UD1-Cinemática

8/3/2019 UD1-Cinemtica

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Departamento de Fsica y Qumica

Fsica y Qumica de 1 de Bachillerato Cinemtica 1

Unidad Didctica n 1:

CINEMTICA:EL MOVIMIENTO Y SUS CLASES

1. Sistema de Referencia.

Antes de iniciar el estudio del movimiento de los cuerpos, la primera cuestin que debemosplantearnos es cul es el significado de la palabra movimiento.

Decimos que un cuerpo se ha movidocuando se ha modificado su posicin con respecto a un puntoO que tomamos arbitrariamente como referencia.

La cinemtica estudia la variacin de esa posicin con respecto a O en el curso del tiempo. Enfuncin del tipo de movimiento deberemos elegir como sistema de referencia:

I. Un sistema unidimensional, es decir, una recta soporte sobre la que escogemos un punto dereferencia O, como origen de abscisas para el caso de movimientos rectilneos.

II. Un sistema bidimensional, es decir, un sistema cartesiano de dos ejes de coordenadas, para elcaso de los movimientos de trayectoria parablica o circular, pues se trata de trayectorias planas.

III. Un sistema tridimensional para un movimiento que se desarrolla en el espacio de tresdimensiones, cuyo estudio analtico se sale fuera de nuestro proyecto.

2. Movimiento.SE DENOMINA POSICIN, AL LUGAR QUE OCUPA UN OBJETO RESPECTO DE UN SISTEMA DE REFERENCIA.

Un objeto est en movimiento cuando su posicin, con relacin a un sistema de referencia, semodifica a medida que transcurre el tiempo.

El asegurar que un objeto se mueve o est en reposo no tiene sentido, si no se indica el sistema dereferencia elegido. Tanto el estado de reposo como el movimiento son relativos. Uno y otrodependen del sistema de referencia elegido. As, una persona situada dentro de un automvil esten reposo respecto de sus compaeros de viaje y en movimiento respecto de los elementos delpaisaje.

No existe ningn sistema de referencia inmvil, por lo que no se puede conocer la velocidad absolutade un objeto. Solo se puede determinar su velocidad respecto de un sistema de referencia.


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LLAATTRRAAYYEECCTTOORRIIAAEESS LLAA LLNNEEAA IIMMAAGGIINNAARRIIAA QQUUEE UUNNEE AA LLAASS SSUUCCEESSIIVVAASS PPOOSSIICCIIOONNEESSQQUUEE OOCCUUPPAA UUNN OOBBJJEETTOO RREESSPPEECCTTOO AA UUNN SSIISSTTEEMMAA DDEE RREEFFEERREENNCCIIAA..

Las trayectorias pueden ser lneas rectas o curvas. Las trayectorias curvilneas pueden sercircunferencias, elipses, parbolas u otro tipo de curva cualquiera.

3. Magnitudes Vectoriales.

Hemos estudiado, en cursos anteriores, diversas magnitudesque, para ser definidas, solo necesitaban de un nmero y unaunidad. A ese concepto segn el que se defina a las mismaslo denominamos mdulo. Ejemplos de tales magnitudes sonla masa y el tiempo. Sin embargo, hay otras magnitudes que,para definirlas, necesitan de otros elementos o caractersticas,aparte del mdulo. Tales caractersticas son: punto deaplicacin, direccin y sentido. Son ejemplos demagnitudes vectoriales la velocidad, la aceleracin y la fuerza.

Las magnitudes vectoriales se representan mediantevectores, que son segmentos de recta orientados, tal y comoobservamos en la figura de la derecha y se escriben ennegrita v o con una flecha encima v

r

. Los vectores puedenser:

I. Libres: se pueden trasladar a lo largo de su direccin o arectas paralelas a la misma. Ejemplo: velocidad de traslacin de un cuerpo.

II. Deslizantes: Igual que los anteriores pero sin poder desplazarse a rectas paralelas. Ejemplo: lafuerza que se ejerce sobre un cuerpo.

III. Axiales: Cuando estn ligados a un sentido de rotacin como la velocidad angular con que giraun cuerpo.

4. Vectores unitarios y operaciones con vectores

Los vectores unitarios son unos vectores de mdulounidad, aplicados en el origen de coordenadas, de direccin lade los ejes de coordenadas y cuyo sentido coincide con elsentido positivo de dichos ejes. Se representan por:

El producto de un nmero real n por un vector a, es otrovector de mdulo nveces el mdulo del vector a, su direccin esla misma que la del vector a y su sentido es el del vector a, si nes positivo y el opuesto, si nes negativo.

Para sumar grficamente dos vectores a y b, se trasladauno a continuacin de otro y el vector suma se obtiene uniendoel origen del primero con el extremo del segundo. Para restar aun vector a el vector b, basta sumar el vector a con el vector -b.

kujuiu zyx

r

rr

rr

r

=== ;;

anan =r


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4.1. Descomposicin de un vector en componentes

Un vector a queda determinado en el plano por la suma de dos vectores, ax, ay,dirigidos segn las direcciones de los ejes de coordenadas.

a=ax+ay

A estos vectores se les denomina componentes

cartesianas y se obtienen proyectando el vector en lasdirecciones de los ejes de coordenadas.

Si el vector considerado forma un ngulo con el ejede abscisas, las relaciones entre el mdulo del vector, losmdulos de las componentes cartesianas y las razones

trigonomtricas del ngulo son:

Estas componentes se pueden expresar como elproducto de su mdulo por un vector unitario en ladireccin de los ejes de coordenadas.

Para sumar dos vectores expresados en funcin de suscomponentes cartesianas basta sumar las componentescorrespondientes.

EJERCICIOS DECLCULOVECTORIAL

1. Todo vector en el plano se puede descomponer en una componente horizontal y en otra vertical.Segn sto, dibuja un vector de mdulo 3 sobre un sistema XY, con una direccin de 30sobre eleje de abcisas y luego exprsalo vectorialmente de forma analtica.

2. Dado el vector ar

de componentes: ax = 3 unidades y ay =4 unidades, exprsalo en forma vectorial,calcula su mdulo y su direccin.

3. Dado el vector ar

de mdulo 5 unidades y direccin 537' 48", deter mina sus componentescartesianas y exprsalo en forma vectorial.

4. Dados los vectores siguientes, calcula el mdulo y la direccin de su suma y de su diferencia:

j2i4arrr

+= ; j5i2brr

r

+=

6. a) Un avin vuela a 1000 km/h hacia el norte. Si sopla viento del suroeste (45) con una velocidad de200 km/h, calcula la velocidad total del avin y el ngulo que se desva del rumbo.

b) En el ejercicio anterior, qu direccin debera tomar el piloto para poder llegar al norte?

7. Dados los vectores a y b siguientes: j5i3b;j3i2arrrrr

r

+=+= , determina la expresin vectorial, el

mdulo y la direccin de: b5a2;a2;a2;ab;bar

rrrr

rr

r

++ .

8. Dados los vectores: i3d;j4c;j2i4b;j3i2ar

rr

rrr

rrr

r

==+==

Indica el ngulo que forman entre s las parejas de vectores: (a, b), (c, d), (a, d) y (b, d).

22;

cosyx

x

y

y

xaaa

a

atg

senaa

aa+==

=

=

jaiaaaajaaiaayxyxyyxx

rrrrr

rr

rr

+=+=== ;


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9. Suma los vectores de las figuras siguientes:

10. Dados tres vectores a, b y c, situados en el plano XY, de mdulos 3, 2 y 1 y de direcciones 60,

90y 120, respectivamente, calcular:

a) Sus componentes cartesianas.

b) El mdulo y la direccin de la suma de los tres.

5. Vector de posicin.

Al realizar el estudio analtico del movimientopodremos asimilar la posicin del cuerpo a la de unpunto, que denominamos punto material, que nosinforma de esa posicin en el espacio en cadainstante.

La posicin de ese punto P con relacin al puntode referencia O queda definida por un segmento conorigen en O y extremo en P, indicando este extremocon una flecha, a la que denominaremos vector deposicin del punto P.

Diremos que el punto se encuentra en laposicin definida por el vector OP, o vector r

r

.

Para definir la posicin P del mvil,necesitaremos conocer dos parmetros, bien sea elmdulo de r y el ngulo , y diremos que P viene definido por las coordenadas polares (r, ), o bien sealas coordenadas cartesianas de P(x,y).

Entre las coordenadas (r, ) y (x,y) existe la relacin: donde iy j son losvectores unitarios en los ejes x e y.

Obtenemos as el vector de posicin rr

cuyo mdulo viene dado por: 22 yxrr +==r

6. Trayectoria, espacio recorrido y vectordesplazamiento.

Las componentes del vector de posicin se expresancomo funciones del tiempo y se denominan ecuacionesparamtricas del movimiento: x = f(t) ; y = g(t). Combinandoambas y eliminando el tiempo se obtiene la ecuacin de latrayectoria que sigue el mvil en su movimiento.

Trayectoria es la lnea determinada por las sucesivasposiciones del mvil en el curso de su movimiento.

jyrixr yxr

rr

r

== ;

P

x

y

O

rr

yrr

xrr


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Para determinar la ecuacin de la trayectoria es necesario trabajar matemticamentecon las dos ecuaciones paramtricas, despejando la variable t en la ecuacin paramtricacorrespondiente al eje x y sustituyndola en la paramtrica del eje y. De esa forma nos queda unaecuacin y = f(x) que nos muestra la trayectoria.

Ejemplo: Para un vector de posicin: j)+t(+it=r2

rrr

425

x = 5t t = 5/x

y = 2t2

+ 4 = 2(t/5)2

+ 4 y = 2(t/5)2

+ 4

Espacio recorrido e es una magnitud escalar que indica el camino que realiza el mvil medidosobre la trayectoria.

Vector desplazamiento es el vector definido por la posicin inicial, que ser el origen del vector,y la posicin final, que ser su extremo. Su smbolo es r

r

. Es, por tanto, la variacin queexperimenta el vector de posicin durante el tiempo transcurrido.

Este vector es independiente de la trayectoria y solo coincide con ella cuando sta es recta.

7. Velocidad media.

Para indicar si un objeto va deprisa o despacio, sin precisar la direccin ni el sentido del movimiento,se utiliza la rapidez media, que es una magnitud escalar que se obtiene al dividir el espaciorecorrido, medido sobre la trayectoria, y el tiempo empleado en recorrerla. Sin embargo, si queremosespecificar la direccin y el sentido del movimiento utilizaremos la velocidad media, que es unvector que se obtiene al dividir el vector desplazamiento entre el tiempo empleado en efectuarlo.

El mdulo de la velocidad media se calcula a partir de: 22 )()(mymxmvvv += siendo su direccin y

su sentido los mismos que los del vector desplazamiento.

Ejercicio:

11. La expresin: j)+t(+it=r2

rrr

425 indica la posicin de una partcula, en unidades SI. Calcula elvector desplazamiento, su mdulo, su direccin y el vector velocidad media y mdulo de este entrelos instantes t = 0 s y t = 2 s.

8. Velocidad instantnea.

La velocidad media indica la rapidez del mvil en una direccin y sentido en un intervalo de tiempodeterminado y finito. Sin embargo, si necesitamos conocer la velocidad en un instante concreto o en unaposicin de la trayectoria, por ejemplo, para respetar las normas de circulacin en los vehculos a motorque circulan por las carreteras pblicas, en tales casos el intervalo de tiempo se hace muy pequeo eincluso infinitamente pequeo, es decir, que tiene una duracin de un instante.

Segn la RAE de la Lengua, el trmino instante tiene varias acepciones, entre ellas: Porcinbrevsima de tiempo y Al punto, sin dilacin. Desde el punto de vista fsico, un instante es un intervalode tiempo infinitamente pequeo, por lo que tiende a cero, lo que se expresa matemticamente t 0.

Si aplicsemos la ecuacin del vector velocidad media obtendramos una divisin por cero, de ah quedebamos recurrir a una herramienta matemtica conocida como Clculo de lmites y Derivacin.

( ) ( ) jyyixxrrrrr

rrr

+== 010101

jvivjt

y

it

x

t

r

v mymxm

rrrr

r

r

+=

+

=

=


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Si los intervalos de tiempo entre dosobservaciones son suficientemente pequeos, entonces laposicin P1 se acerca a la posicin P0 y el mdulo delvector desplazamiento, r, se aproxima a la distanciarecorridae.

Matemticamente, se define la velocidadinstantneavr

como el valor lmite de la velocidad mediacuando el intervalo de tiempo tiende a cero (t 0).

La velocidad instantnea es un vector tangente a la trayectoria conorigen en la posicin considerada y cuyo sentido es el del avancedel mvil.

Las componentes del vector velocidad en el plano son:

El mdulo del vector velocidad instantnea es igual a la rapidez,que habitualmente se denomina velocidad, y es la cantidad queindica el velocmetro de un coche.

22 )()( yx vvv +=

Ejercicios:12. El movimiento de una partcula viene definido por el vector de posicin: )m(jt2itr 2

rrr

+= a) Determina la posicin y los vectores de posicin en los instantes t = 0, 1, 2, 3, 4 s.b) Calcula la distancia desde el mvil al origen en el instante t = 4 s.c) Dibuja los vectores y estima cul ser la trayectoria.d) Deduce la ecuacin de la trayectoria.

13. El vector de posicin de una partcula, se expresa con la ecuacin: jtitrrr

r

242

+= en unidades SI.Deduce la expresin del vector velocidad instantnea y calcula su expresin y su mdulo en elinstante t = 2 s.

9. Aceleracin.

Cuando un mvil acelera o frena, cambia el mdulo de su vector velocidad y al tomar una curva varala direccin del citado vector. El vector velocidad se modifica siempre que cambie su mdulo, sudireccin o su sentido.

PPAARRAA DDEEFFIINNIIRR TTAALLEESS CCAAMMBBIIOOSS SSEE UUTTIILLIIZZAA EELL CCOONNCCEEPPTTOOAACCEELLEERRAACCIINN,, QQUUEEEESS LLAA MMAAGGNNIITTUUDDVVEECCTTOORRIIAALL QQUUEE MMIIDDEE LLAASS VVAARRIIAACCIIOONNEESS DDEELL VVEECCTTOORR VVEELLOOCCIIDDAADD EENN EELL TTRRAANNSSCCUURRSSOO DDEELL TTIIEEMMPPOO..

jdt

dyi

dt

dxj

t

ylimi

t

xlim

t

rlimv

rrrr

r

r

+=

+

=

=

jvivjdt

dyi

dt

dxv yx

rrrrr

+=+=


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Sea un mvil que en el instante t0 se encuentra en la posicinP0y tiene la velocidad 0v

r

y en el instante t1 est en la posicin P1siendo su velocidad 1v

r

.

Se define el vector aceleracin media,mar

, como la variacinque experimenta el vector velocidad instantnea en la unidad detiempo.

La aceleracin media es una magnitud vectorial cuya direccin y sentido son los mismos que los dela variacin del vector velocidad.

Si el intervalo de tiempo, entre dos observaciones, es lo suficientemente pequeo, t 0, laposicin P1se acerca a la posicin P0 lo que permite conocer el valor de la aceleracin en un instantedeterminado o en un punto de la trayectoria.

La aceleracin instantnea es un vector que tiene la misma direccin y sentido que vr

. Laaceleracin media e instantnea se miden en el sistema internacional en m/s2.

El mdulo de la aceleracin instantnea se calcula a partir de: 22 )a()a(a yx +=

9.1. Componentes intrnsecas de la aceleracin.

El vector aceleracin tiene dos efectos sobre el vector velocidad: por un lado puede modificar sumdulo y por otro su direccin. Por lo tanto, el estudio vectorial del movimiento implica que la aceleracinafecta a los cambios de velocidad en ambos aspectos y no solo en el mdulo como se estudia cuandonos limitamos al aspecto escalar.

En cualquier punto de la trayectoria se puede situar un sistema de referencia instantneo, centradoen dicho punto, con uno de los ejes tangente a la trayectoria y el otro, perpendicular (normal) a la misma.A este sistema de referencia se le denomina sistema de referencia intrnseco a la trayectoria.

El vector variacin de la velocidad, vr

, se puede descomponeren dos vectores: uno, en la direccin del vector velocidad,

tvr

,tangente a la trayectoria y otro en la direccin perpendicular,(normal) a la trayectoria, nv

r

.

Al primer trmino de la suma se le denomina aceleracintangencial, at, y al segundo aceleracin normal an.

)/( 201 smt

vv

t

vam

=

=

rrr

r

)/(lim 2smjaiajdt

dvi

dt

dvaa yx

yxm

rrrrrr

+=+==

22

ntntnt aaaaat

v

t

v

t

va +=+=

+

=

=

rr

rrr

r

EELLVVEECCTTOORR AACCEELLEERRAACCIINN IINNSSTTAANNTTNNEEAA,, ar

SSEE CCAALLCCUULLAA AA PPAARRTTIIRR

DDEE LLAA DDEERRIIVVAADDAA DDEELL VVEECCTTOORR VVEELLOOCCIIDDAADD IINNSSTTAANNTTNNEEAA..


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Es un vector cuya direccin es tangente a la trayectoria y su sentido

es: el del movimiento si aumenta la velocidad y el contrario si lavelocidad disminuye. Su mdulo es la relacin entre la variacin delmdulo del vector velocidad y el tiempo que tarda en producirse.

Su mdulo en un determinado instante es la relacin entre elcuadrado del mdulo del vector velocidad, v, y el radio de curvatura, R, de la trayectoria.

Ejercicios:

14. Un individuo deja caer un objeto de masa 2 kg desde lo alto del mstil de un barco que se mueve,en aguas tranquilas, con una velocidad constante de 20 m/s. La longitud de la cubierta del buque es60 m y el mstil est situado en el centro de la misma siendo su altura sobre el suelo de la cubierta20 m. Donde caer el objeto?

15. Un muchacho va sentado en un vagn de ferrocarril que se mueve con velocidad constante y arrojauna pelota directamente hacia arriba, Caer la pelota detrs de l?, delante de l?, caer en susmanos?, qu pasar si el vagn acelera hacia adelante?

16. El vector de posicin de un mvil puntual en funcin del tiempo es: (m)j)+t(3-itr23

rrr

1=

Calcular:a) Los vectores de posicin en los instantes t = 3 s y t = 7 s.b) El vector desplazamiento entre esos dos instantes.c) El vector velocidad media entre esos dos instantes.d) El mdulo de la aceleracin media entre esosdos instantes.e) El mdulo de la velocidad y de la aceleracin en el instante t = 5 s.

17. El vector de posicin de un objeto es: j2)+3t-t(+i1)+(2t=r2

rr

r

Calcular:a) El vector desplazamiento entre los instantes t = 2 y t = 5 s.b) El mdulo de la velocidad media entre los instantes t = 2 s y t = 5 s.c) La direccin de la velocidad instantnea cuando t = 5 s.

d) El mdulo de la aceleracin instantnea cuando t = 5 s.

18. La velocidad de un mvil viene dada por la ecuacin (m/s)j41t)-(103+i4)-(38t=vrr

r

Calcular:a) Su mdulo y direccin a los 2 s.b) El mdulo y la direccin de la aceleracin en el mismo instante.

19. El vector de posicin de una partcula mvil es: medido en unidades S.I. Calcular:a. El mdulo de la velocidad media en el intervalo 2 y 5 s.b. La velocidad en cualquier instante.c. El mdulo y la direccin de la velocidad para t = 0 s.

d. La aceleracin en cualquier instante.

jtitrrr

r

23

+=

LLAAAACCEELLEERRAACCIINN TTAANNGGEENNCCIIAALL,,aa tt ,, EESS LLAA RREESSPPOONNSSAABBLLEE DDEE LLAA VVAARRIIAACCIINN DDEELL MMDDUULLOO

DDEELL VVEECCTTOORR VVEELLOOCCIIDDAADD YY HHAABBIITTUUAALLMMEENNTTEE SSEE CCOONNOOCCEE CCOOMMOOAACCEELLEERRAACCIINN..SSIIEEMMPPRREE

QQUUEE SSEE MMOODDIIFFIICCAA EELL MMDDUULLOO DDEELL VVEECCTTOORR VVEELLOOCCIIDDAADD HHAAYY AACCEELLEERRAACCIINN TTAANNGGEENNCCIIAALL..

normalar

normalar

R

van

2

=

t

vat

=

LLAAAACCEELLEERRAACCIINN NNOORRMMAALL,,aann,, EESS LLAA RREESSPPOONNSSAABBLLEE

DDEELL CCAAMMBBIIOO DDEE DDIIRREECCCCIINN DDEELL VVEECCTTOORR VVEELLOOCCIIDDAADD..EESS UUNN VVEECCTTOORR PPEERRPPEENNDDIICCUULLAARR AA LLAA TTRRAAYYEECCTTOORRIIAA EENN CCAADDAA

PPUUNNTTOO YY SSUU SSEENNTTIIDDOO EESS HHAACCIIAA EELL CCEENNTTRROO DDEE CCUURRVVAATTUURRAA..


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20. Un mvil inicia su movimiento desde el punto A. Recorre 2 m hacia el N, despus se dirige al Erecorriendo 1 m ms; a continuacin se mueve hacia el S desplazndose 4 m y luego toma la direccin Orecorriendo 3 m, y por ltimo recorre 1 m hacia el N. Calcular:

a. El desplazamiento total.b. El espacio recorrido.c. A qu distancia del punto de partida se encuentra el final?

10. Clasificacin de los movimientos.

Los movimientos se clasifican segn sea su trayectoria y sise modifica el mdulo del vector velocidad, es decir, en funcin delas aceleraciones normal y tangencial.

10.1. Respecto a la aceleracin normal

La aceleracin normal mide los cambios en la direccin yen el sentido del vector velocidad. La existencia de un valor deaceleracin normal distinta de cero indica que el mvil hacambiado de direccin.

Si la aceleracin normal es igual a cero, an = 0, no se modificala direccin del vector velocidad por lo que la trayectoria es unalnea recta.

Si la aceleracin normal es distinta de cero, an 0, y el radio decurvatura, R, es constante, entonces la trayectoria es unacircunferencia.

Si la aceleracin normal es distinta de cero, an 0, y radio de curvatura, R, no es constante, entoncesla trayectoria es una lnea curva.

10.2. Respecto a la aceleracin tangencial

La aceleracin tangencial mide la variacin del mdulo del vector velocidad. Si la aceleracin tangencial es igual a cero, at = 0, entonces el mdulo del vector velocidad es

constante y al movimiento se le denomina uniforme.

Si el mdulo de la aceleracin tangencial es constante, at = constante, el mdulo del vector velocidadse modifica proporcionalmente en el transcurso del tiempo y al movimiento se le denominauniformemente acelerado.

Si el mdulo de la aceleracin tangencial se modifica en el transcurso del tiempo, at = f(t), entonces elmdulo de la velocidad y el tiempo transcurrido no son proporcionales, y al movimiento se ledenomina variado.

Los movimientos ms importantes segn la clasificacin anterior son: Rectilneo uniforme: Mdulo y direccin del vector velocidad permanecen constantes: an = at = 0

Rectilneo uniformemente acelerado: No se modifica la direccin del vector velocidad y su mdulovara de forma uniforme: an = 0; at = constante.

Circular uniforme: La trayectoria es una circunferencia y elmdulo del vector velocidad permanece constante: an =constante; at = 0; R = constante.

Circular uniformemente acelerado: La trayectoria es unacircunferencia y el mdulo del vector velocidad varauniformemente: an = constante; at = constante; R = constante.


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11. Movimiento rectilneo uniforme.

Segn lo que acabamos de ver, un movimiento es rectilneouniforme cuando el vector velocidad es constante, por lo que no semodifica su mdulo, ni su direccin, ni su sentido. Por tanto, latrayectoria es una lnea recta, los vectores velocidad media y ve-locidad instantnea coinciden y no hay aceleracin normal ni

tangencial.

En tal caso podemos estudiar el movimiento en un solo eje:

x = x0 + v t y = y0 + v t

Siendo la velocidad constante en mdulo y direccin y las componentes intrnsecas de laaceleracin nulas: v = cte y an = at = 0

12. Movimiento rectilneo uniformemente acelerado.

Cuando la trayectoria es recta y el mdulo de la aceleracin tangenciales constante y nulo el de la aceleracin normal, decimos que se trata de un

movimiento rectilneo uniformemente acelerado.

En tal caso podemos prescindir del estudio desde el punto de vista vectorial, salvo para indicar eleje del movimiento, siguiendo el mismo procedimiento de lo estudiado en el curso pasado.

Por la definicin de aceleracin: v - v0= a ty comox = x x0, la expresin de la posicin en estetipo de movimiento es: x = x0 + v0 t+ a t

2, algo que ya conocamos del estudio escalar delmovimiento uniformemente acelerado.

13. Movimiento vertical.

El movimiento vertical o de cada libre es el que experimenta un objeto cuando es lanzado

verticalmente hacia arriba o cuando se le suelta a una cierta altura sobre la superficie de la Tierra.Es un caso particular de movimiento rectilneo uniformemente acelerado, en el que se supone que la

resistencia del aire es despreciable y que la aceleracin es constante e igual a la aceleracin de lagravedad, g. Su mdulo medio en la superficie de la Tierra es: g = 9,8 m/s2, tiene por direccin el ejevertical Y, y su sentido es hacia la superficie de la Tierra. Si se elige un sistema de referencia con origen enel suelo y con el eje Y coincidente con la vertical (positivo hacia arriba y negativo hacia abajo), laexpresin del vector aceleracin de la gravedad ser:

Las ecuaciones del movimiento son:

(Vector de posicin) 2002

1tgtvrr ++=

rrrr

(Vector velocidad) tgvv +=rrr

0

De forma escalar: y = y0 + v0y t+ gt2 >> v = v0+ g t

Ejercicios:

21. Una piedra cae desde un globo que desciende a una velocidad de 12 m/s. Calcular la velocidad yla distancia recorrida por la piedra despus de 10 s. Resolver el mismo problema para el caso deque el globo se eleve con la misma velocidad.

22. Desde una terraza se lanzan dos pelotas, una hacia arriba y otra hacia abajo, simultneamente ycon la misma velocidad inicial. Cul de las dos llegar con mayor velocidad al suelo de la calle?

)s/m(j,g2

89r

r

=


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23. La cabina de un ascensor, de altura 3 m, asciende con una aceleracin de 2 m/s2.Cuando el ascensor se encuentra a cierta altura del suelo, se desprende la lmpara del techo.Calcular el tiempo que tarda la lmpara en chocar con el suelo. (Solucin: t = 0,74 s.)

24. Desde la azotea de un edificio de 80 m de altura se lanza verticalmente hacia arriba una piedra conuna velocidad de 20 m/s. Calcular:

a) Altura respecto de la calle a la que se encuentra 1 s despus de ser lanzada.b) Altura mxima que alcanza sobre la calle.c) Posicin respecto de la calle a los 4 s.d) Tiempo que tarda en llegar a la calle.e) Velocidad que tiene a los 3 s.f) Velocidad con que llega al suelo.

25. Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad de 50 m/s. Medio segundodespus, desde el mismo punto y tambin verticalmente hacia arriba, se lanza una segunda pelotacon una velocidad de 100 m/s. Calcular:a) A qu distancia del punto de partida se encontrarn ambas pelotas?

b) Qu velocidad lleva cada una de ellas en el instante en que se cruzan?

(Soluciones: a) 42,39 m del punto de lanzamiento, v1= 40,86 m/s, v2= 95,78 m/s.)

26. Lanzamos una pelota hacia arriba con vo = 20 m/s y en ese instante se deja caer otra desde 20 mde altura. Considerando la gravedad como - 9'8 m/s2, calcula el punto de encuentro y la velocidadde las pelotas en ese instante.

27. Una piedra se lanza hacia arriba a 5 m/s, y 0,5 s ms tarde se lanza otra siguiendo la mismatrayectoria con velocidad de 4 m/s. Calcula dnde y cundo se encontrarn.

28. Un punto A se encuentra en la misma vertical que otro punto B y a 60 m de altura sobre ste. Desde

A se deja caer un cuerpo sin velocidad inicial y, dos segundos despus, se lanza desde B haciaarriba, otro cuerpo con una velocidad inicial de 20 m/s. En qu punto chocarn ambos cuerpos?

14. Composicin de movimientos.

La mayora de los movimientos de los objetos son lo suficientemente complejos como paraabordarlos directamente.

Muchos de estos movimientos complejos se pueden descomponer en la suma de dos o msmovimientos simples. En este tipo de movimientos se cumplen los siguientes principios, descubiertos porGalileo Galilei en el siglo XVII.

PRINCIPIO DE INDEPENDENCIA:CUANDO UNA PARTCULA ESTSOMETIDA A VARIOS MOVIMIENTOS SIMULTNEOS, SU CAMBIODE POSICIN ES INDEPENDIENTE DE QUE LOS MOVIMIENTOS

ACTEN SUCESIVA O SIMULTNEAMENTE.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN: SI UNA PARTCULA ESTSOMETIDA DE FORMA SIMULTNEA A VARIOS MOVIMIENTOS

INDEPENDIENTES UNOS DE OTROS, LAS MAGNITUDESRESULTANTES SON IGUAL A LA SUMA VECTORIAL DE LAS

CORRESPONDIENTES MAGNITUDES DE LOS MOVIMIENTOS

PARCIALES.


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Un ejemplo de este tipo de movimientos, muy comn en el planeta Tierra es elmovimiento parablico, tambin denominado lanzamiento oblicuo.

15. Movimiento parablico.

Se denomina lanzamiento oblicuo al movimientoque describe un objeto lanzado con una velocidad

inicial , formando un ngulo con la horizontal.

Este movimiento est contenido en un plano. Elobjeto est sometido a dos movimientos que se puedenconsiderar independientes: uno, horizontal rectilneouniforme y otro, vertical rectilneo uniformementeacelerado.

Se elige un sistema de referencia con el origen enel suelo, en la vertical del punto de lanzamiento, el ejeXla horizontal y el eje Yla vertical.

Si el objeto se lanza desde la superficie de la Tierra y el vector velocidad forma un ngulo con la

horizontal, los valores iniciales de las distintas magnitudes, despus de descomponer la velocidad encomponentes, son:

El movimiento resultante es la suma de los dos movimientos y las magnitudes en cualquier instante son:

Hay dos conceptos especficos de este movimiento que debemos definir:

ALCANCE: Se denomina alcance o alcance mximo a la distancia, medida sobre el eje X, querecorre el mvil desde la salida hasta el final del movimiento parablico (en la imagen anteriorsera el segmento OX). max0max tvx x=

ALTURA MXIMA: Se denomina altura mxima a la mxima distancia recorrida, medida sobreel eje Y, por el mvil en un movimiento parablico. Corresponde al instante en que vy = 0.

Un caso particular del movimiento parablico es el movimiento horizontal, en el cual, el nguloinicial de lanzamiento es nulo ( = 0), por lo que el objeto no realiza el movimiento de ascenso en el ejeY sino que est todo el tiempo descendiendo.


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16. Movimiento circular.

El ltimo tipo de movimiento particular que vamos a estudiar eneste curso es el movimiento circular. Un movimiento es circularcuando la trayectoria que recorre el mvil es una circunferencia. Eneste movimiento siempre hay aceleracin normal, que modifica en

cada instante la direccin del vector velocidad.Si para describir el movimiento, se elige como origen del sistema

de referencia un punto de la trayectoria, las sucesivas posiciones seexpresan por una coordenada, e, que determina la distancia desde elorigen, siguiendo la trayectoria, entonces la posicin y el mdulo delvector velocidad se calculan aplicando las ecuaciones de losmovimientos uniforme y uniformemente acelerado.

e = e0 + v0 t+ a t2 v = v0 + a t

Sin embargo, si en la citada descripcin se elige como origen de un sistema de referencia el centrode la circunferencia, entonces el vector de posicin, r

r

, cambia de direccin en cada instante y su mdulo

es siempre igual al radio de la circunferencia, R.

En este caso la posicin del mvil se localiza indicando el radio,R, yel ngulo descrito, , a partir de un radio elegido como origen.

Durante un movimiento circular, el mvil repite cada cierto tiempolas mismas posiciones, hecho que se describe mediante lasmagnitudes: perodo y frecuencia.

PERODO,T,ES EL TIEMPO QUE TARDA EL MVIL EN RECORRER UNA VUELTACOMPLETA DE LA TRAYECTORIA.

FRECUENCIA,, ES EL NUMERO DE VUELTAS, CICLOS O REVOLUCIONES QUERECORRE EL MVIL EN LA UNIDAD DE TIEMPO.

Las dos magnitudes se relacionan entre s mediante la ecuacin:

En el sistema internacional el perodo se mide en segundos y la frecuencia en hercios, Hz. Unmvil tiene una frecuencia de un hercio cuando recorre una circunferencia, ciclo o vuelta completa en unsegundo. En la prctica, la frecuencia se expresa en revoluciones por minuto, r.p.m.

Para medir las magnitudes angulares se emplea como unidad el

radian, rad, en vez del grado sexagesimal. Un radin (rad), sedefine como la medida del ngulo comprendido por un arco decircunferencia de longitud igual al radio con el que se ha trazado.

El radin y el grado sexagesimal estn relacionados por laexpresin:

2 rad = 360

Las magnitudes: radio, R, ngulo, , expresado en radianes ylongitud del arco, e, estn ligadas por la relacin:

e = R

1=T

Rr =r


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16.1. Movimiento circular uniforme.

Un movimiento circular es uniforme si el mdulo del vectorvelocidad es una cantidad constante. Por tanto, la aceleracintangencial es igual a cero y el mdulo de la aceleracin normal, elperodo y la frecuencia son constantes. v = constante; at =0; an=constante; T =constante; = constante

Sea una partcula, que describe un movimiento circularuniforme, que en el instante t0, est en la posicin P0, siendo 0 elngulo que forma el radio vector con uno de los ejes decoordenadas y en el instante t, est en la posicin P, con elcitado ngulo.

Se define velocidad angular media, m, como la relacinentre el ngulo descrito y el tiempo empleado en recorrerlo.

Se denomina velocidad angular instantnea,, al valor lmite que adquiere la expresin anteriorcuando el intervalo de tiempo es muy pequeo, t 0.

Tanto la velocidad angular media como la velocidad angular instantnea se miden en el sistemainternacional en rad/s, que tambin se puede expresar como s 1.

Cuando el mvil recorre una vuelta completa, el ngulo descrito es igual a 2 rad y el tiempotranscurrido es igual al perodo, T, por lo que:

Al tratarse de un movimiento uniforme, el valor de permanece constante y podemos aplicar laecuacin: =0+ t, siendo la relacin entre la velocidad lineal y la angular: v = R

16.2. Movimiento circular uniformemente acelerado.

Un movimiento circular es uniformemente acelerado cuando el mdulo del vector velocidad semodifica uniformemente con el tiempo. Por tanto, el mdulo de la aceleracin tangencial es distinto decero y constante. Radio = constante; at = constante 0

SE DENOMINA ACELERACIN ANGULAR,, A LA VARIACIN QUE EXPERIMENTA LA VELOCIDAD ANGULAR EN UN INTERVALO DE TIEMPO,t.

La aceleracin angular se mide en el sistema internacional en rad/s2.

Aplicando la definicin de aceleracin tangencial se tiene la ecuacin que relaciona la aceleracintangencial con la aceleracin angular.

Las ecuaciones que se utilizan en este tipo de movimiento son:

(Espacio angular) =0 +0 t + t2 (Velocidad angular) =0+ t

0

0

0

0

tt

ee

t

evaeequivalent

tttmm

=

=

=

=

ceroatiendetcuandodt

d

tlimlim m =

==

T = 2

RRttt

)R(

t

vat =

=

=

=

0


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Relacin entre las magnitudes lineales y las magnitudes angulares

Ejercicios:

29. Un barquero quiere cruzar un ro de 100 m de anchura; para ello rema perpendicularmente a lacorriente imprimiendo a la barca una velocidad de 2 m/s respecto al agua. La velocidad de lacorriente es 0,5 m/s. Calcular:a) Tiempo que tardar en atravesar el ro.b) Velocidad de la barca respecto a la orilla del ro.c) En qu punto de la orilla opuesta desembarcar?d) Qu longitud ha recorrido la barca cuando llega a la orilla opuesta?

(Solucin: a) t= 50 s, b) V=2,06 m/s, c) 25 m, d) 103 m.)

30. Se lanza desde un punto O, situado en la superficie terrestre, un objeto de masa M con unavelocidad inicial de 400 m/s. Estudiar el movimiento del objeto en el caso de que :

a. El ngulo de lanzamiento sea de 30o.b. El ngulo de lanzamiento sea de 90.

31. Desde un acantilado de 60 m de altura se lanza un cuerpo horizontalmente con una velocidad de 20m/s. Calcular:a) Dnde se encuentra el cuerpo 2 s despus?b) Qu velocidad tiene en ese instante?c) Cunto tiempo tarda en llegar a la superficie del agua?d) qu velocidad tiene en ese instante?e) Cunto vale el alcance mximo?f) En que punto de la trayectoria vx = vy ?

32. Se lanza un objeto de masa m desde lo alto de un acantilado de altura 10 m, con una velocidad de20 m/s y un ngulo de lanzamiento de 30o. Calcular la posicin y la velocidad en el punto de impactocon el suelo, el alcance y la altura mxima.

33. Una pelota rueda por el rellano de una escalera con una velocidad horizontal de 1,52 m/s. Losescalones son de 0,20 m de alto y 0,20 m de ancho. En qu escaln botar la pelota por primeravez? Razona tu respuesta.

34. Un nadador se lanza a atravesar un ro con una velocidad de 3 km/h en una direccin que forma unngulo de 45 con la orilla y en sentido de aguas arriba (contracorriente). Si la corriente tiene unavelocidad de 0,1 m/s y el ro una anchura de 200 m, determina: a) El tiempo que tardar en llegar ala otra orilla. b) Su direccin de marcha.

35. Un saltador de longitud salta 8 m cuando lo hace con un ngulo de 30 con la horizontal. Cuntosaltara en las mismas condiciones si lo hiciera con un ngulo de 45?


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36. Se lanza un cuerpo oblicuamente hacia arriba con una velocidad inicial de 32 m/sformando un ngulo de 30 con la horizontal. Cul es el alcance? Cul ser el mdulo de lavelocidad dos segundos despus de lanzarlo? Cul ser la altura mxima?

37. La velocidad inicial de un cuerpo que se mueve con movimiento parablico viene dada por laecuacin siguiente. Calcular el alcance y la posicin y velocidad del mvil a los cuatro segundos de

su lanzamiento.

38. Desde lo ms alto de un edificio de 50 m de altura se lanza un cuerpo oblicuamente hacia arriba conuna velocidad de 25 m/s, formando un ngulo de 3652'11". Suponiendo nula la influencia del aire,determinar:a) El vector del posicin del mvil en funcin del tiempo.b) En qu punto chocar con el suelo, supuesto horizontal.c) El vector velocidad del mvil en funcin del tiempo.d) El mdulo de la velocidad en el instante del choque contra el suelo.e) La ecuacin de la trayectoria del movimiento.f) La altura mxima que alcanzar.

39. En el tiro al plato, un plato es lanzado verticalmente con una vo de 36 km/h. Calcula el ngulo deinclinacin de una escopeta situada a 15 m del punto de lanzamiento para hacer impacto, si elproyectil sale a 20 m/s en el mismo instante de ser arrojado el plato. Calcula tambin la altura a laque se produce el impacto. (R.: 30 y 4'9 m).

40. Qu velocidad inicial debe darle al baln un jugador de baloncesto que lanza un triple desde 6,25m en horizontal, a 2,20 m en vertical y con un ngulo de 60, hacia un aro situado a 3,05 m delsuelo?

41. Un coche se desplaza a una velocidad constante de 90 km/h. Si sus ruedas tienen 60 cm de

dimetro, Calcular:a.- El perodo y la frecuencia del movimiento de una rueda.b.- La velocidad angular en rpm.

42. La Luna gira alrededor de la Tierra con velocidad constante, de tal forma que tarda 28 das en daruna vuelta. Suponiendo una trayectoria completamente circular,

a.- Calcula el perodo y la frecuencia del movimiento de la Luna.b.- Calcula el mdulo de la velocidad y velocidad angular de la Luna.

43. Una lavadora tiene un tambor de 25 cm de radio y centrifuga a 900 rpm. Calcula:a) El ngulo descrito por un punto del borde del tambor, en 5 s, expresado en radianes.b) La frecuencia del tambor, expresada en Hercios.c) La aceleracin normal o centrpeta que experimenta la ropa durante el centrigugado.

44. Un tractor se desplaza con movimiento rectilneo y uniforme, a 36 km/h. Teniendo en cuenta que eldimetro de sus ruedas delanteras es de 80 cm y el de las traseras de 130 cm, calcula:a) La velocidad angular de cada rueda.b) La frecuencia y el perodo de cada rueda.

45. Un volante gira a razn de 60 r.p.m. y al cabo de 5 segundos posee una velocidad angular de 37,7rad/s. Cuntas vueltas dio en ese tiempo? Cul es el valor de la aceleracin normal al cabo deese tiempo? Si el dimetro del volante es de 60 cm, cul es la aceleracin tangencial de un puntode su periferia?

)s/m(jivrr

r

30400 +=


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46. Un mvil se desplaza partiendo del reposo siguiendo una circunferencia de 100 m deradio. El movimiento es uniformemente acelerado hasta que en 5 s alcanza la velocidad de 25 m/s;a partir de entonces se desplaza con movimiento uniforme. Hallar:a) El mdulo de la aceleracin tangencial mientras acelera.b) El mdulo de la aceleracin normal, la aceleracin y la distancia recorrida cuando hayan

transcurrido 100 s de iniciado el movimiento.

c) La aceleracin angular durante el tiempo de frenado.d) El tiempo que tarda el mvil en dar 100 vueltas.

47. Un tren elctrico da vueltas por una pista circular de 50 cm de radio con una velocidad constante de10 cm/s. Calcula: a) la velocidad angular, b) la aceleracin radial, c) el perodo y la frecuencia, d) elnmero de vueltas que dar en 10 s.

48. Una rueda de 50 cm de radio alcanza 180 r.p.m. a los 3 s de iniciado el movimiento. Calcular lasaceleraciones tangencial y normal en ese instante para un punto de la periferia.

49. El tren de un parque de atracciones recorre una va circular de 400 m de radio. desde que arrancahasta que adquiere una velocidad de 10 m/s transcurren 20 s. A partir de ese momento mantiene lavelocidad constante. Calcula la velocidad angular, las aceleraciones angular, tangencial y normal yel tiempo que tarda en dar la primera vuelta.

50. Un mvil describe una circunferencia de radio R=10 cm con una velocidad constante e igualnumricamente a la mitad de la aceleracin. Calcular: a) la velocidad angular del mvil, b) el n devueltas que da cada minuto, c) la velocidad lineal y la aceleracin del movimiento.

51. Un volante parte del reposo con aceleracin constante. Despus de dar 100 vueltas. la velocidad esde 300 r.p.m. Calcular: a) La aceleracin angular. b) La aceleracin tangencial de un punto situado a20 cm del eje. (R: = 0,78 rad/s2 , at=0,156 m/s

2.)

52. Una partcula describe una circunferencia de 5 m de radio con velocidad constante de 2 m/s. En uninstante dado frena con aceleracin constante de 0,5 m/s2 hasta pararse. Calcular:a) La aceleracin de la partcula antes de empezar a parar.g) La aceleracin 2 s despus de empezar a frenar.h) La aceleracin angular mientras frena.i) Tiempo que tarda en parar.j) Nmero de vueltas que da desde que empieza a frenar.

(Soluciones: a) a=0,8 m/s2 , b) a=0,53 m/s2, c) = 0,1 rad/s2, d) t= 4s, e) 0,12 vueltas)

53. Por un punto pasa un cuerpo con una velocidad de 20 m/s. Dos segundos ms tarde, parte del

mismo punto, con la misma direccin y sentido, otro cuerpo con aceleracin constante de 2 m/s

2

.Calcular:a) Tiempo que tarda el segundo cuerpo en alcanzar al primero.b) )A qu distancia lo alcanza?c) Velocidad que tiene cada uno en ese instante.

(Soluciones: a) 23,83s, b)76,8 m, c) v1 = 20 m/s, v2 = 43,66 m/s.)

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