UD03

MATEMÁTICAS 4º ESO, op. BUD03: ECUACIONESCurso 2012/13

Colegio Diocesano Sagrado Corazón

C/. Fuerte, 806100 – Olivenza (Badajoz)

Colegio Sagrado Corazón de OlivenzaMatemáticas, opción B

D. José L. Muñoz ExpósitoUD03: ECUACIONES

Criterios De Evaluación de la Unidad

1. Resolver ecuaciones de primer grado en las que haya que quitar paréntesis y denominadores.

2. Resolver problemas en diversos contextos mediante el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado. Dichos problemas podrán estar relacionados con diversas situaciones: problemas sobre cantidades y números, problemas sobre edades, problemas de fuentes y obreros, problemas de relojes, problemas de geometría, problemas de móviles, problemas relacionados con las otras ciencias y con la vida cotidiana.

3. Resolver ecuaciones de segundo grado bien por el método de formación de cuadrados bien por el método general. Resolver, asimismo, ecuaciones de segundo grado incompletas, ecuaciones bicuadradas, ecuaciones irracionales y ecuaciones sencillas de grado superior a 2.

4. Analizar el discriminante de una ecuación de segundo grado para averiguar, sin necesidad de resolverla, el número de soluciones reales y diferentes que tiene.

5. Averiguar la suma y el producto de las raíces de una ecuación de segundo grado, sin necesidad de resolverla.

6. Escribir una ecuación de segundo grado que tenga por raíces ciertos números dados.

7. Resolver problemas en diversos contextos mediante el planteamiento y resolución de ecuaciones de segundo grado.

Esquema en relación con los criterios de evaluación

1.- Repaso de Conceptos. 2.- Ecuaciones de Primer Grado. Problemas. (C1, C2) 3.- Ecuaciones de Segundo Grado. Problemas. (C3, C4, C5, C6,

C7) 4.- Otras Ecuaciones (C3)

Desarrollo de los Contenidos

1.- Repaso de Conceptos.

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DEFINICIÓN: Una ecuación es una igualdad compuesta de números (coeficientes) y letras (incógnitas) que se hace verdadera para ciertos valores de las incógnitas (soluciones).

Ej.: , y x=3, x=-3 son soluciones de la ecuación.

DEFINICIÓN: Resolver una ecuación es hallar sus soluciones. Una ecuación puede no tener solución, tener una única solución, varias o aún infinitas.

DEFINICIÓN: El grado de una ecuación es el exponente mayor de sus incógnitas. El grado está muy relacionado con el número de soluciones posibles que tiene una ecuación.

Ej.: , es de grado 1

, es de grado 2

, es de grado 3

DEFINICIÓN: Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

REGLA (De la suma): Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta una misma cantidad, la ecuación resultante es equivalente a la inicial. Dicho de otra manera, lo que está sumando pasa al otro miembro restando y viceversa.

Ej.:

REGLA (Del producto) : Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuación por una cantidad distinta de cero, la ecuación resultante es equivalente a la inicial. Dicho de otra forma, lo que está multiplicando pasa dividiendo y viceversa.

Ej.:

REGLA (Del factor): Si el producto de dos cantidades es igual a cero, al menos una de las dos cantidades ha de ser cero.

Ej.:

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2.- Ecuaciones de Primer Grado. Problemas.

REGLA: Las ecuaciones de primer grado tienen una y sólo una solución.

REGLA: Para resolver ecuaciones de primer grado, resulta conveniente seguir los siguientes pasos:

1) Quitar denominadores.2) Quitar paréntesis.3) Llevar todos los términos con incógnita a un miembro y los

que no tienen incógnita al otro, mediante la regla de la suma. Luego, operar simplificando términos semejantes.

4) Aplicar la regla del producto para despejar la incógnita y hallar la solución.

5) Comprobar el resultado.

Ej.: Resuelve las siguientes ecuaciones:

Solución:

REGLA: Para resolver problemas que involucren ecuaciones de primer grado se recomienda seguir los siguientes pasos:

1) Identificar la incógnita, “¿Qué nos piden?”2) Elaborar esquemas, dibujos, diagramas, etc. que nos

permitan vislumbrar la ecuación que resuelva el problema.3) Escribir la ecuación.4) Resolver la ecuación.5) Comprobar la solución.6) Escribir la solución al problema contestando la pregunta

que nos hicieron.

Ej.: La edad de una madre es 40 años y las edades de sus tres hijos suman 28 años. ¿Dentro de cuántos años sumarán como la edad de la madre?

Solución: Dentro de 6 años.

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1.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

Solución:


Solución:


Solución:

4.- El perímetro de un triángulo isósceles es 36 cm. Cada uno de los lados iguales es 6 cm mayor que el de la base. Halla los lados del triángulo.

Solución: 8 y 14 cm.

5.- Tres niños juntan su dinero para entregarlo como ayuda de las personas necesitadas y reúnen en total 36 €. Calcula cuánto tenía ahorrado cada uno sabiendo que el primero aporta 2 € más que el segundo y éste doble que el tercero.

Solución: 6,80 €, 13,60 € y 15,60 €

6.- “¿Cuánto te costó la bici?”, preguntó un alumno. El otro le contestó: “un quinto, más un sexto, más un séptimo del precio menos dos euros, fue la mitad de todo”. Halla el precio de la bici.

Solución: 210 €.

7.- Un ganadero tiene lleno el tanque de leche; se saca la mitad del contenido y después un tercio del resto, quedando en él 400 L. Calcula la capacidad del tanque.

Solución: 1200 L.

8.- La edad de una madre es triple de la de su hijo. Dentro de diez años su edad será el doble. ¿Qué edad tienen hoy cada uno?

Solución: 10 años y 30 años.

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3.- Ecuaciones de segundo grado. Problemas.

REGLA: Toda ecuación de segundo grado, una vez simplificada y ordenada, queda en la siguiente forma general:

DEFINICIÓN: Una ecuación de segundo grado se dice completa si tiene los términos a, b, c distintos de cero. En caso contrario se dice incompleta.

REGLA (resolución de la ecuación completa): Para resolver las ecuaciones de segundo grado completas, utilizamos la siguiente fórmula:

Ej.: Resuelve la siguiente ecuación: Solución: -1 y 2

REGLA (resolución de la ecuación incompleta en la que b=0): Se despeja directamente x2, como si la ecuación fuese de primer grado, y finalmente se hace la raíz cuadrada, teniendo en cuenta la raíz positiva y la raíz negativa.

Ej.: Resuelve la siguiente ecuación:

Solución:

REGLA (resolución de la ecuación incompleta en la que c=0): Se saca factor común y luego se aplica la regla del factor.


Solución:

REGLA: El caso de la ecuación incompleta en la que a=0 es un absurdo, se trata simplemente de una ecuación de primer grado.

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DEFINICIÓN: A la expresión que aparece en la fórmula general se le llama discriminante de la ecuación.

REGLA: Se dan los siguientes casos:

1.- dos soluciones

2.- una solución

3.- no existe solución

Ej.: Determina, sin resolverlas, el número de soluciones de las siguientes ecuaciones:

Solución: s

REGLA (relaciones de Cardano-Vieta): Si x1 y x2 son las soluciones de

la ecuación , entonces se verifica:

REGLA: Se puede comprobar con las relaciones de Cardano-Vieta que si las soluciones de una ecuación son x1 y x2, entonces la ecuación puede escribirse:

Ej.: Escribe la ecuación de segundo grado cuyas soluciones son 3 y 4.

Solución:

REGLA: Dada una ecuación de segundo grado y conocidas sus soluciones (=raíces), podemos factorizar dicha ecuación según:

Ej.: Factoriza la ecuación del ejemplo anterior.

Solución:

REGLA: Para resolver problemas que involucren ecuaciones de segundo grado, resulta conveniente seguir los mismos pasos que para los de ecuaciones de primer grado.

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Solución:


Solución:

11.- Calcula el discriminante de las siguientes ecuaciones y di cuántas soluciones tienen sin resolverla íntegramente:

Solución:

12.- De una ecuación se sabe que sus soluciones son x=-2 y x=3. Escribe la ecuación de la que se habla.

Solución:

13.- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado y factoriza si ello es posible:

Solución:

14.- Un grupo de alumnos, al despedirse al final de curso, deciden enviarse emails desde sus puntos de vacaciones. Un alumno, muy dado a los números, dice que hay que enviar 132 emails. ¿Cuántos alumnos hay en el grupo?

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Solución: 12 alumnos.

15.- En una división entera el dividendo es 1081, el cociente y el resto son iguales y el divisor doble del cociente. Halla el divisor.

Solución: 23 es el cociente, 46 el divisor.

16.- Un campo rectangular mide 2800 m2 y su perímetro tiene una longitud de 220 m. Halla las dimensiones de la finca.

Solución: 70 y 40 m.

17.- Aumentando el lado de una plaza cuadrada en 8 m y el lado contiguo en 12 m, se obtendrá una plaza de doble área que la inicial. Halla el lado de la plaza.

Solución: 24 m

18.- Las medidas de los lados y la diagonal de un rectángulo son tres números pares consecutivos. Halla sus valores.

Solución: 6, 8 y 10

4.- Otras Ecuaciones.

Ecuaciones bicuadradas.

DEFINICIÓN: Una ecuación bicuadrada es una ecuación de cuarto grado a la que le faltan los términos de grado impar, y que por tanto responde a la siguiente forma general:

REGLA: Las ecuaciones bicuadradas se resuelven como si fuesen de segundo grado completas, con la salvedad que lo que se halla es x2, con lo que al final hay que hallar las raíces cuadradas de lo obtenido.


Solución:

REGLA: Las ecuaciones bicuadradas pueden tener 0, 1, 2, 3 o cuatro soluciones.

Ecuaciones irracionales.

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DEFINICIÓN: Una ecuación irracional es aquella en que la incógnita está dentro de una raíz.

REGLA: Para resolver una ecuación irracional, se aísla una raíz en un miembro y se elevan al cuadrado ambos miembros. Si con esta operación no desaparecen todas las raíces, se vuelve a realizar la operación hasta conseguir que desaparezcan. Luego, se resuelve la ecuación resultante. Hay que tener en cuenta que en el proceso de elevar al cuadrado, pueden aparecer soluciones no válidas, con lo que se hace obligatorio comprobar al final las soluciones.

Ej.: Resuelve las siguientes ecuaciones:

Solución:

Ecuaciones de grado superior a 2.

REGLA: Se pueden resolver ecuaciones de grado superior a 2 intentando factorizarlas (por ejemplo con la regla de Ruffini) en un producto de binomios del tipo:

, donde las soluciones serían


Solución:


Solución:


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Solución:


Solución:

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