Uždavinių su algebros elementais sunkumai

LIETUVOS EDUKOLOGIJOS UNIVERSITETAS

UGDYMO MOKSLŲ FAKULTETAS

UGDYMO PAGRINDŲ KATEDRA

Kristina Siminauskienė

UŽDAVINIŲ SU ALGEBROS ELEMENTAIS SISTEMA IR

SUNKUMAI I–IV IR V–VI KLASĖSE

MAGISTRO DARBAS

Darbo vadovas Dr. V. Grabauskienė

Vilnius, 2012

2

SUMMARY

THE SYSTEM OF TASKS THAT INCLUDES ALGEBRA ELEMENTS AND ITS

DIFFICULTIES IN I–VI CLASSES

Master thesis analyzes the system of tasks that includes algebra elements and its

difficulties in I-IV classes.

The analysis of educational and psychological literature shows that the most important

features of children's imagination that helps in formation the concept of the tasks with algebra

elements are: perception of relationship between different things, information linking, since the

reasoning process is not clear, i.e. the intermediate steps of reasoning are missing; recovery of

information and imagination, because it is difficult for pupils to understand the abstract

reasoning, thus it is necessary to use visual tools to stimulate the wok of imagination.

The main features of children's thinking are the understanding of object permanence and

capacity to apply the logical operations. The most important feature of children's language is to

understand the meaning of words and their connection with objects and occurrences. The main

features of children's graphic expression are that individual properties of objects and details

represented.

According to the Lithuanian general programs, education standards and schoolbooks, the

hypothetical model of algebra training in I–VI classes have been designed. This model includes:

discovery the meanings of occurrences, description of situation by occurrences, identical

transformations of occurrences, equation solving, inequalities solving, the understanding of

algebra concept. The model based questionnaire for I–VI classes has been created and difficulties

pupil face in solving the tasks with algebra elements has been cleared up.

The objective of research - based on a hypothetical model to investigate potential

problems when performing tasks with algebra elements in I–VI classes.

Methods: survey, qualitative and quantitative data analysis.

The basis and size of research: 120 pupils in I–IV classes were interviewed. The study

was conducted in I–VI classes from different schools. 20 students in each class were interviewed.

Empirical research phases: creation of questionnaire with control tasks, performing the

questionnaires with control tasks, performing the data analysis.

The study found that most often causes of errors in tasks with algebra elements are as follows:

principles of arithmetic operations and structure of numbers are not acquired; the multiplication table is

not learned, calculations of multiaction events are not finished; the seqeunce of actions

performance is not learned; because inattention the numbers are skiped, the changes in the

arithmetical signs are performed, etc.

Keywords: algebra, learning difficulties, primary school, secondary school.

3

TURINYS

ĮVADAS ......................................................................................................................................................................... 4

1. I–VI KLASĖS MOKINIŲ PRADINIO ALGEBRINIO UGDYMO PROBLEMATIKA .......................................... 6

1.1. ALGEBROS SAMPRATA, SĄVOKOS APIMTIS ........................................................................................................... 6 1.2. I–VI KLASĖS MOKINIŲ PSICHIKOS RAIDOS YPATUMAI, SVARBŪS UŽDAVINIŲ SU ALGEBROS ELEMENTAIS

SUPRATIMUI ................................................................................................................................................................ 8 1.2.1.Vaizduotės ir grafinės raiškos ypatumai ...................................................................................................... 8 1.2.2. Kalbos ir mąstymo ypatumai ..................................................................................................................... 10

1.3. ALGEBROS ELEMENTŲ MOKYMAS(-IS) PRADINĖJE IR PAGRINDINĖJE MOKYKLOSE ............................................. 14 1.3.1. Algebros ištakos ir vystymosi etapai ......................................................................................................... 14 1.3.2. Algebros elementų atsiradimas mokyklinio matematinio ugdymo turinyje ............................................... 15 1.3.3. Algebros ir uždavinių su jos elementais kaita I – IV ir V – VI klasėse ...................................................... 18 1.3.4. Uždavinių su algebros elementais sunkumų priežastys ............................................................................. 24 1.3.5. Algebros mokymo galimybės ..................................................................................................................... 25

1.3.5.1. Mokymo metodai ................................................................................................................................................ 25 1.3.5.2. Informacinių komunikacinių technologijų taikymas mokantis algebros.............................................................. 28

2. UŽDAVINIŲ SU ALGEBROS ELEMENTAIS SUNKUMŲ I–IV IR V–VI KLASĖSE TYRIMAS .................... 30

2.1. TYRIMO METODIKA............................................................................................................................................ 30 2.1.1. Tyrimo organizavimas .............................................................................................................................. 30 2.1.2. Klausimyno užduočių parinkimo metodika ............................................................................................... 31

2.2. TYRIMO REZULTATAI ......................................................................................................................................... 36 2.2.1. Reiškinių su aritmetiniais veiksmais sprendimo sunkumai I–VI klasėse ................................................... 36 2.2.2. Tekstinių uždavinių sprendimo sunkumai I–VI klasėse ............................................................................. 45 2.2.3. Veiksmų perstatomumo dėsnio taikymas, apskaičiuojant reiškinius I–VI klasėje ..................................... 51 2.2.4. Lygčių sprendimo sunkumai I–VI klasėje.................................................................................................. 59 2.2.5. Klaidų, daromų sprendžiant nelygybes I–VI klasėje, priežastys ............................................................... 65 2.2.6. Matematinių sąvokų suvokimas I–VI klasėse ............................................................................................ 70

IŠVADOS ..................................................................................................................................................................... 82

LITERATŪRA ............................................................................................................................................................. 83

PRIEDAI ..........................................................................................................................................................................

4

ĮVADAS

Su matematika susiduriama ne tik gyvenimiškose situacijose, bet ir įvairių profesijų

veiklos srityse. Be skaičių ir įvairių operacijų su jais šiuolaikinė visuomenė neįsivaizduojama.

Geri skaičiavimo įgūdžiai naudingi sprendžiant įvairias praktines ir teorines problemas.

Gyvenime mes nuolat ką nors veikiame. Mokomės, dirbame, konstruojame, statome. Vadinasi,

veikia mūsų vaizduotė, turime suvokti objektų formas, dydžius, padėtį erdvėje ir pan. Tačiau vien

tiesiogiai suvokti objektus ir atsiminti tai, kas įsimintina, neužtenka. Žmogus dažnai atsiduria

neaiškiose ir prieštaraujančiose suvokimui ar žinioms situacijose. Atsakymus į iškilusius

klausimus turime surasti tam tikrais būdais ir priemonėmis, mintyse pertvarkydami turimas žinias

– mąstydami.

Algebrinis mąstymas leidžia suvokti algebrinius reiškinius, laisvai jais disponuoti,

pritaikant savo aplinkoje. Ši matematikos sritis padeda formuoti problemų sprendimo įgūdžius

bei loginį mąstymą. Algebros mokslas padeda lavinti struktūravimo ir formalizavimo gebėjimus

bei suvokti matematinės simbolikos universalumą, t.y., suvokti, kad matematikos modelius

galima pritaikyti įvairiose žmogaus gyvenimo srityse. Tai padeda geriau orientuotis nuolat

kintančioje aplinkoje, priimti pagrįstus sprendimus (BP, 2008). Algebros mokslas yra vartai į vis

aukštesnę matematiką: geometrijos, trigonometrijos, analitinės geometrijos skaičiavimus.

Kadangi daugelyje mokslų taikoma aukštoji matematika, algebros pradmenų mokymasis yra labai

svarbus.

Pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrosiose programose ir išsilavinimo standartuose

(2008) išskiriamos tokios matematikos sritys: skaičiai ir skaičiavimai; reiškiniai, lygtys,

nelygybės; geometrija; aritmetika; matai ir matavimai; statistika. Pagrindinėje mokykloje

pradedama mokyti dar dviejų matematikos sričių: sąryšių ir funkcijų bei tikimybių teorijos.

Algebra bendrosiose programose ir išsilavinimo standartuose (BP, 2008) yra išskirta kaip

reiškiniai, lygtys ir nelygybės.

Atskiros algebros sritys, pvz., lygtys, algoritmai (Jakubauskienė V., 2008; Šuškevič A.,

2007), lietuviškuose moksliniuose darbuose yra šiek tiek nagrinėtos. Tačiau šiuose darbuose

algebra daugiau siejama su lygčių ir algoritmų taikymu informacinėse technologijose. Pradinė

mokykla – tai pati žemiausia pakopa algebros mokyme. Čia klojami pamatai aukštesnių

matematikos pakopų studijavimui. Tačiau nėra darbų apie algebros elementų mokymą pradinėse

klasėse, o I–VI klasių algebros bendrumų ir skirtumų problematika, algebros supratimo raida I–

VI klasėse taip pat yra dar nenagrinėta.

Šiame darbe sprendžiama problema: kokie yra esminiai algebros pradmenų mokymo(-si)

I–VI klasėje sistemos akcentai ir užduočių su algebros elementais sunkumų mokiniams

priežastys?

Darbo tikslas – nusakyti I–VI klasių užduočių su algebros elementais sistemą ir išryškinti

jos sudėtinių dalių mokymosi I–VI klasėje sunkumus.

Darbo objektas – I–VI klasės mokyklinės algebros turinys ir jo supratimo problematika.

Kiekvienoje klasėje matematikos, o tai reiškia, ir algebros, mokslo turinys sunkėja,

pasipildo vis naujais dalykais. Šiame darbe remtasi prielaida, kad atlikus I–IV ir V–VI klasių

algebros turinio analizę bei esminių algebros elementų supratimo diagnozei skirtų klausimynų

rezultatų analizę, gali būti išsiaiškinta, kokių sunkumų kyla mokantis algebros, kada jie

pasireiškia, kada jų kyla daugiausiai ir kokios to priežastys.

5

Uždaviniai:

1. Analizuojant pedagoginę ir psichologinę literatūrą:

Aptarti užduočių su algebros elementais sampratos formavimuisi svarbius jaunesnio

mokyklinio amžiaus ir vidutinio mokyklinio amžiaus psichikos ypatumus;

Atskleisti svarbiausius algebros vystymosi įvykius ir algebrinio žymėjimo vystymosi

etapus.

Sukonstruoti algebrinio ugdymo I-VI klasėje hipotetinį modelį.

2. Atliekant hipotetinio modelio pagrindu parengtą I-VI klasės mokinių apklausą, atskleisti:

charakteringas kiekvienos pakopos užduočių su algebros elementais sprendimo klaidas

bei jų kaitą I-VI klasėse.

tikėtinas sprendžiant algebros uždavinius mokiniams kylančių sunkumų priežastis.

.

Metodai: literatūros analizė; modeliavimas; apklausa; kokybinė ir kiekybinė duomenų

analizė.

6

1. I–VI KLASĖS MOKINIŲ PRADINIO ALGEBRINIO UGDYMO

PROBLEMATIKA

1.1. Algebros samprata, sąvokos apimtis Algebra – matematikos mokslo šaka, tyrinėjanti veiksmus su dydžiais (išreikštais

raidėmis), nepriklausomai nuo tų dydžių skaitinės reikšmės (LKŽ, 2005). Žodynas.lt algebros

sąvoką aiškina taip pat, kaip ir Lietuvių kalbos žodyne (toliau LKŽ), kad algebra – mokslas,

tiriantis veiksmų su įvairiais dydžiais bendrąsias savybes, nepriklausomas nuo tų dydžių kilmės

(TŽŽ, 1985).

Mokomojoje matematikos enciklopedijoje aiškinama, kad algebros terminas kilo iš

arabiško pavadinimo al – yabr. Išvertus iš arabų kalbos, tai reiškia – dėmens perkėlimas iš

kairiosios lygties pusės į dešiniąją (Šiliūnienė E., Poškutė R., 2007). Algebrą apibūdina du

pagrindiniai bruožai:

Skaičiavimai atliekami su baigtiniu skaičiumi elementų, o procesai turi būti užbaigti

baigtiniu skaičiumi veiksmų (procesai, kurių sprendimas yra ,,ties riba“, algebrai

nepriklauso);

Skaičiuojama pasitelkiant abstrakčiuosius kūnus, reiškiamus raidėmis.

Apibendrintai galima teigti, kad algebra – tai matematikos mokslo šaka, tirianti veiksmus

su algebriniais reiškiniais. Kas yra algebriniai reiškiniai, mes išsiaiškinsime pirmiau apibrėžę

reiškinio sąvoką.

Reiškiniai yra skirstomi į raidinius ir skaitinius reiškinius. Skaitinis reiškinys – tai

reiškinys, sudarytas iš skaičių, aritmetinių veiksmų ženklų ir skliaustų (Vilenkinas N.ir kt., 1987).

Tokių reiškinių tiek pradinėse klasėse, tiek ir aukštesnėse yra nemažai. Raidinis reiškinys –

reiškinys, sudarytas iš realiųjų skaičių, prie kurių prijungiami raidiniai elementai, aritmetinių

veiksmų ženklai ir skliaustai (Vilenkinas N.ir kt., 1987). Kaip matome, raidinio reiškinio sąvoka

apibrėžiama taip pat, tik prie realiųjų skaičių prijungiami raidiniai elementai.

Kadangi algebros mokslas tiria veiksmus su dydžiais, kurie išreikšti raidėmis, tai,

susijungus skaitiniams ir raidiniams reiškiniams, atsiranda naujas reiškinys – algebrinis (1 pav.).

Algebrinis reiškinys – tai reiškinys, sudarytas iš raidžių ir skaičių, sujungtų sudėties, atimties,

daugybos, dalybos, kėlimo sveikuoju laipsniu ir šaknies traukimo veiksmų ženklais (TŽŽ, 1985).

Tai nėra skaičius, tačiau, suteikus reiškinio kintamiesiems reikšmes, galima apskaičiuoti ir

reiškinio skaitinę reikšmę. Algebriniai reiškiniai yra dviejų rūšių: sveikieji ir trupmeniniai

(Intienė K. ir kt., 2003). Sveikieji reiškiniai – tai tokie reiškiniai, kurie yra sudaryti, vartojant tik

sudėties, atimties, daugybos bei kėlimo laipsniu veiksmų ženklus (Šiliūnienė E., Poškutė R.,

2007). Trupmeniniai reiškiniai – kai nors vieną kartą reiškinyje dalijama iš kintamojo (ar

reiškinio su kintamuoju). Sveikieji ir trupmeniniai reiškiniai sudaro racionaliųjų reiškinių visumą.

Racionalusis reiškinys – tai algebrinis reiškinys be radikalų (tik keturi pagrindiniai aritmetiniai

veiksmai) (TTŽ, 1985). Taigi algebrinis reiškinys sudarytas iš skaitinių ir raidinių reiškinių.

Tokie algebriniai reiškiniai dar yra skirstomi į sveikuosius ir trupmeninius reiškinius (1 pav.).

http://www.zodynas.lt/terminu-zodynas/M/mokslas

http://www.zodynas.lt/terminu-zodynas/N/nepriklausomas

7

1 pav. Algebrinių reiškinių sąvokos logika

Algebrinių reiškinių aibėje lygybe reiškiamas ekvivalentumo ryšys. Jei lygybė teisinga tik

su kuriuo nors x (reikšme, žymima raidėmis), tai ji vadinama lygtimi (Šiliūnienė E., Poškutė R.,

2007). LKŽ lygtis apibrėžiama kaip lygybė, kuri turi nežinomų dydžių (LKŽ, 2005). Lygtys yra

skirstomos į sveikąsias, trupmenines ir iracionaliąsias. Sveikoji lygtis – tai tokia lygtis, kai su jos

kintamaisiais ar nežinomaisiais atliekami sudėties, atimties ir daugybos veiksmai, pvz., 3x + 2 =

5x – 8. Trupmeninė lygtis – kai jos nežinomieji ar bent vienas iš jų yra daliklyje, pvz., + 2 =

5x – 3. Lygtis, kurios nežinomasis yra pošaknyje, vadinama iracionaliąja, pvz., x + 3 = √x – 2

(Šiliūnienė E., Poškutė R., 2007). Nagrinėdami I–IV ir V–VI klasių lygtis, kalbėsime apie

sveikąsias lygtis, kitų rūšių lygčių pradedama mokyti aukštesnėse klasėse. Iš daugianarių

sudarytų lygčių sprendimą nagrinėja elementarioji algebra. Sudarant tokias lygtis, vartojami

sveikieji, trupmeniniai, realieji ir kompleksiniai skaičiai.

Skaičiai, kuriuos mes vartojame skaičiuodami, yra vadinami natūraliaisiais skaičiais.

Kasdieniniame gyvenime labai dažnai prireikia įvardinti skaitinius duomenis, esančius žemiau

nustatytosios nulinės padėties, pvz., temperatūra. Todėl natūralieji skaičiai išplečiami, prijungiant

prie jų neigiamuosius skaičius, kurie yra priešingi atitinkamiems natūraliems skaičiams, ir

gauname sveikųjų skaičių aibę (Šiliūnienė E., Poškutė R., 2007). Racionalieji skaičiai – tai visi

skaičiai, kuriuos įmanoma užrašyti trupmeniniu pavidalu (Intienė K. ir kt., 2003), t.y., skaičiai,

kuriuos galima išreikšti sveikųjų skaičių santykiais . Dažniausiai tokie skaičiai yra reiškiami

paprastosiomis trupmenomis: vardiklis n yra natūralusis skaičius, skaitiklis m – sveikasis skaičius

(Teišerskis J., 1988). Iracionalus skaičius – tai skaičius, kurio negalima išreikšti dviejų sveikųjų

skaičių santykiu, pvz., √2, lg 5 (TŽŽ, 1985).

Sąvokos lygtis ir nelygybė yra labai panašios. Nelygybė, kaip ir lygtis, turi savo

apibrėžimo sritį, sprendinius. Taip pat nelygybės, kaip ir lygties, sprendimas reiškia pradinės

nelygybės keitimą paprastesnėmis tol, kol gaunama nelygybė, kurios sprendinius jau galima

surasti (Intienė K. ir kt., 2003).

8

Šiame darbe bus kalbama apie tekstinius uždavinius. Tekstinius uždavinius galima

išspręsti sprendimą užrašius skaitiniu reiškiniu, tačiau palaipsniui šio tipo, kaip ir bet kurio kito,

uždaviniai sunkėja. Atsiranda uždaviniai, kuriuos norint išspręsti reikia sudaryti raidinius

reiškinius. Todėl tekstiniai uždaviniai yra glaudžiai susiję su algebra. Pagrindinės šiame darbe

dominuosiančios tekstinio uždavinio rūšys yra šios:

• Sudėtinis tekstinis uždavinys – tai toks uždavinys, kuris susideda iš dviejų ar daugiau

paprastųjų uždavinių (Štitilienė O., 2003).

• Paprastasis tekstinis uždavinys – tai tokia probleminė užduotis, kuri teikiama

mokiniams žodžiu, raštu ar kuria nors kita tekstą atstovaujančia forma (piešiniu, schema

ar pan.) ir yra sprendžiama vienu veiksmu (Balčytis B., 2000).

Šiame skyriuje išnagrinėjome sąvokas, kurios bus vartojamos darbe. I–IV ir V–VI klasėse

mokomasi algebrinių reiškinių, kurie susideda iš skaitinių, raidinių, sveikųjų bei trupmeninių

reiškinių. Išmokus apskaičiuoti algebrinius reiškinius, juos galima pritaikyti kasdieniame

gyvenime, o to ir siekia ugdymo įstaigos – išmokyti teoriją taikyti praktiškai. Kadangi lygybės ir

lygtys yra panašios savo sąvokomis, o lygtys dažnai naudojamos sprendžiant tekstinius

uždavinius, matome, kad algebra stipriai sieja ir šias tris sritis. Tekstiniai uždaviniai, nelygybės

ir lygčių užuominos plačiai naudojamos ir pradinėse klasėse.

1.2. I–VI klasės mokinių psichikos raidos ypatumai, svarbūs

uždavinių su algebros elementais supratimui

1.2.1.Vaizduotės ir grafinės raiškos ypatumai

Vaizduotė — tai fantazija, žmogaus psichinė veikla, kuria sukuriamos vaizdinės ir

mintinės konstrukcijos, atspindinčios tikrovę pakeistu pavidalu. Vaizduotė operuoja jutiminiais

vaizdiniais ir akivaizdžiais tikrovės modeliais. Kaip netiesioginis, apibendrintas pažinimas,

vaizduotė yra artima mąstymui (Lietuviškoji Tarybinė enciklopedija, 1982).

A. Gučas vaizduotę apibūdina kaip naujų vaizdinių sudarymą, pertvarkant atmintyje

turimą vaizdinę patirtį (Gučas A., 1986). Yra išskiriamos dvi vaizduotės rūšys: valinga ir

nevalinga.

Valinga vaizduotė – tai, kai vaizdinių sudarymo procese pastangos yra dedamos

sąmoningai, kai žmogus kelia sau tikslą ką nors sukurti, pvz., eilėraštį apie rudenį. Žmogus

išsikelia tikslą ką jam reikia sukurti ir sąmoningai renka medžiagą, daug kartų pats jį vertina,

tariasi su draugais, koreguoja, kol gauna norimą rezultatą (Gučas A., 1986). Valinga vaizduotė

atsiranda vyresniame mokykliniame amžiuje, kai plėtojasi produktyvioji veikla. Tokio amžiaus

vaikai jau pajėgia išsikelti sau tikslą ir jį įgyvendinti įvairiomis konstrukcijomis (Muchina V.,

1988).

Nevalinga vaizduotė pasireiškia tada, kai neturima tikslo kurti kokius nors vaizdinius,

nėra dedamos sąmoningos pastangos, neketinama savo vaizdinių realizuoti, kitaip sakant, kai

vaizdiniai kuriasi savaime (Gučas A., 1986). Tokia vaizduotė yra ikimokyklinio, jaunesniojo ir

viduriniojo amžiaus vaikų. Jie įsivaizduoja tai, kas juos jaudina. Kurdami eilėraštį, iš pradžių jie

net nepasakytų, apie ką jis bus (Muchina V., 1988).

Vaizduotę nulemia du veiksniai (Filipčiuk H., 1991):

didelė elementų, iš kurių gali kilti nauji vaizdiniai, atsarga;

gebėjimas kurti naujus vaizdinius iš žinomų elementų, iš turimos „medžiagos“.

Pirmąjį veiksnį daugiausia lemia artimiausia aplinka: ji gali teikti vaikui turtingų įspūdžių,

išgyvenimų, patirties, jie įgyjami tiesioginio kontakto su tikrove gyvenimo keliu, iš pokalbių su

9

suaugusiais, jų pasakojimų, filmų, televizijos programų žiūrėjimo, radijo, o vyresnių mokinių – ir

mokantis, klausant paskaitų.

Tačiau antrajam vaizduotės funkcionavimo veiksniui – gebėjimui kurti naujus vaizdus –

aplinka daro mažesnę įtaką. Ji tik gali skatinti šį gebėjimą, bet žodžiai ne visiems vaikams sukelia

vaizdinius. Yra vaikų, kuriems vaizdiniai gimsta lengvai, ir tokių, kurie sunkiai gali įsivaizduoti

tai, ko jie niekada nematė, atgaminti turimus vaizdus arba patirtus įspūdžius. Vienam vaikui

prisimintas vaizdas (gyvūno, daikto) sukelia stiprias emocijas ir didelę baimę, o kitam

nesužadintų jokio ryškaus vaizdo, kurį lydėtų baimės jausmas.

Vaiko vaizduotės ištakos prasideda ankstyvosios vaikystės pabaigoje, kai ima formuotis

sąmonės ženklinė funkcija. Vaikai nuo vienų daiktų keitimo kitais ir jų atvaizdų pereina prie

kalbos, matematikos ir kitų ženklų naudojimo bei mąstymo formų įvaldymo. Taip pat atsiranda ir

plėtojasi sugebėjimas papildyti ir keisti realius daiktus, situacijas, įvykius įsivaizduojamais, kurti

iš sukauptų vaizdinių naujus. Perdirbdamas tikrovę, vaikas ne tik kombinuoja vaizdinius, bet ir

suteikia daiktams jiems nebūdingų bruožų. Pavyzdžiui, daiktus savo vaizduotėje jie padidina arba

sumažina (stato namus iki žvaigždžių ir pan.) (Muchina V., 1988).

Yra tokia nuomonė, kad vaiko vaizduotė yra turtingesnė už suaugusio žmogaus, tačiau iš

tikrųjų vaiko vaizduotė nėra turtingesnė, o daugeliu požiūriu skurdesnė. Suaugęs žmogus turi

daugiau gyvenimiškos patirties, todėl jis gali daugiau įsivaizduoti negu vaikas, bet vaiko

gyvenime vaizduotė atlieka svarbesnį vaidmenį, pasireiškia daug dažniau ir lengviau atitrūksta

nuo tikrovės. Taigi, vienas iš būdų, padedančių vaikams pažinti aplinkinį pasaulį, smarkiai

praplėsti menką asmeninę patirtį – vaizduotė (Muchina V., 1988).

Pradiniame mokykliniame amžiuje vaikų vaizduotė kuriasi mokymosi procese ir jo

reikalavimų veikiama. Medžiagos išmokimas reikalauja aktyvios vaizduotės veiklos, reikia

suvokti ir įsivaizduoti, ką pasakoja mokytoja ar kas parašyta vadovėlyje (Pileckaitė-Markovienė

M., Nasvytienė D., Bumblytė D., 2004). Kadangi abstrakčius samprotavimus vaikam suvokti yra

sunku (ypač tai būdinga kalbant apie matematiką), būtina pasitelkti vaizdines priemones, kurių

pagalba tokie samprotavimai tampa labiau suprantami.

Mokantis matematikos, vaizduotėje sudaryti vaizdiniai turi būti perteikiami grafiniu

vaizdavimo būdu. Vienas iš vaizduojamosios veiklos tobulėjimo stimulų, kuris tęsiasi ilgai, yra

mokėjimas grafiniu būdu pavaizduoti daiktus. Geometrinę formą, kuria vaikai vaizduoja daiktus,

pirmiausia lemia trys dalykai: vaiko turimi grafiniai atvaizdai, regimasis daikto įspūdis ir

judamoji-lytimoji patirtis, įgyjama veikiant su juo (Muchina V., 1988). Visi šie trys dalykai

svarbūs ne tik geometrinių formų vaizdavimui, bet ir skaičiaus sampratos formavimui bei

siejimui su tam tikra ženklų sistema (šiuo atvejų skaičių).

Vadinasi, mokydamasis užrašyti daiktų kiekį skaičiais, t.y., tam tikrais skaičiaus

žymėjimo simboliais – skaitmenimis, vaikas taiko savo patirtį, kurią įgyja veikdamas su daiktais,

jų dydį suvokdamas regėjimu, vaizduodamas grafiškai ir mokomas suaugusiųjų. Todėl vaiko

grafinė raiška lėtai, bet tiksliai plėtojasi.

Mokydamasis daiktų kiekio užrašymo simbolių – skaitmenų, vaikas remiasi turimais

regimaisiais įspūdžiais. Tą skatinama ir suaugusieji. Lietuvos bendrosiose programose ir

išsilavinimo standartuose ugdymo gairėse nurodoma, kad nagrinėjant skaičius, mokantis juos

užrašyti, turi būti naudojamos vaizdinės priemonės (BP, 2008). Jos padeda mokiniams geriau

įsiminti informaciją ir sieti su simboliniu jos vaizdavimu.

Vaikų grafinė raiška labai siejasi su šabloniniu vaizdavimu. Dažnai vaizduodami daiktus

piešiniu, jie naudoja to daikto šabloną. Ši vaikų grafinės raiškos savybė yra naudinga mokantis

užrašyti skaičius bei nežinomojo skaičiau reikšmę pavaizduoti tam tikru simboliu (Muchina V.,

1988).

E. Z. Zambacevičienė (2007) išskyrė dvi pagrindines vaizduotės kūrimosi tendencijas

jaunesniame mokykliniame amžiuje.

10

Pirmiausia ji išskiria tai, kad tobulėja atkuriamoji vaizduotė, kuri yra susijusi su ankščiau

suvoktų dalykų išmokimu ir vaizdų pagal aprašymą, schemą ar piešinį kūrimu.

Dar viena tendencija, kad lavėja vaikų kūrybinė vaizduotė. Yra kuriami nauji vaizdiniai,

ankstesni įspūdžiai siejami su naujais deriniais ir kombinacijomis (Zambacevičienė E. Z., 2007).

Jaunesniame mokykliniame amžiuje vaizdiniai tampa vis realistiškesni, vaizduotė vis labiau

atitrūksta nuo tiesioginių įspūdžių įtakos, vis labiau vaikai geba kritiškai vertinti vaizduotės

vaizdinius vidaus logikos požiūriu (Savickytė V., 1994).

Apibendrinant galima pasakyti, kad vaizduotės pagalba ne tik kuriami vaizdiniai, bet ji

atlieka ir pažintinę funkciją. Jos dėka suaugę, o ypač vaikai susipažįsta su aplinkiniu pasauliu ir

praplečia asmeninę patirtį. Taip pat vaizduotės dėka suvokiamas ryšys tarp dalykų, kuriuos jau

žinojo, tačiau iki šiol dar nebuvo matę.

Taigi, jaunesniojo mokyklinio amžiaus vaikų vaizduotė yra nevalinga, nes tokio amžiaus

vaikai dar nepajėgia išsikelti sau tikslų ir juos įgyvendinti. Jie vaizdinius kuria tuomet, kai juos

kas nors jaudina. Tačiau šiame amžiuje smarkiai tobulėja atkuriamoji vaizduotė, kai nuo

statiškų, mažai detalių turinčių vaizdinių pereinama prie tikroviškesnių ir daugiau detalių

turinčių vaizdinių, bei kūrybinė vaizduotė, kai naujų vaizdinių kūrimas siejamas su naujais

deriniais ir kombinacijomis.

Mokantis algebros, labai svarbi funkcija yra operavimas vaizdiniais. Turimos informacijos

atkūrimas, turimų vaizdinių siejimas su ja padeda suvokti reiškinių esmę, formą, atskleidžia jų

struktūrą ir ryšius. Vaizduodami ne tik objektus, bet ir skaičius, uždavinius grafiškai vaikai vis

labiau įžvelgia atskiras objektų ypatybes, detales, kurios padeda suvokti algebros procesus.

1.2.2. Kalbos ir mąstymo ypatumai

Jau kūdikystėje formuojasi vaiko klausa, lavėja kalbos garsų tarimas, suprantami ir

tariami pirmieji žodžiai. Visa tai leidžia daugiau bendrauti su suaugusiais, o tai ir turi lemiamą

reikšmę kalbos lavėjimui.

Vaikas, pradėjęs labiau domėtis daiktais, jų savybėmis, nuolat kreipiasi į suaugusiuosius.

Kad galėtų kreiptis ir gauti reikiamą informaciją, jis privalo kalbėti.

Piaget daug tyrinėjo ikimokyklinio amžiaus vaikų kalbą. Klausydamasis, kaip vaikai

kalba, jis pastebėjo, kad jaunesni kaip 6–7 metų vaikai dažnai nesugeba išklausyti kito

kalbančiojo, ir nustatė, kad beveik pusė ikimokyklinio amžiaus vaikų kalbos yra egocentriška

(Žukauskienė R., 2007). Egocentrizmas – tai negebėjimas keisti pradinio požiūrio į kokį nors

objektą ar nuomonę net tada, kai informacija prieštarauja jo ankstesniam patyrimui.

Egocentrizmas kyla iš to, kad individas nesupranta, jog galimi ir kitokie negu jo požiūriai (TŽŽ,

2008). Tai reiškia, kad kalbama kito asmens akivaizdoje, tačiau nesikeičiant ar neperduodant

kitam informacijos bei idėjų (Žukauskienė R., 2007). Vaikas pasirenka pirmą pasitaikiusį

pašnekovą ir iš jo reikalauja tik išorinio suinteresuotumo, kad galėtų susidaryti iliuziją, jog yra

akivaizdžiai girdimas ir suprantamas (Piaget J., 2002).

J. Piaget egocentrinį kalbėjimą suskirsto į tris kategorijas (Piaget J., 2002):

Atkartojimas. Tai toks kalbėjimas, kai vaikas kartoja žodžius savo malonumui, nes jam

patinka tų žodžių skambėjimas (Žukauskienė R., 1996).

Monologas. Vaikas kalba pats su savimi, susidaro toks įspūdis, kad jis garsiai mąsto ir į

nieką nekreipia dėmesio.

Monologas dviese arba kolektyvinis monologas. Tai čia ir yra tas atvejis, kai vaikai

įtraukia į savo veiklą kitą žmogų, tačiau jis visiškai nepaiso pašnekovo nuomonės.

Pašnekovas atlieka tik stimuliuojantį vaidmenį.

Šios socialinės vystymosi stadijos skiriamos kalbant tik apie vaiko intelektinę veiklą:

11

piešimą, konstrukcinius žaidimus, skaičiavimą ir t. t. Piaget teigia (Piaget J., 2002), kad vaikui

žodis yra daug artimesnis veiksmui ir judesiui nei mums. Iš šio teiginio išplaukia padariniai, kurie

yra ypač reikšmingi vaiko kalbos supratimui. Pirmasis svarbus padarinys, jog vaikas, netgi tada,

kai būna vienas, turi kalbėti judėdamas, nes šūksniais ir žodžiais jis padeda savo judesiams ir

žaidimams. Antrasis – vaikas, kad paantrintų savo veiksmams, gali apversti šį ryšį ir vartoti

žodžius, siekdamas atlikti tai, ko pats veiksmas negalėtų realizuoti. Taip atsiranda įvairūs

pramanyti pasakojimai ir kuriami vaizdai.

Didelę reikšmę kalbos lavėjimui turi daiktinėje veikloje patirti įspūdžiai. Jais remiantis,

suvokiama žodžių reikšmė ir jų ryšys su aplinkinio pasaulio daiktais bei reiškiniais (Gučas A.,

1990). Žodžiu daiktas įvardijamas, priskiriamas jau žinomų daiktų kategorijai. Taip plečiasi

pažintys tų objektų, kurie turi panašių ar tokių pat ypatumų bei savybių. Nuo trečiųjų metų labai

intensyviai auga vaiko aktyvusis žodynas. Jis moka daugiau žodžių, todėl gali geriau savo

suvokinius paversti simboliais (Gučas A., 1990).

Labai svarbi ir tolesnė sakinių konstrukcijos raida. Vaikas pradeda vartoti sudėtinius sakinius,

vartoja jungtukus, patikslina ir išplečia pagrindinę sakinio mintį. Tobulėjanti kalba leidžia vaikui

lengviau prisiminti praeitį, įsivaizduoti ateitį, geriau orientuotis dabartyje (Žukauskienė R.,

1996).

J. Piaget, atlikęs tyrimus pagal Bruto intelekto testą, padarė tokią išvadą, kad taip, kaip

vaikai mąsto, priklauso nuo jų protinių sugebėjimų, o ne nuo to, ką jie yra išmokę (Žukauskienė

R., 1996). Jis išskyrė du pagrindinius mąstymo būdus (Piaget J., 2002): direktyvųjį (racionalųjį)

ir nedirektyvųjį (autistinį). Direktyvusis mąstymas yra sąmoningas, jis siekia tikslų, kuriuos

aiškiai suvokia mąstantysis. Toks mąstymas yra prisitaikęs prie tikrovės ir siekia ją paveikti.

Nedirektyvus mąstymas yra pasąmoninis. Juo yra siekiama patenkinti poreikius, tačiau to

perteikti žodžiais yra neįmanoma. Mąstant tokiu būdu, visi objektai yra siejami su organiniu

pasitenkinimu.

Tarp šių dviejų mąstymo formų egzistuoja daugybė įvairių mąstymo formų, kurios skiriasi

savo komunikuojamumo laipsniu. Pagrindinė iš tokių formų vadinama egocentriniu mąstymu.

Toks mąstymas yra labiau intuityvus ir sinkretiškas negu deduktyvus, tai reiškia, kad

samprotavimų eiga nėra itin aiški, sprendimai yra surandami iš karto einant nuo prielaidų prie

sprendimo, praleidžiant tarpinius samprotavimo etapus. Vadinasi, mažai remiasi įrodymais ir

pradinių teiginių tikrinimu, daug greičiau visumos vizijų sukuriamas tikėtinumo vaizdas ir

saugumo jausmas, nei tada, kai įrodymų seka būna aiški. Labai svarbų vaidmenį vaidina

vizualinės schemos, jos gali tapti įrodymu arba pagrįsti dedukciją (Piaget J., 2002).

Remdamasis vaikų intelektualinės raidos stebėjimai ir atliktais tyrimais, Piaget teigė, kad

žinios yra įgyjamos ir padeda žmogui prisitaikyti prie aplinkos. Jo manymu, vaikas ir suaugęs

žmogus informaciją suvokia ne pasyviai ir jų mintys nėra tiesiog mokymo arba kitų

pamėgdžiojimo padarinys. Taigi svarbiausia Piaget tezė yra, jog ,,individas yra aktyvus,

žingeidus ir išradingas visą savo gyvenimą“ (Žukauskienė R., 1996).

Piaget nuomone, mąstymo operacijos yra interiorizuoti, tarpusavyje suderinti atvirkštiniai

veiksmai, susijungę į pastovias ir kartu dinamiškas struktūras. Po truputį materialių veiksmų

atlikimą vaikas keičia į vidinius ir materialieji (išoriniai) veiksmai tampa interiorizuoti.

Interiorizacijos dėka realus veiksmas virsta to veiksmo vaizdiniu.

Žmonės svarbesnes savo mintis atskiria nuo mažiau svarbių, jungia jas vienas su kitomis,

taip yra organizuojamos mintys. Atliekant tokias operacijas, mąstymas yra adaptuojamas, kad

būtų galima priimti naujas mintis, nes nauja patirtis suteikia papildomos informacijos. Tokia

adaptacija vyksta dviem būdais: per asimiliaciją ir per akomodaciją.

Asimiliacija vyksta tuomet, kai naujos probleminės situacijos jungiamos su situacijomis,

kurias vaikai gali išspręsti. Akomodacija, jos teigimu, yra jau turimų schemų pakeitimas naujam

uždaviniui spręsti (Žukauskienė R., 1996).

12

Piaget išskyrė keturias pagrindines pažintinės raidos stadijas (Žukauskienė R., 1996).

Pirmoji, kurią išskiria psichologas, yra sensomotorinė stadija. Sensomotorinė stadija trunka nuo

gimimo iki kalbos atsiradimo, maždaug iki 2 metų. Šioje stadijoje vystosi kūdikio protiniai ir

pažintiniai požymiai (Ojose B., 2008). Sensomotorinėje stadijoje vaikas įsisąmonina, kad

objektai egzistuoja ir tada, kai jis jų negali matyti, vadinasi, vaikas suvokia objektų pastovumą.

Taip pat vaikas pradeda įsiminti ir įsivaizduoti (Gučas A., 1990). Šiai stadijai būdingi požymiai

yra, kad aplinkai pažinti vaikas naudoja jutimus ir motorinius sugebėjimus. Vaikai šioje stadijoje

jau gali jungti skaičius su objektais (Piaget, 1977). Kad šiose stadijose vystytųsi matematiniai

vaiko gebėjimai reikėtų sudaryti pakankamas sąlygas veikti neribotoje aplinkoje, taip greičiau

vaikai įgys gebėjimą kurti sąvokas (Martin D. J., 2000). Galime daryti prielaidą, kad vaikai

sensomotorinėje stadijoje turi tam tikrą skaičių ir skaičiavimo sąvokų supratimą. Šioje

išsivystymo stadijoje turi būti padėti tvirti matematiniai pagrindai, t.y., reikia organizuoti veiklą,

kurioje būtų įtrauktas skaičiavimas, tokiu būdu bus plečiamas skaičiaus suvokimas. Pavyzdžiui,

mokytojai ir tėvai gali padėti vaikams skaičiuoti jų pirštus, žaislus ir saldainius. Taip pat

skaičiaus sąvoką suvokti padeda tokie klausimai kaip, „Kas turi daugiau?” ir „Ar ten užtenka?”.

Tokie matematinio ugdymo būdai gali būti kasdienio maždaug dvejų ar trejų metų amžiaus vaikų

gyvenimo dalimi (Ojose B., 2008). Kita veikla, kuri gali padidinti vaikų matematinį išsivystymą

šioje stadijoje, jungia matematiką ir literatūrą. Yra labai daug vaikiškų knygų, kurios yra

matematinio turinio su iliustracijomis. Kadangi vaikai šioje stadijoje gali sujungti skaičius su

objektais, tai labai naudinga objektų ir juos atitinkančių skaičių paveikslus matyti vienu metu.

Greta matematinės naudos, vaikų knygos gali prisidėti prie jų skaitymo įgūdžių ir suvokimo

vystymosi.

Antroji stadija – ikioperacinė (2–6 metai). Šioje stadijoje vaikas pasaulio pažinimui

naudoja simbolinį mąstymą, taip pat ir kalbą. Mąstymas ir kalba šios stadijos pradžioje yra

egocentriški. Vaikas kalba sau ir nekreipia dėmesio į kitus, jam visiškai nerūpi, ar jo kas nors

klausosi ar ne (Gučas A., 1990).

Kaip jau minėjome, šioje stadijoje vaikas pažinimui naudoja kalbą bei mąstymą, vadinasi,

siekdamas pažinti daiktus, jis jau nebūtinai manipuliuoja jais. Darosi svarbu tiksliai suvokti

objektą ir mintinai sukurti jo vaizdą. Objekto požymiai analizuojami ir apibendrinami remiantis

mintiniais vaizdiniais. Vaiko mąstymas jau neatsiejamas nuo suvokimo (Jonynienė V., 1984).

Vadinasi, vystosi vaiko kalba, atsiranda gebėjimas apibendrinti.

Ikioperacinės stadijos metu vaikai suvokia būvius, bet ne transformacijas, pvz., kine šios

stadijos vaikas mato atskirus paveikslus, o labiau subrendęs – suvokia paveikslų judėjimą (Gučas

A., 1990).

Pagrindiniai ikioperacinės stadijos pasiekimai: labai išlavėjusi vaizduotė, mažėja vaiko

mąstymo centracija ir egocentrizmas, pradedama suprasti kitų požiūrį (Žukauskienė R., 1996).

Šioje stadijoje vaikai turėtų susidurti su problemų sprendimo užduotimis, kurios gali

susidaryti iš elementarių vaiko aplinkai daiktų. Tuo metu, kai vaikas bando išspręsti jam kilusią

problemą, suaugęs turėtų išsiaiškinti, kokia problema vaikui kilo ir padėti ją išspręsti. Verbaliniai

vaiko sugebėjimai, taip pat kaip ir jo veiksmai su tam tikrais daiktais ar medžiagomis leidžia

suaugusiajam daryti išvadas apie vaiko minties procesų mechanizmus (Ojose B., 2008). Vaiko

mąstymas šioje stadijoje yra racionalus, jis sujungia nesusijusius įvykius, negyvus daiktus sieja

su realiu gyvenimu, nesupranta kito požiūrio, negali pakeisti operacijų, pvz., vaikas supranta, kad

5 + 4 = 9, tačiau atvirkštinės operacijos atlikti negali. Šiame vystymosi etape vaikai suvokia

skaičius tik vienu aspektu. Šioje išsivystymo stadijoje reikėtų naudoti efektyvų klausinėjimą apie

objektų charakterizavimą. Pavyzdžiui, kai vaikas tiria geometrines formas, suaugęs galėtų

paprašyti, kad jis sugrupuotų formas pagal panašias savybes. Atlikus užduotį, būtinai reikėtų

paklausti: „Kaip nusprendei, kur kiekvieną objektą priskirti? Ar yra kitų būdų sugrupuoti šiuos

daiktus?”. Vaikų įtraukimas į pokalbį gali padėti vaikams atrasti kitų būdų daiktų grupavimui

13

(Thompson C. S., 1990).

Stadiją, kuri vyksta 7-11 metų amžiuje, Piaget pavadino konkrečių operacijų stadija.

Šioje stadijoje vaikas supranta ir taiko logines operacijas ir principus savo patirčiai ar

suvokiniams paaiškinti. Naudodamasis loginiais sugebėjimais, jis mokosi suprasti konkrečias

sąvokas, kaip masės, svorio, skaičių tvermės (Žukauskienė R., 1996). Taip pat šioje stadijoje

vaikas naudoja savo pojūčius, kad sužinotų. Dabar jis jau gali lyginti du ar tris matmenis,

dydžius, skirtumus. Daiktų klasifikacija yra operacija, kuri itin pasireiškia šiame etape ir yra

būtina norint suvokti skaičiaus sąvoką (Piaget J., 1977). Tai leidžia vaikams ugdyti matematinius

gebėjimus ir suvokti bei pradėti naudoti matematines sąvokas problemų sprendimui.

Paskutinioji stadija, kuri vyksta nuo 12 metų, vadinama formalių operacijų stadija. Tai

stadija, kai paauglys ar suaugęs žmogus sugeba mąstyti abstrakčiomis ir hipotetinėmis

sąvokomis. Paauglys dažnai pervertina savo naują sugebėjimą ir yra linkęs manyti, kad niekas

taip gerai nesupranta pasaulyje vykstančių procesų, kaip jis. Šios stadijos pagrindiniai pasiekimai:

suprantama, kad yra daug atsakymų į vieną klausimą ir daug klausimų kiekvienam atsakymui,

taip pat dėmesio centre dažniausiai būna etiniai, politiniai, socialiniai klausimai (Žukauskienė R.,

1996).

Šiame etape vaikas jau gali išspręsti uždavinį, neturėdamas konkrečios situacijos, pvz.,

pateikiama lygtis x + 2x = 9. Samprotavimas ir kiti protiniai procesai šioje stadijoje labai siejasi,

todėl, kad būtų lengviau, mokytoja galėtų paskatinti susidaryti tekstinį uždavinį pagal pateiktą

lygtį (veikia kalba ir mąstymas), pvz., Tomas suvalgė saldainių tam tikrą skaičių. Jo sesuo

suvalgė dukart daugiau. Kartu jie suvalgė devynis saldainius. Kiek Tomas suvalgė saldainių?

(Anderson J. R., 1990). Paaiškinimas reikalingas, kad mokiniai identifikuotų ir analizuotų

problemos elementus, būtinus problemos sprendimui. Drąsindami mokinius ištraukti tinkamą

informaciją iš iškilusios problemos, mokytojai gali padėti vaikams didinti jų matematinį

supratimą. Taigi, mokiniai šioje stadijoje yra pasiruošę daryti induktyvias ir dedukcines išvadas

matematikoje. Dedukcinės išvados apima samprotavimą nuo bendrų sąvokų į specifinius

pavyzdžius. Induktyvios išvados yra pagrįstos panašumų ir skirtumų suradimu tarp specifinių

objektų ir įvykių. Šioje stadijoje mokiniai jau gali matematines sąvokas taikyti realiame

gyvenime.

Ikioperacinėje stadijoje mąstymo veiklos pagrindas yra ne tik tiesioginis patyrimas

(pojūčiai, suvokimas), bet ir jau turimas patyrimas, kurį galima analizuoti atmintimi. Reikia

pabrėžti, kad sąvokinis mąstymas, toli išeidamas už tiesiogiai gaunamos informacijos ribų,

niekada visiškai neatitrūksta nuo pojūčių, suvokimo ir vaizdinių (Jonynienė V., 1984).

Piaget teigė, kad galutinis mąstymo raidos tikslas yra jo visiška loginė pusiausvyra, kuri

yra pasiekiama tik formalaus operacinio mąstymo stadijoje. Vaiko mąstymo raida vyksta

formalaus operacinio mąstymo linkme. Susiformavus formaliam operaciniam mąstymui,

pasiekiamas aukščiausias mąstymo lygis (Žukauskienė R., 1996).

Kaip matome, mąstymo vystymosi raidą Piaget suskirstė į keturias stadijas. Pirmosios

trys vystosi labai intensyviai, paskutinioji formalių operacijų stadija vyksta visą gyvenimą.

Palaipsniui pradedamas suvokti objektų pastovumas (objektai egzistuoja ne tik tada, kai gali juos

pamatyti). Tai labai svarbu mokantis algebros, kadangi algebros moksle operuojama

abstrakčiais kūnais, kurie yra reiškiami raidiniais simboliais. Todėl būtina įjungti vaizduotę,

mąstymą, kad vaikas suprastų, kaip apskaičiuoti skaitinius ir raidinius reiškinius.

Mąstymo vystymosi pagrindą sudaro mąstymo veiksmų formavimasis ir tobulėjimas. Nuo

to, kokių mąstymo veiksmų vaikas yra išmokęs, priklauso tai, kokių žinių jis gali įgyti ir kaip jas

pritaikys. Taigi, vystantis mąstymui, po truputį įjungiami ir kiti psichiniai bei fiziniai procesai,

refleksai, pojūčiai, vystosi kalba, loginis mąstymas ir pan. Kalbėdami mes mąstome, kaip ir

mąstydami kalbame. Tobulėjant vaiko kalbai, vis lengviau prisimenama praeitis, įsivaizduojama

ateitis ir geriau orientuojamasi dabartyje. Tai svarbus vaizdinių kūrimo ir operavimo jais

14

aspektas, kuris padeda lengviau suvokti matematiką.

Kai vaikas pažinimui pradeda naudoti mąstymą ir kalbą (2–6 m.), manipuliavimas

daiktais jam nebe toks svarbus, daikto vaizdai pradedami kurti mintyse, atsiranda loginis

mąstymas. Jo pagalba suvokiniai paverčiami simboliniu įvairių objektų atvaizdu vaizduotėje.

Kadangi algebra – tai veiksmai su neapibrėžtais dydžiais, simbolinis mąstymas čia yra labai

svarbus. Sprendžiant lygtis, tekstinius uždavinius, apskaičiuojant nelygybes ar paprasčiausius

aritmetinius veiksmus, suvokiamas veiksmų ir simbolių ryšys, kuris yra algebrinių uždavinių

sprendimo sistemos dalis.

1.3. Algebros elementų mokymas(-is) pradinėje ir pagrindinėje

mokyklose

1.3.1. Algebros ištakos ir vystymosi etapai

Seniausias žinomas matematinį žmonių mąstymą atspindintis objektas yra Afrikoje

rastame kaule aptinkamos įpjovos, kurios buvo sugrupuotos tam tikromis grupelėmis (Boyer C.

B., 1991). Tai rodo, kad matematikos užuomazgų jau buvo prieš 33 000 metų. Keičiantis žmonių

gyvenimo būdui, matematikos naudojimo poreikis didėjo. Tai lėmė skirtingų matematikos sričių

atsiradimą, viena iš jų – algebra. Ji minima 4000 metų senumo rankraščiuose iš Babilonijos,

Egipto, Indijos, Kinijos. Tačiau artimiausia tuometinė algebros išraiška šių dienų algebrai kilo iš

senovės babiloniečių (Struik D. J., 1987). Jie naudojo kvadratines ir kubines lygtis, išvystė

lanksčias algebrines operacijas, kurių pagalba galėjo sudėti, lyginti, dauginti ir dalinti (Boyer C.

B., 1991). Šie keturi aritmetiniai veiksmai yra laikomi algebros atsiradimo pradžia, kurie ir

šiandieninėje mokykloje mokomi nuo I klasės. Svarbiausias įvykis jos vystymesi laikomas naujų

skaičių (iracionaliųjų, nulio, neigiamų skaičių) įvedimas.

Babiloniečių algebra buvo labiau retorinė, t.y., uždavinius sprendė, naudodami

pavyzdžius, nepateikdami paaiškinimo. Jie pripažino tik teigiamus racionaliuosius skaičius, nors

buvo sukūrę metodų sistemą, kurios pagalba galėjo surasti apytikslius uždavinių, kurie neturi

racionalaus sprendimo, sprendinius (Struik D. J., 1987).

Antikinėje Graikijoje algebros uždavinius reikšdavo geometriškai, tik apie 250 metus

algebros tėvu laikomas Diofantas pamėgino atskirti algebrą nuo geometrijos, o tai vėliau

elementaresniame lygmenyje darė ir Al - Khwarizmi (Boyer C. B., 1991).

Taigi, galime teigti, kad graikai gerai išmanė geometriją, o babiloniečiai - algebrą ir

aritmetiką.

Šiuo metu algebra skirstoma į dvi rūšis. Pirmoji – klasikinė algebra apima lygčių

sprendimą, nežinomojo apskaičiavimą, kuri vystėsi apie 4000 metų. Antroji – abstrakčioji, arba

šiuolaikinė, algebra apimanti tiriamas grupes, žiedus ir laukus bei atsiradusi prieš 200 metų

(Stillwell J., 2004).

Nuo algebros atsiradimo iki šių dienų algebrinės žymėjimo sistemos vystėsi trim etapais:

retoriniu (žodiniu), sinkopiniu (naudojami žodžių trumpiniai) ir simboliniu (naudojamas dabar).

Retoriškoji algebra, kai visi skaičiavimai užrašomi žodžiais ir nenaudojami jokie

simboliai. Ji sukurta senovės babiloniečių ir išliko iki XVI a.

Matematikos užuomazgos Lietuvoje prasideda kaip tik šiame etape, kai kūrėsi baltiškoji

kultūra. Visi matematikos pradmenys taip pat buvo paremti žodine kūryba (Baltrūnas A., 1986).

Palaipsniui praktinės matematikos žinios vis tobulėjo. Mezolito amžius laikomas geometrijos

pradmenų atsiradimo ir taikymo praktikoje laikotarpiu. Tuo metu pradėti gaminti kaulo dirbiniai,

ant kurių jau buvo raižomos tam tikros pasikartojančios ornamentų sistemos (Rimantienė R.,

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=lt&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/John_Stillwell&prev=/search%3Fq%3Dmathematic%2Bhistory%26hl%3Dlt%26prmd%3Dv&rurl=translate.google.lt&usg=ALkJrhjldQ3nchliAqwp7fFXAn0QAG7c7A

15

1984). II–I tūkstantmetyje pr. Kr. baltai iš indoeuropiečių prokalbės paveldėjo dešimtainę

skaitvardžių sistemą. Manoma, kad ilgą laiką pirmieji dešimt kiekinių skaitvardžių šioms gentims

buvo vieninteliai (Zinkevičius Z., 1996). Intensyvėjant kasdieniam gyvenimui, buvo pradėtas

taikyti žyminis skaičiavimas, t.y., skaičiuojami daiktai, fiksuojami sutartiniais ženklais,

pavyzdžiui, prekybai su kitomis šalimis skaičiavimo reikmėms naudotos lazdelės su atitinkamų

prekių kiekiui įrėžtų rėželių skaičiumi (Šapoka A., 1989).

Taigi, geometrijos pradmenys prasidėjo Lietuvos priešistorėje, taip pat jie išmanė keturis

aritmetinius veiksmus, o tai algebroje yra vienas iš svarbiausių dalykų. Palaipsniui baltų tridalę ir

keturdalę skaičiavimo sistemas pakeitė dešimtainė, o jos pagrindu kūrėsi baltiškoji žodinė

numeracija (Banionis J., 1998.).

Antrasis sinkopinis, arba sutrumpintų skaičiavimų, užrašymo etapas prasidėjo tuomet, kai

Aleksandrijoje gyveno Diofantas (200–284 m.). Yra išlikusios šešios jo knygos, kuriose

pateikiami skaitinių algebrinių reiškinių sprendimai. Tai įrodo, kad Diofantas pirmasis įvedė

raidinę simboliką. Šie simboliai buvo atitinkamų žodžių trumpiniai. Jis taip pat pirmą kartą

matematikoje panaudojo minuso bei lygybės ženklus, laipsnių žymėjimą (Little T., 2010).

Remiantis tuo, kas pasakyta, galėtume teigti, kad Diofanto svarbiausias atliktas darbas yra

aritmetika. Tačiau jo aritmetikoje dėstoma ne teorinė aritmetika, o algebra (ten pat). Vadinasi,

toks klaidinantis pavadinimas atsirado todėl, kad pats algebros terminas, o ne algebra atsirado

vėliau (prieš 200 metų).

Vakarų šalyse ir Lietuvoje viduramžiais vis labiau pradėta vertinti žinias. Šiame

laikotarpyje kūrėsi universitetai. Lietuvos didysis kunigaikštis Gediminas savo laiškuose Vakarų

Europai kvietė amatininkus, pirklius, žemdirbius, riterius atvykti į Lietuvą (Gediminas, Lietuvos

didysis kunigaikštis, 1966), taip skatindamas naujų žinių skleidimą savo valdose. Didėjant

socializacijai ir ekonomikai, didėjo švietimo ir mokymo proceso reikalavimai, todėl nebuvo

galima apsieiti be matematinių žinių. Kasdieninis gyvenimas tiesiog vertė mąstyti logiškai ir

priimti atitinkamus loginius sprendimus, atlikti skaičiavimus.

Simbolinį algebrinės sistemos žymėjimą naudojame iki šių dienų. Tai algebrinių

skaičiavimų užrašymas tam tikrais simboliais. Šis etapas prasidėjo XIV a., o visiškai susiformavo

1637 metais paskelbus Dekarto ,,Geometriją“ (Struik D. J., 1987).

Lietuvoje ši sistema atsirado maždaug tuomet, kai buvo įkurta pirmoji mokykla Lietuvoje

prie Vilniaus katedros (1397 m.). Joje veikė trys klasės, ten, be kitų mokomų dalykų, kaip

religijos, rašto įgūdžių, skaitymo, rašymo mokymo, dar buvo mokoma ir skaičiavimo

(Žemgulienė A., 2009.). Atskirai matematikos, skaidant į geometriją, algebrą, aritmetiką, nebuvo

mokoma, tačiau galima suprasti, kad kaip ir kitų matematikos šakų taip ir algebros užuominų

tikrai buvo.

Galima daryti prielaidą, kad algebra yra aritmetikos ir geometrijos išplėtimas, t. y.,

algebros pradžia buvo geometrija ir aritmetika, o kai žmonės ėmė mąstyti abstrakčiau, iš tų

dviejų matematikos sričių išsirutuliojo algebros mokslas.

1.3.2. Algebros elementų atsiradimas mokyklinio matematinio ugdymo

turinyje

Europoje matematiką sparčiai vystė Arabija ir Indija. Indijos matematikai aktyviai

naudojo simbolius, dešimtainę sistemą ir pirmą kartą panaudojo neigiamus skaičius. Tuo metu jų

naudojami skaitmenys buvo dabar naudojamų skaičių atsiradimo priežastis. Jau minėtas žymus

arabų matematikas Al - Khwarizmi parašė knygą apie algebrą, kuri laikui bėgant buvo išversta į

lotynų kalbą ir padarė algebros vystymosi postūmį Europoje (Baltrūnas A., 1983).

16

XIV–XV a. Lietuvos jaunimas pradėjo studijuoti Vidurio ir Vakarų Europos

universitetuose, nes aukštojo mokslo įstaigų Lietuvoje tuo metu dar nebuvo. Užsienio

universitetuose jie mokėsi ne tik skaičiavimo, bet ir aritmetikos bei geometrijos (Ažubalis A.,

1997). 1570 m. aukštoji mokykla buvo įkurta ir Lietuvoje, tai Vilniaus kolegija. Joje matematika

buvo dėstoma kaip atskira disciplina, t.y., buvo mokoma gramatikos, elementariosios

plokštuminės ir erdvinės geometrijos bei sferinės geometrijos ir trigonometrijos pradmenų

(Banionis J., 2001). Europos universitetuose matematikos dalykų ciklą sudarė aritmetika, Euklido

teorinė geometrija, astronomija, praktinė geometrija. Amžiaus pabaigoje buvo pradėta mokyti ir

algebros (Banionis J., 2001).

Lietuvoje, XVII a. matematika baigė susiformuoti kaip mokslas apie pastovius dydžius ir

tuo pat metu atsirado algebros mokslas. Pradėtos spręsti lygtys, trigonometrija atsiskyrė nuo

astronomijos (Klimka L., 1994). Buvo aiškinami keturi aritmetikos veiksmai su sveikaisiais

skaičiais ir trupmenomis bei pateikiami šių veiksmų patikrinimai. Taip pat buvo nagrinėjama

proporcijos taisyklė, klaidingo teiginio taisyklė, kuria grindžiamas lygčių sprendimo būdas

(Rabikauskas P., 1972). Taigi, matematikos moksle prasidėjo naujas periodas.

XVII–XVIII a. Lietuvoje buvo pradėti leisti matematikos vadovėliai, tačiau juose

labiausiai atsispindėjo aritmetika ir geometrija. Algebra, kaip pastarosios dvi matematikos šakos,

nebuvo išskiriama, tačiau jos paprasčiausių elementų vis tiek būta (Banionis J., 2001), pvz., 1635

m. Vilniuje buvo išleistas matematikos vadovėlis, kuriame aptinkama užduočių su

neapibrėžtomis lygtimis. Prireikė net 100 metų, kad vadovėliuose pasirodytų algebra. Vienas iš

tokių vadovėlių buvo ,,Alpha Matheseos arithmetica theorica et pratica”, išleistas 1734 m.

(Jasiūnas H., Verikaitė V., 1992.). Vis dėlto aritmetika išliko kaip labiausiai paplitęs mokymas,

tačiau nei aritmetika, nei pats jos mokymas nebuvo tobuli. Rengiami vadovėliai buvo tarsi

nurodymai, kaip reikia spręsti tam tikrus pratimus ir uždavinius. Toks algebros mokymas lėmė

tai, kad mokiniai skaičiuodavo mechaniškai pagal jiems nurodytas taisykles (Ažubalis A., 1997).

Europoje matematikos mokslas tuo metu vystėsi vis sparčiau. Jo raidą lėmė sėkmingas

matematinių metodų taikymas, diegiant naujas technologijas, kurios skatino įvairių mokslų

kilimą. Taigi, naujų matematikos mokslo teorijų atsiradimas skatino atskirų matematikos šakų

atsiradimą ir iškilimą (Banionis J., 2006).

1752 m. iš matematikos studijų Vienoje ir Prahoje grįžo T. Žebrauskas. Pradėjęs dėstyti

Vilniaus akademijoje, jis praplėtė matematikos kurso turinį, t. y., buvo pradėta dėstyti logaritmai,

bikvadratinės ir kubinės lygtys, diferencialiniai ir integraliniai skaičiavimai. Atliekant

diferencialinius skaičiavimus, buvo nagrinėjama algebrinių reiškinių diferencijavimas,

diferencialas ir aptariamas algebrinių kreivių maksimumo ir minimumo ieškojimas. 1755 m. T.

Žebrauskas parengė išsamias matematikos disciplinų egzaminų programas, tarp kurių buvo ir

algebra (Zubovas V., 1986). 1761 m. buvo parašytas vadovėlis, kuriame algebra ir aritmetika

pateikiama kaip atskiri dalykai.

Aptarus XIV–XVIII a. matematinį ugdymą matome, kad algebrinis ugdymas Lietuvoje

vystėsi labai lėtai. Dėstant aritmetikos dalyką, ilgą laiką algebra neminima. Tobulėjant

matematikos mokslui, pradedama dėstyti geometriją, o vėliau ir algebrą. Galima pastebėti, kad

algebra labai dažnai pateikiama kartu su aritmetika ir to priežastis, jog algebros elementariausi

pradmenys prasideda mokantis aritmetikos.

Iki 1797 m., kai buvo įkurta edukacinė komisija, matematikos ugdymo apimtis, kaip

matėme, nebuvo didelė, tačiau jau padėti matematikos mokymo ir mokymosi pamatai. Kaip tik

tuo laikotarpiu vyko švietimo reforma. Po jos ir matematika, ir matematinis ugdymas Lietuvoje

smarkiai prasiplėtė. Gimnazijų III klasėje buvo kartojamas I ir II klasės aritmetikos kursas ir

pradedama mokyti geometrijos, o IV klasėje trumpai pakartojama geometrija ir mokoma algebros

(Minginas J., 2007). V ir VI klasėse algebra, priešingai nei kiti matematikos dalykai,

nekartojama. Remiantis tuo, galime teigti, kad tuo metu algebrai dar nebuvo skiriamas didelis

17

dėmesys. Tai dar kartą įrodo, kad algebra tuo metu buvo neatsiejama nuo aritmetikos ir

geometrijos.

1863 m. prasidėjus rusinimui ir vykdant mokyklų reformą, buvo pradėta uždarinėti

parapines mokyklas, o vietoj jų steigti valstybines pradžios mokyklas, kuriose visi dalykai buvo

dėstomi rusų kalba (Ažubalis A., 1997). Kaip jau žinoma, rusinimas reiškė lietuviškos spaudos

uždraudimą, o tai lėmė visų lietuvių kalba išleistų vadovėlių, tarp jų ir matematikos, uždraudimą.

Lietuviai nepasidavė ir pradėjo steigti slaptąsias mokyklas bei aktyviai rengti vadovėlius lietuvių

kalba. Netrukus pasirodė geometrijos ir aritmetikos vadovėlių, tačiau algebros žinių turtinimui

jokia priemonė nebuvo išleista (Banionis J., 2006). Vadinasi, algebra rusinimo laikotarpiu buvo

primiršta.

Vykstant Pirmajam pasauliniam karui, 1916 m. A. Smetona parengė dviejų dalių

,,Elementarinės algebros“ vadovėlį. Tai nebuvo daug gerų atsiliepimų sulaukusi algebros

mokymo priemonė (Banionis J., 1998), tačiau A. Smetona vis dėl to prisiminė algebrą ir

vadovėlyje pateikė algebrinių reiškinių apibrėžimus, supažindino su keturių veiksmų taisyklėmis,

daugianarių skaičių skaidymu, trupmenų veiksmais ir I laipsnio lygtimis. Antroje dalyje buvo

nagrinėjama kėlimo laipsniu, šaknies traukimo aiškinimo, kvadratinių lygčių, proporcijų ir

progresijos, logaritmų, DBD (didžiausio bendro daliklio) ieškojimo, tęstinių trupmenų reiškiniai

ir baigiama skaičių sekos teorijos elementais. Taigi, pagaliau pirmą kartą elementarinės algebros

teorija buvo išdėstyta lietuviškai (ten pat).

Iki Lietuvos nepriklausomybės metų algebra aukštosiose mokyklose suklestėjo. Buvo

rengiami vadovėliai, o algebros turinys plečiamas, gilinamas (Ažubalis A., 1997). Lietuvos

nepriklausomybės metais algebra, kaip atskira matematikos šaka, mokyklose nebuvo išskiriama,

tačiau mokymo programa buvo sudaryta su algebros mokymo elementais. Jokie algebros

elementai neminimi tik I klasėje. II klasėje jau supažindinama su funkcijos ir argumento

sąvokomis; ieškoma I laipsnio funkcijos argumento, kai funkcija lygi nuliui; supažindinama su I

laipsnio lygčių sistemos sprendimais. III klasėje įvedami iracionalieji skaičiai, reiškiniai; šaknies

traukimo iš sandaugos, dalmens, laipsnio šaknies aiškinimas. IV klasėje sprendžiamos dvinarės

lygtys; pertvarkomos trinarės lygtys į kvadratines; ir parodomi atitinkamų lygčių sprendimai. V–

VI klasėje plėtojama funkcijų teorija; apibendrinamos I, II ir III laipsnio rodiklinės, logaritminės

funkcijos; įvedama išvestinės sąvoka ir jos pagrindinės skaičiavimo taisyklės, kurios taikomos

tiriant funkcijas (Lietuvių švietimo draugijos ,,Saulės“ gimnazijų laikinoji programa.,1918).

Kaip matome, XX a. algebra stipriai paplito ne tik aukštosiose mokyklose, bet ir pradžios

mokyklose. Kiekvienoje aukštesnėje klasėje mokoma vis daugiau ir sudėtingesnių algebros

elementų. Šiais laikais algebra yra dar labiau sustiprėjusi ir pradedama mokyti vis jaunesniame

amžiuje. Vadinasi, modernėjančioje mūsų visuomenėje atsiranda vis didesnis poreikis mokytis

algebros ir ją taikyti praktinėje veikloje. Aptarus algebros vystymosi raidą nuo priešistorės laikų

iki XX a. matome, kad jos plitimas Europoje buvo nelengvas. Galima išskirti du algebros

vystymosi etapus, kurie yra labai panašūs; priešistorė – XVI a. ir XVII–XX a. I laikotarpyje

pradėjo vystytis matematika, o algebra kaip matematikos mokslas pasireiškė tik tam tikrais

elementais naudojamais buityje. II laikotarpyje algebra buvo užmiršta ir palaipsniui jai teko vėl

kilti kaip ir jos atsiradimo pradžioje. Dar vienas požymis, kuris rodo, kad šie etapai algebros

vystymosi laikotarpiu yra panašūs – algebros kilimas. Tiek vienu, tiek kitu laikotarpiu algebra

sunkiai, tačiau palaipsniui kilo ir kilo kartu su aritmetika bei geometrija. Galiausiai I

laikotarpyje, supratus jos reikalingumą ir svarbą, buvo atskirta nuo geometrijos ir aritmetikos. II

laikotarpyje ji vėl gi įgauna vis didesnę vertę, užima svarbią vietą matematikos mokyme.

18

1.3.3. Algebros ir uždavinių su jos elementais kaita

I – IV ir V – VI klasėse

Šiame skyriuje plačiau bus aptariama, kaip mokoma algebros pradinėje mokykloje ir V–

VI klasėse. 1.1 poskyryje buvo išsiaiškinta, kas yra algebra ir kokios sąvokos su ja susijusios

nagrinėjama tema.

Siekiant išsiaiškinti, kaip mokoma algebros vadovėliuose iki VII klasės, buvo nusistatyti

kriterijai ir pagal juos renkami duomenys. Kriterijai pasirinkti, remiantis Lietuvos bendrosiomis

programomis ir išsilavinimo standartais, atsižvelgiant į mokymo turinį. Aptarkime visus

kriterijus.

1. Reiškinių reikšmių radimas. Bendrosiose programose ir išsilavinimo standartuose

nurodomi tokie gebėjimai ties šia nuostata (BP, 2008):

I–II klasės mokiniai turi mokėti apskaičiuoti paprastų skaitinių reiškinių ar dydžių

skaitines reikšmes.

III–IV klasės mokiniai turi mokėti apskaičiuoti paprastų skaitinių reiškinių, paprasčiausių

raidinių reiškinių ir dydžių skaitines reikšmes.

V–VI klasės mokiniai turi mokėti apskaičiuoti paprastų skaitinių ir paprasčiausių raidinių

reiškinių skaitines reikšmes, dydžių reikšmes pagal nurodytą formulę:

a + b = c (a = 2, b = 5).

Tokio tipo uždaviniais bus laikomi uždaviniai, kai reiškinys yra duotas, o reikia rasti jo

reikšmę.

1 lentelė

Reiškinių reikšmių radimo uždaviniai

Klasė Užduočių pavyzdžiai Apibūdinimas

1–2 klasė 5 + 4 = ? 35 – 2 = ? _35

9 – 1 = ? 2

Aritmetiniai veiksmai:

sudėtis ir atimtis stulpeliu

bei eilute.

Skaičiai: vienaženkliai ir

dviženkliai.

3–4 klasė 6 · 7 = ? 5 · 6 = ? 280 – 90 – 80 = ?

(28 + 21) : 7 = ?


sudėtis, atimtis, daugyba,

dalyba, skliaustai.

Skaičiai: vienaženkliai,

dviženkliai, triženkliai.

Veiksmo komponentų

skaičius: trys.

5–6 klasė (643 + 78) : 7 – 94 = _125 407

7,2 + 0,6 + 4,4 = 98 038


sudėtis, atimtis, daugyba,

dalyba, skliaustai.

Skaičiai: daugiaženkliai,

trupmeniniai, natūralieji.

Veiksmo komponentų

skaičius: kiek reikia.

Lentelėje (žr. 1 lentelę) pateikta keletas uždavinių pavyzdžių. Uždaviniai pateikiami

sudėtingumo tvarka ir vienoje klasėje parodyti pavyzdžiai kitoje nebekartojami.

19

Kaip matome pradinėje mokykloje apskaičiuoti reiškinių reikšmes daug lengviau, o

perėjus į penktą klasę pastebimas staigus šuolis reiškinių sunkėjimo link.

2. Situacijų aprašymas reiškiniais. Šis kriterijus apima tekstinius uždavinius, kuriuos A. Ažubalis

ir A. Kiseliovas (2002) siūlo skirstyti taip:

Paprastieji tekstiniai uždaviniai. Tai tokie uždaviniai, kurių sprendimui reikalingas vienas

veiksmas. Jie skirstomi į smulkesnes grupes pagal aritmetinius veiksmus (daugyba, dalyba,

sudėtis, atimtis). Paprastieji tekstiniai uždaviniai su dalybos veiksmu išskiriami į dar smulkesnes

dvi grupes: dalybos į lygias dalis ir talpos dalybos, kurios yra skirstomos dar smulkiau. Priede

nr.1 pateikiamas visas tekstinių uždavinių skirstymas su pavyzdžiais.

Sudėtiniai uždaviniai. Tai uždaviniai, kuriems išspręsti reikia dviejų veiksmų. Sprendžiant

tokio tipo uždavinius, pirmiausia reikia nustatyti uždavinio veiksmų eiliškumą.

Tipiniai uždaviniai. Tai tokie uždaviniai, kurie sprendžiami tik konkrečiam tipui tinkančiais

būdais. Yra išskiriami trys tokio tipo uždaviniai, kurie dar vadinami triskaitės taisyklės

uždaviniais (Priedas nr.1).

Proporcingosios dalybos uždaviniai. Tai tokie uždaviniai, kurių sprendinys – proporcijų

nustatymas.

Judėjimo uždaviniai. Šie uždaviniai yra skirstomi į dar tris smulkesnes rūšis: priešpriešinio

judėjimo uždaviniai; uždaviniai apie du kūnus, judančius priešingomis kryptimis; dviejų kūnų

judėjimo viena kryptimi uždaviniai.

3. Tapatūs reiškinių pertvarkymai. Reiškiniai, kuriuos pertvarkant (keičiant dėmenis vietomis,

sutraukiant panašiuosius narius, išskaidant dauginamaisiais ar sprendžiant pagal tam tikrą

veiksmų tvarką), reiškinio reikšmė nesikeičia.

I klasėje tapačių reiškinių pertvarkymo užduočių yra tikrai ne daug. Viena iš tokių užduočių,

kai keičiami sumos dėmenys vietomis, kad suvoktų vaikai, jog dėmenis keičiant vietomis suma

nesikeičia. Kita tapačių reiškinių pertvarkymo užduotis, kai mokoma lengvesniu būdu

apskaičiuoti reiškinius. Siūloma reiškinį pertvarkyti taip: dešimtis sudėti su dešimtimis, o

vienetus su vienetais. Apibendrinant galime teigti, kad tapatūs reiškinių pertvarkymai yra skirti

pradiniam skaičiaus struktūros sampratos formavimui. Daugiau nagrinėjamame I klasės

vadovėlyje tokio tipo uždavinių nėra.

II klasės vadovėlyje atsiranda 4 nauji būdai tapačių reiškinių pertvarkymui:

1. Sudarant ir išardant dešimtis, pvz., 11 – 4 = 11 - 1 – 3.

2. Keičiant veiksmų tvarką, pvz., 41 – 3 · 6 + 29 = 41 – 18 + 29.

3. Sutraukiant panašiuosius narius, pvz., 5 + 5 + 5 + 5 = 4 · 5.

4. Skaidant dauginamaisiais, pvz., 12 · 4 = 10 · 4 + 2 · 4.

Taigi, galime teigti, kad II klasėje plečiama skaičiaus struktūros samprata.

III–IV klasėse tapačių reiškinių pertvarkymo uždaviniai labai panašūs kaip ir II klasėje,

tik pertvarkomi sudėtingesni reiškiniai. Sudėtingesni reiškia, kad reiškiniai sudaryti iš dviejų ir

daugiau dėmenų panaudojant sudėties, atimties, daugybos, dalybos veiksmus bei skliaustus. Šiose

klasėse taip pat vyrauja tapačių reiškinių pertvarkymas keičiant veiksmų tvarką. Skaičiaus

struktūros supratimo gylis didinamas pasirenkant didesnius skaičius ir didesnį reiškinio narių

skaičių. Todėl galima teigti, kad III–IV klasės skirtos tapačių reiškinių pertvarkymo patirčiai

kaupti.

Pradinės mokyklos vadovėliuose vyrauja tokie tapačių reiškinių pertvarkymo uždaviniai,

kurie reikalauja pertvarkyti reiškinių tvarką.

V–VI klasių vadovėliuose pateiktas tapačių reiškinių pertvarkymo užduotis galima

suskirstyti į grupes, kurios pateikiamos lentelėje (žr. 2 lentelę).

Kaip matome, V–VI klasėse yra labai daug uždavinių, kur reikia sutraukti panašiuosius

narius, išskaidyti dauginamaisiais ir keisti veiksmų eiliškumą. Taip pat VI klasėje nemažai

reiškinių su paprastosiomis ir dešimtainėmis trupmenomis.

20

Taigi, apibendrinant galima pasakyti, kad V–VI klasių tapačių reiškinių pertvarkymo

užduotys yra skirtos dėsnių pastebėjimui ir jų taikymui.

2 lentelė

Tapačių reiškinių pertvarkymo grupės

Nr. Tapačių reiškinių pertvarkymo

grupės pavadinimas

Pavyzdžiai

Sudėties perstatymo dėsnis

(dėmenų keitimas vietomis)

6 + 8 = 8 + 6 (3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4)

14 = 14 8 + 4 = 3 + 9

12 = 12

Atimties perstatymo dėsnis (300 + 78) – 200 = 300 – 200 + 78 = 100 +

+ 78 = 178

Daugybos perstatymo, jungimo,

skirstymo dėsnis

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 · 5

a + a + a +a = 4a

2 · x · 4 = 2 · 4 · x = 8 · x = 8x

(a + b + c) · d = a · d + b · d + c · d

4. Lygčių sprendimas. Jau aišku, kad lygtis – tai lygybė, kurioje nežinomas skaičius

pažymėtas raide. Lygties sprendiniu vadiname kintamojo reikšmę, su kuria lygtis tampa teisinga

lygybe. Danutės ir Arkadijaus Kiseliovų vadovėliuose ,,Matematikos pasaulyje” lygties

nežinomasis žymimas tuščiu langeliu, raide arba vaizduojamas paveikslėliu. Kituose

vadovėliuose, pvz., Broniaus Balčyčio ,,Skaičių šalis”, lygties nežinomasis dar žymimas kokia

nors geometrine figūra. Panagrinėkime pavyzdžius iš vadovėlio ,,Matematikos pasaulyje” (žr. 3

lentelę).

3 lentelė

Lygčių įvairovė I–VI klasėje.

Klasė Pavyzdžiai iš vadovėlio Lygčių pateikimo

formos

I

klasė

Lygtis sudaroma

kaip paprastas

skaitinis reiškinys

su vienu

nežinomuoju.

Nežinomasis

vaizduojamas

vaiko aplinkai

artimais objektais.

II

klasė

Lygtis sudaroma

kaip paprastas

skaitinis reiškinys,

tik su didesniais

skaičiais arba

mokoma sudaryti

lygtį, kaip tekstinio

uždavinio

21

sprendinį.

Nežinomasis

vaizduojamas

tuščiu langeliu.

III

klasė

Lygtis sudaroma

tekstiniui

uždaviniui spręsti

arba apskaičiuoti

sudėtingesnius

skaitinius

reiškinius su vienu

nežinomuoju.

Nežinomasis

žymimas raide.

IV

klasė

Lygtis sudaroma

tekstiniui

uždaviniui spręsti

arba apskaičiuoti

sudėtingesnius

skaitinius

reiškinius su vienu

nežinomuoju.

Nežinomasis

žymimas raide.

V –

VI

klasė

a)n + 47 = 61 b)18 – m = 8 c)k – 32 = 14

n = 61 – 47 m = 18 – 8 k = 14 + 32

n = 14 m = 10 k = 46

14 + 47 = 61 18 – 10 = 8 46 – 32 = 14

Lygtis sudaroma

spręsti

sudėtingesnius

tekstinius

skaitinius

uždavinius.

Nežinomasis

žymimas tik

raidiniu simboliu.

Kaip matome, lygčių pateikimo formos įvairios. Nežinomasis bandomas pavaizduoti kuo

vaizdžiau, naudojant, kuo artimesnius vaiko aplinkai objektus (pelytės, domino kauliukai,

vaizduojant skaičių tiesėje ir pan.). Pasitelkiant skirtingas lygčių pateikimo formas, formuojami ir

skaičiavimo įgūdžiai. Iš pradžių vadovėliuose yra mokoma skaičiuoti paprastus, tiesioginius

aritmetinius veiksmus. Įvedant į lygčių sprendimo pakopą, vaikams pateikiami paveikslėliai,

kurie padeda suvokti, kiek trūksta arba kiek yra per daug, kad gautų teisingą reiškinio reikšmę.

Taigi galime teigti, kad I klasėje mokomasi suprasti, jog gali būti nežinomi įvairūs reiškinių

elementai.

22

II klasėje lygčių pateikimo būdai nelabai skiriasi nuo I klasės, tik pradedami naudoti

didesni skaičiai.

Pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrosiose programose (BP, 2008) nurodoma, kad I–II

klasės mokiniai turi gebėti, remiantis konkrečiu pavyzdžiu, paaiškinti, kaip spręsti paprasčiausią

lygtį su vienu nežinomuoju spėjimo būdu. Kaip matome, vadovėlis visiškai atitinka vieną iš BP

ugdymo gairių, kad lygtys sprendžiamos be raidinės simbolikos (žr. 3 lentelę). Ir vis dėlto tuščias

langelis taip pat gali būti pavadintas nežinomojo simboliu. Lygtys pradedamos taikyti uždavinio

sąlygos užrašymui ir sprendimui. Tokia lygčių taikymo sritis paįvairina skaičiavimo pratimus.

Atitinkami pratimai įgyja probleminį pobūdį, tad pradeda ugdyti ir bendruosius gebėjimus, pvz.,

loginį mąstymą, išradingumą, kombinatorinius gebėjimus.

Taigi, galime teigti, kad II klasės lygčių sprendimo užduotys skirtos lygčių simbolikos

įtvirtinimui ir praktinio lygčių sprendimo patirties kaupimui.

III–IV klasių mokiniai turi suprasti, žinoti ir gebėti spėjimo ar atrinkimo būdu rasti lygčių su

vienu nežinomuoju sprendinį. Taip pat jie turi gebėti patikrinti gautąją skaitinę lygybę, t.y.

patikrinti, ar ta gauta lygybė yra teisinga (vietoj nežinomojo įrašyti gautą skaitinę reikšmę). I–II

klasėje to daryti nereikia. III klasėje atsiranda lygčių, kurių nežinomasis žymimas raide. Lygties

nežinomojo žymėjimas kvadratėliu beveik nebenaudojamas. Nemažai pasitaiko aritmetinių

tekstinių uždavinių, kur reikia sudaryti lygtį, norint išspręsti tą uždavinį. Taip mokiniai pamato jų

taikomąją vertę.

Apibendrinant, III klasės užduotis galima pavadinti lygčių simbolikos nusistovėjimui ir

lygčių įvairovės didėjimui, lygčių praktinės naudos supratimui skirtomis užduotimis.

IV klasės pirmoje ,,Matematikos pasaulyje” vadovėlio dalyje nemažai yra aritmetinių

tekstinių uždavinių, kuriuos jau matėme aptardami lygtis III klasėje. Taip pat IV klasės

vadovėliuose visiškai išnyksta nežinomo nario žymėjimas kvadratėliu. Analizuojant vadovėlius

buvo pastebėta, kad lygtis kiekvienoje klasėje keičiasi. Palaipsniui pereinama nuo lygties

nežinomo nario žymėjimo kvadratėliu prie žymėjimo raide. Sunkėja pačios lygtys ir jų

sprendimas, didėja skaičiai. Lygtys, kurios turi daug sprendinių, pradinėje mokykloje

nenagrinėjamos.

V–VI klasės matematikos vadovėlyje ,,Matematika ir pasaulis” lygčių pateikiama tikrai

nemažai. Pirmųjų pateikiamų lygčių V klasės vadovėlyje nežinomasis žymimas kvadratėliu.

Vėliau pradedama žymėti raidėmis, prisiminus nežinomojo dėmens, atėminio ir turinio radimo

taisykles (žr. 3 lentelę). Jau V klasėje pateikiamos užduotys, kuriose reikia išspręsti uždavinius

sudarant lygtis. Tokio tipo užduočių, kur tiesiogiai prašoma sudaryti uždaviniui lygtį, nėra. Taip

pat pradedamos spręsti lygtys su trupmenomis. Kaip matome, lygčių pateikimo ir sprendimo

pokytis V klasėje tikrai didelis.

VI klasėje atskiro skyriaus lygtims nėra išskirta. Ir lygčių yra mažiau negu negu V klasėje.

Kaip matome, V klasės užduotys skirtos priminimui pradinėse klasėse jau matytų simbolinių

žymėjimų (kvadratėliai, raidės), lygčių taikymo sprendžiant problemas įvairovei ir griežtai

suformuluotų taisyklių taikymui.

5. Nelygybių sprendimas. Nelygybė – tai toks algebrinis santykis, kuris parodo, kad vienas

dydis ar reiškinys yra didesnis ar mažesnis už kitą. Iš bendrosiose programose suformuotų

nelygybių sprendimo ugdymo gairių matome, kad pradinių klasių mokiniai, tiek I–II, tiek III–IV

klasėse sprendžiant nelygybes turi mokėti nustatyti, kuris skaičius tenkina nelygybę (BP, 2008).

Nelygybių pradinių klasių vadovėliuose nėra labai daug. Mokyti spręsti nelygybes

pradedama nuo I klasės. Nelygybių mokymas(-is) prasideda lyginant paprastus, vaiko aplinkai

artimus ir gerai pažįstamus daiktus: kaladėlės, daiktai, daržovės ir pan. (Kiseliovas A., Kiseliova

D., 2004, p. 6, 11). Po kelių pamokų atsiranda nelygybių ženklai >, < arba =. Lyginami du

skaičiai ir kartu vaizduojami paveikslėliai, užrašoma visa nelygybė (Kiseliovas A., Kiseliova D.,

23

2004, p. 12, 17). Dar vėliau pradedamas lyginti skaitinis reiškinys (reikia surasti jo reikšmę,

palyginti) ir skaičius, pvz.: 6 + 2 O 7; 7 O 9. (Kiseliovas A., Kiseliova D., 2007, p 31).

Jau pradinėse klasėse pradedama lyginti ilgio matus. Tokio tipo nelygybių yra labai nedaug.

II klasėje pradedama lyginti piniginius vienetus ir kitus didesnius ilgio matavimo vienetus

(Kiseliovas A., Kiseliova D., 2004, p. 37; 2007 a, p. 5; 2007 b, 46). Mokantis suprasti ar sudaryti

elementarias diagramas, pradedama lyginti diagramų duomenis. Būtų galima teigti, kad diagramų

duomenų lyginimas tai nėra nelygybė, tačiau jei pažiūrėsime iš algebros pusės, tai ir diagramų

duomenis galima užrašyti lygtimi (Kiseliovas A., Kiseliova D., 2004, p. 47). Nelygybės

sprendžiamos ir tokiu būdu, kai reikia parinkti tinkamą skaičių, kad nelygybė būtų teisinga

(Kiseliovas A., Kiseliova D., 2007 c, p. 42). III klasės pradžioje pradedama lyginti skaičiaus dalis

(trupmenas) (Kiseliovas A., Kiseliova D., 2006, p. 18, 27, 48). Kaip matome, nelygybes galime

pritaikyti sprendžiant įvairaus tipo užduotis. Dažnai jos padeda spręsti tekstinius uždavinius. III

klasėje nelygybių reiškinius su sudėties ir atimties veiksmais palaipsniui pradeda keisti reiškiniai

su daugybos ir dalybos veiksmais, kadangi šioje klasėje labai akcentuojama daugyba. IV klasėje

nelygybės nelabai skiriasi nuo III klasėje sprendžiamų nelygybių. Ketvirtokų vadovėlyje

pateikiamos nelygybės gal kiek sunkesnės nei III klasės. Sudėtingumas pasireškia tuo, kad

lyginamų reiškinių skaičiai ir tų reiškinių apskaičiuotos reikšmės didesnės, lyginami didesni

matavimo vienetai. Pradinėse klasėse sprendžiant nelygybes, dažniausiai reikia įrašyti ženklus >,

< arba =. VI klasėje pradedamos spręsti tokios nelygybės, kuriose reikia nurodyti net kelias

kintamojo reikšmes, kad nelygybė būtų teisinga, pvz.: nurodykite bent tris tokias n reikšmes, su

kuriomis būtų teisinga nelygybė n < 8. I–IV klasėse nelygybėms spręsti raidiniai simboliai

nebuvo naudojami, V klasėje nelygybių sprendime pradedami naudoti tokie simboliai.

Aptarę nelygybių I–VI klasėse kaitą, matome, kad palaipsniui nelygybių sandara, pateikimo

būdas sunkėja. Įvedami vis sunkesni ir naujesni nelygybių komponentai. V–VI klasės

vadovėliuose jau atsiranda sudėtingesnių veiksmų su paprastosiomis ir dešimtainėmis

trupmenomis (pradinių klasių vadovėliuose užduočių su trupmenomis yra, tačiau V–VI klasėje

jos yra sudėtingesnės).

Kaip matome, reiškinių reikšmių radimas pradinėje mokykloje nėra labai sudėtingas. I–IV

klasėje sprendžiami nesunkūs tekstiniai uždaviniai, reikalaujantys sudaryti 1–2 klausimus arba

sprendžiant atlikti 2–3 veiksmus. Užduotys su lygtimis padeda geriau suvokti lygčių simboliką ir

įvairovę bei jų praktinę naudą. Tai tarsi įvadas į aukštesnę pakopą. IV klasėje nuosekliai

siekiama formuoti supratimą, kad tiek realūs daiktai, tiek abstraktūs skaičiai ir taip pat iš jų

sudaryti reiškiniai, taip pat grafiškai pavaizduota informacija turi kiekybinių skirtumų. Tiems

skirtumams geriau įžvelgti gali prireikti įvairių matematinių pertvarkymų. Perėjus į V klasę

pastebimas staigus šuolis reiškinių sunkėjimo link. Atsiranda reiškiniai su trupmenomis,

didesniais skaičiais, reiškinių reikšmės radimui gali prireikti atlikti 4 ir daugiau veiksmų.

Tekstinių uždavinių formuluotės sunkėja, tačiau nežymiai. Keičiasi tik klausimų ir veiksmų

uždaviniui išspręsti kiekis. Šių klasių koncentrui jau pateikiami uždaviniai reikalaujantys sudaryti

lygtis. V–VI klasėje prisimenamas lygčių sprendimas pradinėje mokykloje ir pradedamos spręsti

lygtys su didesniais skaičiais, skaičių lygtyje atsiranda daugiau. Taip pat keičiasi nelygybių

simbolika ir sudėtingumas.

Taigi, galime teigti, kad III–IV klasės skirtos tapačių reiškinių pertvarkymo patirčiai kaupti, o

V–VI klasių tapačių reiškinių pertvarkymo užduotys yra skirtos dėsnių pastebėjimui ir jų

taikymui.

24

1.3.4. Uždavinių su algebros elementais sunkumų priežastys

Algebros mokymo ir mokymosi temomis Lietuvos švietimo sistemoje nėra daug kalbama,

ypač apie algebros mokymą pradinėse klasėse. Galime daryti prielaidą, kad tokia situacija yra

todėl, jog pradinėse klasėse algebros yra labai nedaug, dažniausiai yra mokoma tik uždavinių su

algebros elementais.

Užsienyje matematikos mokymo ir mokymosi klausimais švietimo sistemoje skiriama

daug dėmesio. R. Banerje teigia, kad yra daugybė būdų mokiniams padėti mokytis algebros. Jis

teigia, kad pirmiausia reikėtų išmokti elementariausių aritmetikos veiksmų ir taisyklių. Autoriaus

nuomone geras aritmetinių žinių bagažas padeda geriau suprasti ir mokytis algebros (Banerje R.,

2011).

Daugumoje Indijos mokyklų pradinėse klasėse vaikai pirmiausia studijuoja aritmetiką.

Įsigilina į sąvokas, įsisavina visas reikalingas žinias ir tik vidurinėje mokykloje pradedama

mokytis algebros. Ši chronologinė seka atsirado dėl istorinių priežasčių (Blanton M., 2001). Jau

žinome, kad algebra kilusi iš aritmetikos, todėl R. Banerje nuomone algebrą plėtoti reikėtų

remiantis aritmetika. Jis teigia, kad susisteminus ir aprašius bendrąsias jų savybes algebros ir

aritmetikos mokymasis taptų lengvesnis.

Tačiau indų patirtis rodo, kad sunku mokiniams sieti aritmetiką ir algebrą bei pamatyti

aritmetikos svarbą algebros atžvilgiu. Tai lėmė, kad imta ieškoti būdų, kaip įvesti algebrą,

grindžiant ją aritmetikos veiksmais. Apžvelgus naujos nacionalinės tarnybos švietimo tyrimo ir

mokslo vadovėlius (NCERT, 2012), galima daryti prielaidą, kad algebra yra įvesta kaip VI klasės

turinio apibendrinimas. Pradžioje mokomasi aritmetikos, kuri gali padėti lengviau suvokti

algebrinius simbolius ir operacijas su jais.

Kitas būdas, kaip galima įvesti algebrą į mokymo turinį, naudoti algebros elementus kaip

įrankį uždavinių sąlygų sutvarkymui, apibendrinimui, įrodymui ir paaiškinimui. Kaip matome,

geri aritmetikos įgūdžiai leidžia geriau suprasti algebrą.

Taigi, R. Banerje algebros gebėjimų ugdymą nagrinėjo dviem aspektais: algebros

simbolių ir veiksmų suvokimas, naudojant įvairių rūšių metodus ir algebros prijungimo prie

aritmetikos nauda (Banerje R., 2001).

S. Wagner, S. Parker, (1999) teigė, kad daugiausia sunkumų, sprendžiant algebrinius

reiškinius su raidiniais simboliais, kyla dėl to, kad sunkiai sekasi parinkti tinkamą sprendimo

būdą arba padaro aritmetinių klaidų apskaičiuodami algebrinius reiškinius. R. Banerje (2001)

teigia, kad būtina paprastai ir suprantamai išaiškinti algebrines sąvokas ir sprendimo būdus. Jis

pateikia pavyzdį, kuris padeda lengviau įsiminti vienos iš algebrinių lygčių sprendimo principą.

Lygtis 2a + 7a = ... Autorius pataria, tokią lygtį paversti tekstiniu uždaviniu ir raidinius simbolius

pavadinti daiktais, pvz., 2 obuoliai + 7 obuoliai = 9 obuoliai. Mokiniams dažnai kyla problemų,

kai sprendžiamame reiškinyje yra skirtingi simboliai, pvz., 2a + 7b = ... R. Banerje tokios lygties

sprendimą aiškina taip: 2 obuoliai + 7 bananai = 9 obuoliai ir bananai.

Kaip matome, algebrinių reiškinių, lygčių sprendimui ir jų suvokimui įtaką daro ir

tekstiniai uždaviniai. Be to, reikia pripažinti, kad ,,+“, ,,-“ ir ,,=“ turi keletą reikšmių (Wagner S.,

Parker S., 1999). Jie gali būti naudojami, siekiant nurodyti skaičiavimo procedūras arba sužinoti

galutinį atsakymą. Sprendžiant lygtis, kai lygties nežinomieji yra žymimi raidėmis ir jie yra keli,

mokiniai taiko lygties su vienu nežinomuoju sprendimo taisyklę, pvz., Ax + b = Cx + d

sprendžiama pagal Ax + b = c (Herscovics, N., Linchevski, L., 1994). Taigi, mokiniai turi

suvokti, kad sprendžiamame reiškinyje nebūtinai turi būti skaičiai, tą patį galima atlikti ir su

raidėmis. M. Mac Gregor ir K. Stacey (1997) atlikę tyrimą padarė išvadą, kad klaidingas

simbolių supratimas atsiranda dėl intuityvaus ir pragmatinio mąstymo apie skaičių žymėjimo

25

ženklais sistemą. Taigi, jie prieštarauja R. Banerje teorijai, kad algebros supratimui trukdo n

pažintinės priežastys.

Apibendrinant galime teigti, kad sunkumai, sprendžiant algebros uždavinius, kyla dėl

klaidingo simbolių supratimo ir nesugebėjimo jais veikti. O tai lemia aritmetiniai įgūdžiai.

Pagal R. Banerje (2001) netinkamas aritmetinių sąvokų suvokimas lemia sunkumus

sprendžiant algebrinius uždavinius. L. Linchevski ir D. Livneh (1999) atliko tyrimą, kuriuo

išsiaiškino mokinių daromas klaidas algebros uždavinių aritmetiniame kontekste. Jie išskyrė tris

pagrindines klaidas:

1. Sąlygoje nurodytų veiksmų išskyrimas, pvz., 23 – 6 + 7 = 23 – 13.

2. Klaidinga sąlygoje nurodytų veiksmų seka, pvz., 5 + 6 X 10 = 11 X 10 = 110.

3. Nesupranta skaičių prastinimo taisyklės, pvz., 217 + 175 – 217 + 175 + 67. Tokiame

reiškinyje išbraukiamas antrasis 175, nes po pirmojo 175 yra ,,-“ ženklas.

Kaip matome, kliūtis algebros mokyme(-si) gali sudaryti aritmetikos įgūdžių, gebėjimų stoka.

Tačiau negalima pamiršti, kad nors šios dvi matematikos šakos ir naudoja tuos pačius

aritmetinius ženklus, aritmetika ir algebra yra skirtingos, todėl mokant tiek vienos, tiek kitos

būtina pabrėžti jų savitumą. Geros aritmetikos žinios tik padeda geriau išmokti algebros.

1.3.5. Algebros mokymo galimybės

1.3.5.1. Mokymo metodai

Šiuolaikinėmis sąlygomis mokymo procesą būtina organizuoti taip, kad vaikai būtų

ugdomi kaip sumanios, kūrybingai mąstančios ir veikiančios asmenybės, kurios gebėtų

savarankiškai plėsti žinias ir jas taikyti praktiškai. To siekiant, atsižvelgiant į mokinius, ugdymo

procesas turi būti organizuojamas taip, kad mokiniams būtų sudarytos kuo geresnės sąlygos

mokytis ir aktyviai veikti (Rajeckas V., 1999). Vienas ir bene svarbiausias produktyvaus

mokymo (si) veiksnių – metodas.

Žodis metodas (gr. methods – tyrimo kelias) reiškia tikslo siekimą, veikimo būdą, veiklos

tvarką, sąmoningai naudojamų kokiam nors tikslui pasiekti (TŽŽ,1985). S. Šalkauskis

pedagoginiuose raštuose (Šalkauskis S., 1991) metodus apibrėžia taip pat. Jo teigimu, tai yra

principinis nusistatymas veikti tam tikru būdu, geriausiai tinkančiu tikslui pasiekti. Vadinasi,

metodai – tai grupė būdų mokymą padaryti naudingą ir įdomų. Norint aptarti mokymo metodus,

kurie naudojami matematikos pamokoje mokantis algebros, reikėtų išsiaiškinti mokymo metodų

klasifikavimą.

Dar iki šiol nėra vienos bendros mokymo metodų klasifikacijos, kadangi metodai – tai

kintanti didaktinė kategorija (Martinkaitienė G., 2002).

L. Jovaiša siūlo tokią mokymo metodų klasifikaciją: mokymo tikslas; mokymo

priemonės (žodis, vadovėlis, prietaisas ir kt.); mokymo aktas (priemonių panaudojimo veiksmų

sistema) (Jovaiša L., 1985). Kaip matome, pagal tokią klasifikaciją, kiekvienai daliai galime

priskirti labai daug metodų, pvz., mokymo tikslui atskleisti galime panaudoti labai daug įvairių

metodų: pasakojimas, diskusija, klausymas, vaizdinis demonstravimas ir pan. Mokymo

priemones mes galėtume įvardinti, kaip mokymo metodo priemonę tam metodui įgyvendinti,

todėl galime teigti, kad toks mokymo metodų klasifikavimas nėra tikslus. Pažiūrėję į tokią

klasifikaciją, matome, kad tai tik planas, būtinas tinkamai išdėstyti medžiagą ir padėti įsisavinti

žinias pamokos metu.

XXI amžiuje mokslui labai dideliais žingsniai žengiant į priekį, būtinas savarankiškumas,

todėl svarbu išugdyti tokią asmenybę, kuri gebėtų ne tik taikyti įgytas žinias savarankiškai, bet ir

savarankiškai plėsti savo žinių bagažą. Taigi, skatinat mokinių savarankiškumą mokymo metodus

26

galima klasifikuoti taip (Rajeckas V., 1997): informaciniai, operaciniai, kūrybiniai. Jie yra

skirstomi į dar smulkesnes šakas (2 pav.).

2 pav. Metodų klasifikavimas pagal mokinių savarankišką darbą

Visus šiuos metodus ne tik galima, bet ir būtina taikyti mokant algebros. Tiriamasis ir

praktinis, laboratorinis metodai daugiau taikomi vyresnėse klasėse, tačiau, pritaikius juos, ir

pradinėse klasėse mokymas(-is) taptų daug įdomesnis.

S. Šalkauskis išskiria tik du pagrindinius metodus: tetinį (teikiamasis metodas) ir euristinį

(randamasis metodas) (Šalkauskis S., 1991). Tetinis metodas iš mokinio reikalauja pasitikėjimo,

dėmesio ir imlumo (Rajeckas V., 1997). Tai reiškia, kad mokinys tuo tarpu yra neaktyvus, jis tik

klauso ir bando įsiminti, ką sako mokytojas. Taigi, galime teigti, kad dėstymą, aiškinimą ir

išvystymą apibendrintai vadiname tetiniu metodu. Toks metodas dažnai taikomas mokant, tačiau

būtina, kad šalia šio metodo dar būtų taikomas ir antrasis metodas – euristinis. Taikant šį metodą,

yra randama, išrandama, surandama (Rajeckas V., 1997). Iš šių trijų metodą apibūdinančių

27

žodžių matome, kad šiuo atveju vaikas yra aktyvus. Euristinis metodas yra pagrįstas

savarankiškais ieškojimais.

Labai populiarus mokymo metodų klasifikavimo būdas pagal žinių šaltinį (Rajeckas V.,

1999). Iš psichologijos žinoma, kad informacijos perdavimas ar gavimas bei jos įsiminimas

vyksta trimis būdais: per vaizdą (tai įvairi vaizdinė medžiaga); per žodį (įvairūs pokalbiai,

aiškinimai ir pan.); per veiklą (kai kas nors atliekama (dažniausiai savarankiškai) ir tokiu būdu

gaunama naujos informacijos). Šie trys būdai suteikia žinių, todėl šis populiarus metodų

klasifikavimas ir remiasi žinių šaltiniais ( 3 pav.).

3 pav. Metodų klasifikavimas pagal žinių šaltinį

I–IV ir V–VI klasių matematikos vadovėliuose pateiktų užduočių analizė (žr. 1.3.3.

skyrių) parodė, kad matematikos pamokose, mokant algebros ar jos elementų, taikomi visų trijų

kategorijų pagal žinių šaltinį skirstomi metodai. Nė vienoje pamokoje mokytojas neišsiverčia be

žodinių metodų. Pasakojimo metodas taikomas sužadinti atitinkamus jausmus, sudaryti deramą

emocinę nuotaiką, skatina mokinių fantaziją. Pasakojant yra svarbu ne tik turinys, bet ir forma.

Labai svarbu tinkama intonacija. Pasakojimą pagyvina, padaro įdomesnį mimika ir gestai.

Monotoniškas pasakojimas nukreipia mokinių dėmesį, todėl mokiniai sunkiai įsimena dėstomus

faktus. Šis metodas plačiai taikomas nuo I iki VIII klasės (Rajeckas V., 1999). Aiškinimas,

pokalbis taip pat labai svarbūs metodai, kurie padeda mokiniams įsiminti ir suprasti medžiagą.

Praktiniai metodai taip pat plačiai taikomi mokantis ne tik algebros, bet ir kitų

matematikos dalykų. Nagrinėjamo amžiaus vaikų pamokose dažniausias praktinis metodas –

pratimai. Pratimai – daugkartinis tam tikrų veiksmų atlikimas (Rajeckas V., 1997). Šis

apibrėžimas rodo, kad pratimų metodu siekiama įtvirtinti žinias, formuoti bei tobulinti mokėjimus

ir įgūdžius. Metodas, kurį galima ir būtina taikyti mokantis algebros, – grafiniai darbai. Šis

metodas padeda išmokti grafiškai vaizduoti ir operuoti vaizdiniais, o tai yra labai svarbu

sprendžiant lygtis, nelygybes, vaizduojant duomenis diagramose ir lentelėse. Vaizdinių metodų

naudojimas ir jų teikiama nauda labai priklauso nuo mokytojo (kokia bus pateikiama informacija

ir kaip jis bus pateikiama). Galime teigti, kad lygties sprendimas, vaizduojamas lentoje, – tai

vaizdinis metodas. Taigi, be šio metodo nepraeina nė viena pamoka.

Kaip matome, mokymo metodai yra skirstomi pagal įvairias sritis, tačiau visi jie turi

kažką bendra. Kiekvienas pedagogas, remdamasis įvairiais klasifikacijos būdais, gali susidaryti

savo metodų klasifikavimo sistemą ir, remdamasis jais, ugdyti savarankišką, mokančią taikyti

įgytas žinias asmenybę. Taigi, galime teigti, kad algebros mokymui absoliučiai tobulų bei

visuotinai taikytinų (universalių) ar blogų metodų nėra.

28

1.3.5.2. Informacinių komunikacinių technologijų taikymas mokantis

algebros

Informacinės, komunikacinės technologijos (toliau – IKT) per gan trumpą laikotarpį

pakeitė įvairias visuomenės gyvenimo sritis. Ypač daug pasikeitė sritys, susijusios su

matematika. Šiuo metu švietimas ypatingą dėmesį skiria ugdyti bei lavinti tinkamai pasiruošusį

gyventi žinių visuomenėje žmogų. Itin svarbu, kad švietimo srityje yra labai siekiama pritaikyti

įvairias ugdymo veiklas prie naujų galimybių.

Prieš nagrinėjant temą, tikslinga išsiaiškinti informacinių komunikacinių technologijų

sampratą.

Ši sąvoka susideda iš trijų žodžių: informacinis, komunikacinis ir technologija. Žodis

informacija (lot. informatio – išaiškinimas, pranešimas) reiškia mokslines, visuomenines,

politines, technines žinias, kurios perduodamos vienų asmenų kitiems žodžiu, raštu arba

žiniasklaidos priemonėmis (per spaudą, radiją, televiziją, kiną, kompiuterių tinklus) (TŽŽ, 1985).

Kitaip tariant, tai duomenų ar žinių tam tikru klausimu visuma. Technologija įvardijama kaip

gamybinių procesų atlikimo būdų ir priemonių visuma (LKŽ, 2005). Komunikacija – tai

susisiekimo ryšys, bendravimo priemonė (LKŽ, 2005). Sujungę pirmus du terminus – informacija

ir technologija – gauname sąvoką „informacinės technologijos“, kuri intensyviai imta vartoti nuo

XX a. antrosios pusės (Bakanovienė T. ir kt., 2008). Informacinės technologijos – tai priemonių

ir būdų visuma informacijai apdoroti (Brazdeikis V., 2009). Dabar jau plačiai vartojama sąvoka

informacinių komunikacijų technologijos. Informacinės ir komunikacinės technologijos (IKT)

– tai techninė įranga, skirta informacijai apdoroti, ir programinė įranga (pavyzdžiui, tekstų

rengimo sistema, skaičiuoklė, duomenų bazė, pateikčių rengimo programa) bei metodai, kuriais

kuriama, tvarkoma bei skleidžiama informacija (Bakanovienė T., 2008). IKT samprata remiasi

plačiu technologijų supratimu. Į šia sąvoką dažniausiai įeina (ŠMM, 2009): kompiuteriai;

interaktyvi lenta; internetinės paslaugos; mokomoji medžiaga internete; televizija.

Dažniausiai naudojamos IKT priemonės yra asmeninis kompiuteris, spausdintuvas,

kopijavimo aparatas ir magnetofonas. Kaip rečiausiai naudojamos IKT priemonės įvardintos Web

kamera, filmavimo kamera bei interaktyvi lenta (ŠMM, 2006). Tai rodo, kad mokytojai,

ruošdamiesi pamokoms ir jas dėstydami, taiko IKT priemones, tačiau dažniau naudojasi

tradiciniais informacijos perteikimo būdais.

Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministerijos atlikto tyrimo apie IKT naudojimą

gerinant mokymo ir mokymosi mokykloje kokybę rezultatai taip pat atskleidė, kad matematika

nėra ta disciplina, kurios pamokose IKT taikoma dažniausiai.

Panagrinėkime, kokios galimybes atveria IKT taikymas mokant(-is) algebros. Daugumą mokomųjų kompiuterių programų, kurios taikomos Lietuvos mokyklose,

galima atsisiųsti iš tinklalapio http://www.emokykla.lt.

Šiandieniniame pasaulyje dažnas pirmokas moka naudotis kompiuteriu ir prie jo praleidžia

nemažai laiko. Tiek mokytojai, tiek tėvai tai gali pritaikyti vaikų mokymosi gerinimui. Yra labai

daug mokomųjų žaidimų, kurie gali padėti mokytis algebros, tačiau lietuvių kalba tokio pobūdžio

žaidimų yra nedaug. Viena labai populiari internetinė svetainė, kurioje žaidžiant žaidimus galima

mokytis įvairių disciplinų, yra Mokinukai.lt. Šiame tinklapyje pateikiamos užduotys, kurių

pagalba galima mokyti(-is) ir algebros, pvz., Daugiau, mažiau ar lygu?; Skaičių sekos; Daugybos

lentelė iki 3; Reiškiniai su skliaustais. Tai žaidimai, kurių metu mokomasi uždavinių su tam

tikrais algebros elementais. Mokinukai.lt svetainėje yra pateikiamas skyrius su žaidimais lygtims

ir nelygybėms spręsti (Mokinukai.lt, 2008 - 2012). Dar vienas mokomasis matematikos žaidimas

Skaičių miestelis. Šis žaidimas skirtas I–IV klasėms. Jame vyrauja užduočių gausa ir įdomūs

personažai, o užduočių sąlygos nuolat keičiasi, todėl, žaidžiant šį žaidimą, skatinamas vaiko

29

mąstymas, o ne automatinis įsiminimas. Šis žaidimas sukurtas, remiantis pradinio ugdymo

matematikos programa, ir 2007 metais įtrauktas į LR švietimo ir mokslo ministerijos

rekomenduojamų mokyklinių programinių įrangų sąrašą (APIX edukacinės sistemos, 2008 –

2012). Kaip matome, mokomųjų žaidimų, skirtų algebros mokymui(-si) lietuviškuose

tinklapiuose, nėra gausu. Algebra yra dėkinga tuo, kad mokomuosius žaidimus galima žaisti

įvairių kalbų tinklapiuose ir juos žaidžiant nereikia ypatingų kalbos mokėjimo įgūdžių. Domintis

mokomaisiais matematikos žaidimais, paaiškėjo, kad anglų kalba sukurtų tokio tipo svetainių

situacija yra visai kitokia. Čia ne tik gausu matematinių žaidimų, bet ir algebros įgūdžių

lavinimui skirtų mokomųjų žaidimų. Peržiūrėjus internete Lietuvos mokytojų sukurtas svetaines

(musumokykla.lt; mokinukai.jimdo.com; astosklase.lt; pradinukas.ku.lt ir kt.), aiškiai matyti, kad

beveik visos nuorodos į mokomųjų matematinių žaidimų svetaines yra anglų kalba. Labai platų

algebros užduočių pasirinkimą nuo darželio iki VIII klasės galima rasti tinklapyje www.ixl.com

(IXL learning, 2012).

Internetinėje užklausoje įvedus raktinius žodžius algebras games, galima rasti ir daugiau

algebros mokomųjų žaidimų tinklapių, bei užduotis parinkti pagal vaiko poreikius ir sugebėjimus.

Matematikos mokytojai, turintys techninių galimybių, pakankamai žinių ir noro pamokose

taikyti IKT, gali tai daryti. Tačiau susiduriama su įvairiomis problemomis. Kaip jau matėme,

programų, skirtų matematikos mokymui(-si), yra tikrai nedaug, ypač programų lietuvių kalba.

Dar sudėtingesnė situacija su algebros mokymo programomis Lietuvoje. Yra sukurta programa

Grafikas, kurios pagalba mokytojai gali paįvairinti pamokas tokiomis temomis (emokykla.lt,

2008):

1. Tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais grafinis sprendimo būdas.

2. Grafinis kvadratinių nelygybių sprendimas.

3. Funkcijos grafikas ir jo savybės.

4. Tiesinės funkcijos grafikas. Funkcija f(x) = kx.

5. Funkcija f(x) = xk ir jos grafikas.

6. Kvadratinė funkcija f(x) = ax2 + bx +c, jos grafikas ir savybės.

7. Funkcijų grafikų transformacijos.

8. Funkcijos f(x) = f( x ) ir h(x) = f(x) bei jų grafikai.

9. Logaritminės, rodiklinės funkcijos ir jų grafikai.

10. Trigonometrinių funkcijų grafikai; Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų grafikai.

Kaip matome, šios temos atitinka IX–X klasių mokinių mokymosi programas ir visiškai

neatitinka I–IV ir V–VI klasių algebros mokymo turinio bendrosiose programose, todėl galime

daryti prielaidą, kad algebros mokymo(-si) tobulinimui pradinėse ir V–VI klasėse yra skiriama

labai mažai dėmesio.

Trumpai apžvelkime IKT naudojimo mokymo(-si) aplinkoje pranašumus ir trūkumus.

IKT palengvina pamokos vedimą; didelė išliekamoji vertė (kai girdime ir matome išlieka 70 %

informacijos), puikus vaizdinės medžiagos pateikimas labiau įtraukia mokinius. Tačiau šių

priemonių naudojimas turi ir tam tikrų trūkumų: tam reikia technikos įgūdžių, kokybiškai

įrengtos aplinkos; pasiruošimas tokiai pamokai užima daugiau laiko (Šilutės jaunimo ir

suaugusiųjų mokymo centras, 2011).

Apibendrinant galima teigti, kad IKT – tai platesnės galimybės rinkti, apdoroti ir pateikti

informaciją pasitelkiant įvairius būdus ir metodus. Galime teigti, kad matematikos mokymui(-si),

ypač algebros, nėra sukurta pakankamai mokymo(-si) programų. Tačiau apžvelgę Švietimo

mokslo ministerijos atliktą tyrimą, matome, kad matematikos mokytojai ir nepasinaudoja visomis

turimomis, galimomis ir įmanomomis IKT taikymo priemonėmis algebros mokymo gerinimui.

Turint įvairių IKT priemonių, algebros mokymą(-si) galima padaryti daug įdomesnį,

naudingesnį, jei bus panaudotos bent tos IKT priemonės, kurios mokytojui yra prieinamos ir

suprantamos.

http://www.astosklase.lt/

30

2. UŽDAVINIŲ SU ALGEBROS ELEMENTAIS SUNKUMŲ

I–IV IR V–VI KLASĖSE TYRIMAS

2.1. Tyrimo metodika

Empirinio tyrimo tikslas – hipotetinio modelio pagrindu ištirti galimus uždavinių su

algebros elementais sprendimo sunkumus mokantis I–VI klasėje.

Uždaviniai: 1. Nustatyti priežastis, dėl kurių I–VI klasių mokiniai neteisingai apskaičiuoja aritmetinius

veiksmus.

2. Nustatyti sunkumus, kurie kyla sprendžiant tekstinius uždavinius I–VI klasėse.

3. Nustatyti sunkumus, kurie kyla taikant perstatomumo dėsnį.

4. Nustatyti pagrindines lygčių sprendimo priežastis.

5. Nustatyti pagrindines nelygybių sprendimo priežastis.

6. Išsiaiškinti, kaip mokiniai supranta sąvokas „nelygybė, uždavinys ir apskaičiuok“ bei

kokią įtaką šių sąvokų supratimas/nesupratimas daro mokinių algebriniams gebėjimas.

Tyrimo objektas – I–IV ir V–VI klasės mokinių uždavinių su algebros elementais

sprendimo sunkumai.

Tyrimo bazė ir imtis: apklausta 120 I–VI klasės mokinių. Tyrimas atliktas I–VI klasėse

iš skirtingų mokyklų. Apklausta po 20 kiekvienos klasės mokinių.

Tyrimo metodai: apklausa; kokybinė ir kiekybinė duomenų analizė.

Pasirinkti trys tyrimo etapai (4 pav.).

4 pav. Empirinio tyrimo etapai

2.1.1. Tyrimo organizavimas

Siekiant išsiaiškinti galimus uždavinių su algebros elementais sprendimo sunkumus

mokantis I–VI klasėje, buvo atliktas empirinis tyrimas. Remiantis teorinės studijos rezultatais,

tyrimui atlikti sudaryti klausimynai, kuriuose pateikiamos šešios uždavinių rūšys:

- aritmetiniai veiksmai;

- tekstiniai uždaviniai;

- reiškiniai; lygtys;

- nelygybės;

- sąvokų paaiškinimas.

Klausimyno sudarymo logika pavaizduota hipotetiniu algebros užduočių sistemos I–VI

klasėje modeliu (5 pav.).

31

5 pav. Algebros užduočių sistemos I–VI klasėje hipotetinis modelis

Teorinėje dalyje buvo išsiaiškinta, kad algebrinius reiškinius sudaro skaitiniai ir raidiniai

reiškiniai, sujungti aritmetiniais veiksmais. Ši dalis pavaizduota hipotetinio modelio centre, nes ją

apima visos kitos uždavinių rūšys. Algebrinių reiškinių sprendime, taikant perstatomumo dėsnį,

atliekami tapatūs reiškinių pertvarkymai. Šios dvi dalys glaudžiai susijusios su lygtimis ir

nelygybėmis, kadangi jos yra sudarytos iš algebrinių reiškinių ir sprendžiamos atliekant tapačių

reiškinių pertvarkymus. Visos aptartos dalys būtinos sprendžiant tekstinius uždavinius, t.y.,

užrašant sprendimą. Matematinės sąvokos šiame modelyje vaizduojamos dėl to, kad apima visą

užduočių sistemą.

2.1.2. Klausimyno užduočių parinkimo metodika

Klausimyno uždaviniai sudaryti, remiantis Lietuvos Respublikos bendrosiomis

programomis ir išsilavinimo standartais (2008) sudarytu užduočių sistemos hipotetiniu modeliu.

Visų klasių klausimynuose (Priedas nr. 2) užduotys pateikiamos vienodo tipo, numeruojamos ta

pačia tvarka, tik skiriasi užduočių sudėtingumas. Kad sudaryti klausimynai atitiktų tiriamųjų

gebėjimus ir įgūdžius, sudarant užduotis buvo išanalizuotas algebros mokymo turinys (BP, 2009)

ir remiamasi Lietuvos švietimo ir mokslo ministerijos rekomenduojamais vadovėliais (Balčytis

32

B., Martinėnienė R., 2007, 2008; Butkevičienė R. ir kt., 2005; Kiseliovas A., Kiseliova D, 2004,

2006, 2007). Siekiant kuo tiksliau nustatyti klaidas ir jų priežastis, prie kiekvieno klausimyno

prisegamas juodraštis. Jame atliekami visi skaičiavimai ir grąžinamas kartu su klausimynu.

Teorinėje dalyje buvo išanalizuoti I–IV ir V–VI klasių matematikos vadovėliuose pateikti

uždaviniai su algebros elementais (žr. 1.3.3. skyrių). Ši analizė parodė, kad algebrai būtini

aritmetiniai gebėjimai. Remiantis tuo, buvo sudaryta pirmoji klausimyno užduotis.

6 pav. Aritmetinių veiksmų parinkimo I–VI klasių apklausai ypatumai

I–VI klasių klausimynuose pirma užduotis sudaryta iš aštuonių aritmetinių

veiksmų, kurie atitinka tos klasės aritmetikos mokymo(-si) turinį. Tokia veiksmų įvairovė ir jų

skaičius pateikiama todėl, kad būtų galima tiksliau nustatyti sunkumus, kurių kyla mokiniams

juos sprendžiant. Buvo sudaryta schema, kuri parodo kiekvienos I–VI klasės mokinių

aritmetinius gebėjimus (6 pav.), t.y., parodo, ką atitinkamos klasės mokiniai turi mokėti.

Schemoje išskirtos trys aritmetinių veiksmų rūšys: aritmetinės operacijos, veiksmo

komponentų skaičius (nenurodomas veiksmo komponentų skaičius, kai daugyba reiškiama

sudėtimi ir atvirkščiai), skaičiai (pagal dydį ir pagal rūšį). Kiekviena dalis vaizduoja tai, kas

kiekvienoje klasėje atsiranda naujo. Jau išmokti veiksmai, skaičiai, kitoje klasėje nebekartojami.

Taigi, remiantis šia schema ir buvo sudarytos pirmos klausimynų užduotys.

Antroji, trečioji ir ketvirtoji užduotys – tekstiniai uždaviniai. Tekstiniai uždaviniai, kaip

sudėtinė klausimyno dalis, buvo pasirinkta dėl to, kad juos sprendžiant ieškomas nežinomasis, o

tai, kaip jau išsiaiškinta teorinėje dalyje, labai susiję su algebra. Kiekvienai klasei pateikiama po

33

tris skirtingus tekstinius uždavinius. Jie buvo sudaromi atsižvelgiant į tai, ką atitinkamoje klasėje

mokinys turi mokėti. Kiekvienoje klasėje tekstiniai uždaviniai sudėtingėja: didėja skaičiai,

sunkėja tekstinio uždavinio sąlygos formuluotė, daugėja veiksmų ir pan.

7 pav. Tekstinių uždavinių parinkimo apklausai ypatumai

Schemoje nurodyta, kokio tipo tekstiniai uždaviniai pateikti kiekvienos klasės klausimyne

(7 pav.). Jau žinoma, kad tekstiniai uždaviniai skirstomi į paprastuosius, sudėtinius, tipinius,

proporcingosios dalybos ir judėjimo uždavinius (Ažubalis A., Kiseliovas A., 2002). Schemoje,

kaip ir klausimynuose, išskiriamos dvi pagrindinės tekstinių uždavinių rūšys: paprastieji ir

sudėtiniai tekstiniai uždaviniai, nes šio tipo uždavinių mokykliniuose vadovėliuose yra

daugiausia. Paprastieji tekstiniai uždaviniai pateikiami visose klasėse. Tik III klasės klausimyno

tekstiniai uždaviniai yra sudėtiniai. Atsižvelgiant į tai, kad jie yra sudaryti iš paprastųjų tekstinių

uždavinių, atskirai tokio tipo uždavinys į III klasės klausimyną nebuvo įdėtas. Schemoje prie

sudėtinių tekstinių uždavinių pavaizduota, iš kokių paprastųjų tekstinių uždavinių jie yra sudaryti.

V ir VI klasės klausimynuose pateikiami paprastieji tekstiniai uždaviniai, tačiau jie yra daug

sudėtingesni nei žemesnėse klasėse, kadangi uždavinio sąlygoje ir sprendžiant uždavinį

naudojami ne tik realieji, bet ir trupmeniniai skaičiai bei raidiniai simboliai.

Penktoji užduotis – reiškiniai. Tikslas – išsiaiškinti, kaip mokiniai geba apskaičiuoti

reiškinius naudojant perstatomumo dėsnius.

34

Kiekvienoje klasėje pateikiama po tris reiškinius, kuriuos apskaičiuojant turėtų būti

taikomas perstatomumo dėsnis. Kadangi I klasėje mokomasi tik sudėties ir atimties veiksmų, šios

klasės klausimyno penktoji užduotis sudaryta kitokiu principu negu II-VI klasių. I klasės

užduotyje reiškinio komponentai išdėlioti taip, kad mokiniams, visus veiksmus atliekant iš eilės,

apskaičiuoti tų reiškinių reikšmę būtų sudėtingiau. Spręsdami šiuos reiškinius, mokiniai tūrėtų

prisiminti taisyklę, kad esant sudėties veiksmui jo komponentus galima keisti vietomis, nes suma

vis tiek nepasikeis. Tikimasi, kad pirmokai sudės pirmiausia tuos veiksmo komponentus, iš kurių

susidaro apvalios dešimtys, o po to pridės likusius vienetus. Nukreipti mokinius ta linkme padeda

užduoties formuluotė. Joje prašoma duotus reiškinius apskaičiuoti taip, kaip lengviau. Šia

užduotimi svarbu nustatyti, ne kaip mokiniai sugeba atlikti sudėties ar atimties veiksmus, o ko

vaikai nesugeba susidūrę su perstatomumo dėsniu, todėl I klasės klausimyno penktoje užduotyje

pateikiami tik sudėties veiksmai. Trys vienodo tipo reiškiniai, tik su daugiau veiksmo

komponentų, padės tiksliau nustatyti, kas I klasės mokiniams nesiseka sprendžiant tokius

uždavinius.

II klasėje mokiniai mokosi daugybos veiksmo, todėl šios klasės klausimyne, penktoje

užduotyje, pateikiami reiškiniai, kurie reikalauja mokinių atsižvelgti į reiškinių apskaičiavimo

tvarką. Pirmas reiškinys pateikiamas su sudėties veiksmu ir su trimis vienodais veiksmo

komponentais. Šiuo reiškiniu siekiama sužinoti, ar mokiniai geba sutraukti panašiuosius narius,

t.y., sudėties veiksmą su vienodais veiksmo komponentais užrašyti daugybos veiksmu. Antras ir

trečias šio uždavinio reiškiniai reikalauja mokinių gebėjimo pritaikyti perstatomumo dėsnį

atsižvelgiant į aritmetinius veiksmus.

III–V klasėje reiškiniai sunkėja, atsiranda dalybos veiksmas ir skliaustai bei padaugėja

veiksmo komponentų. VI klasės klausimyno penktoje užduotyje pridedamos paprastosios ir

dešimtainės trupmenos.

Šeštoji užduotis – lygtys. Tikslas – išsiaiškinti, kaip I–VI klasių mokiniai geba spręsti

lygtis, kokios pagrindinės klaidos jas sprendžiant.

I ir II klasėse lygtys sprendžiamos be raidinės simbolikos, t.y., vietoje nežinomojo

paliktas tuščias langelis (žr. 3 lentelę). Kadangi I klasėje mokomasi tik sudėties ir atimties

veiksmų, tai lygtys šios klasės klausimyne pateikiamos dviem būdais. Taip siekiama išsiaiškinti,

kaip mokiniai geba rasti nežinomąjį, kai lygtis užrašyta kitaip (atsakymas = lygtis) nei įprasta

(lygtis = atsakymas). I klasėje lygtys sudarytos iš vienaženklių, dviženklių ir triženklių skaičių

bei dviejų ir trijų veiksmo komponentų. II klasėje mokiniai pradeda mokytis daugybos ir dalybos

veiksmų, tačiau trys antros klasės lygtys yra sudarytos su daugybos veiksmu, o lygčių su dalybos

veiksmu visiškai nėra. Atsižvelgiant į tai, kad II klasės klausimyne pusę pirmos užduoties sudaro

dalybos veiksmai ir tai pakankamas skaičius nustatyti, kaip vaikai geba dalyti, tai lygčių

sprendimo užduotyje šio veiksmo nėra. II klasės klausimyne lygtys sudarytos iš dviejų, trijų

veiksmo komponentų, naudojant sudėties, atimties ir daugybos veiksmus. I ir II klasėse lygčių

forma kaip paprasto aritmetinio veiksmo, tik vienas veiksmo komponentas nežinomas, taigi

spręsdami šias lygtis mokiniai tik įrašo lygties nežinomojo reikšmę į tuščią langelį. Remiantis

tuo, šių klasių klausimynuose buvo pateikta po aštuonias lygtis (daugiau nei kitose klasėse).

III–VI klasių klausimynuose pateikta po penkias lygtis, kadangi šiose klasėse lygties

nežinomasis žymimas raide, o ne tuščiu langeliu ir lygties nežinomojo reikšmę reikia apskaičiuoti

užrašant veiksmus.

III klasėje lygtys sudarytos iš dviejų ir trijų veiksmo komponentų bei sudėties, atimties ir

dalybos veiksmų. Daugybos veiksmo lygtyse nėra, nes šios klasės pirmoje klausimyno užduotyje

pusę užduoties sudaro reiškiniai su daugybos veiksmu. Lygtys buvo sudaromos taip, kad lygties

nežinomasis būtų kuo įvairesnėse lygties vietose. Tai leis įvertinti, kokios lygtys III klasės

mokiniams sekasi sunkiausiai bei nuo ko tai priklauso: nuo lygties nežinomojo vietos lygtyje ar

nemokėjimo parinkti tinkamą veiksmą lygties nežinomajam apskaičiuoti.

35

IV klasės klausimyne didžiąją užduoties dalytį sudaro lygtys su dalybos ir daugybos

veiksmais, su dviem ar trim veiksmo komponentais. Šioje klasėje lygtys yra sudėtingesnės nei III

klasėje tuo, kad didesni skaičiai. Tai padės nustatyti ar teisingam lygties nežinomojo

apskaičiavimui turi įtakos veiksmai su didesniais skaičiais

V klasės klausimyne pateiktos lygtys su visais keturiais aritmetiniais veiksmais ir

pridedami skliaustai. Pirmoji šios užduoties lygtis sudaryta kiek kitaip nei įprasta, t.y., pateiktas

lygties reiškinys, kad pirmiausia reikia apsiskaičiuoti tai, kas po lygybės ženklu (atsakymą),

toliau lygtis sprendžiama įprastai. Trys lygtys yra sudarytos iš dviejų veiksmų ir trijų veiksmo

komponentų, vienoje iš šių lygčių dar yra skliaustai.

VI klasės klausimyne pateiktos lygtys su dviem veiksmo komponentais, tačiau skiriasi

aritmetiniai veiksmai ir skaičių rūšys. Viena lygtis sudaryta iš dešimtainių trupmenų, viena – iš

natūraliųjų skaičių, viena – iš mišriųjų trupmenų. Šios trys lygtys pateiktos šeštoje užduotyje

todėl, kad labai daug dėmesio VI klasėje skiriama būtent natūraliesiems ir trupmeniniams

skaičiams (BP, 2008). Dar dvi lygtys yra sudarytos iš keturių ir penkių veiksmo komponentų, kai

du ar trys iš jų yra lygties nežinomasis. Tai padės išsiaiškinti, kaip mokiniai geba spręsti lygtis

sutraukiant panašiuosius narius.

Septintoji užduotis – nelygybės. Tikslas – išsiaiškinti, kaip mokiniai geba spręsti

nelygybes, kokios pagrindinės klaidos ir jų priežastys jas sprendžiant.

Kiekvienos klasės klausimynuose pateikiama po šešias nelygybes. I klasės septintoje

užduotyje puse nelygybių sudaro paprasčiausias skaičių palyginimas. Taip siekiama išsiaiškinti,

ar mokiniai geba palyginti du skaičius, ar geba įžvelgti kuris skaičius didesnis, kai abiejų skaičių

skaitmenys yra vienodi tik apkeisti vietomis. Dvi nelygybės, kai reikia palyginti dviejų reiškinių

apskaičiuotas reikšmes, sudarytos remiantis tuo pačiu principu. Jas sprendžiant reikia palyginti

tik pirmus nelygybės reiškinių skaičius, pvz., 70 + 6 ___ 60 + 7. Viena nelygybė sudaryta taip,

kad prieš įrašant nelygybę tenkinantį ženklą būtina apskaičiuoti abi nelygybės puses.

II klasės klausimyne pateiktos nelygybės sudarytos iš reiškinių su sudėties, atimties ir

daugybos veiksmais bei dviem, trim veiksmo komponentais. Atsižvelgiant į tai, kad šioje

užduotyje svarbu išsiaiškinti, ar mokiniai geba teisingai naudoti nelygybių ženklus, o ne

apskaičiuoti aritmetinius veiksmus, nelygybės buvo sudarytos iš reiškinių, kuriuose veiksmai

atliekami sudarant arba išardant apvalias dešimtis.

III ir IV klasėje pateiktos nelygybės yra sudėtingesnės. Nelygybių reiškiniai sudaryti iš

dviženklių ir triženklių skaičių, su kuriais atliekami aritmetiniai veiksmai ir skliaustuose.

V klasėje dvi nelygybės pateikiamos tokia forma, kaip ir prieš tai buvusiose klasėse, o

keturios nelygybės prašo mokinių surasti tinkamus nelygybės sprendinius ir juos užrašyti.

VI klasėje patekta viena nelygybė, kurioje reikia įrašyti tinkamą nelygybės ženklą, o

likusios penkios nelygybės taip pat reikalauja rasti jų sprendinius.

Nutarta, kad nelygybėse, kuriose reikia rasti jų sprendinius, pakanka užrašyti bent vieną

teisingą sprendinį, kad nelygybė būtų laikoma teisinga.

Aštuntoji užduotis – sąvokos. Šia užduotimi tikimasi išsiaiškinti, ar mokiniai supranta

sąvokas, geba jas paaiškinti savais žodžiais. Tai padės nustatyti, ar sąvokų nemokėjimas daro

įtaką uždavinių su algebros elementais sprendimui. Visų šešių klasių klausimynuose pateikta

lentelė, kurioje reikia paaiškinti ką reiškia nelygybė ir ką reiškia uždavinys. Taip pat mokiniai

turi paaiškinti, ką reikia daryti, kai prašoma apskaičiuoti. Kiekvienos klasės mokiniai bent jau į

paskutinį klausimą turėtų atsakyti skirtingai, nes kiekvienoje klasėje ši sąvoka yra plečiama, t.y.

atsiranda naujų veiksmų, didesnių skaičių, nežinomųjų ir pan.

Kiekvienai klasei atlikti klausimyno užduotis skiriama 45 min. Visas užduotis mokiniai

atlieka savarankiškai, skaičiuodami prisegtuose prie anketų juodraščiuose.

36

2.2. Tyrimo rezultatai

2.2.1. Reiškinių su aritmetiniais veiksmais sprendimo sunkumai I–VI

klasėse

Aritmetika – seniausia matematikos mokslo sritis, kuri glaudžiai susijusi su kitais

mokslais ir plačiai naudojama gyvenime (ekonomikos, prekybos, inžinerijos srityje ir pan.).

Lietuvos bendrosiose programose ir išsilavinimo standartuose ši matematikos sritis atskirai nėra

išskiriama, aritmetika priskiriama prie skaičių ir skaičiavimų skyriaus (BP, 2008). Aritmetikos

pradedama mokytis nuo I klasės. Mokantis šio dalyko I–VI klasės mokiniai susipažįsta su

natūraliais ir trupmeniniais skaičiais, išmoksta aritmetikos veiksmų. Kadangi kiekvienas

paprastas aritmetinis veiksmas yra sudėtingesnio aritmetinio veiksmo sudedamoji dalis, būtina,

kad kiekvieną paprastesnį veiksmą mokinys išmoktų atlikti greitai ir be klaidų (Šalkuvienė O.,

2011).

Šiame skyriuje išsiaiškinsime sunkumus, kurių kyla apskaičiuojant reiškinius su

aritmetiniais veiksmais, ir juos aptarsime. 2.3.1. poskyryje išanalizuosime pradinių klasių

pirmosios užduoties rezultatus, o 2.3.2. poskyryje bus pateikti V–VI klasių rezultatų duomenys ir

bendros pirmosios užduoties išvados.

I–IV klasių mokinių klaidos apskaičiuojant reiškinius su aritmetiniais veiksmais

Patikrinus I klasės pirmą užduotį, paaiškėjo, kad pusė klasės mokinių šią užduotį atliko

be klaidų. Klaidingai reiškinius apskaičiavusių mokinių užduoties analizė parodė, kad I klasėje

apskaičiuodami reiškinius mokiniai daro devynias klaidas (8 pav.).

10

9

2

1

2

1 1

2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Mokinių

skaičius

Be klaidų

Dešimčių išardymas,

sudarymas

Veiksmai su apvaliomis

dešimtimis

Sudėties veiksmas

Atlikti ne visi reiškinio veiksmai

Neaiškus atsakymas

Skaičių sandara

Atidumo klaida

8 pav. Aritmetinių uždavinių klaidos I klasėje

Devyni I klasės mokiniai klysta, nes atlikdami aritmetinius veiksmus su skaičiais, nemoka

išardyti turimų arba sudaryti naujų dešimčių, pvz., 90 – 8 = 92. Toks aritmetinio veiksmo

sprendimas rodo, kad šie mokiniai skaičių sandarą dešimtainėje sistemoje moka, t.y., žino, kad 10

– 8 yra 2, tačiau gautą skirtumą vis tiek prideda prie turinio. Du mokiniai nemoka atlikti veiksmų

su apvaliomis dešimtimis. Pridėdami arba atimdami apvalias dešimtis, atsakyme jie gauna

37

skaičius tik iš apvalių dešimčių, pvz., 94 – 10 = 80 arba 64 + 30 = 90. Kitaip tariant,

apskaičiuojant aritmetinius veiksmus, trūkstamus vienetus iki apvalios dešimties prideda, o jeigu

vienetų per daug, tai juos tiesiog atima. Gauti duomenys parodė, kad vienas mokinys nemoka

apskaičiuoti sudėties veiksmo su dviženkliu skaičiumi, pvz., reiškinį 43 + 4 = skaičiuoja taip: prie

pirmojo dėmens pirmojo skaitmens pridedamas antras dėmuo 4 + 4 = 8 ir prie pirmojo dėmens

antrojo skaitmens vėl pridedamas antras dėmuo 3 + 4 = 7, taip gaunamas atsakymas 87. Toks

skaičiavimo būdas parodo, kad mokinys neskiria vienetų ir dešimčių skyrių, todėl nežino, kokį

skaitmenį prie kurio pridėti. Dar vienas mokinys, apskaičiavęs tokį aritmetinį veiksmą 43 + 4,

gavo 10. Analizuojant, kokiu būdu buvo gautas toks atsakymas, paaiškėjo, kad mokinys sumaišė

sudėties ir atimties veiksmus, o toliau naudojosi tokiu pat sprendimo būdu, kaip ką tik aptarėme.

Du mokiniai apskaičiavo tik pusę reiškinio. Tai rodo, kad ne visi mokiniai, apskaičiavę vieną

aritmetinį reiškinio veiksmą, patikrina, ar atlikti visi reiškinio veiksmai. Remiantis tuo, galime

teigti, kad I klasės mokiniams trūksta atidumo. Dar viena panašaus pobūdžio klaida – atliekant

veiksmą sumaišyti veiksmo komponentų skaičių skaitmenys, t.y., skaičiaus skaitmenys

sukeičiami vietomis. Kaip atidumo klaidą galima įvardinti ir aštuntą diagramoje (8 pav.) įvardintą

klaidą, kai mokinys parašo neteisingą atsakymą dėl to, jog sukeičia skaičius, pvz., apskaičiavęs

reiškinio reikšmę, dar kartą pažiūri į reiškinį ir vieną iš atsakymo skaitmenų parašo tokį, koks

užsifiksavo atmintyje iš reiškinio. Čia jau matome, kad veikia vaiko vaizdinė atmintis.

Paskutinioji klaida, kuri buvo išskirta tikrinant I klasės pirmąją užduotį, – mokiniai nemoka

skaičių sandaros dešimtainėje sistemoje, pvz., 43 + 4 = 48. Iš čia matome, kad mokinys nežino

skaičiaus 8 sandaros.

Apibendrindami galime teigti, kad I klasės mokiniams trūksta aritmetinio skaičiavimo

įgūdžių, nesutelkiamas dėmesys į apskaičiuojamą reiškinį. Dėl šių priežasčių sukeičiami

aritmetiniai veiksmai ir skaitmenys vietomis, reiškiniai nebaigiami apskaičiuoti. Remiantis

gautais duomenimis, galime teigti, kad veiksmo komponentų skaičius I klasės mokiniams

sprendžiant reiškinius jokios įtakos neturi.

II klasės pirmos užduoties klaidos ir jas padariusių mokinių skaičius pateiktas žemiau

esančioje diagramoje (9 pav.). Čia matome, kad II klasėje padarytų klaidų įvairovė mažesnė negu

I . Tačiau žymiai skiriasi teisingai užduotį atlikusių mokinių skaičius, II klasėje tik vienas

mokinys šią užduotį atliko be klaidų. Daugiausia klaidų apskaičiuojant reiškinius buvo daroma

dešimčių ir vienetų skyriuose. Tai buvo galima įvardinti kaip skaičių sandaros neįsisavinimą,

tačiau diagramoje ši klaida išskirta atskirai, kad matytume koks didelis mokinių skaičius

apskaičiuojant reiškinius klydo vienetų (10 mokinių) ir dešimčių (12 mokinių) skyriuose.

Pastebėta, kad dauguma mokinių šią klaidą darė reiškiniuose su didesniais skaičiais ir kuriuose

yra daugiau nei vienas aritmetinis veiksmas.

Septyni II klasės mokiniai klaidingai apskaičiavo reiškinius, nes nemoka daugybos

lentelės. Galimas dalykas, kad ši klaida stipriai išryškėjo, nes II klasėje daugyba yra naujas

aritmetinis veiksmas, todėl nėra pakankamai įgudę atlikti skaičiavimus su šiuo aritmetiniu

veiksmu.

Analizuojant reiškinių su aritmetiniais veiksmais klaidas, buvo nustatyta dar viena klaida,

kad mokiniams sunku atrasti ryšį tarp daugybos ir dalybos veiksmų, pvz., reiškinį 8 : 4

apskaičiuoja klaidingai, nes negeba įsivaizduoti kiek kartų 4 telpa į 8.

Išanalizavus pirmąją užduotį, paaiškėjo, kad II klasėje pradėjus mokytis daugybos ir

dalybos veiksmų, mokiniai pradeda maišyti sudėties ir atimties veiksmus. Dažnai apskaičiuojant

šiuos reiškinius, taikoma taisyklė, kad esant reiškinyje daugybos, dalybos ir sudėties bei atimties

veiksmų, pirma atliekami daugybos, dalybos veiksmai. Remiantis šia taisykle, taip

apskaičiuojami ir sudėties bei atimties reiškiniai. Pirma atliekamas sudėties veiksmas, po to –

atimties. Taip ketvirtą pirmos užduoties reiškinį sprendė trys mokiniai.

38

Pastebėta, kad apskaičiuoti reiškinius su trimis veiksmo komponentais, nepriklausomai

nuo veiksmų, mokiniams sekėsi sunkiau. Tokio tipo reiškiniai sudaro 50 % pirmos užduoties ir

juose klydo 17 antrokų.

1

12

10

7

1

3

0

2

4

6

8

10

12

Mokinių

skaičius

Be klaidų

Klaida dešimčių skyriuje

Klaida vienetų skyriuje

Daugybos lentelė

Daugybos ir dalybos

veiksmų ryšys

Veiksmų eiliškumas

9 pav. Aritmetinių uždavinių klaidos II klasėje

Apibendrindami, galime teigti, kad II klasės mokiniai dar nėra įsisavinę skaičių sandaros

dešimtainėje sistemoje, atlkdami sudėties ir atimties veiksmus. Taip pat sunkiai sekasi sieti

daugybos ir dalybos veiksmus, viena iš to priežasčių yra ta, kad mokiniai nemoka daugybos

lentelės. II klasės mokiniams kyla sunkumų taikant perstatomumo dėsnį, dažnai jį taiko ne ten,

kur reikia.

III klasėje be klaidų pirmąją užduotį išsprendė keturi mokiniai. Tai šiek tiek daugiau nei

II klasėje, tačiau žymiai mažiau negu I. Remdamiesi tuo, galime teigti, kad matematikos mokymo

turinyje atsirandant vis daugiau naujų dalykų, mokiniams sunku juos įsiminti, tinkamai pritaikyti,

todėl klaidingai išsprendusių mokinių skaičius didėja. III klasės mokinių daromos klaidos

pavaizduotos žemiau esančioje schemoje (10 pav.).

4

6

1

4

6

2

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Mokinių

skaičius

Be klaidų

Aritmetinio veiksmo

apskaičiavimas stulpeliuVeiksmų eiliškumas

Skaičių sandara

Daugybos lentelė

Atlikti ne visi reiškinio

veiksmaiAtidumo klaida

10 pav. Aritmetinių uždavinių klaidos III klasėje

39

Analizuojant, kaip III klasės mokiniai geba apskaičiuoti aritmetinius veiksmus paaiškėjo,

kad šeši vaikai nemoka sudėties, daugybos ir dalybos veiksmų atlikti stulpeliu. Pagrindinė klaida

– skaičiuodami stulpeliu pamiršta veiksmų stulpeliu skaičiavimo principus, pvz., sudėties

veiksmą atlieka remiantis daugybos veiksmo stulpeliu taisykle, t.y., kiekvieną antro dėmens

skaitmenį sudeda su kiekvienu pirmo dėmens skaitmeniu, pvz., 139 + 8 = skaičiavo taip:

1) 9 + 8 = 17 (7 rašo, vienas mintyje);

2) 3 + 8 = 11 (1 rašo, tai kas mintyje pamiršta);

3) 1 + 8 = 9 (9 rašo, tai kas mintyje pamiršta).

Taip pat pastebėta, kad klaidingai atlieka dalybos veiksmą su apvaliomis dešimtimis.

Tokius aritmetinius veiksmus mokiniai dažniausiai apskaičiuoja mintinai, pvz., 240 : 4

skaičiuoja: 24 : 4 = 6, tačiau nebeprirašo 0, pamiršta. Nustatyta dar viena klaida, kurią darė ir II

klasės mokiniai. Jie negeba nustatyti veiksmų atlikimo tvarkos. Ši klaida aptikta tik vieno III

klasės mokinio pirmos užduoties skaičiavimuose, tačiau vis tiek galime teigti, kad ši problema

išlieka ir III klasėje. Dar viena pasikartojanti klaida – skaičių sandara. Atlikdami aritmetinius

veiksmus, net keturi vaikai juos apskaičiavo klaidingai. Tai rodo, kad dar ne visi III klasės

mokiniai yra įsisavinę skaičių sandarą dešimtainėje sistemoje. Šie mokiniai atlikdami

skaičiavimus pamiršo prirašyti naujai susidariusias dešimtis arba atimti pasiskolintas dešimtis.

Buvo nustatyta, kad šeši III klasės mokiniai nemoka daugybos lentelės. Tai lemia daromas

klaidas, atliekant ne tik daugybos, bet ir dalybos veiksmus. Didžiausią III klasėje darytų klaidų

skaičių sudaro atidumo klaidos. Prie šios klaidų grupės būtų galima priskirti ir nebaigtą

apskaičiuoti reiškinį, bet norėta parodyti, kad nemaža dalis mokinių klysta apskaičiuodami

reiškinius su keliais aritmetiniai veiksmais, todėl į tai reikėtų atkreipti dėmesį. Aritmetinių

veiksmų painiojimas (parašyta dalyba, atlieka daugybą ir pan.), veiksmo komponentų skaitmenų

pakeitimas (parašyta 406, o skaičiuoja kaip 466), du kartus to paties veiksmo atlikimas ar

skirtingų veiksmų su to paties skaičiaus skaitmenimis atlikimas (154 + 148 skaičiuoja: 8 – 4; 4 +

5; 1 + 1) diagramoje buvo įvardinta kaip atidumo klaidos.

Apibendrindami galime teigti, kad III klasės mokiniams sunkiausiai sekasi apskaičiuoti

aritmetinius veiksmus, tai lemia dėmesio stoka, nemokėjimas daugybos lentelės ir aritmetinių

veiksmų stulpeliu atlikimo tvarkos. Taip pat III klasėje dažnai daroma klaida – pamirštama

prirašyti, atimti susidariusias, pasiskolintas dešimtis.

Išanalizavus IV klasės pirmąją klausimyno užduotį (11 pav.), paaiškėjo, kad net šešiolika

mokinių negeba reiškinyje teisingai nustatyti aritmetinių veiksmų sekos.

2

16

3

10

4

2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Mokinių

skaičius

Be klaidų


Atlikti ne visi reiškinio

veiksmai

Aritmetinio veiksmo

apskaičiavimas stulpeliu

Dalybos lentelė

Atidumo klaidos

11 pav. Aritmetinių uždavinių klaidos IV klasėje

40

Šią klaidą mokiniai darė apskaičiuodami ketvirtą reiškinį. Reiškinys (3 + 22) + (2 + 23) ·

4 =___ , turėjo būti apskaičiuotas tokia tvarka:

1) (3 + 22) =25 2) (2 + 23) = 25 3) 25 · 4 = 100 4) 25 + 100 = 125. IV klasės mokiniai,

apskaičiuodami šį reiškinį, supainiojo 3 ir 4 reiškinio apskaičiavimo žingsnius vietomis. Kadangi

skaičiai nėra dideli ir su jais lengva atlikti veiksmus, galime daryti prielaidą, kad mokiniams

sunku teisingai nustatyti reiškinio veiksmų atlikimo tvarką, kai reiškinyje yra daugiau nei du

aritmetiniai veiksmai ir skliaustai. Ši klaidą mokiniai darė ir kituose tokio tipo reiškiniuose: 5

reiškinys – 1 mokinys, 7 reiškinys – 1 mokinys ir 8 reiškinys – 3 mokiniai.

Analizuojant padarytas klaidas, pastebėta, kad trys ketvirtokai apskaičiuoja ne visą

reiškinį, t.y., apskaičiuoja tik tuos veiksmus, kurie yra skliaustuose. Atsižvelgiant į tai, galime

daryti prielaidą, kad mokykloje yra labai akcentuojama taisyklė, jog pirmiausia atliekami

veiksmai, kurie yra skliaustuose. Vadovaudamiesi šia taisykle, IV klasės mokiniai apskaičiuoja

tik tuos veiksmus ir užmiršta, kad reiškinyje yra dar vienas aritmetinis veiksmas.

Dešimt mokinių neteisingai apskaičiavo reiškinius, kurių aritmetinius veiksmus atliko

stulpeliu. Atliekant sudėties veiksmus pamiršta pridėti naujai susidariusias dešimtis, o atliekant

atimties veiksmus – atimti pasiskolintas dešimtis. Tokios pat klaidos darytos ir atliekant

daugybos veiksmą stulpeliu. Apskaičiuojant dalybos veiksmą kampu, neteisingai nurodomas

skaičius, kuris rodo kiek kartų daliklis telpa į dalinį. Remiantis tuo, galime teigti, kad IV klasės

mokiniai dar nemoka puikiai daugybos lentelės. Iš viso šias klaidas darė keturi mokiniai. Du

mokinai, apskaičiuodami reiškinius, pakeitė aritmetinio veiksmo ženklą ir skaičius. Šios klaidos

buvo įvardintos kaip atidumo klaidos.

Apibendrinant IV klasės mokinių padarytas klaidas, apskaičiuojant reiškinius, galime

teigti, kad dauguma negeba nustatyti reiškinio veiksmų atlikimo sekos, kai reiškinyje yra daugiau

nei du aritmetiniai veiksmai. Taip pat daug klaidų daro dauginant ir dalinant, sudedant ir

atimant stulpeliu, pamiršdami susidariusias ir pasiskolintas dešimtis, ne visi moka daugybos

lentelę.

V–VI klasės mokinių klaidos apskaičiuojant reiškinius su aritmetiniais veiksmais

Išanalizavus V klasės klaidas, pastebėta, kad baigus pradinio ugdymo matematikos kursą

ir perkopus į pagrindinio ugdymo programą, atsiranda naujų klaidų, o pradinėse klasėse daromų

klaidų skaičius mažėja (12 pav.).

1

2

8

5

14

3

2

10

0

2

4

6

8

10

12

14

Mokinių

skaičius

Be klaidų


Atlikti ne visi reiškinio veiksmai

Dalyba kampu

Veiksmai su dešimtainėmis

trupmenomis

Skaičių sandara

Daugybos lentelė

Atidumo klaidos

12 pav. Aritmetinių uždavinių klaidos V klasėje

41

Daugiausia klaidų V klasės mokiniai daro, atlikdami veiksmus su dešimtainėmis

trupmenomis. Galime daryti prielaidą, kad taip yra todėl, jog pirmaisiais pagrindinio ugdymo

metais didelę mokymo turinio dalį sudaro veiksmai su natūraliaisiais bei trupmeniniais skaičiais.

Vadinasi, V klasėje su šiais skaičiais susipažįstama plačiau, tai atsispindi ir matematikos

vadovėliuose, kuriuose didžioji dalis uždavinių sudaryta būtent su šiais skaičiais. Analizuojant ir

grupuojant penktokų klaidingai apskaičiuotus reiškinius su dešimtainėmis trupmenomis,

paaiškėjo, kad daugybos ir atimties veiksmus su šiais skaičiais (8 reiškinys) visi apskaičiavo

teisingai. Keturi mokiniai neteisingai atliko dalybos veiksmą, apskaičiavo dalmenis dėl to, kad

nežino, kurioje vietoje gautame dalmenyje turi būti kablelis, pvz., 3,6 : 0,6 = 0,6. Tai rodo, kad

mokiniai nėra įsisavinę taisyklės, jog dalydami dešimtainę trupmeną iš dešimtainės trupmenos

dalinyje ir daliklyje kablelis perkeliamas į dešinę pusę per tiek skaitmenų, kiek jų yra po kablelio,

taip gautą dalinį dalijame iš natūraliojo skaičiaus (tiksliukas.lt, 2012). Šeši mokiniai nemoka

stulpeliu užrašyti sudėties veiksmo su dešimtainėmis trupmenomis, t.y., nežino, kad, sudedant

dešimtaines trupmenas stulpeliu, jos rašomos taip, kad vienvardžių skyrių skaitmenys būtų vienas

po kitu, o kablelis būtų po kableliu. Kaip mokiniai sprendė dešimtainių trupmenų sudėtį stulpeliu,

pavaizduota 4 lentelėje, a dalyje.

4 lentelė

V klasės mokinių daromos klaidos apskaičiuojant dešimtainių trupmenų sumą

Paveikslo b dalyje pavaizduota, kaip du mokiniai atliko dešimtainių trupmenų sudėtį

eilute. Matome, kad pirma yra sudedama tai, kas prieš kablelį, o po to – kas po kablelio,

nekreipiant dėmesio į tai, kad šie du skaitmenys yra skirtingose vietose po kablelio. Paveikslo c

dalyje pavaizduotas dar vienas dešimtainių trupmenų sumos radimo būdas. Tokiu būdu taip pat

skaičiavo du mokiniai. Skaičiai, esantys prieš kablelį, sudedami, o skaičiai esantys po kablelio –

padauginami, prieš tai panaikinant pirmame skaičiuje esantį 0 po kablelio.

V klasėje du mokiniai neįsisavinę perstatomumo dėsnio principų, t.y., neteisinga tvarka

atlieka reiškinio aritmetinius veiksmus. Kaip ir kitų klasių mokiniai, taip ir penktokai atlieka ne

visus reiškinio aritmetinius veiksmus. Dažniausiai apskaičiuojamas vienas veiksmas ir parašomas

atsakymas. V klasėje tokias klaidas darė aštuoni mokiniai. Penki mokiniai klydo, apskaičiuodami

dalybos veiksmą kampu. Pagrindinės klaidos: negeba nustatyti, kiek kartų daliklis telpa į dalinį;

nemoka iš dalinio nukelti skaičiaus; negeba teisingai atlikti atimties veiksmų dalinant. Pastebėta,

kad daugiau klaidų daroma dalinant skaičius iš dviženklio daliklio. Šią klaidą galima sieti su

daugybos veiksmu, nes dauginant dviženklius skaičius V klasės mokiniai taip pat daro klaidas.

Trys V klasės mokiniai nemoka skaičiaus 50 sandaros, pvz., 55 – 25 gauta 25 (taip skaičiavo du

mokiniai) ir 30 (taip skaičiavo vienas mokinys). Išanalizavus pirmą užduotį paaiškėjo, kad du V

klasės mokiniai nemoka daugybos lentelės, todėl reiškinius su daugybos veiksmu apskaičiavo

neteisingai, pvz., 3 · 2 = 5 arba 36 : 6 = 5.

Dešimt mokinių darė klaidas dėl atidumo stokos:

- atliko ne tuos veiksmus kaip nurodyta, t.y., painiojo daugybą su dalyba, sudėtį su atimtimi;

- atliekant atimties veiksmą pamiršta apie pasiskolintas dešimtis;

- juodraštyje apskaičiuojant sumą su dešimtainėmis trupmenomis į juodraštį nurašomas ne

toks skaičius, t.y., kablelis perkeliams per vieną skaitmenį į vieną ar į kitą skaičiaus pusę;

42

- apskaičiavus aritmetinį veiksmą su dešimtainėmis trupmenomis ir rašant atsakymą,

pamirštama padėti kalbelį;

- atliekant veiksmus sukeičia skaičius arba jų skaitmenis.

Apibendrindami V klasės mokinių daromas klaidas, apskaičiuojant aritmetinius veiksmus,

galime teigti, kad sunkiausiai mokiniams sekėsi atlikti veiksmus su dešimtainėmis trupmenomis.

Didelė klaidų padaryta dėl to, kad, apskaičiuodami reiškinius, V klasės mokiniai buvo neatidūs,

supainiodavo skaičius, veiksmus arba veiksmus apskaičiuodavo ne iki galo.

Patikrinus VI klasės pirmąją užduotį paaiškėjo, kad penki mokiniai šią užduotį atliko be

klaidų (13 pav.).

5

4

2

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Mokinių

skaičius

Be klaidų

Daugybos lentelė


Aritmetiniai veiksmai su

trupmenomis

13 pav. Aritmetinių uždavinių klaidos VI klasėje

Pastebėta, kad penktadalis (4 mokiniai) VI klasės mokinių vis dar neteisingai apskaičiuoja

reiškinius su daugybos veiksmu. Tai rodo, kad ir VI klasėje daugybos lentelė išlieka kaip viena iš

daromų klaidų priežasčių. Du mokiniai klydo, apskaičiuodami trečią reiškinį. Vienas iš jų

neteisingai nustatė veiksmų atlikimo tvarką, t.y., visus veiksmus atliko iš eilės, o kitas mokinys

šio reiškinio visiškai neapskaičiavo. Lyginant klaidas, padarytas apskaičiuojant aritmetinius

veiksmus pradinėje mokykloje ir V–VI klasėse, matome, kad vyresnėse klasėse žymiai sumažėjo

tų klaidų, kurias daro pradinių klasių mokiniai, tačiau atsirado kitų. Taigi, analizuojant

aritmetinių uždavinių sprendimo sunkumus VI klasėje, paaiškėjo, kad daugiausia klaidų daroma

reiškiniuose su trupmenomis. Kadangi net devyni vaikai klydo, atlikdami veiksmus su šiais

skaičiais, buvo sudaryta lentelė, kurioje paaiškinta, kaip mokiniai skaičiavo vieną ar kitą

aritmetinį veiksmą ir šalia pateiktas klaidingas mokinio skaičiavimo pavyzdys (žr.5 lentelę).

5 lentelė

VI klasės mokinių daromos klaidos atliekant veiksmus su trupmenomis

Eil.

Nr.

Klaidos aprašymas Pavyzdys Mokinių

skaičius

1. Dauginat mišrųjį ir trupmeninį

skaičius, mišriojo skaičiaus

nepasiverčia į trupmeną

1

2. Sudedant mišriuosius skaičius

taiko trupmenų dalybos taisyklę

1

43

3. Sudėties veiksmą su trupmenomis

atlieka taip pat kaip ir su

natūraliaisiais skaičiais

1

4. Atimdami trupmenas suprastina

jų skaitiklius ir vardiklius

3

5. Bendrą trupmenų vardiklį

padalinus iš kiekvienos

trupmenos vardiklio, gautą

dalmenį daugina iš trupmenos

skaitiklio pirmo skaitmens (a)

arba iš su abiem skaitmenimis

atskirai atliekami skirtingi

veiksmai (b)

1

1

7. Dauginant pritaikyta dalybos

veiksmo taisyklė, kad dalybą

keičiame į daugybą (čia daugyba

parašyta) ir dauginame iš

atvirkštinio skaičiaus

1

Apibendrindami I–VI klasių pirmos užduoties rezultatus, matome, kad nemažai mokinių

klysta apskaičiuodami aritmetinius veiksmus stulpeliu. Dažnai mokiniai maišo vieno aritmetinio

veiksmo sprendimo principus su kito aritmetinio veiksmo sprendimo principais. Kitos priežastys,

dėl ko kyla sunkumų sprendžiant aritmetinius uždavinius, – daugybos lentelė, neatidumas,

negebėjimas nustatyti reiškinio veiksmų tvarkos. V–VI klasėse prieš tai išvardintų sunkumų

skaičius mažėja, tačiau nuo V klasės mokymo turinyje atsiradus trupmeniniams skaičiams,

didžioji dalis klaidų daroma dėl to, jog nebemoka su jais atlikti aritmetinių veiksmų. Dažnai

prisimenamas vieno aritmetinio veiksmo su trupmenomis sprendimo būdas ir jis taikomas

apskaičiuojant su bet kuriuo kitu aritmetiniu veiksmu. Remdamiesi šios analizės duomenimis,

galime teigti, kad mokiniams trūksta įgūdžių teisingai parinkti aritmetinio veiksmo sprendimo

būdą ir jį apskaičiuoti.

Apibendrinant visus duomenis, buvo sudaryta schema (14 pav.), kurioje, mažėjančia

tvarka nurodomos kiekvienos klasės mokinių daromos klaidos. Aritmetiniai veiksmai schemoje

trumpinami A. veiksmai.

44

Aritmetinių

veiksmų

klaidos

I klasė II klasė III klasė IV klasė V klasė VI klasė

Skaičių

sandara

A.veiksmai;

nebaigta

apskaičiuoti;at

idumo klaidos

Skaičių

sandara

Daugybos

lentelė

Veiksmų

eiliškumas

Aritmetinių

veiksmų

ryšys

Atidumo

klaidos

A. veiksmai

stulpeliu;

daugybos

lentelė

Skaičių

sandara

Nebaigta

apskaičiuoti

A. veiksmų

ryšys

Veiksmų

eiliškumas

A. veiksmai

stulpeliu

Daugybos

lentelė

Nebaigta

apskaičiuoti

Atidumo

klaidos

A. veiksmai

su

trupmenomis

Atidumo

klaidos

Nebaigta

apskaičiuoti

Dalyba

kampu

Skaičių

sandara

Daugybos

lentelė;veiks

mų

eiliškumas

A. veiksmai

su

trupmenomis

Daugybos

lentelė

Veiksmų

eiliškumas

14 pav. I–VI klasių mokinių klaidų, apskaičiuojant aritmetinius veiksmus, įvairovė

45

2.2.2. Tekstinių uždavinių sprendimo sunkumai I–VI klasėse

Siekiant kuo informatyviau pateikti duomenis, kaip I–VI klasių mokiniai geba spręsti

tekstinius uždavinius, kokie sunkumai kyla juos sprendžiant buvo sudarytos lentelės, kuriose

pateikiamos mokinių klaidos, priežastys ir mokinių skaičius. Raudona arba mėlyna spalva yra

pažymėtos klaidingos vietos. Raudona spalva žymimos skaičiavimo klaidos, o mėlyna spalva

tekstinių uždavinių sprendimo strategijų klaidos (15 pav.).

15 pav. Duomenų lentelėse grupavimo schema

Išanalizavus I klasės mokinių išspręstus tekstinius uždavinius, paaiškėjo, kad tokio tipo

uždavinius I klasės mokiniams atlikti nėra sunku. Pažvelkime į lentelę (žr. 6 lentelę.), kurioje

pateikti duomenys, kaip I klasės mokiniai sprendė kiekvieną tekstinį uždavinį, kokias darė

klaidas ir dėl ko.

6 lentelė

I klasėje išspręstų tekstinių uždavinių klaidos

1. Sumažinimo keliais vienetais uždavinys

Klaida Priežastis Mokinių

skaičius

28 – 6 = 24

28 – 6 = 21

Nemoka skaičių sandaros

dešimtainėje sistemoje

2

2. Liekanos (skirtumo) radimo uždavinys

30 – 14 = 31 Nemoka iš apvalių dešimčių atimti

dviženklio skaičiaus, t.y., išardyti

apvalias dešimtis

3

30 – 14 = 26 Iš apvalių dešimčių atimant

dviženklį skaičių, atima tik vienetus

8

30 – 14 = 17 Neįsisavinęs dešimtainės skaičių

sandaros

1

30 + 14 = 44 Neteisingai parinktas veiksmas 1

46

Kaip matome, spręsdami pirmąjį klausimyne pateiktą tekstinį uždavinį, suklydo tik du

mokiniai – jie padarė skaičiavimo klaidą. Likę aštuoniolika mokinių šį uždavinį išsprendė

teisingai. Skaičiaus padidinimo keliais vienetais uždavinius I klasės mokiniai moka puikiai. Šį

tekstinį uždavinį, visi dvidešimt klasės mokinių išsprendė teisingai.

Liekanos (skirtumo) radimo uždavinį teisingai išsprendė keturi I klasės mokiniai, trys –

šio uždavinio visiškai nesprendė, o trylika – spręsdami darė klaidas.

Kaip matome, ir šio tipo uždavinius I klasės mokiniai supranta, puikiai geba užrašyti

sprendimą, tačiau klysta apskaičiuojant veiksmus. Todėl galime teigti, kad skaičiavimo klaidos –

tai pagrindinė priežastis, dėl ko I klasės mokiniai neteisingai išsprendžia tekstinius uždavinius.

7 lentelė

II klasėje išspręstų tekstinių uždavinių klaidos



skaičius

44 – 28 = 33

44 – 28 = 20

44 – 28 = 10

44 – 28 = 26

44 – 28 = 22

Nemoka apskaičiuoti dviženklių

skaičių skirtumo, kai turinyje,

vienetų skyriuje skaitmuo didesnis

už atėminio vienetų skyriuje esantį

skaitmenį

6

44 – 28 = 24 Reiškinį apskaičiuoja taip, kaip

lengviau, t.y., pirma atima dešimtis,

o po to iš didesnio vienetų skyriuje

esančio skaičiaus atima mažesnį

1

44 – 15 = 28

44 – 16 = 28

44 – 10 = 28

Mintinai išsprendus uždavinį ir po

to užrašant veiksmą sumaišyti

skaičiai vietomis

3

2. Kelių lygių dėmenų sumos radimo uždavinys

6 · 3 = 20

6 · 3 = 16

Nemoka daugybos lentelės 2

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 Sudėdami 5 vienodus veiksmo

komponentus neprideda vieno

skaitmens, nesinaudoja daugybos

lentele

2

6 · 2 = 6 Neįsiskaito tekstinio uždavinio 1

3 + 6 = 9

6 : 2 = 3

Neteisingai parinktas veiksmas 3

3. Skirtuminio palyginimo uždavinys

4 · 9 = 33

4 · 9 = 12

9 + 9 + 9 + 9 = 38

Nemoka daugybos lentelės, ja

nesinaudoja

3

1) ? Atliktas tik vienas veiksmas,

neapskaičiavo kiek turėjo iš viso?

1

7 · 9 ... Dėl neatidumo parašytas skaičius,

kurio uždavinio sąlygoje nėra

1

1) 4 + 9 = 13 2) …

1) ... 2) 36 + 12 = 48

Neteisingai parinktas veiksmas 6

47

Iš lentelėje pateiktų duomenų matome, kad kaip ir I, taip ir II klasės mokiniai liekanos

(skirtumo) radimo uždavinius supranta, geba teisingai užrašyti sprendimą (žr. 7 lentelę).

Pagrindinė klaidų priežastis – nėra puikiai įsisavinę skaičių sandaros 100 ribose ir negeba

apskaičiuoti skirtumo, kai turinio antrasis skaitmuo mažesnis už atėminio antrąjį skaitmenį. Šį

uždavinį dešimt mokinių išsprendė puikiai.

Antrąjį klausimyne pateiktą tekstinį uždavinį dvylika mokinių išsprendė teisingai, likę

aštuoni darė skaičiavimo klaidas. Išanalizavus šio uždavinio sprendimuose padarytas klaidas,

paaiškėjo, kad spręsdami šio tipo uždavinius, mokiniai klysta, parinkdami tinkamą sprendimo

veiksmą, nes neatpažįsta uždavinio tipo ir nemoka daugybos lentelės.

Trečio tipo uždavinyje padarytos klaidos ir jų priežastys parodo, kad apskaičiuoti

dviveiksmius tekstinius uždavinius, kai reikia palyginti skirtumą, II klasės mokiniams sekasi

sunkiau. Teisingai šį uždavinį išsprendė tik šeši mokiniai, trys mokiniai šio uždavinio visiškai

nesprendė.

Analizuojant III klasės klaidas, kurios daromos sprendžiant tekstinius uždavinius

(žr. 8 lentelę), paaiškėjo, kad kaip ir II, taip ir šioje klasėje sunkiau sekasi spręsti sudėtinius

tekstinius uždavinius.

8 lentelė

III klasėje išspręstų tekstinių uždavinių klaidos

1. Sumos radimo + liekanos (skirtumo) radimo uždavinys


skaičius

600 – 355 = 255 Atliekant atimties veiksmą pamiršta

apie pasiskolintą dešimtį

1

Nėra 1 veiksmo

Nėra 2 veiksmo

Atliktas tik vienas veiksmas 2

1) 600 – 175 = 435

2) 600 – 180 = 420

3) 600 – 420 = 280

4) 280 – 435 = 855

Nemoka spręsti sudėtinio tekstinio

uždavinio, t.y., nežino su kokiais

skaičiais kokius veiksmus atlikti

1

2. Proporcingosios dalybos uždavinys

20 : 4 = 4

30 : 4 = 8

Nemoka daugybos lentelės

2

30 : 4 = 8 Neteisingai užrašytas uždavinio

sprendimo dalinys

1

3. Skaičiaus dalies radimo + skaičiaus padidinimo keliais vienetais uždavinys

Nėra 4 veiksmo

Nėra 2 – 4 veiksmų

Užrašyti ir atlikti ne visi uždavinio

sprendimo veiksmai

3

Pirmąjį klausimyne pateiktą tekstinį uždavinį III klasės mokiniai spręsti moka, supranta

tekstinio uždavinio sąlygą ir geba užrašyti sprendimą. Pagrindinė šiame uždavinyje dariusių

mokinių klaida – neįsiskaitė tekstinio uždavinio sąlygos, todėl atliko ne visus veiksmus arba

atliko ne tuos veiksmus, kuriuos reikėjo. Tačiau šešiolika III klasės mokinių šį uždavinį išsprendė

teisingai, todėl galime daryti prielaidą, kad šio tipo uždavinius trečiokai spręsti moka.

Proporcingosios dalybos uždavinį be klaidų išsprendė septyniolika mokinių ir trys

mokiniai šio uždavinio visiškai nesprendė. Du mokiniai, spręsdami šį uždavinį, darė klaidų.

Vienas mokinys neteisingai užrašė uždavinio sprendimo dalinį ir neteisingai apskaičiavo dalmenį.

Priežastis – nemoka daugybos lentelės.

48

Kaip ir pirmame klausimyno tekstiniame uždavinyje, taip ir trečiame pagrindinė klaida –

užrašyti ne visi veiksmai, t.y., uždavinys išspręstas ne iki galo.

IV klasės mokiniai puikiai moka spręsti nežinomo dėmens radimo uždavinius ir geba jų

sprendimą užrašyti lygtimi. Tokiu būdu uždavinį sprendė trylika mokinių. Kitų dviejų tipų

uždavinius spręsti sekėsi sunkiau (žr. 9 lentelę).

9 lentelė

IV klasėje išspręstų tekstinių uždavinių klaidos

1. Nežinomo dėmens radimo uždavinys


skaičius

Neteisingai apskaičiuotas skirtumas

stulpeliu, nes pamiršta atimti

pasiskolintas dešimtis (a), nes

pamiršta apie pasiskolintą dešimtį

ir nežino skaičiaus 15 sandaros

2

2. Kelių lygių dėmenų sumos radimo + talpos dalybos uždavinys

Neteisingai apskaičiuotas dalybos

veiksmas kampu, nes neteisingai

parinko daugiklį iš kurio bus

dauginamas daliklis

1

Nėra 2 veiksmo Atliktas tik vienas uždavinio

sprendimo veiksmas

1

48 · 3 = 144

48 : 3 = 16

156 - 48

Neįsiskaitė uždavinio sąlygos, todėl

neteisingai parinktas sprendimo

veiksmas ir skaičiai

4

3. Skaičiaus radimo iš vienos jo dalies uždavinys

123 : 4 Ieškojo ne to skaičiaus dalies ir

atliktas tik vienas uždavinio

sprendimo veiksmas

5

Dėl neatidumo užmiršta koks

aritmetinis veiksmas

apskaičiuojamas

1

592 : 123 = 4 Neįsiskaitė tekstinio uždavinio

sąlygos, todėl neteisingai užrašė

antrą sprendimo veiksmą

1

Antrasis anketoje pateiktas uždavinys reikalauja dviveiksmio sprendimo. Pirmiausia

reikia apskaičiuoti, kiek buvo iš viso? ir tuomet – kiek telpa? Keturiolika mokinių šį uždavinį

atliko teisingai. Kiti klydo užrašydami sprendimą. Tai rodo, kad sprendžiant dviveiksmius

tekstinius uždavinius, mokiniams kyla sunkumų, nes neišanalizuoja tekstinio uždavinio sąlygos,

t.y., nėra įsisavinę tokių tekstinių uždavinių sprendimo strategijos.

Sunkiausiai IV klasės mokiniams sekėsi apskaičiuoti skaičiaus radimo iš vienos jo dalies

uždavinį. Teisingai šį uždavinį apskaičiavo tik šeši klasės mokiniai. Tai rodo, kad sunkumus,

49

sprendžiant tokius uždavinius, sudaro ne tik tai, kad reikia apskaičiuoti dviem veiksmais, bet ir

trupmeniniai skaičiai.

V klasėje buvo pateikti du nežinomo dėmens radimo uždaviniai. Vienas, kai

apskaičiuojama sudėties veiksmu, kitas – atimties veiksmu. Apskaičiuojant pirmąjį tekstinį

uždavinį,V klasės mokiniams sunkumų nekilo ir visi jį išsprendė teisingai (žr. 10 lentelę).

10 lentelė

V klasėje išspręstų tekstinių uždavinių klaidos

2. Nežinomo dėmens radimo uždavinys (skaičiuojama atimties veiksmu)


skaičius

28 – 17 = x Nemoka taikyti lygčių sprendimo

principų, kai ieškoma turinio

7

Turėtų rašyti: x – 17 = 28

Rašo: 28 – 17 = 11

Remiantis tekstinio uždavinio

sąlyga, neteisingai sudaro lygtį, nes

nežino aritmetinių veiksmų

komponentų pavadinimų

1

3. Dviejų ar kelių lygių dėmenų sumos radimo uždavinys

10 + n = 20

10 · 10 = 100

10 + n = 10

10 + n = n

10 + n = x

Nemoka spręsti tekstinio uždavinio

su skaitiniais ir raidiniais simboliais

(neteisingai užrašo veiksmą,

neteisingai apskaičiuoja)

9

Spręsdami antrąjį šio tipo uždavinį, suklydo aštuoni mokiniai. Iš lentelėje pateiktų

duomenų matome, kad atsiranda nauja tekstinių uždavinių sprendimo klaidų sritis. Paaiškėjo, kad

mokiniams sunkiai sekasi tekstiniai uždaviniai, kurių sprendimą reikia užrašyti lygtimi. Tai rodo,

kad mokiniai nemoka atsiriboti nuo įprastos tekstinio uždavinio formuluotes ir įprastų sprendimo

principų. Tai patvirtina ir trečiasis tekstinis klausimyno uždavinys. Šį uždavinį teisingai išsprendė

tik penki mokiniai, šeši mokiniai šio uždavinio nesprendė, o devyni mokiniai nemoka spręsti

tekstinių uždavinių, kai sąlygoje yra tik vienas natūralusis skaičius ir vienas raidinis simbolis.

Keturiolika VI klasės mokinių (žr. 11 lentelę) nežinomo dėmens radimo uždavinį

išsprendė teisingai, du jo iš viso neskaičiavo ir penki skaičiuodami darė klaidas. Pagrindinė

klaida, kurią darė šeštokai, spręsdami šį uždavinį, tokia pat, kaip ir V klasės mokinių (žr. 10

lentelę) – negeba spręsti tekstinių uždavinių su raidiniu simboliu. Spręsdami antrąjį anketos

uždavinį, VI klasės mokiniai nemokėjo teisingai sudaryti uždavinio sprendimo veiksmo, nes

neatkreipia dėmesio į uždavinio sąlygoje pateiktus raktinius žodžius, šiuo atveju ,,du kartus

daugiau“. Taigi, klaidingai šį uždavinį išsprendė du mokiniai, visai jo nesprendė penki mokiniai,

o trylika mokinių skaičiaus radimo iš vienos jo dalies uždavinį išsprendė puikiai.

Liekanos (skirtumo) radimo uždavinius VI klasės mokiniai spręsti moka, teisingai užrašo

sprendimą, tačiau daro klaidas apskaičiuodami. Galime daryti prielaidą, kad taip yra dėl to, jog

sąlygoje pateikiami skaičiai yra mišrieji. Apskaičiudami tokį uždavinio sprendimą, mokiniai

nemoka aritmetinių veiksmų atlikimo principų su šiais skaičiais, tai mes jau išsiaiškinome,

analizuodami pirmąją anketos užduotį su aritmetiniais veiksmais.

50

11 lentelė

VI klasėje išspręstų tekstinių uždavinių klaidos

1. Nežinomo dėmens radimo uždavinys


skaičius

(3 + 2 + 5) · a = ?

Nemoka spręsti tekstinio uždavinio

su skaitiniais ir raidiniais simboliais

(neteisingai užrašo veiksmą,

neteisingai apskaičiuoja)

3

,, Negalima nustatyti, nes nežinom kam

lygus a”

Nemoka tekstinio uždavinio

sprendimą užrašyti lygtimi

1

2. Skaičiaus radimo iš vienos jo dalies uždavinys

30 : 2 = 15

30 : 3 · 2 = 20

Nemoka apskaičiuoti skaičiaus

dalies, nes nežino su kokiais

skaičiais reikia atlikti aritmetinį

veiksmą

2


Nemoka apskaičiuoti aritmetinių

veiksmų su trupmenomis

4

Remiantis gautais duomenimis sudaryta schema, kurioje pateikiama, kaip I–VI klasės

pasiskirstė pagal daromų klaidų skaičių (16 pav.). Klasės surašytos pagal daromų klaidų skaičių

mažėjimo tvarka. Rodyklėmis pavaizduota, kaip sudaroma bendrų klaidų diagramos dalis.

16 pav. I–VI klasių pasiskirstymas pagal daromų klaidų skaičių

Apibendrindami gautus rezultatus iš tekstinių užduočių analizės galime teigti, kad I

klasėje paprastųjų tekstinių uždavinių sprendimo pagrindai jau yra suformuoti,mokiniai moka

parinkti veiksmą, kai uždavinio sąlygoje vartojami žodžiai ,,daugiau“, ,,mažiau“ ar kai reikia

rasti skirtumą.

51

II klasės mokiniai vienveiksmių tekstinių uždavinių sprendimo principus žino, geba juos

taikyti. Sunkiau sekasi spręsti dviveiksmius tekstinius uždavinius dėl to, kad negeba teisingai

užrašyti uždavinio sprendimo. Pusę šiame uždavinyje padarytų klaidų sudarė skaičiavimo

klaidos, tai rodo, kad nėra puikiai išlavinti aritmetiniai įgūdžiai su dalybos ir daugybos

veiksmais.

III klasės tekstinių uždavinių analizė parodė, kad dar nėra iki galo susiformuotos

sudėtinių tekstinių uždavinių sprendimo strategijos. Sprendžiant tekstinius uždavinius, labiau

išryškėja būtent šios grupės klaidos, sprendžiant tekstinius uždavinius –skaičiavimo klaidų III

klasėje daroma mažiau.

IV klasės tekstinių uždavinių sprendimo rezultatai parodė, kad mokiniams sunkiausia

spręsti tekstinius uždavinius su dviem ir daugiau veiksmų bei trupmeniniais skaičiais. Vadinasi

IV klasėje dar nėra puikiai suformuoti dviveiksmių tekstinių uždavinių sprendimo principai, ypač

su trupmenomis.

V ir VI klasės tekstinių uždavinių analizė parodė, kad mokiniams trūksta įgūdžių iš

tekstinio uždavinio sąlygoje pateiktos informacijos atsirinkti uždavinio sprendimui reikiamus

duomenis. Kaip I klasėje, tai ir V–VI klasėse vėl daroma nemažai skaičiavimo klaidų. Taip yra

dėl to, kad nemoka aritmetinių veiksmų atlikimo principų su trupmeniniais skaičiais.

2.2.3. Veiksmų perstatomumo dėsnio taikymas, apskaičiuojant

reiškinius I–VI klasėje

Išanalizavus I klasės mokinių klausimyno 5 užduotį, paaiškėjo, kad reiškinius, kurių

apskaičiavimą palengvina veiksmų perstatomumo dėsnis, mokiniai sprendžia įvairiais būdais.

Pirmąjį reiškinį, kuris sudarytas iš dviejų dėmenų, pirmokai skaičiavo 4 būdais (17 pav.).

Skaičiavo

stulpeliu

20%

Taikė DSSPT

25%

Nemokėjo

taikyti DSSPT

20%

Neparodė

skaičiavimo

būdo

15%

Neatliko

20%

17 pav. Perstatomumo dėsnio taikymas I klasėje (reiškiniai su dviženkliais skaičiais)

Pirmojo reiškinio visiškai neskaičiavo 20 % mokinių, dar 15 % mokinių neužrašė

skaičiavimo būdo, todėl negalima nustatyti šių mokinių skaičiavimo strategijų. 20 % pirmokų

pasirinko skaičiavimo stulpeliu būdą. Iš dalies tokį skaičiavimą galėtume priskirti prie sudėties

perstatomumo dėsnio, nes skaičiuodami mokiniai pirmiausia atlieka veiksmą su skaitmenimis

esančiais vienetų skyriuje, o paskui – dešimčių skyriuje. Tačiau šis reiškinių reikšmių radimo

būdas atskirai buvo išskirtas todėl, kad norima parodyti, jog mokiniai naudoja ir tokį reiškinių

52

reikšmių apskaičiavimo būdą. Ketvirtadalis I klasės mokinių teisingai apskaičiavo šį reiškinį, nes

taikė dviženklių skaičių sudėties perstatomumo dėsnį (DSSPD), t.y., apskaičiuodami reiškinio

reikšmę atskirai sudėjo vienetų skyriaus skaitmenis ir dešimčių skyriaus skaitmenis ir apskaičiavo

jų bendrą sumą. Likę mokiniai bandė taikyti perstatomumo dėsnį, tačiau neteisingai. Duotus

skaičius jie paprasčiausiai apkeitė vietomis ir mintinai suskaičiavo, pvz., 23 + 32 = 32 + 23. Tai

reiškia, kad mokiniai neįžvelgė, jog sudėjus vienetus ir dešimtis atskirai, bendrą sumą

apskaičiuoti būtų lengviau. Puse taip skaičiavusių mokinių reiškinio reikšmę gavo neteisingą.

Antras užduoties reiškinys sudarytas iš dviženklio ir vienaženklių skaičių. Tokio tipo

reiškinį I klasės mokiniai sprendė 5 būdais (18 pav.).

Skaičiavo

stulpeliu

10% Taikė

perstatomumo

dėsnį

25%

Skaičiavo visus

veiksmus iš

eilės

10%

Nemokėjo

taikyti

perstatomumo

dėsnio

25%

Neparodė

skaičiavimo

būdo

15%

Neatliko

15%

18 pav. Perstatomumo dėsnio taikymas I klasėje ( reiškiniai su dviženkliais ir vienaženkliais

skaičiais)

Stulpeliu skaičiavo 10 % mokinių iš kurių puse apskaičiavo neteisingai, priežastis –

nepridėtos naujai susidariusios dešimtys. Kaip ir I reiškinyje, taip ir šiame 25 % mokinių taikė

perstatomumo dėsnį, tačiau 5 % apskaičiavo neteisingai, nes nežino skaičių sandaros

dešimtainėje sistemoje. Analizuojant, kaip mokiniai apskaičiavo antrąjį reiškinį, išryškėjo dar

vienas skaičiavimo būdas – skaičiuoja visus veiksmus iš eilės. Taip skaičiuodami pusė mokinių

klydo, nes dėl silpnai suformuotų skaičių sandaros vaizdinių negeba apskaičiuoti teisingo

atsakymo.

Skaičiavo

stulpeliu

5%

Taikė

perstatomumo

dėsnį

55%Skaičiavo visus

veiksmus iš

eilės

5%

Neparodė

skaičiavimo

būdo

20%

Neatliko

15%

19 pav. Perstatomumo dėsnio taikymas I klasėje (reiškiniai su vienaženkliais skaičiais)

53

I klasės mokinių perstatomumo dėsnio taikymas trečiame reiškinyje pavaizduotas 19

paveikslėlyje.

Spręsdami šį reiškinį, net 55 % mokinių taikė perstatomumo dėsnį. Galime daryti

prielaidą, kad taip yra dėl to, kad veiksmus su vienaženkliais skaičiais atlikti pirmokams

lengviau. 5 % visus veiksmus atliko iš eilės, tačiau neteisingai. Tai rodo, kad jau I klasėje būtina

skatintini mokinius ieškoti lengviausio reiškinių sprendimo būdo ir jį taikyti.

Išanalizavus I klasės penktąją užduotį paaiškėjo, kad I mokiniai nelinkę taikyti

perstatomumo dėsnį, dauguma renkasi ir kitus skaičiavimo būdus. Tai padėjo nustatyti užduoties

formuluotė, kurioje rašoma, kad apskaičiuojant reiškinius galima pasirinkti būdą, kuris mokiniui

yra lengviausias. Remdamiesi gautais rezultatais, galime teigti, kad pirmokai negeba iš reiškinio

nustatyti, kokiu būdų būtų jį lengviausia apskaičiuoti. Taip pat matome, kad perstatomumo dėsnį

sunkiausiai sekasi taikyti reiškiniuose su dviženkliais skaičiais. II klasės 5 užduoties pirmuoju reiškiniu buvo siekiama išsiaiškinti, ar mokiniai geba

vienodų dėmenų sumą pakeisti daugybos veiksmu. Paaiškėjo, kad beveik pusė (20 pav.) II klasės

mokinių ( 40 %) tikrai geba sudėties veiksmą pakeisti daugyba. Dar 10 % antrokų bandė taikyti šį

apskaičiavimo būdą, tačiau nesėkmingai. Neteisingai užrašė skaitmenį, kuris nurodo vienodų

dėmenų skaičių. Ketvirtadalis antrokų reiškinį apskaičiavo taip, kaip jis buvo pateiktas anketoje,

t.y., visus skaičius sudėjo. Remdamiesi tokiais duomenimis, galime teigti, kad, baigdami antrą

klasę, vaikai dar nėra iki galo įsisavinę sudėties ir daugybos veiksmų ryšio ir nemoka vieno iš

perstatomumo dėsnio principų – sutraukti panašiuosius narius.

Moka sudėtį

pakeisti

daugyba

40%

Nemoka

sudėties

pakeisti

daugyba

10%

Skaičiuoja eilute

sudedant

25%

Neparodė

skaičiavimo

būdo

20%

Neatliko

5%

20 pav. Vienodų dėmenų sumos keitimas daugybos veiksmu II klasėje

2 ir 3 reiškinių duomenys pateikti vienoje lentelėje (21 pav.), nes jie yra panašaus tipo, tik

viename reiškinyje daugybos veiksmas priekyje, o kitame – gale. Išanalizavus šiuos reiškinius

paaiškėjo, kad 60 % II klasės mokinių moka ir taiko perstatomumo dėsnį, tačiau pusė iš jų

neteisingai apskaičiuoja galutinį atsakymą dėl skaičiavimo sunkumų, pvz., nemoka daugybos

lentelės, apskaičiuoja ne visą reiškinį, suklysta dešimčių skyriuje, apskaičiuodami sumą. Kaip

matome, kartojasi klaidos, kurias išsiaiškinome analizuodami pirmąją klausimyno užduotį, todėl

galime teigti, kad pagrindinė visų klaidų priežastis – nepakankamai išlavinti skaičiavimo

įgūdžiai. Ketvirtadalis II klasės mokinių nemoka taikyti perstatomumo dėsnio. Dauguma vaikų

žino, kad pirmiausia reikia atlikti daugybos veiksmą, taigi, apskaičiavę sandaugą, reiškinio

veiksmus atlieka iš eilės. 15 % mokinių šių dviejų reiškinių visiškai nesprendė.

54

Moka ir taiko

perstatomumo

dėsnį

30%

Neteisngai

apskaičiuoja

galutinį

atsakymą

30%

Nemoka taikyti

perstatomumo

dėsnio

25%

Neatliko

15%

21 pav. perstatomumo dėsnio taikymas II klasėje

Apibendrindami II klasės rezultatus galime teigti, kad antrokai daugiau taiko

perstatomumo dėsnį nei pirmokai, tačiau didelė dalis mokinių šio dėsnio visai nemoka, t.y.,

nežino, kokia tvarka reikia atlikti aritmetinius veiksmus, kai reiškinyje jų yra daugiau nei vienas.

Taip pat pastebime, kad II klasės mokiniai taiko tik du reiškinių sprendimo būdus, kuriuos taikė

ir pirmokai – apskaičiuojama taikant perstatomumo dėsnį ir apskaičiuojama visus veiksmus iš

eilės.

III klasės klausimyno 5 užduoties pirmas reiškinys buvo sudarytas iš aritmetinių veiksmų

ir skliaustų (22 pav.). Pasirodo, kad III klasėje tokio tipo uždavinius mokiniai sprendžia labai

gerai. 90 % mokinių šį reiškinį apskaičiavo be klaidų, 5 % šio reiškinio neskaičiavo, o 5 % visus

veiksmus atliko teisinga tvarka, tik gavo klaidingą atsakymą apskaičiuodami veiksmus

skliaustuose. Vadinasi, sprendžiant tokio tipo reiškinius III klasės mokiniams sunkumų nekyla.

Moka ir taiko

perstatomumo

dėsnį

90%

Neteisngai

apskaičiuota

5%

Neatliko

5%

22 pav. Perstatomumo dėsnio taikymas III klasėje, kai reiškinyje yra skliaustai

55

Skritulinėje diagramoje (23 pav.) pateikti duomenys rodo, kad III klasės mokiniai

geba taikyti perstatomumo dėsnį, apskaičiuojant reiškinius su dviem ir daugiau nevienodų

aritmetinių veiksmų. Klaidų, kurias trečiokai darė daugiausiai, priežastis – neteisingai

apskaičiuoti veiksmai, pvz., nemoka dauginti stulpeliu ar sudėdami klysta dešimčių skyriuje. Tik

5 %, skaičiuodami šiuos reiškinius, nemoka perstatomumo dėsnio principų.

Moka ir taiko

perstatomumo

dėsnį

75%

Neteisngas

galutinis

atsakymas

10%

Maišo veiksmų

atlikimo tvarką

5%

Nemoka

sudėties

stulpeliu

5%

Neatliko

5%

23 pav. Perstatomumo dėsnio taikymas III klasėje, kai reiškinyje yra du ir daugiau

veiksmų

Apibendrindami gautus rezultatus galime teigti, kad III klasės mokiniai moka taikyti

perstatomumo dėsnį ir jį taiko. Žino kokia tvarka atlikti veiksmus reiškinyje, moka reiškininius

apskaičiuoti lengvesniu būdu, t.y., taiko sudėties perstatomumo ir jungimo dėsnius.

Moka ir taiko

perstatomumo

dėsnį

90%

Apskaičiuoti ne

visi reiškinio

veiksmai

5%Maišo veiksmų

atlikimo tvarką

5%

24 pav. Perstatomumo dėsnio taikymas IV klasėje, kai reiškinyje yra skliaustai

IV klasės mokinių 5 užduoties pirmojo reiškinio analizė parodė (24 pav.), kad ketvirtokai

moka nustatyti veiksmų eiliškumą reiškinyje ir geba apskaičiuoti kiekvieną reiškinio veiksmą.

56

Tik 10 % mokinių šį reiškinį apskaičiavo neteisingai. To priežastys buvo dvi: neteisingai

nustatyta veiksmų atlikimo tvarka ir praleistas vienas reiškinio veiksmas. Kaip matome,

sprendžiant reiškinius su skliaustais, IV klasės mokiniams sunkumų nekyla.

Apskaičiuodami antrąjį reiškinį, IV klasės mokiniai perstatomumo dėsnį taikė 100 %,

tačiau 30 % iš jų darė skaičiavimo klaidas (25 pav.).

Pakeistas

vienas veiksmas

50%

Pakeistas vieno

dauginamojo

skaitmuo

50%

25 pav. Skaičiavimo klaidų pasiskirstymas taikant perstatomumo dėsnį IV klasėje

Pateiktoje diagramoje matome, kad buvo daromos dviejų tipų skaičiavimo klaidos. Šios

klaidos yra panašaus pobūdžio ir padarytų klaidų dalys skaičiuojant procentais pasiskirstė

vienodai. Atsižvelgdami į padarytas klaidas, galime teigti, kad pagrindinė šių klaidų priežastis –

dėmesio stoka.

Trečiąjį uždavinio reiškinį IV klasės mokiniams apskaičiuoti sekėsi sunkiausiai (26 pav.).

Tik 20 % mokinių šį reiškinį apskaičiavo teisingai. 30 % mokinių šio reiškinio neskaičiavo.

Likusieji 50 % ketvirtokų, apskaičiuodami reiškinius, darė klaidų.

Darė keletą

klaidų

10%

Atlikti ne visi

veiksmai

5%

Nemoka taikyti

perstatomumo

dėsnio

15%

Padarytos

skaičiavimo

klaidos atimant

5%

Padarytos

skaičiavimo

klaidos

dauginant

15%

Moka ir taiko

perstatomumo

dėsnį

20%Neatliko

30%

26 pav. Perstatomumo dėsnio taikymas daugiaveiksmiame rinkinyje IV klasėje

57

Kaip matome iš diagramoje pateiktų duomenų, viena iš rečiausiai daromų klaidų – ne visų

aritmetinių veiksmų atlikimas. Toks pat procentas mokinių klydo, apskaičiuodami reiškinio

skirtumą. Šios klaidos priežastis – pamirštama apie pasiskolintas dešimtis. 10 % mokinių

skaičiuodami šį reiškinį, darė po kelias klaidas, t.y., neteisingai apskaičiavo sandaugas,

skaičiavimai atlikti klaidinga veiksmų tvarka ir apskaičiuoti ne visi reiškinio veiksmai. 15 % IV

klasės mokinių nemokėjo taikyti perstatomumo dėsnio, pvz., apskaičiuodami aritmetinius

reiškinio veiksmus, pusės reiškinio aritmetinių veiksmų tvarką nustatė gerai, o pusės atliko iš

eilės. Tokia pat dalis mokinių, apskaičiuodami reiškinį, darė skaičiavimo klaidas daugindami. Tai

įrodo, kad IV klasės mokiniams kyla sunkumų atliekant daugybos veiksmus.

Apibendrindami IV klasės 5 užduoties analizės duomenis galime teigti, kad perstatomumo

dėsnį taikyti mokiniai moka tuose reiškiniuose, kurie sudaryti iš trijų aritmetinių veiksmų. Jeigu

pateikiamas reiškinys, kuris sudarytas iš daugiau aritmetinių veiksmų (šiuo atveju penkių) ir jų

įvairovė didesnė, dauguma mokinių tokio reiškinio nebeapskaičiuoja, t.y., apskaičiuoja

neteisingai.

Analizuojant penktokų klaidas penktoje užduotyje, paaiškėjo, kad beveik pusė mokinių

šią užduotį atliko be klaidų (27 pav.). Tai rodo, kad ši mokinių dalis puikiai geba pritaikyti

perstatomumo dėsnį, taikant visas jo taisykles. Tokia pat mokinių dalis neteisingai apskaičiavo du

reiškinius, o 20 % mokinių neteisingai apskaičiavo vieną reiškinį. Remdamiesi šiais duomenimis,

galime teigti, kad V klasės mokiniai geba reiškiniuose taikyti perstatomumo dėsnį. Kaip matome

nė vienas mokinys šios užduoties nepaliko neišspręstos.

Du teisngi

20%

Visi teisngi

40%

Vienas teisngas

40%

27 pav. Perstatomumo dėsnio taikymas V klasės anketoje pateiktuose reiškiniuose

Siekiant išsiaiškinti, kokios klaidos dažniausiai daromos reiškiniuose, taikant

perstatomumo dėsnį, buvo sudaryta schema (28 pav.). 65 % schemoje pavaizduotas klaidas darę

mokiniai perstatomumo dėsnį taikyti moka, tačiau, apskaičiuodami reiškinius, darė skaičiavimo

klaidų. 20 % klaidų sudaro nemokėjimas taikyti perstatomumo dėsnio. 15 % padarytų klaidų

negalime priskirti nei tiems mokiniams, kurie taiko perstatomumo dėsnį, nei tiems, kurie netaiko,

nes neaišku, kokiu būdu buvo apskaičiuotas reiškinys. Neteisingi atsakymai galėjo būti gauti dėl

to, kad padarė skaičiavimo klaidų, arba dėl to, kad nemoka taikyti perstatomumo dėsnio. 30% V

klasės mokinių padarytų klaidų sudaro pakeistas aritmetinio veiksmo ženklas, vadinasi, keičiasi ir

atsakymas. 15% mokinių klaidų sudarė neteisingai apskaičiuotas dalmuo, t.y. 15 : 5 = 5.

Remdamiesi tokiu pavyzdžiu, galime daryti prielaidą, kad V klasėje mokiniai dar nėra iki galo

58

įsisavinę daugybos lentelės. Atidumo klaida diagramoje buvo įvardinta kaip neteisingai

apskaičiuota suma, pvz., 3 + 20 = 60.

Neteisingai

apskaičiuotas

dalmuo

15%

Neteisngai

apskaičiuota

sandauga

15%

Atidumo klaida

5%Nenurodytas

skaičiavimo

būdas

15%

Nemoka taikyti

perstatomumo

dėsnio

20%

Pakeistas

reiškinio

veiksmas

30%

28 pav. Reiškinių perstatomumo klaidos V klasėje

Apibendrindami galime teigti, kad dauguma V klasės mokinių moka aritmetinių veiksmų

atlikimo tvarką ir supranta skliaustų prasmę reiškinyje. Didžiąją daromų klaidų dalį sudaro

skaičiavimo ir atidumo stokos klaidos.

Analizuojant VI klasės mokinių 5 užduotį, paaiškėjo, kad 80 % moka taikyti

perstatomumo dėsnį, tačiau reiškinius neteisingai apskaičiavo dėl kitų priežasčių (29 pav.).

Atidumo klaida

5%Nebaigta

apskaičiuoti

5%Natūraliųjų

skaičių suma

10%

Veiksmai su

paprastosiomis

trupmenomis

10%

Veiksmai su

dešimtainėmis

tupmenosmis

70%

29 pav. Reiškinių perstatomumo klaidos VI klasėje

Diagramoje pateikti duomenys, kurie rodo šeštokų padarytų klaidų dalis procentais.

Matome, kad didžiausią klaidų dalį sudarė sunkumai atliekant veiksmus su dešimtainėmis

trupmenomis. Anksčiau išanalizuotose VI klasės užduotyse buvo nustatyta, kad aritmetiniai

veiksmai su trupmenomis – didelė problema, sprendžiant įvairaus tipo uždavinius. Grupuojant

šioje užduotyje padarytas klaidas, paaiškėjo, kad visi apskaičiavę reiškinius mokiniai (nors ir

59

klaidingai) moka ir taiko perstatomumo dėsnį, tačiau klaidos kitose matematikos srityse lemia

netesingus galutinius atsakymus. Pastebėta, kad sunkiausia mokiniams apskaičiuoti veiksmus, kai

reiškinyje yra dešimtainės ir paprastosios trupmenos. Remdamiesi šiuo teiginiu, galime manyti,

kad 20% mokinių neapskaičiavo paskutinio 5 užduoties reiškinio būtent dėl šios priežasties.

Remdamiesi VI klasės reiškinių pertvarkymo duomenų analizės rezultatais galime teigti,

kad VI klasės mokiniai geba atlikti daugiaveiksmius veiksmus su natūraliaisiais skaičiais taikant

perstatomumo dėsnį.

Apibendrinant I–VI klasių išanalizuotus duomenis, sudaryta diagrama, kuri parodo,

perstatomumo dėsnio taikymo kaitą (30 pav.). Iš apibendrintų rezultatų matome, kad silpniausiai

reiškinių perstatomumo įgūdžiai yra I klasės mokinių.

95%

95%

80%

75%

50%

43%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Nokinių skaičius procentais

I klasė

II klasė

IV klasė

V klasė

III klasė

VI klasė

30 pav. I–VI klasių mokinių perstatomumo dėsnio taikymo gebėjimai

Pastebėta, kad šie įgūdžiai gerėja kiekvienais metais, išskyrus IV klasėje. Šioje klasėje

daugiau klaidų daroma, nustatant veiksmų atlikimo eiliškumą, arba atliekami ne visi veiksmai.

Galime daryti prielaidą, kad to priežastis – reiškiniai su daugiau veiksmo komponentų. V klasėje

reiškinių su perstatomumo dėsniu rezultatai gerėja. Tai rodo, kad tokio tipo uždaviniai

mokiniams nėra sunkūs. Pagrindinė priežastis, dėl ko mokiniai neteisingai apskaičiuoja šiuos

uždavinius, – skaičiavimo klaidos. V–VI klasių analizės rezultatai įrodo, kad reiškinių

pertvarkymo įgūdžiai yra puikūs, tačiau pastebima kita problema, lemianti didžiąją dalį klaidų –

mokiniai negeba teisingai atlikti aritmetinių veiksmų su trupmenomis.

2.2.4. Lygčių sprendimo sunkumai I–VI klasėje

Lygčių mokymasis ir sprendimas ugdo mokinių suvokimą apie matematinės simbolikos

universalumą, t.y., matematinius modelius ir metodų pritaikymą įvairiose žmogaus veiklos srityse

(BP, 2008). Šeštosios užduoties analizė padės išsiaiškinti, kaip I–VI klasės mokiniai geba

apskaičiuoti nežinomą reikšmę, atlikdami įvairius aritmetinius veiksmus.

Analizuojant I klasės mokinių klaidas, (31 pav.) paaiškėjo, kad daugiausia klaidų,

apskaičiuojant nežinomojo reikšmę, daroma tada, kai lygtyje yra trys veiksmo komponentai. Šios

lygtys yra pateiktos kitokia forma nei įprastai, t.y., vietoj a + b – c = d parašyta d = a + b – c.

Tokią lygtį keturi I klasės mokiniai sprendė nuo pabaigos, pvz., 16 = 14 + 6 – 8. Kiti keturi šiose

lygtyse klaidas darę mokiniai klydo dėl skaičiavimo klaidų, pvz., 19 = 14 + 1 + 3.

60

Šeši mokiniai klydo, spręsdami lygtį, kai nežinomasis yra turinys. Šioje lygtyje jie darė

dvi klaidas.

1) Vieni mokiniai šią lygtį pradėjo skaičiuoti nuo galo ir vietoj nežinomojo reikšmės įrašė

apskaičiuotą skirtumą, pvz., 84 – 6 = 90. Tai rodo, kad pirmos klasės nemoka rasti lygties

sprendinio, kai nežinomasis yra turinys.

2) Kiti veiksmą lygties nežinomojo radimui parinko teisingai, tačiau padarė skaičiavimo

klaidų, pvz., 99 – 6 = 90.

1

6 6

1

8

3

4

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Mokinių

skaičius

Negeba rasti atėminio

Negeba rasti turinio

Negeba rasti dviženklio

dėmens

Negeba rasti vienaženklio

dėmens

Neapskaičiuoja kai 3

veiksmo komponentai

Be klaidų

Atliko ne visus

Neapskaičiavo nė vieno

31 pav. I klasės mokinių klaidos sprendžiant lygtis

Toks pat mokinių skaičius klydo, apskaičiuodami lygtis, kai nežinomojo reikšmė yra

dviženklis skaičius. Šioje lygtyje buvo daromos tokios pat dvi klaidos, kurias jau aptarėme.

Nepakankamai išlavinti skaičiavimo įgūdžiai lėmė dar dviejų mokinių padarytas klaidas,

t.y., neteisingai apskaičiuotas lygties sprendinys, kai nežinomasis yra atėminys ir kai nežinomasis

yra vienaženklis dėmuo.

Be klaidų visas lygtis apskaičiavo trys I klasės mokiniai, ne visus reiškinius apskaičiavo

keturi mokiniai, o visiškai neišsprendė nė vienos lygties vienas I klasės mokinys. Tai rodo, kad I

klasės mokiniai lygčių su vienu nežinomuoju spręsti nemoka, o jei nežinomojo reikšmę randa

spėjimo būdu, tokio sprendinio netikrina.

Analizuojant II klasės mokinių daromų klaidų priežastis, kurias daro spręsdami lygtis,

paaiškėjo, kad didžiąją dalį antrokų daromų klaidų sudaro skaičiavimo klaidos (32 pav.).

Skirtingai nei I klasėje, II klasės mokiniams kilo sunkumų apskaičiuojant nežinomą

atėminį. Apskaičiuojant tokios lygties sprendinį, buvo daromos skaičiavimo klaidos, pvz., 23 + 3

– 12 = 15. Ta pati klaidų priežastis buvo apskaičiuojant lygties nežinomąjį, kai jis yra turinys. Du

mokiniai neteisingai apskaičiavo dauginamąjį. Šių klaidų priežastis buvo – daugybos lentelė,

pvz., 5 · 5 = 20. Ketvirtadalis mokinių neteisingai apskaičiavo lygties sprendinį, kai nežinomasis

yra vienaženklis dėmuo. Spręsdami šią lygtį mokiniai darė dvi klaidas – veiksmus atliko iš galo

pakeisdami aritmetinio veiksmo ženklą arba neteisingai apskaičiavo sudarytą reiškinį. Iš

diagramoje pateiktų duomenų matome, kad II klasės mokiniams lygtis su trimis veiksmo

komponentais spręsti sekėsi geriau. Be klaidų šią užduotį atliko trys mokiniai.

61

6

7

2

5

3 3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

Mokinių

skaičius

Negeba rasti atėminio


Negeba rasti dauginamojo

Negeba rasti vienaženklio

dėmens

Neapskaičiuoja kai 3

veiksmo komponentai

Be klaidų

Atliko ne visus


32 pav. II klasės mokinių klaidos sprendžiant lygtis

Remdamiesi aptartais duomenimis, galime teigti, kad II klasės mokiniai moka spręsti

lygtis, geba parinkti tinkamą veiksmą rasti lygties sprendiniui, tačiau ne pakankamai išlavinti

skaičiavimo įgūdžiai kelia sunkumų teisingai apskaičiuoti nežinomojo reikšmę.

III klasėje visas lygtis be klaidų išsprendė tik trys mokiniai, todėl galime teigti, kad,

apskaičiuoti lygčių nežinojamąjį, šios klasės mokiniams yra sudėtinga (33 pav.).

Pagrindinės trečiokų daromos klaidos skiriasi nuo I ir II klasės mokinių. Pastebėta, kad III

klasėje dažniau klystama, parenkant aritmetinį veiksmą nežinomojo reikšmei apskaičiuoti, pvz.,

lygtį d – 256 + 256 = 187 sprendė taip: d = 256 – 187 = 315. Tai rodo, kad III klasės mokiniai

negeba sieti veiksmo komponentų ir rezultato. Spręsdami šią lygtį, kai kurie mokiniai

apskaičiavo ne visus aritmetinius veiksmus.

6

9

6

2

9

00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Mokinių

skaičius

Negeba rasti dėmens

Negeba rasti atėminio (kai

trys veiksmo

komponentai)

Negeba rasti daliklio

Be klaidų

Atliko ne visus


33 pav. III klasės mokinių klaidos sprendžiant lygtis

IV klasės mokiniai, apskaičiuodami nežinomąjį dėmenį, klysta parinkdami aritmetinį

veiksmą (34 pav.). Mokiniai pirmiausiai mokosi tokio tipo lygčių, todėl, baigdami pradinės

mokyklos programą, jau turėtų suvokti ryšį tarp veiksmo komponentų ir rezultato, tačiau matome,

62

kad šie IV klasės mokinių gebėjimai nėra pakankamai išlavinti. Siekiant išsiaiškinti, kaip

ketvirtokai sprendžia lygtis su trimis veiksmo komponentais, buvo nustatyta ta pati klaida, kaip

ir III klasėje, t.y., mokiniai atlieka ne visus aritmetinius veiksmus arba juos apskaičiuojant gauna

neteisingą atsakymą, pvz.,

X – 35 · 35 = 775

X = 35 · 35

X = 1225

4

11

1

10

2

9

0

4

0

2

4

6

8

10

12

Mokinių

skaičius


Negeba rasti atėminio (kai

trys veiksmo

komponentai)

Negeba rasti daliklio

Negeba rasti dauginamojo

Be klaidų

Atliko ne visus


Nebaigė apskaičiuoti

34 pav. IV klasės mokinių klaidos sprendžiant lygtis

Vienas mokinys suklydo, apskaičiuodamas nežinomą daliklį. Jis 180 padalinęs iš 6 gavo

120. Tai rodo, kad dėl neatidumo atliko ne dalybos, o atimties veiksmą. Analizuodami I–III

klasių klaidas, matėme, kad tik labai nedidelė mokinių dalis visas lygtis išsprendžia be klaidų, ta

pati problema yra ir IV klasėje.

Apibendrindami I–IV klasių rezultatus, galime teigti, kad, baigdami pradinę matematikos

mokymo programą, mokiniai nėra įsisavinę paprasčiausių lygčių sprendimo principų.

V–VI klasės klausimynuose pateiktos lygtys yra sudėtingesnės, t.y., jų sprendimas

reikalauja taikyti ne tik lygčių sprendimo principus, bet ir aritmetinius gebėjimus.

V klasės mokiniams buvo pateikta viena tiesinė lygtis. Šią lygtį aštuoniolika mokinių

išsprendė teisingai. Tai rodo, kad tiesines lygtis V klasės mokiniai spręsti moka. Kita penktokams

pateikta lygtis sudaryta iš tiesinės lygties ir aritmetinio veiksmo (kai reikia apskaičiuoti dalmenį),

pvz., x – 8 = 40 : 5. Aštuoni V klasės mokiniai šią lygtį išsprendė neteisingai. Trys iš jų

apskaičiavo tik dalmenį ir gautą atsakymą įrašė kaip lygties sprendinį, pvz., x = 40 : 5 = 8. Kiti

keturi mokiniai spręsdami šią lygtį neteisingai parinko sprendimo veiksmą. Tai rodo, kad V

klasės mokiniai nemoka spręsti lygčių, kai pirmiausiai reikia atlikti tuos veiksmus, kurie būtinį

norint pradėti spręsti lygtį. Dar dvi lygtys buvo pateiktos tokios pat, tik pakeisti skaičiai (vienoje

mažesni, kitoje didesni). Taip šios lygtys buvo sudarytos siekiant išsiaiškinti ar mokinių

daromoms klaidoms sprendžiant lygtis dideli skaičiai turi įtakos. Paaiškėjo, kad abiejų lygčių

visiškai nesprendė po tris V klasės mokinius, o neteisingai išsprendė po keturis V klasės

mokinius. Taigi, galime teigti, kad didesni skaičiai nėra priežastis, dėl ko lygčių nežinomieji

apskaičiuojami neteisingai. Tikrinant šias lygtis, buvo nustatyta, kad mokiniai negeba atpažinti

tiesinių lygčių ir taikant jų sprendimo principus apskaičiuoti nežinomąją reikšmę (35 pav.).

63

Išanalizavus visų penktokų lygčių sprendimo užduotį, paaiškėjo, kad šeši klasės mokiniai

visas lygtis apskaičiavo teisingai.

Apibendrindami duomenis galime teigti, kad V klasės mokiniams trūksta įgūdžių

apskaičiuoti lygtis su keliais aritmetiniais veiksmais.

7

2

10

6

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Mokinių

skaičius



Klydo apskaičiuojant su

trimis veiksmo

komponentais

Be klaidų

Atliko ne visus

35 pav. V klasės mokinių klaidos sprendžiant lygtis

Analizuojant, kaip VI klasės mokiniai sprendžia lygtis, buvo pastebėta, kad šeštokų

daromos klaidos skiriasi nuo kitose klasėse daromų klaidų (36 pav.). Buvo nustatytos kitos klaidų

priežastys. Keturi mokiniai, spręsdami lygtis su dviem ir trim nežinomaisiais, veiksmus atliko ne

su visais nežinomaisiais, pvz., lygtyje 4 · x + 7 · x + x = 480 nebuvo pridėta vienas nežinomasis

(+ x). Tai rodo, kad mokiniai geba apskaičiuoti x ir natūraliojo skaičiaus sandaugas ir jų sumą,

tačiau nebeprideda nežinomojo, kuris yra be skaičiaus.

4

1

2

4

2

1

7

5

0

1

2

3

4

5

6

7

Mokinių

skaičius

Sprendžiant lygtį praleistas

vienas nežinomasis

Neteisinga veiksmų atlikimo

tvarka

Atidumo klaida

Veiksmai su trupmenomis

Neteisngai apskaičiuotas

dalmuo

Neteisingai parinktas veiksmas

Be klaidų

Atliko ne visus

36 pav. VI klasės mokinių klaidos sprendžiant lygtis

64

Pastebėta, kad tik vienas VI klasės mokinys visus veiksmus lygtyje atliko iš eilės, t.y.,

nežiūrėjo, kokia tvarka turėjo būti atliekami aritmetiniai veiksmai. Du mokiniai klydo, darydami

atidumo klaidas. Šiai klaidų grupei buvo priskirtos šios klaidos: pirmoji klaida – kai mokinys

atlikdamas veiksmus su mišriosiomis trupmenomis apskaičiavo jų sveikąsias dalis, o trupmenines

dalis apskaičiuoti pamiršo, antroji klaida – kai apskaičiuodamas dešimtainių trupmenų sumą

vienos trupmenos dalies, kuri yra po kablelio, nepridėjo. Keturi mokiniai klydo, atlikdami

veiksmus su trupmenomis, t.y., nemokėjo apskaičiuoti mišriųjų trupmenų sumos. Sveikąsias

trupmenos dalis sudėjo teisingai, o paprastąsias trupmenas sudėjo neteisingai, nes trupmenų sumą

apskaičiavo, taikydami trupmenų daugybos taisyklę. Dar du mokiniai klydo, apskaičiuodami

dalmenį, pvz., x = 380 : 19 = 17. Tai rodo, kad ne visi VI klasės mokiniai moka geba apskaičiuoti

dalmenį kampu. Tik vienas mokinys, spręsdamas lygtį, neteisingai parinko veiksmą, kuriuo reikia

apskaičiuoti nežinomojo reikšmę. Daugiausiai šios klasės mokinių klaidas darė, spręsdami lygtis

su keliais nežinomaisiais ir lygtį su mišriosiomis trupmenomis. Penki mokiniai šių lygčių

nesprendė visai. Lygindami, kiek V–VI ir pradinių klasių mokinių teisingai išsprendė visas lygtis,

matome, kad pradinėse klasėse mokinių skaičius yra per pus mažesnis negu V–VI klasėse.

Remdamiesi tokiais duomenimis, galime teigti, kad VI klasės mokiniai lygtis spręsti moka,

žino jų sprendimo principus, taiko perstatomumo dėsnį. Pagrindinės klaidos sprendžiant lygtis

padaromos dėl to, kad nemoka atlikti veiksmų su trupmenomis.

Aptardami analizės duomenis, matome, kad IV klasės mokiniai dažniausia klaidų darymo

priežastis – neteisingai nustatytas aritmetinis veiksmas lygties nežinomajam rasti bei

nemokėjimas spręsti lygtis su daugiau nei dviem komponentais. V–VI klasės mokinių daugiausiai

daromų klaidų priežastis – įgūdžių atlikti aritmetinius veiksmus su trupmenomis stoka ir

negebėjimas sutvarkyti lygties su daugiau nei trimis komponentais.

Apbendrinant duomenis, sudaryta diagrama (37 pav.), kuri parodo I–VI klasių

pasiskirstymą pagal nemokančių taikyti lygčių sprendimo principų mokinių skaičių.

10

5

9

11

13

5

0 5 10 15

Mokinių skaičius

VI klasė

V klasė

IV klasė

III klasė

II klasė

I klasė

37 pav. I–VI klasių mokinių, klaidingai taikiusių lygčių sprendimo principus, kiekio

pasiskirstymas

Matome, kad išryškėja trys grupės, kuriomis remiantis, sudarytas matematikos mokymo

turinys Bendrosiose programose ir išsilavinimo standartuose: I–II klasė; III–IV klasė; V–VI

klasė. Diagramoje matome, kad pirmosios kiekvienos grupės klasės klaidų, spręsdamos lygtis,

65

daro daugiau, išskyrus III–IV klases. Remdamiesi tuo, galime daryti prielaidą, kad pagrindinė

priežastis, kodėl taip pasiskirstė duomenys – sudėtingesnės lygtys.

2.2.5. Klaidų, daromų sprendžiant nelygybes I–VI klasėje, priežastys

I klasės nelygybių analizė parodė, kad dauguma klasės mokinių nelygybes spręsti moka

puikiai. Kita klasės dalis klysta dėl įvairių priežasčių (38 pav.).

2

4

2 2

3

12

0

2

4

6

8

10

12

Mokinių

skaičius

Lygina ne skaičius, o

skaitmenis

Lygina ne reiškinio reikšmę, o

skaitmenis

Neteisngai apskaičiuoja

reiškinius

Lygina reiškinio aritmetinių

veiksmų ženklus

Išsprendė ne visas

Be klaidų

38 pav. I klasės mokinių klaidos sprendžiant nelygybes

Dvylika pirmokų visas nelygybes apskaičiavo teisingai. Spręsdami nelygybes, keturi

mokiniai lygino ne reiškinių reikšmes, o jų skaitmenis. Tai rodo, kad šie mokiniai spręsdami

nelygybes, kurių abiejuose pusėse yra reiškiniai, lygina ne tų reiškinių apskaičiuotus rezultatus, o

reiškinių skaitmenis, t.y., jei reiškinių skaičių skaitmenys yra vienodi, tai vadovaujasi tokia

logika, kad ir jų apskaičiuotos reikšmės bus vienodos. Arba lygina antruosius sumos dėmenis,

kurioje pusėje yra didesnis dėmuo, į tą pusę ir rašo ženklą >. Kita išskirta klaida, kurią darė

pirmokai, spręsdami nelygybes yra tokia pat kurią aptarėme, tik lyginami ne reiškiniai, o skaičiai.

Du I klasės mokiniai neteisingai palygino du skaičius, kurių skaitmenys vienodi, tik apkeisti

vietomis. Dar du mokiniai neteisingai įrašė nelygybės ženklą dėl to, kad klaidingai apskaičiavo

reiškinių reikšmes, pvz., 70 – 4 = 74. Tokia pat mokinių dalis, lygindami reiškinius, lygino ne jų

apskaičiuotas reikšmes, o reiškinių aritmetinius ženklus, pvz., jei reiškinyje parašytas ,,+“

ženklas, tai to reiškinio reikšmė bus didesnė. Trys mokiniai nelygybių su reiškiniais visiškai

neatliko.

Apibendrindami duomenis, galime teigti, kad dauguma I klasės mokinių nelygybes spręsti

moka, pažįsta nelygybės ženklus. Buvo nustatytos dvi pagrindinės klaidų priežastys:

1) lygina ne skaičius ar apskaičiuotas reiškinio reikšmes, o atskiras nelygybės dalis, t.y.,

aritmetinio veiksmo ženklus, skaitmenis;

2) neteisingai apskaičiuoja reiškinių reikšmes dėl nepakankamai išlavintų skaičiavimo

įgūdžių.

Iš lentelėje pateiktų duomenų matome, kad II klasės mokiniai, spręsdami lygtis, klaidų

darė nedaug (39 pav.).

66

1

2

3

1 1

12

2

0

2

4

6

8

10

12

Mokinių

skaičius


skaitmenis


reiškinius

Pakeičia aritmetinio veiksmo

ženklą

Nemoka daugybos lentelės


Be klaidų

Neatliko

39 pav. II klasės mokinių klaidos, sprendžiant nelygybes

Daugiausia mokinių klydo dėl neatidumo, t.y., apskaičiuodami nelygybės reiškinius,

pakeitė aritmetinio veiksmo ženklą, pvz., 32 – 2 + 5 > 44 + 1 – 10. Vienas mokinys darė tokią

pat klaidą kaip ir I klasės mokiniai – lyginio reiškinio skaitmenis. Pamatęs, kad tiek vienoje, tiek

kitoje nelygybės pusėje skaitmenys yra vienodi, parašė lygybės ženklą. Du mokiniai,

apskaičiuodami nelygybės reiškinius, gavo neteisingus atsakymus, o tai lėmė klaidingą abiejų

nelygybės pusių palyginimą. Vienas mokinys, lygindamas nelygybės puses, kur reikėjo

apskaičiuoti sandaugas, suklydo, nes nemokėjo daugybos lentelės. Be klaidų apskaičiavo daugiau

nei pusė II klasės mokinių (12), vienas mokinys pusė nelygybių nesprendė ir mokiniai šios

užduoties neatliko. Kadangi šių mokinių paskutinės trys užduotys yra neatliktos, tai galime teigti,

kad šie mokiniai per duotą laiką nespėjo atlikti visų užduočių.

Išanalizavus III klasės mokinių spręstas nelygybes (40 pav.), paaiškėjo, kad daugiausia

daroma skaičiavimo klaidų. Net aštuoni klaidingai šią užduotį atlikusių mokinių klydo,

apskaičiuodami šiuos nelygybių reiškinius:

425 + (425 + 74) ___ 425 + (427 + 76)

42 – (23 – 15) ___ 42 + 23 – 15

4

8

1 1

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Mokinių

skaičius


skaitmenis


reiškinius


ženklą

Neatsižvelgta į veiksmų

aritmetinius ženklus

Be klaidų

40 pav. III klasės mokinių klaidos sprendžiant nelygybes

67

Antra pagal dažnumą daroma klaida, kai mokiniai lygina reiškinio skaitmenis, o ne

apskaičiuotą reikšmę, pvz., 376 · 36 ___ 367 · 36. Pamatę tokią nelygybę, mokiniai pažiūri, kad

skaičių skaitmenys vienodi ir, tuo vadovaudamiesi, padeda lygybės ženklą. Taip šią nelygybę

apskaičiavo keturi mokiniai.

Vienas mokinys neteisingai išsprendė nelygybę, nes neatsižvelgė į jos reiškinių

aritmetinius ženklus, t.y., pamatęs vienodus skaičius, parašė lygybės ženklą. Dar vienas mokinys,

apskaičiuodamas reiškinius, pakeitė vieną aritmetinį ženklą ir dėl šios priežasties buvo

neteisingai palyginta nelygybė, kadangi pasikeitė vienos nelygybės pusės reikšmė. Visiškai be

klaidų šią užduotį atliko aštuoni III klasės mokiniai.

Analizuojant, kokie IV klasės mokiniams kyla sunkumai sprendžiant nelygybes paaiškėjo,

kad daugiausia klaidų buvo daroma toje nelygybėje, kurioje apskaičiavus abiejų nelygybės pusių

reiškinių reikšmes reikia palyginti ir įrašyti ženklą. Šioje nelygybėje klydo devyni vaikai (41

pav.). Pagrindinė klaidos priežastis – nebaigta apskaičiuoti antroji nelygybės pusė, t.y., iš gautos

sandaugos nuspręsta, kad tas lygybės pusės rezultatas didesnis. Vienas mokinys neteisingai

parašė nelygybės sprendinį, nes nežinojo koks skaičius yra didesnis už – 5. Sprendžiant

nelygybes, kartojosi ir kitų užduočių klaida – atliekant aritmetinius veiksmus buvo pakeistas

ženklas. Šią klaidą darė vienas mokinys. Aštuoni mokiniai visas lygtis išsprendė teisingai.

Visiškai šios užduoties neatliko vienas mokinys ir trys mokiniai šią užduotį atliko ne iki galo. Dar

vienas IV klasės mokinys nelygybes skaičiavo kaip lygtis, tačiau galutinio rezultato

neapskaičiavo.

1 1 1

9

6

1

3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Mokinių

skaičius

Negeba palyginti neigiamų

skaičių


ženklą

Nelygybė išspręsta kaip lygtis

Neatliktas vienas aritmetinis

veiksmas

Be klaidų

Neatliko


41 pav. IV klasės mokinių klaidos sprendžiant nelygybes

Analizuojant V klasės mokinių klaidas (42 pav.), kurias daro, spręsdami nelygybes,

paaiškėjo, kad daugiausia klaidų buvo padaryta tose nelygybėse, kur reikia palyginti jų

apskaičiuotas reikšmes, bei toje nelygybėje, kurioje yra du nežinomieji.

Apskaičiuodami pirmas dvi klausimyne pateiktas nelygybes, klydo septyni mokiniai.

Viena iš klaidų, kurią darė mokiniai, spęsdami šias nelygybes, – neatliktas vienas aritmetinis

veiksmas. Nelygybę 5 · (100 : 4) ___ (5 · 100) : 4 du mokiniai apskaičiavo taip: 5 · (25) ___ (.

Gavus tokius rezultatus, buvo nuspręsta, kad ta nelygybės pusė yra didesnė, kurioje apskaičiavę

gavo (500) : 4. Vadinasi, spręsdami nelygybes, mokiniai reiškinius apskaičiuoja ne iki galo, o

ženklą parašo spėjimo būdu. Keturi mokiniai neteisingai apskaičiavo vieną iš nelygybės reiškinių,

tai lėmė, kad buvo neteisingai palygintos abi reiškinio pusės. Dar viena šiuose reiškiniuose

68

nustatyta klaida – lyginama ne apskaičiuotos reiškinio reikšmės, o skaičiai, neatsižvelgiant į

aritmetinių ženklų vietą tuose reiškiniuose. Kaip matome, ši klaida kartojasi kiekvienoje klasėje.

1

2

4 4

1 1

3

7

1

0

1

2

3

4

5

6

7

Mokinių

skaičius

Nelygybė išspręsta kaip lygtis

Neatliktas vienas aritmetinis

veiksmas

Nepažįsta nelygybės ženklų

Neteisngai apskaičiuotas

reiškinys

Neatsižvelgta į veiksmų

aritmetinius ženklus

Suklysta dauginant

Nepatikrinta ar skaičius tenkina

nelygybę

Be klaidų


42 pav. V klasės mokinių klaidos sprendžiant nelygybes

Keturių mokinių klausimynuose buvo rasta dar viena klaida, kurią išanalizavus, buvo

nustatyta, kad šie mokiniai nepažįsta nelygybės ženklų. Prisiminę kitose klasėse daromas klaidas,

matome, kad šią klaidą padarė tik V klasės mokiniai. Vienas mokinys nelygybę 10 + x < 12

išsprendė kaip lygtį. Tai rodo, kad jis painioja, kas yra nelygybė ir kas yra lygtis. Šioje V klasės

užduotyje buvo pastebėta dažnai pasikartojanti visose užduotyse klaida – skaičiavimo klaida

dauginant. Ją padarė vienas mokinys. Trys mokiniai neteisingai apskaičiavo nelygybės sprendinį,

nes su gautąja reikšme nepatikrino ar nelygybė teisinga.

Visas nelygybes teisingai apskaičiavo septyni mokiniai, vienas mokinys apskaičiavo ne

visas, t.y., neapskaičiavo vienos nelygybės.

Trylika VI klasės mokinių nelygybes išsprendė be klaidų (43 pav.). Kiti septyni šeštokai

spręsdami nelygybes, darė tik po vieną klaidą.

2

4

1

13

0

2

4

6

8

10

12

14

Mokinių

skaičius

Nesuprasta kaip spręsti

nelygybę

Lygina ne sandaugas, o sumas

Neatpažįsta ženklų

Be klaidų

43 pav. VI klasės mokinių klaidos sprendžiant nelygybes

69

Keturi mokiniai klydo lygindami nelygybę, kur reikėjo apskaičiuoti sandaugas. Kadangi

sandaugų skaičių skaitmenys buvo vienodi, jas apskaičiuodami, mokiniai dauginamuosius sudėjo

ir gautas sumas palygino. Du mokiniai nesuprato, kaip išspręsti šią nelygybę: 200 : ___ > 40.

Vienas mokinys vietoje dalybos veiksmo parašė lygybės ženklą ir išsprendė perdarytą nelygybę,

dar vienas mokinys šios nelygybės visiškai nesprendė. Vienas VI klasės mokinys nelabai puikiai

atpažįsta nelygybės. Jis vienintelis iš visų VI klasės mokinių padarė dvi tas pačias klaidas,

spręsdamas nelygybes. Šis mokinys nelygybės reiškinius apskaičiuoja puikiai, tačiau rašydamas

<, > ženklus suklysta. Tai rodo, kad šis VI klasės mokinys nelabai skiria nelygybės ženklų.

Išanalizavę duomenis, matome, kad I–II klasės mokiniai nelygybes spręsti moka.

Pagrindinės daromos klaidos buvo nustatytos trys: skaičiavimo; lygina skaitmenis, o ne skaičius

ar apskaičiuotas reikšmes; pakeičia aritmetinio veiksmo ženklą. Mažesnę padarytų klaidų dalį

šiose klasėse sudarė skaičiavimo klaidos.

III klasės mokiniai darė tas pačias klaidas kaip ir I–II klasės mokiniai, tik skaičiavimo

klaidos sudarė didžiąją trečiokų daromų klaidų dalį.

IV klasės mokiniai dažniausiai klysta, apskaičiuodami nelygybės reiškinius su dviem

aritmetiniais veiksmais. I, II, III klasėse daromų klaidų ketvirtokai nebekartoja.

V klasės rezultatai parodė, kad mokiniai daugiau klysta, spręsdami tas nelygybes, kuriose

reikia nustatyti nelygybę tenkinantį ženklą. Didžiąją daromų klaidų dalį sudaro skaičiavimo

klaidos.

VI klasės mokiniai nelygybes spręsti moka, geba apskaičiuoti nelygybę tenkinančią

reikšmę. Sunkiaus sekasi nelygybės, kur reikia įrašyti nelygybę tenkinantį ženklą.

12 12

8

6

7

13

0

2

4

6

8

10

12

14

Mokinių

skaičius

I klasė

II klasė

III klasė

IV klasė

V klasė

VI klasė

44 pav. I – VI klasės mokinių nelygybių sprendimo gebėjimai

Remiantis teisingai nelygybes išsprendusių mokinių skaičiais sudaryta diagrama, kuri

parodo, kaip kinta puikiai nelygybes išsprendusių mokinių skaičius nuo I iki VI klasės (44 pav.).

70

2.2.6. Matematinių sąvokų suvokimas I–VI klasėse

I – VI klasių mokinių nelygybės samprata

Paskutinioji klausimyno užduotis atvira. Mokiniams pateiktos trys sąvokos, kurias turi

apibūdinti. Šiame poskyryje išsiaiškinsime, kaip I–VI klasių mokiniai supranta nelygybės sąvoką.

Analizuojant I klasės atsakymus buvo išskirtos penkios skirtingos apibrėžimų grupės (žr.

12 lentelę).

12 lentelė

I klasės mokinių nelygybės sąvokos samprata

Nr. Pavyzdys Mokinių

skaičius

1.

1

2.

3

3.

3

4.

4

5.

9

Iš lentelėje pateiktų duomenų matome, kad I klasės mokiniai supranta nelygybės sąvoką ir

ją aiškina įvairiais būdais. Daugiausiai I klasės mokinių nelygybę vaizduoja, užrašydami

skaičiais, tarp kurių nubrauktas lygybės ženklas. Keturi mokiniai nelygybe laiko du nelygius

skaičius. Vadinasi, šie mokiniai nelygybę suvokia kaip dviejų skaičių palyginimą. Trys I klasės

mokiniai nelygybę įvardino kaip daugiau ir mažiau ženklus. Remdamiesi tuo, galime daryti

prielaidą, kad šie mokiniai nelygybe laiko ženklus, o ne skaičių ar reiškinių santykį. Dar trys

mokiniai mano, kad nelygybė – tai skaičiai, kurie vienas kitam netinka. Vadinasi, šie mokiniai

nelygybe vadina nelygius skaičius. Vienas I klasės mokinys šią sąvoką paaiškina bet kokiais

žodžiais, kurie jam asocijuojasi su šia sąvoka. Tai rodo, kad mokinys negeba paaiškinti nelygybės

sąvokos, nes nelabai supranta kas ta nelygybė.

Analizuojant II klasės mokinių paaiškinimus, paaiškėjo, kad penki mokiniai neaiškino

šios sąvokas. Du iš jų visiškai neatliko užduoties su nelygybėmis. Remdamiesi tuo, galime teigti,

kad šie mokiniai nesupranta, kas yra nelygybė, todėl jų ir nemoka spręsti. Dar du nepaaiškinę šios

sąvokos mokiniai, atlikdami užduotį su nelygybėmis, darė daug klaidų. Tai tik patvirtina, kad šios

sąvokos supratimas daro įtaką nelygybių sprendimui. Vienas II klasės mokinys nemokėjo

užrašyti, kaip supranta nelygybės sąvoką (žr. 13 lentelę). Iš pradžių rašė vieną skaičių, jį

nubraukė, tuomet parašė kitą skaičių ir toliau nebeaiškino. Remdamiesi tuo, galime teigti, kad

mokinys nesupranta, kas yra nelygybė. Keturiolika II klasės mokinių nelygybę aiškino,

71

užrašydami reiškinius arba skaičius ir ženklus <, >. Tai rodo, kad dauguma II klasės mokinių

supranta, kas yra nelygybė. Lygindami nelygybių užduoties atlikimo duomenis ir tai, kaip

mokiniai supranta šią sąvoką, pastebime, kad užduotį be klaidų atlikusių mokinių skaičius beveik

toks pat, kai suprantančių ir gebančių paaiškinti nelygybės sąvoką.

13 lentelė

II klasės mokinių nelygybės sąvokos samprata


skaičius

1.

1

2.

14

III klasės mokiniai nelygybę apibūdino įvairiai (žr. 14 lentelę). Vienas mokinys teigė, kad

nelygybė – tai uždavinys, kuriame negalima apskaičiuoti atsakymo. Vadinasi, šiam mokiniui

nelygybė asocijuojasi su reiškiniu be lygybės ženklo. Tai rodo, kad mokinys skiria, kas yra

nelygybė. Du mokiniai teigia, kad nelygybė yra tada, kai joje parašytas nelygybės ženklas.

Vadinasi ir šie mokiniai nelygybę sieja su <, > ženklais. Dar du mokiniai teigia, kad nelygybė yra

tada, kai kas nors būna nelygu. Vadinasi, lygybę jie sieja ne tiks su skaičiais, bet ir su įvairiais

daiktais. Tiek pat mokinių mano, kad nelygybė – tai nelygūs daiktai arba svoris. Tai rodo, kad

šiems trečiokams matematiškai paaiškinti, kas yra nelygybė, sunku, todėl aiškina, pasitelkdami

daiktus ar jų tam tikras savybes (šiuo atvejų svorį).

14 lentelė

III klasės mokinių nelygybės sąvokos samprata


skaičius

1.

1

2.

2

3.

2

4.

2

5.

5

6.

8

72

Penki III klasės mokiniai, aiškindami sąvoką, paprasčiausiai užrašė nelygybę ir žodžiu

paaiškina ,,Aš nelygybę suprantu taip...“, ,,Tai toks dalykas, kai pavyzdžiui yra toks uždavinys“ ir

pan. Tai rodo, kad mokiniai supranta, kas yra nelygybė, tačiau sunkiai sekasi apibūdinimą

užrašyti žodžiu. Pastebėta, kad dauguma mokinių nelygybę lygina su daiktu. Tai rodo, kad jie

nežino, kaip teisingai pavadinti nelygybę. Aštuoni mokiniai nelygybę sieja su skirtingais

skaičiais. Jie teigia, kad nelygybė yra du nevienodi skaičiai. Lyginant su II klasės mokiniais,

trečiokams paaiškinti, kas yra nelygybė, sunkiau, tačiau iš pateiktų atsakymų ir užduoties su

nelygybėmis rezultatų galime teigti, kad III klasės mokiniai suvokia kas yra nelygybė, tik negeba

parašyti.

Analizuojant, kaip IV klasės mokiniai supranta nelygybę, paaiškėjo, kad net trylika

mokinių nelygybę apibūdina kaip nelygius skaičius (žr. 15 lentelę). Apžvelgus šių mokinių

užduotį su nelygybėmis, paaiškėjo, kad šeši mokiniai nelygybes išsprendė be klaidų, o kiti

septyni mokiniai klydo lygindami reiškinius su trimis veiksmo komponentais, dėl skaičiavimo

klaidų. Remdamiesi tuo, galime teigti, kad dvylika IV klasės mokinių supranta nelygybės sąvoką

ir tai lemia teisingai išspręstas nelygybes.

15 lentelė

IV klasės mokinių nelygybės sąvokos samprata


skaičius

1.

1

2.

1

3.

1

4.

2

5.

13

Du IV klasės mokiniai neparašė, kaip supranta nelygybės sąvoką. Vienas mokinys

nelygybę apibūdino kaip uždavinį, kuriame lyginami skaičiai. Kaip matome, šio mokinio

nelygybės suvokimas labai panašus kaip ir didžiosios klasės dalies, tik jis prideda, kad nelygybė

uždavinys. Dar vienas mokinys nelygybės sąvoką aiškino, kad nelygybė yra tada, kai reikia

parašyti nelygybes. Remdamiesi šiuo apibūdinimu, galime teigti, kad mokinys supranta, kas yra

nelygybė, bet nemoka tai išreikšti žodžiais. Šio ketvirtoko nelygybių sprendimo užduotis atlikta

be klaidų. Dar vienas mokinys nelygybes aiškino lygindamas ilgio matus. Tai rodo, kad mokinys

suvokia, jog nelygybė gali būti sudaryta ne tik iš paprastų skaičių, tačiau ir iš įvairių matų ir pan.

Tai rodo, kad šio mokinio nelygybės samprata platesnė nei kitų. Dar du mokiniai teigia, kad

nelygybė – tai nelyginiai skaičiai. Remdamiesi šiais teiginiais, galime teigti, jog šie mokiniai

nesupranta, kas yra nelygybė. Apžvelgus jų atliktą užduotį su nelygybėmis, paaiškėjo, kad šie

mokiniai nelygybių užduotyje darė tik po vieną klaidą. Vadinasi, galime daryti dvi prielaidas:

mokiniai supranta nelygybės sąvoką, tačiau negeba jos paaiškinti, nes nemoka matematinių

sąvokų arba mokiniai nesupranta, kas yra nelygybė, o uždavinius su jomis sprendžia teisingai,

nes žino, ką su tokio tipo uždaviniais reikia daryti.

73

Analizuojant V klasės mokinių nelygybės apibūdinimus, pastebėta, kad mokiniai plačiau

apibūdina, kas yra nelygybė (žr. 16 lentelę). Penki mokiniai nelygybę aiškino kaip ir pradinių

klasių mokiniai, t.y., kad nelygybė, tai nelygūs skaičiai. Du V klasės mokiniai nesuprato

užduoties, todėl parašė, ne kaip supranta nelygybės sąvoką, o kaip sekėsi spręsti nelygybes. Toks

pat skaičius mokinių nelygybes įvardino kaip lygtį arba veiksmą su veiksmų ženklais, skaičiais

bei skliaustais. Tai rodo, kad vienas iš šių mokinių neskiria lygties nuo nelygybės, o kitas

mokinys nevisiškai paaiškino nelygybės sąvoką. Galime daryti prielaidą, kad antrasis mokinys

supranta, kas yra nelygybė ir kas jai būdinga, tik nemoka to išreikšti žodžiais.

16 lentelė

V klasės mokinių nelygybės sąvokos samprata


skaičius

1.

2

2.

2

3.

5

4.

7

Septyni V klasės mokiniai puikiai supranta ir paaiškina, kas yra nelygybė. Jie išskiria, kad

yra lyginami ne tik skaičiai, tačiau ir raidiniai bei skaitiniai reiškiniai. Keturi mokiniai neparašė,

kaip supranta nelygybės sąvoką.

Trys VI klasės mokiniai neparašė nelygybės apibrėžimo. Vienas mokinys parašė, kad

nelygybę supranta taip, kaip reikia (žr. 17 lentelę).

17 lentelė

VI klasės mokinių nelygybės sąvokos samprata


skaičius

1.

1

2.

1

3.

5

4.

10

74

Skirtingai nei kitose klasėse, vienas šeštos klasės mokinys parašė, kad nelygybė yra, kai

lyginamos dvi reiškinio pusės. Penki mokiniai aiškino, kad nelygybė yra tuomet, kai tarp dviejų

skaičių įrašomi ženklai <, >, arba =. Tai rodo, kad šie mokiniai supranta pagrindinį nelygybės

principą – lyginimą. Net pusė klasės mokinių nelygybę aiškino, kaip ir daugumą kitose klasėse,

t.y., kad nelygybė yra tuomet, kai lyginami skaičiai arba reiškinių apskaičiuotos reikšmės.

Vadinasi, VI klasės mokiniai ne tik supranta, bet ir geba paaiškinti, kas yra nelygybė.

Apibendrindami I–VI klasių mokinių nelygybės sąvokos sampratą, galime teigti, kad

dauguma mokinių žino ir geba paaiškinti, kas yra nelygybė. I klasės mokiniai atpažįsta

nelygybes, geba jas spręsti, tačiau, aiškinant šią sąvoką, kalbama tik apie atskiras nelygybės

dalis.

Dauguma II klasės mokinių taip pat žino ir geba paaiškinti, kas yra nelygybė, ir

aiškindami dažniau pasitelkia reiškinių lyginimo pavyzdžius, t.y., užrašo reiškinius, o tarp jų

ženklus <, >.

III klasės mokiniai nelygybės sąvoka suvokia, tačiau sunkiai sekasi ją apibrėžti. Jie, kaip

ir I klasės mokiniai, daugiau kalba apie atskiras nelygybės dalis.

IV klasės mokiniai suvokia nelygybės sąvoką, tačiau kai kurie mokiniai pradeda painioti

nelygybes su lygtimis. Taip pat praplėstas matematinių sąvokų žodynas lemia tai, kad mokiniai

pradeda painioti matematines sąvokas.

V klasės mokiniai nelygybės sąvoką supranta ir tiksliau paaiškina nei pradinių klasių

mokiniai. Remdamiesi teisingai nelygybes išsprendusių mokinių skaičiumi ir plačiai apibūdinusių

sąvoką mokinių skaičiumi, galime teigti, kad platus nelygybės sąvokos suvokimas daro įtaką ir

nelygybių sprendimo įgūdžiams.

VI klasės mokiniai puikiai supranta,kas yra nelygybė ir geba paaiškinti.

Remdamiesi aptartais duomenimis, galime teigti, kad sudėtingėjant nelygybėms, plečiasi

ir mokinių nelygybės sąvokos samprata. Tai lemia, kad mokiniai vis mažiau daro klaidų, susijusių

su nelygybių sprendimu.

I–VI klasių mokinių uždavinio samprata

Šiame skyriuje išsiaiškinsime, kaip I–VI klasių mokiniai supranta uždavinio sąlygą.

Lietuvių kalbos žodyne ši sąvoka apibrėžiama kaip pratimas, kurį reikia apskaičiuoti, išspręsti

(LKŽ, 2005).

Vienas I klasės mokinys teigia, kad uždavinys – tai yra ,,viskas“ (žr. 18 lentelę). Tokį

atsakymą galėtume laikyti teisingu, tačiau šiuo teiginiu mokinys paaiškina labai neapibrėžtai. Dar

vienas mokinys aiškina, kad uždavinys yra tai, ką reikia apskaičiuoti. Tai rodo, kad šis mokinys

suvokia, kas yra uždavinys. Devyni mokiniai uždaviniu vadina reiškinius. Jie teigia, kad

uždavinys yra tada, kai reikia atlikti aritmetinius veiksmus, arba iliustruoja užrašydami reiškinį.

Tai rodo, kad mokiniai uždavinio sąvoką sieja su reiškiniais. Šie I klasės mokiniai uždavinio

sąvoką supranta nevisiškai. Kitą šios sąvokos dalį mini aštuoni pirmokai. Jie įvardina, kad

uždavinys – tai sąlyga, klausimas, veiksmas ir atsakymas. Vienas mokinys šios sąvokos

nepaaiškino. Remdamiesi šiais mokinių atsakymais, galime teigti, kad I klasės mokiniai dar nėra

įsisavinę šios sąvokos. Uždavinį jie supranta arba kaip tekstinio uždavinio sąlygą ir sprendimą

arba kaip paprasčiausių aritmetinių veiksmų atlikimą.

75

18 lentelė

I klasės mokinių uždavinio sąvokos apibūdinimo pavyzdžiai


skaičius

1.

1

2.

1

3.

9

4.

8

II klasės mokiniai uždavinio sąvoką aiškino taip pat kaip ir pirmokai. Keturi mokiniai

uždaviniu vadina tekstinį uždavinį (žr. 19 lentelę). Vadinasi, jie supranta, kas yra uždavinys,

tačiau negeba tiksliau apibrėžti uždavinio sąlygos arba uždaviniu vadina tik tekstinį uždavinį.

Vienuolika mokinių mano, kad uždavinys – tai reiškinys, kurį reikia apskaičiuoti. Vadinasi, ir II

ir I klasės mokiniai uždavinį suvokia taip pat. Penki mokiniai nepaaiškino, kaip supranta, kas yra

uždavinys.

19 lentelė

II klasės mokinių uždavinio sąvokos apibūdinimo pavyzdžiai


skaičius

1.

4

2.

11

III klasės mokinių atsakymų analizė parodė, kad šios klasės mokinių uždavinio samprata

platesnė (žr. 20 lentelę). Tik du mokiniai mano, kad uždavinys – tai tekstinio uždavinio

sprendimas. Tai rodo, kad šių mokinių uždavinio samprata dar nesuformuota. Trys mokiniai

uždaviniu vadina reiškinius, nelygybes, aritmetinių veiksmų atlikimą stulpeliu. Kaip matome

penki III klasės mokiniai nevisiškai geba įvardinti, kas yra uždavinys. Kiti penkiolika trečiokų

uždaviniu vadina uždavinio sąlygą ir atliekamus aritmetinius veiksmus. Tai rodo, kad didžioji III

klasės mokinių dalis plačiau suvokia uždavinio sąvoką negu I ir II klasės mokiniai.

76

20 lentelė

III klasės mokinių uždavinio sąvokos apibūdinimo pavyzdžiai


skaičius

1.

2

2.

3

3.

15

Vienas IV klasės mokinys nepaaiškino, kaip supranta, kas yra uždavinys. Taip pat vienas

mokinys uždavinį įvardino kaip mokymosi būdą. Du mokiniai – kaip užduotį, skirtą galvoti (žr.

21 lentelę). Matome, kad šie mokiniai aiškina, ne kas yra uždavinys, o kokią funkciją jis atlieka.

Tačiau negalime teigti, kad jie atsakė neteisingai. Keturiolika IV klasės mokinių uždaviniu

vadina uždavinio pateikimą ir atlikimą. Jie rašo, kad uždavinys – tai, kai reikia ,,perskaityti ir

suskaičiuoti“, ,,išspręsti ir apskaičiuoti“ ir pan. Tai rodo, kad IV klasės mokiniai supranta, kas yra

uždavinys, tačiau tiksliai apibrėžti vis tiek negeba. Trys mokiniai nepaaiškino, kad yra uždavinys

ir vienas iš jų parašė, kad nežino.

21 lentelė

IV klasės mokinių uždavinio sąvokos apibūdinimo pavyzdžiai


skaičius

1.

2

2.

1

3.

14

77

Vienas V klasės mokinys teigia, kad uždavinys yra matematinis klausimas (žr. 22 lentelę).

Trys penktokai neparašė, kas yra uždavinys. Dar trys mokiniai neparašė, kaip supranta uždavinio

sąvoką, o paaiškino uždavinių, pateiktų klausimyne, sudėtingumą, pvz., ,,geri“, ,,normalūs

uždaviniai“, ,,lengva“. Vadinasi, šie mokiniai nesuprato užduoties. Išanalizavus likusių trylikos V

klasės mokinių atsakymus, paaiškėjo, kad šie mokiniai supranta, kas yra uždavinys, tik kai

kuriems sunkiau sekasi tai aprašyti.

22 lentelė

V klasės mokinių uždavinio sąvokos apibūdinimo pavyzdžiai


skaičius

1.

1

2.

13

Keturi VI klasės mokiniai uždavinio sąvokos nepaaiškino. Kiti šešiolika mokinių

supranta, kas yra uždavinys, ir, lyginant su kitomis klasėmis, tiksliau parašo apibūdinimus (žr. 23

lentelę). Šios klasės mokinių atsakymų pavyzdžiai pateikti lentelėje, kurioje nėra išskirtos kelios

uždavinio apibūdinimo grupės, kadangi visi VI klasės mokiniai uždavinį aiškinimų esmė ta pati.

23 lentelė

VI klasės mokinių uždavinio sąvokos apibūdinimo pavyzdžiai


skaičius

1.

16

78

Apibendrindami duomenis, galime teigti, kad dauguma I–VI klasės mokinių supranta, kas

yra uždavinys. Pradinėse klasėse daugiau atkreipiamas dėmesys į atskiras uždavinio sudėtines

dalis, o vyresnėse klasėse labiau pastebima uždavinio visuma.

I–VI klasių mokinių sąvokos apskaičiuok samprata

Analizuojant I klasės mokinių paaiškinimus, ką reikia daryti, kai parašyta apskaičiuok,

buvo išskirtos keturios atsakymų grupės (45 pav.). Matome, kad daugiausia pirmokų įvardino,

jog apskaičiuoti reiškia atlikti aritmetinius veiksmus. Trys mokiniai teigė, kad reikia rasti

atsakymą. Toks pat mokinių skaičius teigė, kad šis žodis reiškia, jog reikia suskaičiuoti, ir vienas

mokinys mano, kad reikia išspręsti uždavinius. Kaip matome, visų mokinių atsakymai yra tokie

pat, tik išreikšti kitais žodžiais. Tai rodo, kad I klasės mokiniai žino, ką reikia daryti, kai

parašytas žodis apskaičiuok.

8

3 3

1

4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Mokinių

skaičius

Atlikti aritmetinius

veikmsus

Rasti atsakymą

Apskaičiuoti, suskaičiuoti

Išspręsti uždavinius

Neparašė

45 pav. I klasės mokinių sąvokos apskaičiuok apibūdinimai

II klasės mokiniai, atlikdami šią aštuntos užduoties dalį, aiškino, užrašydami žodžiais,

vaizdavo, užrašydami reiškinius su apskaičiuotomis reikšmėmis bei du mokiniai paaiškino

naudodami abu būdus (žr. 24 lentelę).

24 lentelė

II klasės mokinių sąvokos apskaičiuok aiškinimų pavyzdžiai


skaičius

1.

8

2.

3

3.

2

Mokiniai, rašę paaiškinimą žodžiais, teigė, kad reikia suskaičiuoti, paskaičiuoti. Tie

mokiniai, kurie aiškino, užrašydami pavyzdžius, taip pat atliko tai dviem būdais. Vieni užrašė

visą veiksmą ir apskaičiavo. Kiti užrašė tik lygybės ženklą ir apskaičiuotą reikšmę. Tiek vienas,

79

tiek kitas aiškinimo būdai parodo, kad II klasės mokiniai supranta, ką reikia daryti, ir mėgina tai

įvairiai perteikti. Septyni II klasės mokiniai šios užduoties dalies neatliko.

25 lentelė

III klasės mokinių sąvokos apskaičiuok aiškinimų pavyzdžiai


skaičius

1.

1

2.

5

3.

13

Vienas III klasės mokinys aiškino, kad žodis apskaičiuok, reiškia, jog reikia pasitikrinti

apskaičiuotą reiškinį (žr. 25 lentelę). Galime daryti prielaidą, kad mokiniui šis žodis yra labai

aiškus, suprantamas, elementarus, todėl trečiokas prisimena, kad apskaičiavus reikia gautą

reikšmę patikrinti. Penki III klasės mokiniai teigė, kad ši savo reiškia, jog reikia atlikti sudėties,

atimties, daugybos, dalybos veiksmus. Trylika mokinių aiškino taip pat, kaip trys II klasės

mokiniai, kad reikia apskaičiuoti, paskaičiuoti, suskaičiuoti. Vienas III klasės mokinys šios

užduoties dalies neatliko. Taigi, gauti rezultatai parodo, kad ir III klasės mokiniai žino ką reiškia

šis žodis.

26 lentelė

IV klasės mokinių sąvokos apskaičiuok aiškinimų pavyzdžiai


skaičius

1.

1

2.

5

3.

13

IV klasės mokiniai taip pat žino, ką reiškia žodis apskaičiuok, kuris labai dažnai

vartojamas pateikiant užduotį. Vienas mokinys aiškino, kad šis žodis reiškia, jog reikia išspręsti

80

uždavinį kokiais nors būdais (žr. 26 lentelę). Vadinasi, mokinys bando paaiškinti kuo platesnę

šio žodžio reikšmę, prisimindamas aritmetinius veiksmu, lygtis, nelygybes, tekstinius uždavinius

ir pan. Penki mokiniai šį žodį sieja su aritmetinių veiksmų atlikimu. Trylika mokinių, kaip ir

dauguma kitų klasių mokinių, teigia, kad žodis apskaičiuok reiškia, kad reikia apskaičiuoti

parašytą uždavinį ar veiksmą. Taigi, IV klasės mokinių atsakymų analizė parodė, kad ir IV klasės

mokiniai žino, ką reikia daryti, kai uždavinio sąlygoje parašytas žodis apskaičiuok.

27 lentelė

V klasės mokinių sąvokos apskaičiuok aiškinimų pavyzdžiai


skaičius

1.

2

2.

2

3.

3

4.

8

Du V klasės mokiniai nesuprato užduoties, todėl kartojasi ta pati klaida, kaip ir kitų

sąvokų analizuotose atsakymuose. Šie du mokiniai parašė, kaip jiems sekėsi apskaičiuoti, t.y.,

blogai ir gerai. Remdamiesi tuo, galime teigti, kad mokiniai supranta, ką reiškia šis žodis, tik

neįsiskaitė užduoties, kad reikia paaiškinti žodį apskaičiuok. Trys mokiniai šios užduoties dalies

neatliko. Du V klasės mokiniai, aiškindami šį žodį, rėmėsi ne tik aritmetiniais veiksmais, bet

prisiminė, kad galima apskaičiuoti ir perimetrą ar plotą (žr. 27 lentelę). Tiek pat mokinių teigia,

kad šis žodis rodo, jog reikia įsiskaityti sąlygą, išsiaiškinti, ko sąlyga prašoma, ir apskaičiuoti.

Tai tikrai platus paaiškinimas, ypač kalbant apie taktinius uždavinius. Trys mokiniai aiškino, kad

šis žodis reiškia, jog reikia atlikti aritmetinius veiksmus. Aštuoni penktokai teigė, kad šis žodis

reiškia, jog reikia apskaičiuoti pateiktus veiksmus. Taigi, matome, kad ir V klasės mokiniai labai

panašiai aiškina šią sąvoką. Todėl galime teigti, kad mokiniai žino, kokius veiksmus reikia atlikti,

kai uždavinio sąlyga prašo apskaičiuoti.

28 lentelė

VI klasės mokinių sąvokos apskaičiuok aiškinimų pavyzdžiai

81

Analizuojant VI klasės mokinių atsakymus, pastebėta, kad kartojasi tie patys atsakymai

kaip ir kitų klasių mokinių, todėl atskirai šeštokų rezultatai negrupuojami, tik lentelėje pateikiami

atsakymai (žr. 28 lentelę). VI klasės mokiniai visi atliko šią užduoties dalį.

Apibendrindami analizės rezultatus, galime teigti, kad visi I–VI klasių mokiniai supranta,

ką reikia daryti, kai uždavinio sąlygoje prašoma apskaičiuoti. Tikriausiai taip yra todėl, kad

tokio pobūdžio užduoties formuluotės pateikiamos jau nuo I klasės. Vadinasi, tokia užduoties

formuluotė nėra viena iš priežasčių, dėl ko mokiniai neteisingai apskaičiuoja uždavinius.

82

IŠVADOS

1. Išanalizavus pedagoginę ir psichologinę literatūrą nustatyta, kad:

Užduočių su algebros elementais sampratos formavimuisi svarbiausi vaikų vaizduotės

ypatumai yra ribotas gebėjimas sieti informaciją, kai samprotavimų eiga nėra aiški, t.y.,

praleidžiami tarpiniai samprotavimo etapai; ribotas gebėjimas atkurti informaciją ir

operuoti vaizdiniais (mokiniams sunku suvokti abstrakčius samprotavimus, todėl būtina

pasitelkti vaizdines priemones, kurios aktyvina vaizduotės veiklą). Svarbiausi vaikų

mąstymo ypatumai yra objektų pastovumo supratimas, pajėgumas taikyti logines

operacijas. Svarbiausias vaikų kalbos ypatumas yra žodžių reikšmės ir jų ryšio su daiktais

bei reiškiniais suvokimas. Svarbiausi vaikiškos grafinės raiškos ypatumai yra, tai jog

įžvelgiamos ir vaizduojamos atskiros objektų ypatybės ir detalės.

Algebros mokslas atsirado iš aritmetikos, todėl naujų skaičių (iracionaliųjų, nulio,

neigiamųjų), raidinės simbolikos, minuso bei lygybės ženklų, laipsnių žymėjimo

įvedimas laikomi svarbiausiais jos vystymosi įvykiais. Algebros žymėjimo sistemos

vystėsi trimis etapais: retoriniu, sinkopiniu ir simboliniu.

Remiantis Lietuvos bendrosiomis programomis ir išsilavinimo standartais bei

vadovėliais, sudarytas algebrinio ugdymo I–VI klasėse hipotetinis modelis apima:

reiškinių reikšmių radimą, situacijų aprašymą reiškiniais, tapačius reiškinių

pertvarkymus, lygčių sprendimą, nelygybių sprendimą, algebrinių sąvokų sampratą.

2. Atlikus hipotetinio modelio pagrindu parengtą I–VI klasės mokinių apklausą, buvo

atskleisti šie mokinių patiriami užduočių su algebros elementais atlikimo sunkumai ir jų

priežastys:

Atliekant aritmetinius veiksmus, daromų klaidų priežastys: neįsisavinę aritmetinių

veiksmų atlikimo principų, skaičių sandaros; nemoka daugybos lentelės; nebaigia

apskaičiuoti daugiaveiksmių reiškinių; neįsisavinę veiksmų atlikimo tvarkos; dėl

atidumo stokos praleidžia skaičius, keičia aritmetinių veiksmų ženklus ir pan.

Sprendžiant tekstinius uždavinius, didžiąją klaidų dalį sudaro skaičiavimo klaidos.

Dažnai klystama užrašant sprendimą, t.y., neteisingai parinktas veiksmas ar skaičiai.

V–VI klasės mokiniai neįsisavinę tekstinių uždavinių sprendimo principų, kai

sprendimas užrašomas lygtimi.

I–II klasės mokiniai nėra įsisavinę perstatomumo dėsnio, dažnai veiksmus atlieka iš

eilės. III–VI klasės mokiniai geba taikyti perstatomumo dėsnį, tačiau daro daug

skaičiavimo klaidų dėl atidumo stokos ir dėl to, kad nemoka atlikti aritmetinių

veiksmų su trupmenomis (V ir VI klasės).

Apskaičiuodami lygtis, mokiniai daugiausiai klysta, nes ne visi įsisavinę lygčių

sprendimo principus. Sunkiau sekasi apskaičiuoti tas lygtis, kurios turi daugiau nei

vieną aritmetinį veiksmą arba kelis nežinomuosius.

Spręsdami nelygybes, I–II klasės mokiniai lygina ne apskaičiuotas reiškinių reikšmes,

o skaičius arba skaitmenis, ženklus bei daro skaičiavimo klaidų. III klasėje kartojasi

tos pačios klaidos, tačiau didesnę dalį sudaro skaičiavimo klaidos. IV klasėje

nesikartoja tos klaidos, kurios daromos žemesnėse klasėse, tačiau sunkiau sekasi

nelygybės su keliais aritmetiniais veiksmais. V–VI klasių mokiniai dažniausiai klysta

atlikdami tas užduotis, kuriose reikia įrašyti nelygybės ženklus.

Dauguma I – VI klasių mokinių supranta sąvokas „nelygybė“, „uždavinys“ ir geba

paaiškinti, ką reikia daryti, kai parašyta ,,apskaičiuok“ Pastebėta, kad tie mokiniai,

kurie nepasakė, ką reiškia šios sąvokos, daugiau klydo, atlikdami užduotis. Panašu,

kad algebrinių sąvokų suvokimas sumažina daromų klaidų kiekį uždaviniuose.

83

LITERATŪRA

1. Anderson J. R. Cognitive psychology and its implications. – New York: Freeman,1990.

2. APIX edukacinės sistemos. Skaičių miestelis. – Vilnius, 2008 – 2012. – [žiūrėta 2012-03-

18]. – Prieiga per internetą:

<http://www.apix.lt/index.php?id=29&title=Skai%C4%8Di%C5%B3%20MiestelisVilniu

s>.

3. Ažubalis A. Matematika Lietuviškoje mokykloje (XIX a. pr. – 1940 m.). – Vilnius:

Žiburio leidykla, 1997.

4. Ažubalis A., Kiseliovas A. Bendrieji pradinės matematikos didaktika: vadovėlis pradinio

ugdymo specialybės studentams. – Šiauliai: K. J. Vasiliausko įmonė, 2002.

5. Bakanovienė T., Donielienė I., Šalkuvienė O. Informacinių technologijų taikymas

ugdymo praktikoje: metodinė priemonė. – Šiauliai: Lucilijus, 2008.

6. Balčytis B. Aritmetinių tekstinių uždavinių sprendimas: I–IV klasei: mokymo teorija ir

praktika. – Kaunas: Šviesa, 2000.

7. Balčytis B., Martinėnienė R. Skaičių šalis: matematikos vadovėlis 3 klasei, I–IIdalis. –

Kaunas: Šviesa, 2007.

8. Balčytis B., Martinėnienė R. Skaičių šalis: matematikos vadovėlis 4 klasei, I–IIdalis. –


9. Baltrūnas A. Pirmieji matematikos žingsniai. – Vilnius: Mokslas, 1986.

10. Baltrūnas A. Šimtas matematikos mįslių. – Vilnius: Vaga, 1983.

11. Banerjee R. Is Arithmetic Useful for the Teaching and Learning of Algebra. //

Contemporary Education Dialogue. – Los Angeles, London, New Delhi, Singapore,

Washington: SAGE Publications, 2011. – [žiūrėta 2012-03-20]. Prieiga per internetą:

<http://ced.sagepub.com/content/8/2/137.full.pdf+html>.

12. Banionis J. Lietuvių mokslo draugijos leidybinė veikla: Antano Smetonos matematikos

vadovėliai // Mokslas ir istorija. Mokslinės konferencijos medžiaga. – Kaunas, 1998.

13. Banionis J. Matematinė mintis Lietuvoje: (istorinė apžvalga iki 1832). – Vilnius: Vilniaus

pedagoginis universitetas, 2001.

14. Banionis J. Matematinė mintis Lietuvoje (istorinė apžvalga: 1832–1990 m.). – Vilnius:

Vilniaus pedagoginis universitetas, 2006.

15. Boyer C. B. A History of mathematics. – New York: Wiley, 1991.

16. Blanton M., Kaput J.J. Algebrafying the elementary mathematics experience Part II:

Transforming practice on a district-wide scale. // Proceedings of the 12th ICMI study

conference: The future of the teaching and learning of algebra. – Melbourne, Australia:

The University of Melbourne, 2001.

17. Brazdeikis V. Švietimas žinių visuomenėje: informacinėmis ir komunikacinėmis

technologijomis papildytų edukacinių aplinkų kaita // Informacijos mokslai. – Vilnius,

2009. – [žiūrėta 2012-13-16]. Prieiga per internetą:

<http://www.leidykla.vu.lt/fileadmin/Informacijos_mokslai/50/57-63.pdf>.

18. Butkevičienė R., Knyvienė J., Sičiūnienė V., Stričkienė M., Stundžienė Ž., Vanagas V.

Matematika tau: vadovėlis 5 klasei, I, II dalis. – Vilnius: TEV, 2005.

19. Butkevičienė R., Knyvienė J., Sičiūnienė V., Stričkienė M., Stundžienė Ž., Vanagas V.

Matematika tau: vadovėlis 6 klasei, I, II dalis. – Vilnius: TEV, 2005.

20. Filipčiuk H. Pažink savo vaiką. – Vilnius: Mokslas, 1991.

21. Emokykla, 2008. – [žiūrėta 2012-03-18]. Prieiga per internetą:

<http://portalas.emokykla.lt/Puslapiai/Sritisugdymui.aspx>.

22. Gediminas, Lietuvos didysis kunigaikštis. Послания Гедимина. - Vilnius: Mintis, 1966.

http://www.apix.lt/index.php?id=29&title=Skai%C4%8Di%C5%B3%20MiestelisVilnius

http://www.apix.lt/index.php?id=29&title=Skai%C4%8Di%C5%B3%20MiestelisVilnius

http://ced.sagepub.com/content/8/2/137.full.pdf+html

http://www.leidykla.vu.lt/fileadmin/Informacijos_mokslai/50/57-63.pdf

http://portalas.emokykla.lt/Puslapiai/Sritisugdymui.aspx

84

23. Gučas A. Bendroji psichologija. - Vilnius: Mokslas, 1986.

24. Gučas A. Vaiko ir paauglio psichologija. - Kaunas: Šviesa, 1990.

25. Herscovics N., Linchevski L. A cognitive gap between arithmetic and algebra.

Educational Studies in Mathematics, 1994.

26. Intienė K., Skūpas A., Stankus E., Vitkus V., Stakėnas V. Matematika 11: mokytojo

knyga. – Vilnius: TEV, 2003.

27. IXL learning, 2012. – [žiūrėta 2012-03-15]. Prieiga per internetą:

<http://www.ixl.com/promo?partner=google&phrase=display%20audiences%20banner&

gclid=CND-sL3Q9a4CFcjO3wodTwTcMg>.

28. Jakubauskienė V. Netiesinių lygčių sprendimo kompiuterinėmis programomis taikymas

mokymo procese // Magistro darbas. – Kaunas, 2008.

29. Jasiūnas H., Verikaitė V. Lietuviškosios matematinės bei matematiškosios literatūros iki

1940 bibliografijos apžvalga // Lietuvos matematikų draugijos XXXIII konferencija. –

Vilnius, 1992.

30. Jeriomenkienė R. Mokomieji žaidimai. – Gargždai, 2010. – [žiūrėta 2012-03-16]. Prieiga

per internetą: <http://www.pradinukas.ku.lt/internet_zaid1.htm>.

31. Jonynienė V. Jaunesniųjų moksleivių mąstymo raidos ypatumai: metodinė priemonė. -

Vilnius: Pedagogikos mokslinio tyrimo institutas, 1984.

32. Jovaiša L. Ugdymo gairės. – Kaunas: Šviesa, 1985.

33. Kiseliovas A., Kiseliova D. Matematikos pasaulyje: matematikos vadovėlis 1 klasei, I

dalis. – Vilnius: Alma littera, 2004.





36. Kiseliovas A., Kiseliova D. Matematikos pasaulyje: matematikos vadovėlis 2 klasei, II




38. Klimka L. Tikslieji mokslai Lietuvoje: istorinė apžvalga. – Kaunas: Šviesa, 1994.

39. Lietuvos Respublikos bendrosios programos ir išsilavinimo standartai, - Vilnius, 2008.

40. Lietuvių švietimo draugijos ,,Saulės gimnazijų laikinoji programa. – Matematikas, 1918.

41. Lietuvių kalbos žodynas: elektroninio varianto I leidimas / t. I–XX. – Vilnius: Lietuvių

kalbos institutas, 2005. Prieiga per internetą: <www.lkz.lt.>.

42. Lietuviškoji Tarybinė enciklopedija. – Vilnius, 1984.

43. Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministerija. Informacinių ir komunikacinių

technologijų naudojimas, gerinant mokymo ir mokymosi mokykloje kokybę. – Kaunas,

2006.

44. Linchevski L., Livneh D. Structure sense: The relationship between algebraic and

numerical contexts. Educational studies in Mathematics, 1999.

45. Little T., Euler L. Diophantus of Alexandria. – JAV, 2010. – [žiūrėta 2010-06-15]. Prieiga

per internetą:

<http://translate.google.lt/translate?hl=lt&sl=en&tl=lt&u=http%3A%2F%2Fwww.archive

.org%2Fdetails%2Fdiophantusofalex00heatiala&anno=2>.

46. MacGregor M., Stacey K. Students’ understanding of algebraic notation: Educational

Studies in Mathematics,1997.

47. Martin D. J. Elementary science methods: A constructivist approach. – Belmont, CA:

Wadsworth, 2000.

http://www.ixl.com/promo?partner=google&phrase=display%20audiences%20banner&gclid=CND-sL3Q9a4CFcjO3wodTwTcMg

http://www.ixl.com/promo?partner=google&phrase=display%20audiences%20banner&gclid=CND-sL3Q9a4CFcjO3wodTwTcMg

http://www.pradinukas.ku.lt/internet_zaid1.htm

http://www.lkz.lt/

http://translate.google.lt/translate?hl=lt&sl=en&tl=lt&u=http%3A%2F%2Fwww.archive.org%2Fdetails%2Fdiophantusofalex00heatiala&anno=2

http://translate.google.lt/translate?hl=lt&sl=en&tl=lt&u=http%3A%2F%2Fwww.archive.org%2Fdetails%2Fdiophantusofalex00heatiala&anno=2

85

48. Martinkaitienė G. Mokymo metodai ir jų panauda šiuolaikinėmis sąlygomis //

Pedagogika, 2002. Nr. 57.

49. Minginas J. Edukacinė komisija ir Lietuvos pradžios mokykla. – Vilnius: Vilniaus

pedagoginis universitetas, 2007.

50. Mokinukai.jimdo.com. – Obeliai, 2012. – [žiūrėta 20-03-30]. Prieiga per internetą: <

http://mokinukai.jimdo.com/interaktyvios-pamokos/>.

51. Mokinukai.lt. – Vilnius, 2008–2012. – [žiūrėta 2012-02-28]. Prieiga per internetą:

<http://www.mokinukai.lt/>.

52. Muchina V. Vaiko psichologija. Kaunas: Šviesa, 1988.

53. Musumokykla.lt. – Vilnius, 2012. – [žiūrėta 2012-03-30]. Prieiga per internetą: <

http://www.musumokykla.lt/mokytojams--19/lt/>.

54. National Council for Educational Research and Training, 2012. – [žiūrėta 2012.03.21].

Prieiga per internetą:

<http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=lt&prev=/search%3Fq%3Dnationa

l%2Bcouncil%2Bfor%2Beducational%2Bresearch%2Band%2Btraining%26hl%3Dlt%26

biw%3D1280%26bih%3D805%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.lt&sl=en&u=ht

tp://www.ncert.nic.in/NCERTS/textbook/textbook.htm&usg=ALkJrhhwy8Yo18rviUkbV-

P-tnlN0UI4xg>.

55. Ojose B. Applying Piaget’s Theory of Cognitive Development to Mathematics Instruction

//The Mathematics Educator, 2008. –[žiūrėta 2010-06-20]. Prieiga per internetą:

<http://math.coe.uga.edu/tme/issues/v18n1/v18n1_Ojose.pdf.>.

56. Piaget J. Vaiko kalba ir mąstymas. - Vilnius: Aidai, 2002.

57. Piaget J. Epistemology and psychology of functions. - Dordrecht, Netherlands: D. Reidel

Publishing Company, 1977.

58. Pileckaitė–Markovienė M., Nasvytienė D., Bumblytė D. Vystymosi psichologija:

vaikystė. – Vilnius: Enciklopedija, 2004.

59. Rabikauskas P. Mokslo pažanga Vilniaus akademijoje // LKMA suvažiavimo darbai. –

Roma, 1972.

60. Rajeckas V. Mokymo metodai. – Vilnius: VPU, 1997.

61. Rajeckas V. Mokymo organizavimas. – Kaunas: Šviesa, 1999.

62. Rimantienė R. Akmens amžius Lietuvoje. - Vilnius: Mokslas, 1984.

63. Savickytė V. Pradinukų ugdymas: straipsnių rinkinys. - Šiauliai: Šiaulių pedagoginis

institutas, 1994.

64. Stillwell J. Mathematics and its History. – New York: Springer, 2004.

65. Struik D. J. Concise History of Mathematics. – New York: Dover Publications, 1987.

66. Šalkauskis S. Pedagoginiai raštai. – Kaunas: Šviesa, 1991.

67. Šalkuvienė Orinta. Virtualiųjų mokymo (si) objektų taikymas IV–V klasėse mokant

aritmetikos veiksmų: daktaro disertacija. – Vilnius, 2011.

68. Šapoka A. Lietuvos istorija. - Vilnius: Mokslas, 1989.

69. Šiliūnienė E., Poškutė R. Mokomoji matematikos enciklopedija. – Kaunas: šviesa, 2007.

70. Šilutės jaunimo ir suaugusiųjų mokymo centras. Informacinių komunikacinių

technologijų taikymas ugdymo procese Šilutės jaunimo ir suaugusiųjų centre. – Šilutė,

2011. – [žiūrėta 2012-03-21]. Prieiga per internetą:

<http://www.smc.silute.lm.lt/pdf/Tyrimas_IKT.pdf.>.

71. Štitilienė O. Specialiųjų poreikių mokinių matematikos mokymas : I – IV klasė. – Šiauliai

: Šiaulių universiteto leidykla, 2003.

72. Šuškevič A. Lygiagretieji algoritmai tiesinės algebros uždaviniuose // Magistro darbas. –

Vilnius, 2007.

http://www.mokinukai.lt/

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=lt&prev=/search%3Fq%3Dnational%2Bcouncil%2Bfor%2Beducational%2Bresearch%2Band%2Btraining%26hl%3Dlt%26biw%3D1280%26bih%3D805%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.lt&sl=en&u=http://www.ncert.nic.in/NCERTS/textbook/textbook.htm&usg=ALkJrhhwy8Yo18rviUkbV-P-tnlN0UI4xg





http://math.coe.uga.edu/tme/issues/v18n1/v18n1_Ojose.pdf

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=lt&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/John_Stillwell&prev=/search%3Fq%3Dmathematic%2Bhistory%26hl%3Dlt%26prmd%3Dv&rurl=translate.google.lt&usg=ALkJrhjldQ3nchliAqwp7fFXAn0QAG7c7A

http://www.smc.silute.lm.lt/pdf/Tyrimas_IKT.pdf

86

73. Tarptautinių žodžių žodynas / atsakingas redaktorius: Vaitkevičiūtė V. - Vilnius: Alma

litera, 2008.

74. Tarptautinių žodžių žodynas / atsakingasis redaktorius: Kvietkauskas V. – Vilnius:

Vyriausioji enciklopedijų redakcija,1985.

75. Teišerskis J. Algebros mokymo metodika. – Vilius: Mokslas, 1988.

76. Thompson C. S. Place value and larger numbers. // Mathematics for young children,

1990.

77. Tiklsiukas.lt. – Šiauliai, 2012. – [žiūrėta 2012-04-02]. Priega per internetą:

<http://www.tiksliukas.lt/?Matematika>.

78. Vilenkinas N., Ivaševas-Musatovas O., Švarcburdas S. Algebra ir matematinė

analizė: mokymo priemonė mokyklų su sustiprintu matematikos mokymu X-XI klasei. –


79. Zambacevičienė E. P. Psichologijos įvadas: mokymo(-si) priemonė studentams. –

Šiauliai: Šiaulių universiteto leidykla, 2007.

80. Zinkevičius Z. Lietuvių kalbos istorija: vadovėlis aukštosioms mokykloms. -

Vilnius: Mokslo ir enciklopedijų leidykla, 1996.

81. Zubovas V. Tomas Žebrauskas ir jo mokiniai. – Vilnius: Mokslas, 1986.

82. Žemgulienė A. Pradinio ugdymo raida: teoriniai ir praktiniai aspektai: metodinė

priemonė. – Vilnius: Vilniaus pedagoginis universitetas, 2009.

83. Žukauskienė R. Raidos psichologija. – Vilnius: Margi raštai, 2007.

84. Žukauskienė R. Raidos psichologija. – Vilnius: Margi raštai, 1996.

85. Wagner S. Parker S. Advancing algebra // Algebraic thinking, grades, 1999.

87

PRIEDAI

88

1 PRIEDAS

Priedas

Tekstinių uždavinių skirstymas (Ažubalis A., Kiseliovas A., 2002) ir pavyzdžiai:

Paprastieji tekstiniai uždaviniai:

1. Dviejų ar kelių dėmenų sumos radimas.

Ant gėlės tupėjo 2 drugeliai, vėliau atskrido dar 2. Kiek drugelių dabar yra ant gėlės?

2. Skaičiaus padidinimas (sumažinimas) keliais vienetais.

Paulius pagavo 6 žuvis, o jo tėvelis – 3 žuvimis daugiau. Kiek žuvų pagavo Pauliaus

tėvelis?

Domas pagavo 10 žuvų, o Simas – 2 žuvimis mažiau. Kiek žuvų pagavo Simas?

3. Liekanos (skirtumo) radimas.

Į turgų buvo atvežta 53 eglutės. Per pusvalandį pardavė 9 eglutes. Kiek eglučių dar

liko turguje?

4. Dviejų skaičių skirtumo radimas (skirtuminis palyginimas).

Pušies aukštis yra 17 m, o eglė – 8 m aukštesnė. Koks eglės aukštis?

5. Kelių lygių dėmenų sumos radimas.

Vienoje lėkštėje buvo 2 bananai. Ant stalo stovėjo 4 tokios lėkštės. Kiek bananų buvo

lėkštėse?

6. Dalyba į lygias dalis:

6.1. Skaičiaus dalijimas į kelias lygias dalis.

Didžkukuliams išvirti Rita nuskuto 7 bulves, o Tomas 6 kartus daugiau. Kiek bulvių

nuskuto Tomas?

6.2. Skaičiaus sumažinimas kelis kartus.

Marius turi 20 €, o Rytis – 2 kartus mažiau. Kiek eurų turi Rytis?

6.3. Skaičiaus dalies radimas.

Dėžėje buvo 80 kg obuolių. Pardavėja išėmė 1/8 obuolių. Kiek obuolių išėmė

pardavėja?

7. Talpos dalyba:

7.1. Nustatymas, kiek kartų skaičius telpa kitame.

Jūratė nusprendė 9 braškes po lygiai sudėti į 3 lėkštutes. Po kiek braškių bus

lėkštutėse?

7.2. Kartotinis dviejų skaičių palyginimas.

Lėkštėje yra 8 kriaušės ir 4 obuoliai. Kiek kartų kriaušių yra daugiau negu obuolių?

8. Nežinomo dėmens radimo.

89

Ieva turėjo 60 ct. Mama įdėjo dar kelias monetas į Ievos piniginę. Dabar Ieva turi

1Lt. Kiek pinigų įdėjo mama į Ievos piniginę?

9. Skaičiaus radimas iš vienos jo dalies.

½ l pieno kainuoja 1 Lt 20 ct. Kiek kainuoja litras pieno?

10. Gavinių pakitimo radimas, pasikeitus duomenimis.

Autobusui sustojus iš jo išlipo 8 žmonės, o įlipo 15 žmonių. Kiek keleivių padaugėjo

autobuse?

11. Skirtumo radimas.

Jei iš vienos dėžutės 10 kamuoliukų perdėsime į kitą, tai abiejose dėžutėse kamuoliukų

bus po lygiai. Keliais kamuoliukais pirmoje dėžutėje buvo daugiau negu antroje?

12. Skaičiaus radimas iš dviejų skirtumų.

Ignas nusipirko 2 saldainiais daugiau negu Gerda ir už savo pirkinį sumokėjo 50 ct

daugiau. Kiek kainavo saldainis?

Sudėtiniai uždaviniai.

Leidyklos darbuotoja iki pietų dirbo 5 valandas, po pietų – 3 valandas. Per visą darbo

dieną ji surinko 40 puslapių teksto. Kiek puslapių teksto ji surinkdavo per vieną

valandą?

Tipiniai uždaviniai:

1. Triskaitės taisyklės uždaviniai:

1.1. Tiesioginis būdas per vienetą.

Už 5 lėlės sumokėta 200 €. Kiek kainuoja viena lėlė?

1.2. Atvirkštinis būdas per vienetą.

Vienas arbatos pakelis kainuoja 9 Lt. Kiek pakelių arbatos galima nusipirkti už 45

litus?

1.3.Santykių būdas.

3 suknelėms pasiūti reikia 9 m medžiagos. Kiek medžiagos reikia 5 suknelėms pasiūti?

Proporcingosios dalybos uždaviniai.

Tomas ir Rūta už nuskintus obuolius gavo 90 Lt. Rūta priskynė 4 dėžes, o Tomas – 5

dėžes. Kiek litų turi gauti kiekvienas vaikas?

Judėjimo uždaviniai:

1. Priešpriešinio judėjimo uždaviniai.

Iš A ir B miestų tuo pačiu laiku, vienas priešais kitą išvažiavo 2 traukiniai. Pirmas

traukinys nuvažiavo per valandą 48 km, o antras – 45 km. Po 7 valandų traukiniai

susitiko. Raskite atstumą tarp A ir B miestų.

2. Uždaviniai apie du kūnus, judančius priešingomis kryptimis.

Iš stoties tuo pačiu metu priešingomis kryptimis išvažiavo 2 traukiniai. Vienas

traukinys važiavo 50 km per valandą greičiu, kitas – 40 km per valandą greičiu. Kaip

toli vienas nuo kito bus tie traukiniai po 4 valandų?

90

3. Dviejų kūnų judėjimo viena kryptimi uždaviniai.

Dviratininkas išvažiavo iš Varduvos ir važiavo 20 km per valandą greičiu. Tuo pačiu

laiku iš Plungės išvažiavo autobusas, kurio greitis 80 km per valandą. Dviratininkas

ir autobusas važiuoja ta pačia kryptimi. Per kiek laiko autobusas pavys dviratininką,

jei atstumas tarp Plungės ir Varduvos yra 40 km?

91

2 PRIEDAS

KLAUSIMYNAS I klasei

1. Apskaičiuok.

2. Emilija turėjo 28 saldainius, o Milda – 6 mažiau. Kiek saldainių turėjo

Milda?

_____________________________________________________________

3. Martynas ir Dovydas suskaičiavo, kad abu kartu jie turi 30 riešutų. Dovydas

turėjo 14 riešutų. Kiek riešutų turėjo Martynas?

_____________________________________________________________

4. Ona, kurdama paveikslą panaudojo 12 figūrų, o Rasa – 5 daugiau. Kiek

figūrų panaudojo Rasa?

_____________________________________________________________

5. Parašyk, kaip tau lengviau apskaičiuoti ir apskaičiuok.

23 + 32 = __________________________________________________

22 + 4 + 8 =_________________________________________________

8 + 4 + 5 + 2 =_______________________________________________

92

6. Išspręsk.

7. Įrašykite tinkamą ženklą (<, > arba =).

8. Parašyk kaip supranti:

Nelygybė

Uždavinys

Ką reikia daryti,

kai parašyta

apskaičiuok?

93

KLAUSIMYNAS II klasei

1. Apskaičiuok.

2. Ryte parduotuvėje buvo 44 kg šokoladinių saldainių. Vakare buvo likę 28 kg

saldainių. Kiek kilogramų saldainių per tą dieną buvo parduoda?

_____________________________________________________________

3. Vienas piešimo sąsiuvinis kainuoja 3 Lt. Kiek kainuos 6 tokie sąsiuviniai?

_____________________________________________________________

4. Lokys turėjo 4 statines medaus, po 9 l kiekvienoje. Į pyragą jis įdėjo 12 l.

Kiek litrų medaus lokiui liko?

_____________________________________________________________

5. Parašyk, kaip tau lengviau apskaičiuoti ir apskaičiuok.

8 + 8 + 8 =_______________________________________________

_______________________________________________

=________________________________________________

94

6. Išspręsk.



Nelygybė

Uždavinys

Ką reikia daryti,

kai parašyta

apskaičiuok?

95

KLAUSIMYNAS III klasei

1. Apskaičiuok.

2. Kino salėje telpa 600 žiūrovų. Į dieninį seansą viena kasininkė pardavė 175

bilietus, kita – 180. Kiek bilietų liko neparduota?

_____________________________________________________________

3. Šaldytuve buvo 50 kiaušinių. Kai kiekvienas vaikas nudažė po 4, liko 30

kiaušinių. Kiek vaikų dažė kiaušinius?

_____________________________________________________________

4.

_____________________________________________________________

5. Sužymėk reiškinio viršuje veiksmų eiliškumą ir apskaičiuok.

__________________________________________

________________________________________________

_______________________________________________

96

6. Išspręsk.

7. Įrašyk tinkamą ženklą (<, > arba =).


Nelygybė

Uždavinys

Ką reikia daryti,

kai parašyta

apskaičiuok?

97

KLAUSIMYNAS IV klasei

1. Apskaičiuokite.

2. Virginija sugalvojo skaičių, prie jo pridėjo 85 ir gavo 150. Kokį skaičių sugalvojo

Virginija?

________________________________________________________________________

3. Sandėlyje buvo 48 maišai bulvių po 52 kg kiekviename. Prieš vežant į parduotuves,

nutarta išpilstyti bulves į maišelius po 3 kg. Kiek buvo pripilta tokių bulvių

maišelių?

________________________________________________________________________

4.

________________________________________________________________________

5. Sužymėkite reiškinio viršuje veiksmų eiliškumą ir apskaičiuokite.

____________________________________________________

_____________________________________________________

__________________________________________

98

6. Išspręskite lygtis.


8. Parašykite kaip suprantate:

Nelygybė

Uždavinys

Ką reikia daryti,

kai parašyta

apskaičiuok?

99

KLAUSIMYNAS V klasei

1. Apskaičiuokite.

2. Vazoje buvo slyvų. Į vazą įdėjus dar 12 slyvų, iš viso vazoje buvo 38 slyvos. Kiek

slyvų buvo vazoje iš pradžių?

________________________________________________________________________

3. Skaičiaus x ir skaičiaus 17 skirtumas lygus 28. Kokia skaičiaus x reikšmė?

________________________________________________________________________

4. Krepšyje yra 10 obuolių ir n kriaušių. Kiek vaisių yra krepšyje?

________________________________________________________________________


______________________________________________

________________________________________________

______________________________________________________

100

6. Raskite lygties sprendinius.

7. Įrašykite tinkamą ženklą (<, > arba =) arba raskite duotos nelygybės sprendinį.


Nelygybė

Uždavinys

Ką reikia daryti,

kai parašyta

apskaičiuok?

101

KLAUSIMYNAS VI klasei

1. Apskaičiuokite.

2. Dalytė į 3vazas pamerkė narcizų, į 2 vazas - tulpių ir į 5 vazas – gvazdikų žiedų. Į

kiekvieną vazą buvo pamerkta po a žiedų. Kiek iš viso gėlių žiedų pamerkė Dalytė?

________________________________________________________________________

3. Klasėje yra 30 mokinių. Berniukų yra dvigubai daugiau negu mergaičių. Kiek

mergaičių yra klasėje? (du būdai?)

________________________________________________________________________

4.

________________________________________________________________________


_______________________________________________________

__________________________________________

______________________________________________________

102

6. Raskite lygties sprendinius.

7. Įrašykite tinkamą ženklą (<, > arba =) arba raskite duotos nelygybės sprendinį.


Nelygybė

Uždavinys

Ką reikia daryti,

kai parašyta

apskaičiuok?

Documents

Uždavinių su algebros elementais sunkumai