otkopavanja ugljenog sloja u slojevitom sedimentnom lezistu, odnosno u uslovima kojiomogucavaju da se proces prostorno i vremenski u potpunosti razvije.

Na samom pocetku otkopavanja pri napredovanju od 4-6 m, direktna krovinamiruje, a zatim, sa daljim napredovanjem otkopa poCinje da se savija, lomi i padau otkopani prostor, stvarajuCi uslov za pomeranje gornje-indirektne krovine.Na slici 1.3 prikazana je uopstena slika procesa, sa zonama u kojima se posiedicepomeranja kvalitetno razlikuju, zavisno od prirodno-geoloSkih i rudarsko - tehnoIoskih uslova eksploatacije.

Kada postoje usiovi da se proces u potpunosti razvije, nastaje iznad otkopanogprostora, prvo zona zarusavanja, iznad nje zona raslojavanja, a iznad njih,najbliza povrsini terena, zona kompaktnog uleganja.

Intenzitet iopsta slika ovog procesa zavisi od odnosa debljine pojedinih slojevau krovini koji se savijaju, lome i raslojavaju (h), prema debljini otkopanog ugljenogsloja (d), ako se otkopava metodom zarusavanja, ili prema preostaloj supljini akose zapunjava otkopani prostor.


L Otkopana povrSina -"..i(P>Pmax) i

Slika 1.3.

Zavisno od odnosa,h:d

pojedinacno ili zajednicki mogu se javiti dva slucaja:

17

Prvi, pri otkopavanju debljih slojeva, kada je prosecna debljina pojedinih slojeva u krovini manja od debljine otkopanog sloja,

h<d

Tada nastaje jedan vid neregularnog zarusavanja, pri kome otkopani prostor popunjavaju izmesani, izlomljeni komadi direktne krovine.

Drugi, pri otkopavanju tankih slojeva, ili pri zarusavanju krovinskog masiva,kada se efektivno preostala supljina toliko smanji, tako da je prosecna debljinapojedinih slojeva u krovini veea od debljine otkopanog sloja, odnosno odpreostale supljine iznad otkopanog prostora,

h>d

Tada se pO pravilu ne javlja zarusavanje, krovina se savija, raslojava i lomi uveee blokove, javljaju se sile paralelne slojevitosti, koje pribijaju blokove jedan uzdrugi, tako da oni regularnije popunjavaju otkopani prostor, ne gubeei potpunosvoju slojevitost.

Pri otkopavanju debljih slojeva javiee se oba slucaja, zato sto se zbog rastresitosti zarusenog maerijala, smanjuje sa visinom uticaj otkopane debljine na


zarusavanje indirektne krovine, jer se smanjuje otkopavanjem nastala supljina uvrhu svoda zarusavanja.

Zbog toga je za proucavanje interesantniji slucaj otkopavanja debljih slojeva, uz uslov da je,

h<d

Tada se u otkopanom masivu mogu izdvojiti sve prostorne zone, kvalitetno razliCitih posledica procesa pomeranja.

Ako je u tom slucaju odnos debljine slojeva u krovini (h) i debljine ugljenog sloja(d)

(2 do 2, 5) h < d

zarusavanje direktne krovine je burno sa granuiometrijsH heterogenom masom uzarusenom prostoru - zona 1a. Sa poveeanjem visine zbog rastresitosti zaruSenogmaterijaIa, postupno se smanjuje otkopavanjem nastala supljina, po zakonu

d' = d - 11 • (k - 1)

gde je: d = debljina otkopanog sloja,

d' = preostala supljina,

h = debljina slojeva - bankova koji se lome,

k = koeficijent rastresitosti: 1,25 do 1,50 na pocetku zarusavanja; 1,05 do1,25 na kraju procesa, za konsolidovan zaruseni materijal.

Kada se na nekoj visini gde prosecna debljina slojeva h', stvore uslovi da je

(2do2,5)h' > d'

zarusavanje postaje regularnije, u veeim blokovima koji postupno zasvodavajuzonu zarusavanja.

Slobodna supljina nastala otkopavanjem i dalje ee se smanjivati, po zakonu,

d" = d - [h(k - 1) + h'(k - 1)]

Na nekoj visini gde je prosecna debljina slojeva h", bice

h" > d

i nastaje raslojavanje, sa savijanjem i uleganjem slojeva, (slika 1.3 - zona 1b). Udonjem delu ove zone javice se pukotine i povecana ispucalost, au gornjem prslinei manja ispucalost.


Postupno se uspostavlja samonosivost slojeva, smanjuje se raslojavanje i stvaraju uslovi za kompaktno-zajednicko uleganje preostale krovine do povrsine terena- zona 1e.

Kompaktno uleganje iz zone 1e, zavrsava se ulegnucem na povrsini terena,pri cemu se mogu javiti tri slucaja:

Prvi, da je na ulegnueu nastalo ravno dno, odnosno da u jednom sredisnjemdelu vise tacaka imaju najvece moguce uleganje u datim uslovima,

U = Umax.aps.

avo je redi slucaj u praksi i nastaje kada je otkopana nad-povrsina, (odnemackog "Uberflaehe"), odnosno kada se uglovi '1/;, '1/;1, '1/;2, seku iznadpovrsine terena.

Nad-povrsina

Slika 1.4.

Drugi, da na povrsini terena sarno jedna taeka u kojoj se seku uglovi '1/;, 'lPt, '1/;2,

ima maksimalno moguce uleganje. Ovo je vise teoretski slueaj i sluzi zadefinieiju pune povrsine otkopavanja (od nemackog "Vollflaehe").

Treei, da na povrsini terena uleganje nije dostiglo najveeu mogucu vr,ednost veeJe

U = Umax.rel.

Ovaj slucaj nastaje ako je otkopana pod-povrsina (od nemackog "Teilflaehe"), odnosno ako se uglovi '1/;,'1/;1,'1/;2, seku u krovinskom masivu. Tojerealan slucaj u praksi pri otkopavanju manjih povrsina, ili pri otkopavanjuvecih povrsina na veCim dubinama.

Pojava nekog od ova tri slucaja zavisi u prvom redu od odnosa otkopanepovrSine prema dubini.


Smatra se da je u slucaju otkopane pune povciine potkopani krovinski masivzahvacen najveCim mogucim pomeranjima, i da je u tom slucaju rasterecen odnaponskog stanjakoje je vIadalo do otkopavanja. Sa izvesnim dopustanjem mozese smatrati da se posle konsolidacije potkopanog masiva uspostavIja naponskostanje koje pribIizno odgovara onom pre otkopavanja.

Granice zone rasterecenja u masivu mogu se pribUzno, aU sa dovoljnom tehnickom tacnoscu, odrediti uglovima punih pomeranja. To se koristi pri racunanjuoslonackog pritiska ispred otkopa.

Pri resavanju konkretnih zadataka iz rudarske prakse, kao sto je primer otkapavanja ispod hidro-objekta, potencijalna opasnost se ocenjuje na osnovu visinezone zarusavanja, odnosno visine zone ispucalosti.

Visina zone zarusavanja moze se orijentaciono sracunati na osnovu sledeceg razmatranja.

Ako se povrsina zone zarusavanja aproksimira povrsinom polu-elipse, za ravanski slucaj moze se postaviti sledeCi odnos:

pz· k = Pz +P3

gde je k koeficijent rastresitosti konsolidovanog zarusenog materijala,

Ih7l"

PZ=T

Pz = 2ld

pa sledi,

Ih7l" . k = Ih7l" +21d2 2

17l"

h.-(k-l)=2Id2


odakle je visina svoda zarusavanja.

h = 4d1r(k - 1)

21

(1.5)

Komentar: Pri odredenoj punoj povrsini otkopavanja, kada. je proces pot

puno razvijen, visina zone zarusavanja zavisiee sarno od otkopane dehljine sloja i

koeficijenta zarusavanja konsolidovanog materijala..

Ako bi ovako odredena visina hila jednaka ili veea ad dubine otkopavanja,

javice se na povrsini terena prolomi, kroz koje su moguCi iznenadni prodori vode

u Jamu.

U literaturi se daju iskustveni obrasci, za visinu zone zarusavanja;

hia = (2do6). d

Slicna formula daje se za visinu zone poveeane ispucalosti i pukotina, koja

omogueuje poveeanu vodopropusnost i prilive u jami veee od onih koji su bili u

fazi pripreme i razrade lezista

h1b = (15do20)· d

Na slican naCin moze se sracunati visina zone manje ispucalosti, i prslina kroz

koju je vodopropusnost ogranicena, a prilivi vode u jamu ostaju isti kao u fazi

pripreme i razrade lezista.

hie = (20 do 40) . d

Primer 1.1.

Sracunati visinu zone zarusavanja za otkopanu debljinu sloja d=5 m, i konsolidovani zaruseni materijal od glinenih skriljaca sa koencijentom k=l,l1,

4·5

h= 3,14(1,11-1) =57,9m

Zakljucak: Ako bi se otkopavalo ispod vodotoka, zaokruzeno, na dubini manjojod 60 m, doslo bi do prodora vode u jamu, ili ako nema. vodotoka doalo bi do

ve1ikih proloma na povrsini terena.

22

1.4.


Prikaz procesa u masivu

Poznavanje procesa pomeranja masiva oko rudarskih radova zavisi od dostupnosti, u njemu potkopanih i nepotkopanih prostora. Ovi prostori su najeescenedostupni za neposredna kvantitativna proueavanja, tako da se tumaeenje procesau masivu zasniva na rezultatima merenja izvrsenih u podzemnim prostorijama ina povrsini terena. Praznine se dopunjuju dopunskim istrazivanjima na modelimaod ekvivalentnih ili optieki aktivnih materijala, i merenjima u busotinama krozpotkopani masiv.

Zbog toga se jos uvek sva prikazivanja procesa u masivu i izdvajanje pojedinih oblasti, sa kvalitativno razliCitim naponsko-deformabilnim stanjem, moguprihvatiti kao uslovno realna stanja pri oceni stabilnosti rudniekih prostorija iizboru optimalnog mesta njihopve lokacije.

Provokativna jasnoca i jednostavnost geometrijske interpretacije izmerenihpomeranja na povrsini terena, ukazala je na nogucnost da se na istoj metodologiji analizira i proces pomeranja u potkopanom masivu.

Prve radove u tome dali su nemaeki autori koji su za sobom imali bogatoiskustvo i rezultate dugogodiSnjih sistematskih merenja na povrsini terena i upodzemnim prostorijama [67].Realna pretpostavka u njihovim istrazivanjima bila je da se preko razliCitih predznaka sraeunatih deformacija (izduzenja-skracenja) mogu izdvojiti oblasti razliCitog stanja u masivu.

Prvi je na ovu mogucnost ukazao nemaeki aut or Bals, pokazavsi da se ponjegovoj metodi mogu sraeunati uleganja na raznim dubinama u potkopanommasivu, a na 0snovu njih i deformacije izmedu susednih taeaka koje leze na istojvertikali [9, 10, 49].

Na taj nacin sracunate su prvo deformacije izmedu susednih tacaka koje lezena raznim dubinama po istoj vertikali, a zatim i horizontalne deformacije izmedutaeaka na horizontalama, koje leze na razliCitim dubinama.

Na slici 1.5, prikazane su na petrazlicitih nivoa prosecne vrednosti dilatacijau mm/m, za visinske razlike od 100 m izmedu susednih horizon at a i to za slueajpune povrsine otkopavanja kadaje Umax.aps. = 1,0 m.

Neposredno iznad otkopanog prost ora izdvojio se deo masiva u kome se nasvim nivoima javlja Umax.aps. (nema razlike po vertikali, nema deformacija),odnosno oblast u kojoj vlada rasterecenje od primarnog naponskog stanja u maSIVU.

Od vertikale kroz granicu otkopanog prostora, ka oblasti rasterecenja izdvajase zona izduzenja, aka perifernom delu ulegnuca zona skracenja. Uzoni izduzenja


vlada stanje vertikalnog istezanja, a u zoni skracenja stanje vertikalnog pritiska.Aka zamislimo da se u zoni istezanja nalazi vertikalno okno, duz njegove oblogevladalo bi stanje istezanja, koje bi se pojacavalo od povrsine ka sloju. U slucajuda je okno u zoni skracenja, duz obloge bi vladao vertikalni pritisak.

---+ --

Zonarasterecenja

Ho=500m

HI = 400 m

H4= 100 m

Slika 1.5. - Izduzenja-skracenja po vertikalama na raznim dubinama

Na slici 1.6, prikazane su dilatacije u mm/m sracunate iz razlike horizontalnihpomeranja na pojedinim horizontima. Izdvajaju se zone razliCitog stanja u istimgranicama kao i vertikalne deformacije, sarno sa obrnutim predznacima. U zonamasa vertikalnim izduzenjima, javljaju se horizontalna skracenja i obrnuto.

- ----4-- + - -:-1

Zonarasterecenja

Ho=500m

H2 =300 m

H4 = 100 m

Hs= 0.00 m

Slika 1.6. - Izduzenja-skracenja po horizontalama na raznim dubinama

Prikazane slike stanja deformacije obuhvataju i odgovarajuce naponsko stanje;zato se u zonama izduzenja, usled zatezanja, javljaju pukotine, au zonama skracenja podzemni pritisak.

Na slici 1.7, prikazane su zapreminske dilatacije elementarne kocke stenskogmasiva u pojedinim zonama. Analogija vaZii za konture rudnickih prostorija.

24 1. Opsta razrnatranja

Slika 1.7. - Idealizovana slika zona podzem.nog pri tiska

Ovakva interpretacija daje rnogucnost dobijallja idealizovane slike kvalitativnog stanja procesa u rnasivu. Kvantitativno stanje - odredivanje vrednostinapona u pojedinim taekama masiva - znatno je slozeniji zadatak (videti potpoglavlje 1.5). Nairne, sekundarni naponi, koji se javljaju usled narusavanjaravnoteze potkopanog masiva, dovode do pojave podzemnog pritiska. U zavisnostiod vrednosti primarnog napona u neporemecenom masivu i vrste stena, masiv serazliCito deformise (plastieno tecenje, krti 10m stena - gorski udar, bubrenje u prisustvu vode); pa je to, verovatno, razlog razliCitih definicija podzemnog pritiska ustruenoj literaturi.

Na sIikama 1.5, 1.6 i 1.7, prikazane su interpretacije za punu povrsinu otkopavanja, koja je Cisto teoretski slueaj. Realne situacije u praksi su sIucajevi podpovrsine i nad-povrsine.

Geometrijske interpretacije i za ova dva slueaja mogu se izvesti iz slika 1.5 i1.6. Treba zamisliti da su sIike preseeene vertikalno po sredini oblasti rasterecenja,a zatim da se polovine razdvajaju za sIucaj nad-povrsine, iIi preklapaju za slucajpod-povrsine.

Za slucaj nad-povrsine, zone i dijagrami izduzenja-skracenja se ne menjaju,povecava se sarno zona rasterecenja, u kojoj ulegnuce irna ravno dno.

Za slucaj pod-povrsine oblast rasterecenja se smanjuje i zahvata sarno donjideo masivaj zone i dijagrami vertikalnih izduzenja sa sIike 1.5, i horizontalnihskracenja sa slike 1.6, se poklapaju. Novo stanje se dobija superponiranjern poklopljenih dijagrarna.


1.4.1. Opsta zapazanja 0 preraspodeli primarnogpo"dzemnog pritiska

25

Oblasti razlicitog naponskog stanja izdvojene na osnovu sracunatih pomeranja i deformacija, posledice su fizicko-mehanickih procesa 11 masivu, od pocetkanjegovog razravnotezavanja, do zavrsenog uravnotezavanja.

U tom procesu, krovinske naslage gube oslonac i ne prenose vise svoju tezinuneposredno na sloj i podinu. Oslonac se formira bocno 11 vidu postupnog zasvodavallja nezarusenih stena, uz pojavu dodatnog pritiska izvan granice otkopa.

Povecani pritisak izaziva s~kundarne pojave 11 vidu pomeranja okolnih stenskih naslaga ka otkopanom prostoru, raslojavanje krovine, izdizanje podine, raspucavanje i odlamanje uglja na slobodnim povrsinama.

Merenjem pomeranja i deformacija u prostorijama izradenim kroz krovinu,podinu i sloj, dobijena je u izvesnoj meri i kvantitativna slika ovih pojava, pri cemunajvecu paznju privlaCi pojava povecanog oslonackog pritiska. Oslonacki pritisakna ugljeni sloj u granicnoj zoni otkopanog prostora, formira se usled prenosenja.tezine krovinskih naslaga koje se u vidu konzole nadnose nad otkopani prostor ioblast rasterecenja (slika 1.8).

,H ,H

Slika 1.8. - Uproscena sema prera.spodele pritiska sa povecanim oslonackimpritiskom ispred otkopa, za slucaj pune povrsine otkopavanja

Laboratorijskim i terenskim istrazivanjima dobijene su poluempirijski obrascipomocu kojih se mogu sracunati prostorne geometrijske karakteristike ove oblastii vrednost normalnog napona za ravan sloj.Merenjima u nadkopanim prostorijama dobijeno je da se kvalitativno - kvantitativna slika procesa skoro simetricno preslikava i na podinski deo masiva, ispodotkopanog prostora.

Sve ove pojave su posledica istog procesa, koji direktno zavisi od otkopnedinamike, geoloskih karakteristika i fizicko-mehanickih osobina stenskog masiva.To uslovljava da se zavisno od koraka zarusavanja ovaj proces neprekidno obnavlja."na mahove" .

26 1. Opsta r&zmatranja

1.4.2. Proucavauje procesa. na nlodelima

Uopstena slika proces" iz prethodnog poglavlja dobijena je Cistc geometrijskimtumaeenjem rasporeda sracunatih deformacija razlicihig predznaka. Ova konturnaslika popunjavanaje postupno detaljima dobijenih putem po!"rednih istrazivanja namodelima, ili neposrednim merenjem pomeranja repera u busctinama i rudnickimprostorijama koje se nalaze u potkopanom masivu.

Za modelska istrazivanja koriseeni su modeli izradeni od opticki-aktivnih iekvivalentnih materijala.

Modeli od opticki-aktivnih materijala koriste se za ova istrazivanja od 1940.godine. Dobijeni rezultati su prihvatani uvek sa izvesnom rezervom,jer karakterisu<:istoelasticnu sredinu.

Sa veCimpoverenjem prihvatana su istrazivanja na modelima od ekvivalentnihmaterijala, koja su zapoceta 1937. godine u VNIMI Institutu-Lenjingrad, a kasnijei u drugim institutima slicnog profila u SSSR-u [39,40, 41, 76].

Rezultati modelskih istraiivanja razliCito su prihvatani u praksi, od precenjivanja do potpunog negiranja.Postupno ova su istrazivaja dobila svoje mesto u okviru kompleksnog proucavanja,kao jedina mogucnost da se dobije slika procesa u nepristupacnom delu masiva.Pokazalo se da su rezultati dobijeni u simuliranim uslovima na modelima saglasnisa rezultatima merenja u prirodnim uslovima, sto je omoguCilo da se proces samodela uporeduje sa procesom u prirodi.

Na slikama 1.9 i 1.10, prikazane su potpunije slike procesa za slucaj horizontalnog i nagnutog sloja, sa oblastima i zonama razliCitih stanja u masivu.

- Zarusavanj~, kada se pojedini delovi i blokovi izdvajaju od krovinskogmasiva, lome i padaju u otkopani prostor.

- Savijanje, koje se javlja u vidu nejednakih pomeranja tankih slojeva upravno na slojevitost, pri cemu oni gube ili ne gube svoju kompaktnost.

- Sabijanje masiva, pojava pri kojoj stene znatno menjaju svoju zapreminu.

- Smicanje, u vidu relativnog medusobnog pomeraja pojedinih delova sten-skog masiva, uz zanemarivanje promene njihove zapremine.

Na osnovu ovih pojava i njihovih prateCih posledica izdvojene su sledeceoblasti i zone u potkopanom i natkopanom lllasivu:

Oblast rasterecenja (1), u kojoj se izdvajaju sledeee zone,

Zona zarusavanja (I-a), koju karakterise neregularno zarusavanje u donjem delu, a u gornjem delu savijanje i regularnije zarusavanje.


Slika 1.9. - Pomeranje stenskog masiva za slucaj horizontalnog sloja

Slika 1.10. - Pomeranje stenskog masiva za slucaj nagnutog sloja

27

Zaruseni materijal iz ove zone gubi vezu sa okolnim masivom, direktno naleze napodinu otkopanog prostora i postupno se konsoliduje primajuCi tezinu vise lezecihnaslaga, sve dok se ne ostvari puna povrsina otkopavanja i rasterecenje ne zahvatipovrsinu terena.


Ovu zonu karakterisu: visina, koeficijent rastresitosti zaruiienog materijala,vrednost ugiba sloja iZl1adnje, sposobnost konsolidacije zaruSenog materijala.Poznavanje ovih karakteristika je potrebno za otkopavanje gornjih slojeva, a posebno za ocenu pojave proloma na povrsini terena u slucaju otkopavanja na malimdubinama.

Zona savijanja (l-b), bez gubitka samonosivosti slojeva; sa veeim pukotinama i supljinama izmedu savijenih slojeva u danjem delu, au gornjem sa manjimpukotinama i prslinama, koje se pri otkopavanju na veeim dubinama postupnogube prema povrsini terena.Karakteristike ave zone sn visina koju zahvata cleo poveeane ispueaJosti u smisluvodopropusnosti i raslojavanja sa meduprosLorima u smislu kaJektora metana imesta na Kojima se slojevi lome, odnosno geometrijsko mesto taeaka maksimaJnihkrivina koje odreduje graniee zone ra."tereeenja.

Poznavanje ovih karakteristikaje potrebno pri resavanju problema putem kontrolisanog zarusavanja krovine, otkopavanju ispod vodotoka i hidrotehniekih objekata, odredivanju redosleda otkopavanja u slueaju veceg broja slojeva.

Zona kompaktnog uleganja (I-c) je deo masiva izmedu zone (I-b) ipovrsine terena, bez raslojavanja i znatnijeg povecanja njegove zapremine, sa pojavom ulegnuea na povrSini terena.

Ove tri zone izdvojene su u oblasti rastereeenja na osnovurazlieitih pojavakoje su prisutne pri pameranjima upravna na slojevitost, uz uslov da se otkopavana takvoj dubini, koja omogucuje potpuno razvijanje procesa.RazliCitost ovih pojava javlja se i n praven paralelnom sa slojevitoscu.

U srednjem delu zone rastereeenja proees je ravnomerniji, sa priblizno istim iparalelnim vektorima pomeranja.

Boeno ka perifernom delu oblasti rasterecenja ka granienom delu otkopanogprostora, slojevi se savijaju i konzolno nadvisuju otkopani prostor, formirajuCioblast savijanja.

Oblast savijanja (2), u kojoj preovladava raslojavanje naslaga u vidusavijanja tankih slojeva i narusavanja njihove prirodne kompaktnosti.

Deformacije u ovoj zoni su istezanja, oclnosno skracenja i zavise od polozajaposmatrane taeke u odnosu na neutralnu liniju savijenog sloja.Konzolni deo ove zone koji visi nad otkopanim, optereeuje svojom tezinom neotkopani sioj uglja kao oslonac, stvarajuci zonu povecanog-oslonaekog pritiska.

Oblast oslonackog pritiska (3) javlja se u perifernom delu masiva zahvacenog pomeranjima, na koji se pri ponovnom uravnotezavanju prenosi tezinanezarusenih krovinskih naslaga uslovljavajuCi stanje povecanog pritiska.

Uslovno nazvan "oslonac" moze biti neotkopani cleo ispred i iza otkopa, si-


gumosni ili zastitni stub, konsolidovani zasip u starom radu.

U oblasti oslonackog pritiska narusava se stabilnost rudnickih prostorija, povecava se egzo-ispuealost U ostavljenim zaStitnim stubovima, sa moguCim izbojimauglja i materijala. Sve to utice na radnu sredinu, pa je prostorno definisanje ovihutieaja, odnosno geometrijsko dimenzionisanje i odredivanje naponskog stanja uoblasti oslonackog pritiska, osnovni zadatak pri oeeni stabilnosti rudnickih prostorija.

Geometrijski ova zona se odreduje duzinom (£0), visinom (H k), dubinom (H p).

Naponsko stanje definisu normalan napon (era), odnosno deformaeije upravnena slojevitost (Da) i koefieijent koneentraeije napona (K) u ugljenom sloju.

Geometrijske karakteristike se racunaju pomocu empirijskih formula dobijenihmerenjima u laboratorijskim i prirodnim uslovima.

Kvantitativna slika naponskog stanja odreduje se analiticko-empirijskim proracunom maksimalnih vrednosti normalnih napona i koeficijenta koncentraeijenapona u sloju, sto nije obuhvacCllOproblematikom koja se proucava u ovoj knjizi.

Povezanost geometrijsko-naponskih karakteristika proizilazi iz racunanja napona na osnovu poznatih deformaeija, odnosno sracunatih ili izmerenih pomeranjapo konturi rudnieke prostorije ili busotine.

Na sliei 1.11 vidi se sematski prikaz primarnih i sekundarnih pomeranja ipreraspodela pritiska u potkopano-nadkopanom masivu za sve slucajeve otkopanepovrsine sloja [51].

1.4.3. Proucavanje procesa pomeranja dubinskimreperima u potkopanom masivu

Neposredno proucavanje procesa pomeranja u masivu moguceje sa dubinskimreperima ugradenim u bUSotine koje se lociraju u zoni uticaja otkopavanja.

Dobijeni rezultati upotpunjuju sliku proeesa odredenim detaljima koji se samena ovaj naCin mogu odrediti.

Pomeranje dubinskih repera prati se geometrijskim ili fizickim metodamamerenja, instrumentima i metodama prilagodenim za rad u busotinama.

Reperi mogu biti mehanicki povezani (zica, sipka) medusobno i sa mernomstanieom na povrsini, ili slobodni. Ovi drugi najceSce sadrZe radioaktivni izvor,koji omogucuje da se promena njihovog polozaja registruje autonomnim radiografskim uredajima, koji se prilikom merenja spustaju u busotinu.

Reperi sa mehanickom vezom koriste se u stenskom masivu u kome jemoguca stabilnost neoblozene busotine u duzem vremenskomperiodu.


Sl. 1.11-a. - Otkopana pod-povrsina

Sl. 1.11·-b. - Otkopana puna povrsina

Sl. 1.1F-c. - Otkopana nad-povrsina

Slika 1.11. - Sematski prikaz pomeranja i pritisaka u potkopanomi natkopanom masivu, po Niede:hofer-u [51J.


U, za tu svrhu izradenoj speeijalnoj busotini stabilizuju se na odredenoj du

bini 5 do 7 repera, Cija konstrukcija zavisi od fizicko-mehanickih osobina stena,

precnika buSotine i ostalih faktora koji utiCli na cvrstu vezu repera sa zidom.

Na slid 1.12-a dat je sematski prikaz mehanickog repera u odgovarajucim

uslovima. Reperi su konstruktivno jednostavni, ali je njihova ugradnja"u buSotinu

slozena. Promena polozaja prati se nivelanjem usta busotine i protivtegova kojima

je ziea opterecena na povrsini terena.

a. b.

Slika 1.12. - Sematski prikaz mehaniekih i radioaktivnih repera u busotinama

a) I-bubanj sa zicomj 2-zica, sipkaj 3-reperj 4-ispunaj 5-vezasa susednim reperom. b) I-bubanj sa kablom i dubinometromj2-zica, kablj 3-detektor; 4-oblozna kolona; 5-radioaktivni reper.

Savremeni materijali i pribori za merenja omogucuju konstruktivno usavrsa

vanje repera, njihove veze sa masivom i metode merenja. Postoje i kombinacije

sa ugradenim dilatometrima, kod kojih je osim osnovnih prineipa reper-busotina,

razlicit postupakmerenja.

Tacnost ovih merenja u vidu srednje polozajne greske po visini je ± (3 do5) mm, do dubine 400 m; a tacnost deformaeija, pri rastojanju izmedu repera

50 m, je ± (0,5 do 1,0)-10-4.

Radioaktivni reperi sadrze izvor izotopa kobalta (Co-60), a koriste se u

stenskom masivu male cvrstoce, kadaje neophodno oblaganje busotina. Ugraduju

se pomocu speeijalnih performatora, a njihova pomeranja se registruju daljinskom

detekeijom sa gama-karotainim uredajima. Periodicnim merenjima registruju se

promene polozaja repera po osi busotine. Razvoj opto-elektronike omogucuje

usavrsavanje ovih uredaja i povecanje tacnosti dobijenih rezultata (s1. 1.12-b).


Taenost odredivanja visinskih razlika izmedu usca okna i repera je ± (5 do10) mm do dubine od 300 m, preko koje merenje postaje slozenije zbog rada sakarotaznim kablom.

Istrazivanjima obavljenim u okviru Kazahske Akademije nauKa (30,31], ovimnaCinom proueavanja, analizom razvoja procesa u zavisnosti od napredovanjaotkopa, izdvojene su tri vremenske faze i tri prostorne oblasti razliCitog stanjau potkopanom masivu. Rezultati se odnose na Karagandiski ugljeni hazen, aliistovremeno ukazuju na opstu zakonomernost procesa u masivu.

Vremenske faze karakterisu stanja kroz koja prolazi maslv zaVlsno odudaljenosti otkopa.

Prva faza obuhvata poeetak procesa pomeranja masiva ispred otkopa, sapojavom intenzivnog oslonaekog pritiska u donjem delu, konzolnog povijanja usrednjem delu, formiranja perifernog dela ulegnuca na povrsini terena.

Druga faza obuhvata deo procesa kada se masiv nade iznad otkopa; sa intenzivnim zarusavanjem donjeg dela krovine, gaSenjem intenziteta procesa ka gornjimdelovima masiva i kompaktnim uleganjem najvisljeg dela koje formira srednji deoulegnuca.

Treea faza koja nastaje sa udaljenjem otkopa, obuhvata potpuno razvijenproces, sa postepenim stisavanjem njegovog intenziteta od otkopanog prostora dopovrsine terena.

Prostorno izdvojene tri oblasti sa razlieitim pojavama, potvrduju rezultatemodelskih istrazivanja opisanih u podpoglavlju 1.4.2.

Prva oblast obuhvata neregularno zarusavanje neposredne krovine, i zarusavanje u veCim blokovima osnovne krovine.

Druga oblast obuhvata intenzivno raslojavanje i egzo-pukotine u srednjemi delimieno gornjem delu masiva.

Treea oblast obuhvata kompaktno uleganje gornjeg dela masiva sa ulegnucern na povrSini terena.

Posebna zapazanja iz ovih istrazivanja odnose se na pojave raslojavanja, kojemanje zavise od rudarsko-tehnickih uslova eksploatacije, a vise od cvrstoce masiva.

U masivuslabe cvrstoce raslojavanje se odvija brzo i kratkovremenogje karaktera, za razliku od raslojavanja u masivu vece cvrstoce u komeje veca samonosivostraslojenih stena, a sam proces raslojavanja traje duze, prateci postupno konsolidaciju zarusenog materijala iz donjeg dela masiva.

U veeem broju izvrsenih merenja dobijene su na rastojanju 50-60 m iza otkopaskoro iste vrednosti uleganja dubinskih repera, sto ukaziuje da se konsolidacija

1. Gpata razmatranja 33

zaruaenog materijala, odnosno formiranje novog oslonca, javlja na relativno malomrastojanju od eela otkopa.

Zavisno od cvrstoee stena i sastava neposredne krovine, rasiojavanje poCinjeneposredno iznad eela otkopa, ili odmah iza eela ka otkopanom prostoru.

U stenama veee c.vrstoee (5 do 7 KNjcm2) sa debljim slojevima u osnovnojkrovini, (15 do 20 m), raslojavanje po pravilu poCinje na nekom rastojanju od eelaotkopa, sa veeom koncentracijom oslonackog pritiska i bez neke stroge periodic.nostipri zaruaavanju, ato otezava dirigovano upravljanje krovinom.

U stenama srednje cvrstoce (2 do 4 KN j cm2), gde se smenjuju litoloaki slojevirazliCitog sastava, ali ujednac.ene cvrstoee, proces raslojavanja pocinje neposrednoiznad cela otkopa, sa povoljnijim uslovima za dirigovanim upravljanjem zarusavanjai pouzdanijom procenom pritiska na otkopnu podgradu.

U stenama male i srednje cvrstoee (1 do3 i 2 do 4 KNjcm2), sa izrazitomslojevitoseu i malom debljinom slojeva (1 do 3 m), raslojavanje poCinje izvan podgradenog prostora, ali za razliku od prethodnih sluc.ajeva, javlja se veee savijanjeslojeva u donjem delu masiva, bez izrazite prostorne i vremenske granice izmeduneposredne i osnovne krovine. Raslojavanje izmedu pojedinih slojeva je u ovomslucaju malo.

Sve to ukazuje na uslove koji stvaraju slozene pojave pritiska u otkopnompolju, sa pojavama iznenadnog i burnog zarusavanja. U pojedinim slucajevimasavijanje neposredne krovine moze se vizuelno pratiti ka starom radu, sa utiskomda se skoro sastavlja podina i krovina otkopanog prostora, sve do trenutka burnogzarusavanja, kome prethodi izrazito poveeani pritisak na celu otkopa.

Opisane zakonomernosti mogu posluziti pri izboru odgovarajuee otkopne podgrade i za predvidanje iznenadnih gasnih pojava u otkopnom polju.lznenadne pojave gasova u otkopnom polju u direktnoj su vezi sa pojavama zarusavanja i raslojavanja neposredne i osnovne krovine.

Opazanje dubinskim reperima omogueuje da se objasni zavisnost izmedu otkopane debljine sloja (d) i siedeCih karakteristika: koeficijenta rastresitosti zarusenogmaterijala (kz); koeficijenta rasIojavanja (kr); maksimalnog uleganja na povrsiniterena (Umax).

Uporedenjem vrednosti uleganja repera koji se nalaze neposredno iznad zonezarusavanja, sa debijinom otkopanog sIoja, dobijene su vrednosti koeficijenta rastresitosti konsolidovanog materijala iz oblasti zarusavanja, sto posredno ukazujena step en konsolidacije potkopane krovine.

lz dijagrama na slid 1.13-a vidi se da poveeanje visine neposredne krovine,smanjuje vrednost koeficijenta rastresitosti.

Promene koeficijenta rastresitosti sa udaijenjem od cela otkopa, (dijagrami na


[~lf14 j12

10

8

6

4 I

211.

Zavisnost koeficijenta rastresitosti (K)od visine neposredne krovine (h)

T-·----r-~...-...,-.--'y-__.__-r-·-··_r·-·-·-.-~-_I 1 12 13 1.4 1.5 16 17 K

Zavisnost koeficijenta rastresitosti od udaljenosti otkopa

A - proces se lagano razvija do

povrsine

B - proces se brzo razvija do po

vrsine

B

~--'--r--~-..,,~--_ro ~ 20 ~ ~ ~ ~}

udaljenost otkopaR K

[mm]

300

1.30

200

1.20K

'":i

1.10

1.00

raslojavanje

--------

Raslojavanje i koeficijellt rastresitosti uzavisnosti od udaljenosti otkopa

10 20 ~ 40 50 60 [m}u9-a1jenost ot,kopa

Slika 1.13. - Zavisnosti dobijene analizom pomeranja dubinskih repera

slici 1.13-b, 13-c) ukazuju na proces konsolidacije zarusenog materijala i njegovuticaj na pomeranje gornjih delova krovine. Analizom veeeg broja dijagrama zakljuceno je, da je zarusem materija! tek na rastojanju 30 do 50 m izlozen nekomuslovno "stalnom pritisku". Veea ili manja udaljenost tog mesta od eela otkopaukazuje da Ii proces prvo zahvata sarno neposrednu krovinu, a kasnije "na mahove"osnovnu i gornje delove krovine; ili odjednom brzo prostire kroz masiv do povrsineterena. Prvi slucaj je zapazen kada je neposredna i osnovna krovina od debljihslojeva peseara, a drugi za krovinski masiv izrazite slojevitosti. Razlika izmeau

uleganja repera (U r) na pojedinim dubinama. iotkopane debljine sloja (d), je uvekmanja od jedinice, odnosno d > U r. Ova razlika uslovo nazvana "gubitak otkopanedebljine" ukazuje na step en razrusenosti potkopanog masiva, odnosno na stanje


konsolidacije zarusenog i raslojenog dela krovine.

Za. istrazivanu lokalnost uleganje terena se smanjuje zbog nepotpune konsolidacije u zoni zarusavanja, za oko 0,3' d, a zbog preostalih supljina u zoni raslojavanja za ako 0,2· d, taka da za maksimalno uleganje na povrsini ostaje 0,5· d. Tosu orijentacione osrednjene vrednosti koje sarno ilustruju sliku stanja poremecajastabilnosti masiva pre potpunog stisavanja procesa. Vidi se da ave vrednosti najvise zavise od geoloske grade krovinskog masiva i vremenskog faktora procesapomeranJa.

Za stanje posle stisavanja procesa dobijeno je da su realne vrednosti ovihkoeficijenata: za Umax.aps. na povrsini terena (0,60 do 0,75)·d, za preostaloraslojavanje (0,15 do 0,10)·d, a za nepotpuno konsolidovanje zarusenog materijala(0,25 do O,15)·d. .

Opsta geometrijska slika polozaja pojedinih zona u potkopanom masivu dobijena iz ovih merenja prikazana je na slici 1.14. Maksimalno raslojavanje javljase na (0,15 do 0,30)·H od tela otkopa; zona intenzivnog raslojavanja na (0,30do 0,50)·H; na (0,80 do 1,0)·H, proces konsolidacije se stisava. Na visini (0,08 do0,10).H, odnosno (5 do 8)·d, je zona zarusavanja koja do visine (0,5 do 0,6)·H postupno prelazi u zonu raslojavanja, a preostalih (O,40-0,60)·H do povrsine terenaCini zonu kompaktnih uleganja.

T

H

(O.OB-O.l) ·H

Slika 1.14. - Geometrijska slika procesa. dobijena proucavajempomeranja dubinskih repera

Rezultati ovih istrazivanja prikazani su da bi se ukazalo na potrebu proucavanja pomeranja potkopanog terena dubinskim reperima, kao jedne od metoda zadobijanje podataka neophodnih za upotpunjavanje slike diskretnosti procesa umaslVU.


1.4.4. Proucavanje procesa pomeranja merenjem u potkopanim i natkopal1im rudnickim prostorijama

DostUPllost rudnickih prostorija za neposredna 0paZanja u samom masivuomogllcuje potpunije kvantitativno resavanje sledeCih zadataka: odredivanje iproveru opstih geometrijskih karakteristika, istih onill koji se dobijaju merenjem napovrsini terena; proucavanje diskretnosti procesa II smislu uzajamnog ponasanjastrllktllrnih delova masiva (slojeva, blokova) pri njihovom deformisanjll u tokllprocesa pomeranja; odredivanje geometrijskih parametara zone oslonackog pritiska; ocenu naponskog stanja i narusenosti okolnog masiva.

Merenja se obavljaju u vec postojecim prostorijama ntvaranja i razrade, pogodnim za ugradnju repera po njihovoj kontmi. Izuzetno, za specijalna istrazivanja, rade se samo za tu svrhu posebne prostorije.

Odredivanje geometrijskih karakteristika procesa zasniva se na vrednostimapomeranja izmerenim na odredenim karakteristicnim tackama u prostoriji. Poseban problem pri tome predstavlja razdvajanje dva glavna uticaja; jedan je odotkopavanja, a drugi od prostorije u kojoj se meri, jer ona predstavlja odredenidefekt mase u masivu. To uslovljava braj, naCin ugradivanja i sklop repera nastanici za opazanje.

Reperi se ugraduju po pruzanju i po konturi poprecnog preseka prostorije.Reperi po pruzanju odreduju mesto stanice i istovremeno su i osnovni reperi uodnosu na ostale koji se ugraduju po poprecnom preseku prostorije.

Pomeranje sarno od uticaja otkopavanja opaza se reperima koji se ugraduju ubusotinama dllbine 2-3 m, tako da prenesu pomeranja sarno od masiva izvan prostorije. Ukupna pomeranja opazaju se kraCim reperima koji se ugraduju neposredno

u bokove, krovinu iPQdinu prostorije. Kombinuju se reperi po pruzanjll postavljeni na istom medusobnom rastojanju kao i reperi na povrsini terena. Stanicll Cine

najmanje cetiri repera po kontmi prostorije.

Merenja se obavljaju standardnim metodama, po tehnologiji jamskih poligonskih i niveimanskih vlakova.

Obrada podataka je u vidu tabeIarnog i grafickog prikazivanja vertikalnih ihorizontalnih pomeranja, deformacija, i njihovih vremenskih dijagrama.

1.4.5. Ocena stabilnosti masiva geofizickim. metodama

Koncentracija napona u pojedinim delovima masiva dovodi do iznenadnihpojava razravnotezavanja - gubitka stabilnosti. Ocena potencijalne ugrozenostizasniva se na detekciji odredenih fizickih pojava koje prate diskretnost procesa i


prethode lomovima stenskih masa. Te pojave se registruju instrumentima, priborima i metodama koje spadaju u oblast geofizickih merenja. Pomenueerno samoona merenja koja se danas rutinski obavljaju u rudnickim prostorijama, sa portabilnim instrumentima serijske izrade.

Stenski masiv je realna sredina koju u opstem fizicko-strukturnom smislukarakterise diskontinualnost, prirodna napregnutost, heterogenost i anizotropnost.Ta realnost stenskog masiva primarno je uslovljena zakonima formiranja zemljinekore, a sekundarno se intenzivira izvodenjem rudarskih radova. Struktura i naponsko stanje takvog masiva posledica je njegovog prilagodavanja pojavama pritiska,istezanja i smicanja, koji vladaju u odredenim delovima zemljine kore. Pored nejednorodnosti naponskog stanja, neheterogenost masiva odreduju i razliCite cvrstoee stena, razliCita deformabi1nost, clitolookisastav, izdeljenost na blokove raz1iCitogoblika i dimenzija. Ako se tome dodaju zapazanja geodinamickih rejoniranja, 0prisustvu poveeanih naprezanja u tektonskim zonama sa pojavama makro i mikroispucalosti, ondaje diskretnost u rasporedu napona osnovna karakteristika napregnutosti masiva.

Rudarski radovi u takvom masivu dovode do nove preraspodele napona, cijitok zavisi od intenziteta i slozenosti primarnog naponskog stanja. Pomeranje delova takvog masiva odvija se po postojeCim i novostvorenim ravnima diskontinuiteta. Naprezanja masiva prelaze granicne vrednosti, dolazi do burnih razaranja,sa lomovima razliCitog intenziteta, od stepena zemljotresa do najslabijih udara cijise impulsi mogu registrovati sarno instrumentima. Instrumentima se mogu registrovati impulsi .koji prate razaranja pri ispitivanju uzoraka na presi, pri busenju,pri udaru otkopnog eekiea, ili pri rezanju kombajna.

Registruju se impulsi koji nastaju pri promeni naponskog stanja masiva, kojeje praeeno promenom svih fiziekih karakteristika masiva, a posebno: seizmicnost,elektroprovodljivost, brzina prostiranja elasticnih talasa, akusticna i elektromagnetna emisija. Zbog toga se ova opazanja obavljaju geofizickim metodarna kojeomogueuju bo1ju operativnost i informisanost u odnosu na druge metode. Ci1jovih opazanja nije odredivanje apso1utnih vrednosti napona, vee snimanje fizickihfenomena koji se mogu povezati sa dinamickim pojavama pri pomeranju masiva.Na osnovuovih opazanja resava se problem stabilnosti rudnickih prostorija i reoniranja sa zonama potencijalno opasnim od gorskih udara.

Iz obimne literature posvecene ovoj problematici ovclese izdvaja monografija(82], zasnovana na podacima iz vise stotina ugljenih slojeva i vise desetina lezistameta1icnih i nemetalicnih sirovina u SSSR, potencijalno naklonjenih gorskim udarima. Razradene su metode prognoziranja stepena opasnosti, udaljenost i intenzitetnajveceg oslonackog pritiska, na osnovu snimanja i pracenja promena fizickog fenomena. U da.ljem tekstu navode se neke od njih, koje se rutinski koriste u rudarskojpraksi.


1.4.5.1. M~toda izazvane visokofrekventne akusticne emisije(vibro-seizmicka metoda) je zasnovana na direktnoj zavisnosti amplitudavestacki izazvanih signala u toku busenja, od vrednosti oslonackog pritiska. Razaranje stena.. pri busenju prate visokofrekventni impulsi male amplitude. Porednjih usled dinamickog dejstva busaee sipke na dno busotine, javljaju se i niskofrekventne prigusene oscilacije veee amplitude. Te oscilacije se prostiru kroz masiv,superponiraju na mestu merenja i registruju prijemnikom postavljenim neposrednona stenski masiv. Promenljivost uslova pri busenju odrazava se na prateee impulse.U oblasti povecanog oslonackog pritiska, povecana je i potencijalna energija deformacije masiva, sto neposredno utiee na vrednost sile potrebneza njegovo razaranjei akustienu provodljivost u toj zoni, usled cega raste amplituda impulsa.Za ova merenja konstruisan je u Instituti VNIMI pribOl: pod nazivom "Volna".

1.4.5.2. Metoda elektromagnetnog sondiranja zasnovanaje na promenispecificnog elektricnog otpora stena u zoni oslonackog pritiska, odnosno na pojavida se on smanjuje sa poveeanjem oslonackog pritiska. Deformacije stena oko prostorije iskazuju se kao anomalije specificnog elektro otpora, u odnosu na primarnostanje. Izdvajaju se dye zone. Jedna neposredno oko prostorije sa razruSenimstenama zaostale cvrstoee, i druga udaljenija, od stena sposobnih za akumuliranjeenergije pri njihovom elasticnom deformisanju i oslobadanju te energije u vidu di

namickih poja;va. Steneiz druge zone trpe uticaj poveeanog oslonackog pritiska.Otpor stena iz te zone obrnuto je proporcionalan rastojanju od mesta maksimalnogoslonackog pritiska.

Ocena potencijalne opasnosti od gorskog udara zasniva se na uporedenju maksimalne i prosecne vrednosti izmerenog specificnog otpora u drugoj zoni oko prostorije.

Pribor je konstruisan na principu prinudnog pobudivanja elektromagnetnogpolja visoke frekvencije, pri cemu nije potreban kontakt sa masivom. U InstitutuVNIMI ovi pribori se izraduju pod nazivom EG-IO, EG-6M.

1.4.5.3. Seizmicka bez-busotinska metoda je zasnovana na merenjubrzine prostiranja elasticnih talasa, frekvencije od 100 kHz. Maksimalna dub inarefrakcije ovih talasa prinudno izazvanih po konturi prostorije, odgovara zoni maksimalnog oslonackog pritiska. Iz hodografa refiektovanih seizmickih talasa moze seodrediti rastojanje od maksimuma oslonackog pritiska i njegova koncentracija natom mestu.

Na tom principu konstruisani su u Institutu VNIMI pribori pod naiivom EG4., EG-12.


1.4.5.4. Metoda· prirodne akusticne emisije je zasnovana na registraciji impulsnih elasticnih oscilacija, nastalih pri povecavanju ispucalosti usledos!onackog pritiska. NajveCi stepen akusticne emisije u vidu broja impulsa po jedinici vremena, registruje se pri deformaciji stena oko njihove granicne cvrstoce,na opadajucem delu krive dijagrama, pritisak-deformacija.

Na osnovu intenzivnosti akusticne emisije ocenjuje se prisustvo jednog adsimptoma gorskog udara, u ovom slucaju deformacije stena ako granicne cvrstoce.Uporeduje seodnos akusticnih impulsa razliCitog energetskog nivoa.Za ovu rnetodu konstruisan je u Institutu VNIMI pribor pod nazivom SB-32.

1.4.5.5. 1\1etoda prirodne elektromagnetne emisije zasnovana je naefektu elektrizacije stena usled dejstva podzemnog pritiska. Taj efekat je pracenelektricnim praznjenjem i gasnim izbojima u meduprostoru pukotina, sa impulsnim elektromagnetnim zracenjem u spektru radio talasa. Usled stalnog prisustva diskretnih dinamickih pojava i promena, neprekidno se odvija pretvaranjemehanicke 11 elektricnu energiju, uz pojavu impulsnog zracenja.

Povecanje krtosti stena, moduia elasticnosti, cvrstoce, napona, a time i povecanje opasnosti od gorskih udara, prati povecanje elektromagnetnog zracenja.

Na tom principu konstruisani su u Institutu VNIMI pribori pod nazivom EG9 i EG-6M.

1.5. Pristup proucavanju procesa, izbormatematiekog modela

U istorijskom prikazu (potpoglavlje 1.1) je vec receno dasu dugogodiSnjimistrazivanjima dobijeni mnogi obrasci za izracunavanje pomeranja potkopanog terena. Zoog razliCitih geoloskih uslova i primenjenih metoda eksploatacije u rudnicima gde 8U vrsena merenja, i rezultati koji se dobijaju primenom ovih obrazacaznatno se razIikuju. U Iiteraturi se moze nati oko sto ovakvih - kako se obicnonazivaju - "teorija", od kojih se danas u raznim zemljama, staino Hi povremeno,koristi oko dvadeset. Ali detaljniji prikaz i ovog manjeg broja obrazaca zahtevan bi prilicno prostora, pa se umesto toga navodi sarno njihova podela premapretpostavkama pod kojima su izvedeni. Po ovom kriterijumu mogu se uglavnomrazlikovati cetiri grupe:

1. Empirijske metode,

2. Metode koje se zasnivaju na pretpostavljenom geometrijskom rasporedu uticaja eksploatacije,


3. Metode mehanike neprekidnih sredina, najce8ce teorije elasticnosti,

4. Metode matematicke statistike.

Empirijski obrasci cine najbrojniju grupu; zasnovani su na rezultatima neposrednih merenja i njihovom primenom moze se postiCi visoka tacnost, ali rezultativaze sarno u lokalnim uslovima. Geometrijske pretpostavke, u drugoj grupi, uvodese uglavnom bez egzaktnog dokaza 0 njihovoj korektnosti, cisto empirijski, pa suu tom pogledu ove metode bliske metodama prve grupe.

U treeoj grupi koriste se najcesee diferencijalne jednaCine teorije elasticnostii njihova resenja, uz obrazlozenje da naponi u masivu ostaju u granicama proporcionalnosti·, posta su deformacije male. Cak i kada se sracunate vrednosti, zahvaljujuei podesnom izboru integracionih konstanata; dobro slazu sa rezultatimamerenja, izvodenje ovih obrazacaje nekorektno, a obrazlozenje daje pogresnu slikuprocesa u masivu. Jer, ako su deformacije elasticne, u masivu se neee javiti puko

tine; a ako se prihvati Cinjenica da proces poCi~je sa pojavom pukotina, onda masivnije neprekidna sredina, pa nisu ispunjene pretpostavke pod kojima vaze izvedeniobrasci.

Jedini teorijski ispravan postupak pri proucavanju procesa u masivu koristise pri izvodenju obrazaca cetvrte grupe primenom metoda matematicke statistike,gde se polazi od pretpostavke da je masiv slojevit, izdeljen nizom pukotina naveliki broj deliea Cija pomeranja imaju stohasticki (slucajan) karakter.

Pomeranja masiva, kao zbir kretanja velikog broja klasticnih elemenata, pokorava se zakonima matematicke statistike. Medutim, obrasci izvedeni na ovaj naCinretko se koriste u praksi, jer sadrze koeficijente za koje se u strucnoj literaturinavodi da se ne mogu odrediti, posto nemaju odreden fizicki smisao.

Kao sto ee se kasnije videti, ovi koeficijenti mogu se dovesti u vezu sa geometrijskim karakteristikama procesa pomeranja u masivu. Medu njima su i granicniuglovi kojimaje, kao osnovnim parametrima, posveeen najveCi deo sledecegpoglavIja.

Statisticki model, koji se ovde dosledno primenjuje, kao i veeina matematickihmodela, daje uproscenu sliku pojave koju opisuje; u ovom slucaju smatra se daje proces u masivu odreden poljem njegovih pomeranja. Ova treba imati u vidukada su u pitanju, inace uobicajene, idealizacije a homogenosti i izotropnosti, kojeu ovim slucajevima treba shvatiti cisto statisticki, a vaze za masiv sa horizontalnim slojevima. Tacnije, ne odnose se na fizicke karakteristike masiva, nego nakinematiku procesa u njemu. Kod nagnutih slojeva, cak i kada je rnasiv fizickiizotropan, proces u njemu je, usled narusene simetrije, anizotropan; asirnetrija se

geometrijski izrazava razliCitim vrednostima granicnih uglova u profilu po padu.

Mada se pri izvodenju posmatraju sve tacke masiva, primena obrazaca ogranicava se sarno na njegovu povrsinu - potkopani teren, posta se dugogodiSnja sistern-


atska opazanja na mnogim rudnicima u svetu i kod nas odnose sarno na ovu oblast.Saglasno definiciji iz odeljka 1.2.1, pri racunanju pomeranja podrazumeva se daje proces uravnotezavanja zavrsen i sve tacke masiva miruju. Proracun trenutnihvrednosti pomeranja, u vreme kada je konsolidacija masiva u toku, izostavlja seiz istih razloga kao i u prethodnom slucaju: zbog oskudnih podataka u literaturi,obrasci se ne mogu verifikovati.

1.6. Pomeranja u masivu sa horizontalnimslojevima

1.6.1. Raspodela pritiska u slojevitoj sredini

Statisticki model prvo je primenjen u mehanici tla; posto su mnogi eksperimenti izvedeni pocetkom ovog veka pokazali da se naponi u peskovitim, sljunkovitim i jako ispucalim sredinama znatno razlikuju od vrednosti sracunatih poobrascima teorije elasticnosti. Proucavajuei napone u peskovitoj podlozi usledpritska dugackog prizmaticnog tela (zid, temelj zgrade), prema 1.1. Kandaurovu[29]' G.1. Pokrovskij je 1929. godine zakljuCio da se njihova promena sa dubinommoze prikazati normalnom Gausovom krivom.

Ako se pretpostavi da je sirina tela zanemarljiva u odnosu na njegovu duzinu,a pritisak ravnomerno rasporeden po povrsini tla, moze se s pravom zakljuCiti da sunaponi u vertikalnim ravnima upravnim na osu tela jednaki kada su ravni dovoljnoudaljene od njegovih osnova. Na taj naCin problem se svodi na odredivanje naponau ravnij ovakav problem u matematici se naziva ravanski, au posmatranom slucajujavlja se ravansko naprezanje. Za sredinu (podlogu) se pretpostavlja da se sastojiod deliea priblizno jednakih dimenzija, koji su simetricno rasporedeni jedan uodnosu na drugi (s1. 1.15). Na prvi pogled pretpostavka izgleda nekorektna, jertakva sredina u prirodi ne postoji, ali statisticki je ispravna, jer je kriva promeneu homogenoj sredini simetricna, pa i deliCimoraju biti "u proseku" simetricni.

Slika. 1.15.


Zahvaljujuci simetriji, sila koju prima jedan delic prenosi Be ravnomerno na clvasledeea, u sloju pod njim. Radi jednostavnosti posmatra se jedinicna sila, pa akose povrsinski sloj oznaCi kao nulti, delic uovom sloju prima na sebe celokupnusilu, dva delica u prvom sloju, na koja se oslanja delic iz nultog sloja, primaju popolovinu ove sile; u drugom sloju ivicni deliCi primaju po cetvrtinu, a srednji dyecetvrtine sile itd. Moze se lako utvrditi da se raspodela sila pokorava binomnomzakonu, pri cemu je p = q = 1/2 (videti odeljak 1.1.3).

(1.6)

gde je n - redni broj sloja, ao 'S k 'S n - redni broj deliea u posmatranom sloju.

Redni brojevi delica u prvom sloju su k = 0 i k = 1, pa posto je @ = G) = 1,biee PlO = PH = 1/2; u drugom sloju se na isti naCin dobija P20 = 1/4, P21 = 2/4i P22 = 1/4. Indukcijom se lako moze utvrditi da ista raspodela vazi i za deliee udubljim slojevima.

Pri ovom izvodenju pretpostavljena je, radi jednostavnosti, diskretna podelasredine. Poznato je, medutim, da kada n, k -.. 00, binomna raspodela tezi normalnoj, pa se raspodela pritiska zaista moze prikazati Gausovom krivom.

1.6.2. Ravansko uleganje

Matematicki model iz prethodnog primera moze se koristiti i za proucavanjeravanskog uleganja slojevitog masiva; uleganje ce biti ravansko ako je otkopanadugaeka oblast stalne sirine 2a i visine d. Opet se pretpostavlja da se masivsastoji od horizontalfiih slojeva izdeljenih nizom pukotina na jednake, simetrienorasporedene delice (s1. 1.16.).

Usled uklanjanja deliea u najnizem sloju, pocinju da se krecu deliCi u visim

slojevima; za njihovo kretanje pretpostavlja se da je ,stohasticko (slucajno), pase, umesto proucavanja kretanja, odreduje verovatnoca da delie prede u nizi sloj.Mesto koje ostaje upraznjeno u najnizem sloju moze da zauzme jedan od dvadeliea koji leze neposredno nad njim; zbog simetrije su verovatnoee ovih dogadajajednake, pa je njihova vrednost 1/2. Prateei dalje verovatnoce pomeranja iz visihslojeva, primeeuje se da vaii ista zakonitost kao u prethodnom primeru.


x-----

Slika 1.16.

43

Posto je uleganje ravansko, dovoIjne su dye koordinate - apcisa X paralelnosa slojevima (horizontaIno) i kota z vertikalno sa smerom navise - za odredivanjepolozaja deliea u masivu. Ako se sa 2bo oznaei sirina, a sa h njihova visina,koordinate pojedinih delieasu: Dnk(X-bo, z); Dn,k+l(X+bo, z); Dn+1,k+i(X, z+h),

pa jednaCina (1.6) izrazena pomoeu koordinata glasi

1F(x, z + h) = "2[F(x - bo, z) + F(x + bo,z)]

(1.7)

gde je F (x, z) funkcija verovatnoee uleganj a; iIi, posle oCigiednih transformacij a

F(x, z·+ h) - F(x,z)h

b5 F(x - bo, z) + F(x + bo, z) - 2F(x, z)2h b2o

Posto se uvedene koordinate menjaju kontinualno, treba izvrsiti granieni prelaz kada bo -. 0 i h -. 0, pa nastaje parcijalna diferencijalna jednaCina

of 1 /PF

fu - 2p5 ox2(1.8)

d· 1 I' b5g eJe -2 = Im-2po bo,h-O 2h

Ovakva jednaCina odavno je poznata u matematiekoj literaturi kao jednaCinatermodifuzije, posto je prvi put dobijena pri proueavanju prostiranja toplote duzhomogenog stapa. Ovakvo izvodenje diferencijalne jednaCine verovatnoee uleganjadaje H. Kratsch [37]' navodeCi kao autora J. Litwiniszyn-a i godinu 1957., ali bezpodataka 0 easopisu u kome je Hanak publikovan. Piscima ovog udzbenika poznatisu i ranije objavljeni radovi istog autora [43,44] u kojima se resava eak i opstijiproblem, ali ne i citirani, koji se ovde koristi i zbog jednostavnosti pristupa.


Jedno od partikularnih reilenja jednaCine (1.8) (videti odeljak 1.4.2) je

_ _ Kpo [ 1 ( z - i )2]F(z, X, z, Z) = J . - exp --2 Po v'Z=Z211"(z - z) Z - Z(1.9)

i u ovom slucaju predstavlja verovatnoeu uleganja u tacki M(x,z) usled uklanjanjadeliea u tacki M(i, z); pri tome mora biti z - z > O. Ako se tacka M(i, z) uzmeza koordinatni pocetak, uvede visinska razlika z - z = H, a integraciona konstanta

, . J(po. .. x - i ..l\ Izabere tako da bude .jH = 1 I uvede promenljlva t = Po VH ' blce

(1.10)

a to je poznati zakon verovatnoee normalne raspodele (1.8).

Ukupno uleganje u tacki M(x, H) na povrsini z = H masiva, dobija se kaozbir verovatnoea uleganja F(x, X, H, z) usled uklanjanja svih deliea M(i, z); popretpostavci otkopana oblast n je pravougaonik sirine 2a i visine d, pa ako se upreseku njegovih dijagonala postavi koordinatni pocetak, biee

U(x) = 11F(z,i,H,z)didzn

(1.11)

Takode se pretpostavlja da je visina d zanemarljiva u odnosu na dubinu H

sloja, tako da se bez veee greilke umesto integral a moze uzeti njegova srednjavrednost

d/2

1 F(x, x, H, i)dz = d· F(z, x, H, 0). -d/2

Najzad, koristeCi funkciju (1.7)

uleganje je

gde je Uo = Kd parametar Cija vrednost nije poznata, jer sadrzi integracionukonstantu K; Uo ima dimenziju duiine.


Iz prakticnih razloga jednostavnije je racunati sa parametrom

..;Iin=-·Po

45

(1.12)

a i dimenziono je podesniji: ima dimenziju duzine, za razliku od konstante P koja(to se vidi neposredno iz diferencijalne jednacine (1.8)) ima vrlo neuobicajenudimenziju [duzina]-1/2. Definitivno je

U(x) = UoXo(x)

gde je

Xo(x) = ~ [~ (a: x) +~ (a: x)]

1.6.3. Horizontalno pomeranje

Vektor pomeranja proizvoljne tacke M(x, y, z) masiva

(1.13)

(1.14)

pored uleganja U(x, y, z) ima u opstem slucaju i dye horizontalne komponenteP~(x, y, z) i Py(x, y, z) u pravcu osa Ox, odnosno Oy; koordinatni sistem postavljase na isti naCin kao pri racunanju uleganja. Kao sto je vec naglaiieno, primenaobrazaca ogranicava se na povrsinu z = H potkopanog masiva, pa se radi konciznosti u daljem tekstu ne pise U(x,y,H), nego U(x,y); takode Pr;(x,y), umestoP~(x, y, H) i Py(x, y) umesto Py(x, y, H). Analagno ravanskom uleganju, mozese uvesti i pojam ravanskog pomeranja, pomeranja pri kome sve taeke masivaostaju u istoj (vertikalnoj) ravni. Kao i u prethodnom slucaju pretpostavlja seda je otkopalla dugacka oblast stalne sirine 2a i visine d i da su horizontailli slojevi masiva izdeljeni nizom vertikalnih pukotina na priblizno jednake, simetricnorasporedene delice (s1. 1.16). Posto pri vertikalnom obavezno dolazi i do horizontalnog pomeranja deliea, na isti naCin kao u prethodnom primeru moze sezakljCiti da je verovatnoca G( x, z + h) horizontalnog pomeranja aritmeticka srerli-

na ~[G(x - bo, z) + G(x + bo, z)] verovatnoca horizontalnih pomeranja susednihdeliea. Medutim, verovatnoca da jedan od susednih deliea zauzme upraznjenomesto, zavisi i od razlike uleganja u ovim taekama, pa je definitivno

G(x, z + h) = F(x + bo, z + h) - F(x - bo, z + h) + ~[G(x - bo, z) + G(x + bo, z))


Iz ove jednaCine se, naslican nacin kao u prethodnom primeru (1.8), dobijaparcijalna diferencijalna jednaCina

(1.15)

G(x,x,z,z) = A(Z)~~

gde je A'(z) = 1imb,h-+o2~. Koeficijenti A'(z) i 2~5 zbog izotropnosti procesa nezavise od koordinate x.

U pravcu vertikale, naprotiv, nema homogenosti, pa u posmatranorn matematickom modelu treba smatrati da se visina h delica menja sa dubinom; prema

tome i koeficijente A'(z) i 212 u opstem slucaju treba'smatrati za neke funkcijePo

koordinate z. Oblik ovih funkcija ne moze se odrediti samo merenjetn uleganjapovrsine potkopanog terena. Pri racunanju uleganja ove povrSine (z = H) mozese uzeti (videti odeljak 1.4.4) daje po=Const, a za funkciju A'(z) pretpostavlja sesamo da postoji diferencijabilna funkcija A(z)., ciji je ona izvod.

Parcijalne diferencijaInejednaCine (1.8) i (1.15) Cinesistem kojimje odredenopolje verovatnoca pomeranja tacaka masiva. Posto je poznato reSenje (1.9) jednacine (1.8), moze se iz (1.15) nati verovatnoca G(x, x, z, z) horizontalnog pomeranja(videti odeljak 1.4.2 c)

Ukupno horizontalno pomeranje P.,(x), dobija se analogno ukupnom uleganju

(1.11), kao integral po oblasti n

d/2 a

P.,(x) = J dz j G(x,x,H,z)dx = y'2;Po [~(:I:~a) _ ~ (x: a)] (1.16)-d/2 -a

gdlde (videti odeljak I.1.4) ~(s) = ~exp( --2182),n = JH i Po = A(H)Uoy21l' Po nnovi parametar, koji kao i Uo ima dimenziju duzine, jer istu dimenziju imaju n iA(H), (iz jednaCine (1.15) sledi neposredno da je A'(z) bezdimenzioni koeficijent).PoSto je A(z) proizvoljna funkcija, vednost A(H) treba shvatiti kao proizvoljnukonstantu, pa nije odredena ni vrednost parametra Po.

Kao sto se vidi, jednaCine (1.13) i (1.16) sadrze tri parametra Uo, n, Po Cijevrednosti, kada su poznate, omogucavaju da se izraeuna (ravansko) pomeranje makoje taeke terena; u sledecem poglavlju, pored ostalog, govori se i 0 odredivanjunjihovih vrednosti.


Posto je na osnovu (1.11)q>'(x) = 2ep(x)

na osnovu (1.13) izvod

odgovara desnoj strani obrasca (1.16) i prema tome

dU

Px(x) = Cdxgde je

to= PoC = V 21rnUo

47

(1.17)

horizontalno pomeranje proporcionalno je nagibu krive uleganja u posmatranojtaeki terena. Do istog obrasca za horizontalna pomeranja, kada su slojevi u masivuhorizontalni, dosao je (koristeCi drugi matematieki model) S.G. Aversin [5].

1.6.4. Opsti slucaj

U opstem slucaju ne moze se oeekivati da srediste deliea masiva tokom kretanja bude stalno u istoj ravni, pa verovatnoca uleganja F mora zavisiti od svihkoordinata; u opstem slueaju i vektor pomeranja (1.14) ima sve tri komponente,patreba odrediti i verovatnoee horizontalnih pomeranja Gx(x, y, z) i Gy(x, y, z).

PrimenjujuCi sliean postupak kao u prethodnim primerima, dobija se sistem

oGx = A'(z) of +._1_ ({PGx + (PGx)oz ax 2p6 ox2 ay2

oGy = A'(z) of + 2.... ({PGy + a2Gy)oz ay 2P6 ox2 ay2

aF 1 (a2F a2F){h = 2p5 ax2 + ay2

Resenje poslednje jednaCine ovog sistema (videti odeljak 1.4.3)

F(x, x, y, jj, Z, z) = F1 (x, X, z, z) . F2(y, ii, z, z)

(1.18)

moze se dobiti i neposredno, bez postavljanja diferencijalne jednaCine; zbog nezavi

snosti uticaja pojedinih koordinata, ukupna verovatnoea uleganja bice prema (1.3)

48 1. OpSta razmatranja

proizvod verovatnoea Fl(x, X, z, z) i F2(y, ii, z, z). Kadaje poznato ovo reaenje, izprve i druge jednaeine sistema (1.18) dobija se

G:x;(x, x, Y,ii, z, z) = A(z)~:

of

Gy(x,x,Y,ii,z,:Z):: A(z) oy

Ako je otkopana oblast W3 prizmatiena, sa stalnom visinom d, zallemarljvomu odnosu na dubinu sloja H, opet se moze uzeti

d/2

j F(x,x,y, ii, H, z)d:Z = d· F(x, x, y, fj; H, 0)-d/2

U savremenoj rudarskoj praksi pri otkopavanju slojevitih lezista koriste seotkopne metode (siroko eelo, stubne) pri kojima je osnova O2 otkopane oblasti 03

pravougaona. Neka su 2a i 2/ duzine strana pravougaonika, koordinatni pocetak upreseku dijagonala, osa Ox paralelna sa stranom 2a, a Oy sa stanom 2/; onda sedvostruki integral po oblasti O2 rastavlja na proizvod dva odredena integrala

Q I

j j F(x, x, Y, fI, H, O)dxdfj = j Fl(x, X, H, O)dxj F2(y, ii, H, O)dfj02 -Q-l

pa je ukupno uleganjeU(x,y) = UoXo(x)Yo(y) (1.19)

gde je,

Xo(x) = ~ [~(a:x) +~(a:x)]

Yo(y) = ~ [~C:y) +~ C:y)]

Na sHean naCin dobijaju se i horizontalna pomeranja

(1.20)

gde je

(x+a) lx-a)X01(X) = 'P -n- - 'P ~-n-


(11+1) (y-I)Y01(V) = I{) ~ -I{) -n-

(1.21)

P _ CoUx - ax

Analogno (1.17) horizontalna pomeranja mogu se prikazati i u vidu horizontalnog gradijenta uleganja

p =CoUy oy

Ranije su vec citirani radovi [43,44], pa na kraju ovog kratkog istorijskog pregleda treba dodati da su kasnije ci drugi, veCinom takode poljski, matematicariuopstavali statisticki model, da bi se najzad doslo do sistema parcijalnih diferencijalnih jednaCina [70] u koje pored uleganja ulaze i horizontalna pomeranja. Svaova uopstavanja, kao i prethodno citirani cIanci, odnose se na masiv sa horizontalnim slojevima. Sistem parcijalnih diferencijalnih jednaCina (1.18), iz razlogakoji su vec ranije navedeni, izveden je na jednostavniji naCin, uz pretpostavke 0homogenosti i izotropnosti. Pod tim pretpostavkama ovakav sistem moze se dobitikao specijalan slucaj opsteg sistema iz [70].

1.7. Pomeranja u masivu sa nagnutim slojevima

1.7.1. Ravansko uleganje

Obrazac (1.13) moze se primeniti i kada su slojevi nagnuti, ali sarno za profilepo pruzanju. Po padu, medutim, kriva uleganja nije simetricna, pa za razliku odprocesa u masivu sa horizontalnim slojevima, u ovom slucaju postoji anizotropija.Moze se koristiti isti matematicki model, ali se mora pretpostaviti da deliCi, Cijesu dimenzije (zbog homogenosti) i dalje jednake,vise nisu simetricno rasporedeni,nego je srediste svakoga ad njih pomereno po padu za neku duzinu e, pri cemu je0< e < b1 (sl. 1.17).

Koordinatni poeetak uzima se u praizvoljnoj taeki 0 sloja koji se otkopava,osa Oz usmerena je vertikalno navise, osa Ox horizontalno po pruzanju, a osa Oyu smeru uspona slojeva; smer ose Ox hira se tako da koordinatni trijedar budedesni. JednaCina ravni sloja na rastojanju t od koordinatnog pocetka je

z cos a - y sin a = t (1.22)

----------

1. Opsta ra.;matranja.

X// Slika 1.17.

U ovom sIucaju mesto uklonjenog deliea Do zauzeee ili delie DI ili delie D2,

ali zbog naruSene simetrije, verovatnoce tih dogadaja vise nisu jednake. Njihove vrednosti mogu se izracunati kao otpori osionca proste grede raspona 2bI,

opterecene jediniCnom ekscentricnom silom, pa je analogno postupku u odeljku1.6.2 za odredivanje verovatnoce (1.7)

(~+~) F(x,y+ bI,t) +(~- 2:J F(x,y- bI,t) = F(x,y- e,t +h)

a odavde zatim sledi parcijalna diferencijaina jednaCina

A = 2 lim -he.bt,h-O

Zbog anizotropije se pretpostavlja da su sirine bo po pruzanju i bi po padu

deliea masiva razliCite, pa se razlikuju i vrednosti parametara 2~ i 2~2' PoStoje 0 < e < bI, i ekscentricnost e tezi nuli kada je bi -+ O.

Resenje ove jednacine je (videti odeIjak 1.4.2 b)

F(y, ii, t, t) = v'2:(~_ i) exp [ 2(~~t) (y -jj + A(t - i)2]

pri cemu je t - t > O.

Uobicajenim pretpostavkama 0 otkopanoj oblasti Q3 da je:

(1.23)


- prizmaticna, sa stalnom debljinom d,

- osnova 01 pravougaona, sa sirinom 2a po pruzanju i 21po padu,

- sirina 2a po pruzanju dovoljno je velika, da budu ispunjeni uslovi ravanskoguleganja,

treba dodati jos i pretpostavku da je pad sloja a stalan.

Posto je uleganje ravansko, umesto trostrukog, zadatak se svodi na izracunavanje dvostrukog integral a

U(y) = JJ F(y, fj, t, t)dfjdin

gde je n pravougaonik visine d i osnovice 21,koja zakiapa ugao a sa horizontalom(osom Ofj).

/x~

Slika 1.18.

Uvodenjem novih promenljivih (s1. 1.18)

fi = 1] cos a - (sina

i = 7] sin a + (cosa

izracunavanje uleganja moze se uprostiti, jer je pri (' = 0, fj = 1] cos a i z = 1] sin a,pa razlika (podrazumeva se da je z = H) t - l = (z - i) cos a - (y - fj) sin a =H cos a-y sin a ne zavisi od promenljive T/. Ako je visina d oblasti n zanemarljiva uodnosu na visinsku razliku H cos a-y sin a, primenom teoreme 0 srednjoj vrednostiodredenog intervaia

d/2

J F(y, fj, t - i)d(' = d· F(y, 1] cosa, H cos a - ysin a)-d/2

52

dobija se

1. Opsta·razmatranja

U(y) =J' hkQ. exp{_! [QY-TJCOSO+A(H COS~-YSina)]2}dTJJ27r(H cosa - ysma) 2 JH cosa - ysma-I

i najzad, posle uvodenja oznaka .

qo = (1- Asina)Q, b= lcosa1 - >'sin a

HAcosam=----1- Asin a

U( ) ~ Uo [<) ( b + m + y ) <1> ( b - m - y )]y -"2 go J H cos a - y sin a + qo JH cos a - y sin a(1.24)

kdgde je Uo = Posto verovatnoca (1.23) vaii pod usiovom t - l > 0, ovajcosaobrazac vaii sarno ako je H cos a - ysin a > O. Kod nagnutih slojeva je sin a :j; 0,pa je prilikom prakticne primene ovog obrasca jednostavnije racunati sa koefici-. t qoJen om q = J', sma

U(y) = UoY(y)

gdeje

Y(y) = ![<1> (q b + m + y ) + <1> (q b - m - y )]2 VH cot a - y VH cot a - y

pri cemu je H cot a - y > 0.

1.7.2. Opsti slucaj

(1.25)

Sistem diferencijaInihjednaCina verovatnoea pomeranja u opstem slucaju glasi

oG:r: = A' (t) of + _1_o2G:r: + _1_o2G:r: + >. oG:r:at 1 ox 2p~ ax2 2Q2 ay2 ay

(1.26)

Posto je postupak izvodenja ovih jednaCina isti kao u prethodnim slucajevima,nije potrebno davati objaSnjenja za prvu i treeu, osim llapomene da se zbog


anizotropije pretpostavlja da su koeficijenti Ai (t) (koji utiee na vrednost horizontalnog pomeranja po pruzanju) i A~(t) (koji utice na vrednost horizontalnogpomeranja po padu) razlikuju. U drugu jednacinu, kao pri izvocienju jednacine(1.15), ulazi zbir

~ [Gy(x - bo, y, t) + Gy(x + bo, y, t)) + (~ + 2:1) Gy(x, y + h1, t)+

(1 e \2" - 2b1) Gy(x,y-b1,t);

i razlika

F(x, y + b1 , t + h) - F (x, y - b1, t + h)

ali zbog narusene simetrije po padu, mora se uvesti jos jedan clan. Nairne, prijednakim uleganjima u ovom slucaju ne mogu biti jednake verovatnoce da deliCiD1 i D2 (s1.1.17) zauzmu upraznjeno mesto deliea Do; mera narusene simetrijejeekscentricnost e, pa se uvodi ClanJ.leF( x, y, t) gde je J.lkoeficijent proporcionalnosti.

Odavde sledi druga jednaCina sistema (1.26), u kojoj je N'(t) = lim J.l-he.b1,h-+O

ReSenja ovog sistema su

F(x,x,y,iJ,t,t) = F1(x,x,t,t). F2(Y,iJ,t,t)

gde je F1 dato obrascem (1.9), a F2 obrascem (1.23); G,& = A1 ~:' a Gy =

N(t)F +A2(t) ~: (videti odeljak 1.4.2 c). Trostruki integral po otkopanoj oblastiD3, za koju se uvode iste pretpostavke kao u prethodnom primeru, uz isti izbor

koordinatnor sistema, uzimajuCi da su na povrsini z = H svi koeficijenti sistema

A1, A2, N, 22' 2Q12 i A konstante, daje vrednosti pomeranja. Po

gdeje

U(X, y) = UoX(x, y)Y(y) (1.27)

Po

P=..;' ,SIll 0'

a Y(y) je isto kao u (1.25); pored toga, kao i u (1.25) pretpostavlja se da jeH cot 0' - Y > O.

P,&(X,y) = ..j2;POX1(x,y)Y(y)

Py(x, y) = NoX(x, y)Y(y) + ..;2;QoX(x, y)Y1(y)

(1.28)

54

gdeje

1. Opsta. razmatranja

X1(x, y) = ip (p-;:::;;:::a=+=x==) _ trJ (p .. a -: x . )YH cot a - y r VH cot a - y

Y1(V) = ip (q--;:;;b;:::+=m=T='=Y=) _ ip (q--;:;;b:;;::;:-=m=-=y=)\ yH cot a - y yH cot a - y

a If cot a - y > O. Kao sto ee se kasnije videti, ovoje, ustvari, uslov da podinamiruje, pa obrasci (1.25), (1.27) i (1.28) ne vaze za masive sa strmim slojevima,jer proces u njima zahvata i podinu.

Iz sistema (1.26) se, oCigledno, kao specija1an slucaj kad a ---+ 0, dobija sistem(1.18), posto tada e ---+ 0, pa prema tome i koeficijenti N' ---+ 0 i .A---+ 0; ujednozbog izotropnosti postaje A~ = A~ = A' i Po = Q, a prema (1.22) t = z. U (1.27)Je

P Po

JH cot a - y - Y H cos a - y sin a '

pa kada a --+ 0 dobija se ~ = .!..vH nTakode prema (1.24) qo ---+ Q = Po, b --+ I i m --+ 0, a prema (1.25)

I· q - l' qo _ Po _ 11m --:::==== - 1m --;::====== - -- - -,a-O ../H cot a - y a-O yH cas a - ysina ..;H n

pa iz (1.27) sJedi (1.19) a iz (1.28) slede obrasci (1.20). Medutim kada su slojevinagnuti, kao sto se vidi iz (1.28) ne vaze relacije (1.21).

1.7.3. Pomeranje u proizvoljnom pravcu

Neka je proizvoljan pravac odreden jedinicnim vektorom

p = icos ipx + J eosipy + keos ipz

gde su ipx, rPy i 'Pz uglovi vektora p sa odgovarajuCim koordinatnim osama. Pomeranje u ovom pravcu je projekcija vektora P (1.14)

Pp = p .p = Px cos 'Px + Py CDS 'Py + u cos ipz

U praksi uglavnom ne postoji potreba za odredivanjem ovakvih pomeranja,ali kae.a nije ravansko, moze se ukazati potreba za odredivanjem horizontalnogpomeranja PE.u praveu ose DE, koja zaklapa ugao 'P saosom Ox.


To je ustvari specijalni slucaj pomeranja Pp, kada je 'Px = 'P, <Py = 900 - <P i<Pz = 900, paje

Pe = P" cos <P + Py sin 'P (1.29)

Iz ove projekcije neposredno se dobija pravac <Pou kome nema horizontalnogpomeranJa

P",tan <Po =-

Py

a iz uslova za ekstremum

dPe = 0d<p

i glavni pravac 'PI najveceg horizontalnog pomeranja

p.

tan<pI = P:

Koristeci poznate trigonometrijske identitete

tan <PIsm <PI== ~=====

VI + tan2 'PI

1cos <PI== ---,=====

VI + tan2 'PI

moze se, najzad, sracunati i vrednost maksimalnog pomeranja

(1.30)

Posto je tan <Po tan <PI +1 = 0, pravci 'Po i <PI su ortogonalni. Iz relacija (1.21)vidi se da je glavni pravac upravan na izoliniju uleganja, ali posto ove relacije vazesarno za horizontalne slojeve, pogresno je koristiti taj naCin odrediva.nja gla.vnihpravaca i kod nagnutih slojeva.

2.Teorijski osvrti na·osnovne

karakteristike procesa pomeranja

2.1. Uleganje povrsine masiva eiji suslojevi horizontalni

2.1.1. Granicni uglovi

Definicija gtanicnih uglova, data u prethodnorn poglavlju, uobicajena je uliteraturi i odnosi se na granicni ugao kao geornetrijsku velicinu koja se odredujesarno merenjem. U ovom poglavlju posmatraju se granicni uglovi kao osnovnekarakteristike procesa , sa kojima se mogu sracunati pomeranja, ili se oni mogusracunati iz poznatih pomeranja.

Prema definiciji granicni uglovi se mere pri punoj povrsini otkopavanja; koristeci iste oznake i koordinatni sistem kao pri izvodenju obrazaca (1.19), ovajuslov bice ispunjen ako su otkopane duzine, 2a u pravcu x-ose i 2/ u pravcu y-ose,

potpune. Uslov je potreban jer je pri nepotpunim duzinama X(x) < 1 i Y(y) < 1,paje U(y) < Uo; uslov je dovoljan,jer je pri potpunim duzinarna U(O,O) = Uo, paje otkopana oblast nad-povrsina ili bar puna povrsina. Prema (1.19) tada je

<p(~) = 1n

<p( .!.) = 1n

(2.1)

Paste izraiavaju zahtev da su otkopane duzine 2a i 2/ potpune, uslovi (2.1)nazivaju. se opsti uslovi potpunasti.

Neka je pored Uo, poznata i vredl10st UN uleganja u nekoj proizvoijl1o izabranoj tacki N terena, odredenoj uglcm r.p (81. 2.1) posto se u (1.19) unese

2. Teorijski osvrti na osnovne karakteristike procesa pomeranja 57

X N = a + H cot a, pa je

i posto se resi po (H c:t If )

(H) UN - cotr.p = 1- 2-

n Uo

•zN

(2.2)

Q

o

a

Slika 2.1.

H

x

Zbog simetrije dovoljno je posmatrati sarno polovinu krive uleganja, na primeroblast D = {(x,y): x ~ 0, y = OJ. Nekaje XN E D i U(XN) = UN; sledi

a) Posto su H, n i Uo konstante, svakoj vrednosti ugla If odgovara sarno jednavrednost UN uleganja i obrnuto.Pri tome rezultat ne zavisi od duiine 2a otkopane strane, pod uslovom da jezadovoljen drugi od uslova (2.1).

b) RazIiCitim efektivno otkopanim debljinama d sloja, odgovaraju i razliCitevrednosti Uo (videti odeIjak 1.6.2); medutim, jednom odnosu UN/UO odgovara sarno jedna vrednost ugla r.p, i obrnuto, pa je zahvaljujuci tome moguceuporedivanje procesa pomeranja i kod slojeva razliCite debljine.

58 2. Teorijski osvrti na osnovne karakteristike proeesa pomeranja

c) Pri vrednostima 0 < I{) < 900 je UN < !Uo i 0 < 1- 2 ~~ < 1 pa uvek postoji2 vosamo jedna vrednost TN takva da je

UN<P(TN) = 1-2

Uo(2.3)

(zakljucak vazi i kada je ugao I{) tup; ovaj slucaj bice izlozen kasnije). Uprilozenoj tabliei navode se neke od ovih vrednosti za razne odnose U JUo.

Iz jednakosti levih strana jednacina (2.2) i (2.3) najzad sledi

U

Uo [%1

H- = TN tau I{)n

U<P(T) = 1-2

Uo

TabJica 2.1.

T I ~ I

(2.4)

0,05 0,9993,2900,3040,10

0,9983,0900,3240,50

0,9902,5760,3881

0,9802,3260,4301,50

0,9702,1700,4612

0,9602,0540,4873

0,9401,8810,5324

0,9201,7510,5715

0,9001,6450,60810

0,8001,2820,78020

0,6000,8421,18830

0,4000,5241,90840

0,2000,2533,94850

0000

Iz ovih zakljucaka proizilazi tvrdenje iz uvodnog dela ovog poglavlja da podaeiU max .aps i granicni ugao fJ Cinepotpun sistem parametara za odredivanje uleganjatacaka potkopanog terena. Jer, kada se zna Umax.aps = Uo, moze se pomocu

tablice vrednosti <p(T) (prilog 2), na osnovu (2.3) odrediti TG za odnos UG, aUo

zatim prema (2.4) izracunatiHn=--

TG tanfJ

1za neke odnose u prilozenoj tabliei 2.1 date su vrednosti <p(T), T 1

T


2.1.2. Pomocni uglovi

Radi boljeg upoznavanjagranicnih uglova treba prouCiti proces uleganja terena i kadaje ispunjen samojedan od uslova (2.1). Nekaje ispunjen, na primer,sarno uslov

<f?0-) = 1\n

Prema (1.19) je tada Yo(O)= 1 i kao specijalan slucaj dobijase obrazac (1.13)

U(x) = UoXo(x)

za ravansko u:leganje potkopanog terena. Na isti naCin koo u prethodnom slucaju,posto se u ovaj obrazac unese XN = a + H cot<p, dobija se

ali sada se pretpostavlja da je duzina 2a nepotpuna, pa se u opstem slucaju ne

moze ocekivati da je <f?(2a + ~ cot <p) = 1. Medutim, ma kako bila mala duzina2a, moze se uvek naci takav ugoo <PN da bude

Vrednost uleganja UN u tom slucaju ista je kao pri punoj povrsini, ali zavrednosti <PM > <PN bice zbog cot <PM < cot <PN

<f? (2a + Hncot <PM) < 1

pa je i uleganj~ manje od onog koje odgovara, pri punoj povrsini, tacki odredenojistim uglom <PM. I obrnuto: istoj vrednosti uleganja U},f odgovarace razlicitiuglovi <PM, pri eemu njihove vrednosti opadaju sa povecanjem duzine 2a. Zbogsvoje nestabilnosti pri nepotpunoj duzini, ovi uglovi nazivaju se nepotpuni, pazato ne mogu predstavljati karakteristiku procesa pomeranja potkopanog terena ipogreSno je dovoditi ih u vezu sa parametrom n. To je moguce tek kada se ostvareposebni uslovi potpunosti

(2.5)

<f?(~}=1

60 2. Teorijski osvrti na osnovne karakteristike procesa pomeranja

pri kojima se zadati ugao 'P potpuno formira. Uslovi su potrebni, jer ako prvi odnjih nije zadovoljen, uleganje nije ravansko, a dovoljni su, jer kada su zadovoljeni,vaze obrasci (2.2) i (2.4).

Tr b . ., I "'"(2a + H cot 'P) 1 .. . d .. 2 de a zapazltl aa us ov 'i' n = pn IstOJ UZIlll a moze a nebude zadovoljen za neki ugao 'Pl, a da vazi za drugi ugao 'P2 < 'Pl, sto se moze igeometrijski protumaCiti. Ako je u tacki P (sl. 2.2)

B

Slika 2.2.

pri nekoj drugoj vrednosti 2al > 2a ovaj uslov biee tim pre zadovoljen, pa semoze smatrati da se u tacki P vise ne oseea uticaj otkopa B; na protiv, ako je

(2a + H cot 'PQ) 1 I" . d . 2 d . I" 1 .<p n < ,raz ICltIm vre nostIma a 0 govaraJu raz IClta u eganJaUQ u tacki Q, sto znaCi da se ona nalazi u zoni uticaja otkopa B. Izmedu taeakaPi Q mora da lezi granicna tacka G do koje dopire ovaj uticaj; prema uobicajenojkonvenciji, ako je UG granicno uleganje, iza tacke G se vise ne oseea uticaj otkopavanja, paje ugao ABG granieni. Kasnije (odeljak 2.3.1) ee biti dokazano da ugaoABG ne mora obavezno da bude granieni, ni Ua = 10 mm; naprotiv, ukoliko jeuleganje UG manje (zanemarljivije), taenost konstrukcije je veea. Geometrijskainterpretacija posebnih uslova potpunosti je, prema tome, sledeea: kroz jednu odgranienih taeaka A, odnosno B, otkopanog prostora, povlaCi se prava pod zadatimuglom 'PP (odnosno 'PQ), a kroz suprotnu prava pod granienim uglom 8; ako seove dye prave seku na povciini ili nad njam, uslovi potpunosti za dati ugao suzadovoljeni, a aka se seku u masivu ugao je nepotpun.

Uslovi (2.1) predstavljaju granieni slueaj uslova (2.5), kada se postavi zahtev davaze za sve vrednosti ugla 8 :::;'P :::; 1800 - 8.

Ako neki ugao 'P zadovoljava posebne uslove potpunosti (2.5) moze se koristitiU obrascima (2.2) i (2.4) kao parametar procesa, umesto granicnog ugla 8. Udaljem tekstu se zato ovakvi uglovi nazivaju pomoeni. Iz grafieke konstrukcije na

(2.6)

2. TeQrijski o~vrti na osnovne karakteristike procesa pomeranja 61

slid 2.2 oCigledno je da ee, aka je ugac ipp potpuli, tim pre biti potpuni isvi ugloviipp > 'P > 6, pa Be i cni mogu koristiti kao pomoeni,. Ovi uglovi llisu nezavisni,jer je, kada se u (2.4) unese vrednost n iz (1.12)

"T tan 'P _ "To tan 5 _ C..Jil -Vii - oust

Posto granicni ugao predstavlja osnovni podatak za proracun pomeranja ideformacija na. nekom rudniku, potrebno je da to bude pouzdan podatak, a njegova definicija treba da obezbedi, pored pouzdanosti odredivanja i mogucnostnjihovog uporedivanja u raznim rudnicima. Vee je receno da istim odnosimaUG / U0 odgovaraju, pri istim rudarsko-geoloSkim uslovima, isti granicni uglovi;ova pojava zapaiena je i prilikom prakticnih merenja, pa se u [82] predlaze da segtanicno uleganje iskazuje u proceittima apsolutnog maksimalnog uleganja. Ovakodefinisan granicni ugao moze posluziti kao podatak za uporedivanje, ali vrednostgranicnog uleganja se relativizuje. U praksi je pravilo da tacnost racunanja trebada bude usaglaSena sa tacnoscu merenja. au ovom slucaju pri odnosu 1 %, akoje Uo = 2500 mm, biee UG = 25 mm, dok se neposrednim merenjem postizeznatno veea tacnost. Nasuprot tome, pri manjim vrednostima otkopane efektivnedebljine, mogu se dobiti vrednosti granicncg uleganja koje se te3ko mogu izmeritisa zadovoljavajucom tacnoscu.

Kao drugi primer pokusaja precizne definicije granicne tacke moze se navestiiskustvo iz sovjetske prakse. Pre izdavanja instrukcija iz 1981. godine, za granicnekriterijume vazila je vrednost uleganja od 10 mm, nagiba 0,5 mm/m i horizontalnih deformacija 0,5 mm/m. Ovakva definicija ne sadrZi odnos UG/Uo, pa neomogucuje uporedivanje granicnih uglova. Medutim, u najnovijim instrukcijama[83]' granicni kriterijumi definisu se sarno vrednostima nagiba i horizontalnih deformacija.

Autori ovoga teksta smatraju da granicnu taeku treba definisati onim podatkom Cija se pouzdana vrednost dobija direktnim merenjem, a to je uleganje.Nagib i deformacije su izvedene velicine i mogu posluziti kao kriterijumi za Za.stitllobjekata, odnosno za odredivanje granice stetnih deformacija, koja se konstruisepomocll uglova sigurnosti. .A uglovi sigurnosti, za razliku od granicnih, nisu osnovne karakteristike procesa pomeranja potkopanog masiva.

Zbog toga se usvaja definicija granicne taeke od 10 mm, i granienog·ugla,prema tekstu datom u prethodnoj glavi. Vrednost UG = 10 mm i polozaj granicnetaeke nije neophodno odredivati neposredno merenjem, vec se mogu koristiti pomocni uglovi izmereni sa najvecom tacnosc.u, a zatim koristeCi rezultate merenja,primenom obrasca (2.6) izracunati vrednost 0 granicnog ugla. Na ovaj naCinujedno se povecava pouzdanost njegovog odredivanja.

Primena obrazaca (2.6) ujedno zahteva da se, radi izracunavanja parametra T, za svaki pomocni i granicni ugao zna odnos U/Uo, pa se ovako odredeni


uglovi mogu i medusobno uporedivati. Pored toga, obrzac (2.6) daje mogucnostuporedivanja granicnih i pomocnih uglova i kada slojevi Ieze na razliCitim dubinama. Racunski postupak u primerima 2.1 i 2.2 zasniva se na primeni obrazaca

(2.3) i (2.4), a u primeru 2.3 koriste se obrasci (2.3) i (2.6).

Primer 2.1.

Na dubini H=300 m otkopa;a se horizonta1ni ug1jenisloj; otkopani prostor jepravougaonog ob1ika, sa stranama 2a=500 m i 21=600m. Iz opaianja su poznata

i 11leganjaUM=2000 mm i UN=20 mm u taekama M(O,a) i N(413,0); koordinatnisistem postav1jen je na llobieajelli naein. Ispitati potpunost pomocIlog ug1a 'PN zataeku N i odrediti granieni ugao 8.

Resenje:

Uleganje UM je sigurno maksimalno, ali se ne zna da Ii je to i apsolutni maksimum, odnosno da Ii ulegnuce ima ravo dno. Ako jeste, onda je Uo = 2000 mm;

<p(TN) = 1 - 2 ~: = 1 - 0,02 = 0,98 i T = 2,326.

iz XN = a + H cot 'PN sledi

H 300

tan<pN = -X-N---a = 413 _ 250 = 1,84

Sa ovim podacima moze se izracunati

Hn=----TNtan<pN

300

2,326. 1,84 = 70 m

Aka je pretpostavka da je UM apsolutni maksimum tacna, sa ovako izracunatom vrednoscu n=70 m, mora se dobiti izmerena vrednost uleganja UN = 20 mm.

Kontrola:

= 2 OOO[~ (250 + 413) <Ii (250 - 413)] = 20 mmUN 2 70 + 70

Pored toga pretpastavljeno Je da je UM = Umax.aps, pa moraju da budu

• () • if. (250) 1· . b" " " if. (300) 1zadovalJeni uslovi 2.1 . Posta Je '*" 70 = ,tIm pre ce It! I '*" 70 = ,pa su ispunjeni opsti uslavi potpunosti.


Ovi uslovi, kao sto je prethodno pokazano, stroziji su, pa pomocni ugao 'PN

sigurno zadovoljava posebne uslove potpunosti (2.5).

Granicnom uleganju odgovara

~(T)=1-22~~O=O,99 i '1=2,576,

pa je prema (2.4)

H 300tan 6 = - = --- = 1,66 t 6 = 590•

nr 70·2,576

Primer 2.2.

ReSiti isti zadatak kadaje H=300 m, 2a=275 m, 21=550 m, UM = U(O,O) =1900 mm i UN = U(300, 0) = 20 mm.

Resenje:

Postupak je isti kao u prethodnom primeru; sa orijentacionom vrednoscu Uo

izracunava se parametar n, a zatim se, koristeci ove podatke izracunavaju uleganjaUM i UN.

Tabliea 2.2.

Uo n

1900 2,3081,8470,619,918002000

2,3261,8470,020,019002100

2,3541,8469,520,52000

Iz prilozene tabele vidi se da treba uzeti Uo = 2000 mm; zadovoljeni suposebni uslovi potpunosti za pomocni ugao 'PN. Posto se koriste isti podaci kao uprethodnom primeru, opet je granicni ugao 8 = 590

Primer 2.3.

Ako je .h = 490 granicni ugao u profilu po pruzanju na dubini otkopavanjaH1 = 200 mm

a) kolika.je vrednost 62 granicnog ugla. u profilu po pruianju na dubini otkopavanja H2 = 700 m?


b) izracunati vrednost Up uleganja u taeki P odredenoj pomocnim uglom bp =59° u profilu po pruzanjuna dubini H2 = 700 mm, racunajuCi sa Uo =2000 mm,

c) ispitati oblik izolinija uleganja povciine izmedu profila po pruzanju na dubinama otkopavanja HI i H2•

Resenje:

a) Pretpostav!ja se da je debljilla sloja sta!na, pa je odnos UGIUo isti u svimprofilima po pruzanju i prema tome, na osnovu (2.6)

vl700

tan 152 = tni\i1 tall 49° = 2, 15y200

UG 10 _ .

b) Odnosu Uo = 2000 = 0,05 odgovara vrednost TO = 2,076, paJe prema (2.6)

T = VJ[:; . tan 15171 = -/700 . tan 49° .2 576 = 3 33P ..;Jr; tan c5p 0 -/200 tan 59°' ,

Posto je <p(3, 33) = 0,999, prema (2.3) je

1. 2000

Up = "2Uo [1- <P(Tp)] = -2-(1- 0,999)= 1mm

c) Usvaja se koordinatni sistem 0f,17 na povrsini masiva tako da se osa 017 poklapa sa presecnom pravom ove povrsine i ravni sloja, a osa Of, upravno na njusa smerom po padu, s tim da lezi nad granicom otkopnog polja. Tada je

H = f, tan a

17 = H cot 8

gde je H proizvoljna dubina na rastojanju f,. Prema (2.6) je

tan 8 tan 150 ili ..JJi cot 15 = Jl[; cot Co

VH=~

Izolinija je, plema tome, luk parabole 172 = 2p€, gde je 2p = HI tan a cot 2 150.

2. TeJ)rijski osvrti na osnovne kalakteristike procesa pameranja 65

B r~--------Slib 2.3.

u = 10 mm

u = 2~ mm

U = 40 D)n'I

Na slid 2.3. konstruisane su izolinije

uleganja od 10, 20 i 40 mm, sa podadma iz ovog primera uz a = 400•

Dubina sloja jeu tacki A: Hi = 200 m,au tacki B: H2 = 700 m.

2.1.3. Graficko odredivanja vrednosti granicnih uglova

Jednac!na (2.6) moze se reSavati i graficki; radi toga podesno je da se napiseu obliku

Viitant= K

T

• TO tanbo

gde Je vrednost K = ,jIi poznata.Ho

Na nomogramu na slid 2.4 nanose se na apscisnu osu levo od taeke 0 vrednostil/T, a prirodne vrednosti tanb udesno. Prema konstrukciji, poznatom odnosuU/Uo i visini H odgovara vrednost ordinate ,jIio/TO, pa zbog linearnosti vezetan8 = KV7i/T, sve taeke "koje odgovaraju parovima (tanDi, VH/Ti) leze naistoj pravoj.

Na primer, ordinata taeke P (s1. 2.4) odgovara odnosu od 0,5 % i dubiniHo = 300 m, a apscisa granienom uglu DO = 70~ Ako se traii pOlioeni ugao 01

taeke sa odnosom UdUo = 0,004 (0,4 %), na dubini Hl=500 m, datim podacimaodredena je ordinata taeke Q. Posto taeke P i Q leze na istoj pravoj, pomocniugao je 81 = 74°;

Na slieal} naCin moze se resiti i obrnut zadatak; ovcleje graficki resen primer1.3~b. PCzllatomstanju (lO/Un = 0,005, odnosno 0,5 %; H1=200 m, 81 = 490)

odgovara tackaR, a pomoenom uglu 8p = 59° na pravoj OR odgovara tacka S;


presek njene ordinate i prave koja odgovara dubini H =700 m, odreauje odnos od

0,05 % (Up/Uo = 0,0005), paje Up = 0,0005Uo=1 mm.

Izlozena graficka metoda nastala je uopstavanjem metode izlozene u radu [ 59 J.

Mada se na slici 2.4 koriste sarno opsti uslovi, izlozena graficka metoda, kao

i obrazac (2.6), mogu se primenjivati i kada su vrednosti pomocnih uglova 6 >900, uz napomenu da moraju biti zadovoljeni uslovi potpunosti. Prethodno trebaprimetiti da je, zbog x = a + H cot 6, za 6 = 900 apscisa x = a, a uleganje

U(a) = ~a [~(2:)+1>(0)] = 0,5Uo

pa je odnosU

Uo < 0,5

U

Uo > 0,5

kadaje

kadaje

U drugom slucaju, kada je 6 > 900, moze se pisati

U

Uo = 0,5+c

gde je 0 < c < 0,5, pa iz (2.3) sledi

<)(r) = 1- 2(0,5+c) = -2c

(2.7)

U1

Uo = 0,5- €

Cimese zadatak svodi na prethodni slucaj; treba nati uleganje U1, odredeno ostrim

uglom 61 takvo da je

za koje je

<)(rt) = 1- 2(0,5 - c) = 2£

i prema tome

Posto je funkcija <1)(7") neparna, ovajednakost ee oCigledno biti zadovoljena ako je

tan 61 = - tan 6

i prema tome

(2.8)


.U'1'"

------------------------ ~

0.. .g

------~~---------- ~"

Slika 2.4.


Primer 2.4.

Koristeci podatke iz pretllOdnog primera odrediti polozaj taeke sa uleganjemU = 1200 mm.

a) U profilu po pruzanju na dubini otkopavanja H1 = 200 m.

b) U profilu po pruzanju na dubini otkopavanja H2 = 700 m.

Resenje:

U 1200 . .Posto je Uo = 2000= 0,6, prema (2.7) Je c: = 0,1 pa se zadatak SVOdl

na odredivanje polozaja taeke sa odnosom uleganja 0,5 - c: = 0,4; odgovarajucavrednost (videti tablicu 2.1) je 'ip = -'11 = 0,253,

a) U vertikalnom profilu koji preseca sloj na dubini H1 = Ho = 200 m, prema(2.6) je

TO . 2,576 0

tan op = - tan 01 = 0 25 tan49 = 11,71Tp , 3

pa je op = 850 i prema (2.8) 0 = 1800 - op = 950.

b) Prema (2.6) je

.,fiiz TO vl700 2,576 °tanfJp = rrr - tanfJ1 = ;;;nn -0 2 tan49 = 21,91v H 1 Tp V 200 , 53

pa je op = 87° i 0 = 1800 - Op = 93°.

2.2. Uleganje povrsine masiva eiji su slojevinagnuti

2.2.1. Granicni uglovi

Pri ravanskom uleganju za nagnute slojeve koristi se obrazac (1.25)

U(y) = _Uo [<p (q.....,b=+=m=+=y=) +~ (q-=b=-=m=-=y=)]2 viH cot a - y J H cot a - y

U kome koeficijenti b i m nisu nezavisni, jer zavise od istog parametra A. Poznatoje (videti odeljak 1.3.1» da je maksimum krive uleganja u tacki M sa ordinatomYM = -m, pa se polozaj ove taeke moze odrediti uglom maksimalnog uleganja 0,

koji prava OM zaklapa sa horizontalom (s1. 2.5).


z

y

Slika. 2.5.

oCigledno jem = H cot() (2.9)

a, zbog uzajamne zavisnosti moze se ikoeficijent b izraziti preko ovog ugla. Prema(1.24) i (2.9) je

m' AcosaH = cot 0 = 1 A" ,- sma

• . cos 0 I cos a d b"'posto se odavde nade A = ".( () i uvrsti ub = 1 A" , 0 IJa sesm a+ - sma

b = lsin(a + ()sinO

Kada se koordinate taeaka P i Q (sl. 2.5)

yp = I cos a + HI cot 'Y

YQ = -lcosa-H2cotf3

unesu u(1.25), uleganja u ovim taekama su

(2.10)

U Uo [n..( b+m+lcosa+fhcot'Y) ",( b-m-lcosa-H1cot'Y )Jp=- ~ q +'1' q

2 )H cot a-I cosa-H1 cot'Y )H cota-lcosa-Hl cot'Y ..

U Uo [n..( b+m-lcosa-H2cotf3) (b-m+lcosa+H2cotf3)]Q = - 'I' q +4> q--::::=========

2 )H cot a+l cosa+H2 cot f3 )H cot a+l cos a+H2 cot f3

70 2.. Teorijski osvrti na osnovne karakteristike procesa pomeranja

Uslovi da otkopana. povrsina bude bar puna (videti odeljak 1.3.1) glase

~( pa )-1y'Heota+m -

ep ( qb ) _ 1vHcota+m -

Ovo su opsti uslovi potpunosti za masiv sa nagnutim slojevima.

Posto je (s1. 2.5) I cos a + H2 cot f3 > m, bice

b + m + I cos a + HI cot, b--=========== > --,,::====VH cot a - I cas a - HI cot, y' H ccota + m

b - m + I cosa + H 2 eot f3 b--::========== > --======VH cot a + I cas a + H 2 cot f3 VH cot a + m

i kada su uslovi (2.11) zadovoljeni, uleganja su

Up = UO[1 + (qb - m -I eosa - HI cot,)]2 . y'HI(cota - cot')')

UQ = UO[1+ (/+m-Ieosa-H2cotf3)]2 y'H2(cota + cotf3)

(2.11)

pri eemuje H cota -/eosa = (H -/sina)cota = HI cot a i analogno H cota+

1cos a = H 2 cot a. Posto obrazac (1.25) vazi pod uslovom H cot a - y > 0, morabiti i H cot a-I cas a - HI cot, = HI (cot a - eot ,) > 0 i prema tome

(2.12)

obrazac ima smisla samo aka je pomocni ugao ')' veci ad nagiba sloja a. Ugranienom sIueaju, kada (')' - a) -+ 0, uleganja taeaka u ravni z cas a - y sin a = 0(izuzimajuCi otkopani prostor; videti odeljak 1.4.4) jednaka su nuli, pa obrasci(1.25), (1.27) i (1.28) ne vaze za strmije slojeve, kod kojih proces pomeranja zahvata i podinu masiva.

Posta se, prema (2.10) unese b - 1cas a = I sin a cot e, posle sredivanja, uleganja u taekama P i Q su

Up = Uo [1 _ (qa eot, + cot e )]2 y'cota - cot,

U = Uo [1 _ (qVii; cot f3 - cot e )]Q 2 v'eot a + cot f3(2.13)


i ne zavise ad duzine 2/ otkopane pavrsine. Sa istim abrazlazenjem kao u prethodnom slucaju moze se zakljuCiti da su posebni uslovi potpunosti za uglove kojiodreduju polozaj taeaka u gornjem delu ulegnuca

<fl( pa )-1-JHcota+m -

<fl (q b + m + I cos a + HI cot "Y') = 1JHI(cot a - cot"Y)

a za uglove u donjem delu ulegnuca

(2.14)

(2.15)

Ako su ovi uslovi zadovoljeni, imaju smisla granieni uglovi f3 i "Yu profilu popadu, ali nisu ispunjeni uslovi potpunosti (2.1) za profilpo pruzanju; zato je kodnagnutih slojeva korektnije, mada teze ostvarljivo, koriscenje uslova (2.11).

Grafieka interpretacija uslova (2.14) i (2.15) takode je moguca, ali prethodnose moraju proueiti neke pojave u vezi sa granienim uglovima kod nagnutih slojeva(promena sa dubinom), a tome opet prethodi odredivanje vrednosti parametara uobrascu (1.25). Od njih su tri nezavisna - Uo, q i 0, pri eemuse prva dva (osimkad ulegnuce ima ravno dno) ne mogu odrediti bez poznavanja ugla 0, a poredtoga bez njega se ne mogu odrediti ni zavisni parametri m i b; s druge strane ugaoo je nezavisan i moze se izraziti sarno preko granienih (ili ma kog para pomocnih)uglova.

2.2.2. Ugao maksimalnog uleganja

Ako je zadovoljen prvi od uslova (2.11), uleganje je ravansko, pa vazi obrazacU(y) = UoY(y) akadaje zadovoljen i drugi uslov, bice Y'(-m) = 0 paje y =-mordinata taeke u kojoj se javlja maksimalno uleganje; polozaj ove taeke odredujese i uglom maksimalnog uleganja () (2.9). U odeljku 1.3.1 pokazano je da je

y'( -m) = e<p(e) =F 0Hcota+m

ako povrsina nije puna. Medutim, posto je le<p(e)\ ~ 0.242 (videti odeljak 1.2.2),vazi

Y'(-m) < 0.242- Hcota+ m


a ova vrednost je uglavnom zanemarljiva, PoSto se srednja dubina H izrazava ustotinama metara, a obrasci (1.19) i (1.25) vaze za blago i srednje nagnute slojeve,kod kojih je najeesce a < 450 i tana > 1. Zato se bez vece greske moze smatratida vrednost ugla () ne zavisi od veliCine otkopane povrsine, a obrazac (2.18) Cijeizvodenje sledi, moze se koristiti i kada je otkopana pod-povrsina.

Uvodenjem parametra 7 (2.3) u jednaCine (2.13) dobijaju se nove jednostavnije jednaCine

ITTH cot I + cote71 = qy n 1------::=====y'cota - cotl

ITTH cot {3- cot.e72 = qy n2--::=====y'cot a + cot {3

(2.16)

Njihova razlika je, posto se prva jednaeina pomnozi sa 72 a druga sa 71

(cot I + cot (})72 .H1 sina sinl

. ( ) = (cot {3+cot (})71 .sm 1- aHz sin a sin{3

sin(a + (3)

pa, posto se uvede oznaka

H1 sinea + (3)sin {3Hzsin(l- a) sin I

(2.17)

bice

1« cos I + cot (}sinI) = cos {3- cot ()sin {3

i definitivno

() sin {3+ 1< sin Itan =-----cos (3- J{ cos I

(2.18)

Za izracunavanje 71 i 7Z neophodno je znati vrednosti parametra Uo, stootezava izracunavanje ugla 0; medutim, ako su P i Q graniene tacke, zbog jed

nakosti Up = UQ = UG, bice 71 = 7Z, paje

J{= H1 sin( a + (3)sin {3

Hzsin(l- a)sinl(2.19)

Cimese znatno olaksava postupak racunanja. Umesto granicnih, mogu se koristitii pomocni uglovi taeaka sa jednakim vrednostima uleganja Up = UQ, jer i tadavazl 71 = 7Z; za ovakav par uglova kaze se da su spregnuti.

Koriscenje spregnutih uglova omogucuje odredivanje ugla () i kod strmijihslojeva, kada granicni ugao I ne zadovoljava uslov (2.12).


Pored toga, kada se zna vrednost ugla e i jednog od spregnutih uglova, zbogjednakosti Tl = T2 iz (2.16) sledi

_ r;TH cot'Y+ cot 0 _ !jf cot fJ - cot ()Va - V n1--::===== - V n 2--;:====, :;;y'cot a - cot 'Y Jcot a + cot fJ

(2.20)

pa se moze izracunati vrednost drugog spregnutog ugla. Na primer, ako su poznativ

ug1ovi'Y i e, moze se izracunati Va, pa je, posto se uvede oznaka K2 = ::ryH2

(cot fJ - cot 0)2 = Ki (cot a - cot fJ)

kvadratna jednaCina pO cot fJ, Cij<;je resenje

J K2 K2cotfJ = J{2 ,cota + cote + -f + cote + T'Na slican naCin dobija se

gdeje J{2 = ~yH2(2.21)

J K2 ( K2)cot'Y = K1 cot a + cote + -t - cote + T ' gde je K 1 = ~ (2.22)yH1

Mada su u praksi zapazeni slucajevi [38] kada je e > 90°, smatra se da je toposledica neke anomalije u vidu neregularnosti debljine sloja, promene njegovogpada, tektonskih poremecaja ili slicnih nepravilnosti. Ako je e :s 90°, u (2.18) eeuvek biti

cos f3 - K cos 'Y~ 0

pri cemu znak jednakosti dolazi u obzir sarno ako je a = 0; ta.da je H2/ H1 = 1 ifJ = 'Y,paje K = 1 i prema (2.18) e = 900.

Najzad, iz (2.16) i (2.20) sledi

Primer 2.5.

Tq=Va

(2.23)

U ovom primeru koriste se podaci koje navodi Breuner u svom radu [15J.Savrednostima H1 = 265 m, H2=420 m, a = 67° (s1. 2.6) j parovima (fJ,'Y)

spregnutih uglova, za uleganja od 7, 51, 78, 117 i 143 mm. dobijenim mernjem,

izracunate su primenom obrasca (2.18) vrednosti ugla maksimalnog uleganja e;

rezultati se navode 11 poslednjoj koloni prilozene tablice.


EEo No

Slika 2.6.

u (3 7

\___ J==420Jn-~ .

- 420 m

7 3770192,51

51

537685,5

78

587884,9

117

628084,3

143

728584,2

Granicni uglovi (3 = 34° i 7 = 670 ne mogu se koristiti jer ne zadovoljavajuuslov (2.12). Iz istog razloga nema smisla ni rezultat koji odgovara spregnutimuglovima za uleganje od 7 mm; u ovom slucaju taj uslov je formalno zadovoljen,ali razlika 7 - a lezi u granicama tacnosti merenja. Ostali rezultati vrlo dobro sesiazu sa vrednoscu ()= 85°, koju navodi Breuner.Primer je uzet iz Clanka [60].

Primer 2.6.

Proveriti uslove potpunosti parova spregnutih pomocnih uglova iz prethodnog

primera, koji.odgovaraju uleganjima od 51, 78, 117 i 143 mm.

Resenje:

Smatra se da su za posmatrani profil zadovoljeni uslovi ravanskog uleganja,pa se ne ispituje prvi od uslova (2.14) i (2.15).


<1>( pa )-1.jHcota+m -

KoristeCi sracunatu vrednost ugla 0 iobrasce (2.9), (2.10) i (2.20) izracunavaju

se vrednosti b, m i Va; rezultati se navode u prilozenoj tabeli. U primeru 2.14, na

kraju ovog poglavlja, odreduje se vrednost Uo=760 mm; sa ovim podatkom za

svako zadato uleganje izracunavaju se na osnovu (2.3) i (2.23) vrednosti T i q.Najzad, u pretposlednjoj i poslednjoj koloni proverava se drugi uslov potpunosti

(2.14) za uglove I na gornjem, odnosno (2.15) za uglove (3 nadonjem delu krive

uleganja.

U m b Va T q I (2.14) I (2.15) I51 30,039,012,751,4980,11750,9960,941

7830,639,810,701,2770,11930,9890,916

11734,240,69,041,0200,11280,9680,861

14334,840,85,290,8850,16730,9800,901

Kao sto se vidi ovi uslovi nisu ispunjeni, jer su rezultati manji od jedinice; to

je razlog sto se vrednosti ugla IJ, sracunate u prethodnom primeru sa razliCitim

parovima spregnutih uglova, medu sobomrazlikuju. Pri tome se, uporedujuCi

podatke iz pretposlednje i poslednje kolone, moze se zakljuCiti da je odstupanje

od uslova potpunosti veee u donjem delu krive uleganja.

Primer 2.7.

Kao rezultat merenja poznate su vrednosti granicnog ugla (3 = 51° i uglaIJ= 80°, pri a = 20°, H1=200 m i H2=320 m; sracunati vrednost granicnog uglaI, koji nije mogao da se odredi merenjem, jer se nalazi u zoni sta.rih radova.

Resenje:

Pomocu (2.20) izracunava se

Va = .j320 cot 51° - cot 80° = 6,008v'cot 20°+ cot51°

zatim

K = 6, 008 = a 4251 .j200 '

i na kraju, pomocu obrasca (2.22)

o 4252 ( 0 4252)cotl=0,425 cot 200+cot 80°+-'-4- - \cot800+-'-2- =0,465


2.2.3. Promena granicnih uglova sa dubinom

Ne umanjujuci opstost razmatranja moze se ovom prilikom pasmatrati par(;3, 1) spregnutih uglova, Cimese postize da se, posto se prethodno pomocu (2.18)izraeuna ugao e, dabija isti rezultat za Va, bila da se izraeunava pomocu uglova 1i e.

bilo pomocu j3 i ()

r;;-H cot 1 + cot eVa ::;: V 1-.,,=====yicota - cot 1

ITTH cot j3 - cot eVol::;: Vfl2--=====y'eot a + cot j3

(2.20a)

(2.20b)

Mada ove relacije sadrze dubine H 1 i H 2 (s1. 9) l Vol ne zavisi ad njih, jer jeprema (2.23)

TVol ::;: - ::;: const

q

d . d Up UQ ( .. U U' I' a .za atI a nos - ::;:TT po pretpostavCl Je p::;: Q, Jer su ug OVI fJ 1 1 spreg-Uo vonuti), pa slede zakljucci:

a) Vrednosti uglova ;3,1 i e ne mogu biti stalne; bar neke od njih menjaju se sapromenom dubine H1, odnosno H2• Nairne iz (2.20a) je oCigledno da se barjedan ad uglova 1 i e mora prameniti pri promeni dubine H 1, ako je Vol ::;:const.Na isti naCin iz (2.20b) sledi da se bar jedan ad uglova;3 i ()menja pri promenidubine H2•

b) Vrednost ugia e ne menj a se pri promeni dubine H1 ili H2. Neka se, na primer,menja dubina H2, a H1 ostaje stalna; tada se ne menja ni ugao 1, pa posto jeva::;:const iz (2.2Ga) sledi da je ()::;:const,ma kakva bila dubina H2• Na slieannaCin iz (2.2Gb) sledi da promena dubine H1 ne utiee na vrednost ugla ().

c) Vrednosti pomocnih i granienih uglova menjaju se zavisno od dubine H1, odnosno H2.

Ova sledi neposredno iz prethodnih taeaka a i b.

Pri izvoaenju obrasca (2.21) nisu nametnuta nika.kva ogranieenja dubini H2,

pa kada je poznata vrednost Vol' ovaj obrazac odreauje vrednost ugla;3 na bilokojoj dubini H2• Na isti naCin, kada je poznata vrednost Vol' moze se pamocuobrasea (2.22) izraeunati vrednost ugla 1 na ma kojoj dubini H1.

Kada pad sloja €X tezi nuli uspostavlja se sirnetrija pa;3 ~ 8 i I ~ 8, H 1 ~ H

i H2 -- H, a cote -- O. Prerna relaeijama (2.20) je

lirn Jji; cot 8 + cot 1. ::;:lim .jH; cot j3 - cot 8. ::;:VIi cot 8 ::;:Voa-O y' COS €X- cot 1 sm a 0'-0 J cosa - cot j3 sm a


i prema tomeVo

cot 0 = -Ih

Ako je u masivu sa· horizontalnim slojevima poznata vrednost DO granienogugla na nekoj dubini Ho, bice Vo = ~ cot 60; na ma kojoj dubini H je cot 6 =

~ cot 60; rezultat sledi neposredno iz (2.6), kada se unese T = TO (odnos ~~ sene menja).

Iz ove relacije vidi se da ugao {j raste sa dubinom, jer ako je H > Ho, bicecot 0 < cot.60 i 6 > 6o. Granicnom slueaju kada H -r 00 odgovara ugao 600 = 900.

I iz (2.20 a), (2.20 b), (2.21) i (2.22) proizilazi da uglovi 13 i1 rastu sa dubinom,tako da je

130 < 13 < 1300 = (J

/0 < 1< /00 = 1800 - (J

Do istih zakljueaka - da se granieni uglovi menjaju i rastu sa dubinom - dosHsu pojedini autori koristeCi rezultate merenja u raznim ugljenim bazenima [1, 2,22,28,37,46,79].

U drugom od citiranih radova zapaza se da se sirina zone oslonaekog pritiska,koja zavisi od vrednosti granicnih uglova, menja sa dubinom po parabolienomzakonu, sto se lako moze potvrditi i teorijskim putem. Ako se osa z :::: H orijentiseod povrsine nanize, a kao ordinate uzmu vrednosti y = H cot 6, obrazac cot 6 =~ t {: t {... • d" b IVIi co °0 rans ormlse se u Je naclnu para 0 e

sa parametrom2p = Ho cot=!80.

Parabola na sliei 2.7-a konstruisana je sa vrednostima Ho = 400 m i Do =65°; sa ove slike vidi se da se vrednosti pomocnih, dakle i granienih, uglova naproizvoljnoj dubini mogu odrediti i grafieki - neposrednim merenjem.

Na sliean naCin, mnozeCi jednakost (2.21) sa H2 dobija se

( ) V0/2 VOlY = VOl cot a + cot () z + ""4 + z cot (J + ""'2

pri eemu su, kao i u prethodnom slucaju, uvedene promenjljive y = H B cot 13 iHB :::: z. Grafik ove funkcije je takode parabola; rotacijom koordinatnog sistemaza ugao 90° - (J, a zatim translacijom (zbog malih vrednosti, ova pomeranja na

78 2. Teorijski osvrti na osnovne karakteristike procesa. pomeranja

slikama 2.7-b i 2.7-c se prakticno ne mogu primetiti), pri cemu se novi koordinatnisistem bira tako da jednaCina ne sadrzi clan sa prvim stepenom promenljive 7J i dakriva prolazi kroz koordinatni pocetak, opet se dobija

gde su e i fJ nove promenljive, a 2p = v~(cot a + cot 0) sin 30.

,-~0, -

y/Y/ .--../ /

~/ /II//I300

I

3001

I /I400

/400I I IY"I500

I

._~

I I600

600

700

700

z

Slika 2.7.

Posto su promenljive y i z pozitivne, dolaziu obzir sarno luk parabole uprvom kvadrantu, uz dodatno ogranicenje (videti 1.7.1.) da je HB ~d. Slika2.7-b konstruisanaje sa vrednostima a = 30°, HBo = 340 m, f30 = 48° i 0 = 74°.Sa ove slike vidi se da pored ugla f3 sa dubinom raste i ordinata y = HB cot f3, aiprvi izvod

jer su uglovi a, f3 i () oStri, a koeficijent Va > O.

Najzad, polazeCi od jednakosti (2.22), na isti naCin kao u prethodnom slucaju,dobija se parabola

V2 v2

Y=Va (cota+cotO)z+; -(zcotB+ ;

koja odgovara promeni ugla 'Ysa dubinom. Ugaorotacije ove parabole je negativani iznosi ()- 90°; zahvaljujuCi tome, kao sto se vidi sa slike 2.7-c, ordinatay = HA cot'Y u pocetku raste, a zatim, posto na dubini

tI~ cot a cot a + 2 cot Gz - - -- ------m - 4 cot 2 0 cot a + cot 0


dQStigne najvecu vrednost

v2 cot2 ay -.2. _

m - 4 (cot a + cot 0) cot 0(2.24)

pocinje da opada.

(2.25)Zm

tan 1m = - = 2tana + tan 0Ym

Interesantno je zapaziti da, nezavisno od dubine, svi maksimumi leze na istojpravo], ]er ]e

ali polozaj maksimuma na ovoj pravoj zavisi od izbora para spregnutih uglova /30

i 10, kojima prema (2.3) odgovaraju razliCiti odnosi r.

Pojava maksimuma (2.24) pri promeni ugla I sa dubinom sledi teorijski iz(2.22). U strucnoj literaturi nema podataka da je zapazena i prilikom prakticnihmerenja, ali u radu [1] su uopstavanjem rezultata dugogodiSnjih merenja dobijeniempirijski obrasci prema kojima je moguce da vrednost granicnog ugla I porastei preko 90°.

Primer 2.8.

Pri otkopavanju nagnutog sloja sa padom a = 40° izvrSeno je merenje granicnih uglova: na dubini H1 = 200 ill je I = 78°, ana dubini H2 = 470 m, /3 = 42°.Izracunati vrednosti granicnih uglova /3' na dubini H2 = 700 mil' na dubiniHf =450 m.

Resenje:

Iz (2.18) se dobija (J = 66°, a zatim iz (2.20) Va = 9.45. Za dubinu H2 = 700 m

je prema (2.21) J{2 = 9~ = 0.357 i /3' = 46°, a za Hf = 450 m prema (2.22)y700

J{1 = ~.45 = 0.445 ii' = 88°. Primer je uzet iz Clanka [62].450

2.2.4. Opsti slucaj promene granicnih uglova

Prethodno razmatranje bilo je ograniceno na par spregnutih uglova, sa kojimaje jednostavnije racunati jer je r1 = r2. Da bi se obuhvatio i uticaj promene odnosa

go na granicne ili pomoene uglove, mora se prema (2.23) poCiod opstije jednaCine

(2.26)


gde Va prema (2.20-a) i (2.20-b) predstavlja novi par spregnutih ugIova {3i ,(ili sarno jedan od njih), kojima odgovara neki drugi odnos r i= roo Izracmiavanjeuglova svodi se na kvadratnujednaCinu, cija resenja opet imaju oblik (2.21) i (2.22)stirn sto je u opstem slucaju

K _ rVa1----ro..;H;

(2.27)

(2.28)}" TVa'2 = ---To"fll;

a vrednosti J{1 (2.21) i f{2 (2.22) ocigledno slede iz (2.27) i (2.28) kao specijalanslucaj kada je r = roo

Ukoliko se tom prilikom dobije negativan rezultat, na primer cot, = - cot'l < 0posto je cot(1800 -,I) == - cot'l, analogno (2.8) je

, = 1800-,1

Imajuci to u vidu, ako su zadovoljeni uslovi potpunosti, postupak se moze

prosiriti i na vrednosti uleganja Ui > ~Uo, kada je prema (2.3) T < O.

Posto se jednacina (2.26) pomnozi faktorom vsin a i stavi

Vol = VH sin a cot DE

odnosno VO!O = VHo sin a cot OEO, dovodi se na oblik koji podseca na (2.6)

(2.29)

rtanoE

.;Ii

pa je formalno i kod nagnutih slojeva moguce primeniti isti graficki postupak kaoza odredivanje granicnog ugla 0 u masivu sa horizontaillim slojevima. Medutim,prema (2.20) je

c Jcos a + cot (3 sin a vcosa - cot, sin atanuE = --------= --------cot {3- cot e cot, + cot e

(2.30)

pa, posto zavisi od a,{3 i 0, odnosno a" i e, nije moguce neposredno oCitavanjetrazenih vrednosti granicnih uglova {3,odnosno 'Y.

Inace, oznaka tan DE uvodi se ne sarno zbog formalne slicnosti ovog clalla satan 0 u (2.6), vec se ovi uglovi zaista mogu dovesti u vezu: Iz (2.30) je oCiglednoda kada a -+ 0 (tada e -+ 900 i cot e -+ 0) tan DE ---> tan {3i tan DE ---> tan'Y pa jelimO!_oDE = O. Pored toga DE se menja na isti nacin kao i ugao 0, ukljucujuCi ipromenu sa dubinom; zato se, zbog razliCitihdubina HI i= H2 iz (2.20 a), odnosno


(2.20 b) i dobijaju razliCiti uglovi bE. Ovi uglovi inace nemaju neki odredengeometrijski smisao, prema tome ni znacaj za proucavanje procesa u masivu Cijisu slojevi nagnuti.

Primer 2.9.

Odrediti granicni ugao f3 u donjem delu ulegnuca na dubini H2 = 644 m, ako

je H1 = 210~, pad sIoja a = 30°, () = 75°, Uo = 1000 mm i zna se daje u tackiT, odredenoj uglom IT = 72°, izmereno uleganje UT = 40 mm.

Resenje:

Odnosima ~: = 1~O = 0.01 i i'o 1~~O = 0.04 odgovaraju (videtitablicu 2.1.) vrednosti TO = 2.326 i TT = 1.751. Prema (2.20 a) je

Va = V210 cot 72° + cot 75° = 7.24vcot 30° - cot 72°

a prema(2.28)

K = 2.326 7.24 = 0.3792 1.751 V644

sa ovim podacima se,pomoeu obrasca (2.21 ) izracunava cot f3 = 0.869 i f3 =49.3°.

Primer 2.10.

Izracunati vrednosti UD uleganja u tacki D odredenoj uglom ID = 70°, akoje pad sloja a = 25°, () = 78°, H 1 = 225 m, H2 = 370 m, Uo = 2000 mm j granicniugao f3 = 46°.

Resenje:

Granicnom uleganju odgovara odnos

UG 10

Uo = 2000 = 0.005

iz (2.20 a) je

TO = 2.576;

Va = V225 cot 70° + cot 78° =6.481vcot 25° - cot 70°

a iz (2.20 b)

Vao = V370 cot 46° - cot 780 = 8.214Vcot 25° + cot 46°


prema (2.26) je6.481

Tn = 8.2142.576 = 2.033

pa. posto se iz tablke u prilogu 2 nade <J(2.033) = 0.9579,

2000 -.Un = -2-(1 - 0.95 (9) = 42 mm

Primer 2.11.

KoristeCi podatke:o: = 40°, Uo = 2000 mm, 13 = 46.5°, H2 = 750 m, 1= 64°i H1 = 200 m (13 i 1su graniclli uglovi) odrediti:

a) vredllost Up uleganja u tacki odredenoj pomocnim uglom 1P = 60°,

b) par spregnutih uglova (f3s, IS) koji odreduju tacke sa uleganjem Us = 1 500 mm.

Resenje:

a) Primenom obrasea (2.18) izracunava se 0 = 75°, a zatim, pomocu (2.20)

Vao = 12.74 i najzad za odnos ~~ = 2~~0 = 0.005, TO = 2.576. PomoenomuglulP prema (2.20a) odgovara

Va = vl200 cot 60° + cot 75° = 15.25vleot 40° - cot 60°

pa je prema (2.26)

T = 15.252.576 = 3.0812.74

a prema (2.3)

Uo 2000

Up = 2[1- <J(3.08)]= -2-(1- 0.998) = 2 mm

b) Uleganju Us prema(2.3) odgovara

1500<J(TS) = 1- 2-- = ~0.52000

posto je prema (2.28)

TS = -0.6745;

I< = _0.6745 12.74 = -0.1222 2.576 vl750 '


Resenje:

Prema (2.35) je

(cot A( + cot e )H2 = H1 1 + 2---- = 200(1 + 2.75) = 750 m

cot a - cot'Y

pa se moze izracunati

srednja dubina H = ~(Hl + H2) = 475 m, 21 cosa = (H2 - HI) cot a = 655.4 m

poIozaj maksima.lnog uleganja m = H cot e = 127.3 m

vrednost spregnutog ugia f3 na du~ini H2: treba prvo pomocu (2.20) nati

Va = .1200 cot 60° + cot 75° = 15.25,Vcot 40° - cot 60°

a zatim na osnovu (2.21)

K = 15.25 = 0.557 cot f3 = 1.11 i naizad f3 = 42°.2 .1750' J

Dubina sloja u profilu po pruzanju y = -m.

Hm = H2 - (l cosO' - m) tan a = 750 - 200Atan400 = 581.8 m

vrednost ugia 8 u ovom profilu, prema (2.6), je

(iT /581.8tan 8m = V H;; tan 80= V 200 tan 44° = 1.65,

Sa ovim podacima mogu se, najzad, izracunati trazene duzine

2a = 2Hm cot 15m = 706.5 m

i21 = H2.- H1= 550 = 855.6 msma 0.643

Na slii'.an naCin zadatak se moze rciiti primenom obrasca (2.37), kada je poznata dubi!la H2 i ugao f3:

(cot f3 - cot e )H1 = H2 1- 2 rJ = 750(1- 0.734) = 200 mcot a + cotj

dalji postupak racunanja ne razIikuje se od iziozenog.


2.3.3. Uglovi punih pomeranja

Umesto ugla""{moze se u (2.34) uneti ugao f3A (sl. 2.10). Posto su spregnutina istoj dubini Hl, za njih prema (2.20) vazi

cot""{+ cot()

vcot Il' - cot ""{

cot f3A - cot ()

Jcot a + cot f3A

paJe2 (cot f3A - cot ()2r = -----------

(cot a + cotf3A)(cota + cote)

iodnos dubina pri punoj povrsini

H2 cot f3A - cot 8-=1+2----H 1 cot a + cot 0

(2.38)

p

Slika 2.10.

Na sliean naiSin za uglove f3 i ""{B, spregnute na dubini H2 dobija se

Hl = 1 _ 2cot""{B + cot ()H2 cot a + cot 0

Iz (2.38) sledi

1 1Hl cot f3A = "2(H2 - Hl) cot a + "2(H2 + HI) cot 0

sa. slike 2.10 je ocigledno

(2.39)


Iz (2.39) sledi

H2cotiB = B'e'- e'M = B'M

Prema tome kada je povrSina otkopavanja puna, uglovi f3A i IB povueeni iztaeaka A i B, seCi ee se na povrsini u tacki M Cijeje uleganje Umax = Uo, pa sei kod nagnutih slojeva moze koristiti graficka konstrukcija slicna onoj prikazanojna slie! 2.2; medutim, promena vrednosti uglova f3A i IB sa dubinom umanjujemoguenost njene primene. Prema definiciji iz prethodnog poglavlja, uglovi punihpomeranja 'lh, odnosno "¢2 (sl. 2.10) mere se U odnosu na sloj, pa postoji veza

"¢l = IB - a(2.40)

Primer 2.12. nasta-yak - izracunavanje uglova punih pomeranja:

K d (2) r. Va 15.25 db"a a se u ,21 unese K2 = --= = Mr\i\ = 1.08, 0 1Jase cot f3A = 2.275y'H1 v200

. f3 2') 7° " -' - K Va 15.25 0 5~ 2671 A = 0.). ; na 1St!naCln racuna se 1 = v'200 = 11750 = . 07, cot IB = O.i IB = 75°. Do istog rezultata moze se doei i pomoeu obrazaca (2.38) i (2.39); iz(2.38) sledi

cot f3 = (H2 - HI) eot a + (H2 + HI) cot 0 = 655.46 +254.55 = 2 5 iA 2H I 2 . 200 2. 7

f3A = 23.7°

a iz (2.39)

(H2 - H1)cot a - (H2 + HI) cot e 655.46 - 254.55cot~fB = -------------= ------ = 0.267

2Hz 2·750


Uglovi punih pomeranja, prema (2.40), iznose

1/;1 == 75 - 40 == 350

tP2 == 23.7 + 40 == 63.70

2.4. Horizontalno pomeranje

2.4.1. Ravansko pomeranje - uslovi

Funkcije Xo(x), Yo(Y), X01(X), Y01(Y), X(x,y), Y(y), X1(x,y) i Y1(y) uobrascima (1.20) i (1.28), sadrze parametre n, q im koji se javljaju i U obrascima(1.19) i (1.27) za izracunavanje uleganja masiva sa horizontalnim, odnosno nagnutim slojevima. Ovi parametri povezani su sa granicnim usiovima, pc. zato ipri proucavanju horizontalnih pomeranja moraju da budu zadovoIjeni uslovi potpunosti (2.1), odnosno (2.11). Posto su ovi usiovi povezani sa veIiCinomotkopanepovrsine, vrednost horizontainog pomeranja, kao i vrednost uleganja, zavisi odtoga da Ii je otkopana pod-povrsina, puna povrsina ili nad-povrsina; oblik hivehorizontalnih pomeranja u odgovarajucem profilu takode zavisi od duzine otkopavanja. Iz prethodnih razmatranja poznato je da ravansko uleganje nastaje samokada je otkopana duzina potpuna. Posto je prema (1.14) ukupno pomeranje

ono moze biti ravansko samo ako su ravanska sva tri komponentna pomeranja

Px, Py i U, pa je potpunost otkopane duzine potreban usiov. Treha jos ispitati daIi je, i u kojim slucajevima, dovoIjan.

Ako je u masivu sa horizontainim slojevima duzina otkopavanja u jednom odgIavnih pravaca pot puna, u vertikainim profilima upravnim na ravno dno kriveuleganja, bice ravansko i uleganje i horizontalno pomeranje. Neka je, na primer,otkopana duzina 21, sa ravnim dnom u oblasti L. Tada je za sve vrednosti y E LYo(y) == 1, pa u toj oblasti opsti obrasci (1.19) i (1.20) prelaze U obrazac (1.13) zaravansko uleganje, odnosno (1.16) za ravansko horizontalno pomeranje Px. Postoje prema (1.11)

'(t) == 2<p(t)

prema (1.19) i (1.20) je


paje u oblasti L zbog ravnog dna ddYn = 0 i horizontal no pomeranje Py == O. U ma-ysivu sa horizontalnim slojevima je, dakIe, pomeranje ravansko ako je u jednom od

glavnih pravaca otkopana duzina potpuna. Posto nema horizontalnog pomeranja

u drugom glavnom praveu, sve taeke pri pomeranju ostaju u ravni posmatranog

vertikalnog profila ..

U masivu sa nagnutim slcjevima mogu se razlikovati slueajevi kada je potpuna

duzina otkopana po pruzanju ili po padu. U prvom slueaju postoji oblast, x E Mukojoj je u obraseu (1.27) X(x, y) == 1, pa se dobija obrazac za ravansko uleganje

(1.25). No. sliean naCin, kao pri proueayanju masiva sa horizontalnim slojevima

moze se zakljuCiti da je horizontalno pomeranje Py po padu ravallsko, a posto jepremo. (1.27) i (1.28)

p X ( ) _ aX(x, y)--;::;==== 1 x,y - ----...;H cot a - y ax

biceu oblasti x E M horizontalno pomeranje po pruzanju Po: == O. I U ovom slueo.ju

je ukupno pomeranje ravallsko i sve taeke ostaju u istom Yertikalnom profilu po

padu. U drugom slueaju, kada je otkopana potpulla duzilla 21 po padu, postoji

oblast L u kojoj je Y(y) == 1. Premo. (1.27) tada uleganje

U(x,y) = U()X(x,y)

zavisi od obe koordinate po. llije ravansko. Premo. (1.28) nije ro.yallsko ni horizontalno pomeranje Po: po pruzanju; au ovom slueaju postoji ihorizontalno pomeranje

Py po padu, pa UkUpllO pomeranje ima sye tri komponente.

2.4.2. Ravansko pomeranje povrsine masiva Cijisuslojevi horizontalni

Poznatc je (odeljak I.1.4) da funkcija <pet) = ~ exp ( _~t2) ima maksi

mum <p(G) = ~, kao i dajey27T

<1>' (t) = 2<p(i)

Ako je poloiaj taeke T (s1. 2.11) odreden pomocnim uglcm OT, posto se u(1.16)

r (a+x\ la-z\]Pa,(x) = .j2iPo l<p -n-j - <p ~-n-)

2. Teorijski osvrti na osnovne karakteristike procesa. pomeranja 83

iz (2.21) se dobija

cot (35 = 0.128

Na slican naCin izracunava se

K = _0.6745 12.74 = -0.2361 2.576 V200 '

cot IS = -0.582

2.3. Puna povrsina otkopavanja

2.3.1. Masiv sa horizontalnirn slojevirna

Za razliku od pristupa u prvom odeljku ove glave, gde se uslovi potpunosti(2.1) odnose na poznate ili zadate vrednosti 2a i 21 otkopanih duzina, ovde setraze takve minimalne vrednosti ovih duzina, da otkopana povrsina bude puna.Prema definiciji, granicni uglovi mere se pri punoj povrsini otkopavanja, paje njenopoznavanje potrebno radi odredivanja parametara pomeranja, samih pomeranjai ocene potencijalne ugrozenosti objekata na potkopanom terenu, a pored toga iradi proracuna otkopnog pritiska, Cija vrednost takode zavisi od veliCineotkopanogprostora. Zato je odredivanje ovih duzina znacajno i teorijskii prakticno.

Kada su slojevi u masivu horizontalni, zadatak se zbog simetrije svodi naodredivanje stranice kvadrata duzine 2ao, takve da uleganje nad njenim sredistembude U(O) = Uo; posto je prema (1.13)

sledi

U(O) = Uo<P (~)(2.31)

sto se slaze sa uslovima (2.1).

U praksi se zbog jednostavnosti cesto koristi graficki postupak izlozen napocetku ovog poglavlja (slika 2.2.). Od granice otkopa povuku se prave pod uglom"p; ako se seku u masivu, otkopana je pod-povrsina; ako se seku nad povrsinom,otkopana je nad-povrsina, a ravnodno ulegnuca javIja se izmedu taeaka K iL (s1. 2.8). Pri punoj povrsini, prave se seku na povrsini terena (taeka M, s1. 2.8)

84 2. Teorijski osvrti na osnovne kara1l:teristike procesa pomeranja

/ \K/ M \L

/ , ~ ...... ,,!. .•....•~~ '\

Slika 2.8.

Prema konstrukciji jeao == H cot 'l/J (2.32)

gde je 'l/J ugao punih pomeranja, definisan u prvoll1 poglavlju. Posto se merenjem ne mogu tacno odrediti granice ravnog dna ulegnuca, vrednosti ovog uglakoje se navode u literaturi vrlo su neujednacene, nekada vece, a nekada manje odgranicnog ugla.

Ako se u (2.31) unese ao iz (2.32), a zatim prema (2.3) i (2.4) r = H cot ',p i11,

<P(r) = 1- 2 Up, dobija seUo

U(O) = Uo - 2Up (2.33)

gde je Up uleganje tacke P odredene uglom punih pomeranja 'l/J. Prema definicijiovog ugla, vrednost Up mora da bude zanemarljiva.

Ako se, na primer, ao racuna sa granicnim uglom 8, uleganje nad sredistembice prema (2.33)

U(O) = Uo - 2UG

Posto je po definiciji UG = 10 mm, greska iznosi 20 mm; otkopana povrsina,dakIe, nije puna, pa mora da bude 'l/J < 8 (sl. 2.9).

G P

Slika. 2.9.


2.3.2. Masiv sa nagnuthn slojevima

Ako su slojevi nagnuti, maksimum se javlja u tatki M(O, -m) (videti 2.2.2),pri eemu se otkopana duzina 2ao, u vertikalnom profilu po pruzanju kroz taeku

M, odreduje se prema (2.32); na taj naCin zadovoljen je i prvi od uslova (2.11).Za uglove f3 i 1(s1. 2.10) pretpostavlja se da su spregnuti, pri cemu su uleganja utaekama P i Q zanemarljiva. Prema (2.13) i (2.20) pod tim uslovimaje 4l(qva,) = 1;odatle, ako je zadovoljen i drugi uslov (2.11), sledi

b---;====== = vaVH(cot a + cot B)

OCigledno je (s1. 2.10) H2 - Hl = 21sin a, pa se umesto duzine 21 po padu,

moze traziti odnos h = ~: pri kome ce biti Umax = Uo. Posto se iz (2.10) unese

b H2-Hl sin(a+O) H2-Hl( 0)=. . 0 = --- cot a + cot2sma sm 2

i srednja dubina H izrazi preko Hl i H2

sledi daljeH2-Hl VA--;=====--;:::====

V2(H2 + Hl) vcot a + cot 0

Ako je, na primer, zadata dubina Hl i ugao 1, odnos h moze se izraeunati izjednaCine

H2 - Hl

V2Hl(H2 + Hl)

koja se svodi na kvadratnu

1- h va= r = --;======V2h(l+h) VHl(cota+cotO)

(2.34)

Do rezultata se lakse dolazi ako se pode od kvaclratne jednacine po Ilh:

86 2. Teorijski osvrti na osnovne kara.kteristike procesa pomeranja

Posta je 0 < h < 1, dolazi u obzir samo koren

cot "'I + cot 0iIi, kada se unese r = --:===========

J( cot a - cot "'1)( cot a + cot 0)

H2 1 cot "'I + cot 8-= +2---H I cot a - cot "'I

(2.35)

Na slican nacin, ako je zadata dubina H2 i ugao (3, polazeci od jednaCine

H2 - HI

J2H2(HI + H2)

1- h Va--:=== = S = --:======J2(h+1) JH2(cota+cotB)

(2.36)

dobija se kvadratna jednaCina

.... . cotf3 - cotecIJeJe reSenJe, PoSto se uvrstl S = --:===========

. J( cot a + cot f3)( cot a + cot 8)

HI = 1 _ 2 cot (3- cot 0H2 cot a + cot (3

(2.37)

Ugao f3 manji je od ugla B, pa je cot f3 - cot 0 > 0 i prema tome h < 1; postoje h > 0, mora da bude

2 cot (3- cot 0 < 1cot a + cot (3

a puna povrsina moie hastati pod uslovom

cot a > cot f3 - 2 cot 0

Ako je a· < (3 ovaj uslov sigurno je zadovoljen, sto se slaie sa rezultatima[58,61]. Medutim, obrasci (2.35) i (2.37) daju tacnije vrednosti odnosa h za punupovrsinu kod nagnutih slojeva, jer Beuzima u obzir i promena uglova sa dubinom,a. uz to je izlozeni postupak raeunanja jednostavniji nego u [58].

Primer 2.12.

J(oristeci podatke: a = 40°, B = 75°, HI=200 ill, {,= 44° i "'I = 60°, odreditidimenzije 2a i 21pra.l'ougaone otkopane povrsine tako da ona bude puna; vrednostiuglova {, i'Y odgovaraju datoj dubini HI'


unese apscisa taeke TXT = a +H cot DT

dobija se

jer uslovu potpunosti

odgovara

( 2a + H cot DT )ip = 0n

(2.41)

A

a

z0'

o

Q

Slika. 2.11.

5----,..··:.-,...-t·----

B

H

x

Posto je ip ( ~cot DT) :::; vk:, bite IPXTI :::; Po; dakle, sIicno parametru Uokod uleganja, postoji najveca vrednost Pxmax.aps. = Po horizontalnog pomeranja,koja moze, ali ne mora uvek da bude dostignuta. Kao i kod uleganja to zavisi od

otkopane duzine AB = 2a; ako je ip (2:) = 0 bite

Px(a) = -~Poip(O) = -Po

a ako je nepotpuna, tako da je

bice

IPx(a)1 = V26r.Polip (~) -ip(O)! < Po

2. Teorijski osvrti na osnovne karakteristike procesa pomeranja

Obrazae (2.41) maze se zato prikazati kao odnos

IPp,XT I= ~'P (H cotOT )o n /

iIi, posta se prema(2.4) unese H eotoT = r i J21r<p(r) = exp(-~r2)n 2

93

(2.42)

Ako je pored porneranja PxT poznato iporneranje Pxs neke taeke S odredenepomocnim uglom os, bice

Pxs = -,ji;Po<p (~ cotbS)

pa se iz ove, i iz jednaCine (2.42), dobija

prieemu se, radi jednostavnosti, pretpostavlja da su oba pomeranja istog znaka,odnosno da su taeke SiT sa iste strane taeke 01 (s1. 2.11). Odavde sledi

n=H cot20", - cot2 Os

21n PxsPxT

Ha kada se ovde dobijeni odnos - unese u (2.41), moze se izracunati i vrednost Po.n

Prerna tome, pomocni uglovi Os i OT kojirna se odreduje polozaj taeaka SiTsa poznatim horizontalnim pomeranjima PeS i PxT, takode su parametri procesapomeranja potkopanog rnasiva. To ipak ne znaCi daje svejedno da Ii se u taekarnaSiT rneri uleganje ilihorizontalno pomeranje, jer se takvi uglovi razliCito ponMaju

Prerna (2.3) je odnos uleganja

U'" 1-~ = -[1- <P(r)]Uo 2

a odnos horizontalnih pomeranja prema (2.42)


menja se po eksponencijalnom zakonu. Posto au razlieiti odnosi, razliCite su ivrednosti pomeranja, pa istom uleganju ne odgovara ista vrednost horizontalnogpomeranja i obrnuto. Na primer, ako je Uo=1800 mm, Po=600 mm i otkopava se

sa zarusavanjem krovine, bice prema (2.3) u granicnoj tacki

UG 10<1>( r) = 1- 2- = 1- 2- = 0.98

Uo 1800r = 2.539

a onda je prema (2.42) horizontal no pomeranje na istom mestu

I I ( 1~). (2, 5392 )Px = Poexp -2T- = 600exp---2- = 24 mm

Ako se pod istim uslovima, usled zapunjavanja smanje za 50 % efektivna otkopanadebljina Uo i maksimalno horizontalno pomeranje Po, menja se polozaj granicne

tacke i odnos ~: sad a je 910°0;novom OdllOSUodgovara \f>( r) = 1 - 2 91000= 0.97i r = 2.296, a onda se prema (2.42) menja i horizontalno pomeranje i iznosiPx = 21.5 mm.

Zato nije moguee dati jedinstvenu definiciju granicnog ugla, sa zadatim vrednostima granicnog uleganja i granicnog horizontalnog pomeranja; moze se propisatisarno jedna od njih a vrednost druge u granienoj tacki menja se sa promenom

odnosa ~: . Definicija granicog ugla, data u prethodnoj glavi, usvaja se pre svegazbog veee pouzdanosti granicne tacke, jer je tacnost merenja horizontalnoh pomeranja manja od taenosti merenja uleganja. Pored toga iz (2.41) i (2.42) sledi dasvakoj vrednosti DT pomoenog ugla odgovara saffiojedna vrednost pomeranja PxT

i odnosa PxT, ali obrnuto ne vazi: zbog parnosti funkcije <p( r) postoje dye taekePo

sa istim pomeranjem Px i odnosom ~: j kod uleganjaje (videti 2.1.1.), medutim,resenje jednoznaeno posto fukcija <1>(r) monotono raste.

Mada se ovom prilikom posmatra masiv sa horizontalnim slojevima, na slieannaCin moze se utvrditi da svi izvedeni zakljucci vaze i kada su slojevi nagnutij aliposto su u ovom drugom slueaju odgovarajuei obrasci znatno slozeniji, pa se utekstu koji sledi ova analiza se izostavlja.


2.4.3. Ravansko pomerallje povrsine masiva eiji suslojevi nagnuti

U obrascima (1.25) za ravansko uleganje i

(2.43)

za ravansko horizontalno pomeranje po padu, koji sledi kao specijalan slucaj kada

se u (1.28) unese X(x, y) = 1, javljaju se zajednicki parametri b, m i q. Prema (2.9)i (2.18), odnosno (2.20) i (2.23) m i q se izrazavaju pomocu granienih uglova,B ii,dok (videti 2.2.1.) b nije nezavisanparametar. Posto uticu na sve komponente, paprema tome i na ukupno pomeranje, granieni uglovi su, dakle, osnovni parametriprocesa u masivu.

Za razliku od m, n i q, svaki od parametara No, Po, Qo i Uo utiee sarno najednu komponentu ukupnog pomeranja i obrnuto, vrednost svakog od njih mozese odrediti sarno iz poznatog odgovarajuceg komponentnog pomeranja: Uo sarno iz

poznatog uleganja, Po iz poznatog horizontalnog pomeranja po pruzanju, odnosnou jednom od glavnih pravaca ako su slojevi u masivu horizontalni, a Qo i No

sarno iz poznatih horizontalnih pomeranja po padu. U prethodnom tekstu vecsu obradeni primeri I;; kojih se vidi kako se odreduju parametri Uo i Po, pa seovde posmatra sarno ravansko horizontalno pomeranje po padu. Za odredivanjevrednosti parametara No i Qo dovoljno je znati pomeranja Pys i PyT ma kojihdveju taeaka SiT, odredenih koordinatama ys i YT, ili pomocnim uglovima,Bs iIT. Kada se u (2.43) unesu koordinate, nastaje sistem linearnih jednaCina

eija je determinanta

NoY(ys) + ..)2;QOY1(Ys) = Pys

NoY(YT) + ..)2;QoY1(YT) = PyT (2.44)

uvek razlieita od nule, jer je Ys :f= YT, pa reiienje uvek postoji.

Ako je polozaj taeaka SiT odreden pomocnim uglovima, prema (2.43) i(2.14), odnosno (2.15), nastaje sistem

(2.45)


koji takode uvek ima reSenja. Mogucnost njegove primene ogranicenaje, medutim,zahtevom da je otkopana duzina 2a po pruzanju potpuna, jer sarno u tom slucajuimaju smisla pomocni uglovi f3s i iT.

Primer 2.13.

Odrediti:

a) vrednosti parametara Uo i n za sloj iz primera 2.2. sa izmenjenim podacimaza otkopanu duiinu 2a = 90 m, uleganje UM = U(O) = 960 mm i UN

U(21O) = 18 mm.

b) vrednost parametra Po, aka je poznato horizantalnoc pomeranje taekeN: PxN = Px(210) = -39 mm.

Resenje:

a) U primerima 2.1. i 2.2., pri resavanju slicnog zadatka pretpostavljanaje vrednost Uo i na osnovu nje koristeCi pomocni ugao l()N, izracunavan parametarn: na taj naCin malo je uproscen postupak racunanja. Zbog male otkopaneduzine 2a u ovom primerunema smisla koristiti pomocne uglove, pa se racunaneposredno sa koordinatama, opstijim postupkom Cija primena, kada su ispunjeni uslovi ravanskog uleganja, ne podleze nikakvim ogranicenjima.

Posto se obrazac (1.13) ne moze reSiti po n, vrednosti Uo i n moraju se, kao iu primerima 2.1. i 2.2., adrediti numerickim postupkom. Radi toga se (1.13)dovodi na oblik

= 1 i tim pre

pa se trazi vrednost n koja zadovoljavaju dvostruku jednakost. Posto je

XON = XO(XN) =~ [<p(45:210) + <p(45 ~ 210)]

~ [<p(2~5) _ <p(1~5)] > 0

b· . 50" .. d . b' . A;. (165)mora ltl n > ,Jer ce za manJe vre nost! ItI '*' -;;-

<p(2n55) = 1. Sa n = 55 je, na primer, XON = 0.0015i ~ = 12000.XON

Medutim sa istom vrednoScu n = 55 m bice


. 960 33 . d· k .. d I'I -X = 1 6 ,pa Je na ost lllJe za ovo Jena.OM

Postupak je podesan za primenu racunara: program pocinje sa nekom vre

dnoscu n, na primer n = 55, a zavrsava se sa onom vrednoscu pri kojoj cerazlika

a= UN _ UMXON XOM

biti jednaka nuli ili rnanja od zadate vrednosti, na primer manja od 10 mm.

Tok racuna prikazan je tabelarno.

XON18

XOmN

55 0.58716330.0015120001036760

0.54717550.00306000424565

0.51118790.0055I

3273 139470

0,48020000.009020000

Trazene vrednosti su, dakle n = 70 m i Uo=2000 mm.

b) Posto se u obrazac (1.16) unesu vrednost n=70 m i XN = 210 m, dobija se

P _ ~2 n [ (44 + 210) (45 - 210)] _ 006 nxN - V£.1fro <p 70 - <p 70 - -. ro

pa iz uslova PxN = -39 mm sledi

39Po= - =650 mm

0,06

Primer 2.14.

KoristeCi izmerena uleganja iostale podatke iz primera 2.5, odrediti vrednostparametra Uo.

Resenje:

I OVOID prilikom smatra se da su za posmatrani profil ispunjeni uslovi ravan

skog uleganja, pa se moze koristiti obrazac (1.25)

U(y) = UoY(y)

98

gdeje

2. Teorijski osvrti na osnovne karakteristike procesa pomeranja

Y(y) = ![ep (a-;:;;;b +=m=+=y=)+ ep (q-;:;;;b ;:::-=m=-=y=)]2 ~v'H cot 0: - Y v'H cot 0: - Y

Primenjuje se isti numerieki postupak kao u prethodnom primeru, s tom razlikom sto funkcija Y(y) sadrzi dva nezavisna parametra m i q, pa za odredivanje tripodatka (m, q i Uo) treba znati vrednosti uleganja triju taeaka, tako da se dobijatrostruka jednakost

U3 -u- 0Y(Y3, m, q)

Najpodesniji raspored taeakaje da dye budu blizu granica ulegnuca (jedna nadonjem, a druga na gornjem delu), a treca u srednjem delu u kome su vrednostiuleganja najvece. Parametar b nije nezavistan i izrazava se preko parametra m =H cot 0; prerria (1.10) je

sin(o: + 0) .b = [ . 0 = [(sm 0: cot 0 + cos 0:)sm

pa, koristeCi podatke iz primera 2.5 [cos 0: = 32,9 m, HI=265 m, i H=342,5 m,u Y(y) treba uneti

. H2 420b + m = [coso: + (H + Ism 0:) cot 0 = I coso: + Jim = 32,9 + 342 5m,

. HI 2~b - m = I cos 0: - (H -/smo:)cotO = [coso: - Jim = 32,9- 342,5m

Iz razloga navedenih u primeru 2.5, ne koriste se taeke sa uleganjima od 7 mm,nego sledeCi par odreden spregnutim uglovirna f3 = 530 i "f =760 u kojima je uleganje Ul = Us = 51 mm i taeka u kojoj je izmereno najvece uleganje U2=184 mm;ovim taekama odgovaraju koordinate YI =-350 m, Y2=-30 m i Y3=100 m.

Posto se uvrste brojne vrednosti, bice

Y(Yl,m,q) = Y(-300,m,q) =

1 [ ( 32,9+ 3~~05m - 350) (32, 93~~55m + 350 )]="2 ep q J342, 5 co~ 670 + 350 + ep q ,/342, 5 c~t 670 + 350

= ![.(499.88 - m) _ ep ( 258.59 - m)]2 ep \ q 28.77 q 18.15


Na sliean narin nalaze se i

Y(Y2, m, q) = Y( -30, m, q)

Y(ya, m, q) = Y(100, m, q) ..

Kao i u prethodnom primeru, numericki postupak svodi se na odredivanjevrednosti m i q pri kojima ee razlika A, u OVOID slucaju razlika najveceg i najmanjeg

d . -1 U1 U2. Ua b' "d k l' '1' . do· tn c ana ( ) '( ) I ( ) , It!]e na a nu I I I man.1a0Y YI,m,q Y Y2,m,q Y Y3,m,q10 mm.

Kao sto se vidi iz prilozene tablice, za q = 0.094

UIU2UsAm q

Y(yt}Y(Y2)Y(Ys)

0.0940

7647527671550

0.0930754762744180.0935

7627597566

ova razlika je A=767-752=15 mm, a za q=0.093 ona je ustvari negativna, jer jedrugi cliw veti od treceg, pa reSenje treba traziti u intervalu 0.093 < q < 0.094.

Sa aritmetickom sredinom q=0.0935 dobija se sasvim zadovoljavajuca tacnost, jeruleganja sracunata sa m=50, q=0.0935 i Uo=760 mm, odstupaju od izmerenih ugranicama tacnosti merenja:

SracunatoIzmereno

U1

52mm51 mmU2

183 mm184 mmUs

52 mm51 mm

Posto se u izvornom clanku [15] ne navode horizontalna pomeranja u opazanom profilu, ovaj primer se ne moze upotpuniti odredivanjem parametara No iQo. U sledeeem primeru taj zadatak resava se sa drugim podacima.

Napomena: obrasci (1.25) i (2.18), koji se koriste u ovom i u primeru 2.5, izvedenisu pod pretpostavkom da je pad sloja a manji od granicnog ugla I pa, teorijski gledano, ovi primed nisu korektni. U praksi, medutim, u nedostatku drugihmetoda, koristan je svaki postupak koji omogucuje da se dode do rezultata Cijaje tacnost zadovoljavajuca. Cilj ovog i primera 2.5 bio je da pokazu da se i podovim uslovima mogu dobiti rezultati sa greSkom koja lezi u granicama tacnostimerenja. Nasuprot tome dati su ova napomena i primer 2.6, kao opomena da ne

100 2. Teorijski osvrti na osnovne karakteristike procesa pomeranja'----treba iCiu drugu krajnost i zaboraviti da uslov (2.12) nije zadovoljen. Jer u takvimslucajevima moguea su "iznenadenja" nalik na sledeea dva, koja se ovom prilikomnavode.

Posto je u ovom primeru a =" ordinata granicne tacke je

Ya = lcosa + Ht cot, = [cosa + (H -lsina)cota = H cot a

Ako se potrazi granicno uleganje Ua = U(YG), rezultat neee biti ocekivanavrednost Ua= 10 mm, na ekranu se neee pojaviti ni neka druga; racunar ee "odbiti"da je izracuna, jer je U obrascu (1.25)

JH cot a - Ya = 0

Polazeei od relacije m = H cot {},moze se sracunati

H 342.5

tan (J = -;;;= "5() = 6.85

i uleganje u odgovarajueoj tacki

U(-m) = U(-50) = 179 mm.

Ali prethodno je izracunato U(-30)=183 mm, pa uleganje u tacki odredenoj"uglom maksimalnog uleganja" B nije maksimalno!

ObjaSnjenje: y = -m je sarno priblizno ordinata najveeeg uleganja. GreSkakoja se Cini kada se ovako racuna uglavnom je zanernarljiva, ali raste kod strmijihslojeva, kada je a > 45° i cot a < 1 (videti odeljak 2.2.2), a U ovom slucaju jea = 67° i cot a = 0.424.

Primer 2.15.

Poznata su horizontalna pomeranja po padu Ps=175 mm j PT=-240 mmtaeaka S j T, odredenih pomocnim uglovima f3s = 60° i ,T = 80°; ostali poda,ci,uz Uo=2 000 mm, isti su kao u primeru 2.7. Izracunati vrednosti parametara No i

Qo.


Resenje:

Taekama SiT odgovaraju ordinate Ys=-350 m i yY=200 m. Posto jeUo=2000 mm, bice

10

ep(r) = 1- 22000 = 0.99

i r = 2.576; sa ostalim podacima iz primera 2.7 jail se izracunava

m = H cot 8 = 45.85 m

21 = h2.- HI = 350.86 mSInO'

b = lsin(~ + 8) = 175.40 illsma

. r 2 .1 q = - = 0.4 88, pa JeVa

Y( -350) = 0.0455, Y1( -350) = 0.2396,

Y(200) = 0.0918 Y1(200) = -0.4128.

Reilenje sistema (2.44)

0.0455No + O.2396Qo = 175

0.0918No - 0.4128Qo = -240

Je

No = 364 mm i Qo = 660 mm.

3.Deformacije u tacki

3.1. Nagib

3.1.1. Definicija

Vrednosti uleganja mogu se izmeriti Sarno u ogranieenom broju diskretnorasporedenih taekai sa tim podacima se, prema definiciji (1.1)

N=UA-UBlAB

izracunava nagib. To je, ustvari,srednji nagib izmedu tetive AB krive uleganja (s1.3.1) i horizontale.

Slika 3.1.

Ako je poznatajednaCina U(e) krive ulega..'ljau datom profilu, moze se raeunskin: putem odrediti i nagib u nekoj proizvoljno izabranoj taeki M· krive uleganja,odredenoj koordinatom e

3. Deformacije u tacki

dUNM =N(e) =

de

103

(3.1)

U opstem slucaju, kadaje poznatajednaCina U(x, y) povrsine ulegnuca morase zadati i taeka M i pravac nagiba u toj tacki, jer se kroz svaku tacku M povrsineulegnuea moze postaviti neogranicen broj vertikalnih ravni, pri cemu svakoj od njihu opstem slucaju odgovara druga kriva uleganja, pa prema tome i druga vrednostnagiba. Neka je 7T vertikalna ravan kroz tacku M, koja zaklapa ugao tp sa osomOx; koordinate taeke M su

x = X A +e cos tp

au ax au ay. .paje prema definiciji (3.1) NM(tp) = -- + -- 1 naJzad

ax ae f)y alP

au au .

NM(IP) = ax costp + ay smtp

Ova jednaCina moze se prikazati i u vektorskom obliku

NM(tp) = pgradU

gde je

p = icos tp +J sin tp

jedinicni vektorose Ae, a

3.1.2. Glavni nagib

(3.2)

(3.3)

U tekstu koji sledi, radi konciznosti koriste se za projekcije gradijenta jedno

siavnije oznake ~~ = Nx(x, y) i ~~ = Ny(x, y) a za odredenu taeku M(XM, YM)joil i

Iz (3.2) se vidi da postoji takva vrednost ugla tp = tpo pri kojoj ee nagib uproizvoljnoizabranoj tacki M biti NM(tpO) = 0, pa iz

104

sledi


Nx(M)costpo + Ny(M)sintpo = 0

(3.4)N:e(M)

tautpo = - Ny(M)

Ugao tpo oCigledno odred uje pravac izolinije uleganja u tacki M.

Moze se takode pot.raziti polozaj ravni 'iT' takav da nagib N M (tp) ima ekstremnuvrednost; ako je tp = tpI ugao kojim je odreden taj polozaj, iz uslova

sledi

Ny(M)

tan tpi = N:e(M) (3.5)

Ugao tpI odreduje glavni pravac, a ekstremna vrednost nagiba NM(tpd = NI(M)

naziva se glavni nagib u tacki M. Na osnovu (3.5), koristeCi poznate trigonometrijske identitete, mogu se izracunati

. tan tpI

SllltpI == J 1+ tan2 tpI

1COS tpI = ----::====

. VI + tan2 tpI

Ny(M)

VN;(M) + N;(M)

N:c(M)

VN;(M) + N;(M)

a kada se ovi rezultati unesu u (3.2), dobija se i vrednost glavnog nagiba

NM(tpd = NI(M)

NI(M) = VN;(M) + Ni(M)

Posto je drugi izvod

'2N ( )a M2 <P = -(N:e(M) costp + Ny(M) sin tp) = -Nr(M) < 0

dtp

oya ekstremna. vrednost je maksimum. Iz (3.4) i (3.5) sledi

tan 'Po tan tpI -I- 1 = 0

(3.6)

3. Deformacije u tacki 105

paje glavni pravac 'PI upravan na izoliniju uleganja U(X, y) = UM = const u tackiM. Posto je glavna ravan 1rI odredena vertikalom i glavnim pravcem 'PI, onasadrzi i normalu u tacki M ulegnuca, a glavni nagib NI(M) ujedno predstavlja iugao izmedu vertikale i ove normale; na primer, to je ugao koji ee posle uJeganjamasiva zaklapati sa svojim prvobitnim pravcem (vertikalom) osa nekog stuba.

U doda.tku I (odeljci 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3 i 1.3.2) se navode tacni i priblizni obrasciza izracunavanje nagiba u glavnim profilima i prikazani su grafici krivih nagiba.

Primer 3.1.

lzracunati za koliko ee se, usled uleganja, udaljiti od vertikale vrn fabrickog

dimnjaka visine h = 200 m; dimn]ak je podignut u tacki D(282,320), a ostali

podaci isti su kao u primeru 1.1.

Resenje: Sa podacima iz primera 1.1 je

XO(x) = ~ [iP (25~~ x) + iP (25~~ x)]

Yo(Y) = ~ [~ (30~: y) + iPCO~~y) ]

X01(x) = ['P (25~~ x) _ 'P (25~~ x)]

Y01(Y) = ['P(30~;Y) _ 'P(30~~y)]

pa su vrednosti ovih funkcija u tacki D Xo(282) = 0,324, Yo(320) = 0,387,X01 (282) = -0,359 i Y01 (320) = -0,383. Sa ovim vrednostima moze se izracunatiuleganje

UD = 2000X(282)Y(320) = 250 mm

pravacizolinije uleganja

)(01 (282)Yo(320)

tan 'PO = - Xo(282)Y01(320) = -1,12, 'Po = 131,770

pravac glavnog nagiba

Xo(282)YOI (320)

tan 'PI = X01 (282)Yo(320) = 0,89,

106

i glavni nagib

3. Deformacije u taeki

2000 .

N](D) = 7OV[Xo1(282)Yo(320)]2 + [Xo(282)Y01(320))2 = 5,3mmm

A kada se zna glavni nagib, moze se izraeunati i trazeno odstupanje od vertikale

d = hN](D) = 200·5,3 = 1060 mm

U primeru 3.3 na slici 3.6, vidi se i tacka. D(282, 320) iz ovog primera, saoznaeenim glavllim pravcima (uglovi <Po i <Pi)'

3.1.3. Ekstremne vrednosti

U praksi se najeesce traze uleganja i deformacije u glavnim profilima, u kojimase javljaju i njihove ekstremne vrednosti. Ako otkopana povrsina nije puna, nemogu se izvesti nikakvi opstiji zakljucci 0 ovim vrednostima, kao ni mestu gde sejavljaju najvece deformacije, jer rezultat zavisi od dimenzija otkopane oblasti.Ali, kako je to pokazano u dodatku I, pomeranja i deformacije dostizu svoje najvece

vredno~ti tek pri punoj otkopanoj povrsini, pa se u daljem tekstu posmatra sarnotaj slueaj.

U masivu sa horizontalnim slojevima je prema (1.13) i (3.1)

gde je

UoN(x) = - .X01(x)n

(a+x) (a-x)X01(x)= <P -n- - <P -n-

(3.7)

zbog jednostavnosti ovog obrasca nisu potrebna nikakva detaljnija objaSnjenja,osim onih izlozenih u odeljku 1.2.2. Tu je pokazano da se ekstremne vrednostinagiba javljaju u taekama sa koordinatama x = a i x = -a, koje leze nad granicama otkopa. Zbog simetrije krive uleganja, ove vrednosti razlikuju se sarno poznaku, taka da je

UomaxINI=-nV21r

(3.8)

Posto obrazac (3.7) obuhvata i profile po pruzanju u masivu sa nagnutirnslojevima, preostaju jos sarno profili po padu. Prema (1.25) i (3.1) nagib je

(3.9)


~=q b+m+y.jHcota- y

b-m-y7] = q--=====

.jHcota-y

107

Pri punoj povrBini otkopavanja vazi (I.16) i (1.18), pa izostaju clanovi sa <p(~),

odnosno <p(1]), tako da je

{ qUo<p(~) +e Uo ~<p(e)N (y) = VH cot a - y 2 H cot a - y ,_ qUo<p(1]) + Uo 7]<P(1])

VH cot a - y 2 H cot a - y'

y< -m

y>-m(3.10)

Prema definiciji (3.12) je dN = K(y) pa se ekstremne vrednosti nagibajavdy

ljaju u tackama u kojima je krivina K (y) = O. Iz (3.24) vidi se da je u tacki L, sa

ordinatom YL = b - m (tada je 1] = 0), tacna vrednost krivine

KL = _ qUoy'2;(H cot a + m - b)3/2

NL

Hcota+m- b

strogo teorijski gledano, razliCita od nule, ali se bez veee greBke moze zanemar

iti. Na primer, pri najnizoj kategoriji dozvoljavaju se nagibi do 15 mm/m, cemu

odgovara vrednost NL = 0.015, a nju JOBtreba podeliti sa H cot a + m - b. To

je znatno veCi broj, Cija je vrednost pri a = 45° reda veliCine dubine H, a ona je

(videti poglavlje 1) bar 100 m; kod blaze nagnutih slojeva i sa porastom dubine,

vrednost KL je JOBmanja. Na slican nacin moze se zakljuCiti da je u tacki N, sa

ordinatom YN = -b - m, takode priblizna vrednost krivine KN = O.

Kada se u (3.10) unesu ordinate YL i YN, dobijaju se ekstremne vrednosti nagiba

NL = _ --::===q=u,=o====.j27f(H cot a + m - b)

NN = qUo.j27f(H cot a + m + b)

(3.11)

U odeljku 1.3.2. je pokazano da se bez veee greske u (3.9) moze zanemariti

clan N2(y); u (3.10) se, prema tome, moze zadriati sarno prvi Clan.

108 3. Deformacije u taeki

3.2. Krivina

3.2.1. Definieija

Neka su Mi, M2 i Ms tri taeke Cija su uleganja U1, U2 i Us, a leze u istomprofilu; ako su rastojanja M1M2 = 11 i M2!ltfs = 12, mogu se izracunati nagibi N1 =Th-Ul'N US-U2 I .. . . .

/1 1:1 12' z geometflJe Je poznato da se kroz tn nekolmearnetacke maze povuci kruznica, pa prema tome, ako je b.N = N2 - Nl :j:. 0, postojitacka G (sl. 3.2) takva da je GMl = Glvf2 = GMs = R. Trougli M1GM2 iM2CMs su jednakokraki, pa su normale CP1 i CP2 simetrale uglova u temenuC :< MlGP1 =<1P1CM2 = a i <;l M2GP2 =<r. P2CMs == 13,a poluprecnik

1 1 1-It -12 -(It+12)

R= _2_ = _2_ = _2~ __sin a sin 13 sin a + sin {3

Zbog malih vrednosti nagiba je sin a = a i sin 13 = {3,a zbog normalnosti krakovaje 4 P1GP2 = 0: + 13= t:J..N pa su

R - _1- ]{ = -.!. = t:J..N, I - ~(I I )- aN R I - 2 1 + 2

po definicijama (1.3) i (1.2) poluprecnik krivine, odnosno krivina.

c

Slika 3.2.

Aka je poznata jednacina U(e) krive uleganja u posmatranom profilu, mazese izracunati i krivina u ma kojoj tacki M odredenoj koordinatom e, koristecipoznati obrazac iz diferencijalne geometrije

U"

K(e) = (1+ ut2)S/2


Zbog malih vrednosti nagiba moze se Clan U,2(~) = N2{e) zanemariti u odnosu na

jOOinicu, pa se za izracunavanje krivine u tacki koristi znatno jednostavniji obrazac

(3.12)

Najzad, akoje poznatajednacina U(x, y) povrsine ulegnuca,moze se izracunati

krivina u ma kojoj tacki M{x, y) profila n, koji zaklapa ugao ep sa osom Ox.

OCigledno je (s1. 3.1)x = XA +ecosep

Y = YA + ~sin ep

pa je na osnovu (3'.12)

EPu (ax) 2 "()2u ax oy 02U (Oy)2KM(ep) = ax2 o~ + axoy o~ a~ + ay2 a~

iii, ako se uvedu skracene oznake

a2U

f{x = ox2'

(3.13)

Umesto kvadrata, odnosno proizvoda sinusa i kosinusa, moze se uvesti dvost

ruki ugao, na osnovu poznatih trigonometrijskih identiteta

1cos2 ep == 2{1 + cos 2ep)

sin2 ep == ~(l- CDS 2ep)

2 sin ep cos ep == sin 2ep

(3.14)

clanovi J{x i Ky u ovomobrascu, prema (3.12) predstavljaju krivine u tacki M{x, y)

za profile paralelne koordinatnim osama; clan

02U

Key = oxoy

proucava se detaljnije u tekstu koji sledi.

(3.15)

110

3.2.2. Uvijanje


Neka su A, B, C i D cetiri taeke u ravni z ::: H, takve da obrazuju pravougaonik ABCD, sa stranicama AB ::: CD ::: a pod uglom ep sa osom Ox iBC::: AD ::: b pod istim uglom sa osom Qy. Ako su XA ::: X i YA ::: Y koordinatetaeke A, bice

XB ::: X + acos<p, YB ::: Y + asinep

Xc =x+acos<p-bsinep, Yc =y+asinep+bcosep

XD ::: X - bsin<p, YD = Y + b cos ep

Uleganja u ovim taekama SUUA, UB, Uc iUD, pa postoje nagibi NAD

UD - UA . N Uc - UB '. - I·' ., . d k' l'kb 1 BC::: b pn cemu u opstem s ucaJu om msu Je na 1; raz 1 a

tJ..N::: NBC - NAB i- 0 odreduje vrednost ugla zakoji se uvila duz AB.Proseenavrednost po jedinici duzine

tJ..NJ{ab::: -

a (3.16)

naziva se uvijanje.

Kada je poznata funkcija uleganja U(x, V), moze se definisati i uvijanje utaeki, kao graniena vrednost uvijanja (3,16), kada stranice a :::.6.~i b::: tJ..'TJ, tezenuli. Prema definiciji(3.1) je

nagib u taeki A i

nagib u tacki B, pa je (videti koordinate taeaka A, B, C i D)

tJ..N ::: - [:x U(x + tJ..ecosep,

+ [%y U(x + tJ..e cos <p,

a odavde

y + tJ..~sin ep) - :x U(x, V)] sin ep+

y + tJ..~sin<p)- :y U(x, v)] cos <p

, ,tJ..N (a2 U a2 U ) , a2 U 2 • .,B..€'1::: hm --::: -!:l2 + J:r2 sm <pcos <p+ ~(cos <p- sm- ep)~€ ...•o tJ..~ vx vy vXvy


i najzad, PoSto se uvede dvostruki ugao i oznake Kx, Ky i Kxy iz obrazaca (3.13)i (3.14)

Kt;1J = Kxy cos2cp - ~(Kx - Ky) sin 2cp(3.17)

za cp = 0 je Ke,., = Kxy, pa je Kxy (3.15) uvijanje u pravcu koordinatnih osa utacki M{x, y).

3.2.3 Glavne krivine

Ekstremne vrednosti krivina u nekoj tacki M(x, y) zovu se glavne krivine, auglovi CPi i CP2 odgovarajuCih profila, glavni pravci. Prema (3.13), odnosno (3.14)vrednost krivine u tacki zavisi od ugla cP, pa se odredivanje ekstremnih vrednostifunkcije KM ( cp) matematicki svodi na trigonometrijsku jednaCinu

Cijeresenje

dKM(cp) (T." K)· 2 2}" 2 0dcp = - Ax - y sm cp+ "xy cos cp= (3.18)

(3.19)

. 2 tan 2cpsm cP == --;:====.)1 + tan22cp

_ 2Kxy

tan2cp - Kx - Ky

odreduje glavne pravce; ako je poznat jedan glavni pravac CPi,drugi je CP2 = 90°+CPi

jer je

pa je i CP2 reilenje jednaCine (3.19). Glavni pravci su, dakle, ortogonalni.

Posto se trigonometrijski identiteti

2Kxy

JU<x - Ky)2 + 4K;y

1 Kx - Kycos 2cp == ---:==== = --;:=======

J1 + tan2 cp J(Kx - Ky)2 + 4K;y

unesu u (3.14) vrednosti glavnih krivina su

K1 = ~(Kx + Ky) + ~JU<x - Ky)2 + 4Ki:y

[(2 = ~(Kx + Ky) - ~JU<x - Ky)2 + 4K;y

pri cemu je K1 najveca, a K2 najmanja vrednost.

(3.20)

112

Iz (3.17) i (3.18) sledi


dKM('P) 1.d'P = 2[Kxy cos 2'1' - "2(1(x - Ky) sm 2'1'] = 2K~1]

pa ako su e i TJ glavni pravci, mora biti K{Tf = 0; i obratno, ako je uvijanje K~1] = 0,krivine Kf. = K1 i K1] = K2 bite glavne. Ako se koordinatni sistem izabere takoda se ose poklapaju sa glavnim pravcima, bite J(xy = 0 i prema (3.17)

Najveee uvijanje

IKf.'11 = ~(I(l - K2)

bice kada je Isin 2'1'1 = 1, za ose koje sa glavnim pravcima zaklapaju ugao od 450•

Primer 3.2.

Pomocu obrazaca (3.20) lako se izraeunavaju vrednosti K1 i K2 glavnih krivina, ali se ne vidi koji glavni pravac '1'1, odnosno '1'2 odgovara najvecoj KlJ a kojinajmanjoj krivini K2• U tacki D(282, 320) iz prethodnog primera je Kx = 0,026,Ky = 0,014 i Kxy = 0,056 pa su prema (3.20) glavne krivine 1(1 = 0,076 km-1i K2 = -0,036 km-1, a prema (3.19) tan 2'1' = 9,33, sa glavnim pravcima '1'1 =41,940 i '1'2 = 131,940 (sto ne znaCi da pravcu '1'1 odgovara krivina K1, odnosnopravcu '1'2 krivina K2!). Posto se u (3.14) unese 2'1' = 2'1'1 = 83,880 dobija seKD(83,88) = 0,076, pa ovom pravcu odgovara najveea krivina.

Obrasci istog oblika kao (3.14), (3.19) i (3.20) javljaju Be pri proueavanju ravanskog stanja napona i deformacija; ovi problemi mogu se reSavati i grafiekimputem, primenom Mohr-ovog kruga, pa se na sliean naCin, konstrukcijom Mohrovog kruga, mogu odredivati glavni pravci, vrednosti glavnih krivina, kao i vrednost KM('P) krivine u proizvoljnom profilu. Ovaj postupak daje preglednu slikupromene krivina u taeki za razne profile. Na slici 3.3 sa podacima iz ovog primera,odredeni su glavni pravci i glavne krivine.

Iz koordinatnog poeetka 0 nanose se u podesno izabranoj razmeri krivineOA' = Kx i OB' = Ky, dok se upravno nanosi uvijanje Kxy. Tacke A(Kx,-Kxy)

i B(Ky, Kxy) su krajevi precnika, srediste C duzi AB je centar Mohr-ovog kruga,aD je preseena taeka ovog kruga i apcisne ose OC. Da bi se odredila vrednostkrivine u proizvoljnom profilu odredenom uglom '1', treba sarno konstuisati tetivuDM pod uglom ADM = '1', pa je OM' trazena krivina, a M M' odgovarajueeuvijanje. Posto je glavnim u pravcima uvijanje l{12 = 0, apcise Kj = OE iKII = OD su glavne krivine. Sa slike se mogu izmeriti duzine OE = 76 mm i

3. Deformacije u taeki 113

OD = 36 mm, pa je prema usvojenoj razmeri K[ = 0,076 Km-I i KII = -0,036Km-I; takode se moze izmeriti glavni pravac 'PI =< ADE = 42°, a oeigledno je'P2 = epl + 900• Konstrukcija se navodi bez dokaza; isti se moze nati u svakomstandaronom udZbeniku Otpornosti materijala.

o

B (Ky.-K.y)

EKx.Ky

A (K•• -K.y)

Slika 3.3.


Pri ravanskom uleganju povrSine masiva eiji su slojevi horizontalni, prema(1.13) i (3.12) u jednom od glavnih profila krivina je

UoK(x) = 2X02(x) (3.21)n

gde je

(a+x (a+x) a-x (a-x)]X02(X) = - -n-ep -;- + -n-'P--n-

U odeljku 1.2.2 je pokazano da pri punoj povrsini otkopavanja postoji petekstremuma od kojih su eak eetiri, u taekama sa koordinatama (-a - n, 0), (-a +n, 0), (a - n, 0) i (a + n, 0), zbog simetrije krive uleganja, po apsolutnoj vrednostijednaka

Uo Uo

max IKI = ...;'iiie = 0.2422n2 21Te n

a peti je maksimum K(O) = O.

U profilima po padu, prema (1.25) i (3.12), krivina je

K(y) = KI(y) + K2(y) + K3(y)

(3.22)

(3.23)

b-m-yT/ = q--;::====

JH cot. a - y

114

gdeje


q2u,

K1(y) = - H cot aO_ y[e~(e) + 1J~(1])],

K2(y) = (H cot::~y)3/2 [(1- e)~(e) - (1-1]2)~(1J)],

K3(y) = -41 (H ~O )2 [e(3 - e)~(O+ 1](3 - 1J2)~(1])]co a - y

e=q b+m+yJH cot 0' - y

Pri punoj povrsini otkopavanja, zbog (LI6), za y > -Tn je

"q2UO qUo 2

Ii(y) = - H cot a _ y 17~(T/) + (H cot a _ y)3/2 (1- 17 )~(T/)+

1 Uo 2

+ -4 (H t r T/(3 - 1] )~(T/)cOO'-Y~(3.24)

a u oblasti y < -Tn prema (US), izostaju iz (3.23) clanovi sa promenljivom T/.

Medutim, kako je pokazano u odeljku 1.3.2, vrednosti pojedinih clanova K 1(y),

K2(Y) i K3(y) u (3.23), opadaju sa porastom stepena imenioca H cot 0' - y, tako

da se clan K3(Y) moze izostaviti prakticno bez ikakve greske, a zanemarljiva je,

naroCito u donjem delu hive uleganja (y < -Tn), i greska koja se Cini ako se

izostavi Clan K2(y).

Posto se u (3.24) odbace elanovi sa (H cot a - y)2 U imeniocu, ekstremne

vrednosti krivine bice priblizno u taekama u kojimaje "12 -1 = 0, eemu odgovarajuordinate

1 1) 1b - Tn - - - - H cot a + Tn - b + -. 2q2 q 2q2

1 1) 1b - Tn - - + - H cot a + Tn - b + -2q2 q . 2q2

pri cemu se, radi uproscavanja, pod korenom takode uzima sabirak 2~2' Na slicannaCin odreduje se priblizan polozaj ekstremuma u donjem delu krive uleganja,

aprema (1.16) i (1.18) postoji i maksimum K(-Tn) = O.

Ordinate, karakter i ekstremne vrednosti krivina su:


I R~~-Ibrojy K(y)

1

1 ~maksimum

O.242q2UO

-b-m---- 2q2 q 12 + :LI1.q

2

. 1 ~O.242q2UO-b-m--+- mlmmum-

12 _ :LI1.2q2 q

q

3

-mmaksimum0.4

1 ~O.242q2UOb-m---- mllllmum-

II + :iJi..2q2 q

q

5

1~maksimum

O.242q2UO

b-m--+- 2q2 q1:iJi..1 - q

(3.25)

gdeje

3.3. Dilataeija

3.3.1. Otklon

111 = H cot a + m - b +-2

2q

112 = H cot a + m + b + -2

2q

Pri horizontalnom pomeranju taeaka na povrsini potkopanog masiva, poredostalih, nastaju i deformacije sliene anima koje se javljaju pri uleganju. Dveproizvoljno izabrane taeke A.o i Eo neporemecenog masiva, na rastojanju A.oEo =10, posIe konsolidovanja prelaze u polozaj A, odnosno E, pa se analogno nagibumaze naci ugao v izmedu duzi AoEo i duzi AE (slika 3A)

P'iA -Pf/Bv=----10

(3.26)

gde su Pf/A i Pf/B rastojallja taeaka A i E od prvobitnog pravca AoEo; ovaj ugaonaziva se otklon.

116

y

0'


A

Slika 3.4.x

.Radi izracunavanje otklona u tecki Ai (x, y), uvodi se koordinatni sistem M~l1'

sa osom M{ u zadatom pravcu, pod uglom <P sa osom Ox i posmatra se bliskatacka N na ovoj osi. Ako je rastojanje M N = de, koordinate tacke N bice

N(x + de cos <P,y + de sin <p); otklon u tacki M je prema (3.26)

VM(<p)= lim P'1(x+decos<p,y+~esin<p)-Pl1(x,y) =~{-O de

ap, ap, .= __'1 COS <P+ __11Sill <p

ax ay

Posto se na osnovu (1.29) unese

Pl1 = -Px sin <p+ Py cos <p

i uvede dvostruki ugao, otklon u tacki M je

. 1.VM( <p) = '¢xy + rxy cos 2<p- 2( Dx - Dy) sm 2<p

gde je

(3.27)

'¢ _ ~ (apy _ apx)xy - 2ax ay ,

D - apxx - ax

Geometrijsko tumacenje veliCina '¢xy,rxy,Dx i Dy daje se u daljem tekstu.

Za tri taeke AD, Bo i Co, koje su pre potkopavanja lezale na istoj pravoj na

povrsini masiva, na rastojanju AoBo = 11 i BoCo = 12 moze se analogno (1.2)

izracunati krivina lisled horizontalnih pomeranja ovih taeaka


(3.28)

A kada su poznate funkcije horizontalnih pomeranja Px(x, y) i Py(x, y) mozese analogno obrascu (3.12) izracunati krivina u horizontalnoj ravni u tacki M(x, y)

linije koja je nastala usled horizontalnog pomeranja taeaka neke pravej ako je predeformacije prava zaklapala ugao <p sa osom Ox, bice

H () a2 P1] a2 P1] 2 a2 P1] . a2 P1] . 2f{ M <P = ae = ax2 cos <P + 2axay sm <p cos <p + ay2 sm <p

Posto je P1] = - Px sin <p + Py cos <p

, najzad se dobija

,H () a2 Py 3 (a2 Py a2 Px) . 2IiM <p = ax2 cos <p + 2axay - ax2 sm <p cos <p

(a2 Py a2 Px) . 2. a2 Px . 3+ ay2 - 2 axay sm <p cos <p - ay2 sm <p(3.29)

Ovaj obrazac znatno je slozeniji od (3.14), pa se uslov dKi(<p) = 0, za odredivanje glavnih pravaca, svodi na algebarsku jednaCinu treceg stepena po tan <po

Posto bi zauzela mnogo prostora, dalja diskusija se, radi konciznosti, izostavlja.

3.3.2. Klizanje

Posmatraju se taeke A, BiG na povrsini neporemecenog masiva, sa rastojanjima AB = /1 AG = /2 i pravim uglom < BAG = 90° (s1. 3.5).

y

o

Slika 3.5.

118 3. Deformacije 11taeki

Posle horizontalnog pomeranja usled potkopavanja masiva, ove taeke prelaze11polozaje Al, Bl i Cll pri eemu ugao BlAlCl 11 opstem slueaju vise neee biti

pray. Otklon duzi AB VAB = ~1] biee pozitivan ako je ~1] > 0, a takode je iotklon VAC pozitivan akoje t.~> 0, paje ukupna promena pravog ugla VAB+VAC.

Polovina ove promene, ili aritmetieka sredina otklona

(3.30)

naziva se klizanje. Ako je <p ugao izmedu duzi AB i ose Ox, rastojallje It =~( i /2 = ~r/, koordinate tacaka S11A(x,y), B(x + &(cos<p, y + ~(sin<p) i

C(x-6o.7] sin <p, y+&7] cos <p), pa se klizanje u taeki definise kao graniclla vrednost

I" . 1 [P1J(x + &( cos<p, y + &(sin<p) - P1J(x, y)r" - 1m - +

,1J - ~e.~'1-o2 60.(

+ _P~e(~x_-_~~7]_s_in~<p_,_y_+_~_r_lc_o_s_<p_)_-_P~e~(X_,_y_)]=&7]

1 (ap'I ap1J . ape . apf. )= 2" ax cos <p+ ay SIn<p- ax sm <p+ ay cos <p

Posto je prema (1.29)

Pe = P:e cos'P + Py sin <p

P1J = -P:e sin <p+ Py cos <p

nastaje obrazac istog oblika kao (3.17)

re1J = r:ey cos 2<p- ~(D:e - Dy) sin 2<p (3.31)

Polovina razlike

(3.32)

je rotacija; ova veliCina 11stvari nije deformacija, jer ne dovodi do promene oblikatro11gla ABC, nego sarno do njegovog obrtanja. Zaista, posto je otklon strane AB

&1] 1 (~1] t.~) 1 ( ~1] ~e)T = 2" T + 1; + 2"~1; - 1; = re'l + 1Pf.1J

otklon strane AC


a.ko SU otklom isti (u ovom slucaju mora da bude ~e< 0) ~1"1 = - ~ lZ (3.30)

I-d' 0 . AT/ ~{./.SIC:: 1 'YF.fl = ,paJe 1;= -I; = 'l'F.1/'

Na isti n:aCinza rotaciju u tacki vazi

tP = tPx = ~ (oPy _ oPx) (3.33)E1/ y 2 ox oy

pit je prema (3.27) i (3.31) otklon u tacki zbir rotacije i klizanja

(3.34)

Primer 3.3.

Kroz taeke A(270, 0) i B(O, 360) prolazi pravolinijska deoniea ieleznicke pruge.

a) Ispitati kakav ee biti oblik ose koloseka izmedu ovih taeaka posle horizontalnogpomeranja; horizontalno pomeranje taeke A je PA = -634 mm, ostali podaeiisti su kao u primeru 3.1.

b) Izracunati otklon i krivinu usled horizontalnog pomeranja u taeki C(120, 200).

Resenje:

a) Prema (1.20) je

a analiticki izrazi funkcija Xo(x), Yo(Y), X01(x) i Y01(Y) dati su u primeru3.1. Posto je Yo(O) = 1 i Y01(O) = 0, u tacki A je Py = 0, dok je

Px(270, 0) = yl2;PoXo1(270) = -0, 96Po

PAPo = -- = 660 mm

-0,96

Rastojanje tacaka A i B je 450 Ill, pa je

XB - XA 270cos r.p = = - - = -0 6AB 450 '

. _ YB - YA _ 360 - 0 8sm r.p - AB - 450 - ,

120 3. Deformacije u tacki

Ako se duz prave AB postavi osa A€ sa koordinatnim pocetkom u tacki A, sasmerom prema tacki B, koordinate tacaka ove prave su

x = XA +~cos<p = 270 - 0, 6e

Y = YA + e sin <p = 0, Be

Horizontalno pomeranje upravno na osu Ae je prema (1.29)

pT/(e) = -Px sin 1,0 + Py cosip == -y'2;Po[O, 8X01(270 - 0, 6~)Yo(0, 8~) + 0, 6Xo(270 - 0, 6e)yo1(0, 8e)]

U prilozenoj tablici date su vrednosti pomeranja za deset ekvivalentno ras

poredenih taeaka u intervalu [A, B]' a lla slici 3.6 prikazan je grafik funkcije PT/(~)'

Tach ePT/(~)m

mm

A0507

1

505232

100450

3

150331

4200235

5

250225

6300302

7

350387

8400381

B450274

Stika 3.6.

b) Prema (3.27), (3.31) i (3.34) je 1/J€f/ = ° (u masivusa horizontalnim slojevimanema rotacije) pa je otklon

I/c = "Y€'1 = -0,94mm

m

Kada se konstruise grafik funkcije pf/(e), otklon v(~) moze se izmeriti sagrafika kao ugao izmedu tangente u odgovarajucoj tacki i ose Ae; medutimna slici 3.6 pomeranja PT/ nisu naneta u is.toj razmeri sa ostalim duzinama,jer se nebi primeCivala, pa se otklon u tacki C ne moze odrediti i grafickimputem.

Najzad, prema (3.29) je krivina u tacki C

Kg = 0,039 km-1

a poIupr«nik


1R{5 = KH =25,6kmc

121

Polozaj pruge odreden je uglom <p, pa ispitivanje da Ii je baS to glavni pravacu taeki enema svrhe.

3~3.3. Definicija; glavne dilatacije

Nekaje / = A' B' rastojanje projekcija taeaka A iB na njihov prvobitni pravacAoBo. OCigledno je (slika 3.4)

/ = eA' - eB' = /0 + P{A - P{B

i razlika ~/ = / - /0 = P{A - P{B; u opstem slueaju je P(A - P(B =/:. 0, pa je A/izduzenje kadaje P(A > P(B, odnosno skracenje kadaje P(A - peB < O. Odnos

D( = A//0

je prema (1.4) dilatacija duzi AB; to je prosecno izduzenje, odnosno skracenje oveduzi.

Kada su poznate jednacine P",(x, y) i Py(x, if) horizontalnih pomeranja, dilatacija u tacki definise se analogno nagibu i otklonu

D oP{ oP", 2 (OPy oP",). oPy • 2(= oe = ax cos <p + ax + oy sm <p cos <p + oy sm <p

ili posto se uvedu oznake iz (3.27) i dvostruki ugao

(3.35)

(3.36)

Ovaj obrazac ima isti oblik kao (3.14) pa se na isti naein kao pri proucavanjukrivina odreduju pravci glavnih dilatacija

21'",ytan2<p= ---

D",-Dykac i njihove vrednosti

D1 = ~(D", + Dy) + ~J(D", - Dy)2 + 41';y

D2 = ~(D", + Dy) - ~J(D", - Dy)2 + 41';y

(3.37)

(3.38)


a posto su (3.31) i (3.17) istog oblika, sledi da je u glavnim pravcima klizanje1'12 = 0, a najvece klizanje

je za ose Ox i Oy, koje zaklapaju ugao od 45° sa glavnim osama.

Primer 3.4.

(3.39)

Sracunati srednju dilataciju temeIja fasadnog zida paraielnog sa zelezniekomprugom iz prethodnog primera; koordinate krajnjih taeaka zida su D(50, 300) iE(20, 340); debljine zida i temelja zanemariti.

Resenje:

KoristeCi vrednost Po = 660 mm, odredenu u primeru 3.3 i obrasce (1.20) i(1.29)

Px(X, y) = .j2';PoX01(x)YO(y)

Py(x, y) = .j2';PoXO(X)Y01(Y)

Pe = Px cos ep + Py sin ep

mogu se izraeunati horizontalna pomeranja krajnjih taeaka temelja

taeka D: Px = -5,54 mm, Py = -658,68 mm

taeka E: Px = -0,74 mm, Py = -560,58 mm

a zatim, koristeci poznate rezultate iz prethodnog primer a: sin ep = 0,8 i cos ep =-0,6, i pomeranje Pe u pravcu ose temelja (DE, s1. 3.6)

PeE = -523,62 rom

PeD = -448,02 mm

Duzina temelja promenila se za

6./ = PeE - PeD = 75,60 mm

prvobitna du~ina bila je


pa je dilatacija

D - Al _ 75,6 - 1 51e-I-50-'


mmm

123

Prema obrascu (1.16) za ravansko horizontalno pomeranje i definiciji (3.35),

uglavnom profilu povrsine masiva sa horizontalnim slojevima dilatacija je

gde je

ViiPoD",(x) = --XoAx)n

[a+x (a+x) a-x (a-x)]X02(X) = - -n-<P -n- + -n-<P ---;-

(3.40)

Zbog proporcionalnosti (1.17) horizontalnog pomeranja i nagiba, bice i dila.

tacija proporcionalna krivini, pa se njihove ekstremne vrednosti javljaju u istim

taekama. U odeljku 1.2.2 je pokazano da su to taeke sa koordinatama: (-a - n, 0),

(-a + n, 0), (0,0), (a - n, 0) i (a + n, 0). Osim maksimuma D",(O)= 0, dilatacije

su u preostale eetiri taeke jednake po apsolutnoj vrednosti i iznose

Po Pomax IDI = rn = 0.606-nye n

U profilima po padu, prema (1.28) i (3.35), dilatacija je

gde je

(3.41)

(3.42)

i koriste se skracene oznake ~ i "1 prema (3.23).

I d dD~(y) .. d -I .,.,. . l' l'k Hzvo d SastOJI se 0 canova u CIJem lmemocu se Jav Ja raz 1 a cot a - y,y

(H cot a - y)3/2 i (H cot a - y)2, pri eemu se, kako je ranije pokazano, Clanovi savisim stepenom mogu zanemariti.


Na taj naCinl primenjujuCi istipostupak kao u prethodnim slucajevima, moZese odrediti pribliZan polozaj taeaka u Kojima su vrednosti dilatacije ekstremne. Tosu taeke u kojimaje e = -C2, e = CI, Y = -m, TJ = C2 i TJ = -CI,a konstante

CI i C2 zavise od odnosa ~: u konstanti Co (3.42) i vrednost im je

(3.43)

Ordinate, karakter iekstremne vrednosti dilatacija U ovim taekama au:

y

1

maksimum-b - m - !(C2 r -C2..fdi~QOq(Co + C2)<p(C2)

2 q q Jd1 + ~2P;

1 (C rdl = H cot a+m+b+ 2" -i

( r

~QOqC2<P(Cl)1 CI C12mInImUm

-b-m- - - +-VJ2-

2 q qJd2 - ~1Vd2

1 (C rd2= H cot a+m+b+ 2" 7 (3.44)3

maksimum -m 0

4

mInImUm-b - m - !(C2 r_C2 y'(Ii-

~QOq(Co + C2)<P(C2)

2 q q Jd3+ ~2va;

1 (C rd3=H cota+m-b+- -2. 2 q

, 1 (Cl \ 2 C1

~QOqC2<P( Cd5maksimum

-b - m - 2" q) - q04Jd4+ ~1VC4

1(C)2

d4=Hcota+m-b+'2 --i


U odeljku 3.1.3 pored ostalih razloga navodi se da pomeranja i deformacijedostizu svoje najveee vrednosti pri punoj otkopanoj povrsini, pa se ispitivanjenjihovih ekstremnih vrednosti moze ograniCiti samo na taj slucaj. U odeljku 1.2.3,

medutim, ukazuje se na jedan izuzetak. Kriva dilatacije pri odnosu ~ > (J' imanpet ekstremuma, od kojih je srednji D;e(O) pri punoj povrsini jednak nuli, a pri

1< ~ < (J' (pod-povrsina) to je i dalje maksimum, all je vrednost D;e(O) < O. Prin~ :::;1grafik ima same tri ekstremuma, od kojih je srednji minimum (uporeditin

slike 1.5 i I.7). Vee pri odnosu 1 < : < ~(J' dilatacija ID31(0)1 postaje veea admaxlD\ (3.41), a maksimum

ID;e(O)1 = 2Po< n.je (3.45)

postize pri odnosu ~ = 1.n

Posto se prema (3.21) i (3.40) prikazuju istom funkcijom Xo2(x), i ekstremna

vrednost krivine pri odnosu ~ = 1, biee kao i kod dilatacije, u koordinatnomnpoeetku (po apsolutnoj vrednosti) dvostruko veea od maksimuma (3.22). Na sliean

-' - k' d . d qb l' ·t·naCln moze se po azatl a se prI 0 nosu . = u maslvu sa nagnu 1mJHcota+m

slojevima, na mestu najveeeg uleganja, javljaju minimumi krivine i dilatacije, Cija

je apsolutna vrednost priblizno dvostruko veea od maksimuma (3.25) i (3.44), kojise javljaju pri punoj otkopanoj povrsini.

4.Opazanja pomeranja potkopanog terena

4.1. Cilj imetode opazanja

Pod opazanjem se u opstem smislu podrazumevaju svi radovi pri odredivanjupomeranja karakteristienih taeaka na potkopanom terenu, od kojih se kao glavniizdvajaju projektovanje mreze sa programom merenja, obavljanje merenja i obradapodataka. Obrada podataka obuhvata numerieke i grafieke postupke odredivanja

geometrijskih i vremenskih karakteristika procesa pomeranja u vidu uglova sa kojima su pojedine karakteristiene taeke na povrsini vezane sa otkopanim prostorom

• vrednosti i raspored komponentnih pomeranja,

• vrste i vrednosti deformacija,

• trajanja procesa sa pocetkom, aktivnim periodom i vremenom stisavanja.

Prema naCinu opazanja razlikuju se standardna i racionalna metoda opazanja.

Pod standardnom metodom podrazumeva se postupak koji se tradicionalnoprimenjuje jos od prvih opazanja zapoeetih 1860. godine. Kod ove metode se sapovecanjem dubine otkopavanja povecava i ohim merenja, tako da se pri veCimdubinama moze postaviti pitanje njene racionalnosti.

Koristeci za obradu podataka i raeunanje geometrijskih karakteristika obrasceizvedene u 1. i 2. poglavlju ovog udzbenika, moze se znatno smanjiti ohim merenja,naroCito pri eksploataciji lezista sa priblizno regularnirn geoloskim karakteristikama. Opazanjem pomeranja potkopanog terena po ovoj, uslovno nazvanoj racionalnoj metodi, broj posrnatranih taeaka, zavisno od dubine, moze biti manji i donekoliko desetina puta u odnosu na standardnu metodu. Ali racionalnost metodene svodi se sarno na broj opazanih taeaka, ohim merenja i raeunanja, nego i namogucnost potpunijeg odredivanja svih relevantnih geometrijskih karakteristikaprocesa pomeranja, od kojih se neke ne rnogu odrediti standardnom rnetodom.

4. Opazanja pomeranja potkopanog terena

4.2. Standardna metoda

4.2.1. Projektni elaborat

127

Ova metoda se definiSe projektnim elaboratom koji sadrzi graficki i tekstualnideo.

Graficki deo sadrzi situacioni plan u razmeri 1: 1000 ili 1: 2 500, vertikalne

preseke kroz leziste po karakteristienim pravcima - pruzanju i padu lezista.

Na situacionom planu prikazuju se: aktivni i projektovani rudarski radovij

prirodni i tehnieki objekti sa ostavljenim zaStitnim stubovimaj profilne linije sa

rasporedom nultih, osnovnih i radnih repera.

N a vertikalnim presecima u pravcu pada i pruzanj a lezista graficki se prikazuju

karakteristicni geoloski podaci: stratigrafski stub, rasedi, orijentacije glavnih sis

tema pukotina, fizicko-mehanicke osobine stena, i svi drugi podaci znacajni za

proucavanje procesa pomeranja potkopanog masiva.

U tekstualnom delu elaborata opisno se prikazuje: cHj opazanja; osnovne

geoloske i hidrogeoloske karakteristike rudnog polja na kome se postavlja mreza

za opaianje; metoda otkopavanja sa osnovnim parametrimaj opis profilnih linijaj

naCin njihovih povezivanja za osnovnu rudnicku trigonometrijsku i nivelmansku

mrezuj konstrukcija i stabilizacijareperaj programi merenja, periodicnost, tacnost,

instrumenti i pribor, vremenski termini.

4.2.2. Mreze, profili

Mrezu za opazanje Cine najmanje tri profilne linije, od kojih je jedna po

pruzanju, a dye po padu lezista.

Profilne linije sadrie potreban broj u nizu postavljenih nultih, osnovnih

i radnih repera. Mesta profilnih linija odreduju se U odnosu na karakteristicne

pravce Ieiista Hi otkopanog prostora. Za slojevita lezista to su pravci pruianja i

pada sloja, a za leiista nepraviinog oblika to su pravci po duzini i sirini otkopanog

prostora. Osnovni zahtev pri tome je da se radni reperi stabilizuju u zoni moguCih

pomeranja. Na prilogu, slika 4.1, prikazano je odredivanje mesta profilnih linija.

Mesto profilnih linija po pruzanju odreduje se pomoeu ugla maksimalnog uleganja B, cija se vrednost moze odrediti iz tablice 5.1 za neizucene bazene.

Mesto profila po padu odreduje se pomoeu srednje dubine otkopavanja (Hs),tako da je profil na rastojanju It ~ 0.85· Hs od granice otkopavanja, prema

otkopnom polju. Duzina profiia nad otkopanim prostorom ne treba da bude kraea

od 1.75 . Hs, od granice otkopavanja, slika 4.1.

128 4. Opazanja pomeranja potkopanog terena

A-OSNOVA

• - radni reperi

o - osnovni reperi

@> - nulti reperi

I, lI, ill - profilne linije

iiI, 131, II - granicni uglovi

1f; - uglovi punih pomeranja

(J - ugao maksimalnog

pomeranja

,<,.

B - PRESEK PO PRUZANJU

n 11 m

! \ 7'''''·' ...,~,i \U"

C - PRf'.5EK PO PADU

n

Slika 4.1. - Projekat mreze za opazanje pomeranja potkopanog terena

4. Opazanja pomeranja potkopanog terena 129

Radni reperi se postavljaju u zoni pomeranja odredenoj granicnim uglovima~1, (31, 11, uzetih iz tablice za neizucene bazene. Rastojanje izmedu radnih reperamiCe na pouzdanost odredivanja vrednosti deformacija (N, D, 1<), sracunatih izi~erellih pomeranja (U, P), tako da se zavisno od dubine otkopavanja koristisledeea iskustvena tablica:

Dubina Rastojanje[m]

repara [m]

do 200

15200-300

20300-400

25400 i vise <

30

Osnov~ reperi se postavljaju neposredno izvan granice uticaja, ali tako dase po potrebi mogu progustiti radnim reperima. Broj ovih repera je 3-5, zavisnood terenskih uslova.

Nulti reperi se postavljaju na krajevima profilnih linija, na mestu koje si~gurno neee biti zahvaceno pomeranjima.

Zbog potrebe za eventualnim progusCivanjem repera, odnos njihovog rast~janja treba da je, radni: osnovni : nulti = 1: 2 : 4.

Na slid 4.1 prikazani su osnovni geometrijski zahtevi pri postavljanju profilnihlinija i repera na potkopanom terenu.

NaCin obelezavanja i ukopavanja repera zavisi od terenskih uslova, iskustvameraca i vremenske potrebe za stabilnom mrezom. Belege mogu biti privremeneza kratkotrajnu namenu, u vidu pobijenih sina, istrosenih burgija, ili trajne, zadugovremenu namenu sa odgovarajucim betonskim belegama, slika 4.2.

4.2.3. Merenje i obrada rezultata

Merenje se obavlja po programu definisanom u tekstualnom delu projektamreie za opazanje. Izdvajaju se nulta, periodicna i zavrsna merenja.

Nulta merenja, najcesce dva, obavljaju se pre pocetka otkopavanja. Prvomerenje 5-10 dana posle ukopavanja repera, a drugo neposredno pre otkopavanja.Obavljaju se sva potrebna merenja za horizontalna i visinska odredivanja ukopanihrepera; snimaju se i registruju sve geo-morfoloske pojave koje su znacajne zakasnije tumacenje pomeranja potkopanog terena.

130 4. Opazanj a pomeranj a potkopanog terena

II

Slika 4.2.

Periodicna merenja vrse se u intervalima od 15 dana do 6 meseci, zavisnood intenziteta procesa pomeranja. Ueestalost merenja uskladuje se sa brzinomodvijanja procesa koji se prati na vremenskom dijagramu za nekoliko karakteristicnih taeaka sa najveCim pomeranjima. Ako se izucava diskretnost procesa ponekom posebnom programu, merenja mogu biti i ucestalija, eak i jednodnevna.Periodicna merenja se prekidaju kada proces pokazuje tendenciju izrazitog smirivanja. Smatra se da je to period kada je najveca razlika uleganja izmedu dvasestomesecna merenja manja od 30 mm.


Zavrsnamerenja pokazuju stisavanje procesa i sastoje se iz dva uzastopnamerenj a, u vremenskom razmaku od tri meseca.

Tacnost merenja zavisi od namene. Ako su merenja u ciljn opazanja stabilnosti potkopanih ohjekata najviSe kategorije zaStite, onda se obavljaju sa povecanom tacnoscu. Za visine sa preciznim nivelmanom, ±2 mm/km; za duzine,invarskim pantljikama sa taenoscu 1:50000.

Ako su merenja u cilju opazanja pomeranja povrsine terena i odredivanja geometrijskih parametara procesa, onda se obavljaju po kriterijumu obicne tehnicketacnosti (nivelman sa ±1O mm/km; duzine sa 1:10000).

U tom slucaju tacnost se planira zavisno od uslova, sa empirijskim kriteriju~mom koji se zasniva na vrednosti pomeranja. Za srednju greiiku merenja usvajase 1/3 od najmanje vrednosti pomeranja, ako su ona reda mm ili cm; ili 1/10 odpomeranja ako su ona reda dm.

Prakticno, dozvoljavase odstupanje izmedu dye vrednosti jedne visinske razlike, ili izmedu dye vrednosti duzine izmedu susednih tacaka od ±2 mm.

Program merenja se podreduje racionalno postavljenom zadatku. Ako se neradi 0 nekim specijalnim istrazivanjima, vec sarno 0 dobijanju osnovnih geometrijskih karakteristika potrebnih za zaStitne stubove, racionalan program merenjasadrzi:

- Kompletna poligonska i nivelmanska merenja po ukopavanju mreze - nultamerenja.

- Nivelanje i merenje duzina izmedu osnovnih i radnih repera po profilirna periodicna merenja.

Kompletna poligonska i nivelmanska merenja po stisavanju procesa - zavrsnamerenja.

Obrada podataka merenja vrsi se tabelarno i graficki. Za svaku vrstupomeranja ili deformacija rade se posebne tabliee i posebni graficki prilozi.

Na slici 4.3, prikazane su krive opazanih pomeranja i sracunatih deformacijakoje su nacrtane sa prethodno obradenim podacima, po postupku prikazanom naprimeru u prilozenim tablicama.

I Uleganje terella U[mm)

Mer.!.

Merenje 2.Merenje 3.Merenje 4.Merenje ii.Merenje 6.

Datum:

Datum: Datum:Datum:Datum:Datum:

C2

'"

UIU2U).2V).2U3UL3U2.3V2.3U4U14U3.4V3.4 U15-'" U5U45V45U6UI.6U5.6V5.60.<)

c':~[mm)[mm][mm)I~:l[mm][mm][mm)I~~I[mm)[mm][mm)W~:l[mm][mm)[mln]rn~l[mmJ[mm)[mm)rl~:l

I0 00 000 222 331 552

2

0 22 442 773 992 11112

3

0 44 995 15156 19194 24245

4

0 88 17179 272710 383811 494911

5

01616 333317 505017 686818 858517

6

02525 545429 818127 10810827 13513527

7

03939 787839 12012042 16016040 20120141

8

05353 10810855 16216254 21721755 27227255

9

06868 13613668 20520569 27427469 34634672

10

08080 16316383 24424481 32532581 40840883

11

09090 18118191 27227291 36536593 45445489

12

09696 19219296 29029098 390390100 48848898

13

09999 19719798 29629699 39439498 497497103

14

09797 19419497 29129197 38838897 48648698

15

08989 18018091 27427494 36436490 45645692

16

07979 16216283 24224280 32532583 40540580

17

06565 13613671 20720771 27627669 34234266

18

05454 11011056 16116151 216216,55 27427458

19

03838 787840 12112143 16216241 20220240

20

02727 555528 828227 11011028 13713727

21

01717 343417 515117 686817 868618

22

01010 19199 323213 41419 525211

23

055 994 14145 20206 24244

24

022 442 662 993 12123

25

000 000 222 442 551

•...e,..,t-.:)

~o'tlIIIIS'III

cEo\II

'tl

~I;ll

cEoIII'0o.,;-

~'0

J[III

Nngib tel'Clln N[111/11/m] I

/

Merenje 2.rVlerenje 3. Merenje 4.Merenje 5.Merenje 6.

ro 0AU2-i N2-iAU3-1 AU3-2 N3-1 N3-2AU4-i AU4-3 N4-i N4-3AUS-1AUS_4

N~_.

Alh_lAU6-5N6-1N6-5c:;::

>:'"

0'I~ I

. [mm][mm] [mm] I [mmlll)l[m:][mm] [mm] [~~] [~;lmm mn~JIt !!.1inJIl:~J:l::='",

[m]. [mm] -;;;- [mm][mm] [mm][mill]Ci 0 _ III ..mrn1-2

20.00520.10 420.200.10510.250.05610.300.05600.300.002-3

19.99820.10 530.250.158300400.151020.500.101330.650.153-4

20.02140.2084DAD0.201240.600.201970.950.352561.250.304-5

20.012800401680.8000402371.150.353071.500.353661.~O0.305-6

20.00890.4521121.050.6031101.550.504092.000.4550102;500.506-7

20.013140.7024101.200.5039151.950.7552132.600.6566143.300.70

7-:820.020140.7030161.500.8042122.100.6057152.850.7571143.550.70

8~920.008150.75281310400.6543152.150.7557142.850.7074173.700.85

9-1020.018120.6027151.350.7539121.950.6051122.550.6062113.100.55

10-1120.022100.5028810400040281010400.5040122.000.604662.300.30

11-1220.02460.301150.550.251870.900.352571.250.353491.700045

12·-1320.01330.15 520.250.10610.300.05420.20-0.109500450.25

13-1420.002-2-0.10-3-1-0.15-0.05-5-2-0.25-0.10-6-1-0.30-0.05-11-5-0.55-0.25

14-1519.980-8-0040-14-6-0.70-0.30-17-3"0.85-0.15-24-7-1.20-0.35-30-6-1.50-0.30

15-1619.991-10-0.50~18-8-0.90-0040-32-14-1.60-0.70-39-7-1.95-0.35-51-12-2.55-0.60

16-1720.003-14·0.70-26-12-1.30·0.60-35-9-1.75-0045-49-14-2045-0.70-63-14-3.15-0.70

17-1819.992-11-0.55-26-15-1.30-0.75-46-20-2.30-1.00-60-14-3.00-0.70-68-8-3040-0040

18-1919.989-16-0.80-32-16-1.60-0.80-40-8-2.00-0040-54"14-2.70-0.70-72-18-3.60-0.90

19-2020.004-11·0.55-23-12-1.15-0.60-39-16-1.95-O.SO-52-13-2.60-0.65-65-13-3.25-0.65

20-2120.015-10-0.50-21-11-1.05-0.55-31-10-1.55-0.50-42-11-2.10-0.55-51-9-2.55-0045

21~2219.9S5-7-0.35-15-8-0.75-0040-19-4-0.95-0.20·27-8-1.35-0040-34-7-1.70-0.35

22-2319.988-5-0.25-10-5-0.50-0.25-18-S-0.90-0.10-213-1.05-0.15-28-7-lAD-0.35

23-2419.990-3 I-0.15-5-2-0.25-0.10-8-3-0040-0.15-113-0.55-0.15-12"1-0.60-0.05

24-2520.01300.00-4-2-0.20-0.10-40-0.20-0.00. -5-1-0.25-0.05-7-2-0.35-0.10

25-2620.02200:00 000.000.00-2-2-0.10-0.10-4-2-0.20-0.10-5-1-0.25-0.05

~o

"'d

>l't>l'>l'

C.>l'

"'do~l-j'".E.>l'

"'do~

"'d

~c2

e-+

~(l)i::l(ll

•....-:,.:,-:,.:,

I ZahivljmlOst tOl'Ol,a K [l/kIllJ I

•....~"""

Merenje 1.Merenje 2.Merenje 3.Merenje 4.Merenje 5.Merenje 6.

ro 0

In +1n+1N

ANI(NANI(NANI(NANI(N!.iNJ(N!.iNJ(:::'"E

"IN I2

r k~l::0", [m][:m][~;]I~I[~:1][:m]Ik~nl[mmm][:~]Ik~1[mmm][n:1] [n~ln][n~~l]Ik~n·1[l~lln][n:n]Ik~1Cl 0

km

1-2

20.002+0.10

0.00+0.0050~

+0.05+0.0025~

+0.15+0.0075+0.30+0.20+0.0100~~+0.35+0.01752=3 ~

-~~

+0.40~+0.65

3T20.010 +0.10+0.0050 +0.15+0.0075

+D.6O+0.20+0.0100 +0.45+0.0225+T.25+0.60+0.0300

20.016

~+0.20

+0.0100~+0.40+0.0200 +0.55+0.0275**+D.55---=

+40.55+0.02754=5 +0.40 +IT5+0.02751+1.80

5=6

20.010+0.45

+0.05+0.0025+1.05

+0.25+0.0125+D5+0.40+0.0200:illQ

+0.50+0.02.'iO1+2.50+0.70+0.0350~-- +0.25+0.0125 +0.15+0.0075 +0.40+0.0200 +0.60+00300 +0.80+0.0400

6=720.010

+eGO+T.2O+f]5 '+3.'3020.016

0.00+0.30+0.0150 +0.15+0.0075+2.60

+0.25+0.M25 +0.25+0;01257=8 $f~+1.501m:+2.85:+3.5.5B=9

20.014 +0.05+0.0025+1.40

r-:-6.10-0.0050+2.15+0.05+0.002.5

~+0.00

+3.70+0.15+0.0075

g:.TQ

20.013'+0.60

-0.15-0.0075±.!.E.

-0.05-0.0025+f]5-0.20-0.0100 -0.:30-0.01501+3.10-0.60-0.0300

-=0.10-0.0050 +0.05+0.0025 -0.55-0.0275+2.55-0.55

-0.0275 -0.80-·0.0400~20.020

1+0.50--,..,.-

+TOO~

+1.40~

,+2.30lTT2

20.023

:+0.30-0.20-0.0100+0.55

-0.85-0.0425 -0.50-0.02fiO

+T.25-=Q:.?-:5-o.on,>+ 1.70

-0.60-0.0300

i2=TI

20.018 -0.15-0.0075+0.25

-0.30-0.0150

+0.30-0.60-0.0300+:0-:-20

-1.05··0.0525,+0.45-1.25-0.0625

20.008

+0.15-0.25

-0.0125 -0.40-0.0200 -0.55-0.0275 -0.50-0.0250'-0.55-1.00-0.050013-=14 '-0.100:15--=0.25-=o.w

14=15

19.991, -0.40

-0.30-0.01500.70

-0.55-0.0275

-=o:B5-0.60-0.0300-=no

-0.90··0.04501-1.50-0.95-0.0475

is=I6

19.986'-0.50

-0.10-0.0050Q]Q-0.20-0.0100-=r.6o

-0.75-0.0375-=T95

-0.7.5-003751-2.55-1.05-0.0525

i6=I7

19.997 'o:ro-0.20-0.0100"T3O

-0.40-0.0200-=rf5-0.15-0.0075-=T45-0.50-0.02501-:::3.15-0.60-0.0300

ff:I8

19.998'-0.55

+0.15+0.0075"T3O0.00

-=2.30-0.55-0.0275-=:roo

-0.55-0.0275'-3.40-0.25-0.012S

i8=T9

19.990-0~80

-0.25-0.01251:60-0.30-0.0150-=2.00

+0.30+0.0150-=2.70

+0.30+0.0150'3](f-0.20-0.0100

19=20

19.996'-0.55+0.25+0.0125"T3O

+0.45+0.0225-=T95+0.05+0.0025-=2.60

+0.10+0.0050'3:25+0.35+0.0175

2O=2T

20.010'-0.50+0.05+0.0025JJi5'+0.15+0.0050

-=t.55+0.40+0.0200-=2JO

+0.50+0.0250'-2.55+0.70+0.0350

~

20.000'-0.35+0.15+0.00750.75

+0.30+0.0150-=0.95+0.60+0.0300-=T35

+0.7.'>+0.03751-=1.7if+0.85+0.0425

22=23

19.986, ~5+0.10+0.00500.50+0.25+0.0125

-:::0:90+0.05+0.0025-=T.05

+0.30+0.0150, -1.40+0.30+0.0150

23=24

19.9890.15

+0.10+0.00500.25

+0.25+0.0125

-=0.40+0.50+0.0250-=0.55

+0.50+0.0250'-0.60+0.80+0.0400

~4-::~

20.002 'Q]Q+0.15+0.0075-0.20

+0.05+0.0025--=020

+0.20+0.0100-=0.25

+0.30+0.01501-0.35+0.25+0.012520.018

r--o.oo0.00 0:00+0.20+0.0100~+0.10+0.0050

-=0.20+0.05+0.0025'-0.25+0.10+0;0050

,25-26-- -=9.:.1.Q..'--'-- ~r---

~o

"CI

~<

§"- ..P'

"0

~..•Pl

Z.Pl

"0 o..•.

~"0

j..•.

~Pl

Promena duzine .6. II

=-Mer.O.

Mer.I.Merenje 2.Merenje 3.Merenje 4.Merenje 5.MerenJe 6:

'" 0

Datum:Datum:Datum:Datum: Datum:Datum:Datim:0::"0 E

"IN I10II12.6.11,213 ..6.11•3A12•314AI1,4AI3,4IsAII,5AI.1,s16AII,6AIS,6

::l"O 0-o 0

[m]fm]1011[0101][01][0101][0101][01][0101][0101][01][0101][0101][m][0101)[0101]

1-2

20.00520,008+320.011+6+320.014+9+320.017+12+320.020+15+3

2-3

19.99820.003+520.008+10+520.013+15+520.018+20+520.022+24+4

3-4

20.02120.028+720.036+15+820.041+20+520.050+29+920.055+34+5

4-5

20.01220.020+820.027+15+720.035+23+820.043+31+820.052+40+9

5-6

20.00820.015+720.023+15+820.030+22+720.037+29+720.043+35+6

6-7

20.01320.018+520.022+9+420.028+15+620.032+19+420.038+25+6

7-8

20.02020.022+220.024+4+2.20.026+6+220.028:t8+220.029+9+1

8--9

20.00820.007-120.005-3-220.002-6-320.000-8-219.998-10-2

9-10

20.01820.012-620.006-12-620.000-18-619.994-24-619.987-31-7

10-11

20.02220.014-820.004-18-1019.995-27-919.987-35-819.977-45-10

11-12

20.02420.016-8.20.004-20-'-1219.993-31-1119.984-40-919.974-50-10

12-13

20.01320.004-919.993-20-1119.984-29-919.974-39-1019.964-49-10

13-14

20.00219,993-919.983-19-1019.973-29-1019.963-39-1019.951-51-12

14-15

19.98019.971-919.959-21-1219.950~30-919.941-39-919.930-50-11

15-16

19.99119.983-819.973-18-1019.965-26-819.957-34-819.947-44-10

16-17

20.00319.998-519.992-11-619.985-18-'719.980-23-519.973-30-7

17-18

19.99219.990-219.98'7-5-319.985-7-219.983-9-219.982-10--1

18-19

19.98919.997+219.994+5+319.996+7+219.997+8+119.998+9.j-l

19-20

20.00420.009+520.012+8+320.019+15+720.023+19+420.028+24+5

20-21

20.015·20.022+720.029+14+720.036+21+720.043+28+720.049+34+6

21-22

19.98519.993+820.000+15 20.009.'

+24 +920.017+32+820.024+39+7 +7

22-23

19.98819.994+620.001+13+720.008+20+720.016+28+820.023+35+7

23-24

'19.99019.996+620.001+11+520.004+14+320.009+19+520.015+25+6

24-25

20.01320.015+220.018+5+320.021+8+320.025+12+420.027+14+2

25-26

20.02220.024+220.025+3+120.026+4+120.027+5+120.027+50

~o

"<::l

Pol"',Pol

c.III

"<::loi3(1)...Pol

2.Pol

'1jo

:[§o

ao..,...(1)..•(l)t::l'"

I-'~O'l

[

--JH01'izoutalne deformacije D[mIll/in]

- -Mer. 1. Merenje 2.Merenje 3. Merenje 4.Merenje 5.Merenje 6.

'" 0/11/2-1D2-111/3_11113-2D3,..1D3-21114-111/4_3D4-1D4-31115_1I1/S-4DS_1Ds_.J11/6-1I1h-sD6-1D6-5

c:::

:::"0

;N I

Ilm;:][n~n:J[m;~] [:~]I[mmn:] I[:IJ~]I[:ll~] It nJ:~J'lmm~l

•..;:j"

[m][mm) [mm][mm) [mm)[mm) [mm)[mm] [mm][mm]Cl.,c: 0-1-2 20.005+3+0.15+6+3+0.30+0.15+9+3+0.45+0.15+12+3+0.60+0.1515+3+0.75+0.15

2-319.998+5+0.25+10+5+0.50+0.25+15+5+0.75+0.25+20+5+1.00+0.25+24+4+1.20+0.20

3-4

20.021+7+0.35+15+8+0.75+0.40+20+5+1.00+0.25+29+9+ 1.45+0.45+34+5+1.70+0.254-5

20.012+8+0,40+15+7+0.75+0.35+23+8+1.15+0.40+31+8+1.55+0.40+40+9+2.00+0.455--6

20.008+7+0.35+15+8+0.75+0.40+22+7+1.10+0.35+29+7+1.45+0.35+3.)+6+1.75+0.30(j-7

20.013+5+0.25+9+4+0,45+0.20+15+6+0.75+0.30+19+4+0.95+0.20+25+(i+1.25+O.:lO7-8

20.020+2+0.10+4+2+0.20+0.10+6+2+0.30+0.10+8+2+0.40+0.10+9+1+0.45+0.058-9

20.008-1-0.05-3-2-0.15-0.10-6-3-0.30-0.15-8-2-0.40-0.10-lD-2-0.50-0.109-10

20.018-6-0.30-12-6-0.60-0.30-18-6-0.90-0.30-24-6-1.20-0.30-31-7-1.55-0.3510-11

20.022-8-0.40-18-10-0.90-0.50-27-9-1.35-0.45-35-8-1.75-0.40-45-10-2.25-0.5011-12

20.021-8-0.40-20-12-1.00-0.60-31-11-1.55-0.55-40-9-2.00-0.45-50-10-2.50-0.5012-13

20.013-9-0.45-20-11-1.00-0.55-29-9-1,45-0,45-39·-lD-1.95-0.50-49-10-2.45-0.5013-14

20.002-9-0.45-19-10-0.95-0.50-29-10-1.45-0.50-39-10-1.95-0.50-51-12-2.55-0.6014-15

19.980-9-0,45-21-12-1.05-0.60-30-9-1.50-0.45-39-9-l.95-0.45-50-11-2.50-0.5515-16

19.991-8-0.40-18-10-0.90-0.50-26-8-).30-0,40-34-8--1.70-0,40-44-10--2.20-0.5016-17

20.003-5-0.25-11-6-0.55-0.30-18-7-<l.90-0.35-23-5-1.15-0.25-30-7-1.50..,0.3517--18

19.992-2-0.10-5-3-0.25-0.15-7-2-0.35-0.10-9-2-0,45-0.10-10-1-0.50-0.0518-19

19.989+2+0.10+5+3+0.25+0.15+7+2+0.35+0.10+8+1+0.40+0.05+9+1+0,45+0.0519-20

20.004+5+0.25+8+3+0.40+0.15+15+7+0.75+0.35+19+4+0.95+0.20+24+5+1.20+1.2520-21

20.015+7+0.35+14+7+0.70+0.35+21+7+1.05+0.35+28+7+1,40+0.35+34+6+1.70+0.3021-22

19.985+8+0.40+15+7+0.75+0.35+24+9+1.20+0,45+32+8+1.60+0.40+39+7+1.95+0.3522·-23

19.988+6+0.30+13+7+0.65+0.35+20+7+1.00+0.35+28+8+1.40+0.40+35+7+1.75+0.3523-24

19.990+6+0.30+11+5+0.55+0.25+14+3+0.70+0.15+19+5+0.95+0.25+25+6+1.25+0.3024-25

20.013+2+0.10+5+3+0.25+0.15+8+3+0,40+0.15+12+4+0.60+0.20+14+2+0.70+0.1025-26

20.022+2+0.10+3+1+0.15+0.05+4+1+0.20+0.05+5+1+0.25+0.05+50+0.25+0.00-

"""~0)

~o

"t::1~IS.~C.~"t::1oS~~~.~

"t::1o.....

~'t:l

~.....

~=~

4. Opaianja pomeranja potkopanog Lerena

.

Horizontalna pomeranja u ravni X,Y

.Mer. l.

Merenje 2.-Merenje 3. Merenje 4.

<2

YlY2D.Y2-1P2-1Y3D.Y3-2P3-2Y4b.Y4-3P4-30

XlX2b.X2_1vOX3AX3_2jlOX4AX4-3vOt: [m]

[m][mm][mm][m][mm][mm][m][mm][mm]

1 234

06Os

---.--.--O~

Merenja dilatacija na zidanim objektimaMer. l.

Merenje 2. Merenje 3. Merenje 4.

Puko-

Datum:Datum: Datum: Datum:

tina

AlA2b.1.2D1.2A3D.1.342.3D1.3D2.3A4AlAA3.4D1.4D3.4

[mm]

[mm][mm]lffimmj[mm][mm][mm]mmmjIlm~nj[mm][mm][mm]Ilmmm.jl?1;:]

DI-D2D3-D4D4-DsDs-Ds


--------_ ...•-~1

I1

II

2' I-_-.III

-----:-----:IIIII I

___________ -l. 1I I!

-2 ~._.-------

+2°16:L 3 -- ---------o

-21II!

+4'10

Slika 4.3. - Graficki prikaz uleganja i deformacija na povrsini terena

sa otkopanim uglovima sigurnosti f3,1 po kriterijumu;N = 4 mm/m; f{ = 2 0 10-3 Km; D = 2 mm/m

4.3. Racionalna metoda

4.3.1. Minimalan broj taeaka

Racionalna metoda zasniva se na primeni obrazaca (1.19) i(1.20) za racunalljepomeranja taeaka na povrsini potkopanog terena kada su slojevi u masivu horizontalni, odnosno (1.27) i (1.28) kada su nagnuti. Primena ovih obrazaca omogucujeda se na osnovu izmerenih pomeranja sracunaju sve geometrijske karakteristikeprocesa, ukljueujuCi i slueaj kada se otkopava pod-povrsina. Broj podataka,koje radi toga treba izmeriti, jednak je broju osnovnih parametara u pomenutim obrascima. Ako su slojevi u masivu horizontalni, radi odredivanja Uo i n u


obrascu (1.19) treba izmeriti uleganja u dvema tackama, pa je to teorijski minimalan bioj taeaka koje treba opazati, jer se parametar Po u (1.20) odreduje naosnovu izmerenog horizontalnog pomeranja jedne tacke, a to moze biti i jedna odtaeaka u kojoj je mereno uleganje. Ako su slojevi u masivu nagnuti, uleganje seracuna pomocu obrasca (1.27) koji sadrzi eetiri parametra ( Uo, m, p i q ), paje toliki i minimalan broj tacaka u kojima treba meriti uleganje. Pored toga uobrascima (1.28) javljaju se parametri Po, Qo i No radi Cijeg odredivanja trebaznati vrednosti horizontalnih pomeranja triju tacaka i to jedne po pruzanju, a dyepo padu.

4.3.2. Odredivanje osnovnih parametara uleganja masivaciji su slojevi horizontalni

U primerima 2.1, 2.2, i 2.13 vec je resavan slican zadatak, ali posmatrani su

specijalni sluc<;tjevipa se primenjeni postupak racunanja ne moze uvek koristiti; uprimeru koji sledi posmatra se opsti slucaj. Pri tome se izbor tacaka u kojima semeri uleganje vrsi na isti naCin kao u prethodnim primerima. Nairne, mada se uprincipu mogu uzeti ma koje dye tacke, iz primera 2.2 vidi se da se najveca taenostpostize kada te dye taeke leze u jednom od glavnih protila, pri cemu je jedna odnjih nad sredistem otkopane oblasti, a druga na periferiji ulegnuca.

Primer 4.1.

Na dubini H = 400 m otkopava se horizontalan ugljeni sloj stalne debljine;otkopana oblast je pravougaonog oblika sa stranama 2a = 400 m i 21= 100 m. UtaekamaM(O; 0) i N(300; 0) izmerenasu uleganjaUM = 1167 mmi UN = 114 mm.Izraeunati parametre uleganja Uo in.

Resenje:

Prema (1.19) jeUM = UoX(O)Y(O) = U'X(O)

UN = UoX(300)Y(O) = U'X(300)

gde jeU' = UoY(O)

Dalji numericki racun ne razlikuje 'se od postupka izloienog u primeru 2.13;iz prilozene tabele vidi se da su trazene vrednosti

140 4. OpaZanja pomeranja potkopanog terena

U' = 1177.5 mm n=77m

~ X(O) I X11(607)I X( ) I 114 ~L:.J 300 X(300) L-J75 0.992311760.0912125074

760.991511770.0941121235

770.990611780.09701176- 2

Kada je poznata vrednost parametra n, moze se izracunat,i

Y(O) = (~) =<1>(~~) = 0.4836

Uf 1177.5

Uo = Y(O) = 0.4836 = 2435 mm

KoristeCi ove podatke sracunate su vrednosti uleganja u glavnim profilimay = 0 i x = 0 za 14, odnosno 10 ekvidistantno rasporedenih taeaka, a na slici4.4 prikazane su krive uleganja u ovim profilima. Iz prilozenih tabela vidi se dase sraeunate vrednosti UM = 1167 mm i UN = 114 mm slazu sa izmerenim. U

taekama sa koordinatama (384;0) i (0;253) uleganje je 10mm, pa se moze sraeunati

Htanflr = 384-a

400 _ 2 174384 - 200 - ,

H 400tanfly = 253 -I = 253 _ 50 = 1,970

Mequtim, prema definiciji, ovi uglovi nisugranieni jer je UM = 1167 mmrelativno maksimalno ultiganje (UM < U0 = 2435 mm), pa otkopana povrsina nijepuna; oni su oCigledno nepotpuni, posto je Dr =F Dy• Zaista, za ugao Dr se prema(2.5) dobija

(~) = (~~) = 0.484 < 1

(21 + ~ cot flr ) = (57874)= 1

a za. ugao fly

(;) = (~O;)= 0.991 < 1

(21 +~ cot 6y ) = (3~:) = 1


pa prvi od usiova (2.5) U oha prof-Is. nije zadovoljen, jer ni u jedncm od njihuleganje nije ravansko.

Zajednieki podaci:

Y(O) = 0.4837. Uo = 2435 mm

U(x, 0) = UoX(x)Y(O)

Prilog uz sliku 4.4-a.

Brojtaeke

x

[m]X(x) U(x,O)

[mm]1 00.99061167

2300.98501160

3600.96511137

4900.92341088

51200.85061002

61500.7418874

71800.6026710

82100.4483528

92400.3019356

10270!0.1817 214

113000.0970114

123300.045754

133600.018822

143840.008410

N"',..:;:~0r-::l'" ~~'"~~~ ~'" '" 0ti

0.,M :2M 0<! oo~"'0~ '"It) N -.••.. ~~ - 0~00r-ooMN=oo"'-MOO,.. _~--+-_t---+-

,, , x

Slika 4A-a. Profil po pru~anju y = 0


Zajednicki podaci:

X(O) = 0.9906 Uo = 2435 mm

U(O, y) = UoX(O)Y(y)

Prilog uz sliku 4.4-b.

Broj yY(y)[T(O, y)taeke

[m] [mm]1

00.4837 11672

300.4532L0933

600.3718 8974

900.2674 6455

1200.16804056

1500.09232237

1800.04431078

2100.0185 459

2400.0067 1610

2530.0042 10

\....\

\.

r:-- (") l.O tno N 0 -.t"_ N .....,.~~ ---L... __ ._l .• - •• _ 1__ __J_

~ ~ ~..~ S ~ S ~ 2_ l_~_~ __~.~_,---......L

/; y

\

,/I

//

/\fJy=63.10

Slika. 4.4-b. Profil po pa.du x = 0


4.3.3. Odredivanje osnovnih parametara uleganja masivaeiji su slojevi nagnuti

I ovakav zadatak vec je resavan u primeru 2.14; PoSto je u tom primeru uleganje ravansko, dovoljno je znati tri vrednosti uleganja.

U opstem slucaju, medutim, pored ovih treba znati vrednost uleganja u josjednoj tacki. Prve tri postavljaju se, kao u primeru 2.14, duz glavnog profila popadu, a cetvrta u profilu po pruzanju kroz jedllu od prve tri tacke.

Primer 4.2.

Na srednjoj dubini H == 400 m, otkopava se ugIjeni sloj sa padom a = 350;

otkopno polje je pravougaonog oblika, sa stranama 2a = 400 m po pruzanju i21 = 100 m po padu. Za proracun koristiti poznate vrednosti uleganja u tackama.br. 7, 11, 5 i 16; koordinate ovih tacaka i vrednosti uleganja su

TackaKoordinate Uleganje

x

ylzmerenosracunato

7

1500253253

110-650 1818

5

00 335335

16

0120 3737

Odrediti parametre uleganja m, p, q i Uo.

Y! 171,6

15

Slika. 4.5.

144

Resenje:


U ovom slueaju koristi se opsti obrazac (1.27)

U(x, y) = UoX(x, y)Y(y)

pa za taeke 5 i 7, koje leze na x-osi, vazi

Us U7 ,

X(O,O) - X(150,0) = U

gde jeU' = UoY(O)

Moze se uvesti oznaka p = ~ i primeniti isti postupak kao u prethod-vHcota n

nom primeru, pa se dobijaU' = 337 mm

n = 73.8 m

p = VH cot a = 0.3239n1.

m2

Tacke hr. 11, 5 i 16 leze u glavnom profilu po padu x = 0, pa se mozepostaviti odnos

U11 Us=X(O, -650)Y( -650) X(O,O)Y(O)

U16

X(0,150)Y(150) = Uo

i primenom postupka izlozenog u primeru 2.14 dobija se

Uo = 2435

q = 0.192

mm

m = 169 m

Heemu odgovara tan {;I = - = 2.37 i {;I = 67.10; moze se izraeunati im

Sa ovim podacima sracunate su vrednosti i konstruisana kriva uleganja uprofilu po padu (slika 4.6-a). Graniena ulegaja UG = 10 mm su u taekama sa


koordinatama y = -696 m i y = 161 m; posto je H1 = H - IsinG: = 371.32 m,H2 = H + I sin a = 428.68 mil cos a = 41 m moze se izracunati

H2

tanf3H = 696 _ 41 = 0.654,

H1tan 'YH = 161 _ 41 = 3.094, 'YH = 72.1°

Lako je, medutim, utvrditi da su ovi uglovi nepotpuni. U profilu po pruzanjuy = 0 je Y(O) = 0.1384 i n = 73.8 m, auleganje

U(x,O) = UoY(O)X(x, 0)

gde je

X(x, 0) = 4 [~ (a: x) + ~ (a: x)]

Kriva uleganja data je na slici 4.6-b, a sracunate vrednosti u pojedinimtackama ovog profila u prilogu.

Granicno uleganje UG = 10 mm u ovom profilu javlja se u tacki XG = 339 m;

moze se izracunati tan {)H = 33 H 400 = 2.878 i {)H = 70.8°. Medutim,9 - a 339 - 200 .i ovaj ugao je nepotpun.

4.3.4. Optimalan broj taeaka

U primerima 4.1 i 4.2, parametri ulegallja odredeni su sa najmanjim moguCim brojem taeaka. Medutim, pri opazanju pomeranja potkopanog terena upraksi se moraju zadovoljiti i odredeni meraeko-terenski zahtevi, koji ukljueuju ineophodnost kontrole u vidu prekobrojnih taeaka pri merenju. Zato se programmerenja ne zasniva na minimalnom, vec na optimalnom obimu merenja. U skladusa ovim zahtevima, pri otkopavanju horizontalnih ili nagnutih slojeva opazala bise po tri radna repera na krajevima svakog profila i po tri na mestu gde se profiliseku, odnosno na mestu maksimalnog uleganja, dakle ukupno 17 radnih repera(slika 4.5). Ako postoji mogucnost unistenja nekog od njih, na krajevima profilamogu se opazati po cetiri radna repera, pa se ukupan broj povecava na 21.

Osnovna pretpostavka pri tome je da se otkopava sloj u priblizno regularnimprirodno-geoloSkim uslovima. U slucaju neregularnosti izrazenih promenom padaili rasedima, osnovni pril1cip ostaje isti, sarno sto se u tom slucaju postavljaju jospo tri taeke sa obe strane granice neregularnosti.


4.3.5. Odredivanje parametara horizontalnogpomeranja masiva

Broj parametara horizontalnog pomerallja masiva, koje sadrze obrasci (1.20)i (1.28) manji je od broja parametara uleganja, pa optimalan program merenja izprethodnog teksta omogueuje izracunavanje svih karakteristika procesa pomeranja. Ovim program om predvidene su po tri tacke na krajevima profila, pa se poreduleganja mere i promcne njihovog rastojanja i na osnovu tih podataka odredujuodgovarajuCi parametri. Postupak racunanja prikazan je u sledeeem prirneru; pritome se, kao i u prethodnom, koristi minimalan broj podataka.

Primer 4.2. - nastavak

Pasle kansolidovanja izmerena su rastojanja repent (slika 4.5)

TackaKoordinate

Ras~ojanjex

ypocetnokrajnje7

150 03029.981

8180 0

130-30

3030.015

50 030

29.976

14030

Odrediti parametre Po,'Qo i No horizontalnih pomeranja.

Resenje:

Promena rastojanja tacaka 7 i 8 u profilu po pruzanju je

I::i.P,; = 29.981- 30 = -0.019 m = -19 mm,

a prema (1.16) je

I::i.P,; = yl2;PoYo(0)[Xol(150) - Xo1(180)]

Posto su vrednosti osnovnih parametara poznate, izracunava se Yo(O) = 0.1384,$Xo1(150) = -0.795, ..;21rX01(180) = -0.965, i

19

Po = 0.1384(0.965 _ 0.795) = 800 mm

U masivu sa horizontalnim slojevima Po je jedini parametar horizontalnihpomeranja; oclreduje se kao u ovom primeru pa nije potrebno navoditi poseban

4. OpaZanja pomeranja potkopanog terena 147

primer za masiv sa horizontalnim slojevima. Akc su slojevi nagnuti, javljaju se iparametri Qo i No.

Promena rastojanja taeaka 13 i 5, odnosno 5 i 14 u profilu po padu je

D.P1 = 30.015 - 30 = 0.015 m = 15 mm

D.P2 = 29.976 - 30 = -0.024 m = -24 mm

aprema (1.28)

D.P1 =No[X(O, O)Y(0)-X(0,-30)Y(-30)]+y"2;Qo[X(0, 0)Y1(0)-X(0,-30)Y1(-30)]

D.P2 = No[X(O, 30)Y(30) - X(O, O)Y(O)] + y"2;Qo[X(O, 30)Y1(30) - X(O, 0)Y1(0)]

Posto je

o X(O,y) I Y(y) I v'2iY1(Y) I-30 0.99170.1846-0.4741

00.99330.1384-0.4439

300.99460.0963-0.3689

nastaje sistem linearnih jednaCina

0.0456No - 0.0293Qo = 15

0.0417No - 0.0746Qo = -24

Cijeje reilenjeNo = 850 mm

Qo = 800 mm

Sa ovim podacima sraeunate su vrednosti horizontalnih pomeranja u petnaestekvidistantno rasporedenih taeaka u profilu y = 0 po pruzanju i konstruisanigrafici odgovarajuCih funkcija (slika 4.6-a). Slieni racunski rezultati navode se iza profil x = 0 po padu, a na slici 4.6-b prikazana je pored krive uleganja i krivahorizontalnih pomeranja.


Prilog uz sliku 4.6-&

Broj xU(x,O)P:c(x,O)taeke

[m][rom][mm]

5

0335 0

6

30333 -7

61

60327 -18

62

90314 -37

63

120290-62

7

150253-88

8180204-107

9210150-110

64

24099-96

65

27058-7f

66

30030-44

67

33013-24

68

3605-11

69

390 2-4

Prilog uz sliku 4.6-b

Broj yU(O,y)Py(O, y)taeke

[m][rom][mm]

101

2002-5

17

15015-29

16

12037-62

15

9080-110

102

60145-166

14

30232-213

5

0335-237

13

-30445-222

103

-100646-35

104

-150700168

105

-200666346

106

-250572447

107

-300450462

108

-350328415

109

-400225335

110

-450147245

111

-50091174

112

-55055114

12

-6202559

11

-6501843

10

-6801231

113

-750514


, ..---- .

_...... ------

-- ULEGANJE

---- HOR1ZONTALNOPOMERANJE

Slika 4.6-a Profil po pruzanju y = 0

---------- ...•~•.•..•.... ' ....•-- ,-- ,-----_ - ",

-- ULEGANJE

---- HORIZONTALNOPOMERANJE

Slika 4.6-b Profil po padu x = 0

149

y

x

5.Prognozne vrednosti

za rudnike sa neizucenim•

procesom pomeranJa

5.1. Opsta razmatranja

5.1.1. Uvod

Pod rudnicima sa neizucenim procesom pomeranja podrazumevaju se rudniciu kojima nisu poznate osnovne geometrijske karakteristike procesa pomeranja.Takve situacije nastaju u sledeeim slucajevima:

• kada u rudnicima nisu obavljena merenja na povrsini potkopanog terena, ili sezbog promene lezisnih uslova geometrijske karakteristike procesa pomeranja,dobijene iz predhodnih merenja, ne mogu vise koristiti.

• u novoprojektovanim rudnicima, u kojima jos nije pocelo otkopavanje saprateCim merenjima.

U svim takvim slucajevima potrebne su orijentacione vrednosti osnovnih podataka za prognozne proracune pomeranja i deformacija. Jedina mogucnost je dase primenom inzenjerske analogije ti neophodni podaci usvoje iz rudnika sa slicnimrudarsko-geoloskim uslovima eksploatacije u kojima postoje rezultati sistematskihmerenJa.

Za takve situacije postoje instruktivne tab lice [83), saCinjene na osnovu osrednjenih rezultata dugogodiSnjih merenja u rudnicima sa razliCitim rudarskogeoloskim uslovima eksploatacije.

5. Prognozne vrednosti za rudnike sa neizucenim procesom pomeranja 151

5.1.2. Koeficijent cvrstoce krovinskog masiva

Pored osnovnih lezisnih geometrijskih parametara, pri koriscenju inzenjerskeanalogije treba znati i koeficijent cvrstoce krovinskog masiva Uk). To je vrednost jednoosne cvrstoce na pritisak u KN/ cm2, dobijene ispitivanjem uzoraka jezgrovanja karakteristicnih slojeva krovinskog masiva, pri istraznom busenju. Zavise ispitivanih uzoraka istog litoIoSkog sIoja usvaja se aritmeticka sredina svihvrednosti dobijenih cvrstoca Ii. Za litoloski razlicite slojeve sa izrazito razlicitimvrednostima, cvrstoce na pritisak racunaju se za svaku grupu uzoraka posebno, asrednje vrednosti kao slozena aritmeticka sredina sa tezinamajednakim debljinama(di) uzorkovanih slojeva. Tako jeza neku litolcSku grupu

f - [d;fi]k - [dj]

(5.1)

pri cemu se koriste Gausove oznake [d;fi] umesto Ed;fj, odnosno [d;] umesto Edj.Ove oznake cesto se koriste u teoriji verovatnoce, matematickoj statistici i teorijigresaka.

Koeficijent cvrstoce slozenogkrovinskog masiva racuna se sa tezinama Pk,

eija je vrednost jednaka procentualnom ueescu pojedine grupe u ukupnoj debljinikrovine.

I = [Pk!k]100

(5.2)

Na ovaj nann dobija se ekvivalentan statistieki homogen masiv, elme seproracun znatno pojednostavljujej oCigledno je da koeficijent cvrstoce I odredenpomoeu (5.2) ne treba shvatiti kao realnu fizicku karakteristiku opazanih stena.Sa ovako odredenim koeficijentom cvrstoce usvajaju se neposredno iz instrukcijaodgovarajuce vrednosti uglovnih karakteristika, ili se interpoluju za vrednosti kojihnema u tablicama.

Primer 5.1.

U kravinskam masivu ukupne debIjine 500 m izdvajene su dye grupe slojeva.Prvu grupu ad aka 70 % ukupne debIjine, cine gamji slojevi glinovitih i peskavitihskriljaea, cvrstoce na pritisak aka 2.5 KN/em2• Drugu grupu dublje krovine, ako30 % debljine grade slajevi pescara cvrstoce na pritisak oka 4.5 KN/em2•

Rezultati ispitivanja cvrstoce na pritisak uzorakagrupe dati su u priloienoj tablici.

Treba odrediti srednju vrednast koefieijenta cvrstoce krovinskag masiva.

152 5. Prognozne vrednosti za rudnike sa neizucenim procesom pomeranja

DubinaDebljina slojaKoeficijentsioja

po OSIcvrstoce

Uzorakbusotinedd;

d;f;

[m][m][KN/cm~]

1.1

522.103.26.821.2

972.652.56.621.3

1602.802.67.281.4

210 2.302.35.291.5

280 2.902.88.121.6

350 3.102.68.06

[15.85]

142.19]2.1

3704.204.719.742.2

410 6.104.326.232.3

460 5.704.123.372.4

500 5.304.624.38

[21.30]

[93.72]

!l= [ddd = 42.19 = 2.66[dd 15.85

h = [d2h] = 93.72 = 4.40[d2] 21.30

f = 2.66·70 + 4.40·30 = 3.18100

5.2. Parametri najvecih pomeranja

5.2.1. Apsolutno maksimalno uleganje

Za odredivanje apsolutnog maksimalnog uleganja u fazi projektovanja rudnikakoristi se empirijski obrazac [83]

Uo = d· q•• (5.3)

u kome je d ot.kopana debljina sloja; pri zasipavanju otkopanog prostora unosi seefektivno otkopana debljina de koja se racuna po obrascu


gde je: Uk -Smanjenje otkopane debIjine sloja do zasipavanja. Ako ova vrednostnije poznata iz merenja, uzima se iskustveno Uk = 0.15 d.

Uz -Preostala supljina posle zasipavanja.

k -Koeficijent konsolidacije. Zavisi od vrste i naCina zasipavanja; njegova vrednost je,

- za hidraulicno zasipavanje peskom

drobljenim materijalom

- za pneumatsko zasipavanje

- za rueno zasipavanje drobIjenim materijalom

jalovinom iz otkopa

0.05 - 0.15

0.13 - 0.30

0.25 - 0040

0.25 - 0.45

0.35 - 0.50

gde je:

qu -Koeficijent uleganja krovinskog masiva. Za metode sa zarusavanjemkrovine iznosi od 0.7 - 0.9. Moze se sracunati po obrascuj

fp -koeficijent cvrstoce krovinskog masiva,

H -dubina otkopavanja,

h -debljina nanosa na povrsini.

Pojam efektivne otkopane debljine moze posluziti da se pri racunanjuUo uvedu i otkopni gubici, primenom koeficijenta i = (1 - g), gde je9 - otkopni gubitak. Tada je,

Uo = d· qu' i (5.4)

5.2.2. Maksimalno horizontall1o pomeranje

Pri prognoznim proracunima horizontalnog pomeranja povrsine potkopanogterena, za masiv Cijisu slojevi horizontalni, moze se prema instrukcijama [83]uzeti

Po = 0.33Uo (5.5)

pri cemu se Uo racuna po empirijskim obrascima (5.3) ili (5.4).

Takode prema [83]' u profilima po pruzanju vrednost parametra Qo ne zavisiod pada sloja, tako da pri prognoznim proraeunima treba uzeti

Qo = Po (5.6)

154 5. Prognozne vrednosti za' rudnike sa neizueenim procesom pomeranja

a Po se odreduje pomocu prethodno navedenog empirijskog obrasca.

Najzad, prema istom izvoru, za odredivanje parametra No koristi se empirijskiobrazac

No = 0.5 Uo tan a

gde je a ugao pada sloja, a Uo se odreduje pomocu obrazaca (5.3) ili (5.4).

5.2.3. Neki izvedeni parametri

(5.7)

Pri proucavanju horizontalnih pomeranja i deformacija, pored osnovnih javljaju se idrugiparametri koji se, posta nisu nezavisni, izrazavaju pamoeu asnovnih.

Taka ekstremne vrednosti horizontalnih pomeranja i dilatacija u profilima popadu zavise ad odnosa (3.42)

Co = NoV'hQo

pa iz (5.6) i (5.7) sledi

1Co = .,fiir tan a = 0.604 tan 0:'0.66 211'

kada se zna ova, lako se odreduju i vrednosti C1 i C2 (3.43).

(5.8)

U profilima po pruzanju, odnosno u masivu sa horizontalnim slojevima, horizontalno pomeranje proporcionalno je nagibu, pri cemu je prema (1.17) i (1.21)koeficijent proporcionalnosti

l(osto je prema (5.5) odnos ~: = 0.33, sledi

C = 0.33y'2;n = 0.827n

Iz odgovarajuCih definicija sledi da je U ovim profilima dilatacija proporcionalna krivini, sa istim koeficijentom praporcionalnosti C.

5. Prognozne vrednostiza rudnike sa neizucenim procesom pomeranja 155

5.3. Uglovni parametri

5.3.1. Tablica prognoznih vrednosti

U instrukcijama [83] date su u vidu tablica orijentacione vrednosti granicnihuglova i ugla maksimainog uleganja u zavisnosti od pada sloja i koeficijenta cvrstocekrovinskog masiva. Tablice su, medutim, tako sastavljene, da se svaki od ovihuglova dobija posebno, kao nezavisna veliCina.

U radu [64] orijentacione vrednosti uglovnih parametara obuhvaeene su jedinstvenom tablicom, iz koje se mogu odrediti sa vecom tacnoscu i kao medusobnozavisne veliCine. Osim granicnih, mogu se odrediti i drugi-pomocni uglovi (3, / i b

za rudnike sa neizucenim procesom pomeranja, za proizvoljnu efektivno otkopanudebljinu sloja i bilo koju dubinu otkopavanja. Tablica je saCinjena na osnovuinstrukcija [83], tako sto su svi podaci redukovani vertikalno - na istu dubinu ihorizontalno - naisti odnos Ua/Uo granicnog i apsolutnog maksimalnog uleganja.Pored toga, pomocu obrazaca (2.18), (2.21) i (2.22) medusobno su uskladene vrednosti uglova (3,/ i 0, a pomocu ekvivalentnog ugla bE (2.30) obezbedeno je dagranicna vrednost uglova (3 i /, kada pad sloja a --+ 0, bude odgovarajuCi granicniugao b.

Posto svi navedeni obrasci vaze kada podina miruje, vrednosti pada sloja a utablici ogranicene su do 55° za stene male cvrstoce, a za veee cvrstoee do 60°.

Tablica 5.1 dopunjena je empirijskim vrednostima uglovnih parametara iza veee padove od pomenutih, radi geometrijske konstrukcije zone utieaja priotkopavanju strmijih slojeva, ali ovi podaci vaze sarno za tablicne uslove: dubinu

Ho = 300 m i odnos ~~ = 0.005 (ro = 2.576). Za neke druge vrednosti H i Uo,kada je pad sloja manji od 55°, odnosno 60°, primenom obrazaca (2.6) ili (2.27) i(2.28), dobijaju se odgovarajuce orijentacione vrednosti uglovnih parametara.

Radi lakseg racunanja u tabliei 5.1 se daju i vrednosti ho = rtanb u koloniao, adnosno Va za masive sa nagnutim slojevima. Na taj nacin se postize i veeatacnost, jer bi se pri izracunavanju Va, zbog zanemarivanja delova stepena prisastavljanju tabliee, dobili razliCiti rezultati zavisno od toga da Ii se koristi obrazac(2.20-a) ili (2.20-b). Tabliea se moze koristiti i pri resavanju obrnutog zadatka odredivanja uleganja UT u tacki zadatoj uglom DT.


Tabliea 5.1.

Podina se pomeraPodina miruje, teorijske postavke i obrasci

teoretske postavkemogu se primeniti

i obrasci se ne

I

mogu koristiti

fU' = OUa = lOu20u30u40u50u55u60u. 70u80u90u

81

54PI474237333029282726251.5

/157606467717373574025()

85817876747475778090ho

3.456Va5.6968.50510.97313.45515.59016.531

81

60PI534741373332292827262.5

/1636669717475_76594126()

85817775737374767990ho

4.462Va4.5516.9469.29511.54413.84214.883

81

66PI595246403634322928274.0

/170727476

I77 78796142'>7.w.

()84807673727172747790

ho

5.768Va3.4765.5787.6269.92612.27213.49414.841

81

70PI625447423735333231295.0

/173757779808180644328()

84797572706970727790ho

7.078Va3.0175.0097.0528.98411.39112.51914.234

81

75PI665850443936343231298.0

/179828485868584674429()

83787369676667707690ho

9.614Va2.3023.8425.6817.6489.75311.40212.956

Primer 5.2.

Otkopava se horizontalan sioj na dubini H = 400 m, pri Uo=2500 mm i1=4 KN/em2• Odrediti

a) granicni ugao 81,

b) ugao punih pomeranja 'lj;, za uslov UO - U(O) :5 5 mm,

c) vrednost uleganja UT u tacki zadatoj uglom 8T = 700.

Resenje:

a) Granicnom uleganju odgovara odnos

10

<1>( Tl) = 1 - 22500 = 0.992Tl = 2.650;


prema (2.6) je

tan 151 = y'11"; . TO tan Do = (If;. ho = J 400 . 5.786 = 2.52VHO Tl V ~ T1 300 2.650

b) Prema (2.33) ugao 1/J jednak je pomocnom uglu taeke P sa uleganjem

Up ::; 2.5 mm. Ovom uleganju odgovara odnos 22~~0= 0.001 i (videti tablicu 2.1)Tp = 3.09, pa je

J 400 1i.786 •tan 1/J = 300' 3.09 = 2.16

c) Na osnovu (2.6) je

[iJ; J400TT = V ~ho cot DT = 300.5.786' cot 70° = 2.43;

iz tablice u prilogu 2 nalazi se (2.43)= 0.9849, pa je prema (2.3)

Uo

UT = 2(1 - (2.43)]= 19mm

Primer 5.3.

Odrediti granicni ugao fit u donjem delu ulegnuca za a = 40°, H2 = 400 m,

Uo = 1250 mm i f = 5 KNlcm2•

Resenje:

Prema (2.3) je10

(T1) = 1- 21250 = 0.9840,

f{2 = "1 . ~ = 2.409 . 8.984 = 0.42TO ~ 2.576J400

pa jeT1 = 2.409; iz tablice 5.1 se nalazi ()= 72° i Va = 8.984. Sa ovim podacimaizracunava se

a zatim prema(2.21)

/ 0422 0422cot 111 = 0.42, cot 400 + cot 722 + -'- + cot 720 + -'- = 0.94\. .. ·42

158 5. Prognozne vreclnosti za rudnike sa neizueenim procesom pomeranja

Primer 5.4.

Sa podacima iz prethodnog primera sracunati uleganje UR taeke na. gornjemdeiu ulegnuca, zadatoj uglom iR = 800, za dubinu H1 = 200 m.

Resenje:

Iz tablice 5.1 nalazi se ()= 720 i Vao = 8.984, a izracunava se

!JTCT cot ()+ cot.iRVaR = V n [--:::===== = 7.035Jcot. (}'- cot iR

zatim, prema (2.26)

VaR 7.035

Tl = Vao TO = 8.984 . 2.576 = 2.02

i najzad, posto je

<1>(2.02) = 0.9566

na osnovu (2.3) jeUo

UR = 2[1- (TR)] = 27 mm.

5.3.2. Empirijski obrazac za odredivanje uglamaksimalnog uleganja

U prvoj glavi naglaSeno je da su parametri statistickog modela, koji se ovclekoristi, geometrijske veliCine, pa se teorijski ni na kakav nacin ne mogu dovesti uvezu sa fiziekim karakteristikama masiva.

Medutim, t.ablica 5.1 daje mogucnost uspostavljanja empirijske veze izmeduuglovnih parametara i koeficijenta cvrstoce f krovinskog masi va.

Posto njihova vrednost zavisi od dubine i efektivno otkopane debljine, granieniuglovi nisu podesni za uporedivanje sa fizickim karakteristikama krovinskog masiva. Nasuprot njima ugao maksimalnog uleganja, kao geometrijski nezavisanparametar, po svojstvima je bliii karakteristikama fizieki homogenog masiva (odeIjak 5.1.2.).

Na slici 5.1 tablicne vrednosti ugla e prikazane su taekama u koordinatnornsistemu n:,e. Grafik funkcije B(n:)za datu vrednost evrstoce f je kriva koja spajaodgovarajuce tacke prikazane na slid. Posto je u rnasivu sa horizontalnim slojevirna 8(0) = 900, dobija se farnilija konkavnih krivih, koje se .e;ranaju iz taeke


(0, 90). Sve imaju minimum priblizno pri a = 55°, a kod manje cvrstih stenagrafik se tu i zavrSava.

Slika 5.1.

Ovakvim graficima odgovara sasvim jednostavan empirijski obrazac

o = 90 - (14.48 + 1.08f) sin 1.65a (5.9)

Iz priloienog tabelarnog pregleda vidi se da se vrednosti OR, sracunate poovom obrascu, slazu sa tablicnim vrednostima OT.

1.5 OT85 8178 7674 74OR

85.4381.2377.7675.2974.0473.90

2.5OT85 8177 7573 73

OR

85.1280.6476.9474.3172.9772.824.0

OT84 8076 7372 7172

OR

84.6679.7675.7072.8371.3671.2071.43

5.0OT84 7975 7270 6970

eR

84.3579.1774.8871.8470.2970.1270.36

8.0OT8378 I 73

6967 6667OR

83.4377.41172.4268.8867.0866.8867.16

160 5. Prognozne vrednoeti za rudnike sa neizucenim procesom pomeranja

5.3.3. Empirijski obrazac za granicni ugao b

U koloni a = 00 tabliee 5.1 lako se zapaza da su vrednosti ho = TO tan 150

priblizno jednake f + 2. Unooenjem ho = f +2 i tablicne vrednosti Ho = 300 mmu (2.6), dobija se empirijski oorazac za granicne uglove 15u masivu sa horizontalnimslojevima, ili u profilima po pruzanju kada su slojevi nagnuti

tanb = J H .f + 2 (5.10)300 T

Ovim obrascem, zavisno od vrednosti T, obuhvacelli su takode i pomocniuglovi.

Uporedujuci tablicne vrednosti DT i vrednosti bR sracunate pomocu obrasca(5.10), date u prilozenom tabelarnom pregledu, vidi se daje njihovo slaganje zadovoljavajuce.

f1.5 5453.65

2.56060.21

4.06666.76

5.07069.80

8.07575.55

5.3.4. Empirijski obrasci za granicne uglove f3 i 'Y

Nalazenje empirijskog obrasca za granicne uglove f3 i 'Ymoze se formalno svestina prethodni slucaj uvodenjem ekvivalentnog ugla t5E(2.30), kojim se uspostavljaanalogija izmedu horizontalnih i nagnutih slojeva. Kao i u prethodnom slucajuposmatra se proizvod

h = TO tant5E

koji se lako izracunava, jer su u tablid 5.1 date vrednosti Va, pa je prema (2.29)

h = TovHosinD:Va

ali se ova velicina, za razliku od ko u prethodnom slucaju, menja sa padom sloja a.Na slid 5.2, ove vrednosti predstavljene su tackama u koordinatnom sistemu h, a.Krive koje povezuju ove tacke monotono opadaju, pa se odgovarajuca funkcijamoze predstaviti empirijskim obrascem

h = TO tan DE = (f + 2)exp[(0.0027 - 0.0076v7)a]

sa zadovoljavajucom tacnoscu.

(5.11)


h

10

~~-5--.--(1--

Slika 5.2.

Sa poznatom vrednoscu h, moze se izracunati prema (2.29)

Tov'Ho sin aVa = h

a posto se ovako odredeno Va unese u (2.27) i (2.28), dobija se

_ f300 Tv'sin a r;Iii = V Ii;' f + 2 exp[(O.0076y f - O.0027)a]

K2 = )300 . T~ exp[(0.0076y'f _ O.0027)a]H2 f +2

(5.12)

(5.13)

pa se pomocu (2.21) i (2.22) mogu izracunati prirodne vrednosti cotf3 i cot/;podrazumeva se daje prethodno pomocu empirijskog obrasca (5.9) odreden i ugao(J. RazliCitim odnosima T u (5.12) i (5.13) odgovaraju razliCiti uglovi, pa f3 i / mogubiti ne sarno granicni, nego i ma kakvi pomoeni uglovi. U prilozenom pregledudaju se uporedno tablicne vrednosti f3T, *fT i hT i vrednosti f3R, /R i hR sracunatepomocu empirijskih obrazaca (5.11), (5.12) i (5.13); slaganje je zadovoljavajuce.


Tablica 5.2.

I"~"", 10°20{l30°40°50°55,°60°

J3T

474237333029

IT

57606467717"31.5

hT3.2643.0682.8752.6592.5052.44313R

47.3241.6936.9233.0430.0328.83

IR

56.7960.2463.8167.3770.9072.68hR

3.2763.0672.8712.6872.5152.433

J3T

5347413733. 32

IT

6366697174752.5

hT4.0853.7573.3943.0992.8212.713

13H

53.1746.7941.2836.7133.0531.54

IR

63.0065.9268.7771.4573.9975.27

hR

4.1003.7353.4033.1002.8242.696

fJT

595246I40 363432

IT

707274767778794.0

hT5.3494.6784.1373.6043.1822.9932.798

J3R

58.995l.8145.5040.1935.8534.0132.37

IR

69.5472.1874.4776.3177.7878.4779.23

hR

5.2954.6734.1243.6393.2123.0172.834

J3T

62544742373533

IT

737577798081805.0

hT6.1635.2094.4743.9823.4283.2262.917

J3R

61.6454.0647.3641.6837.0035.0033.20

IR

72.7475.4077.5479.0279.9580.3280.74

hR

6.0685.2594.5593.9523.4253,1892.969

J3T

66585044393634

IT

798284858685848.0

hT8.0776.7925.5514.6774.0043.5423.205

J3R

66.4857.9450.3443.8638.4736.1233.97

IR

79.3482.5184..6985.6485.4385.0584.64

hR

8.2866.8675.6904.7153.9073.5573.238

Empirijski obraze:. (5.9), (5.10), (5.12) i (5.13) zasnivaju se na tablicnimpodacima, pa vaze pod istim uslovima kao i tablica 5.1. Mada je to formalnomoguce, sa njima nema smisla. racunati uglove [3, I i () za strmije slojeve odnavedenih u tablici. Prednost ovih obrazaca je sto obuhvataju sve vrednostikoeficijenta cvrstoce 1.5 ~ f ~ 8 i sve vrednosti padnog ugla 0 ~ a ~ 55°,

odnosnc 0 ~ 0: ~ 60°, pa se orijentacione vrednosti uglovnih parametara racunajuneposredno bez interpolacije koja se ne moze izbeci pri koriscenju tabiice 5.1.


Primer 5.5.

Ako je pad sIoja a = 25°, H 1=220 m, H2=390 m, Uo=2 500 m i j=3.4 KN jcm2odrediti:

a) granicni ugao61 u profiIu po pruzanju za dubinu otkopavanja H =35 m,

b) granicne uglove /31 i 11 .

Resenje:

a) Posto je T = 2.650 (videti primer 5.2), prema (5.10) je

(335 3.4+ 2tanlh = V )0' 2.650 = 2.15

b) Pomocu (5.9) izracunava se

()= 90 - (14.48 + 1.08 . 3.4) sin 1.65 . 25 = 78°

prema (5.12) je

300. ° 2.650 ( ;;;-:; )220 sm25 . 3.4 + 2 exp 0.0076v 3.4 - 0.0027 ·25 = 0.494

300. ° 2.650 ( ;;;-:; )39 sm25 . -3-- exp 0.0076v 3.4 - 0.0027 ·25 = 0.371o .4+2

Sa ovim podacima se pomocu (2.21) i (2.22) dobija

cot /31 = 0.856

odnosnocot ,1 = 0.434 11 = 66.5°.

1645. Prognozne vrednosti za rudnike sa neizucenimprocesom pomeranja

5.4. Proracun prognoznih vrednostipomeranja ideformacija

5.4.1. Masiv sa horizontalnim slojevima

Primena empirijskog obrasca (5.10) ogranicena je uslovima potpunosti kojetreba da zadovolji granicni ili pomocni ugao fJ. Ali primena se moze prosiriti i naslucajeve kada zbog nepotpune otkopane duzine, odnosno pod~povrsjne, koriScenjeovih uglova nema smisla. Posto se iz (5.10) proizvod

rtanfJ = (J + 2)J3~0

unese u (2.4), dobija seV300H

n= 1+2 (5.14)

Sa ovom vrednoscu, uz poznavanje parametara pomeranja Uo i Po, moguse sracunati u bilo kojoj tacki na povrsini potkopanog terena trazene vrednostipomeranja i deformacija.

Primer 5.6.

Odrediti prognozne vrednosti pomeranja ideformacija na povrsini potkopanogterena, pri otkopavanju horizonta1nog sloja deb1jine d=2.8 m, na. dubini H =370 m;otkopava se pravougaona. ob1ast dimenzija 21=600 m i 2a=300 m. Otkopni gubicisu 16 %, koeficijent cvrstoce krovinskog masiva 1=2.76 KNlcm2•

Resenje:

Iskoriscenje je 100- 16 = 84 %, pa je i = 0.84 i prema (5.4)

Uo = d· qu . i = 2800·0.9 . 0.84= 2100 mm

prema (5.5)Po = 0.33Uo =700 mm

a prema (5.14)

n = J3OO]l = v'300· 370 = 70 m1+2 2.76+2


Uleganje je

U(x, y) = 2100Xo(x)Yo(Y)

gde je

XO(x) = ~[~C5~;x) + ~ (15~6x)]

Yo(Y) = ~[~ (30~: y) + ~ (30~6 y)]

a horizontal no pomeranje

gde je

x ( )= (150 + x) _ (150 - x)01 X cp 70 cp 70

Yr ( ) = (300 + y) _ (300 - Y)01 Y cp 70 cp 70

Sa ovim podacima su u dodatku I, u primeru 1.3, sracunate vrednosti pomeranja i deformacija, ana slici 1.8 prikazani grafici krivih Xo(x), X01(x) i Xo2(x) uprofilu y = O.

5.4.2. Masiv sa nagnutim slojevima

Empirijski obrazac (5.9) omogucuje da se na osnovu (2.9) odredi

m = H cot()

ana osnovu (2.10)

b = [sin(a + 0)sin IJ

pa za izracunavanje prognoznih vrednosti pomeranja i deformacija u profilu popadu treba znati jos samo parametar q. On se, prema (2.23) i (2.29) moze dovestiu vezu sa uglomoE

hq= --,==

v'hsina


gde je h = 'To tan DE i odreduje se pomoeu empirijskog obrasca (5.11). Na taj nacindobija se

1+2q = v' ..... exp[(0.0027 - 0.0076Jl)a]300 sma

U profilima po pruzanju, u "jedinicnoj" funkciji

(5.15)

javlja se i parametar p, Ciju vrednost takode treba odrediti. On se lako dovodi uvezu sa vrednoscu n (5.14),jer je u profilu na srednjoj dubilli H, u komeje y = 0,oCigledno

P 1VH cot a n

i prema (5.14)1+2

p= --:====V300tana

rezultat ima smisla, jer je prema (1.27)

PoP=--Vsina

1+2Po = V vcos a300

(5.16)

sto se, kada a -+ 0, slaze sa vrednoscu koja odgovara masivu sa horizontalnimslojevima.

Na taj naCin, uz parametre pomeranja Uo (5.4) Po (5.5) i No (5.8) dobijaju sesvi potrebni podaci za prognozni proracun.

Primer 5.1.

Odrediti prognozne vrednosti pomeranja i deformacija povrsine potkopanogterena, pri otkopavanju sIoja debljine d=3 m, sa padom a = 350; koencijentcvrstoce krovinskog masiva je 1=4.8 KN/cm2, koencijent uleganja qu = 0.8, aotkopnigubici 17 %. Otkopavase pravougaonaoblastsirine po pruzanju 2a=400m,od dubine H1 =230 m, do dubine H2=570 m.

Resenje:

Srednja dubina je

H = H1 + H2 = 400 m2


i otkopana duzina po padu

1 = H2 - H1 = 570 -230 = 296 m2sina ~sin35°

Iskoriscenje je 83 %, pa je i = 0.83 i prema (5.4)

Uo = d . q . i = 3000 . 0.80 . 0.83 = 2000 mm

prema (5.5)

prema (5.8)

prema (5.9)

prema (5.15)

prema (5.16)

Po=0.33Uo = 660 mm

No=0.5Uo tan a = 700 mm

0=90 - ~14.48 + 1.08·4.8) sin(1.65 . 35) = 73°

q=--=4=.8=+=2=exp[(0.0027 - 0.0076y'4])35] = 0.318V300sin35°

= 4.8 + 2 = 0.469.p V300 tan 35°

Sa 0 = 73° moze se izracunati

b = lsin(a + 0) = 296sin(35° + 73°) = 295 msin 0 sin 73°

m = H cot 0 = 400 cot 35° = 122 m

pa su odredeni svi potrebni podaci za proracun pomeranja i deformacija. Brojnevrednosti i krive pomeranja i deformacija date su u dodatku I, primer 1.4.

Napomena: Sa ovim podacima zadovoljeni su uslovi (2.11)

~ ( qb ) = cI>(3.56) = 1vHcota+m

~ ( pa) = cI>(3.56) = 1vHcota+m

pa je otkopana povrsina puna. SledeCi primer odnosi se na pod-povrsinu.

Primer 5.8.

Odredi ti prognozne vrednosti pomeranja i deforIllacija povrsine potkopanog

terena za sloj iz prethodnog priIllera, ako se otkopava od dubine H 1=330 Ill, dodubine H2=470 Ill.


Resenje:

Svi podaci ostaju isH kao u primeru 5.7, osim otkopane duiiae po padu

I = 470 - 330 = 122 m2 sin 350

b = lsin(~+8) = 121 mSIll a

i sa ovim podacima sracunata su pomeranja i deformacije i dati odgovarajuCi graficikrivih u dodatku I, u primeru 1.5.

5.4.3. Ekstremne vrednosti pomeranja i deformacija

Parametri najvecih pomeranja (5.4) i (5.5) dobili su ovaj naziv zato sto njihovavrednost pri punoj otkopanoj povrsini odgovara najvecem uleganju, odnosno horizontalnom pomeranju po pruzanju. Prema (5.7) i (5.8) pomocu ovih parametaraizrazava se i najvece horizontalno pomeranje u glavnom profilu po padu.

U 3. poglavlju izvedeni su obrasci za odredivanje najvecih deformacija, pa sepomocu empirijskih obrazaca datih u ovoj glavi, mogu odrediti i njihove orijentaeione vrednosti. Kako je vec naglaSeno, najveee vrednosti deformaeija sracunatepomocu obrazaca u 3. poglavlju, osim dilatacije (3.45), javljaju se pri punojotkopanoj povrsini.

U masivu sa horizontalnim slojevima najveei nagib je

N _ Uo . 1+ 2 _ 1+ 2. Uomax -.j2; -/300H - 43.4 .jH

a javlja se nad granicama otkopane oblasti.

Najveea krivrnaje

(5.17)

f{ _ ~ . (f + 2)2 _ (f + 2)2max - -/27re 300H 1240

Uo

H (5.18)

a. poluprecnik krivine1240

Hmo •.• = (f + 2)2

H

Uo(5.19)

pn cemu se Hmi •.• dobija u kilometrima kada se H uzima u metrima, a Uo umilimetrima. Ove ekstremne vrednosti udaljene su za

-/300· Hn=1+2

5. Prognozne vrednosti za rudnike sa neizueenim procesom pomeranja 169

metara od granica otkopa. Na istim mestima javljaju se inajvece dilataeije

D _ Po . f + 2 = f + 2. Uoma:r: -..;e ';300H 86.5 v'li

(5.20)

Na sliean naCin, posto se pomocu empirijskih obrazaea (5.4), (5.5), (5.8), (5.9)i (5.15) dobiju vrednosti Uo, Po, No, Q i q (videti primer 5.7) i unesu u (3.11),(3.25) i (3.44), mogu se izracunati i vrednosti najvecih deformaeija u profilu popadu kod nagnutih slojeva.

6.ZaStitni stubovi

ZaStitni stub je deo lezista ispod nekog objekta, koji se ne otkopava, ili setako otkopava, da se na objektu ne pojave stetne deformacije. ZaStitni stubovi sekonstruisu pomocu uglova sigurnosti, Cija vrednost zavisi od vrednosti dozvoljenihdeformacija za odredenu vrstu objekta i kategoriju zaStite.

Na eksploatacionom polju rudnika mogu se naCi razliCiti prirodni i tehniekiobjekti, kao !ito su, vodotoci, sume, poljoprivredne kulture kapitalnog znaeaja,objekti niskogradnje, visokogradnje i hidrotehike. Tako da se mogu javiti razliCitividovi zaStite. U jednom slueaju to je zaStita objekta na povrsini terena od uticajarudarskih radova. U drugom slueaju to je zaStita jame od potencijalne opasnostisa povrsine terena, sto se najeesce javlja pri otkopavanju ispod hidro-objekata. Unekoj situaciji mogu se javiti oba slueaja.

Uglovi sigurnosti sa kojima se konstruiiie zaStitni stub su empirijskog karaktera. Odreduju se grafiekom interpretacijom na krivama pomeranja i deformacija.Na tim krivama mogu se izdvojiti taeke sa vrednostima uslovljenih stetnih deformacija. U sovjetskim instrukcijama, [83] su to taeke u kojima je : nagib N = 4mm/m, horizontalne deformacije D = +2 mm/m i hivina J{ = 0.2 x 1O-31/m.

Tako odredene taeke na povrsini terena, spojene sa granicom otkopavanja ujami, odreduju u vertikalnom preseku ugao sigurnosti.

Pitanje je sarno kojuvrstu deformacija treba usvojiti kao opsti kriterijumpri odredivanju ovih uglova. Najeesce se uslovljava horizontalna deformacija, sobzirom na brojnosti tehniekih objekata koji su najosetljiviji na istezanja, odnosnona pojavu pukotina. Kriterijumi zaStite objekta razmatraju se detaljnije u sledecem odeljku.

Konstruisanje zastitnih stubovaje Cistogeometrijski postupak. Na karakteristienim vertikalnim presecima kroz objekat-masiv-Ieziste, odrede se pomocuugiova sigurnosti dimenzije zaStitnog stuba, a sa lljima se konstruise kontura nas,ituacionom pianu jame. Kontura i obiik stuba na planu, zavise od objekta i pada

6. ZaStitni stubovi 171

sloja. Za horizontalan sloj je kruznog Hipravougaonog oblika, a za nagnute slojeveeliptickog i1i trapeznog oblika, zavisno od toga da Ii je osnova objekta kruznog ilipravougaonog oblika.

Otkopavanje zastitnih stubova je zahtev savremenog rudarstva zbog togasto u neotkopanim zastitnim stubovima na velikim dubinama ostaju velike rezerve u vidu gubitaka. Otkopavanje se zasniva na posebllom projektu i proracunuparametara otkopne metode, sa vrednostima usIovljenih deformacija na povrsiniterena.

6.1. ZaStita objekata

6.1.1. Kriterijumi zastite

Ugrozenost objekata na povrsini terena izvan grallica zaStitnog stuba koji sene otkopava, ili u njegovim granicama ako se otkopava, zavisi od vrste i vrednostideformacija koje se lla objektu mogu javiti.

Usiovijenost vrste deformacija po nekom kriterijumu zavisi od vrste objekta,a vrednosti tih deformacija zavise od konstrukcije objekta. Postoje objekti koji suu smislu osteeenja osetljiviji sarno na odredenu-"primarnu vrstu deformacija, doksu druge vrste deformacija u tom smislu, sekundarne po znacaju.

Zgrade i sliclli zidani objekti najvise su osetljivi Ila horizontalne deformacije,koje dovode do pojave pukotina.

Visoki objekti, dimnjaci i tornjevi osetljivi su na promenu nagiba. Magistralniobjekti (zeljeznicke pruge, putevi, cevovodi) osetljivi su na promenu krivine.

Postoje objekti slozenih konstrukcija koji su istovremeno osetljivi na pojavuvise vrsta deformacija i u tom slucaju se sve moraju iskazati kroz neki zajednickikriterijum.

Dugogodisnjim opazanjem ponaSanja i osteeenja raznovrsnih objekata, u razliCitim uslovima otkopavanja, dobijene su empirijsko-statisticke zakonitosti pojava odredenih vrsta deformacija, sto je omoguCilo da se preko njihovih vrednostiizdvoje granice izmedu razliCitog intenziteta osteeenja, i da se definisu kriterijumizaStite.

Takva opazanja' su vrsena u muogim rudarski razvijenim zemljama, u razliCitim uslovima rudarenja, sa razliCitim stepenom naseljenosti, sa objektima razliCitih konstrukcionih karakteristika i naCinom gradnje, tako da su nastali i razliCitikriterijumi zaStite. Osnovna razlika medu njima je u pogledu njihove uopstenosti, ili njihove detaljnosti, sto proizilazi iz obima i nivoa proucavanja u pojedinimzemljama.

172 6. ZaStitni stubovi

U praksi SSSR-a, instruktivno se koriste sledeCi kriterijumi:

• Kriterijum dozvoljenih deformacija po kome se izdvajaju deformacije ioStecenja koja se uz redovan remont mogu sanirati, a da objekat ne izgubisvoju funkcionalnost.

• Kriterijum kriticnih deformacija po kome se izdvajaju deformacije, prekokojih nastaju havarije i potencijalna opasnost po iivot korisnika.

& Kriterijum bezopasne dubine sa kojim se odl"t'duje dubina ispod koje semoze otkopavati bez primene rudarskih mera zastik II ja.mi i konstruktivnihmera. zaStite na povrsini.

Bezopasna dubina se odreduje na osnovu dozvoljenih clcformacija (Ddoz, N doz)

i otkopane debljine sloja po obrascima dobijenim elllpirijskim istrazivanjima urudnicima SSSR-a.

(6.1)

(6.2)

gde je, HB = bezopasna dubina otkopavanja,

KD, KN = empirijske vrednosti koeficijenta iz tablice 6.1.

[Dd), [N d] = dozvoljene deformacije za odredellu vrstu objekta.

NaCin obelezavanja [Dd) i [N d], kao i veliCilla koje se kasnije javljaju u empirijskim obrascima (6.5) do (6.14) u skladu je sa literaturom [83] koja se ovdecitira. Ove veliCine ne treba shvatiti kao Gausove oznake za sume u obrascima

(5.1) i (5.2).HB = 1<B . d (6.3)

gde je, KB koeficijent koji zavisi od vrste objekta. Empirijske vrednosti ovogkoeficijenta daju se u tablici 6.18.

Koeficijenti KD i KN Tablica 6.1.

Koeficijenti cvrstoce[j]

[0:)

<1.0 1.0 - 2.52.5-8.0

KD1<NKDKN1(DKN

0

1.01.60.81.70.71.610

1.01.50.81.71.01.820

1.01.50.81.61.01.530

1.01.40.81.50.81.140

1.01.20.81.30.70.9

j>50

1.01.00.81.10.70.9

6. ZaStitni stubovi

6.1.2. Teorijsko razmatranje 0 bezopasl1oj dubini

173

Iz obrazaca (3.8), (3.11), (3.22), (3.25), (3.40) i (3.44), izvedenih u 3. poglavlju

vidi se da ekstremne vrednosti deformacija opadaju sa dubinom otkopavanja (H).

Ako je 3M najveca, a 3D dozvoljena vrednost deformacije (dilatacije, nagiba ili

krivine) za ugrozeni objekat na povrsini, postoji ocigledno takva oblast H 2:: HE

pri kojoj ee biti,

(6.4)

HB je u tom slucaju bezopasna dubina.

Ako se obrasci za odredivanjeC ekstremnih vrednosti deformacija (3.8), (3.22) ili

(3.40) rese po dubini H, pa se umesto maksimalnih vreduosti 3M unese dozvoljena

vrednost SD, ta dubina ee prema (6.4) biti bezopasna.

Sa empirijskim obrascima (5.17), (5.18) i (5.20) llIogu se na sliean nacin odre

diti orijentacione vrednosti bezopasne dubine.

Treba imati u vidu da su ovi obrasci izvedeni pod pretpostavkom da je

otkopana puna povrsina, pa se sracunata vrednost bezopasne dubine odnosi na

ovaj slueaj. Kada sloj lezi na veeoj dubini, puna povrsina se po pravilu tesko

ostvaruje, pa najveee vrednosti deformacija odgoval'aju pod-povrsini i manje su

od apsolutnog maksimuma; zahvaljujuei tome, smanjuje se i realna vrednost be

zopasne dubine. Zato se primenom pomenutih obrazaca mogu dobiti i preterano

velike vrednosti, koje imaju smisia sarno ako rezultat ne prelazi 1000 m. U svakom

slucaju, ovako sracunata bezopasna dubina daje odgovor na pit.anje treba Ii, ili ne,

ostavljati zaStitni stub.

Kao sto se vidi iz siedeCih primera, bezopasna dubina u veCini slucajeva pro

porcionalna je kvadratu apsolutnog maksimalnog uleganja Uo, pa je vrlo vazno da

se njegova vrednost pri prognoznim proracunima odl'edi sto taenije.

Primer 6.1.

Podaci: d=l m, 1=4, iskoriScenje 70 %, otkopaVfl.lljesa zarusavanjem krovine.Odrediti bezopasnu dubinu za dozvoljenu deformaciju ])D=2 mm/m.

Resenje:

Prema (5.4) koeficijent uleganja (qu) je q=O.9-0.();3 1=0.78, i=O.70 i

Uo = dqui = 1000· 0.78 . 0.70 = 54f5 mm


pa je prema (5.20)

H _ (1+2 ~)2 _ (4+2546)2 _B - 86.5 DD - 86.5 2 - 358.6 m

Primer 6.2,

Podaci: a = 30°, d=1.5 m, 1=2, gubici zanemarljivi, otkopavanje sa zarusa

vanjem krovine. Odrediti bezopasnu dubinu za dozvoljeni nagib ND=4 mm/m.

Resenje:

Prema (5.4) je, zanemarujuci odnos ~q,.. = 0.9 - 0.031 = 0.84, i= 1

Uo = dq,..i = 1500·0.84· 1 = 1260 mm

a prema (5.15)

q = 1+ ~ exp [(0.0027 - 0.0076vJ)a] = 0.256j300sma

U dodatku I (slika I.10) pokazano je da je

H cot a + m - b = L1

H cot a + m + b = N 1

gde su L1 iN 1rastojanja taeaka L i N (u kojima su vrednost nagiba ekstremne) od"izdanka" I sloja. Pri raeunanju bezopasne dubine, podesno je da se ova rastojanjaizraze pomocu dubine HL i HN (slika 6.1.)

I

Slika 6.].

H cot a + m - b = HL cot (l

H cot 0: + m + b = If N cot a

6. ZaStitni stubovi

Cimese izrazi (3.11) dovode na oblik

175

qUO

v21rHL cot a

Odavde je, prema definieiji bezopasne dubine

HB = ( q UO)2 =( 0.256 1260)2 = 597.5 mV21r cot aND V21r cot 300 4

Komentar: Ako je zadana ista vrednost dozvoljenog nagiba u tackarnaL, N dobija.Be ista vrednost bezopasne dubine, bez obzira daIi se kopa od N po usponu, ili po padu sloja.

PostujuCi uopstenost i detaljnost pojedinih kriterijuma, prikazana su u daljemizlaganju iskustva iz Engleske, Poljske i SSSR-a.

6.1.3. Engleska: Osnovni kriterijum ugrozenosti, odnosno zaStite, pre svegazidanih objekata, je vrednost apsolutnog izduienja objekta (t6.L), koja preko njegove duzine (L), daje vrednosti horizontalnih deformacija (tablica 6.2 i dijagram,slika 6.2).

Tablica 6.2.

Promenaduiine zgrade

08teeenje~L t6.L < 3 em

mala asteeenja, fine naprsline u gipsuD < 0.5 mm/m 3cm < t6.L < 6em

laka osteeenja, male vidljive pukotine u unu-D = 0.5 - Imm/m

traSnjosti zgrade

6cm < t6.L < 12em

znatna osteeenja: vidljive pukotine na fasadiD=1-2mm/m

zgrade, vrata i prozori se zaglavljuju

12em < t6.L < 20cm

velika osteeenja: veee pukotine, okviri zaD=2-3 mm/m

prozore i vrata se uvijaju

t6.L> 20em

osteeenja vrlo velika, zgrada postaje opasnaD> 3mm/m

i mora se rekonstruisati


85.••...•

E.§.

ro'-'.~E 3'"'

<2(l)

Q

100 150 200

Duzina [m]

Slika 6.2. Zavisnosti osteeenja od horizontalnedeformacije i du:iine zgrade

6.1.4. Poljska: U ovoj zemlji sa velikim prakticnim iskustvom i kontinuitetom u proueavanju otkopavanja ispod gradova i raznovrsnih objekata, pre svegau bazenu "Slask", (poljski "Sljonsk", nemaeki Slezija), osnovni kriterijumi zaStiteobjekata su dozvoljene vrednosti horizontalnih deformaeija (D), nagiba (N), poluprecnika zakrivljenosti terena (R). Objekti su podeljeni ucetiri kategorije zaStite.Za svaku kategoriju su propisane dozvoljene vrednosti deformacija, tabliea 6.3.

Dozvoljene deformacije Tablica 6.3.

Kat~-

Dozvoljene vrednosti

gOrlJa

Objekti OsteeenjaDmaxNmaxRmin[mm/m]

[mm/m][km]Monumentalne zgrade, ga-

stete neznatne; naI sovodi, rezervoari za voduzidovima male1.52.520i slieni vazni objekti

pralineIzvozna okna, zel. pruge,

stete se lako otkla-II

mostovi, vodovodi, vise-njaju uz redovan3512

spratne zgrade duzine pre-

remont,

ko 20 m.IAutoputevi, zgrade sa spe-

veea osteeenja, ob- IIII

eijalnim fundiranjem, vo-jekti ne gube lla-6106dotoci

menu uz veti nad-zor i remontePrizemne zgrade, manji

stete su velike i ab-IV

potoci, sporedne prugejekti zahtevaju ve-9152

ee rekonstrukcije

6. Zastitni stubovi 177

6.1.5. SSSR: U ovoj zemljije istovremeno sa proucavanjem pomeranja potkopanog terena, istrazivano i ponaSanje potkopanih objekata, sto je omogueilo da seosteeenja detaljno prouce, a iz obimnog broja podataka odrede takvi kriterijumizaStite, koji diskretnije i kompleksnije karakterisu stanje pojedinih objekata. Utom smislu objekti su grupisanikao gradanski, industrijski ili inzenjerski. Svakaod ovih grupa ima sopstvene kriterijume zaStite koji se ne razlikuju po sustini, veepo njihovim vrednostima.

6.1.5.1. Zgrade: Dozvoljene i kriticne deformacije za ovu vrstu objekata datesu empirijski obrascima, u kojima pojedini koeficijenti blize odreduju karakteristikeuslova stanovanja i specificnosti objekata.

Dozvoljene deformacije vezane su za konstruktivnu stabilnost objekta, a kriticne za njihovo koriscenje.

Dozvoljene odreduju granicu do koje nije narusena konstruktivna stabilnost ikoriscenje objekta.

Kriticne odreduju granicu koriscenja objekta, posebno u smislu obavljanja tehnoloskih procesa u objektima industrijske namene.

Koriseenje objekata u uslovima izmedu tih granica moguce je uz stalni nadzori redovan remont. Koriscenje preko granice kritienih deforrnacija moguce je sarnouz delimienu ili potpunu rekonstrukciju na osnovu novog statiekog proraeuna. Uslueaju velike amortizovanosti objekta u tim uslovima, predvida se njihovo rusenje.

Osnovni kriterijumi su dozvoljene i kriticne vrednosti ukupnih deformacija, [b:.lDJ, [LilK].

Dozvoljena vrednost ukupnih deforrnacija je

[b:.lD] = (b:.lD]N . [Kn

a kriticna vrednost ukupnih deformacija

(6.5)

(6.6)

gde su, [b:.l]N - norrnativne vrednosti iz tablice 6.4.

Kl - koeficijent zavisan od vrste tla - tablica 6.5.

K2 - koeficijent zavisan od materijala i debljine zidova - tablica 6.6.

J{3 - koeficijent zavisan od procenta osteeenja noseeih zidova - tablica6.7. Za zidove od drveta i bondruka, K3 = 1.0.

J{4 - koeficijent zavisan od meduspratne konstrukcije- za evrste meduspratne konstrukcije od montaiuih elemenata,ili od armiranog betona, K4 = 1.2.- za drvene i sliene konstrukcije, K4 = 1.0.


K 5 - koeficijent zavisan od oblika osnove zgrade- za slozenu figuru, K5 = 0.8.- za osta!e jednostavne oblike, K5 = 1.0.- za drvene zgrade svih oblika, K5 = 1.0.

U slucaju da se ne raspolaze pouzdanim podacima na osnovu kojih bi seodredio neki od koeficijenata !{l, K2, K4, racuna se sa vrednostima Kl = !{2 =K4 = 1.0.

Ako je proizvod !{l' K2• K3• K4 • K5 2: 0.5 racuna se sa dobijenom vredlloscu,a ako je proizvod manji od 0.5, racuna se sa vrednoscu 0.5.

Prognozna vrednost ukupne deformacije nekog objekta racuna se po obrascu,

gdeje I - duzina objekta u milimetrima,

D - sracunata prognozna vrednost, (bezdimenzionalna D ,10-3),

R - sracunata prc.gnozna vrednost u metrima,

H - visina objekta u metrima,

KD, KK - koeficijenti zavisni od duzine (sirine) objekta ~ tablica 6.8.

(6.7)

Dozvoljena ili kriticna vrednost horizontalne deformacije racuna se iz normativnih vrednosti b.1, po obrascu,

[b.~[D] = 1.2. KD . I

(6.8)

gde je, [a/] vrednost ukupnih deformacija sracunatih po formulama (6.5) i (6.6)

Tablica 6.4.

Kate- Vrste objektaSpratova[b.ID][b.IK]

gorija

mmmm

Drustveni objekti posebnog znacaja, mo-1-390160

1numentalne zgrade, zgracle sa salama ve- 4-5120160

ceg raspona od 18 m. Deeije predskolske institucije, bolnice, po-

1-31101802

liklinike, skole, porodilista, pozorista, ... 4-5140180

3Stabilne zgrade, hoteli, ... 1-3130180

4-5I150 180

4Objekti. opste drustvenih usluga, pomo- 1-3140180

cne zgrade, ...

4-5170180


U tabliei 6.4 date su dozvoljene i kriticne vrednosti ukupnih deformacija zazgrade. Za ramovske konstrukcije koriste se tabliee 6.10 i 6.11 koji vazi za industrijske objekte.

Koeficijenat K1 Tabliea 6.5.

I Vrsta tia K 1Tio visoke nosivosti - stene 0.9Peskovi, gline 1.0Slabo tlo male nosivosti 1.2

Koeneijent K2 Tablica 6.6.

Zidovi od Debljina zidaI<2

materijalaem

Cigla

381.0

Cigla511.2

Blokovi401.0

Blokovi> 601.2

Drvo

-1.5

Koencijent K3 Tabliea 6.7.

Osteeenje noseCih zidova (%)

K3

Koeneijenti KD i KK Tabliea 6.8.

KDuzina (sirina) zgrade(m)

< 1515-3031-4546-50> 60

KD

1.000.750.550.550.50

KK

1.000.850.700.600.50

6.1.5.2. Industrijski objekti

Zavisno od proizvodnog proeesa i osetljivosti maSina U ovim objekima uodnosu na horizontalne deformaeije, izdvojeno je pet kategorija zaStite:

• Prva kategorija: Industrijski objekti sa hermetickim prostorijama i specijalnim proizvodnim uslovima u pogledu cistoce, temperature ivlaznosti vazduha;jednospratne zgrade sa trosmenskom proizvodnjom i slozenim kranovskim


konstrukcijama u neprekidnom rezimu rada.

• Druga kategorija: Jednospratni industrijski objekti visesmenske proizvodnje sa transportnim kranovima u uslovima srednjeg i lakog rezima rada; objekti sa proizvodnjom robe za siroku potroonjuj postrojenja PMS-a; briketirnice; metalurske imaSinske fabrike; veliki elektrotehnieki objektij izvoznitornjevi i izvozne maSine.

• Treca kategorija: Jednospratni objekti sa jednosmenskom proizvodnjom,sa kranovima nezavisnim od tehnoloskog proeesa; visesprani objekti lake konstrukcije; pomocni proizvodni objekti sa tezim i srednjirn reiimom rada, sastrozijim zahtevima u pogledu uslova rada; trafo stanice.

• Cetvrta kategorija: Jednospratni objekti bez kranskih staza, dvosmenske ilijednosmenske proizvodnje, sa transportnim uredajima epizodnog koriscenja;pomocni objekti sa stalnim prisustvom osoblja u toku jedne ili vise smena, kaosto su administrativne zgrade, laboratorije, projektantski biroij kompresorskestaniee; fabricki transporterij rudnicki vantilatori.

• Peta kategorija: Proizvodni objekti bez teskih kransko-transportnih postrajenja i manjim opterecenjima na konstruktivne elemente; pomocne zgrade sapovremenim boravkom osoblja u radnim smenama. Za objekte u kojima raderaznovrsne maSine i uredaji. Dozvoljene deformacije se odreduju posebno zazgradu, a posebno za mai3ine i uredaje. Vrednosti dozvoljenih deformacija seodreduju po stroiijem kriterijumu. Po potrebi koriste se i tablice 6.5 i 6.9.

Vrednosti dozvoljenih i kritienih horizontalnih deformacija za industrijske ob

jekte raeunaju se po obrascima;

gde je;

(DD] = [DD]N' K1 • N1

(DK] = (DK]N . K1 • Nt

K1 - koeficijent iz tabliee 6.5,

(6.9)

(6.10)

N1 - koefieijent koji karakterise stanje objekta u trenutku potkopavanja - tablice 6.9.

(DD]N, [DK]N - normativne vrednosti dozvoljenih i kriticnih deformacija na pavrsini terena,

U tablici 6.9 je koefieijentom N1 ocenjeno stanje objekta u trenutku potkopavanJa.


Tablica 6.9.

Moguce pojaveI

Dobro1.1Nema osteeenja ili su neznatna

Zadovoljava

1.0Na zidovimavertikalne pukotine do 2 mm, na stubovimahorizontalne do 0.5 mm, osteeenja oko prozora i vrataVeea ispucalost zidova, posebno na osloncima greda i

I Nc zadovoljava0.9ploca;ostecenja temelja; veea korozija velikih konstrukcija;

I

na zidovima pukotine veee od 2 mm, u stuDovima veeeod 0.5 mm; kose pukotine bez rusenja zidova

loronuo

Pukotine na noseCim zidovima praeene mestimicnim ruse-0.7

njem; kose i vertikalne pukotine na stubovima; elementicelicne konstrukcije deformisani i gube nosivost, korodira-Ii; iskoseni zidovi i konstruktivni elementi

Koeficijent N1

I Stanje objekta ~

Normativne vrednosti dozvoljenih i kriticnih deformacija na povrsini terenaracunaju se po empirijskim obrascima, koji se navode u daljem tekstu.

Dozvoljene deformacije: Za skeletne konstrukeije na temeljima samcima,ili trakastim temeljima.

[Lv][DO]N = Kv . 11

(6.11)

Za zgrade na temeljima od monolitnih armirano-betonskih ploca

100

[DV]N= ~1l\.V· 2(6.12)

gde je [Lv] - pOokazateljsumarnih deformaeija iz tabliee 6.10,

h - polu-raspon skeletne konstrukcije hale, ili ceo rasp on ako skeletna jednoj strani ima oslonac, a na drugoj je vezan za neki cvrstiobjekat,

12 - duzina temelja u obraseu 6.12.

Kriticne deformacije:

Za skeletne konstrukeije[LK]

[DK]N = I<D .11(6.13)

Za zidane konstrukcije100

[DK]N = l{D .11(6.14)

18~ 6. ZaStitni stubovi

Gde su [LK] i [100] po~lji deformacija eelog objekta ( taWiee 6.11).

U tabliei 6.10 su priJia,zane vrednosti pokazatelja dozvoljenih ukupnih deformacija objekta sa skeletnom konstrukeijom.

[LD] (mm) Tabliea 6.10.

Kate- SkeletneZidane ili

gorlJa

konstrukeijedelimicnoobjekta

(mm)skeletne

1

2520

2

4035. 3

6040

4

8060

ali ne vise od vrednosti po tab. 6.85dozvoljene deformaeije jednake

su kriticnim po formulama 6.13 i 6.14.

U tablici 6.11 su prikazane vrednosti pokazatelja kriticnih ukupnih deformacija sa skeletnom konstrukcijom.

[LK] (mm) Tabela 6.11.

Katego:ija Visina nosecih elemenata (mm)

objekta

456789 >1-4

60708090100110120

5

708090100110120130

Za zidane konstrukcije od kamena, cigle, blokova, pokrivenih armirano-betonskim plocama, manjih raspona od 18 m, normativne vrednosti dozvoIjenih [.0.lD]N

i kriticnih [L::.IK]N vrednosti deformaeija date su u tabliei6.12.

Tablica 6.12.

Kategorija [.0.1D]N[.0.lK ]N

objekta

mmmm

1-2120200

3150250

4250250

5250250

6. ZaStitni stubovi

6.1.5.3. Inzenjerski objekti

183

Dozvoljene i kriticne deformacije za ovu grupu veoma raznovrsnih inzenjerskihobjekata, date su u sledeeim tablicama:

Tabliea 6.13.

ObjekatDefor-Vrednost

maC1Ja

dozvoljenakriticna

1. Podzemni

• armirano-betonski D(70/1) . 10-3 -rezervoan

• kameni sa armirano-betonskomD(40/1) .10-3 -oblogom 2. Tornjevi

• silosi duiine do 30 m na A-Bfundamentu

N7.10-312.10-3

• vodeni tornjevi na betonskom

D3.10-35.10-3fundamentu

IN 8.10-312. 10:-3

• Tornjevi za gaSenje koksa

IN 8.10-3 -• Dimnjaci od cigle i armiranog betona do 50 m

Ntab.6.1014.10-3

preko 60-80 m

Ntab.6.1010.10-3

• radio-televizijski manji od 50 mN-7.10-3

preko 50 m

N-5.10-3

3. Elektriene• zatvorene do 400 kV

podstanice.sa sinhronim kompenzatoromDza zgrade6.10-3

bez sinhronog kompenzatora

Dza zgrade8.10-3• otvorene do 400 kV

D-7.10-3

.

N -11 .10-3

manje od 11 kV

D-10.10-3

N

-14.10-3

4. Bunkeri:• utovarni, armirano-betonskiD-. 6.10-3

~R-3km

• utovarni, eelieni

D-9.10-3

R

-2km

5. Industrijske• koksne baterije D(200/1) . 10 -3-

peCiN4.10-3 .0-

R10 km-

• Hofmanove peciD4.10-3 -

R6km -

6. Nasipi i• kameni i betonski 0-2.5. 10-3

braneR-12 km

• zemljane sa vodoslivom·6.10-3

• zemljane bez vodosliva

4.10-37. Zieare

• natezne starrice D-4.10 -3

• oslonci na. temeljima samcima

D-7.10-3

• oslonci na zajednickom

D7.10-3

temelju od ermir-betona

N12.10-3

* I - duiina ili precnikobjekta.

Tabliea 6.14.

184

Dozvoljeni nagibi dimnjaka

r Visina dimnjaka H (m)

Ndoz (mm/m)

O. Za.<ititni st1Jhovi

5 4.5 4

Koefieijent bezopasnostiza stubove dalekovoda Tabliea 6.15.

I Napon I 220 do 4001 6 do 110

I f{R = ~ I 100 I 75

Dozvoljene vrednosti deformacijaza maSine i uredaje tehnoloskog karaktera Tabliea 6.16.


maclJa

dozvoljenakriticna

1. Klipni kompresori

N4.10-36.10-32. Staze mostovskih

• poprecnoN5 .1O-il-kranova

• poduznoN6.10-3 -R

6km -3. Stazestubnih

• poprecnoR3km-kranova

• poduznoN6.10-3 -4. Staze mostovskih

• poprecnoR12 km-utovaraca

• poduznoN3.10-3 -5. Izvozne maSine

• bubanj do 5 m>N6 .1O-il8.10 'il

• bubanj preko 5 m

N4.10-36.10-36. Rudnicki ventila-

• aksijalniD-7.10 3

toriN-10.10-3

• centrifugalni

D-9.10-3

N

-12.10-3

7. Kotlovi

• vertikalni vodeniN-10 .1O-il

D

-8.10-3

• horizontalni plameni

R-2km

N

-12.10-3

8. Strugovie veliko gabaritni

duzi od 6 mN5.10-3 -

6. ZaStitni stubovi

Dozvoljene i kriticne-deformacije sanitarno-tehnickih cevovoda

185

Tablica 6.17.


maCiJa

dozvoljenakriticna

1. Gasovodi sa

It nadzemniD8.10-315.10 3

spojnicama isteIt podzemni

cvrstoce kao i ceviu peskuD2.5·10-3 -

u peskovitim glinamaD2.0.10-3-

u gliniD1.5.10-3-

2. Naftovodr sa• nadzemniD8·10 .;j15.10 '01

spojnicama isteIt podzemni

cvrstoce kao i ceviu peskuD3.10-36.10-3

u glini

D2.10-34.10-33. Toplovodi

• nadzemniD10·10-"15.10 ·3

• podzemni u kanalimaD6.10-310.10-3

u pesku

N4·10-"37.10-3D

5.10-38.10-3u glini

D3.10-35.10-3N

4.10-37.10-34. Vodovodi

• nadzemniD10.10 -315.10 -3

• podzemni u pesku

D5.10-38.10-3u glini

D4.10-36.10-3• kanali, betonski

D1.10-3-i armirano betonski

R.20 km5. Kanalizacija

• u sekcijama bezD([Kl:jjl) .10-3pritiska

N[ND]

• eelicne pod pritiskom 0

nadzemneD8.10-315.10-3

podzemne u pesku

D4.10-36.10-3podzemne u glini

D3.10-35.10-3

[KK] - dozvoljena kompenzacija spojnice,

[DD]- dozvoljeni nagib cevovoda,

I - duzina cevi.

6.1.5.4. Saobracajnice

Saobracajnice su objekti opste drustvenog i privrednog znaeaja, koji su upogledu bezbednosti eksploatacije pod kontrolom zvanienih institucija drzavneuprave. MiSljenje i saglasnost tih institucija su odlucujuCi pri dobijanju dozyoleza otkopavanje.

186 6. Za.stitni stubovi

Zbog toga se vrednosti iz tablice 6.18 koriste kao orijentacione pri razmatranjumogucnosti otkopavanja ispod saobracajnica.U konkretnim slucajevima to su posebne ekspertize sa prateCim proracunima izkojih se vidi dali se, i kako, menjaju tehnicki normativi i osnovni uslovi javnogsaobracaja.

Otkopavanje ispod ovih objekata podrazumeva stalan nadzor, ukljucujuCi iopazanje pomeranja na povrsini terena.

U tablici 6.18 date su empirijske vrednosti koeficijenta bezopasne dubineotkopavanja, koji se koristi u obrascu (6.3). Otkopavanje na manjim dubinama jernoguee sarno ako se posebnorn ekspertizom dokaze da u tom slucaju deforrnacijeneee biti veee od onih koje se javljaju pri otkopavanju lla dubini odredenoj poobrascu (6.3).

Objekat

Koeficijenti KB za saobracajnice

Kategorijaza.stite

I

Tablica 6.18.

GJIIMagistralne zeleznicke pruge vecih brzina

400I(V> 100 kmfh); mostovi, nadvoznjaci i vijadukti veceg raspona od 20 mMostovi, nadvoznjaci i vijadukti,II duzi od 20 rn, sa izuzetkom onih na 250

zeleznickim prugama Zeleznicke pruge manjih brzinaIII

(v < 100 mfh); mostovi, nadvoznjaci i150vijadukti, manjih duzina od 20 m IV

Lokalni industrijski i ~ 2: 20drudnicki koloseci

Mostovi, nadvoznjaci, vijaduktina putevima:• kontinuirane konstrukcije; I > 20 m300

V, nekontinuirane konstrukcije; I > 20 m200

Ie kontinuirane konstrukcije; I < 20 m150

I. nekontinuirane konstrukcije; I < 20 m100I VI !Autoputevi 2: 20d

VII

Tramvaji > 20d- I

6.1.5.5. Hidro-objekti


ZaStita i otkopavanje ispod hidro objekta je slozen problem, zato sto na njegovo resavanje utice objekat na povrsini, vodopropusnost krovinskog masiva i zahtev bezbednosti rada u jami.

Ako je hidro-objekat ili neka hidro-zona od opsteg interesa u smislu vodosnabdevanja, moze se javiti gubitak vode usled filtracije kroz potkopani masiv,

odnosno promena vodenog bilansa, i isusenje bunara u seoskim naseljima. Zbogpromena nagiba moze doCi do narusavanja funkcionalnosti kanala i me1ioracionihobjekata. Sve ove pojave zavise od primarnog i sekundarnog stanja krovinskogmasiva, odnosno od njihovih filtracionih karakteristika i vodopropusnosti.

U jami se menja priliv vode i rezima odvodnjavanja. Ako je vodopropusnostkrovinskog masiva ogranicena javice se sarno povecani priliv, a ako je neogranicena,moguCi su i iznenadni prodori vode u jamske prostorije.

To ukazuje da otkopavanje ispod hidro-objekta zahteva:

Ocenu ugrozenosti hidro-objekta na povrsini terena sa proracunom pomeranjai deformacija pre pocetka otkopavanja.

- Detaljan prikaz i ocenu hidrogeoloSkog stanja potkopallog krovinskog masiva.

- Ocenu potencijalne opasnosti od prodora vode u jamu kroz zonu zarusavanjai zonu ispucalosti, koje nastaju iznad otkopanog prostora u potkopanom maSlVU.

Proracun pomeranja i deformacija je osnovna terna ove knjige i detaljno jeizlozen u prethodnim poglavljima. Ocena hidrogeoloSkog stanja krovinskog masivaje predmet posebne ekspertize koju rade strucnjaci hidrogeoloske specijalnosti.Zbog toga se dalja razmatranja odnose sarno na ocenu potencijalne opasnosti odprodora vode u jamu, po kriterijumu bezopasne dubine otkopavanja, koji je empirijski odreaen istrazivanjem otkopavanja ispod hidro-objekata u rudnicima SSSR-a.

Opsti prikaz odnosa izmeau vodopropusnosti potkopanog krovinskog masivai otkopavanja prikazan je u tablici 6.19.

Bezopasna dubina otkopavanja zavisi od prisustva· vodonepropusnih glinovitih slojeva u krovinskom masivu. U tom smislu izavajaju se dYe grupe uslovaotkopavanja ispod hidro-objekata.

Prva grupa su uslovi sa prisustvom vodonepropusnih glinovitih slojeva upotkopanom krovinskom masivu, a druga bez njihovog prisustva.

Bezopasna dubina otkopavanja za obe grupe data je u tablicama 6.20 i 6.21.


Tablica 6.19.

GrupaVodopropusnost krovinskog rnasiva Uslovi otkopavanja

Vodopropusnost neogranicena, rno-

Mala dubina otkopavanja sa zarusa-I guCi iznenadni prodori vode u jarnuvanjern krovine. Velike degradacijeterena u vidu pukotina i prolorna,IiI = (15do20) . dVodopropusnost ogranicena,veca je

Otkopavanje sa zarusavanjern krovi-II

od one koja je bila u fazi razrade ine, na povrsini pukotine bez prolornalpripreme lezista

HIl == (20do30) . d

Vodopropusnost ogranicena, i ostaje

Otkopavanje sa zapunjavanjem otko-III

ista kao sto je bila i pre otkopavanja.panog prostora, ili sa zarusavanjemMasiv prakticno zadrzava primamu

na vecim dubinama

vodopropusnostHIIJ~50·d

Bezopasna dubina otkopavanja u metrimaispod hidro-objekata za usloveI grupe, akoje D ~ 2· d, ad::; 3.5 m Tablica 6.20.

dMinimalna debljina glinovitih slojeva D (rn)

2-4

5-67-89-1011-15> 15

::;1

403530302520

1.5.

605045403530

2.0

756055504540

2.5

-65605550503.0

-70656060603.5

--70707070

Bezopasna dubina otkopavaja d u metrima, zauslove II i I grupe, akoje D < 2· d, ad::; 4 m Ta.blica.6.21.

Srednja debljina peskovitih glinaca, glinovitih pescarad

glinovitih skriljaca u % od debljine potkopanog masiva

0-20

21-4041-6061-8081-100

< 1.0

6055504540

1.5

9080757060

2.0

115105958580

2.5

1251151059585

3.0

14013011510590

3.5

15014012511095

4.0

160150135120105

Pri koriscenju tablica 6.20 i 6.21 uzimaju se u obzir sarno slojevi gline i glinoviti slojevi na visini vecoj od lO·d iznad otkopanog sloja.


6.2. Odredivanje uglova sigurnosti

Uglovi sigurnosti su osnovni geometrijski pokazatelji kojima se odreduju granice zaStitnog stuba. ZaStitni stub treba da stiti objekat od deformacija kojega potencijalno najvise ugrozavaju. DozvoIjene-uslovljene vrednosti odredenihdeformacija zavise od kategorije zaStite i konstruktivnih karakteristika objekta.Znaei da vrednosti uglova sigurnosti, a posredno granice zaStitnog stuba, njegovapovrsina i ostavljene rezerve, u prvom redu zavise od vrednosti dozvoljenih deformaCIJa.

Osnovno pitanje pri tome je kako odrediti uglove sigurnosti. U dosadaSnjoj rudarskoj praksi uglovi sigurnosti se odreduju empirijski, na osnovu rezultatamerenja pomeranja potkopanog terena i opazanjima na objektima. Takav pristupje omoguCio da se prvo, lokalno za pojedine bazene instruktivno odrede vrednostiuglova sigurnosti, a zatim njihovim uopstavanjem preko evrstoce stenskog masiva,daju orijentacione vrednosti za neizueene bazene.

Taenije-pouzdanije vrednosti uglova sigurnosti su potrebne onda, kada sepostavi pitanje racionalnosti zaStitnih stub ova zbog njihove predimenzionisanostiu odnosu na ostavljenu supstancu, sto je osnovni problem pri otkopavanju nasrednjim i veCim dubinama.

Zbog toga se u daljem tekstu posebno razmatra odredivanje taenih, a posebnoodredivanje pribliznih vrednosti uglova sigurnosti.

6.2.1. Odredivanje tacnih vrednosti

Na slici 6.3 sa XD je obelezena koordinata taeke D u kojoj deformacija (nagib,krivina ili dilatacija) ima uslovljenu vrednost SD, a sa XA koordinata granice Aotkopane oblasti. Prema definiciji ugla sigurnosti je

(6.15)HA

tanJl = XD - XA

gde je Jl ma koji od uglova f32, /2 ili 82, jer deformacija vazi za opsti slueaj, biloda se radi 0 horizontalnim ili nagnutim slojevima. Takode se sa JlG oznaeavaodgovarajuci granieni ugao.

Posto se pukotine u masivu javljaju kada dilatacija dostigne odredenu vrednost Dp, na isti naCin odreduju se i uglovi pukotina.

U masivu sa horizontalnim slojevima za sve taeke vazi HA == H, pa vrednostugla sigurnostine zavisi ad polozaja taeke A. Ali kada su slojevi nagnuti, zbog

190 6. Za§titni stubovi

G

HoHA

x

~ 'Stika 6.3.

promenljivosti H A iz (6.15) sledi da se Ilgao sigllrnosti menja sa dubinom. Za razliku od granicnih uglova, koji po definiciji imaju smisla sarno pri punoj otkopanojpovrsini, uglovi sigurnosti nisu osnovni parametri procesa u masivu, pa njihovevrednosti nema smisla uslovljavati vrednoscu otkopane povrsine. Zato i primenaobrasca (6.15) ne podleze nikakvim ogranicenjima,a postupak odredivanja uglovasigurnosti isti je u svim slucajevima. Prema vrsti deformacije i padu sloja (horizontalan ili nagnut), bira se odgovarajuei obrazac (3.7), (3.10), (3.21), (3.23), (3.40)ili (3.44), na osnovu koga se u glavnim profilima po pruzanju i padu sracunajuodgovarajuce deformacije, zatim nacrtaju potrebni delovi grafika ovih funkcija igraficki odredi vrednost apscise XD, ilineposredno vrednost uglasigurnosti p. Nedostatak ove metode je sto za konstrukciju luka krive treba izracunati vrednostideformacija u veeem broju tacaka, pa zahteva obimniji racun.

Apscisa XD moze se odrediti i neposredno iz odgovarajuceg obrasca, ali numerickim putem, pa se ni na taj naCin obim racuna ne smanjuje.

Za ilustraciju racunskog postupka, iz prethodno navedenog razloga proizilazida je dovoljan samo jedan primer. Ipak, <ta bi se ukazalo na uticaj otkopanogprostora, posmatraju se dva slucaja sa razliCitim otkopanim povrsinama. Osimtoga, ovi (tacni) podaci posluzice za uporedenje sa rezultatima iz primera 6.5,sracunatih pribliznim racunskim postupkom.

Primer 6.3.

Sracunati ugao sigurnosti 62 za uslovljenu vrednost najmanjeg poluprecnikakrivine RD = 20Km. Otkopana povrsina je kvadratnog oblika, sa stranicom2a=200 m, a sloj je horizontalan; ostali podaci isti su kao u primeru 5.6.

Resenje:

Z~hvaljujuCi simetriji dovoljno je posmatrati samo jedan glavni profil; ncka jeto profil y = O. Prema (3.21) U ovom profilu je

6. ZaStitni stubovi

UoK(x) = 2"X02(x)YO(0)n

U primeru 5.6 od.redeno je Uo = 2 100mm, H =370 m i n=70 Ill, pa je

(100)Yo(O) = (1.429) = 0.847

, 2100

li..(x) = 702 0.847 X02(x) =

=_0.363[100+X (100+X) 100-x (lOO-X)]70 cp 70 + 70 cp 70

191

U prilozenoj tablici date su vrednosti funkcije X02(x) u nizu ekvidistantno

rasporedenih taeaka intervala x E [0,250], a na slid 6.4 njen grafik.

Vrednosti krivine Ko = 0.050Km-1 odgovara vrednost fUllkcije

0.050

X02(XO) = 0.363 = 0.1377

Sa grafika se vidi da je 225 < Xo < 250, a numerickim raCUllOIll dobija seXo =227.73 m. Prema (6.15) je

HtanD2 = ~TO -AA

370 = 2.897

82 = 71°.

Sracunate vrednosti deformacija (K), (D), za slucaj pod-povrsinecx

025 .5075100125150175200225250

X02(x)

-0.411-0.385-0.307-0.178-0.0190.1260.2180.2400.2050.1450.086

K(x)

-0.149-0.140-0.111-0.064-0.0070.0460.0790.0870.0750,0520.031

D(x)

-16.20-15.20-12.10-7.00-0.7594.988.619.478.095.703.39

~---

~OO. .200 ~o

Pod-povrsina, 2a=200 m

Slika 6.4.


Prema (1.21) dilatacijaje proporcionalna krivini. Racunajuci sa Po = 1300mm,njena vrednost u profilu y = 0 je

poV2i 1300V21TD(x) = _ X02(x)Yo(0) = '7(\ O.847X02(x) = 39.43X02(x)

Uprilozenoj tablici navode se i vrednosti dilatacije; aIm je Dp = 10mmfmvrednost pri kojoj se na povrsini javIjajupukotine, vidi se da pri datim uslovimane treba ocekivati njihovu pojavu.

Primer 6.4.

Sracunati

a) ugao sigurnosti 62 za usIovljenu vrednost najmanjeg poluprecnika krivineRD=20 Km,

b) ugao pukotina 63, ako one nastaju pri vrednosti dilatacije Dp=10 nun/m

za sIoj iz prethodnog primera, uz pretpostavku daje otkopana puna povrsina.

Resenje:

Uslov da povrsina bude puna je prema (2.1)

~ (~) = 1

RacunajuCi sa tacnoscu od tri decimale, posto je n=70 m, dobija se

a = 1=250 m. U glavnom profilu y = 0 pod ovim uslovima je Yo(O) = 1.

a)2100

K(x) = 702 X02(x) =

= -0 429 [250 + x (250 + x) 250 - x (250 - x)]. 70 ep 70 + 70 ep 70

grafik funkcije prikazan je na slici 6.5, au prilozenoj tablici navode se vrednostiX02(x), kao i vrednosti krivine K(x) za pojedine tacke intervala x E [250,400].Posto se numerickim putem sracuna XD = 386.31m, prema (6.15) je

370tan 62 = nnA n< n~",,=2.714

6'}= 69.80


UporedujuCi vrednost 02 = nO, vidi se da razlika nije velika, sto navodi nazakljucak da se i u tom slucaju bez veee greilkemogu koristiti uglovi sigurnostiodredeni za punu povrsinu.

b) RacunajuCi sa Po=1300 mm, dilatacija u profilu y = 0 je

1300v'2i.X (x) = 46.55Xo2(x)D(x) = 70 02 .

pri cemu se u prilozenoj tablici navode i vrednsoti ove funkcije.

Sracunate vrednosti deformacija (]{), (D),zaslucaj pune povrsine

x

250275300325350375400

X02(x)

00.1340.22150.2410.2050.1450.086

]{(x)00.0570.0950.1030.0880.0620.037

D(x)

06.2210.2811.219.566.734.01

~.300 Xp Xo 400 500

Puna povrsina, 2a=500 m

Slika. 6.5.

VrednsotD(xp )=10 mm/m javlja se u tacki sa apscisom xp=345.3 m, pa jeprema (6.15)

370 = 3.88tan 03 = 345.3 _ 250

03 = 75.56°.


6.2.2. Priblizan naNn racunanja

U prognoznim proraeunima obieno se ne traii neka izuzetna, vec "tehnieka"taenost, koja zadovoljava praktiene potrebe, uz primenu sto jednostavnijeg raeunskog postupka. Priblizan naein odredivanja vrednosti uglova sigurnosti zasnivase na primeniobrazaca (3.8), (3.11), (3.22), (3.25), (3.41) i (3.44) za odredivanjemaksimalnih deformacija. Posto se one javljaju pri punoj otkopanoj povrsini,greska koja se Ciniprimenom ovog postupka biee zanemarljiva ako je uslov ispunjen,ili ako otkopana povrsina ne odstupa znatnije od pune.

Pri veeem odstupanju, sraeunate vrednosti uglova SigllrIlOsti manje su odtacnih, pa se njihovim koriseenjem povecava sigurnosti objekta koji se stiti. Alipoveeava se ; povrsina zaStitnog stuba, a sa njom i kolieina ostavljene supstance.Povrsina stuba raste sa dubinom, tako da se pri otkopavanju na srednjim i veeimdubinama javlja problem njegove racionalnosti i predimenzionisanosti. U takvimsIueajevima treba taenim postupkom· odrediti pouzdanije vrednosti uglova sigurnosti. Priblizan raeunski postupak, koji se izlaze u daljem tekstu podesan je zaodredivanje orijentacionih vrednosti uglova sigurnosti. One se koriste za projektna

resenja i tehnieko-eko".omske ocene u vezi otkopavanja ili o~tavljanja supstance uzaStitnom stubu.

Posto je postupak za odredivanje uglova sigurnosti isti u svim slueajevima, udaljem tekstu koristi se za najvecu deformaciju oznaka 3M, a moze se odnositi na

ma koju od veliCina NM,I<M ili DM. Ove vrednosti, kao i polozaj taeke M (s1.6.3), odreduju se pomocu obrazaca (3.8), (3.11), (3.22), (3.25), (3.41) ili (3.44).Podrazumeva se da je dozvoljena deformaciija 3D < 3M, jer je u suprotnomslucaju dubina otkopavanja bezopasna, pa ugao sigurnosti gubi smisao. Pod ovimuslovom taeka D, u kojoj deformacija ima vt:ednost 3D, lezi izmedu graniene taekeG i taeke M. Polozaj taeke G odreden je granicnim uglom J.tG, pa su poznateobe katete GM i M MI = 3M pravouglog trougla GM MI' lz slicnosti trouglovaGMMI i GDDI sledi

GD= 3D GM3M

(6.16)

pa se tako, Iinearnom interpolacijom, odreduje polozaj taeke D, a zatim pomocu

(6.15) i ugao sigurnosti fl..

IzIozeni raeunski postupak vrlo je jednostavau, sto se vidi iz sledeCih primera.

Primer 6.5.


Odrediti pribliinu vrednost

a.. ugla.sigurnosti 62 za dozvoljenu vrednost poluprecnika krivine Rv=!20 Km,

b. ugla pukotina 63 za dilataciju Dp = 10 mm/m,

koristeci odgovarajuce podatke iz primera 6.4.

Resenje:

a. Koriste se podaci iz primera 6.4: n = 70 m, Uo=2100 mm, If =370 m i2 UG 10

f= 2.76 KN/cm . Odnosu Uo = 2100 odgovara prema (2.3) r = 2.59i prema (5.10)

a 6 = ) If f + 2 = )3702.76 + 2 = 2.04t n 300 r 300 2.59

H = 370 m

A

Slika. 6.6.

pa je (s1. 6.6):370

Ai G = H cot 6 = 2.04 = 181m

Najveea vrednost krivine, prema (3.22) je

Uo 1

f{M = 0.242~ = O.104Km-n

pri cemu je

AiM = n= 70m,

196

a dozvoljena krivina

Prema (6.16) je

6. ZaStitni stubovi

1 -1KD = RD = O.05Km

GD = KD GM = 0.05 (181-70) = 53mKM 0.104

Rastojanje

XD - XA = AID =AIG -GD = 181- 53 = 128m

pa Je

370 = 2.89tan 02 = 128 02 = 70.9°.

b. 1 u ovom slucaju koriste se podaci iz primera 6.4, ali je Uo = 3900 mm,cemu odgovara prema (5.5) Po = 1300 mm, a prema (2.3) T = 2.80 i

tan 01 = )370 . 2.76 + 2300 ~ -_. = 1.89

tako da je,370

A1G = 1.89 = 196m

Prema (3.41) najveca deformacijaje

PoDM = 0.606- = 1l.25mmjmn "

na rastojanjuAIM=n=70m

Dalji racun isti je kao u prvom delu ovog primera:

GD - Pp G·1\1- ~(196 - ~O\ - 112- GM - 11.25 ~ () - m

XD - XA = AID = 196-112 = 84m

370. ... °tan 013 = 84 = 4.40 1 <53= 77.2 .

6. ZaStitni stubovi

6.3. Konstruisanje zaStitnih stubova

197

Konstruisanje zaStitnih stub ova biee prikazano na primerima reprezentativnihobjekata, kao sto su okna u rudarstvu, ili zgrade i saobraeajnice u gradevinarstvu.

Granice zaStitnog stuba na situacionom planu rudnika odreduju se pomoeuuglova sigurnosti (02,132,72), na vertikalnim presecima po padu i pruzanju sloja,pri eemu je za veee dubine merodavna bezopasna dubina otkopavanja.

Zbog poveeane sigurnosti i moguCih gresaka pri odredivanju uglova sigurnosti(±50), ostavlja se oko objekta na povrsini terena zona sigurnosti, zavisno odvaznosti objekta i kategorije zaStite.

Kategorija zaStite

Zona sigurnosti (m)

I20

II15

III=10

IV=5

Granice zaStitnog stuba za vodotoke konstruisu se pomocu uglova najveCihpukotina, koji su odredeni taekama maksimalnih izduzenja na krivi deformacija.

Praksa je pokazala da pukotine nastaju pri deformacijama veCimod 10 mm/m.

Ako su povlatne naslage neposredno na povrsini terena prekrivene nanosima,kroz ove nanose stub se konstruise pomocu ugla 'P. Vredllost ovog ugla zavisi oddebljine i vlaznosti nanosa.

Debljina nanosaUgao 'P

IIINanos suvNanos vlazan

< 4050u45uI

40 do 60550500I

> 6060°55°!

Primeri koji slede ilustruju sarno postupak konstruisanja zaStitnih stubova,pa su zbog toga uzeti jednostavni uslovi zaleganja sloja.

Zavisno od objekta i uslova zaleganja, u praksi se javljaju i slozeniji slucajevi,koji se svaki za sebe posebno resavaju, ali princip konstruisanja stuba ostaje isti.

Primer 6.6: Zastitni stub okna

U ovom primeru prikazano je .konstruisanje zaStitnog stuba sarno za okno,kada su potrebna dva vertikalna preseka. Jedan po pruzanju drugi po padusloja. U praksi je eesCi slueaj da se zajedno sa oknom stite i ostali prateci ob-


jekti rudnickog dvorista. U tom sIucaju stiti Be povrsina koja nije kruznog oblika,pa se stub konstruise kao za plato zgrade, kako je prikazano u primeru 6.7.

Presek 2 - 2

F,,-;t1!110I\

!I

/!

....•

I....•

~(j)rn(j)•..

t:4

;,~62=70·

~,~--~I~

!0-1

I

__. J

Slika 6.7. - Konstrukcija. zaStitnog stuba. za. okno

02"70'1/\

I----1

,

PrimE!.' 6.1. ZasW.r:ri~tul; zgradc

U ovom prirneru prikazano je konstruisanje zaStitnog stuba za zgradu. Osnovazgrade moze biti proizvoljr:.o orijentisana U odnosu na zaleganje sloja, pa se zbog

toga njen oblik trausformise simetricno U odnosu na pruzanje i pad sloja. Kod~1agnu.tog sioja poirebna Sll G.vapresd.a po pruzanju, jede.u na gornjoj, drugr naclonjC} granici koji se stiti. U tom slucaju. sloj je presecen na razliCitim dubinama,pa je oblik stub trapeznog oblika.


Presek 2 - 2; 3 - 3

.-<

I 6°=67°I

0=67=(\ 2.-<

2I

~

311 f'1:3

CI)

rnCI)•...p.,

o

Slika 6.8. - Konstrukcija zastitnog stuba. za zgradu

Primer 6.8.

U ovom primeru prikazano je konstruisanje zaStitnog sLuba za magistralniobjekat. Uzduzna osa objekta zavisno od njegove trase, moze zaklapati proizvoljniugao u odnosu na pravac pruzanja sloja, tako da je nekada pogodnije umestovertikalnih preseka po pruzanju i padu sloja, raditi presek upravno na uzduznuosu objekta. U tom slucaju uglove sigurnosti koji su dati u pravcu pada sloja,

(132, J2),treba redukovati na uglove u nekom proizvoljnom pravcu, (132, 12)' pokome se rade vertikalni preseci.


Redukovarije se vrsi po sledeCim obrascima,

cot f3~= /cot2/32 . cos2 ()+ cot2 b . sin2 (J

cot I~= Vcot212 . cos2 ()+ cot2 b . sin2 () (6.17)

U kojima su:

(32, 12 -uglovi sigurnosti u pravcu pada sIoja,

/3~, I~-ugIovi sigurnosti u nekom proizvoljnom pravcu, koji sa pravcem pru

zanja sloja zaklapa ostar ugao 0,

D2-ugao sigurnosti u pravcu pruzanja sIoja.

Umesto odredivanja granice crtanjem proizvoIjno orijentisanih vertikalnih pre

seka, kojih u odredenim situacijama maze biti i veci broj, karakteristiene taeke

stuba mogu se odrediti pomocu ordinata p i q upravr'~h na poduznu osu objekta.

Ordinate q i p, raeunaju se po obrascima;

H cot fJ'q=-----1 + cot /3' . cas B . tan a

H cot I'p=------1 - cot {3' . cas () . tan a (6.18)

gde je H dub in a od neke taeke na granici sigurnosti pojasa oko objekta, do sloja.

Konstrukcija stuba prikazana je na slici 6.9.

b2 = 65°

/32 = 45°

72 = 77°

()= 80°

I Po --~JUgao I obrascima nomogramu,

/3~ I 63°.8 i 6?~ iT~ I 65°.2 ! 6~

Siika E.L. - Zastitni strrb za magistraIni objekat


Redukovani uglovi (/3~,,~), mogu se odrediti i pomocu nomograma na slici6.10.

Ugao izmedu ose objekta i pruZanja slojaB

Serna nomograma

Iz nomograma

o

dato 6

data 6

/3' = 49°50'

900850

800

Primer:

dato: /3= 40°

6 = 85°

f) = 450 .

600

700

"$,fl

G.o

500 .Q,~~e

J::1.~(I)

o~

:::;

data f)

/3

data /3

data, ,"

~~

p.~~~

.~ ~9;.\~r~ ~~.~ ¢

.•••0b~~~?~

~~~\<:n..-/

/3;,

f)

Slika 6.10.

202 6. Zastitni stubovi

U(x) = J J F(x,x,H,z)dxdz=

6.4. Otkopavanje zaStitnih stubova

6.4.1. Opsti prist up

Mogucnost i nacin otkopavanja zaStitnih stubova zavisi neposredno od profilaktickih mera koje se primenjuju radi smanjenja defarmacija, taka da one budunajmanje stetne za objekte, a u svakom slucaju ostanu u granicama dozvoljenihvrednosti za odredenu kategoriju zaStite. Profilaktika obuhvata niz razlicitih oblasti, pocevsi od izbora otkopne metode, preko dopunskih konstruktivnih mera naobjektima, do regionalnog planiranja i izbora lokacija za nove objekte na eksploatacionim poljima rudnika. U ovom potpoglavlju razmatra se mogucnost delimicnezaStite objekta izborom naCina otkopavanja koji smanjuje uticaj stetnih defarmaCIJa.

Pri tome treba imati u vidu da su funkcije pomeranja, kako je to pokazano upoglavlju 1, integraE po oblasti w koja se otkopava. Ako se ova oblast podeli naproizvoljan naCin na proizvoljan broj n podoblasti Wi.

n

W = UWii=1

pri cemu su po svojoj prirodi podeblasti disjunktne, biee prema (1.11), na primer,uleganje

w

n n

= LJJ F(x,x,H,z)dxdz = :?=Ui(X)i=l Wi ~ 1=1

pa krajnja vrednost U{ x) uleganja ostaje ista, ma kakva bila podela otkopaneoblasti. Istj zakljucak vazi i za horizentalna pomeranja i, prema definicijama

(1.1), (1.2) i (1.4.), za deformacije.

Paste krajnje vrednosti pre svega zavise od uzajamnog polozaja objekta iotkopanog prostora, ovim~odnosima posveeen je sledeei ode!jak.

6.4.2. Uzajanlni polozaj objekta i otkopanog prostora

Na slici 6.11, prikazane su zone uticaja horizontalnih deformacija na povrsini

potkopanog tereue..Posto su u pogiavlju 3 i dodatku I proucene krive pomeranja ideformacija, kac i pol.)iaj i vednOE:tinjihovih ekstremuma, detaljnije objaSnjenjer;ijc poLrebno.


Ako se objekat nalazi izna.d otkopanog prostora (zona 1), pri bilo kakvojorijentaciji izlozen je pritisku, jer su u ovoj zoni horizontalne deformacije negativne.Objekti koji leze na frontalnim stranama periferijskog dela ulegnuca (zone 2 i 3),u jednom pravcllSu zategnuti, a.u drugom pritisnuti, posto u ovim zonama glavnedilataeije imajusuprotan znak. Najzad, na ugaonim delovima periferije ulegnuca(zona 4), dilata'Cija je pozitivna, pa je objekat, aka se nalazi u ovoj zoni, izlozenistezanju.

. ,i J 3 I" >

4 Xx" I <_+-----,> 1 ",/'4"" I + I x".~..."...-01•,i, I_"-_~

2 ~ ~I t<+++-7 . 1 f-+++->

1 - 1 2---"-1 "'" 1------

l'\'x xl' I + 1 I\x x)l4 "xl( i •.-+-~ i x><'" 4

< "'3 t I~ ~I 1

Slika 6.11. - Uticaj horizontalnih deformacija zavisno od mesta iorijentacije objekata. U odnosu na otkopani prostor

Iz (1.17) sledi da na povrsini potkopanog terena postoje sliene zone utieajakrivine. Medutim, za tehnieku praksu uglavnom nije bitno da Ii je krivina konveksna Hi konkavna, pa podela na ovakve zone nema znaeaja. Sliean je slueaj isa nagibom; njegov znak se obieno ne navodi. Zato se pri proucavanju utieajapolozaja objekta u odnosu na otkopani prostor,kod ovih vrsta deformacija, posmatra sarno njihova apsolutna vrednost na odgovarajucem mestu. Na slid 6.12prikazane su izolinije glavnih vrednosti pomeranja i deformacija na povrsini terena,

G_G----G----G_+0- __ ' -+0 +0

(~-"c-o=:._:-)N~a... OTKOPANI . ."

~ PROSTOR· .)l -0--0--0I·' IL__li__ P_N __ ? __ " __ I

+0 +0--- +0

G~G G G_G

G - granica uticaja

P - horizontalna pomeranja

± D - horizontalne deformacije

N - nagib

~lika. 6.12. - Izolinije glavnih vrednosti pomeranja i deformacija

Slike 6.11 i 6.12 odnose se na masiv sa horizontalnim slojevima. Sliean raspored zona, odnosno izolinija, javlja se i kada su slojevi nagnuti, stirn sto se tadanarusava simetrija u manjoj ili vecoj meri, zavisno od pada sloja.

204 6.ZaStitni stubovi

Uzajamni poIozaj obj€kta i otkopanog prostora ima odIucujuii uticaj na naCinotkop<'tvanja zaStitnih stuDova, jer izbor metode zavisi od toga da Ii je vrednostkrajnje deformacije man.jjaill veea od dozvoIjene.

Otkopavanjem zaStitnih stubova u pojedinom zamljama dobijena su odredenapraviIa, od kojih su neka prikazana u tablicama 6.22 i 6.23 kao nemacko i sovjetskoiskustvo.

ObjaSnjenje simbola uz tablicu 6.23:

D - progozne horizontalne deformacije,

Ddoz. - dozvoljene vrednost.i horizontalnih deformacija,

d" - delimicna debljina sloja koja se ot.kopava,

d - puna debljina sloja,

dE - efektivna debijina sloja, odllosno preostala supljina posle zapunjavanja,

dp - debljina otkopanog pojasa u jednom sloju,

I - sirina stuba,

L - sirina komore, otkopanog prostora,

[K] - suma krivina na dnu hidro-objekta od otkopavanja svih slojeva,

K1 - krivina na dnu objekta od otkopavanja najviiieg sloja usiovijena bezopasnom dubinom.

i:..:>oQ'

0>

N~,;:to~::;.

~r=0"'

~.

Tabliea 6.2f1,~~~-Faktori koji

Oet'ormacije i

utitu na vrstumesto objrekta U odnosu Konstruktivne

Vrsta

Stetnedeformacijena otkopani prostorProfilaktikamere

deformaeijadeformaeijePolobj uNapredo- na objektu

odnosu navanjeNajmanjeNajvece-

ulegnuce

otkopavanja -L-Izduzenja

- za betonperifernopremaiznadoko sredine1. Kombinovano otkopavanje od ol1jekta1. Fundiranje na arm. - bet.

(±D)0.2 mm/mili ugaonoobjektugran iCeperifernogi prema objektu llZ uslov kompenzaci-temeljima.

- za eiglu

otkopavadela je deformacija. 2. Izolacioni klizni kontakti objek-

1 mm/m

nja2. Otkopavanje uskih Zona izvan objekta.ta sa tlom.

3. Polozaj i orijentacija objekta tangen-

3. Deformacione spojniiee.

cijalno u odnosu na otkopani prostor.

4. Konstruktivna podela objekta

na manje blokove.Skracenja

-za betonsrednjaod objektaiznadna sredini pri1. Kao gore pod" 1" 1. Isto kao pri izduzenju.

(-D)1.5 mm/mzonaka periferijigranieeotkopanoj2. Zapunjavanje otkopa. 2. Plitko fundiranje.

-za ciglu

otkopanog i sredinepod-povrAini3. Polozaj i orijentaeija u praveu pruza-3. Ojaeani podrumski zidovi.

2 mm/m

prostora otkopanognja.

prostora

4. Neotkopavanje ispod objekta.

Krivina

Rsrednjaod objektasredinane. sredini1. Kao gore pod" 1" 1. Povecana konstruktivna stabil-

konveksna

od 2 kmzonaka periferijiotkopanogpri otkopanoj2. Simetricno otkopavanje od periferijenost objekta.

(+R)do 500 m prost orapod-povrsinika eentru. 2. Oslonjene na 1, 2, 3 oslonea.

3. Polozaj i orijentacija objekta tangen-

3. Popustljiva konstrukcija objekta

cijalno na otkopani prostor.

4. Mala povrAina osnove.

Krivina

Rsrednjaod objektasredinana sredini1. Kao gore pod" 1" 1. Isto kao konveksne krivine.

konkavna

od 2 kmzonaka periferijiotkopanogpri otkopanoj2. Zapunjavanje otkopanog prostora.2. Ojaeane meduspratne i krovne

(-K)do 500 m prostorapod-povrsini3. Polozaj i orijentacija objekta u prav-konstrukeije.

eu pruzanj a.Nagib

- putevina svakomsvakona sredinina granici1. Simetricno otkopavanje od sredine1. Vece rastojanje od susednih

(±N)1:100mestuotkopavanjeotkopanogotkopanogobjekta ka periferiji. objekta.

zgrade

srednjeu zoniprost oraprost ora2. Nagnutost objekta oko duze ose-2. Ispravljanje objekta postupei-

2 mm/m

zoneutieaja tangencijalni polozaj u odnosu nama speeijalno,g gradevinarstva.--otkopani prostor.

Tab/ica 6.23

~ Koeficijent Koeficijent smanjenja lMetoda Uslovi iskoriscenja deformacija po Karakteristika

otkop.=n;. leil". p'."~ p.d. dij.go~ potkup.nihob;ek.t. .'nalno-------I 1 I· 2 I 3 I 4 I 5 =:J-------------

"---'--H < 250 mj a < 300Etapnobez promenePojedinacne zgrade i objekti ogranicenih

D -- <1.5-0.3-razmera sa jasno izrazenorn poduznom

Ddoz s/.6.15-aos om po padu sloja (± 100)

Dva otkopa kojise udaljavaju

kao gorebez promene-0.3-kao gore

sI.6.15-b Sa smaknutim otkopima

kao gore, sarno sa poduznom osom dija-

u istom pravcu

kao gorebez promene--0.5gonalno prema pruzanju sloja

sl.6.15-c Parnim hodnicima

H < 350 mj a < 300 kao gore" sarno sa poduznom osom poD ' --- ~ 1.5

0.9-1.0-0.30.3padu ili dijagonalnoDdoz sl.6.15-d

L=(1.5 - 2.0)'1Kratkim frontovima po

H > 150 mj a < 300 Pruge, cevovodi i slicni objekti orijenti-D pruzanju sa razmakom

-- ~ 2.50.9-1.00.3-0.5--sani u pravcu otkopavanja po pruzanju

Ddoz ne manjim ad 0.5 H sl.6.15-e- za zgrade d' =

d • Vdoz

Objekti ogranicenih razmera i hidro-Delimicno otkopavanje

Dd'd'

pune debljine d sloja

- za hidro-objekte ddoz-----objektid

d

iz tablica 6.20, 6.21.Sa zapunjavanjem

dE ~ d' Naseljena mesta, fabrike, industrijski

otkopanog prost ora

uz ekonomsku opravdanost0.9-1.00.1-0.5objekti, hidro-objekti

l>.:>o0)

0)

Ng;,:;:t...•.l::l.....CJ:l

a-<:r

~.

I 1 I 2 131 4 ~ 5 I

Komorno sa H > 100 m; a < 30°i

Vazni objekti, manjih razmera, kada se

zapunjavanjem

kada druge mere nisu moguee0.5-0.7manje od 0.1druge mere ne mogu primeniti; potkopa-1::::L < 10 m

vanje terena sa visokim nivoom podzem-nih vodaDelimieno otkopavanje

a> ak, d 1< 3.0 m Objekat se nalazi nad podinskimLstrmih slojeva

L=30 - 50 m--0.1 i manjedelom lezistaL+I6. 16-a

0.5 L < 1 < L

Delimieno otkopavanje

150 ~ H ~ 500; a ~ 30° Objekti za koje treba smanjiti deforma-blago nagnutih

d < 2.5 m; jedan sloj0.6-0.70.05-0.40cije za 2.5 putaLslojeva

L=30 do 100 m;--L+Isl.6.16-b

1=(0.3 do 0.7)' LPo semama koje isklju-

a < 300, vise slojeva, za Objekti kod kojih je Ddoz ~ 3' 10 -3;

cuju puno sumiranja is-

hidro-objekte najvisene menja se0.3-0.5hidro-objekti

toznacnih deformacija

tri sloj a, uz uslov,sl.6.16-c

[K] > K1

Otkopavenje vise slojeva

od jednog sloja, D~ DdozDeformacije nisu veee odObjekti, .kod kojih se posledice odsa vremenskim razma-

za vise slojeva korak otko-ne menja sevrednosti pri otkopavanjupotkopavanja mogu potpuno

kom do stiiiavanja pro-

pavanja, S=V· Tjednog sloja najveee deb -otkloniti, (zel.pruge, cevovodi

cesa od jednog sloja

V - brzina napredovanjaIjinei slieni objekti)sl.6.16-d

T - trajanje procesaPodelom ukupne

za glinovite naslage u kroviniSmanjene deformacije naHidro-objrkti

debljine sloja (d),

veee od 2' d, .svaki pojas sedo 1.0povsini nije potrebno

na pojase (dp).

otkopava po stiiiavanju opasnih

deformacija od gornjeg pojasa.dp < d'Ostavljanje neotkopanih

kada se druge mere ne mogu0Do bezopasnih vrednostiVazni zidani objekti, hidro-objektizastitnih stubova

primeniti

0>

N&l,c:..•.:=.00..•.r=r::r

~.

l'-'o-'l


6.4.3. Etapno otkopavanje

Pod etapnim otkopavanjem podrazumeva se takav prostorno-vremenski raspored otkopavanja koji omogucuje da deformacije na objektima ostanu u granicama dozvoljenih vrednosti.

Ako je krajnja vrednost deformacije u dozvoljenim granicama, podesnim naCinom otkopavanja mora se obezbediti da i trenutne vrednosti ostanu takode utim granicama. Pri punoj otkopanoj povrsini, na primer, u srednjem delu gdeje dno ulegnuca rayno, krajnje vrednosti svih vrsta deformacija jednake su nuli,ali to ne vazi i za trenutne. One rastu i dostizu svoje maksimalne vrednosti sapriblizavanjem otkopnog fronta, a zatim, sa njegovim udaljavanjem i sa vremenompotrebnim za konsolidaciju, teze nuli. Radi toga se oblast otkopavanja deli na visepod-povrsina, jer je tada najveca vrednost deformacije SE manja od odgovarajucevrednosti SM koja se javlja pri punoj povrsini. Odnos

SE

J{s = SM (6.19)

naziva se koeficijent smanjenja deformacije, pri cemu se indeks S odnosi na vrstudeformacije (KN odgovara nagibu, KK krivini, a J{D dilataciji). Podrazumeva se,svakako, da se sve pod-povrsine ne otkopavaju istovremeno, pa se ovakav postupaknaziva etapno otkopavanje. Sirina i broj etapa bira se tako da bude SE = KSSM <SD, gde je SD dozvoljena vrednost deformacije.

Etape se mogu otkopavati pojedinacno (s1. 6.14-a), ili u smaknutom poretku(s1. 6.14-c), sto daje mogucnost da se pravci glavnih dilatacija poklope sa stranamaobjekta, kada su ove pod uglom sa pravcem napredovanja fronta. Prema [83),realna vrednost koeficijenta smanjenja dilatacija pri etapnom otkopavanju mozese smanjiti do K = 0.3, (tablica 6.23).

--.-- ,j .-~ + +.

+DmImnD- r-/1/ -----·1 ~--!_- l __ t~J _!_~ L__i_Ja. b. c. d.

Slika 6.13. - Cetiri osnovne serne otkopavanja u odnosu na uslovljenedeforrnacije i polozaj objekta. Istezanje (+), skraeenje ( - ).

Kada su objekti koji se stite vrlo osetljivi, tako da je vrednost dozvoljene deformacije SD<KsSM, primenjuje se kombinovano etapno otkopavanje sa sparenimotkopima. Na primer, bez obzira na veliCinu povrsine, pri simetricnom otkopavanju od objekta ka periferiji (s1. 6.13-a), posto objekat lezi u oblasti najveceg

6. Za.stitni stubovi 209

a. o

~®W"'~a.

~

c.

b.

d.

""''''j.€4Jf~S;§ '-"~~-=-::-=-='~~~~~-::.

'::'-='-=--=;1--;- \-=~____ jl 1j:.~..~~·:·-::..~i+l·?::i~~

"-'''"-'rv ("V r-' _ rv ,-...;,-.J

~Qk*D:=::::-====: • '.' -;;-'yP!,¥"1!f{

~~~--- ----------~--=:::-~::::---==-==-==~

~\.. ' --------1 \I _..--=--------~

" .'. -CL

:1 r' ( .. ", '>1

->

->

...

...

...

~i{;.:-'-".

0.i;-~~.~:lI.:~l

'~'~~~~.::~~'.

i~~rff~~il

t¥?s;~;f~fi~1~}:

~e.

d.

c.

b.

Slika 6.14. - Serna otkopavanja Slika 6.15. - Rudarska profilaktika


uleganja, u tom mestu je vrednost nagiba jednaka nuli. Ovo vaii kada su slojeviu masivu nagnuti, s tim soo se tada otkopavanje vrsi po pruzanju (s1. 6.14-b).Prema slici 6.11, dilatacija u ovoj oblastije negativna. Simetricnlln otkopavanjemod periferije ka objektu, na protiv, u srednjem delu javljaju se pozitivne dilatacije. Posto se uticaji otkopa "susreeu", vrednosti dilatacija na ovom mestu su,zbog superpozicije, dvostruko veee od onih koje se javljaju kada postoji sarno jedanotkop. Takode se udvostrucuju i vrednosti krivina, dok se vrednosti nagiba, postosu suprotnog znaka, potiru. Kombinovanjem oba naCina simetricnog otkopavanja- od objekta ka periferiji i, istovremeno, od periferije ka objektu - postize se davrednosti svih vrsta deformacija budu male. Na slican naCin, simetricnim otkopavanjem sparenih etapa, mogu se smanjiti i vrednosti deformacija u pravcu pada,ako su slojevi u masivu nagnuti. Otkopavanje se vrsi simetricno po pruzanju,a sparene etape uzimaju se na mestu maksimalnog uleganja i na periferiji, nasuprotnoj strani glavnog profila po padu.

Primer 6.9.

Odrediti sirinu otkopa 2a pri etapnom otkopavanju horizontalnog sloja, ClJI

se podaci navode u primeru 5.6, tako da najveca vrednost DE dilatacije ne budeveea od 4.0 mm/m.

Resenje:

Posto vrednost DE zavisi od sirine 2a, postupak racunjanja mora se izvesti udva koraka.

a. Prvo treba odrediti vrednosti koeficijenta smanjenja dilatacije KD u funkcijia

odnosa b = -.n

Zahvaljujuci parIlosti funkcije

V2K Po [e<p(e) + 7]<P( 7])]Do;(x) = - n

e==a+xna-x

1f= - n

posmatraju se sarno pozitivne vrednosti x > O. Jz uslova za ekstremum

D~(x) = ~Po [(e - l)<p(e) - (1f2 - 1)<p(7])] = 0

posto je

'P(e) == exp [-!ce - T}2)] = exp (_2ax)<peT}) 2 n2

6. ZaStitni stubovi

sledi

exp (2aX) = _n2 (a_+_x_)_2n2 n2 - (a - X)2

iIi, posto se uvedu bezdimenzione promenljive a~ = t i ~ = bn n

exp(2t) = ~~- (b2 + t)2 _ 4b2t.__ ,_-1-

Kriva

y = 1_ 4b2t

211

ima horizontalnu asimptotu y = 1 i dye vertikalne tl = b2 +b > 0 i t2 = b2 - b.

Prema prirodi etapnog otkopavanja je a < n, pa je b < 1 i b2 - b < 0; ovaasimptota ideo krive levo od nje je u negativnoj oblasti. Deo krive koji uoblasti t > 0 preseca kriva y = exp(2t), kao sto se vidi sa prilozene slike,vrlo malo odstupa od vertilne asimptote tl = b2+ b, pa se sa zanemarljivomgreskom moze uzeti da je tl apscisa preseene taeke ovih krivih.

yII

t,

Slika 6.16.

y-1

t

. 4b2t

knva y = 1--b2-_--

kriva y = exp(2t)

afn 0.250.30.40.50.60.70.80.91.0

f{s0.200.270.410.550.680.780.850.910.95

Vrednosti h = b2 + b odgovara apscisa x = a + n i

( ) .j2;Po [(1)· n + 2a (n + 2a)]Dx a+n = -- lp - --lp --n n n


pa posto se u (6.1) unese ova vrednost i Dma:c = p~ posle sredivanja dobijanyese

KD = 1- (1+2;) exp [-2; (1+ ;)]

U tabeli uz sliku 6.16 sraeunate su vrednosti ovog koencijenta za pojedinea

odnose -.n

b. Sloju iz primera 5.6 odgovaraju podaci Po = 700 mm i n = 70 m, pa je

D 0 Po mmmax = .606- = 6.06 n III

i prema uslovu zadatka, na osnovu (6.19)

, 4.00B•.D =< -0- = 0.66- 6. 6

aOdnosu -=0.58 odgovaran

a = 40.6ma

a odnosu - = 0.59n

/{s = 0.65

a = 41.3m i /{s = 0.67

pa je srednja vrednost a = 41.0 m. Posto je ustvari a::; 41 m, usvaja se sirinaotkopanog prostora, 2a = 80 m.

6.4.4. Smanjenje efektivne debliine otkopavanja

U odeljku 6.4.1. pokazano je da, pri istoj vrednosti efektivno otkopane debljine, ne moze ni na kakav naCin da se utiee na krajnje vrednosti deformacijau taekama na povrsini potkopanog terena. Ako je ta vrednost, pri nekoj oduobieajenih metoda otkopavanja sa zarusavanjem krovine, veea od dozvoljene,jedino resenje je izbor takvog naeina otkopavanja, koji ee dovestido smanjenja

efektivno otkopane debljine. Tada se prema (5.4) i (5.5) smanjuju parametri Uo iPo i, proporcionalno njima, vrednosti pomeranja i deformacija.

Smanjenje efektivno otkopane debljine moze se ostvariti otkopavanjem punedebljine uz zapunjavanje otkopanog prostora, i delimienim otkopavanjem sloja.Zapunjavanjem otkopanog prostora, utiee se na vrednost koencijenta /{ u empiriskim obrascima (5.3), odnosno (5.4). Podesnim izborom vrste i naCina zasipavaoja,

mogu se znatno smanjiti vl'ednosti deformacija. Time se, formaloo raeunski, za

datak svodi na slueaj izlozen u prethodnim odeljcima, eija se rekapitulacija daje u


vidu sledeee seme (81. 6.17). Koriste se ranije uvedene oznake, tako da S oznacavama koju vrstu deformacije (nagib, krivinu ili dilataciju):

SM = Smax.abs je najveea vrednost deformacije, koja se javlja pri punoj povrsiniotkopavanja,

SK je konaena vrednost deformacije na mestu objekta, zavisi od polozaja objekta. .u odnosu na otkopani prostor,

SE = Smax.rel, je najveca vrednost deformacije pri etapnom otkopavanju,

SD je dozvoljena vrednost deformacije; zavisi od vrste i kategorije zaStite objekta.

SM'

SM < SD

Dubina otkopavanjaje bezopasna. Mozese primeniti bilokoja otkopna metoda.

SM > SD

Izracunati SE

Zapunjavanjem smanjitiefektivnu debljinu otkopavanja. Sa novim vrednostima UO, odnosno Po ponovo izracunati SM.

SE < SD

(obieno) Etapnootkopavanje

SE > SD

Kombinovano etapnootkopavanje sa sparenim otkopima

Slika 6.17.

Drugi postupak kojim se utice na vrednost efektivno otkopane debljine jedelimicno otkopavanje sloja (s1. 6.15-a i 6.15-b). Ovaj postupak zahteva nestoslozeniji racun, jer treba prethodno odrediti optimalne dimenzije i rastojanja ostavljenih stub ova, pri kojima ee vrednosti deformacija na povrsini biti u dozvoljenim granicama, a koliCina neotkopane supstance sto manja. Stubove, pri proracunu ne treba shvatiti kao noseee elemente, oni saglasno primenjenom matematickom modelu, predstavljaju sarno oblasti neotkopanog prostora. Pri proracunu se,


takode, nzimaju u obzir samo dimenzije i polozaj otkopanih oblasti i stubova,ne upustajuCi se u t.ehnologiju otkopavanja i izbor otkopne metode; ti zadaci nespadaju u problematiku koja se ovde proucava i resavaju se posebno.

Deformacije se racunaju i analiziraju u karakteristicnim vertikalnim profilimaupravnim na ostavljene stubove i otkopane oblasti izmedu njih. Ako su ovi rasporedeni po padu, posmatraju se profili po pruzanju, pa se dobijaju isti oblici kaopri otkopavanju horizontalnih siojeva (videti odeljak 1.3.1). Karakteristican profiluzima se kroz objekat koji se stiti, odnosno kroz gornju granieu zaStieene zone,pa je proracun isti kao u slucaju horizontalnih slojeva koji leze na odgovarajuCimdubinama. Ali, kada su slojevi nagnuti, kriterijum zastite je u drugom slucajustroziji. Nairne, u profilu kroz gornju ivicu, zbog manje dubine, deformaeije suveee od odgovarajuCih u nizim profilima.

Ako se ostavljaju stubovi i potkopane oblasti po pruzanju, analiziraju se deformaeije u profilima po padu. Mada princip ostaje isti, racunski postupak jeslozeniji, jer se koriste komplikovalliji obrasci sa veCim brojem parametara. Dabi izlaganje bilo preglednije, u daljem tekstu posmatra se masiv sa horizolltalnimslojevima.

U praksi se, po pravilu ostavljaju stubovi istih dimenzija i sa istim medusobnim razmakom, pa ako je (sl. 6.18) 2a sirina otkopane oblasti izmedu stubova,a 2L njihovo rastojanje, delimicno uleganje, koje je poslediea otkopavanja samojedne oblasti, je

Ui(Xi) = UoXo(xd,

gdeje

XO(Xi) = ~ [<p (a: Xi) + <p (a ~ Xi)]

Horizontalno pomeranje i nagib su

Px(Xi) = .j2;POX01(Xi)

UoN(Xi) = -X01(Xi)n

gdeje

(a+x.) (a-x.)X01(Xi) = I{) 7 -I{) 7krivina i dilataeija su

UoK(Xi) = 2"X02(Xi)n

../FiPoDx(Xi) = --X02(Xi)n

gdeje

6. Zastitni stubavi

X ( )_ [a+Xi (a+Xi) a-Xi (a-Xi)]02 Zi - - --<p -- + --<p --n n n n

215

Ukupna pomeranja i deformacije dabijaju se superpozicijom, pri cemu seuvodi jedinstven koordinatni sistem. Aka je to koordinatni sistem jednag adlokalnih otkopa

Xi = X

bice (s1. 6.18)Zi+l = X - 2£

paJe

Ui+l(X) = ~o[~(a - ~ +x) + ~ (a + 2~ - X)]

__ t----~-- l'--.--.i...... ::.::::::.l.~.::..::....__..~

I I --_.I-, ' ,-------- ---------I I II I I

_.-u. I I I1-1 I I II : II X ;_1: :, 1 I H

--Uj---- Ui+l

L L

Slika. 6.18.

L

Xi

L

X i.1

L

J

Uticaj susednog otkopa, sa leve strane, na uleganje u posmatranaj tacki, postase unese

Xi+l = x + 2£

Je

Ui-1(X)= ~o [~(a+~+x) +~ (a-~-x)]

itd. Na slici 6.18 prikazane su krive uleganja Ui_l(X), Ui(X) i Ui+1(X), Ako jeoblastpodeljenja na S otkapa, ukupno uleganje adredeno je zbirom

216 6. Za.stitni stubovi

s

U(x) = L Ui(X)i=l

Na sliean naCin odreduju se i ukupne vednosti horizontalnog pomeranja, nagiba, krivine i dilatacije.

Primer 6.10

Ispitati dill1tacije u taekama glavnog profila povrsine potkopanog terena, pridelimicnom otkopavanju zaStitnog stuba,ako je

1. broj otkopa neogranicen,

2. kraj otkopa ogranicen sirinom zaStitnog stuba od 400 m.

Smatra se da je ostavljen stub takvih dimenzija, da se uticaj prethodnogotkopavanja moze zanema.riti.

Poznati podaci: debljina sloja d=2.8 m, dubina H =:J70m, koeficijent cvrstocekrovinskog masiva /=2.76 kN/cm2, sirina pojedinih otkopa 2a=80 m, a ra.zdvojenisu stubovima sirine 40 m. Gubitak pri otkopavanju, ne uzimajuCi u obzir supstancuostavIjenu u stubovima, g=0.16.

Resenje:

U primeru 5.6 sa ovimpodacima izraeunato je Po = 700 mm in = 70 m, paje za jedan otkop

D.( ) = 700V2i [40 + x (40 + x) 40 - x (40 - x)]• x 70 70 <p 70 + 70 <p 70

To je parna funkcija, pa su sraeunate sarno vrednosti za x ::::0; uzeto je Po u rum,a n je u m, pa se dobija dilatacija u mm/m.

1. Posto je broj otkopa neogranieen, posmatra se bilo koji, i-ti, medu njima.Rastojanja pojedinih stubova su

2L = 2a + 40 = 120m

pa se vidi da na deformacije u nekoj taeki imaju uticaja sarno najblizi otkopi,dva sa leve i dva sa desne strane, dok je uticaj treceg praktieno zanemarljiv.


i-3 0.04--

- -----

i-22.48. 1.580.910.470.220.090.04

i-I

- 2.410.913.234.274.213.462.48

i-2.41-5.95-8.68-9.71-8.68-5.95-2.41

i+ 1

2.483.464.214.273.230.91-2.41

i+2

0.040.090.220.470.911.582.48

i+3

------0.04--

- -

D:JO.22~

~l -60 Im-40 GQ] 0 ~

Kao sto se vidi sa slike 6.19 kriva dilatacije je, u ovorn slucaju, periodicna.

tzo mm,m

Slika. 6.19

2. U ovorn slucaju postoje tri otkopa sirine 2a = 80 rn, sa cetiri stuba sirine po40 rn (sI.6.20). Koordinatni pocetak uzirna se u sredini srednjeg otkopa, pase, zahvaljuj;1(~isimetriji, posrnatraju sarno pozitivne vrednosti x ~ O.

xI 0I 20l 40I 6080100I 120140160180200

1

4.274.213.462.481.580.910.470.220.090.04-2

-9.71-8.68-5.95-2.410.913.234.274.213.4620481.583

4.273.230.91-2.41-5.95-8.68-9.71-8.68-5.95-2.410.91

L-1.17-1.24-1.58-2.34-3.46-4.54-4.97-4.25-2.400.112.49

x 220240260280300320340S-OO3804004201

-----------2

0.910.470.220.090.04------3

3.234.274.213.462.481.580.910.470.220.090.04

L4.144.744.433.552.521.580.910.470.220.090.04


-160 -120 -80 -40=T • •••••

- 400 -360 -320 -280 -240 -200

tz

b

\ ~ \F·-- t f--"\ f --; I ----- i :r\

~()+.-. ~_.";"I,Q -l-.. 3°· .•.i...t&-l-·?Q--l-!,()-;i 400 m i

I

Slika 6.20.

Nap omen a: Cilj ovoga primera je analiza dijagrama pomeranja i deformacija pridelimicnom otkopavanju. Nairne, pri dovoljnoj sirini stuba, u srednjem delu neoseea se uticaj ivicnih otkopa, pa dijagrampostaje periodiean (sl. 6.19); u ivicnimdelovima, a pri malim sirinama stuba i duz celog profila, ova pojava izostaje (sl.6.20).

Sa prakticne taeke gledista primer ima smisla sarno ako deformacije na povrsini terena ne ugrozavaju objekte zbog kojih je stub ostavljen. U pitanju su ne sarnokrajnje vrednosti koje nastaju po zavrsetku otkopavanja, nego i meduvrednostikoje se javljaju posle pojedinih faza otkopavanja. U drugom delu ovog primera,kao sto se vidi iz prilozene tablice uz sliku 6.21, u intervalu x E (-200,200) dilatacija lezi u granicama -5 < D(x) < 2.5, pa ako su najveea skraeenja i izduzenjau dozvoljenim granicama, na prvi pogled Cini se da su objekti bezbedni. Ali, nemoze se oeekivati da ee se istovremeno otkopavati sve tri oblasti; naprotiv, obieno

se to Cini sukcesivno. Iz tablice vrednosti funkcije D;(x) date na poeetku ovogprimera, vidi se da se posle otkopavanja sarno jedne od tri oblasti javljaju vrlovelika skraeenja od 9.7 mm/m, a najveea izduzenja veea su od konacnih.

Iz prethodnog teksta vidi se da ove meduvrednosti prelaze dozvoljene graniceza veCinu objekata; u tom slucaju treba traziti druge dimenzije i razmak otkopa.Tome je posveeen sledeCi primer.

Primer 6.11.

Odrediti sirinu i razmak otkopa pri delimicnom otkopavanju stuba iz pret

hodnog primera, tako da najveca dilataeija u oblasti sirine 2ao = 400 m i duzine2/ = 200 m, ne bude veca od 3 mm/m pri izduzenju i 4 mm/m pri skracenju.

Resenje:

6. Za.stitni stubovi 219

Analogno koeficijentu smanjenja deformacija pri etapnom otkopavanju, moze

se odrediti odnos DD ,gde je DD najveca deformacija koja sejavlja pri delimienomDM

otkopavanju sarno jedne oblasti, a DM je vrednost apsolutnog maksimuma, kojaBejavlja pri punoj povrsini otkopavanja. Superpozicijom se dobijaju odgovarajuCiodnosi za pojedine faze otkopavanja, kao i za konaeno stanje, i mogu se sistem-

atizovati prema bezdimenzionom parametru ~ i ~, gde su a, L i n oznake koje. n a

su koriseene u prethodnom tekstu (s1. 6.19). Veea sirina otkopa ne daje zadovo-

ljavajuee rezultate, jer su za ~ = 1, vee pri odnosu ~ = 1.46, u srednjem delun .astuba maksimumi konaenih vrednosti deformacija DK = DM; sa podacima iz ovogprimera (n = 70 m) ovim odnosima odgovaraju otkopi sirine 2a = 140 m, razdvojeni stubovima sirine oko 60 m. Dalje poveeanje sirinestubova nema smisla, jer

DKraste vrednost -DM

L/a

DK/DM

1.5=1.12

1.75=1.66

2.00=1.89

Na sliean naCin dobija se i tablica meduvrednosti deformacija na povrsiniza.stieenog terena usled otkopavanja periferijskih oblasti. Posto sirina za.stitnogstuba ne mora da bude jednaka sa sirinom za.sticenog terena, tabliene vrednostidobijene su superi)Ozicijom, uz pretpostavku da je stub nesto siri, i odnosi se nadilataciju pri izduzenju.

1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50

Sraeunate vrednosti vaze za slueaj ravanskog uleganja, kadaje u (1.19) U(y) == 1,. pa ih u ovom slucaju treba pomnoziti sa

Y(O) = C~OO)= 0.847

Prema uslovu zadatka je DD < 3 mm/m, a DM = p~ = 6.06; odnosu- nye

~: = 6.~6 = 0.495 pribliino odgovara tabliena vrednost odredena "koordi-

"a 0 25 . L 5natama - =. 1 - = 1.7 .n a


KoristeCi poznatu vrednost n = 70 m, dobija se sirina otkopa. 2a = 34 m sameausobnim razmakom 2L = 62 m, eemu odgovara sirina neotkopanih stubova2(L - a) = 28 m. Posto i meauvrednosti deformacija pri otkopavanju pojedinihoblasti, kao sto se vidi iz prilozene tablice, ne prelaze dozvoljene granice, sirinazaStitnog stub a ne mora da bude veea od 2ao = 400 m; prema tome, otkopava sesest oblasti, tako da je (s1. 6.22)

6 . 34 + 7 . 28 = 400m

Vrednosti deformacija u zaStieenoj oblaste sraeunate su u taekama koje lezenad sredinama stubova i otkopanih oblasti, a van nje II taekama na medusobnomrastojanju 2£ = 62 m, tako da se moze pratiti granica uticaja pojedinih otkopa ..Koordinatni poeetak uzet je II sredini oblasti, pa se, zahvaljujuCi simetriji, mozeposmatrati samo polovina oblasti; pored ukupnih, navode se i vrednosti dilatacijausled otkopavanja pojedinih oblasti.

otkop~x0316293124155186248310372434

1

1.370.740.300.100.02------2

1.231.781.370.740.300.100.02----3

-2.93-0.631.231,781.370.740.300.02---4

-2.93-3.99-2.93-0.631.231,781.370.300.02--5

1.23-0.63-2.93-3.99-2.93-0.631.231.370.300.02-6

1.371.781.23-0.63-2.93-3.99-2.931.231.370.300.02

L-0.65-0.94-1.73-2.63-2.93-2.000.002.931.700.330.02

-- ....,. .•...,./ ,_ •••.••.•.•-310 -248 -\185t- •••-- J j -~.----l--

fz124

,- ....,/' ", .••..•.•.

5 248 ~_"':-~_-+-

i i i ! Iii 1 1 _ ~ !

28J 34j,26 .~34.~ 28,l341 28J 34J 28J. 34~~J.-~~_400 ~ I

Slika 6.21.

7.Osteeenja na objektima i

obesteeenje vlasnika

7.1. Pojave na objektima

Osnovni podatak pri oceni osteeenja nekog objekta i obesteeenja vlasnika jevrednost amortizacije. U sirem smislu amortizovanost je posledica starenja objekta i gubitka prvobitnih kvalitativnih osobina ugradenog materijala. U uzemsmislu u uslovima potkopavanja, amortizovanost je merilo veka trajnosti objektau uslovima mehanickih i drugih osteeenja ugradenih elemenata. U sirem smislukoristi se uslovni termin prirodna amortizovanost, au uzem prinudna amortizovanost. Njihov zajednicki termin je fizicka amortizovanost.

Sadrzaj i sva izlaganja u ovoj knjizi su u granicama tehnickih nauka, pa jezbog toga razumljivo sto se stanje i step en osteeenja objekata sagledava sarno krozfizicku amortizaciju, a ne kroz vrednosnu amortizaciju, koja se shvata kao rezultatmerkantilno kalkulatorskog postupka ekonomskih strucnjaka.

Prinudna amortizacija ima delimicno povratni karakter, odnosno njena vrednost moze biti umanjena, ili eak za neke elemente potpuno smanjena. Delimicnoje povratna zato sto se njena vrednost ne moze potpuno otkloniti za neke konstruktivne elemente objekta, kao sto su na primer noseCi zidovi i temelji.

Na nepovratnost prinudne amortizacije najveCi uticaj imaju pukotine. I najmanje pukotine su direktni putevi za cirkulaciju hladnog vazduha i pojavu vlageunutar zidova, koji dovode do korozije materijala.

U praksr se vrednost fizicke amortizovanosti objekta konstatuje na osnovuvizuelnog pregleda pojedinih elemenata. Povoljna okolnost pri tome je, sto stanjespoljnih zidova realno prikazuje stanje celog objekta, tako da procentualniizllosootecenih delova zidova u odnosu na njihovu ukupnu povrsinu, odreduje step enosteeenja i vrednost prinudne amortizacije.

222 7. Ostece~ja na objektima i obesteeenje vlasnika

,Fizicka amortizovanost potkopanog objekta kao posledica prirodne i prinudne

u odnosu na vek trajanja objekta, prikazana je na dijagramu, stika 7.1.

~60

<

40

ro

..:.:::~""~ 100

40 60

t--+

Slika 7.1.

(1) - prirodna amortizovanost nepotkopanog objekta

(2) - prinudna amortizovanost

(3) - uticaj remonta

(4) - amortizovanost potkopanog objekta

(t) - smanjenje trajnosti objekta zbog prinudne amortizacije

(T) - trajnost objekta

Odredivanje prinudne amortizacije na osnovu takvih opazanja prikazano je utablici 7.1, i na primeru 7.1.

Tablica 7.1.

Amortizacija Karakterjsticne pojave% Vertikaine i kose pukotine u meduspratnim zonama, a deli-0-10

micno u stubovima, najvecim delom u vidu prslina maksi-maIne sirine do 1 mmVertikalne i kose pukotine u meduetaznim zonama, deli-10 - 20

micno u stubovima, oko 70 % do 2 mm sirine, maksima-lne do 5 mm. Duz pukotine moguce ljuskanje maitera.Vertikalne i kose pukotine u meduspratnim zonama, deIi-

20 - 30micno u stubovima, oko 70 % do 4 mm sirine, maksimaine

do 12 mm, duz pukotina ljuskanje i otpadanje maitera.Vertikaine i kose pukotine u meduspratnim zonama, deIi-> 30micno u stubovima, sirine veee od 12 mm. Otpadanje

maltera duz sirokih pukotina.

Primer 1.1.

7. Osteeenja na objektima i obestee~nj~_vlasni~1l. 223

Zadatak: Odrediti amortizovanost zidova na zgradiozidanoj ciglama., ua kojoj je opazanjemkonstantovano sledeee stanje

Opazanje:

Na prednjem i zadnjem zidu fasade i jednom bocnom .zidu, amortizovanost je 10 % ; na drugom bocnom ziduamortizovanost je 30 %

Osteeeni

ProcentualniAmortizovanostAmortizovanostdeo zida:

iznos u ukupnojosteeenog delau odnosu na

povrsini zidova u

zida uukupnu povrsinu uprocentima

procentimaprocentima

Prednji, zadnji ( 70) .10 = 7i jedan bocni

7010zid fasade

100

Drugi bocni(1~00) ·30 = 9zid fasade

3030

Ukupna amortizovanost zaokruzena na 5 % je7 + 9:: 15 %

Pri resavanju konkretnih problema u praksi moguce su dye situacije:

Prva situacija odnosi se na: prognozu stepena osteeenja i odgovore na pitanjadislokacije, ili ostavljanja objekata uz obavezan redovan remont; izradu predmerai predracuna predvidenog remonta; odnos troskova remonta i obesteeenje vlasnika,u pogledu opravdanosti investiranja i rentabilnosti otkopavanja zaStitnog stuba.

To je situacija prognoznog karaktera, koja se sagledava vezivanjem prognoznihvrednosti sracunatih deformacija na povrsini terena, sa mogucim pukotinama naobjektu, odnosno vezom ukupne deformacije ill (6.6), sa vrednoscu sirine maksimaIne pukotine cmax.

Na osnoyu obimnog statistickog materijala [71] dobijenaje veza izmedu ukupne deformacije ill i maksimalne sirine pukotina c.

Regl'esionom analizom sa jednaCinom parabolicne regresije,

Y = ao + a1X + a2X2 + ...+ akXk

gde su: Y - srednja sirina pukotina na potkopanom objektu

X - vrednost sumarnih deforma.cija,

224 7. OsteeeIlja nil objektima i ohe8teeenje vlasnika

sracunati su pomoeu polinoma Cebisova koeficijenti a, uz jednake intervale za ..11,

sa korakom interpolacije od SO m.

Za zonu skI-acenja na uiegnucu dobija se

16maxl= (0.44.· til2 + 20.4·61- 55) . 10-3

a za zonu istezanja

j8maxl = (0.58· D.12 + 36.2· b..l + 105).10-3

(7.1)

(7.2)

Graficki prikaz ovih jednaCina vidi se na slici 7.2. Isprekidani deo kriveprikazuje uticaj prirodne amortizacije veee od 20 %, koji se iskazuje u intervalu,·

o ~ b..l ~ 150 mm

100

80

~ EE60

•....•x

40a E10 20

L:---

0

100 200

Slika 7.2.

300 lil. [mm]

Sa jednaCinama (7.1), (7.2), ili pomocuodijagrama na sliei 7.2 mogu se orijentaciono odrediti vrednosti mogueih pukotina sa grubljom tehnickom tacnoseu,ali koja zadovoljava prognozne proracune.

Prognozne pojave osteeenja na gIavnim e1ementima objekta mogu se odreditipomoCu tablic€ 7.2. U njoj Sll na osnovu prirodne amorizovanosti objekta i prognozno sracullatih vrednosti sumarnih deformacija D.l, date najveee sirine pukotina6max i vidljive pojave na pojedinim elementima objekta.

Druga sitllacija se odnosi na stv::.rno stanje osteeenja u toku ili posie potkopavanja objektc., vezano za ocenn realnih iznosa obesteeenja vlasnika. Ova drugasituacija nije primarna U ovom razmatranju, jer se resava opazanjem stanja 00

jekta, uporedenjem sa nultim sta.njem pre otkopavanja. iodredivanja naCina obestecenja vlasnika.Tc se svodi na tedovr.n zadatak u toku otkopavanja, koji Iesava posebna radna

grupn. saetavljena od meraca, gradevinskog strucnjaka i pravnika.

Ilr\,)guozua VrN!W):;1. ukl!'.lwNnjv.~ca

-dl'forJnacijt.'

AI(Illlll); sirina Ostecellja

za t>roj soratova

pukOl.lua1 - 3

45 Krovinel meduspratne.1-POliOViAmortizovanost znade

(%(mm) Fasadni i noseCi zidoVlPregradni zidovikonstrukcije Prozod i vrata

< 25

> 25< 25> 25Oma.;t Tavanice

0

000Vertikalne i kose pukotille u

Manje pukotinel do 3 mOl,Sirina pukotina do 20 mml\'lanja izvito'pere-

meduspratllim zonama deli-

na mestu spajanja sa no-po kontud tavanice na mes-nost i te:ie zatvara-

I II10-3micno iu stubovimaj vecina,seeim zidovirna.Na okatu spajanja sa zidovlma. IIje na oko 15 %

30106020

do 70 %, su do 1.5 rum sirine.10 % od ukupne povrsi-Ljuskanje i osipanje moler--

od ukupnog breja.

lie dijagonalne pukotine

aja na oko 30 % ukupne po-sirine do 3 mOl.

vrsine.

30

106020Pojave kao u prethodnom

Pojave pukotina kao u prePored pukotina po konturiManja izvitopere-

sillcaju. VeCina do 70 %, pu-

thodllom slucaju, sirine 3do 3 mm, javljaju se puko-nost iteze zatvara-I III3-6kotina su shine do 2 nun.

- 4 mm.tine na sastavima i u mal-IIje na oko 25 %60

209070Odvajanje nosecih od preg-

teru, na oko 30 % ukupne-od ukupnog broja,

radllih ziJoya 8 - 10 mm·

povrsine. Kod debljeg sloja

maltera slabijeg kvalitetamoguce otpadanje od osnove.

70

Pojave kno u prethodnomj Na sa.<.;tavll sa llosecim zi~Po kOlltUri' pukotine do 10Odvajanje od zi-Iskrivljenja, iskose-

602090

slucajll, do 70 % PUkotinajdOVimapukotinedo15mm

mm, sa odvajanjem malteradova i ispadanjeuja i teze zatvara-! IIj6-12sirine do 4 mm. Oui pukoti- Na oko 20 % ukupne poYr-

na sastavima. Kose puko-podnih letvica.nje, na oko 35 %120

80150.110

na odlamallja komada nekva· sine kose pukotine 3 - 4tine 5-6 111111. U retkim 81u~oJ ukupnog broja,

litetnog maltera. ,mm. Na pukotinama od-

cajevirna odlamanja komada,

lamallja nehalitetnogmaltera do 1 m'. Pukotine

. maltera.

na aka 80 % ukupne pavrsine.

Nen:l.anovih pukotina U od-

Stanje slicno kao u pretho·Na oko 30 % ukuplle povrsi-Odvajallje od zi-Iskrivljenja, iskose-120

8015011 nosu na prethodni slucaj okodnomslucaju. Nasastavi-lie 9a od vajanjem maltera.dova do 25 mm,IIja i tesko zatvara-I III12-1870 % su 1) - 6 mm sirine.ma pukotine do 25 mmU ostalim prostorijama puko-nje na oko 80 %150

150190170 sirine.tine sa Ijuskanjem kreeaj re-od ukupnog broja.

de odvajanje maltera.

150

170Nema novih pukotina u 0<1-

NeOla promeni'-. Sirina pu~Na oko 50 % ukupne povrili-Razarallje i ispu~Velika iskrivljenja170

190 nosu mi.prethodne sluCajeve.kolina na sastavima 25-ne velika ostecenja i otpada~pcenje poda. Odva-i tesko zatvaranjeI III18-24

Oko 70 % su 5-6 mm siri-30 mill.nje maltera.Na svim ta-janje od zidova dolIa oko 80 % od

170180220220

lie. Otpadanje maltera duivanicama pukotine do 3 mOl,5 mm,llkup"Og brojl\.

vecih pukotina.

saljuskanjem maltera i ma-

,

njim odlamanjem mattera.

220

Pojava pukotina ista kao uOstecel~jaista kao u pred-Stanje kao u ptethodnomOdvajanje poda odPojave kao u pred

170

170220prethodnilll slucajevima.hodnim slucajevima. Naslucaju. Velika otpadal1ja mal-zidova do 80 mtn.had nom slucaju.I III24-30

Oko 70 % su 6-8 111m sirine.sastavima pukotine do 50tera. Mciguca i rusenja kon-Velika razaranja i180

180240240rom sirine.

strukti,·nih elemenata.ispupcenja.

:-:s

or/l<

~8'~.III~."

o0-

~<.-t-

~.o0C1l"I<<.-t-

C1l

c",.C1l

~.C1l

<:f~~

~~Ol

226 7. Osteecnja na objektima i obeSteeenje vlasnika

Redosled resavanja pojedinih slucajeva poCinje zahtevom vlasnika za obeStecenjem. Po tom zahtevu sluzba rudarskih merenja daje miSljenje da Ii je osteeenjeobjekta posledica eksploatacije. Ako jeste, gradevinski strucnjaci utvrduju stvarnistepen osteeenja U odnosu na snimljeno nuIto stanje pre eksploatacije. Na kraju,pravna sluzba obezbeduje pravno-imovinski postupak obesteeenja.

7.2. Obesteeenje vlasnika

7.2.l.Uvodni komentar

Pravna osnova za obesteeenjem vlasnika osteeenih objekata sadrzana je unormativistici Rudarskog zakona i Zakona 0 obligacionom pravu.

Rudarski zakon u tom pogledu sadrzi samo neophodne clanove u kojima se razmatraju situacije koje nastaju u vezi dozvoIjene-nedozvoljene gradnje na ekspIoatacionom polju rudnika i sporova izmedu stetnika (rudnik) i osteeenog (vlasnik).

OdgovarajuCi cianovi Rudarskog zakona omogucuju inzenjerima da sagledajuobaveze rudnika koje se javljaju od projektovanja, preko dobijanja dozvole zaotkopavanje, do prestanka eksploatacije.

Sustina pravnog odnosa stetnik-osteeeni vidi se iz sledeceg komentara saCinjenog od delova kljucnih clanova Rudarskog zakona:

• Za izgradnju gradevinskih objekata na eksploatacionom polju rudnika, u zoniuticaja rudarskih radova, potrebna je prethodna saglasnost organa upravenadleznog za rudarstvo. Ova saglasnost se daje na osnovu prethodno pribav

ljenog misljenja organizacije koja vrsi il~ce vrSiti eksploataciju.

• Ako prema obrazlozenom misljenju rudarske organizacije moze nastati oste

ecnje gradevinskog objekta ad rudarskih radova, organ nadlezan za izdavanjeodobrenja za izgradnju gradevinskog objekta. nece izdati dozvolu za izgradnju.

• Odobrenje za izgradnju gradevinskog objekta moze se izuzetno dati i kada.prema misljenju rudarske organizacije postoji mogucnost ostecenja, ali sarnoako ne postoji opasnost; po zivot i zdravlje grad ana, i aka se investitor odrekneprava na naknadu stete koja bi nastala kao posledica rudarskih ra-dova, i akase ova njegova obaveza ubelezi u zemljiSne knjige.

• Ako na objektu Hi na delu objekta koji je izgraden bcz propisanog odobrenjanastane steta usled rudarskih radova, vlasniku ne pripada pravo na naknadu.

• Ako drustveni interes zahteva, mogu se preko eksploatacionog polj a izgradivatijavni putevi, zeljeznicke pruge, kanali, da.lekovodi, i drugi slicni objekti, ali uzostavljanje zastitnih stubova.

7. Osteeenja na objektima i obesteeenje vlasnika 227

Pre izrade investicionog programa za takve objekte investitor je duzan dapribavi miSljenje 0 najpovoljnijem polozaju tih objekata na eksploatacionompolju.Rudarska organizacija ima pravo na naknadu stvarne stete prouzrokovaneizgradnjom pomenutih objekata.

Iz ovog komentara moze se zakljuciti da po Rudarskom zakonu, rudarska organizacija odgovara za stetu nastalu rudarskim radovima po pravilima objektivneodgovornosti.

7.2.2. Procena stete

Problem zaStite zivotne sredine gde spada i zaStita objekata na eksploatacionom polju rudnika ima dva oblika, prevenciju i reparaciju.

Prevencija je ogranicena naucno-tehnickim moguenostima i iscrpljuje se tehnickim reSenjima projekta otkopavanja, koja se uslovljavaju vrednostima dozvoljenih deformacija. U tom okviru zaStita je vise tehnicki problem, koji se resavapostupno, pocev od projektovanja pa do dobijanja dozvole za otkopavanje, kojapodrazumeva i obavezu rudnika za kontrolom nastalih deformacija.

Pojava deormacija veeih od dozvoljenih i projektom uslovljenih, dovodi dotakvih oSteeenja objekata koja zahtevaju reparaciju i stvaraju odnos stetnik~osteeeni. Iz tog odnosa nastaje problem procene stete, kao osnove za obesteeenjem.Vrednost stete se iskazuje u procentima od vrednosti objekta, a neposredno zavisiod vrednosti nastalih deformacija.

U nemackojrudarskoj praksi, merodavne deformacije za takvu procenu suvrednosti nagiba; a u SSSR-u vrednosti ukupnih deformacija.

S obzirom na njihova bogata iskustva, posebno se prikazuju postupci po kojima se vrsi procena stete u tim zemljama.

7.2.2.1. Is"kustvo iz Nemaeke:

Postavljanjem funkcionalne zavisnosti izmedu vrednosti nagiba i umanjenjavrednosti objekta, dobijen je kriterijum koji nije uslovljen subjektivnom procenomvestaka.

Zavisnost izmedu nagiha i smanjene vrednosti objekta dali su arhitekte; preprvog svetskog rata Lajendeker (Leyndecker), i kasnije izmedu dva rata Venhofen(Vennhofen). To su hili vestaci Viseg suda u Hamm-u gde je resavan najveei broj

228 7. Ostee.enja na ohjektima i obesteeenje vlasnika

sporova iz oblasti Ruhr-a.

Prvo je LajendekeI odredio ovu zavisnost u vidu jedne parabolicno-progresiyne krive, da hi kasnije Venhofen predlozio linearnu zavisnost (s1. 7.3).

Lajendekerova kriva je zbog veceg umanjenja vrednosti objekta, sarezervomkoriscena u sudskim sporovima, dok se u Vestfaliji - RuJu, gde je bilo najvisesudskih sporova, kriva Venhofena pok1\zala realnijom, posebno za vrednosti nagibado 20 mm/m.

[%]

1009080

v~ 70... 100••....

60~ d"'=' 50v ..>

«ld 40v 'E':IIS00

20100

5 m ~ w ~ m ~ ~ ~ ~N [mm/m]

Slika 7,3. - Odreaivanje smanjenja vrednosti zgrade pomocu nagiba

Kao bolje resenje prihvacena je kombinacija obe krive, tako da je za nagibe

do 20 mm/m koriscena prava Venhofena, a preko 20 mm/m, kriva Lajendekera,sIika 7.4.

U toj krivama iskazanoj zavisnosti nagib karakterise stanje objekta U odredenom trenutku. Do tog trenutka objekat je prosa,o kroz kvalitetno razliCite fazepomeranja i pretrpeo razliCite uticaje koji su se odrazili na stanje njegovih konstruktivnih elemenata. Konstruktivni elementi se razlicito pOllaiiaju pri razlicitimuticajima, kao na. primerako su izlozeni pritisku ili zatezanju. Zbog toga idiskretnosH njihovog pomeranja slabi njihova medusobma veza, koj::.Jovodi do slabljenjastrukturne stabilnosti eele konstrukcije. TeSko je zbog toga prihvatit.i da je sarno

nagib kriterijum smanjenja vrednosti objekta. Ako se na nekom od noseCih ele-


20

1

30 N [mm/m]

srnanjenavredn06t

[%]30

25

Iyendecker-

.,... 10

i

201510o 2 5

Slika 7.4. - Odredivanje smanjenja vrednosti do 6/1987. g.

menata (greda , stub, ploea) pojave prsline i pukotine, onda je smanjena njegovanoseea sposobnost, i to ostaje kao trajno ostecenje. Zbog togaje kriva Lajendekerakorigovana dodatnim procentima - srafirana oblast, slika 7.3. Smatra se da pravaVenhofena obuhvata i tu vrstu ostecenja.

Relativno skorai3nji sudski sporovi sa prateCim struenim ekspertizama obogatili su postojeca saznanja i uneli vise jasnoce u ovu oblast. Teznja je da opstetehnieka regulativa omoguci postupak neposrednog rei3avanjaobesteeenja izmedustetnika i oStecenog.U toj teznji postignuta je saglasnost izmedu Udruzenja ostecenih i koncerna "Ruhrkohle" - AG, 1987. godine, 0 koriscenju modifikovanog dijagrama, prikazanogna slici 7.5, [72).

30

20

10

30 N [mm/m]

smanJenavredn05t

['t.]

40

Ir-

25

/125

20

/r

S 387porazum /

151002 5

Slika 7.5. - Odred'ivanje smanjenja vrednosti zgrade po sporazumuizmeuu Udruzenja osteeenih i rudnika, od 6/1987.

Na slid 7.6, prikazanje dijagram koji se koristi za procenu obesteeenja nastalihna nestambenim-prateCim objektima druge namene.

230 7. Osteeenja na objektima i obesteeenje vlasnika

Prakticno, kod nagiba veeih od 5 mm/m vrednost objekta se smanjuje nasvakih 3 do 4 mm/m, za 1 %, (donja i gornja kriva). Za nagibe do 5 mm/m,smanjenje vrednosti za ovu vrstu objekta se ne uvazava.

Ponovni zahtevi za obesteeenjem uvazavaju se sarno aka se .lavedodatne vrednasti nagiba veee od 2 mm/m kad stambenih zgrada, a preko 3 da 4 mm/m kodobjekata druge namene, stirn sta se ukupno unanjenje vrednosti redukuje na predhodno obesteeenu vrednost.

Moze se postaviti I?itanje procene osteeenosti industri.lskih objekata koji su osetljivi i na male nagibe ad 0.5 do 1 mm/m, pa se prikazani dijagrami ne mogukoristiti. Smatra se da suto specijalni slucajevi, koji se resavaju po posebnompostupku i Pl?sebnim ekspertizama.

o :5 10 20 30

smanJenavrednost

[0t.]

15

5

40 N [mm/m]

Slika 7.6. - Smanjenje vrednosti nestambenih zgrada, po dogovoru iz 1987. g.

Odredivanje vrednosti nagiba:

Na samom pocetku primene prikazanog nacina odredivanja smanjenja vrednosti osteeenog objekta, kao meradavna koriseena. je maksimalna vrednost nagibaterena. Kasnije, to je bila vrednost najveeeg nagiba objekta. Praksa je pokazala

da je realnije· ako se koristi srednja vrednost nagiba objekta odredena po formuli,

Ns = 0.64· Nmax

ili merenjem nagiba na fasadnim frontovima i po jednoj dijagonali zgrade, kakoje prikazano na slici 7.7. Racuna se po dijagonali koja je vezana za tacku sanajmanjim uleganjem.


B9.50mC

-21lmm( '1rwmm

Nagib

~"<: __ 1_ /

§:-I" / \

od A do B=20 mm na S.OOm (2.5 mm/m.)8.00m ,,>~<$:'I.~~ 8.00m

I ,~.

od A do C=40 mm na 12.40 m (3.2 mm/m.)\( ~1/ 3.1mmfm

od A do D=30 mm na 9.60 m (3.1 mm/m.)

:':0 • -30mmA

9.60m0

Slika 7.7.

Srednja vrednost = 8.8 : 3 = 2.93 mm/m.

Smanjena vrednost objekta je,2 mm/m= 1%

2.93 mm/m = 1.46 %

Komentar:

Opsti zakljucak je da odredivanje smanjenja vrednosti objekta pomoeu nagiba predstavlja jednostavan postupak koji je omogueio resavanje mnogih spornihslucajeva. To je jos uvek diskutabilno reoonje sa divergirajuCim miSljenjima, kojeostaje otvoreno, dok se ne nade neko drugo i bolje. Za sada je to jedino reSenjekoje se koristi pri resavanju obeSteeenja stambenih zgrada. Posebna prednost jeu lakom merenju nagiba, uz moguenost korelacije i uopstavanja iskustva iz raznihslucajeva u praksi.

7.2.2.2. Iskustvo iz SSSR-a

Sovjetsko iskustvo na· vrednosnoj proceni osteeenog objekta dato je u viduodredivanja troskova potrebnih za redovan remont u toku otkopavanja i troskovapotrebnih za sanaciju veCih osteeenja koja se ne mogu otkloniti redovnim remontom. Pod veCimostecnjima podrazumevaju se popravke zidova, temelja i ostalihnoseCih elemenata. Ovo iskustvo zasniva se na troskovima sanacije, kvalitetu gradnje i vrsti objekta, koji su karakteristicni za odredene uslove relativno skromnihstandarda gradnje, a posebno da se ne radi 0 odnosu prema privatnom, vee premadriavnom i drustvenom vlasnistvu, koji uslovno rereno karakterise "nesvojinski"odnos prema' drustvenoj svojini.

Na nomogramu (s1. 7.8) je prikazano odredivanje troskova reclovnog remontai potpune sanacije u procentima od vreclnosti objekta.

l:-:le.:l'"

AI, [mm]200

-l150

12- """(t>("..ttlllllllllllOO I~'50

~"::I'"00"'-'.0

I~..•.

.....S'"....00"(t>,,><"""('tl(h(t>1:,=.(t><r.....~

ZonaistezanjaZona

skracenja~

Za odnos uprostorijama

L: H < 2

Montazne armirano-betonskemeduspratne konstrukcije

Orijentacija zgrade uodnosu na pruzanje

Troskoviremonta

tU procentima od vrednosti zgrade

13 12 11 10

im---,II

Preostalo ostecenjekoje moze biti otklonjeno opravlwmzidova i ternelja

IZoa~

...•

l"

~

-100

~

....

...•

oOIl'

:>;""o<:l"

o'0

...•

l"<:

~oOIl'<rt

t1>

rht1>

=:;:'"

()Q...•

~""


Dijagram omogueuje da se oeene troskovi remonta za objekte prostijih islozenijih konstruktivnih karakteristika. Slozene karakteristike objekta odnose sena veee raspone, veee visine prostorija, vrstu meduspratnih konstrukeija, konfiguraciju zgrade, orijentaeiju u odnosu na pruzanje sloja i broj spratova.

Na nomogramuje prikazan primer odredivanja troskova redovnog i naknadnogremonta za vrednost ukupnih deformacija ill = 135 mm u zoni skraeenja. Vrednosttekueeg remonta iznosi 1.9 %, a preostalo osteeenje u tom slucaju je 9.4 % odvrednosti zgrade.

7.2.3. Pravne osnove naknade stetel

Rudarska organizacija odgovara za stetu koja nastaje izvodenjem rudarskihradova po pravilima 0 objektivnoj odgovornosti. IzriCitu odredbu 0 takvoj odgovornosti sadrzi recimo cl. 21. Zakona 0 rudarstvu SR Bosne i Hercegovine

(Sluzbeni list SR Bosne i Hercegovine br. 4/1984): "Rudarska i druga organizacija odgovorna je za stetu koja nastaje izvodenjem rudarskih radova, osim akose dokaze da je steta nastala usled nepredvidenog i neotklonjivog dogadaja (visasila) ili krivieom osteeenog ili treceg liea".

1. Objektivnu odgovornost ureduje Zakon 0 obligacionim odnosima (Sluzbeni list SFRJ hr. 29/1978) pod naslovom "Odgovornost za stetu od opasne stvariili opasne delatnosti" (cl. 173-177). U pravnoj teoriji se objektivna odgovornostza prouzrokovanu stetu, kao jedna vrsta gradansko-pravne odgovornosti, odredujekao odgovornost koja ne poCiva na krivici odgovornog liea, nego pociva na einjenieiprouzrokovanja stete od opasne stvari Hi opasne aktivnosti. Zbog toga se ovavrsta odgovornol)ti naziva i odgovornost bez kriviee, jer je postojanje skrivljenogpostupka stetnika irelevantna, ili kauzalna odgovornost, jer je za nastanak obavezena naknadu stete dovoljno da se utvrdi da stet a potiee od opasne stvari ili opasnedelatnosti.2

BuduCi da Zakon 0 obligaeionim odnosima nije odredio pojam opasne stvari iopasne delatnosti, ostavljeno je sudskoj praksi i pravnoj teoriji da se pozabave timzadatkom. Njihovim zajednickim naporom doslo se do definicije prema kojoj sepod opasnom stvari podrazumeva svaka stvar koja po svojoj nameni, osobinama,mestu i naCinu upotrebe predstavlja povecanu opasnost nastanka stete za okolinu,pa je otuda treba nadzirati sa povecanom paznjom. SHeno opasnoj stvari, jedna

lOVO poglavlje je napisano uz pornoe Dr.Marije DraSkie, docent a Pravnog fakulteta

u Beogradu.

2Tako, Z. Bordevie - V. Stankovie: Obligaciollo pravc, opsti deo, Beograd, 1974, str.

359; M. Vedris - P. Klarie: Osnove irnovinskog prava, Zagreb, 1983, str. 418.


delatnost predstavlja poveeanu opasnost kada u njenom redovnom toku, vec posamoj njenoj tehniekoj prirodi i naCinu obavljanja mogu biti ugrozeni zivoti izdravlje ljudi ili imovine, tako da to ugrozavanje iziskuje poveeanju paznju lieakoja vrse takvu delatnost, kao i Hca koja sa njom dolaze u dodir.3 Imajuei uvidu ovakvu definiciju opasne delatnosti, moglo bi se sa sigurnoscu potvrditi da irudarska delatnost predstavlja nesumljivo opasnn delatnost.4

Po pravilima 0 objektivnoj odgovornosti odgovara vlasnik ili drZalac opasnestvari, odnosno nosilae opasne delatnosti.5 On se moze osloboditi odgovornostiukoliko dokaze jednu od sledeeih Cinjenica:

L da stet a potice od nekog uzroka koji se nalazio izvan stvari, a eije se delovanjenije moglo predvideti, niti izbeCi ili otkloniti, sto znaCi da se steta dogodilavisom silom;

a) da je steta nastala iskljuCivo radnjom osteeenog;

b) da je steta nastala iskljuCivo radnjom treceg lica.6

2. Odredivanje naknade stete regulisano je, takode, Zakonom 0 obligacionimodnosima. Naknada stete, pritom, moze biti dosudena kroz obavezu odgovornogliea da uspostavi stanje koje je bilo pre nego sto je steta nastala, ili kao naknadau noveu. U na8em pravu postoji pravilo 0 obaveznosti restitucije, sto znaCi da sestet a obavezno i prvenstveno popravlja kroz uspostavljanje ranijeg stanja.7

U sudskoj praksi posebno se pojavio problem oko odredivanja naknade zazemljista koja su raznim radnjama osteeena do te mere da se vise ne mogu daupotrebljavaju za svoju namenu. Faktieki se radi 0 takvim osteeenjima zemljiStakoja mogu da se uporede sa propadanjem stvari. Medutim 0 unistenju zemljista nemoze da se govori zbog toga sto nezavisno od prirode i obima osteeenja ono i daljepostoji, ali bez odgovarajuee upotrebne vrednosti. Kako do ovakvih osteeenja

3M. Konstantinovie: Skica za Zakonik 0 obligaciouim ugovorima, Beograd, 1969,

c1. 136; S. Jaksie: Obligaciono pravo, Sarajevo, 1962, str. 254; D. Kostie: Pojam

opasne stvari, Beograd, 1975, str. 129; Naeelni stay sednice sudija udruzenog rada

SR Hrvatske, Privreda i pravo, hr. 6/1981, str. 65.4U pravnoj literaturi navodi se da opasnu delatnost predstavlja "miniranje u rudniku".

Videti: M. Vedris -Po Klarie: op. cit, str. 419.5C1.174. Zakona 0 obligacionim odnosima.6C1. 174. Zakona 0 obligcionim odnosima.7Videti <':1. 185. Zakona 0 obligacionim odnosima.. Doduse, ovo pravilo ublazeno je

kroz nekoliko izuzetaka. Tako, kad sud oeeni da nije nuzno da odgovorna osoba izvrsi

restituciju, Hi kada to nije moguee, naknada ee se izvrsiti isplaCivanjem u noveu (Cl.

185. st. 3). Takod"e, sud ee dosuditi naknadu stete u noveu kada osteeeni to zahteva,

izuzev kada okolnosti datog slueaja opravdavaju uspostavljanje ranijeg stanja (c. 185.

st. 4).


zemljista dolazi i usled rudarskih radova, a putem analogije moze se resavati iproblem osteeenja na zgradama koje se nalaze na zemlji, interesantno je stanovistekoje je zauzeto u sudskoj praksi. Prema nacelnom stavu br. 1/89 koji je zauzetna 40. Zajednickoj sednici Saveznog suda, republickih i pokrajinskih vrhovnihsudova i Vrhovnog vojnog suda, od 23. i 24. maja 1989. godine, "prilikomodlucivanja 0 naknadi stete za oiiteeeno zemljiiite na kome postoji pravo svojine,sud ee uvek, kadaje to u skladu sa opstim interesom odrediti uspostavljanje ranijeg stanja, pa i kacla troskovi uspostavljanja ranijeg stanja premaiiuju trzisnu cenuzemljista. Ako, ipak, uspostavljanje ranijeg stanja nije moguee, ili to prema okolnostima konkretnog slucaja ne zahteva drustveni interes, osteeenom ee se dosuditinaknada u novcu u iznosu kojim ee osteeeni moei da nabavi drugo odgovarajueezemljiste. To bi bila triisna cena osteeenog zemljiSta; Medutim, u toku postupkaza odredivanje naknade stete stranke mogu da se sporazumeju da stetnik preuzmeosteeeno zemljiSte.Ako ne clode do sporazuma, odnosno osteeeni se ne saglasi da stetnik ima ovakvopravo na zemljiste, tada se iznos odredene naknade smanjuje za preostalu trzisnuvrednost osteeenog zemljista. Ovakav nacin odredivanja naknade stete nalazipotkrepu u pravilima prava na obesteeenje (odstetno pravo) da osteeeni ne mozeda izvlaCi korist, odnosno da dobije potpunu naknadu i da zadrzi zemijiste kojepo pravilu ima nekakvu vrednost samim svojim postojanjem.8

3. Najzad Zakon 0 obligacionim odnosima uveo je po prvi put u naii pravnisistem i odgovornost za opasnost od stete, kao jedan od najznacajnijih instrumenata za zaiititu covekove sredine.9 Ova vrsta odgovornosti nastala je kao reakcijana narusavanje sredine imisionim dejstvom koja ostavljaju ne sarno nenadoknadiveposledice na covekovu sredinu, vee je i uz nesrazmerna ulaganja nemogue povraeaju predaiinje stanje. Zbog toga se pokazuje opravdanim pruianje zaiitite u samomzacetku ili u toku nastanka imisije.

Zakon predvida da svako moze zahtevati od drugoga da otkloni izvor opasnostiod koga preti znatnija steta njemu ili neodredenom broju lica, kao i da se uzdrii oddelatnosti od koje proizilazi uznemirenje ili opasnost od stete. Pritom, oblici imisijese odreduju na najsiri naCin, kao pravni standardi "opasnosti", "pretnje znatnijestete" i "uznemiravanje". Ako se nastanak uznemiravanja ili stete ne maze spreCitiodgovarajuCim merama, sud ee, na zahtev zainteresovanog lica, narediti da se preduzmu odgovarajuee mere za sprecavanje nastanka stete Hiuznemiravanja, ili da seotkloni izvor opasnosti na trosak drzaoca izvora opasnosti aka ovaj to sam ne uCini.Stavise, ne tolerise se ni ona imisija.kojaje zasnovana na dozvoljenoj opstekorisnojdelatnosti za koju je dobijena dozvola nadleznog organa, vee se i u tom slucajumoze zahtevati naknada iitete koja prelazi normalne granice. Naravno, pitanje je

8Sudska praksa, br. 7/1990, str. 7-8.9C1. 156. Zakona 0 obligacionim odnosima.


koja je grani~a tolerantna, odnosno koji je obim stete koji zbog savremenih razlikai njihove rasprostranjenosti treba da snoai osteeeno lice. Prema audskoj. praksi, naprimer, "pod stet om koja prelazi normalne gran ice i za koju odgovara stetnik drustveno pravno lice koje obavlja opstekorisnu dozvoljenu delatnost koja je izvorprouzrokovanja te stete, podrazumevaju se takve stetne posledice (uznemiravanjeili gubitak u imovini) koje prelaze okvire koji su uobicajeni i tolerantni u savremenoj urbanoj sredini sa svim stetnim imisijama koje pojedinac mora da prihvatizivljenjem u takvoj sredini.10

lOResenje Vrhovnog suda BiB GZZ. 111/80 od 24. aprila 1980, Zbirka sudskih odluka,

knjiga 5, sveska 2, odluka br. 132.

I.Dodatak

I. 1. Neki pojmovi i definicije teorije raspodele

1.1.1. 1{erovatnoca

Ishod mnogih pojava ne dovodi do unapred odredenog rezultata; posto se nemoze predvideti, u takvim slucajevima (za razliku od deterministickog) govori seo slucajnom ishodu.

Ako se neki dogadaj pod odredenim uslovima moze ponavljati proizvoljnomnogo puta, kaZe se da ima statisticku homogenost. Neka je n broj izvrsenihposmatranja, a n skup svih ishoda ovih posmatranja; sa wEn oznacavaju sepojedini rezultati (elementarni dogadaji). Pored toga sa n(A) oznacava se brojrealizacija nekog dogadaja A C n tokom ovih posmatranja. OCigledno·vazi 0 :5

n(A) :5 n i n(n) = n. Mnogobrojni eksperimenti pokazuju da odnos

P(A) = n(A)n (I.l)

kada n -;. 00 tezi odredenoj vrednosti, koja se zove verovatnoea dogadaja A. Izizlozenog proizilaze sledeea svojstva verovatnoee

nenegativnost:normiranost:

P(a) ~ 0

p(n) = 1

Ako su dogadaji A C niB c n disjunktni, biee

n(A U B) = n(A) + n(B),

kada je n(A n B)= n(0) = O.

238 1. Dodatak

Ovaj rezultat moze se indukcijom prosiriti na proizvoljan konacan broj Ie

disjunktnih skupova Ai C 0, Ai nAi = 0 kada je i =P j, pa vazi

,D (tAi) = tp(A)1/1(1.2)

Aditivnost verovatnoce L~P(Ai) ne treba shvatiti tako da se dogadaji A1,

A2, ..• , Ak desavaju istovremeno; llaprotiv to je verovatnoca da se realizuje samojedan od njih: ili Al, ili A2, •.• ili Ak.

Primer:

50 jednakih listiea obe1ezeno je na poledini i to

20 slovom A

15 slovom B10 slovom C5 slovom D

Jedan listie okreee se nasumice.

Posto je n(A) = 20, n(B) = 15, n(C) = 10, n(D) = 5 i n = 50, verovatnoeada okrenuti listie bude obelezen slovom A je prema (I1)

P(A) = n(A) _ 20n - 50 = 0.40

Na isti nacin dobija se

P(B) = 0.30, P(C) = 0.20, P(D) = 0.10.

A verovatnoea da na listieu bude ili slovo A ili slovo B, prema (I2) je

P(A+ B) = P(A) + P(B) = 0.70

Ako je poznato da je realizovan dogadaj A C n, za neki drugi dogadaj B C 0uvodi se uslovna verovatnoca P( BIA). To je verovatnoca dogadaja B pod uslovomkoji sigurno dovodi do realizacije dogadaja A. Prema definiciji (I.1) je

P(AIB) = n(A nB) n(A nB)n(A) = _n..n(A)

n

_ p(AnB).P(A) ,

P(A) > 0

1. Dodatak 239

. Specijalno, ako su dogadaji A i B nezavisni, P(BIA) = P(B), paje verovatnoc&da oha nastupe istovremeno

P(AB) = P(A)P(B)

I ovo pravilo maZe se indukcijom proSiriti na proizvoljan konacan broj nezavisnih dogadaja

k

P(A) = IIP(A;)i=1

(1.3)

U prethodnom primeru verovatnoca da se istovremeno okrenu dva listica odkojih je jedan obelezen sa A, a drugi sa B je prema tome

P(AB) = P(A)P(B) = 0.12

1.1.2. Slucajna promenljiva

Svaki dogadaj wEn moze se dovesti u vezu sa nekim brojem X(w) = x E~;ako su uz to verovatnoce X(w) za razne vrednosti wnormirane

I:P; = 1

velicina.X zove se slucajna promenljiva, a opsti clan redal: Pi ,zakon verovatnoceslucajne promenljive X.

Na primer pri bacanju dva novCica, moguCi su sledeCi slucajevi (P-pismo,G-grb):

GG, GP, PC, PP

Ako se sa X oznaCi brojpojavljivanja pisma u jednom bacanju, moguce suvrednosti {O, 1, 2}, a odgovarajuce verovatnoce su

PI = P(X = 0) = !4P2 = P(X = 1) = ~4

Pa = P(X = 2) = !4pa je l:~ Pi ::= 1. Verovatnoea da ce se vrednost slucajne promenljive X naCi uintervalu (al:, an) bice, na osnovu svojstva aditivnosti

P(ak<X < an)=P(ak<X < a",+d+P(ak+l <X < ak+2)+ ... +P(an-l <X < an)

24Q 1. Dodatak

a ako je slueajna promenljiva neprekidna

b

P( a < X < b) = J p( x )dxa

gde je p( x) za.kon verovatnoce (gustina) neprekidne slucajne promenljive. Pri tomemora da bude

b

J p(x)dx = 1a

Neka je S skup svih vrednosti slucajne promenljive X(w) i xES nekiproizvoljno izabran broj, verovatnoca da bude X(w) < X

P(X < X) = PX(x)

zove se raspodela verovatnoce slucajne promenljive X.

I. 1.3. Binomna raspodela

Komplementarni podskup GA podskupa A C 0 predstavlja dogadaj suprotandogadaju A. Na primer prilikom bacanja sarno jednog novCica moguci ishod je Hipismo A = Pili grb GA = G. Nekaje 0 = {A,GA}; zbog disjunktnosti dogadajaAi CA bice

peA) + P(GA) = p+q = 1

Ako se n puta ponovljen postupak shvat~ kao jedna celina , skup moguCihishoda On je Dekartov proizvod

°n=OxOx···xO

nputa

Pri bacanju novCica je na primer

O2::: {GG, GP, PG, PP}

03 = {GGG, GGP, GPG, PGG, GPP, PGP, PPG, PPP}

Moze se opet na sHean naCin kao u prethodnom primeru uvesti slucajnapromenljiva Xn sa skupom mogucih vrednosti {O,1,2, ... ,n}; indukcijom se maZe

1. Dodatak 241

lako pokazati da u On ima (~) elemenata koji odgovaraju vrednosti Xn = k,paPoSto odgovarajuci element = wE On sadrzi k dogadaja Ai n - k dogadaja GA,verovatnoca je

Pk = P(Xn = k) = (~)pkqn-k,k = 0,1,2, ..., n (1.4)

pri tome jen

LP(Xn = k) = (p+qt = 1k=O

Ovakav zakon verovatnoce naziva se binomna raspodela.

Ako je n veliki broj (podrazumeva se da to vazi takode za k i razliku n - k),

moze se primeniti Stirlingov obrazac

n! - nne-n."j21rn

paJe

_ (n) k n-k _ n! k ~-k I_e-1I (1.5)Pk - k P q - k!(n - k)!P q ."j21rnpq

gdeje

_II (np) ~ ( ) !!.::!±!.e =_ nq 2

,k n-k

Posle smene k = np+ x."jnpq

imajuCi u vidu da je zbog p + q = 1

n - k = nq - x."jnpq

bice prema (1,6)

(1.6)

1 ( qx) 1· ( px )lJ = (np+ x."jnpq +-)In 1+-- +(nq - x."jnpq +-2)In 1- ."j, 2 ."jnpq . npq

Posle razvijanja u red

In(1 + t) = 1 - t +t2 - t3 + ...

In(l - t) = -1 - t - t2 - t3 - •••

. "'h I bl'k const k'" 1 .1zanemarlvanJa SVl canova 0 1 a (yn)m' U OJlma]e m 2: , ostaJe sarno

1lJ = __ x2

2

242

pa je prema (1.5)

1. Dodatak

1 1Pk = ~exP(--2x2)1rnpq

Najzad (navodi se bez dokaza), vazi

PX(x) = Hm P(np- xJnpq < k < np+ xVnpq) =n ....•oo

_ 1 jX 1- V2i exp(-'2t2)dt = (x)-x

gde jex

(x) = _2_ j 1Vii exp( -'2t2)dto

1.1.4. Normalna raspodela

(1.7)

Ako slueajna promenljiva X moze neprekidno da uzima sve vrednosti od -00do 00 po zakonu verovatnoce

1 1 2)f(x) = '.O(x) = Viiexp(-'2x (1.8)

njena raspodela je (Gausova) normalna.

Posto je exp( _~x2) > 0, grafik funkcije <pC x) je (s1. I.1) iznad X -ase, a zbogparnosti, simetrieanje u odnosu na Y-osu. Iz izvoda

'.O/(X) = - ~exP(-~x2) = -x<p(x)

sledi da '.o(x) monotono raste u intervalu (-00,0), a opada kada je x > 0; maksi

mumje '.0(0) = .~ = 0.3989, a prevojne taeke '.0(-1) = '.0(1) = ~= 0.2420.v~· v2n

- y=ip(x)

---- y='.O'(x)=-x'.O(x)

-4 -3 -2 -1

0.4

y

Slika. 1.1.

4 x

I. Dodatak 243

Sa slike 1.1 vidi Be da je X -Dsa horizontalna asimptota grafika, a iz tab lice u priloguI vidi Be da funkcija <p(x) opada vrlo brzo, tako da Be vec za Ixl > 4, sa greskommanjom od 10-4, moze smatrati da je jednaka nuli.

Da bi predstavljala zakon verovatnoce, pored vec utvrdenog uslova nenegativnosti: <p(x) 2: 0 za svako x, ova funkcija mora da ispuni i drugi uslov - normiranost

00

J <p(x)dx= 1-00

Dokaz ee biti dat kasnije (1.1.5. Laplasov integral). Posto je

b b a

P( a < x < b) = J <p(x )dx = J <p(x )dx - J <p(x )dx = O(b) - O(a)a -00 -00

paJe:II

O(x) = J <p(t)dt-00

funkcija normalne raspodele. Ako su granice simetricne

a a

P(-a<X < a)= J <p(x)dx = 2J <p(x)dx-a 0

podesnije je umesto O( x) koristiti neparnu funkciju (1.7)

:II

2 J 1~(x) = to.::. . exp( - -t2)dtV 211" 2o

(1.9)

(1.10)

PoSto je ~(x) i granicna vrednost niza Pk(X) (1.7), binomna raspodela sazakonom verovatnoce (1.4) tezi normalnoj kada n -+- 00.

y

Y=-\

y=l

x

Slika 1.2.

-'44 1. Dodatak

Na slid 1.2 prikazanje grafik funkcije <P(x). OCiglednoje

<P'(x) = 2<p(x) (I. 11)

pa, posto je <p(x) > 0, (x) je monotono rastuca funkcija sa prevojnom taekom<P(O) = O. Prava y = 1 je horizontalna asimptota grafika, jer je

N N N

J <p(x)dx = J 2<p(x)dx = J '(x)dx = (N) - <1>(0) = (N)-N 0 0

a iz (1.9) sledi daje limN--+coip(N) = 1. Zbog neparnosti je takode i <p(-00) = -1,pa grafik lezi izmedu horizontalnih asimptota y = -1 i y = 1. Kriva vrlo brzo tezijedinid, pa se sa greskom manjom od 10-4 moze uzeti da je za x > 4, <p(x) = 1.To se vidi i iz tablice u prilogu II sa vrednostima ove funkcije.

Pored funkcija O(x) i <p(x) moze se u tablicama specijalnih funkcija ili ufunkcijskim potprogramima savremenih racunara nati i funkcija

:c

erfx- 2 J-,ffi exp( -t2)dto

posto je erf ~ = <p(x), ova funkcija moze posluziti za uleganja, ali pri racunanju

nagiba ili krivine treba imati u vidu da izvod d~ (erfx) nije funkcija <p(x) (1.8).

I. 1.5. Laplasov integral

y

Slika 1.3.

x

Neka je oblast (Kr) cetvrtina kruga, poluprecnitka r sa centrom u koordinatnom

poeetku 0(0,0), slika 1.3, (K2) kvadrat ogranicen koordinatnim osama, pravom x =r i pravom y = r i (K3) cetvrtina krugapoluprecnika rV2, koncentricnog sa (Kr).

Za dvostruke integrale funkcija e-(x2+y2) vazi ocigledno nejednakost

Jf exp[-(x2 + y2)]dxdy < J J exp[-(x2 + y2)]dxdy < J J exp[-(x2 + y2)Jd:edyK1 K2 K3

1. Dodatak 245

Posto se u prvi integraluvedu polarne koordinate x = peos tp i y = psin tp,

dobija se

i r

JJ exp[-(x2 + y2)]dxdy = J J exp( _p2)pdp = i[l- exp( _r2)]K) 0 0

Na isti naCin dobija se

J J exp[-(x2 + y2)]dxdy = i[l- exp( _2r2)]K3

a za oblast (I<2) vazi

r r (r )2J J exp[ -( x2 + y2)]dxdy = J exp( -x2)dx . J exp(_y2)dy = J exp( -t2)dtK2 0 0 0

pa se nejednakost dovodi na oblik

i[l - exp(-.-']) < (lexP( -")dt)' < ifl - exp(-2.-')]

Odavde se, kada r - 00, dobija Laplasov integral

00

J exp( -t2)dt = Vio 2

Ovaj rezultat moze se koristiti i za odredivanje vrednosti nekih opstijih integrala. Uvodenjem smene ax = t izracunava se

00 00

Jexp(-a2x2)dx = !Jexp(-t2)dt = Via 2ao 0

Speeijalno za a2 = ~dobija se

00

J exp( _~x2)dx = .j2;o 2

(1.12)

246 I. Dodatak

a zbog parnosti funkcije exp(- ~X2) je

00

j exp( -~x2)dx = .,j2;-00

Cimeje dokazano tvrdenje (1.9).

SmatrajuCi a E ~ za konstantu, integral

00

I(b) = j exp( _a2 x2) cos bxdxo

predstavlja funkciju parametra b. Posto je

Iexp( _a2x2) cos bxl $ exp( _a2x2)

iz (1.12) sledi da je

I(b) $ ~, a =/:0

pa integral I(b) konvergira uniformno za sve vrednosti b E ~ i postoji izvod

00 00

d~~) = _ j[exp(-a2x2)sinbx]xdx = 2~2 j sinbxd[exp(-a2x2)]o 0

Posle parcijalne integracije dobija se diferencijalna jednaCina

dI(b) _ --.!!..-.I(b)"db - 2a2

Cijeje opste resenje

( b2)I(b)=Cexp -4a2

Posto je 1(0) = C, prema (1.12) integraciona konstanta je C = V1i, pa je2a

definitivno00

jexp(-a2x2)coSbxdx= Vi exp(_~)2a 4a2o

(1.13)

I. Dodatak

1.2. Krive pomeranja i deformacija za masivsa horizontalnim slojevima

1.2.1. Osnovni obrasci

Vrednost uleganja potkopanog terena je (1.19)

U(x,y) = UoXo(x)Yo(y)

247

gde su

Xo(x) = ~ [~ (a: x) +~ (a: x)]

1 [ (' + y) (' - y)]Yo(y) = 2 ~ -;- +~ --;-

takozvane jedinicne krive, koje se izvode iz krive normalne raspodele (1.7). Naziv"jedinicne krive"..ukazuje na njihovu ogranicenost Xo(x) ::; 1 i Yo(y) ::; 1, stoje oCigledno, posto je i ~(t) ::; 1. Zato se duz profila paralelnih sa koordinatnimosama oblik krive uleganja ne menja; na primer duz profila Y = Yi paralelnih x-osi,

menja se sarno faktor Yo(Y), Cija je vrednost u posmatranom profilu stalna. Priispitivanju krivih uleganja i deformacija maZe se, prema tome, posmatrati slucajravanskog uleganja, odnosno deformacija, u profilu u kome je Yo(y) = 1. Tada jeuleganje (1.13).

U(x) = UoXo(x)

.Nagib u tacki definise se kao izvod uleganja

UoN(x) = -X01(x)n

gde je

(a+x) (a-x)XOl(x) = lP _. n- -lP -n-

248

Zbog veze (I.17)

1. Dodatak

Px(x) = CN(x)

i horizontalno pomeranje Px (x) izrazava se pomocu funkcije verovatnoce (1.8) ",(x):

Px(x) = y'2;POX01(x)

gdeje

y'2;Po = CUOn

najzad, POSt.Oje

",'(x) = -X"'(X)

prema definieiji (3.12), krivina u t.acki sa apeisom xje

I«x) = U~X02(X)n

gde je

[a+x (a+x) a-x (a-x)]X02(x)= - --n-"'-n- + -n-"'-n-a zbog veze (1.17) je diIataeija

Dx(x) = CK(x)

proporeionalna krivini.

Prethodno je vec navedeno da se sa greskom manjom od 10-4 moze racunati

da je q>(x) == 1, za x > 4. Medutim, osim u retkim slucajevima velike efektivnootkopane debljine, takva "preeiznost" nema smisla, jer znatno prevazilazi tacnost

merenja. Ako je dozvoljena greska 10-3, graniea se smanjuje sa x > 4 na x> 3.5;

ali pri prognoznim proracunima i ova tacnost je preterana. Kao sto se vidi, granieazavisi od potrebne tacnosti racunanja, pa se u daljem tekstu, da bi se obuhvatilisvi slucajevi, koristi za granicnu vrednost oznaka (T, tako da je

i zbog (1.11)<)(x) == 1,

",(x) == 0,

za x> (T

za x >(T

(1.14)

1. Dodatak

1.2.2. Pu~a povrSina otkopavanja

249

Geometrijsko znacenje parametara a i n u izrazima Xo(x), X01(x) i X02(X)

izlozeno je u poglavljima 1 i 2; ovde je dovoljno znati da ovi parametri, kao i apscisax tacke cije uleganje treba sracunati, imaju dimenziju duzine. Pri odnosu .~ = 0' U. nkoordinatnom pocetku je X(O) = <)(0') = 1, paje U(O) = Uo. dakle, parametar Uo

irna, kao i uleganje, dimenziju duzine i geornetrijski predstavlja najvecu vrednostkoju uleganje rnoze dostiCi kada je Xo(O) = <p(o') = 1 i Yo(O) = <p(o') = 1, iz

eega sledi odnos ~ 2: 0' i ~ 2: 0'. Kada su ovi uslovi ispunjeni, ostvarena je punan npovrsina otkopavanja (videti poglavlja 1. i 2., a ako je bar jedan od odnosa ~ < 0'

1 nili - < 0', bice proizvod Xo(O)Yo(O) < 1, pa je prema definiciji iz poglavlja 1, ovanoblast otkopavanja pod-povrsina.

Posto je Xo(x) parna funkcija, dovoljno je da se ispita sarno za vrednostix 2: O. Pri punoj povrsini otkopavanja je prerna (1.14)

<P(a ~ x) = <P(0' + ;) = 1,a clan

<p(a:x)

rnonotono opada, pa opada i vrednost uleganja, tako da je iznad granice otkopa,za x = a

Xo(a) = ~ [<p(2;) + <P(O)]= ~

1U(a) = 2Uo,

Za vrednosti x 2: 2a je uleganje U = 0, jer je .

Xo(2a)= ~ [<P(3~) -<p(;)] =0

Na slid 1.4 prikazana je kriva uleganja za slucaj kada je povrsina otkopavanjapuna.

U koordinatnom poeetku je nagib uvek jednak nuli; to je ocigledno, jer je

X01(O) = 0' je prema (1.14)n-

<p (a: x) = <p (0' + ;) = 0

250

paje

I. Dodatak

(a - x) .X01(X) = -<p -n-taka da kriva nagiba u intervalu 0 ::; x ::; 2a ima oblik Gausove krive (slika 1.1);zbog neparnosti funkcije X01( -x) == -XOI (x) nagib u intervalu -2a ::; x =::; 0

ima suprotan znak, a za Ixl = a ekstremne vrednosti INI = .~ . Posto Uo iy27rnn imaju dimenziju duzine, nagib .ie, kao njihov adnos, bezdimenzianalna velicina.U merackoj praksi, medutim, Uo se izrazava u milimetrima, a n u metrima, pa senagib izrazava i u (mm/m).

Posto su proporcionalne, hive horizontalnih porneranjaPx(x) i nagiba N(x), .irnaju isti ohlik, sa ekstrernnirn vrednostirna na istim rnestirna, pri remu je

Px(-a) = Po i Px(a)= -Po. Negativan znak pri vrednostirna x> 0 ukazuje daje u ovoj oblasti srner horizontalnog porneranja suprotan od orijentacije x-ose iprema tome, u profilima duz glavnih pravaca, horizontalna porneranja uvek imajusmer ka koordinatnom poeetku 0(0,0). Na slici 1.4 prikazan je i grafik funkcijeX01(x).

Funkcije krivine Kx(x) i dilatacije Dx(x) izrazavaju se pomocu parne funkcijeXoz(x), pa se njihovo ispitivanje moze ograniCiti samo na oblast X 2: o.

Pri ~ 2: (1', zbog (1.14) otpada clan a + x <p(a + x), tako da je. n n n

a-x (a-x)Xoz(x) = --n-<P -n-

a to je izvod funkcije verovatnoce <p(x), translatorno pomeren za duzinu x = a

(sUA). Posto funkcija x<p(x) irna dva ekstremuma - rnaksimum <p(1) = ~=v 27re

0.242 i minimum -<p( -1) = -0.242 - krivine i dilatacije imaju po pet ekstremuma

x Ekstremum Krivina Dilatacija,

UoPo-a-n

maksimumnZv27re

nvea+n

Uo

Po-a+nminimum

nzJ27re- nve

a

n0

0 maksimurn 0-

1. Dodatak 251

Dilatacija i nagib se dimenziono ne razlikuju, a krivina se obicno izrazava u

[Km-l], odnosno poluprecnik krivine R = ~ u kilometrima. Pri racunanju K i Rmogu se koristiti Un i n u uobicajenim jedinicama, s tim sto se prema (1.2) krivinadobija u Km-l, a prema (1.3) poluprecnik krivine u KIn.

Prema definiciji (3.35), dilatacija u tacki odredenoj apcisom x posmatranogprofila je

r.:;-PODx(x) = v21r-X02(x)n

pa se izrazava u (mm/m), a njen grafik ima isti oblik kao grafik krivine.

Primer 1.1.

Sa podacima iz primera 2.1:

a = 250 m, 1 = 300 m, n = 70 m i Uo = 2000 mm, dopunjenim sa Po = 660 mm,

posto je

XO(O) = (~) = (250) -n 70 - 1

YO(O) = (*) = (370~) = 1

pomeranja i deformacije u profilu x = 0 su :

uleganje:

Y(y) = 2000Yo(y), Yo(y) = ~ [(30~; y) + (30~~ y) ]

nagib:2000

N(y) = 7OYol(y)

horizontalno pomeranje:

Py(Y) = .,J2; ·660· YOl(y)

gde je

(300 + y) (300 - y)Y01(y) = ep 70 - ep 70

krivina:2000

K(y) =702 Y02(y)

2Q2

dilataeija:

gde je

1. Dodatak

660

Dy(Y) = ..,12; 70 Y02(y)

y; ( ) = _ [3QO + Y(300 + y)' 300 - y (300 - y)]02 Y 70 tp 70 + 70 tp 70

au profilu y = 0

uleganje:

U(x) = 2000Xo(x),

nagib:

horizontalno pomeranje:

gde je

XO(x) = ~ [~ (25~; x) + ~ (25~~ x)]

2000N(x) = -m-X01(x)

P",(x) =..,12;·660· X01(x)

(250 + x) (250 - x)X01(x)=tp 70 -tp 70

krivina:2000

K(x) = 702 X02(x)

dilataeija:660

Dx(x) =..,12; 70 X02(x)

gdeje

x ( )= _ [250 + x (250 + x) 250- x (250 - x)]02 X 70 tp \ 70 + 70 tp 70

Zahvaljujuci simetriji moze se ispitati sarno polovina x ~ 0, odnosno y ~ 0oblasti, Cime se obim racunanja smanjuje. U prilozenoj tabeli sracunate su vred

nosti funkcija'yo(y), Y01(y), Y02(y), U(y), N(y), K(y), Py(Y) i Dy(Y) u profilux = 0, u 12 ekvidistantno rasporedenih taeaka. U ovom profilu kriva uleganja

ima ravno dno, sto se vidi na slici 1.4 na kojoj su prikazani grafici funkcija Yo(y),YOl(y) i Y02(Y).

1. Dodatak 253

IYo (V)

Y01(Y)Y02(V) / U(y) K(y)IR(y)1Py(Y)Dy(Y)Broj Y N(y)taeke

m mmmm.Km-1 I Killmmmm

mm

101.000 002000

010

6976 I

a02

501.000-0.001-0.0022000-0.02 -0.0011009-1-0.06I3

100 10.998

-0.007-0.019 1996-0.19-0.008127-11-0.'16

4

150 0.984-0.040-0.08611968

-1.15-0.03528.5-66-2.035

200 0.924-0.144-0.205 1848-4.11-0.08411.9-238-4.866

2500.762-0.309-0.2211524-8.83-0.09011.1-511-5.22

I

73000.500-0.39901000-11.40000-66008

3500.238-0.3090.221476-8.830.09011.1-5115.229

4000.076-0.1440.205152-4.110.08411.9-2384.8610

4500.016-0.0400.08632-1.150.03528.5-662.0311

5000.002-0.0070.0194-0.190.008127-110.4612

5500-0.0010.0020-0.020.0011012-10.06

."" ...•... '., ----./~ ...........•..\ .•..•...••...••.~~.:-~-- \. ..••. _--

YO(Y)

YOI(Y)

Y02(y)

L=300m

tzI

Slika 104.

L =300 m

/-"i ",I _y

H=300m1U profilu Y = 0 odgovarajuce vrednosti su date u prilozenoj tabeli, ana slici

1.5 prikazani su grafici funkcija Xo(x), X01(x) i X02(x). U ovom profilu uleganje

ima apsolutni maksimum U(x) = Uo = 2000 mm same u taeki x = O.

Posto je U(O,O) = Uo = 2000 mm, a za x ::j:. 0 U(x, y) < Uo, povrsinaotkopavanja u posmatranom primeruje puna.

254 1. Dodatak

IBroj

xXo(x)X01(X)X02(X)U(X)1'1(x)K(x)IR(x)1Px(x)Dx(x)ta- I eke

m mm:m.m.Km-1Kmmm!!!.!!!.

mm

101.000 0-0.00520000-0.0025060-0.11

2500.998-0.007-0.0191984-0.19-0.008126-11-0.46

31000.984-0.040-0.0861968-1.15-0.03528.5-66

-2.0314

1500.924-0.144-0.2051848-4.11-0.08411.9-238-4.865

2000.762-0.:309-0.2211524-8.83-0.09011.1-511-5.226

2500.500-0.39901000-11.40000-66007

3000.238-0.3090.221476-8.830.090ILl-5115.228

3500.076-0.1440.205152-4.110.08411.9-2384.869

4000.016-0.0400.08632-1.150.03528.5-662.0310

4500.002-0.0070.0194-0.190.008127

-11 I 0.4611

500a-0.0010.0020-0.020.0011012-1 0.06

-'-././. ..,,~---...•....•....•./' .-"',- \ ..•.....•.

.-.::.:.:"--:--=-_._ ...•.._ ..\-~ ••.•.....•... -.'. /,r,

Z /r-·,./ '.i ",

.:::~.:..:.~~~.__ .•...-/-.....;. ..- ................••.....••....•..'........... I· ""...•--. _ .•.. "1'-_ •...'..... _/

T--x

Xo (x

X01(X)

--_. X02(x)

.,l.=250m .

!

"'~''L,~' .5!l"

H ~300 m

i.1._

Slika 1.5.

U prilozenoj tabeli sraeunate su vrednosti uleganja za. mrezu ekvidistantnorasporedenih taeaka, a na slid 1.6 prikazane su izolinije uleganja. ZahvaljujuCiosnoj sirnetriji, dovoljno je posrnatrati sarno oblast x ~ 0, y ~ O.

1. Dodatak

U(x,y) = 2000Xo(x)Yo(y)

255

Xo(x)1 I0.99J~0.9840.9240.76210.5000.2380.0760.0160.002.

Yo(y)050100150200250300350400450

1.000

02000199619681848152410004761523241.000

502000199619681848152410004761523240.998

100199619921964184415219984751523240.984

150196819641936181815009844681503140.924

20018481844181817081408924440140304

0.762250152415211500140811617q2363116243

0.500300100099898492476250023876162

0.23835047647546844036323811336'81

0.07640015215215014011676361220

0.0164503232313024168210

0.0025004444321000

y

SOOt-56400300ZOO100

0

500x

Slib 1.6.

1.2.3. Pod-povrsina

Prethodno je vec utvrdeno daje uvek N(O) = 0, ma kakav bio odnos ~ ili !.-,n npa je nad sredistem otkopane povrsine uleganje uvek maksimalno. Ali aka je bar

jedan odnos ~ ili !.- manji od 0', bice proizvodXo(O)Yo(O)< 1, pa uleganje nijen n

apsolutni nego relativni maksimum, a vrednost U(O) = Uo (;) (*) zavisia I

od odnosa - i- j taj oclnos utiee i na poloZaj karakteristicnih taeaka. Takon nu slucaju pod-povrsine ne mora da bude U(a) = 0.5 Uo. Kada je Yo(y) == 1

256 1. Dodatak

(ravansko uleganje), pri 0.5IT < ~ < (J' vazi U( a) = 0.5 Uo, ali ako je ~ < 0.50", bice-n nU(a) < 0.5 Uo. U tom slueaju pomeraju se ulevo i minimumi nagiba ihorizontalnog

porneranja. Kao sto se vidi sa slike 1.8, osim ovih detalja, grafici krivih Xo(x) i

X01(x) ne menjaju se. Suprotno njima oblik krive X02(x) znatno je osetljiviji na

prOITlenu vrednosti odnosa ~. Pri ~ 2': 0" (81. 1.4 i 1.5) ima pet ekstremuma, odn nkojih je lokalni maksimum X02(x) = 0, a pri veCim vrednostima ~ javlja se oblastnN u okolini koordinatnog poeetka u kojoj je X02(x) == 0, x EN. Pri 1 < ~ < 0"nbroj ekstremuma se ne menja, ali je vrednost maksimuma X02(0) < 0 (sl. 1.8).

medutim ako je ~ :::;1, grafik funkcije X02(x) ima sarno tri ekstremuma od kojihnje srednji X02(O) minimum. .

Primer 1.2.

No. slici I.7, prikazani su grafici funkcija Xo(x), X01(x) i X02(x) za ovakav

odnos; koristf! se podaci 2a = 5.4 m i n = 16.75 m iz elanka [63]'

Brojx

taeke

mXo(x)

X01(x)X02(x)

1

00.128 0-0.1272

100.104-0.064-0.0693

200.064-0.0760.0264

300.026-0.0460.0565

400.006-0.0180.0356

500.002-0.0050.012

,-.---.--_..-.......... ""'" ><"~- .

-5~_L1;p -3p -zfl. -1,0_ 0, 10 •.•£0 30 -~~ •••.50---- '...,,"-- XoIX) --__ '>.....'--- XOltx) -

--- Xozlx)

Slika. 1.7.

Primer 1.3.'

x

So. podacima iz primera 5.6: a = 150 m, I = 300 m, n = 70 m, Uo = 2 100 mm

i Po = 700 mm dobijaju se iste funkcije Yo(y), Y01(Y) i Y02(Y) kao u prethodnomprimeru pune povrsine (sl. 1.4). Zato se na slici I.8 prikazuju same grafici funkcija

1. Dodatak 257

X( )=![~(150+X) <t>(150-x\l]o x 2 70 + 70 J

X (x) = (150+X) _ (150- X)01 r.p 70 r.p 70

X (X)=_[150+X (150+X) 150-x (150-X)]02 70 r.p 70 + 70 r.p 70

a u priloienoj tabeli navode se vrednosti ovih funkcija, pomeranja i deformacija u

profilu y = o.

BrojxXo(x)X01(x)X02(x)U(x)N(x)K(x)IR(x)1Px(x)Dx(x)taeke

!!!illKm-1Kmmmmm

m mmm m

100.968 0-0.17220330-0.07413.60-4.31

2500.922-0.137-0.2251936-4.11-0.096lOA-240-5.64

31000.761-0.308-0.2231598-9.24-0.09610.5-540-5.59

41500.500-0.39901050-11.97000-7000

52000,238-0.3090.221500-9.270.09510.6-5425.54

62500.076-0.1440.205160-4.320.08811.4-2535.14

73000.016-0.0400.08634-1.200.03727.1-702.16

83500.002-0.0070.0194-0.210.008123-120.48

94000-0.0010.0020-0.030.0011167-20.05

x

H=370m

/ '5=59°

",.-- ........••...•.•./ .........•.•./ "---"- ../

--..-._ ..... /.

.... ..... ....-

L= 150 m I L= 150~--- , I

"'-'-'-'-

\\\/----..... 1z:,...-" .,,--~-----,. --- , .•....-.~-~-- ".. '- .... -..•.•.~~ .....'.

-- Xo{x)

XOI(x)

_._--- X02 (x)

Slika 1.8.

258 1. Dodatak

Mada kriva uleganja u profilu x = 0 ima ravno dno, najvece uleganje

U(O, 0) = Uo(O)Yo(O) = 2100 ·0.968·1 = 2033 mm

nije apsolutni maksimum, pa je u ovom primeru ispitana pod-povrsina. U prilozenoj tabeli sracunate su vrednosti uleganja za mrezu tacaka,a pomocu ovihpedataka na slid 1.9 konstruisane su izelinije uleganja.

U(x,y) = 2100Xo(x)Yo(Y)

Yo(Y)110.9980.9840.9240.7620.5000.2380.0760.0160.002

Xo(x)

050100150200250300350400450500

0.968

020332033202920001913154910164841543340.922

501936193619321905178914759684611473140.761

1001598159815951572147712187993801212630.500

1501050105010481033970800525250801720.238

20050050049949246238125011938810.076

250160160159157147122803812300.016

3003434343331261783100.002

35044444321000

0~200200 • 300 400 500

100 ~

200

~lOO300

X

J

Slika. 1.9.

T. Dodatak

1.3. Krive pomeranja i deformacija za masivsa nagnutim slojevima

1.3.1. Uleganje

259

Osnovni obrazac za izraeunavanje uleganja povrsine terena eiji slojevi leze

pod uglom 0' sa horizontalom (1.27)

U(x, y) = UoX(x, y)Y(y)

gde je

x (x, y) = ~ [iP (P-y'=H=:=~===-=Y) + iP (P~y'=H=-:-O---t-:------y-)]

Y() 1 [iP ( b + m + Y.) iP ( __b _-_m_. - __y~ )]y> = "2 q -y'-==H=c=o=tO'==-=y + \ q y'-H-c-o-t O'---y

vazi pod uslovom H cot 0' - Y >0; ovaj uslov detaljnije je obrazlozen u poglavljima1 i 2. U bilo kom profilu po pruzanju y = Yo = const moze se staviti

UoY(yo) = U1

p = ~y'H cot 0' - Yo nl

paJe

1 [(a+x) (a-x)]X( x, Yo) ="2 iP ~ - iP ~

i kriva uleganja

U(x, Yo) = U1X(x, Yo)

260 I. Dodatak

Krive uleganja., pa prema tome i nagiba, odnosno krivine, imaju u profilimapo pruzanju isti oblik kao u masivu sa horizontalnim slojevima.

Zbog simetrije ovih krivih oCiglednoje da ee maksimalno uleganje biti u glavnom profilu x = 0, bez obzira na to da Ii su, ili ne, ispunjeni uslovi ravanskoguleganja. U taeki M(O, -m) uleganje je

U(O,-m) = Uo~ (-y=}j=c=:=ta=o:=+=m=)~ (-"';=H=C=,oq=tb=o:=+=m=)

pa su uslovi

~( pa )-1v'H cot 0: + m .-

~ ( qb ) _ 1v'Hcota+m -

dovoljni da povrsina otkopavanja bude barpllna. Oni su i potrebni,jer je

y' (y) = 'TT ~ [<p(~) - <pC1])] + -21 H t1 [~<p(~) + 1]<P( 1])]co o:-y co o:-y

(I.15)

gde je

b+m+ye = q JH cot a - y

b-m-y1] = q za y = -m je e = 1]

JHcota-y

1Y'( -m) = TT __ L _ , __ e<p(e) :ft 0

osim ako su ispunjeni uslovi (1.15). Tada je prema (I.14)

e = 'f/ = qbJH cot a + m ~ (T i <pC (T) = O.

U gornjem delu krive uleganja, iznad taeke M je y > -m, pa je

b+m+y>b

H cot a - y = H cot a + m - (y + m) < H cot a + m

taka da je

b+m+y qb >e=q . > (T

JH cot a - y J H cot 0: + m -

i prema (1.14)1

Y(y) = 2[1 + ~('f/)l

(1.16)

(1.17)

1. Dodatak 261

Posto je -m < y < H cot 0', lako je utvrditi da kriva uleganja U ovoj oblastimonotono opada.

Na isti naCin moze se zakljuCiti da je za y < -m

b- m-y qb'f}=q > >0"

VH cot 0: - Y VH cot 0' + m -

1Y(y) = 2[1 + 4>(e)]

(Ll8)

(1.19)

i da kriva uleganja u ovoj oblasti monotono raste od nule, kadaje vrednost ~ = -0",do taeke M u kojoj je e = 0" i YM = 1.

Kriva uleganja, dakle, podseca na odgovarajucu u masivu sa horizontalnimslojevima, ali je nesimetriena, sa maksimumom YM = -m, pomerenim u smerupada sloja.

Odnosm

cot() = H(1.20)

odreduje ugao maksimalnog uleganja (), koji po definiciji (pododeljak 1.2.3.5.)Cini sa horizontalom prava OM, koja povezuje srediste 0 otkopane oblasti, satackom M na povrsini, u kojoj je uleganje maksimalno. Prave paralelne sa OM,koje prolaze kroz granice A i B otkopa (s1. UO), odreduju na povrsini taekeL iN. Magistar Dragan Dordevic, mladi saradnik naSeg fakulteta, zapazio jei u svojoj doktorskoj disertaciji [20] dQkazao, da su u ovim taekama uleganja

UL = UN = ~Uo, a vrednosti' nagiba ekstremne, ako suistpunjeni uslovi (1.15).Dokaz koji se ovde daje, razlikuje se od originalnog.

Ordinata taeke L je (s1.1.10) YL = 1cos 0' - H1 cot () a H1 = H -1 sin 0', pa jena osnovu (1.24) i (1.20)

YL = 1cos 0' - (H - 1sin 0') cot (}= 1(cos 0' + sin 0' cot () - H cot ()= b - m

Kadaje Y = YL = b-m, zbog 'f} = Oi 4>('f}) = 0, prema (1.17) i (1.25)je UL = ~Uo.

Na sliean naCin zakljueuje se da je YN = -b - m, a prema (1.19) YN = ~ i

najzad UN = ~Uo'

Odredivanje ekstremnih vrednosti nagiba obradeno je u poglavlju 3, a usledeeem odeljku sarno se navode rezultati.

262

1.3.2. Nagib i krivina

Nagib krive

1. Dodatak

1 [( a + x ) ( a - x )]X(x, y = - <P p '+ <P p

) 2 y'H cot a - y y'H cot a - y

u profiIima po padu je

oX(x, y)

ay

gde je

1 12" Hcot(t_y[6<p(6)+6<p(6)]

a+x. a-x6 = p--===== 1 6 = p--=====y'II cot a - y JH cot a - y

pri eemu se pretpostavlja da je H cot a - y > 0, BIizu gornje granice vrednosti

I ,. 'b I I -' I d -' , , d aX(x, y). d'u eganJa 1 nagl a su vr 0 ma e, pa to OClge no vaZl 1 za lZVO ay , u sre nJemdelu razlika II cot a - y vec je i pri padu sIoja a = 45° reda velieine dubine II,da bi u donjem delu ulegnuca, za y < 0, nastaviIa da raste. Posto je za ~ = 1

maksimum funkcije e<p(e) = ~ = 0.242, nagiby21r

aX(x, y) < 0,242ay - H cot a - y

je zanemarIjiv, pa se ne gubi mnogo na opstosti ako se u daljem tekstu uzme daje X(O, y) = 1.

Tada je prema (3.9) nagib u gIavnom profilu po padu

N(y) = N1(y) + N2(y) (1.21)

gde jeqUo

N1(y) = In t [<p(e) - <p(1])],co a-y1 Uo

N2(y) = 2" u ~~.~. .. [~<p(e) + 1]<P(1])],

b+m+y

e = q y'H cot a _ y

b-m-y1] = q y'H cot a y

Sa istim obrazlozenjem kao u prethodnom sIucaju moze se zanemariti clan

N2(Y)· Oblik krive nagiba, kao sto se vidi na sIici 1.10, podseca na grafik funkcije

X01(X) (s1. 1.5), aIi sa asimetrijom koja raste sa padom sIoja.U pogIavIju 3.

pokazano je da pribIizno u taekama L(O, b - m) i N(O, -b - m) nagib dostizeekstremne vrednosti

NL = _ qUoJ21r( H cot a + m - b

1. Dodatak

NN = qUoJ21r(H cot a + m + b

263

Prema (3.23), pri ravanskom uleganju krivina u profilima po padu moze se

racunati po obraseu

K(y) = K1(y) + K2(y)

gdeje

K1(y) = - TT q:Uo [e<p(e) + 1]<P(1]))co a - y

[(2(Y) = I TT tqUO \3/2 [(1- e)<p(e) - (1-1]2)<p(1J)]co a-y .

(1.22)

a koriste se iste skracene oznake e i 11 kao u (I.19).

Pri tomeje izostavljen treCi clan sa imeniocem (H cot a_y)2. Medutim i drugi

clan [(2(Y), sa imeniocem (H (:ot a - y)3/2, moze se takode izostaviti sa greskom

slicnom onoj koja nastaje pri zanemarivanju clana N2(y) u (1.21). UporedujuCi

slike 1.5 i 1.10 vidi se da su grafiei funkeija X02( x) i K(y) slicni, sa vecom ili manjom

asimetr~jom drugog grafika, zavisno od pada sloja. U poglavlju 3. pokazano je da

i ovaj grafik ima pet ekstremuma i odredene su njihove priblizne vrednosti. Pri

malim vrednostima otkopane duzine 2/, njihov broj Be smanjuje na trio

Primer 1.4.

Na slid 1.20 prikazani su granci funkcija U(y), N(y) i K(y) u glavnom profilupo padu x =0, a u prilozenoj tabe1i, pored vrednosti ovih funkcija, navode se

u kolonama LlN i LlJ{ i vrednosti zanemarenih clanova u (1.21) i (1.22). Osim" 1 1

toga sracunate su pribIizne R = K i tacne R = K + LlK vrednosti poluprecnikakrivine. Kao sto se vidi iz navedenih podataka, a:psolutne greske ilN i ilK su

zanemarljive.

Za racunanje se koriste podaci iz primera 5.7: a = 350, Uo = 2000 mm,b = 295 m, m = 122 m, H = 400 mi q = 0.318 m-1/2.

2f24 1. Dodatak

UNilNKI~·IilKI1I

y IK +ilKIm

mm!!!ill!!!illKm-1KmKm-1Kmm m-800

10.0300.001115401154

I-700

100.29-0.0030.007151-0.001 178-600

891.75-0.140.02836-0.003 40-500

4185.60-0.220.044230.002 22-417

10008.07a0000.008 125-300

17923.880.26-0.05319-0.003 18-200

19870.420.06-0.01284-0.003 67-122

200000.01-0.0016880 6880

1979 -0.750.11-0.023430.006 58100

1715-6.600.51-0.1039.70.0029.9173

1000-12.710000-0.032 31250

171-5.57-0.670.1357.40.0156.7330

1-0.09-0.030.0061630.004 99

Uleganje

Nagib

Krivina

.•.._-----

Slika I.10.

11 = LI = H cot 0: - b +m

12 = N I = H cot 0: + b + m

NM=ML=b

Primer 1.5.

1. Dodatak 265

U prethodnom primeru povrsina otkopavanja bila je puna, a ovde se koristepodaci iz primera 5.8, koji odgovaraju pod-povrsini: O! = 35°, Uo = 2000 mm,b = 121 ill, m = 122 m, H = 400 m i q = 0.318 m-1/2.

Za sliku I.ll i sadriaj priloiene tabele vaii tekst iz prethodnog primera.

yUNb.NK1~·1aKI 11

IK +b.Km

mmmmmmKm-1KmKm-1 Kmmm

-60010.0300.001107301484

-500120.34":0.040.008120-0.002 158

-4001102.25-0.180.03727-0.004 30

-3005407.07-0.220.045220.006 20

-122171200.58-0.1178.60 8.6

0999-10.560-0.0011741-0.020 50

100139-3.91-0.420.085120.010 11

2001-0.05-0.010.0033400.001228

,----------- ..........•.---:--.~.-._._._._.-. ...••- ""

--- Uleganje

---- Nagib

___ ._ Krivina

Slika 1.11.

0---0""-.-._'-'--.

y

266 I. Dodatak

Na slid 1.12 prikazane su izolinije uleganja slojeva sa. razliCitim padom, priistim vrednostima otkopane povrsine i srednje dubine H, slika je uzeta iz rada[57).

....x '900m

§2

""

2-~

I"J;I:8 -~·~~--o~~o~~g8 r-- In go 0o 0o 0o 08 0o 0o 0o 0SoOOOOQoooooooo 0000 0 0000 0 \)1)0 g

o

~"1:l

,..,

.xJl000m

...t 00

8 -og

gg ~ 0

20000000000000 00 00 0 t'looooooo~

o-0'""o

..,

•• !8OOm

o

.o

ooN§

';'

T

g<0

T

~-

T

gTo,

~

III s:~Igo _o 0000000 00000000000 000000 0 0 00

..~~-.•N

..,.....--.,

8 00'" '"

Slika 1.12.

1. Dodatak

1.3.3. Horizontalna pomeranja i dilatacije

Osnovni obrazac (1.28) obuhvata horizontalna pomeranja po pruzanju

Po'(x,y) = y'2;POX1(x,y)Y(y)

267

(1.23)

gde je

i po padu

( a+x ) ( a-x )Xl (x, y) = 'P P VH cot a _ y - 'P P VH cot a _ y

Py(x, y) = NoX(x, y)Y(y) + ~QoX(x, y)Yl(y) (1.24)

gde je

Y( ) (b+m+y) (b-m-y)1 Y = 'P q-y"";:;H=co=t=a=-=y= - 'P q-y=H=c=o=t=a=-=y=

a vazi pod uslovom H cot a - y > o. Zato ma u kom profilu po pruzanju y =Yo =const uvek postoji real an broj nl =1= 0, takav da je

1 p

n-; = y'H cota - Yo

paJe

(a+x) (a-x)Xl(X,yO) = It' ~ - 'P ~ = XQ1(x)

Prema tome, horizontalna pomeranja i dilatacije u ovim profilima obuhvacenasu prethodnim ispitivanjem procesa u masivu sa horizontalnim slojevima. U daljem tekstu se zato posmatraju sarno horizontalna pomeranja i dilatacije u profilima po padu. Sa istim obrazlozenjem kao pri ispitivanju uleganja i vertikalnihdeformacija moze se uzeti daje X(x,y) = 1, Cimese zadatak svodi na ispitivanjeravanskog horizontalnog pomeranja

Py(Y) = NoY(y) + y'2;QOY1(y) (1.25)

Prvi clan P1(y) = NoY(y)istije kao i ravansko uleganje u profilu po padu, paje No njegova najveca vrednost, ajavlja se u tacki M (s1. UO), u kojoj i uleganjeima apsolutni makimum; takode pri punoj povrsini otkopavanja vazi Pl = O.5No

u taekama L i N. Drugi clan P2(Y) = y'27fQOYl(Y) podseca na horizontalnopomeranje PO' po pruzanju, pa se po analogiji moze zakljueiti da je Qo najvecavrednost koju moze imati.

Pri punoj povrsini otkopavanja, ekstremne vrednosti javljaju se u taekama LiN: P2(YL) = -Qo i P2(YN) = Qo; u taeki M je oCigledno P2(-m) = O. Ukupnohorizontalno pomeranje u ovim taekama je (videti i s1. I.13)

268 I. Dodatak

Py(YL) = 0.5No - Qo

Py(YM) = No

Py(YN)= 0.5No + Qo

1zvod d1~Y) je, prema definiciji (3.35), dilatacija u profilu po padu

Dy(Y) = D1(y) + D2(y)

gde je

D1(y) = q [(No - )2;Qo~)<p(~) - (No + )2;Qo)<P(1])].JH cot a - y

1 1D2y) = -2 H t [e(No - )2;Qoe)<p(e) + 1](No + )2;Q01])<P(1])]co a-y

(I.26)

sa skracenim oznakama e i 1] kao u (1.21). Ekstremne vrednosti horizontalnihpomeranjajavljaju se, dakle, u taekama u kojimaje Dy(Y) = O. Kada su ispunjeniuslovi (1.15), prema (1.16) je <p(O = 0 u oblasti y > -m, pa je oCigledno da je

dilatacija Dy(Y) = 0 kadaje No + V'iiQo'fJ = 0, ili", = - ~Qo = -Co. Ovojy21l"

vrednosti odgovara taeka PI sa ordinatom YI = b - m + Co VH cot a + m - b priq

cemu je, kao mali u odnosu na razliku b - m, zanemaren clan ~ (~o) 2. U ovomintervalu su horizontalna pomeranja negativna, pa je ekstremna vrednost

Py(yt} = 0.5No [1 - ()(Co)] - y'2;Qo<P(Co)

minimum. Na sHean naCin moze se zakljuciti da:je u donjoj polovini krive, u taeki

P2 sa ordinatom Y2 = -b - m + C0.J H cot a + m + b maksimumq

Py(Y2) = 0.5No [1 + ctl(Co)] + y'2;Qo<p(Co)

Mada ne postoji proporcionalnost, kao u masivu s<;thorizontalnim slojevima,sa slika 1.10 i 1.13 vidi se da krive nagiba i horizontalnih pomeranja imaju slieanoblik.

Posto horizontalno pomeranje raste od donje graniene taeke G2, u intervalu(G2,P2) dilatacijaje pozitivna, a zatim u intervalu (P2,M) negativna.Kada su ispunjeni uslovi (1.15) u taeki M je Dy(-m) = O. Posle toga je opetu intervalu (M, PI) dilatacija negativna i najzad, do gomje graniene taeke G1,

pozitivna. Kriva dilatacije, prema tome ima pet ekstremuma:

I. Dodatak

maksimum u intervalu (G2, P2),

minimum u intervalu (P2, M),

maksimum u tacki Dy( -m) = 0,

minimum u intervalu (M, PI) i

maksimum u intervalu (PI, GI).

269

Priblizne vrednosti ordinata i odgovarajuCih ekstremnih vrednosti odredenesu u poglavlju 3, a grafik krive Dy(Y) prikazan je na slid 1.13.


U primeru 5.7 pored ostalih odredene su i vrednosti Qo = 660 mm i No =700 mm, pa se mogu sracunati horizontalna pomeranja i dilatacije u profilu popadu x = o. U priloienoj tabeli posebno se navode vrednosti PI(y) prvog, P2(Y)

drugog clana i njihov zbir - ukupno pomeranje Py(Y). Dilatacija Dy(Y) racunataje po pribliinom obrascu Dy(Y) = DI(y), a u koloni t1Dy navode se vrednostizanemarenog clana D2(y) iz obrasca (1.26). Na slici I.13 konstruisani su grancikrivih Py(Y) horizontalnih pomeranja i Dy(Y) dilatacija u posmatranom profilu.

YPIP2Py(Y)Dy(Y)t1DyYPIP2Py(Y)Dy(Y)t1Dy

m

mmmmmm!!!!!!.!!!!!!.mmmmmmm!!!!!!.mmm

m mm

-8000330.09-0.01-20069530725-0.71-0.10

-750110110.28-0.03-1506994703-0.16-0.03

-700427310.72-0.08-1227000700-0.110

-6501270821.61-0.15-50699-12687-0.480.09

-600311561873.07-0.240693-47646-1.690.26

-550732973704.76-0.2850670-150518-4.530.53

-4971524886405.70-0.21122546-49353-8.780.50

-41735066010102.820173350-660-310-4.450

-376464"603106700199236-603-36700

-325586409995-2.41-0.1225159-255-1964.330.52

-295635277912-2.68-0.193005-33-281.280.30

-250678118796-1.88-0.193500-1-10.040.01

270 I. Dodatak

Horizontalna

pomeranja

Dilatacija

------

1-{.2

Ii

B

\

\ ' H,

\t -¥0\1 //-/....Ik '///0

,-:::;:;/:::;::/

J


Slika 1.13.

KoristeCi podatke Qo = 660 mm i No = 700 mm, koji su takode odredeni uprimeru 5.29 (glava 5.), mogu se sracunati horizontalno pomeranje Py(Y) i dila

tacija Dy(Y) u profilu x = O. Podaci su sredeni u prilozenoj tabeli na isti nacinkao u prethodnom primeru, ana slici 1.14 konstruisani su odgovarajuCi granci.

YPiP2Py(Y)Dy(Y)!1Dy

m

mmmmmm!ill!!.mmm

m

-6000330.09-0.01

-500429330.83-0.10

-400381832213.77-0.31

-3001895437325.97-0.18

-1225990599-8.010.20

a347-656-309-3.73-0.03

10049-221-1723.420.37

2000-3-30.130.03

-.•..._--,

"vI'!'l!J[!IS

"fu"."wod"ul"~UOZ!.oH

Q = J div(~grad U) . dV dtv

272 1. Dodatak

1.4. Jednacina termodifuzije

1.4.1. Izvodenje

Temperatura tela u opstem slucaju razlicita je u raznim tackama i menjase sa vremenom, pa se prikazuje funkcijom U(x, y, z, t). Ako je telo homogeno iizotropno, njegova gustina p, specificni toplotni kapacitet C i koeficijent provodenja toplote ~, isti su u svim tackama proizvoljne oblasti V u vremenskom intervalu(t, t + dt). Kroz granicnu povrsinu P pritice u oblast V kolicina toplote

Q = J (~grad U) . iidPdtp

gde je ii spoljaSnja normala u tacki M(x, y, z) E P. Na osnovu Gausove teoremeJe

pri cemu se pretpostavlja da u V nema toplotnih izvora.

Posto je u posmatranom vremenskom intervalu priraStaj temperature

auU(x, y, z, t + ~T) - U(x, y, z, t) ~ 7itdt

mora se dovesti koliCina toplote

J auQ = C p7jtdvdtv

paJe

J [div(~grad U) - C p ~~] dVdt = 0v

1. Dodatak

Ovaj uslov vazi za ma kakvu oblast V, pa zbog njene proizvoljnosti mora biti

273

gdeje

{)U _ 2 (82U 02U 02U)at - K {)x2 + oy2 + {)z2

~T{2 __

.I.' - Cp

(1.27)

Radi potpunijeg opisivanja procesa, pored ove jednaCine mora se znatipocetni raspored temperature

U(x, y, Z, 0) = F(x, y, z) (1.28)

a kod tela konacnih dimenzija pored pocetnih (1.28) moraju se zadati i granicniuslovi: u svakoj tacki granicne povrsine tela mora se u svakom trenutku matistanje temperature (moze se, na primer, odrzavati stalna temperatura na ovojpovrsini).

Ako se temperatura u jednom pravcu ne menja, nastaje ravanski problem

t d'f" M . . 0 d' OU 0 . IP U 0ermo 1 UZlje. oze se taj pravac uzetl za osu z; ta aje 7); = 1 Oz2 = , pa

nastaje jednacina

oU = K2 ({)2U + 02U)ot ox2 oy2

a odgovarajuCi pocetni uslov je

U(x,y,O) = f(x,y)

(1.29)

(1.30)

U literaturise cesto za ovaj slucaj koristi izraz termodifuzija u homogenojploci.

JednaCina

oU _ K202ijat - ox2

naziva se jednacina termodifuzijeduz homogenog stapa. Pocetni uslov je

U(x,O)=f(x)

(1.31)

(1.32)

Zbog zanemarljivih dimenzija poprecnog preseka, smatra se da nema razmenetoplote izmedu okolne sredine i stapa, pa se u ovom slucaju granicni uslovi zadajusarno za njegove· krajnje tacke. U tekstu koji sledi posmatra se, medutim, stapneogranicene duzine, za koji ne treba zadavati bilo kakve granicne uslove. Funkcija

f( x) u (1.32) u ovom slucaju mora, oCigledno, biti definisana za svako x E (-00,00).

274 I. Dodatak

1.4.2. Opste resenje za neograniceni stap

Parcijalna jednaCina (1.31) svodi se na sistern obicnih diferencijalnih jednaCinapomocu funkcije X(x), koja zavisi sarno od polozaja i T(t) koja zavisi sarno odvrernena, takvih da njihov proizvod odreduje ternperaturu

U(x,t) = X(x)T(t)

Zaista, posto se ovaj proizvod uvrsti u (1.31) sledi

X(x)T'(t) = K2 X//(x)T(t)

ili

_T_'(_t) X'_'(x_) __ ,\2J{2T(t) - X(x) -

gde je A E ~ proizvoljna konstanta. Resenja obicnih diferencija.lnih jednaCina su

x (x) = A cos '\x + B sin AX

(1.33)

T(t) = C exp( _J{2 A2t)

gde su A, B i C integracione konstante.

Ako su Ui(X, t), i E (1,2,3, "" n) resenjajednaCine terrnodifuzije, zbog njenelinearnosti bite to i njihov zbir

n

U(x, t) = :L Ui(x, t)1

Konstante A i B u resenju (1.33) rnogu zavisiti od A, pa je posto se stavi C = 1,za skup vrednosti A E (AI, A2, A3, ... , An) resenje je

n

V(x,t) = :L[A(Ai) COS A;X + B(A;) sin AiX] exp(-K2A;t)i=1

Moze se, najzad, pretpostaviti da se pararnetar A menja: kontinualno u intervalu (-00,00); tada umesto surne nastaje integral

00

U(x, t) = j[A(A) cos AX + B(A) sin AX] exp( _K2 A2t)dA-00

1. Dodata.k

Ualov (I.32) daje

U(x, 0) = 1:(A(A) cos AX + B(A) sin h]dA = f(x)

UporedujuCi oyaj usloy sa Furij,eovim integralom

00 00

f( x) = 211rJ d>' 1f(~) cos.$ x ~ ~)d~-00 -00

yidi se da ee biti zauovoljen ako je

00

A(A) = 2~ J J(~)cos>'~de-00

00

B(.$ = J:... J fee) sin .\ede21r-00

Tadaje

00 00

U(x,t) = 2~ J J(e)de J (COSAeCOSAx+sinAesiuAx)exp(-J{2A2t)d'\-00 -00

ili zbog parnosti po A

00 00

U(x,t) =.; j f(e)de 1COSA(e - x)exp(-I{2A2t)dA-00 0

i najzad, prema (1.13)

275

1 100 [ (f- x)2]U(x,t)=nu r-; J(e)exp - 4J{2t de-00

(1.34)

Ovaj izraz je opste reSenje jednaCine (1.31) sa pocetnim uslavam (1.32). Nepo

srednim diferenciranjem maze se lako utvrditi da je jedno od partikularnih resenjai funkcija pod znakom integrala

1 [ (e-x)2]U(x,e,t) = 2J{Jiiexp - 4f{2t(1.35)

276 I. Dodatak

Na ohlik (1.31) mogu se svesti i neke druge jenacine.

a) JednaCinaoU 02U

7ft = 1/J(t) ox2

smenom

T = J 1/J(t)dt + C

gde je C proizvoljna konstanta, dovodi se na oblik

oU 02U

8T = 8x2

pa je njeno resenje U(x, T) jednaCine (1.31) u kojoj je J{ = 1.

b) Jednacina

oV = a202V + boVat ox2 ox

gde su a i b realne konstante.

smenom V(x, t) = U(x, t) exp(mx + nt)

daje novu jednaCinu po U(x,t)

oU 02U oU- = a2_. - + (2a2m + b)- + (a2m2 + bm - n)Uot ox2 ox

Podesnim izhorom koeficijenata m i n

(1.36)

(1.37)

b

m = -2a2b2

'Ii = - 4a2

koeficijenti uz ~~ i uz U postaju jednaki nuli, pa se opet dohija jednaCina(1.31). Ako je pocetni uslov V(x,O) = /(x), opste resenje jednaCine (1.37) je

[ b (. +~t)] 00 [be (e-x)2]deexp -~ x 2 J f(e) exp 2a2 - 4a2tV(x, t) = 2ay1rl -00

ili posle sredivanja

00

V(x, t) = _1_ J /(e) exp [ (e - x - bt)2] d2aV1rt 4a2t e-00

(1.38)

c) Druga jedllaCina sistema

I. Dodatak

au 2{j2U A'( )oV!!it = a ax2 + ,t ax

av 282V7ft = a ox2

277

(1.39)

je jednaCina termodifuzije (1.31), pa je njeno resenje V(x, t) poznato. Posto

se parcijalni izvod po koordinati x ove jednacine pomnozi funkcijom -A(t),sistem

au _A'(t)av =a2CPUat ox ox2

o2V 03V-A(t) oxOt = _a2 A(t) ox3

posle sabiranja daje jednaCinn oblika (1.31)

o[ 8V] 2 82 [ oV]- U - A(t)- = a - U - A(t)-ot . ox ox'l ox

ReSeuje je prema tome

oT2U(x, t) = T1 (x, t) + A(t) ox

V(x,t) = T2(x,t)

(1040)

gde su T1(x, t) i T2(X, t) fllukcije koje zadovoljavaju jednaCinu (1.31), a raz

likuju se sarno pocetnim oblikom. Ako je U(x, 0) ::::h(x) i A(O) :::: 0, prema

(1.34) je00

T1(x, t):::: 2a~ J h(e)exp [ (e4:2~)'l]-00

a akoje V(x, 0) = fz(x)

00

T'l(x, t) :::: 2a~ J f2(e) exp [ (e4~'l~)2]-00

m I. Dodatak

1.4.3. Opste resenje za neogranicenu plocu

Za prostiranje toplote u homogenoj neogranicenoj ploci vazi jednaCina (1.29)sa pocetnim uslovom (1.30). PrimenjujuCi isti postupak kao u prethodnom slucaju,dobija se opste resenje

00 00

U(x Y i).= _1_ 1 1 f(C n)exp [_(~-x)2+(Tf_y)2] dCd (141)"4J(27ri ." 'I. 4J(2t" Tf •

-00-00

Specijalan slucaj ovog resenja je i

U(x'~ITf,i)=_l-exp [ (~-x)2+(Tf-y)2]4[{27ri 4K2t

koje je, u stvari, proizvod resenja (1.35) za prostiranje toplote u pravcu osa Ox iOy.

1 na oblik (1.29) mogu se svesti neke druge jednaCine,

a) Ako je ploca anizotropna, jednacina

oU = a2 02U + b2/J2Uat ox2 oy2

(1.42)

smenom ](~=-x,a

svodi se na (1.29). Opste resenje je

](Tf =-y

b

1 100100 .[ (~-x? (TJ-x)2]U(x,y,t)= 4ab7rt F(e,TJ)exp - 4a2t - 4a2t dedTJ-co -00

b) JednaCina

smenom

BV _ 2B2V b202V oVat - a ox2 + oy2 +e oy(1.43)

V(x, y, t) = U(x, y, t) exp[my + ni]

kao prilikom resavanjajednaCine (1.37), svodi se na oblik (1.42). Opste resenjeJe

1 Joo Joo [(~....;.x)2 (TJ-y-ct)2]V(x, y, t) = 47rabt f(~, TJ)exp - 4a2t - 4b2i dedTJ-00-00

1. Dodatak

a specijalan slucaj

v(x,e,Y,7J,t)= __l_exp[ (e-x)2 _(7J_y-et)2]41rabt 4a2t 4b2t

279

predstavlja proizvod reSenja (1.35) i odgovarajuceg resenja jednaCine (1.39).

c) Sistem

aU 2 (fPU 02U) , oWat = a ox2 + oy2 + A (t) ox

oV = 2(02V 02V\ A'( )oWat a ox2 + oy2 ) + t oy

oW = a2(02W + 02W)at ox2 oy2

ima resenjeoT3

U(x, y, t) = T1(x, y, t) + A(t) ox

. . oT3

V(x, y, t) = T2(x, y, t) + A(t) oy

W(x, Y, t) = T3(x, y, t)

(1.44)

gde su 1i(x,y,t), i = 1,2,3, reSenjajednaCine (1.29). Dokazje isti kao zasistem (1.39).

d)

aU = L(U) + A'(t) oWat ax

~~ = L(V) + A'(t) 00: + N'(t)W

oW _ L(W)at -

gde je02{) 202() 00

L( 0) = a2ox2 + b oy2 + C oy

PoslednjajednaCina ovog sistemaje oblika (1.43), paje njeno resenje poznato.Naovu jednaCinu svodi se i kombinacija druge i trece jednaCine

oV _NoW_N'W_A'oW _A~2W =L(V)-NL(W)-A~[L(W)]at at oy dyot oy

280 I. Dodatak

posto je N(t)L(W) = L (N(t)W]' a nije teSkopokazati da je i

A(t) :y [L(W)] = L [A(t) aa~],

paJe

a oW [ OW]-[V - N(t)W - A(t)-] = L W - N(t)W - A(t)-m ~ ~

Na sliean naCin iz prve i trece jednaCine dobija se

a [ OW] [ OW]- U - A(t)- = L U - A(t)-at ax ax

Resenje sistema je

U(x, y, t) = U1(x, y, t) +A(t) ~~3uX

aU3

Vex, y, t) = U2(x, y, t) + N(t)U3 + A(t) ay

W(x, y, t) = U3(X, y, t)

(1.45)

gde su U.(x, y, t), i= 1,2,3, reSenja jednacine (1.43), kojima odgovaraju poeetniuslovi U.(x, y, t) = f.(x, y), i = 1,2,3,

Resenje prostornog problema termodifuzije ne navodi 00, jer se jednaCina(1.27) ne javlja pri proueavanju pomeranja potkopanog masiva.

1.4.4. Granicni uslovi za poremeceni masiv

Funkcija poeetnog rasporeda temperature f(x) (1.32) moze se izabrati takoda bude

f(x) = {Uo, Ix - xol < 60, Ix - xol > 6

Posto je Uo razlika temperature, znaCi da je u delu stapa u intervalu (xo - 6, Xo +6)

dovedena koliCina toplote Q ::;:;26CpUo. Kasnija raspodela temperature, za t > 0je prema (1.34)

"'0+.5

I 2l~~exp ["'0-6

"'0+.5

(e - x )2] de - Q J. exp [4K2t - 4CK6p,;:ii"'0-.5

(e - X)2]4K2t de

I. Dodatak

a prema teoremi 0 srednjoj vrednosti

281

xo+~

;'), exp [(e - x)2] de = ex [_ (eo - x)2]4K2t p 4K2t

gde je Xo - b < eo < Xo + 8, pa kada je 0 -+ 0

Q [ (eo - x)2]U(x,t) = " ....•T? t;'"exp - 4K2t

sto se slaze sa partikularnim resenjem (1.35). Ovo reSenje, prerna tome,odredujekasniju raspodelu temperature, za t > 0, usled tackastog toplotnog izvora intenziteta Q = Cp, na mestu x = Xo.

U jednaCinu poremecenog masiva (1.8)

of 1 o2F

oz = 2P(f . ox2

umesto vremena ulazi dubina z. Zato se, umesto tackastog izvora toplote upocetnom trenutku, ovde moze govoriti 0 tackastom poremecaju na pocetnoj dubini z = 0, a integral (1.11)

a

U(x) = J F(x,x,H,O)dx-a

obuhvata uticaj svih poremecaja u intervalu -a ::; x ::; a na uleganje povrsinez = H potkopanog masiva.

Prema termodinarnickoj analogiji, mogu se dobiti porneranja za ma koju dubinu °< z ::; H. Ali, za razliku od toplote, poremecaj se ne prostire neograniceno,pa treba uvesti i granicne uslove. Posto se graniee utieaja menjaju sa dubinom,prema analogiji to odgovara stapu promenljive duiine; masiv je, dakle, nehomogen.

Zato je i koeficijent ~ u opstem slucaju neka funkcija .,p( z) dubine. Analiticki2Po

izraz ove funkcije pouzdano bi mogao da se odredi sarno na osnovu podataka 0obliku krive granicnih uticaja B( x, z) = 0 u oblasti 0 < x ::; H, ali u savremenojliteraturi se oni tesko mogu naCi, jer su opazanja ogranicena na povrsinu terena.Zato se resavanju zadatka mora pristupiti na drugi nacin.

Neka je 2~2 = 'l/;(z) proizvoljna funkcija, definisana u intervalu ° < z ::; H;o

umesto (I.31)dobija se jednaCina (1.36). Ali, kao sto je pokazano, njeno feSenje

svodi se na (1.33), stirn sto umesto dubine z sadrii funkciju Z(z) = f'l/;(z)dz+C.

Z8.2 I. Dodatak

Ma kakva hila funkcija 'l/J(z), na povrsini z = H bite Z(H) = Const. Zato se,

radijednostavnosti u (1.8) uzirna daje 2~2 = Const. Postoje na povrsini z = Ho

terena proces porneranja poznat, moze se pouzdano odrediti koordinata XG granice

uticaja, a konstanta Z(H), odnosno ~, bira se tako da bude zadovoljengranicni2Po

uslov 8(xG, H) = O.

Ovako dbbijeno resenje, medutim, vazi sarno na povrsini. To treba irnati uvidu prilikom koriscenja odgovarajucih obrazaca U ovoj knjizi.

II.Dodatak

11.1. Pomeranja potkopanog terena urudnicima metala i nemetala

Problematika pomeranja terena pri otkopavanju lezista metala i nemetala dajese kao posehan dodatak u ovoj knjizi, zhog toga, sto za sada jos uvek nema opstepriznate metode proracuna pomeranja i deformacija na ovim lezistima. Otkopavanje ovih lezista obavlja se u vrlo raznovrsnim uslovima, koji se ne mogu standarizovati i uopstiti kao sto je to slucaj u rudnicima uglja, a sto je neophodno zakorelaciju i osrednjavanje rezultata merenja iz raznih rudnika, odnosno za stvaranjeuopstenih metoda proracuna.

Pomeranje terena na rudnicima metala i nemetala javlja se u sledeCim vidovima: kao zaruSena i ispucala zona koja se lokalizuje u masivu, kao pojedinacne pukotine i provale na manjem delu povrsine terena, ili kao zona veeeg brojapukotina i prololl1a na veeem delu povrsine terena.

Prva dva vida ovih pojava nastaju pri otkopavanju slepih rudnih tela ogranicenih razmera, ili manjih delova veCihlezista, kada se kao praktican problem javljaogranicenje narusene zone u masivu.

11.1.1. Speciflcnosti

Po specificnosti procesa pomeranja i razlikama u vrednostima geometrijskihparametara koji opisuju taj proces, izdvajaju se dye osnovne grupe rudnih lezista,izuzimajuCi lezista zicnog tipa koja nisu znacajna za problematiku pomeranjapotkopanog terena.

Prvu grupu cine lezista sa slojevitom, a drugu lezista sa neslojevitom gradompratecih stena.

284 II. Dodatak

Pod slojevtim lezistima prve grupe podrazumevaju se stenski masivi sa veomaizraienim povrsinama uslojavanja i skriljavosti. Pod neslojevitim leiistima drugegrupe podrazumevaju se stenski masivi sa metamorfnim eruptivnim stenama, Hisedimentno metamorfnim, koje su izgubile svoju slojevitost.

Pomeranja u lezistima prve grupe slieno je proeesu koji se javlja u lezistimauglja: savijanje po normali na slojevitost, zarusavanje, ispuealost, pukotine, grubedegradacije terena u vidu razloma i proloma. Vrednost uglovnih karakteristikaproeesa, pre svega uglova sigurnosti i uglova pukotina zavise kao i kod lezista ugljaod koefieijenta cvrstoce (I) i pada sloj a «(t).

U lezistima druge grupe, pomeranja su u vidu odlamanja, klizanja, grubognarusavanja masiva, bez ravnomernosti proeesa i ulegnuca, koja se javlja kod slojevitih lezista prve grupe. Vrednosti uglovnih karakteristika lezista grupe, vise zavisi od koefieijenta cvrstoce (I), a manje--zanemarljivo od pada lezista (a). Uglovisigurnosti i uglovi pukotina imaju praktieno iste vrednosti kod ove grupe lezista.Glavni utieaj na vrednosti uglova pukotina imaju pojedini sistemi pukotina i njihova orijentaeija u odnosu na lezistc.

Na slici ILl prikazano je pomeranje krovinskog i podinskog dela stenskogmasiva sa dva izrazenasistema pukotina. Uglovi P3, pod kojim se pomera krovinskicleoi 1'3, pod kojim se pomera podinski deo, uslovljeni su odgovarajucim sistemimapukotina.

Slika ILl

11.1.2. Pomeranja pri otkopavanju slepib rudnih tela

Pri otkopavanju slepih rudnih tela postavlja se u praksi problem odredivanjabezopasne dubine rada i oeene potencijalne opasnosti od provale vode kroz pukotine na povrsini poremecenog terena.

U tu svrhu mogu se koristiti obrasci i rezultati do kojih su u svojim disertaeijama dosli A. Akimov (SSSR) i I. Kisimov (Bugarska).Sa tim obrascima moze se izvesti orijentacioni proraeun i dati prethodna oeenastabilnosti potkopanog masiva.

II. Dodatak

11.1.2.1. Obrasci A.G. Akhnova, (SSSR)

285

Ovaj autor analizira 120 slucajeva otkopavanja slepih rudnih tela, na 41-omrudniku Kazahtatana, Sibira, Krivog Roga, pri cemu je u 35 % slucajeva cioslodozarusavanja terena, kod 25 % nastala uleganja, a kod 40 % deformacije se nisujavile na povrsini terena. PovezujuCl ova opazanja sa najveeom dubinom od kojese javljaju pomeranja na povrsini terena u rudnicima uglja (300 . d), konstruisan

. d" I"k 112 d" H . . HJe IJagram, s I a "' sa or matom d J apsClsom L"

Na dijagramu su izdvojene 4 zone:

1 - slucajevi koji se ne mogu desiti u praksi,

2 - slucajevi kada ne nastaju deformacije na povriiini terena,

3 - slucajevi kada nastaju manje deformacije bez proloma na povrSini,

4 - slucajevi sa zarusavanjem iprolomima na povrsini

23

4

..

--. JliI L'

Stika II.2.

U obrascima za odredivanje granica izmedu zona 4-3 i 3-2, koriste se sledeeeoznake

d - efektivno otkopana debljina rudnog tela,

L - duzina rudnog tela po padu,

a - pad rudnog tela,

H - dubina do gornje granice otkopa"

286 II. Dodatak

U tim obrascima nema koeficijenta cvrstoce (I) stenskog m3Siv~, pa Be pOStavlja pitanje univerzalnosti njihove primene.

Autor ovo ispravlja predlazuci uvodenje koeficijenta K i zamenom

L' = L . cos a + d . sin a

L' - (duzina rudnog tela u horizontalnoj projekciji), dobija:

za granicu izmedu zone 3 i 4

42· d· L'

H ~ J{ 7d+ 5L'

za granicu izmedu zone 2 i 3

H > 1<~OO. d . L'- - L'+ 7d

(1 I.1)

(11.2)

Ako je otkopana duzina po pruzanju (N), manja od otkopane duzine po padu,u obrascima se mesto (L') racuna sa ekvivalentnom duzillom (LE).

LN

LE = -./L'2 + N2

Koeficijent J{ se usvaja zavisno od cvrstoce stena:

(11.3)

za f < 5

za f = 5 - 9

zaf>9

K = 1.0

K=0.9

K =0.8

Po istom autCru obrazac za visinu zone zarusavanja, za N < £,

h = K j'Y . d .eL' . N (IIA)

gde je, 'Y= zapreminska teiina

e = kohezija krovinskog masiva

K = 0.9 za visinu zone zarusavanja (hz)

K = 1.4 za visinu zone pukotina (hp)

Na slid II.3 prikazane su oznake i konstruisane zona zarusavanja i pukotina.

II. Dodatak 287

__ T

-IH-----

nanos------H'

Slika II.3.

II.1.2.2. Kriterijum LN. Kisimova, (Bugarska)

Kisimov je po metodologiji Akimova istrazivao uticaj otkopavanja na 63 rudnatela kombinat a "Gorubso", i dao sledeee obrasce za minimale dubine otkopavanjapri kojima ne nastaju prolomi i obrusavanja, izdvajajuCi pri tome uticaje debljineotkopavanja (d),"koeficijenta cvrstoce krovinskih naslaga (I) i otkopane duzine popruzanju (N)

uticaj otkopane debljine

Hd> 25.4· L'__ . __ .·d

uticaj koeficijenta cvrstoce

5.6· L' . fHj 2: L' + 1.9· f

uticaj otkopane duzine po pruzanju

9.3· L' . NHn 2: L'+5.0.N

(11.5)

(11.6)

(11.7)

28~ II. Dodatak

Za minimalnu dubinu otkopavanja dobiee se po ovim obrascima tri razlicitevrednosti. Po strozijem kriterijumu usvaja se najveca vrednOlit.

Komentar: Primena obrazaca pomenutih autora u praksi je pokazala, da se uzuvazavanje lokalnih usiova lezista dobijaju realne orijentacione vrednosti i da sesa dovoljnom pouzdanoseu moze odrediti bezopasna dubina ili mogucnost pojaveproloma na povrsini terena.

11.1.3. Uglovne karaktedstike procesa porneranja

U opstem smisiu to su, kao na rudnicima uglja, granicni uglovi, uglovi sigurnosti i uglovi pukotina.

Granicni uglovi na rudnicima metala i nemetala ncmaju onaj znacaj kojiimaju na rudnicima uglja. To je zbog toga sto se na ovim rudnicima ne vrsiprognozni proracun pomeranja i deformacija kao na rudnicima ugIja, pri cemu sugranicni uglovi osnovni podaci za proracun.

Na rudnicima metaia i nemetaia veCi uticaj imaju uglovi sigurnosti i uglovipukotina.

Prvi zbog konstruisanja zaStitnih stubova i ogranicavanja zone opasnih deformacija, koja na ovim rudnicima nema oblik kontinuiranog ulegnuca.

Drugi zbog pukotina; ovi uglovi na rudnicima uglja vise ukazuju na mesto gdese one mogu javiti, a na rudnicima metaia i nemetaia gde ee se one sigurno javiti.

Zbog toga se i na ovim rudnicima postavlja pitanje odredivanja orijentacionihvrednosti uglova sigurnosti i uglova pukotina, koji su potrebni za geometrijskoodredivanje slike pomeranja u masivu. Za lezista prve grupe potrebne su vrednostioba ugla, a za lezista druge grupe sarno uglovi °pukotina.

Uglovi sigurnosti i uglovi pukotina odreduju se po pribliznim obrascima ipostupku prikazanom u poglavlju 6.

11.1.4. Pojave na povrsini terena

Rezultati novijih empirijskih istrazivanja pri otkopavanju rudnih tela debijinevcee od 3 m, pada do 70°, sa zarusavanjem krovine, cvrstoee na pritisak 4 do16 KN/cm2 [47}, pokazuju da proces pomeranja karakterise odnos dubine (H),

prema ekvivalentnom rasponu otkopanog prostora (Lek), obrazac 11:.3 •

II. Dodatak 289

Ako je, H < Lek, javice se na povrsini terena pukotine iprolomi, pojave kojeiskljucuju prognozne proracune u vezi zaStite objekata. Otkopavanje ispod objektau tim slucajevima je moguce sarno sa zapulljavanjem otkopanog prostora.

Ako je, H > Lek, javice se lla povrsini terena ravnomernija pomeranja sa manjim pukotinama, pa su prognozni proracuni celishodni i imaju praktican znacaj.

Prognoze su se do skora zasnivale sarno na odredivanju uglova sigurnosti iuglova pukotina, koji su bili potrebni za konstruisanje zaStitnih stubova.

Uopstavanje rezultata nQvijih istrazivanja pri otkopavanju lezista debljine 34 m pokazuje da se zavisno od stepena potkopavanja (P) i koeficijenta relativnecvrstoce (J), mogu prognozno odrediti vrednosti najvecih uleganja i maksimalnihhorizontalnih pomeranja u perifernoj zoni uticaja, izvan gran ice proloma i veCihpukotina, slika II.4.

1. ravnomerllapomeranJa Imale pukotine

.2. prolomii velikepukotine

Slika IIA.

-::...._-_:'~

Pri tome je,

_ Lek (l-cosa)P - HSR

Op

If = 'Y' HSR

(IL8)

(II.9)

gde je, HSR= srednja dubina otkopavanja,

op= srednja vrednost cvrstoce na pritisak potkopanog masiva (Pa),

'Y= srednja vrednost zapreminske tezine (N/m3).

U tablici ILl date su empirijske vrednosti najveCih uleganja i horizontalnihdeformacija za pojave, prikazane na slici JI.4 .

U tablici JI.JIdata su maksimalna uleganja na povrsini terena pri otkopavanjuu uslovima kada se ne javljaju prolomi i pukotine.

290

Tablica 1l.I.

II. Dodatak

Maksimalna uleganja, u mm, (u brojiocu)

i horizontalne deformacije u mm/m (u imeniocu)

StepenKoeficijent relativne CVl'stoce

potko- pavanjaf' 2:2525> f' 2:1515> f' ~88> f' ~,14> f' 2:2f' <2

p ~3

50-100100-300300-500500-800800-12001200-2500

2-84-128-1510-2525-50> 50

0.5<P<3

20-8050-250100-400150-650250-1000500-2000-- 2-6 3-104-105-1510-4020-50

P :::;0.5

20 i <50 i<100 i <150 i <250 i <500 i <

<22-43-55-86-1010-15

Tablica II.ll. Maksimalna uleganja pri razlicitim metodama

otkopavanja i stepenu potkopavanja

Stepen Metoda otkopavanja

potko-

S obrusenjemSa zapunjaval1jemStubno

pavanja

krovineotkopanogkomornaprostora

P?3

0.8d0.8de0.05d

0.5 (t) = V2i exp -2 dzo

L!JTll I 2 13 I 4 I 51Tl~0.0 0.00000.00800.01600.02390.03190.03990.04780.05580.06380.0717

0.10.07970.08760.09550.10340.11130.11920.12710.13500.14280.1561

0.20.15850.16630.17410.18190.18970.19740.20510.21280.22050.2282

0.30.23580.24340.25100.25860.26610.27370.28120.28860.29600.3035

0.4

0.31080.31820.32550.33280.34010.34730.35451°.3616

0.36880.37590.5

0.38290.39000.39690.40390.41080.41770.4245 0.43130.43810.44480.6

0.45150.45810.46470.47130.17780.48430.49080.49710.50350.50980.7

0.51610.52230.52850.53460.54070.54680.55280.55870.56460.57050.8

0.57630.58210.58780.59350.59910.60470.61020.61570.62110.62650.9

0.63190.63720.64240.64760.65280.65790.66290.66800.67290.67781.0

0.68270.68750.69230.69700.70170.70630.71090.71540.71990.72431.1

0.72870.73300.73730.74150.74570.74990.75400.75800.76200.76601.2

0.76990.77370.77750.78500.78870.79050.79230.79590.79940.80301.3

0.80640.80980.81320.81650.81980.82300.82620.82930.83240.83551.4

0.83850.84150.84440.84730.85010.85290.85570.85840.86110.86381.5

0.86640.86900.87150.87400.87640.87890.88120.88360.88590.88821.6

0.89040;89260.89480.89690.89900.90110.90310.90510.90700.90901.7

0.91090.91270.91460.91640.91810.91990.92160.92330.92490.92661.8

0.92810.92970.93120.93280.93420.93570.9371.().93850.93990.94121.9

0.94260.94390.94510.94640.94760.94880.95000.95120.95230.95342.0

0.95450.95560.95660.95760.95860.95960.96060.96160.96250.96342.1

0.96430.96510.96600.96680.96760.96840.96920.97000.97070.97152.2

0.97220.97290.97360.97420.97490.97560.97620.97680.97740.97802.3

0.97860.97910~97970.98020.98070.98120.98170.98220.98270.98322.4

0.98360.98400.98450.98490.98530.98570.98610.98650.98690.98722.5

0.98760.98790.98830.98860.98890.98920.98950.98980.99010.99042.6

0.99070:99100.99120.99150.99170.99200.99220.99240.99260.99292.7

0.99310.99330.99350.99370.99390.99400.99420.99430.99460.99472.8

0.99490.99500.99520.99530.99550.99560.99580.99590.99600.\)9622.9

0.99630.99640.99650.99660.99670.99680.99690.99700.99710.99723.0

0.99730.99740.99750.99760.99760.99770.99780.99790.99790.99803.1

0.99810.99810.99820.99820.99830.99840.99840.99850.99850.99863.2

0.99860.99870.99870.99880.99880.99880.99890.99890.99900.99903.3

0.99900.99910.99910.99910.99920.99920.99920.99920.99930.99933.4

0.99930.99940.99940.99940.99940.99940.99950.99950.99950.99953.5

0.99950.99960.99960.99960.99960.99960.99960.99960.99970.99973.6

0.99'970.99970.99970.99970.99970.99970.999810.9998

0.99980.99983.7

0.99980.99980.99980.99980.99980.99980.9998 0.99980.99980.99983.8

0.99990.99990.99990.99990.99990.99990.99990.99990.99990.99993.9

0.99990.99990.99990.99990.99990.99990.99990.99990.99991.00004.0

1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000

292

Prilog IFunkcija

1 _l.t2e 2

<p(t) = ..j2i

Do 1 1 2 I 3 I 4 I 5 6 1 7 I 8 ! 90.0 3989398939893988398639843982398039773973

0.1

3970396539613956395139453939393239253918

0.2

3910390238943885387638673857384738363825

0.3

3814380237903778376537523739372537123697

0.4

3683366836533637362136053589357235553538

0.5

3521350334853467344834293410339133723352

0.6

3332331232923271325132303209318731663144

0.7

3123.310130793056303430112989296629432920

0.8

2897287428502827280327802756273227092685

0.9

2661263726132589256525412516249224682444

1.0

2420239623712347232322992275225122272203

1.1

2179215521312107208320592036201219891965

1.2

1942191918951872184918261804178117581736

1.3

1714169116691647-162616041582156115391518

1.4

1497147614561435141513941374135413341315

1.5

1295127612571238121912001182116311451127

1.6

1109109210741057104010231006098909730957

1.7

0940092509090893087808630848083308180804

1.8

0790077507610748073407210707069406810669

1.9

0656064406320620060805960584057305620551

2.0

0540052905190508049804880478046804590449

2.1

0440043104220413040403960387037903710363

2.2

0355034703390332032503170310030302970290

2.3

0283027702700264025802520246024102350229

2.4

0224021902130208020301980194018901840180

2.5

0175017101670163015801540151014701430139

2.6

0136013201290126012201190116011301100107

2.7

01040101009900960093009100880086

00841 00812.8

007900770075007300710069006700650063 0061

2.9

0060005800560055005300510050004800470046

3.0

0044003300240017001200090006000400030002

4.0

000100010001 .0000000000000000000000000000

293

LiterCitura

Neke skracenice koje se javljaju 'It tekstu:

• IC ISM:

c IGT:

• M.a.d.M.:

• BHHMH::

• MlICC:

International Congress International Society for Mine Surveying

Internationale Gebirgsdrucktagung

Mitteilungen aus dem Markscheidewesen

BceCOID3HNllHaY4Ho-Hccne~oBaTenbcKHll HHCTHTYTropHollreOMexaHHKHH MapKIUell)lepCKOro)leJIa

MapKIUell)lepCKOe~eJIO B COInlaJIHCTH4eCKHXCTpaHax

o 0 0

1. A'I>u.AweA.r.: HOBbIE lIAHHbIE 0 ClIBIDKEH1111 rOPHbIX noPOll 11 OXP AHE COOPYJKEHl1M B CCCP, MlICC, TOM5, 1972.

2. A1Cu.Mo6A.r.: ClIBl1JKEHHE rOPHbIX nOPOlI npl1 nOlI3EMHOM PA3PABOTKE HA yrOJIbHbIX 11 CJIAHIIEBbIX MECTOPOJKlIEHlfI1," He~pa" MOCKBa,1970.

3. A'I>'U.MoeA.r.: PAC-Y:ET YCTOMQI1BOCTl1 3EMHOM IIOBEPXHOCTM IIPM PA3PABOTKE CJIEllbIX PYlIHbIX 3AJIEJKEM,Tpy.1lN BHltIMI1, c6.JI 1963.

4. Aeepwuu c.r.: ClIBMJKEHI1E rOPHbIX nOPOlI llPI1 n01I3EMHbIX PA3PABOTI{AX, YrJIeTeXH3~aT, 1947.

5. Aeepwuu c.r.: P ACQET ClIBMJKEHllM rOPHbIX no POll, MeTaJIJIyprH3~aT, 1950.

6. Aeepwuu c.r.: MAPKlliEMlIEPCKOE lIEJIO, YrJIeTeXH3)laT,1959.

7. Bals R.: BEITRAG ZUR FRAGE DER VORAUSBERECHNUNG BERGBAULICHER SENKUNGEN, M.a.d.M. 1931/32.

8. Bals R.: ABBAU VON SCHACHTSICHERHEITSPFEILERN, Gliickauf,1939.

9. Bals R.: DER ABBAU VON SCHACHTSICHERHEITSPFEILERN,M.a.d.M.1943.

294 Literatura

10. Bals R.: EINWIRKUNGER AUF SCRACRTE, DER DEUTSCHE STEINKORLENBERGBAU, Bd.2, Veri. Gliickauf, Essen, 1956.

11. Baranovski W. I.: YOM VORRICHTUNGSBAUEN BEIM ABBAU YOM

FLOZEN FLACRERLAGERUNG 1M DONEZBECKEN, IGT, Leipzig, 1958.

12. Batkiewicz W: OBLICZANIE WSKAZNIK OW POEKSPLOATACYJNYCH

DEFORMACJI TERENU, "Slask", Katowice, 1968.

13. Be.l!OJ1u'lCofJA.H. u ap.: CIlPABOqHVlK no MAPI{IIIEHlIEPCKOMYlIEJIY, "He.n:pa" MOCKBa, 1979.

14. Brauner G.: ZUSAMMENHANGE ZWISCHEN SENKRECHTEN UND WAAGERECHTEN BODENBEWEGUNGEN BEIM ABBAU FLACHGELAG

ERTER STEINKOHLENFLOZE, Gliickauf, 1959.

15. Brauner G.: EIN BEITRAG ZUR FRAGE DER OBERFLACHENVERFOR

MUNG DURCH ABBAU IN STElLER LAGERUNG, I IC ISM Praha, 1969.

16. Brauner G.: DBER DIE ANWENDUNG YON SENKUNGS-VERSCHIEBUNGSDIAGRAMMEN AUF DIE STOCHASTISCHE THEORIE DER GE

BIRGSBEWEGUNGEN BEl FLACHER LAGERUNG, M.a.d.M., 1961.

17. Budryk W., Knothe S.: EINFLUSS DES UNTERTAGE-ABBAUES AUFDIE ERDOBERFLACHE YOM GESICHTSPUNKT DER SICHERUNG

DER OBJEKTE (GEBAUDE), Bergakademie, 1953.

18. 'lepuwu T.N.: OnPElIEJIEHWE BEJUlqI1H OCElIAHUH I1lIEOPMAIIl1H 3EMHOH nOBEPXHOCTI1 npw ClIBW:>KEHWH nOPOlI

B OPME PEOJIorI1QECKOrO TEQEHI1JI, 113B.BY30B. rOpHhIHiKypHaJI, Ho 7 1966.

19. Drisch L.: BEWERTUNG YON BERGSCHADEN AN GEBAUDEN, Thea

dor Oppermann Verlag, Hannover-Kirchrade, 1972.

20. Dorilevic D.: ODREBIVANJE PARAMETARA POMERANJA POTKOPANOG TERENA U RUDNICIMA UGLJA SA PODZEMNOM EKSPLOATA

CIJOM, Doktorska disertacija, RGF Beograd, 1989.

21. Eckart D.: ARTEN UND URSACHEN VON SCHADEN AN STILLGELEG

TEN BERGWERKSANLAGEN, Neue Bergbautechnik. 2,1972.

22. Gerard C.: LES AFFASSEMENTS MINIERS ET LES MOYENS PARMA

TANT DE LIMITER LEUR EFFECTS A LA SURFACE DU SOL, Revue de

l'industrie minerale, 1/1969.

23. Hartmann M.: TASCHENBUCH HOCHBAUSCHADEN UND - FERLER,

Franckh'sche Verlaghandlung Stuttgart, 1964.

24. Hoffmann H.: GEMESSENER UND BERECHNETER SENKUNGSABLAUFDBER SPDLVERSATZABBAU, M.a.d.M., 1943.

25. Hoffmann H.: ZUR FRAGE DER BERGBAULICHEN MINDERWERTSBESTIMMUNG BEl WOHNBAUTEN, Bergbauwissenschaften, 15/161962.

Literatura 295

26. XOXAOB H.B.: BE30IIACHAH PA3P ABOTKA nOJIE3HbIX MCKOTIAEMbIX IIOl[ BOl[OEMAMH, "He.u.pa", MocKBa, 1971.

27. XpUC"le8 T., nomo8 K., Teopzue8 K.: OIIA3BAHE HA C'bOP'bJKEHMRTA M OBEKTHTE OT BPELiHOTO BJU1RHME HA rr01I3EMHMTE MHHHH PABOTH, "TexHHKa", Co.pX-U:l,1978.

28. XpUC"le8 r.e.: K BOIIPOCY OB H3MEHEHHl1 yrJIOB CllBHJKEHHR rOPHbIX IIOPOlI IIPM YBEJIMqEHMH rJIYBHHbI IIOlI3EMHOM P A3PABOTKH, VI IC ISM Harrogate, 1985.

29. J(anoaYPo8 If.If.: MEXAHllKA 3EPHMCTbIX CPElI VI CE IIPMMEHEHME B CTPOHTEJIbCTBE, CTpoHH3.u.aT,1966.

30. KanAbt6ae8a )f(.M.: ClIBHJKEHI1E M OBPYIIIEIU1E rOPHbIX IIOPOl[ B MACCHBE IIPH P A3P ABOTKE IIOJIOrOIIAlIAIOIIIMXyrOJIbHbIX IIJIACTOB, II IC ISM Budapest, 1972.

31. KanAu6aeBa HCM.: BEWEGUNGEN 1MGEBIRGSKORPER UND SEKUNGEN AN DERTAGESOBERFLACHE, Bergakademie, Vo1.21Nr.3 1969.

32. Keinhorst H.: BEl BODENSENKUNGEN AUFTRETENDE BODENVERSCHIEBUNGEN UND BODENSPANNUNGEN, Gliickauf, 1928.

33. KUCUM08 If.: H3CJIElIBAHE BJIMRHMETO HA OCHOBHMTE MHHHO-rEOJIOJKKM AKTOPH B'bPXY 'brJIMTE HA lIBMJKEHME H PA3K'bCBAHE B PYlIHMIIHTE HA MOK ''rOPYBCO'',lIMcepTa[(HH, CO.pHH,1973.

34. KUCUM08 If.: IIPorH03HPAHE YCTOMQMBOCTTA HA 3EMHATA IIOB'bPXHOCT IIOlI BJIIIHHME HA MMHHI1TE PABOTHB PYlIHMIIHTE HA lIMII ''rOPYBCO'', Py.u.O.u.06HBMeTaJIyprHH,1/1971.

35. KO.J1,6en'K:08C.Il.: AHAJII1TI1QECKOE BbIP AJKEHME TMIlOBbIXKPHBblX ClIBHJKEHI1R IlOBEPXHOCTH, Tpy.u.bI BIH1MH, c6.XIJII, 1961.

36. Kowalczyk A.: OKRESLENIE WPLYWOW EKSPLOATACJI GORNICZEJMETODA PRZEKROJOW PIONOWYCH, "Slask", Katowice, 1972.

37. Kratzsch H.: BERGSCHADEKUNDE, Springer Verl, Berlin, 1974.

38. Kratzsch H.: EINIGE BEMERKUNGEN ZUR VORAUSBERECHNUNGDER BODENBEWEGUNG UND SCHACHTDEFORMATION, VI IC ISMHarrogate 1985.

39. KY3ne'll,OB r.H.: 0 MOlIEJII1POBAHMM IIPOIIECCOB IIPOJIBJIEHMM rOPHOro lIABJIEHI1R M ClIBI1JKEHHH rOPHbIX nOPOlIIIOl[ BJII1HHHEM II01I3EMHbIX PA3PABOTOK METOlIOM 8KBI1BAJIEHTHbIX MATEPI1JIJIOB, Tpy.u.bI BHl1Ml1 c6. XfN, 1962.

296 Literatura

40. Ky:mev,oe F.H.: B3AMMOlIEttCTBME BOKOBbIX nOPOlI M KPEInI B OQMCTHhIX BbIPABOTKAX IIOJIOrOI1AlIAIOilll1X llJIACTOB KAMEHHoro yr JIR, HCJIe.n:oBaIIHHno BonpocaM MapFmleH.n:apCKoro .n:eJIac5. XXVH,1953.

41. KY31tev,oe F.H.: IGT-Diskussionen, 1958.

42. Lehmann K., Neubert K., Schafstein K.: BERECHNUNG UND DARSTELLUNG YON BODENBEWEGUNGEN, M.a.d.M., 1942.

43. Liiwiniszyn J.: APPLICATION OF THE EQUATION OF STOCHASTICPROCESSES TO MECHANICS OF LOOSE BODIES, Archiwum mechanikistosowanej, t.8 1956.

44. Liiwiniszyn J.: GEBIRGSBEWEGUNGEN UBER EINEN ABBAU ALS STOCHASTISCHES PROZESS AUFGEFASST, Freiberger Forschungshefte c.22,1956.

4.5. MY.lt.l!epP.A.: HEKOTOPbIE BOI1POCbI 3AllIllTbI 3lIAHlltt IICOOpymEHllttoTBJIllHHllRrr01I3EMHMXrOPH~XPABOTB CCCP, I IC ISM Praha, 1969.

46. Mypawee A.H.: AHAJIM3 rrAPAMETPOB rrpOilECCA ClIBMmEHllR 3EMHOtt rrOBEPXHOCTll B KAPArAHlIMHCKOM BACCEilHE, TpY,llbI BHHMM c6. JI, 1963.

47. Neset K.: VLIVY PODDOLOVANI, SNTL Praha, 1984.

48. Niemczyk 0.: ZUR FRAGE DES GRENZ - UND BRUCHWINKELS BElBODENSENKUNGEN, M.a.d.M., 1935.

49. Niemczyk 0.: BERGSCHADEKUNDE, VerI. Gliickauf, Essen, 1949.

50. Niederhofer G.: NEUES VERFAHREN FUR DI~ VORAUSBERECHNUNGYON BODENSENKUNGEN VORNEHMLICH UBER ABBAUEN IN STElLER LAGERUNG, M.a.d.M., 1962.

51. Niederhofer G.: SPANNUNGSVERLAGERUNGEN, GEBIRGSBEWEGUNGEN UND GEBIRGSVERFORMUNGEN 1M ABBAUEINWIRKUNGSBEREICR, Das Markscheidewesen, B.3, 1989.

52. Niemczyk 0.: DIE BODENBEWEGUNGSVORGANGE, DER DEUTSCHESTEINKOBLENBERGBAU, Bd.2, VerI. Gliickauf, Essen, 1956.

53. 0'Mo6.1tu1tlI.H., u op.: MAPKillElllIEPCKOE lIE JI0 , "He.n:pa", MocKBa,1981.

54. Obersie-Brink K.: FRAGE DER BEBUNGEN BEl BODENBEWEGUNGEN 1M BERGBAU, "Gliickauf", 1940.

55. Oberste-Brink K.: DER HEUTIGE STAND DER BERGSCBADENFRAGE,M.a.d.M., 1935.

56. Obersie-Brink K., Weissner J.: ZUR ERMITTLUNG DES GEBAUDEMINDERWERTS DURCR BERGSCHADEN, Gliickauf, B.7, 1960.

Literatura 297

57. Pataric M., StojanovicA.: UBER DIE STOCHASTISCHE THEORIE DERGEBIRGSBEWEGUNG ALS ABBAUFOLGE, N Ie ISM Aachen, 1979.

58. Pataric M., Stojanovic A.: VOLLFL.\CHE BEl GENEIGTER LAGERUNG,Freiberger Forschungshefte A 660 213/18, 1982.

59. Patarie M., Stojanovic A.: UBER DER GRENZWINKEL BEl DER VORAUSBERECHNUNG DER BODENBEWEGUNGSELEMENTE ALS ABBAUFOLGE, V IC ISM, Varna, 1982.

60. Pataric M., Stojanovic A.: UBER DEN MULDENWINKEL BEl GENEIGTEN LAGERUNGEN, VI IC ISM Harrogate, 1985.

61. Patal'i6 M., Stojanovi6 A.: UBER MAXIMALE SENKUNG BEl DEN GENEIGTEN LAGERUNGEN, VI IC ISM Harrogate, 1985.

62. IIamapun. M., Cmojauo8un. A.: M3MEHEHME rPAHMQHbIX yrJIOBC rJIYBMHO.t1, VIIIC ISM Leningrad, 1988.

63. Patal'i6 M., Stojanovi6 A., Vusovic N.: PRORACUN POMERANJA I DEFORMACIJA NA POVRSINI TERENA PRI IZGRADNJI METROA. VIIJugoslovenski simpozijum 0 mehanici stena i podzemnim radovima, Beograd,1989.

64. Patal'ic M., Stojanovi6 A.: DIE WINKELPARAMETER DES BEWEGUNGSPROZESSES IN NICHT UNTERSUCHTEN KOHLENREVIEREN, VJII ICISM Lexington Kentucky, 19!H.

65. Perz F.: DIE ZONENTEILUNG DER ENTWIKLUNGSFLACHEN IN BERGBAULICHER SENKUNGSGEBIETEN, Berg-ung Hiittenmannische Monatshefte, Leoben, 1940.

66. Perz F.: DER EINFLUSS DERZEIT AUS DIE BODENBEWEGUNG UBERABBAUEN, M.a.d.M., 1948.

67. Perz F.: EINE TEILUNGSART DER VOLLFLACHE ZUR EINFACHENVERSCHIEBUNGSBERECHNUNG UBER ABBAUEN BEl FLACHER LAGERUNG, M.a.d.M., 1948.

68. IIemyxoB H.M., IIpoc1i:YP,ff'IC08 B.M.: rEOH3M"YECKHE METOLIbIMCCJIELIOBAHM.H I1 KOHTPOJUI B MEXAHI1KE rOPHbIX noPOLI, YrOJJb, 6/1988.

69. Rom H.: GRENZWINKELSYSTEMATIK, IvLa.d.M., 1964.

70. Romanica R., Smolarski A.Z.: DIE GRUNDLAGEN DER INTEGRALTHEORIE DER BERGSCHADEN, Bergakademie H.7, 1968.

71. IIIazaJw8 C.E., l\lIYJV!ep P.A.: 3AllUITA :vI nOLIPABOTKA 31IAHl1HH COOPY}KERHn, "HeApa", MocKBa, 1974.

72. Szelag S.: ERMITTLUNG DES MINDERWERTS VON GEBAUDEN INBERGSENKUNGSGEBIETEN, Das Markscheidewesen HA, 1989.

298 Literatura

73. Schleier 0.: ZUR FRAGE DER SENKUNGSVORAUSBERECIINUNG BEIMABBAU YON STEINKOHLENFLOZEN IN GENEIGTER LAGERUNG,M.a.d.M.,1937.

74. Siemonsen F.: TASCHENBUCH TIEFBAUSCHADEN UND - FEHLER,Franckh'sche Verlagshandlung, Stuttgart, 1961.

75. Spickernagel H.: UNTERSCHIEDE ZWISCHEN DEM VERLAUF DERDURCH ABBAU VERURSACHTEN BEWEGUNGEN UBER UND UNTERTAGE, M.a.d.M., 1964.

76. Szpetkowski S.: POMIARY DEFORMACJI NA TERENACH EKSPLOATACJI GORNICZE.J, "Slask", Katowice, 1968.

77. Sudoplatow A.G., Baranovski W.i.: EINWIRKUNG DES GEBIRGSDRUCKAUF DIE STANDFESTIGKEIT VON VORRICHTUNGSBAUEN, IGT,Leipzig, 1958.

78. 3e.Ae'H'qo8 C.H., TJfnu'H S.M.: OlIEHKA ClIB11IKEH11H 11 lIEOPMAlI11M rOPHbIX IIOPOlI 113EMHOH nOBEPXHOCT11, rOpHhIH*ypHaJI, Ho 1, 1991.

79. 3eMuce8 B.H.: P AC4ETbI lIE<t>OPMAlI11H rOPHOrO MACC11BA,"He.n:pa", MocKBa, 1973.

80. Zilavy E.: VPLYVY PODDOLOVANIA, Bratislava, Alfa, 1968.

81. Zilavy E.: EINIGE ERKENNTNISSE ZUR VORAUSBERECHNUNG DEREINFLUSSE DES ABBAUES, ]I IC ISM Budapest, 1972.

82. Zilavy B.: DIE BESTIMMUNG DERSENKUNGSPARAMETER FUR VORLAUFIGE BERECHNUNGEN AUF GRUND DER PRAKTISCHEN MESSUNG EN 1M REVIER, Ostrava-Karvina, I IC ISM, Pracha, 1969.

83. IIPABI1JIA OXPAHbI COOPYIKEH11M I1 IIP11POlIHbIX OB'bEKTOB OT BPEl1HOrO BJI11HH11H II01I3EMHbIX rOPHbIX PA3P ABOTOK HA yrOJIbHbIX MECTOPOlKlIEHI1HX, " He.n:pa" ,MOCI<Ba,198!.

84. Luetkens 0.: SCHAD EN AN BAUWERKEN, Der Deutsche Steinkohlenbergbau Bd.2, Veri, Gliickauf, Essen, 1956.

85. OCHRONA POWIERZCHNI PRZED SZKODAMI GORNICZYMI, "Slask",Katowice, 1980.

86. Cl1BI1JKEHI1E rOPHbIX IIOPOlI IIPI1 IIOlI3EMHOM P A3PABOTKE yrOJIbHbIX 11 CJIAHIIEBbIX MECTOPOIKLIEHI1l1:, "He.n:pa", MocKBa, 1970.

87. ClIBI1JKEHI1E rOPHbIX IIOPOll HA PYllHbIX MECTOPOJKlIEHI1HX, "He.n:pa", MocKBa, 1971.

Documents

Učbenik