No. 1939 292 291

1% Berlin Mai 29

30 31

Juni 1 2 3 4 5 6 7

a 6 9h 33m 0s 3- 19O 16'.6

34 13 12.2 35 28 7 . 7 36 43 3 . 1 37 58 + l S 58.4 39 14 53,6 40 30 48.8 41 47 43.8 43 5 38.8 44 23 33.7

log n 0.4496

0.4558

0.4617

12h Berlin ff 6 log A Juni 8 9h 43m42s + 18O 28'.5

9 47 1 23.2 10 48 21 17.8 11 49 42 12.4 0.4673

Darstellung einer hiesigen Beobachtung von Apr. 3

Obige Elemente nnd Ephemeride sind von Herrn

Leipzig 1873, April 28.

(B-R), ALU=- 05.27 A&= -0''.9.

Stud, Koch abgeleitet.

11. Engelmunn.

Ueber den Schlussfehler grosser Nivellernents. Herr Zuchuriae liai sich das Verdienst erworben,

in No. 1916 der Astron. Nachr. eine Frage in Anregung zu bringen, welche fur die practische Geodasie un- leugbar von grosser Wichtigkeit ist. Es ist dies die Frage, ob ein Nivellementspolygon von grosser Aus- dehnung, welches namentlich zu bedeutenden Hohen hinauf- oder zu bedeutenden Tiefen hinabsteigt, sich nothwendig genau schliessen musse oder nicht. Der Weg, welchen Herr Zachariae zur Beantwortung dieser Frage eingesdilagen hat, scheint uns indessen den An- forderungen der Praxis wenig zii entsprechen. I n der guten alten Zeit, vornehmlich im Zeitalter der WoZj$- schen Philosophie, war es iiblich, jede Abhandlung uber irgend einen Gegenstand mit einer Definition, welche den Ausgangspunlrt der Untersuchung zu bilden bestimmt war, zu beginnen. Diese Vorsicht hat der Herr Verfasser ausser Acht gelassen, untl es ist ihm dadurch begegnet, dass seine Entwickelung von der thatsachlichen Art und Weise, in welcher die Nivelle- ments ausgefiihrt werden, sich wesentlich entfernt. Denn wenn man den Eingang der Rechnung pag. 307 genau analysirt, so kann daselbst unter dem Hijhenunterschiede zweier Punkte nichts anderes verstanden sein, als der Unterscliied der Abstande dieser beiden Punkte vom Erdmittelpunkte. Dies ist aber eine entschieden un- richtige Definition. Wenn man sich z. B. denkt, dass ein Nivelleincnt vom Pole nach irgend einein Punkte des Aequators auf der (idealen) Meeresoberflache aus- gefiihrt werde, so ist alle Welt einverstanden, dass in Folge der Art, wie das Nivellirea geschieht, sich dabei als Hohenunterschied der beiden Endpunkte genau der Werth Null ergeben muss. Nach der vorstehenden Definition dagegen wiirde der Hohenunterschied dieser beiden Punkte dem ganzen Ueberschusse des Aequator- halbmessers uber die halbe Erdachse gleich sein oder

einen Werth von ca. 2,87 geogr. Meilen annehmen, was offenbar unzulSssig ist.

Will man sich von dem Hohenunterschiede zweier Punkte A und B einen richtigen Begriff bilden, so muss inan sich denken, dass yon diesen beiden Punkten Loth- linien auf die ideale Meeresoberflache herabgezogen werden. Bezeichnet man die Fusspunkte diesrr Loth- linien heziehungsweise mit A' und B', so ist die Distanz BB' -AA' der gesuchte Hohenunterschied. Unter der idealen Meeresoberflache ist hier die erweiterte Ober- fliche des ruhigen Meeres zu verstehen, welche nebenher durch die Bedingung charakterisirt wird, dass sie eine Niveauflaclir ist, d. h. dass in allen Punkten derselben die Richtung der Schwere auf ihr serikrecht steht. Es kommt dabei nicht in'Betracht, ob man diese Fliche als Rotations-Ellipsoid oder als durch locale Stiirungen irgendwie davon abweicltend ansehen will ; man muss sie vielmehr nehmen, wie sie wirklich ist.

D r r Vorgang beim Nivelliren ist nun aber ein solcher, dass man beinahe niemals bis znr Meeresober- flache selbst hinabsteigt, sondern statt derselben eine angernessene gewahlte Hulfsflache einschiebt und in Be- zug auf diese den Hijhenunterschied zu bestimmen imter- ninimt. Diem Hulfsflache ist, beilaufig bemerkt, auf jeder Station im Allgemeinen eine andere; die Visirlinie des Fernrohrs fallt in sie hinein, oder ist, strenger aus- gedruckt, eine Tangente an derselben. Durfte man an- nehmen, diese Hiilfsflac he sei von solcher Beschaffen- heit, dass die aus irgend welchen Punkten derselben auf die Meeresoberflache liinabgesenkten Lothlinien sammtlich gleich lang sind, so wiirde sofort folgen, dass die Hohenbestimmung in Bezug auf die Hulfsflache genau dasselbe Resultat geben muss wie in Bezug auf die Meeresoberfliche selbst. Denn gesetzt, die Hulfs- flache schneide die obigen beiden Lothlinien AA' und

293 No. 1939 294

BB' beziehungsweise in den Punkten A" und B", so wiirde man uirter dieser Voraussetzung haben A'A"=B'B" und es ware mithin die Differenz BB"- AA" vollkom- men einerlei mit BB'-AA'. Aber die HCtlfsflache wird in der Wirklichkeit durch eine ganz andere Bedingung bestimmt, welche mit der vorigen begreiflich gar nichts gemein hat, namlich die, eine N i v e a u f l a c h e zu sein, d. h. eine solche, auf welcher in allen Punkten derselben die Lothlinie senkrecht steht; denn es ist j a fur jeden Act des Nivellirens wesentlich, dass die Visirlinie des Fernrohrs genau horizontal gestellt werde. SoIlte die durch diese zweite Bedingung definirte Hiilfsflache von der ersteren, die wir zur Abkiirzung eine P a r a l l e l - f l a c h e nennen wollen, verschieden sein, so muss da- durch offenbar die Richtigkeit der Hohenmessung inehr oder weniger getriibt werden. Der Kern der Frage kommt demnach auf die Untersuchung hinaus, ob eine Parallelflache und eine Niveaufllche, welche durch den- selben Punkt gehen, identisch sind oder nicht.

Wir behaupten diese Identitat in vollster Allgemein- heit nnd stiitzen dieselbe auf den folgenden allgemeinen Satz:

L e h r s a t z : Jede zu einer gegebenen Fliiche gelegte Parallelflache hat die Eigeuschaft , dass alle Normalen der ersteren zugleich Nornialen der zweiten Flache sind.

Der Beweis dieses Lehrsatzes ist beinahe iiichts als eine Uebung im Differentiiren und wir geben des- halb hier nur die Hauptzuge desselben.

Es sei z = f (x 7 Y>

die Gleichung der gegehenen Flache und man bezeichne zur Abkiirzung die Differentialquotienten wie folgt

dz _- d z _- d x - P 7 d y - q7

d2z d 2z d2z dx2-r' d*- - s 7 dy2= t*

I n dem Punkte (x, y, z) errichte man eine Nor- male auf der gegebened Flache, gebe derselben eine Lrlnge = a und bezeichne den dadurch entstandenen Endpunkt mit (x', y', z'). Dann hat man nach be- kannten Satzen

--

a

1' P2 I- q2+ 1 z -=z-

welche drei Gleichungen die gesuchte Parallelflliche darstellen. Denn in jedem individuellen Falle kann man aus ihnen, nachdem man fur z, p und q die entsprechen- den Werthe gesetzt hat, durch Eliminatian von x und y die Gleichung der Parallelflache unter der Form

erhalten. DiEerentiirt man die vorstehenden drei Gleichungen

dr; t e n s in Bezug auf x' als unabhingige Verinderliche, indem man daneben y' wie constant ansieht, und setzt zur Abkiirzung

z' =F (x', y')

so erhalt man

aus welchen Gleichungen durch Elimination von I Diese letzten beiden Gleichungen aber zusammen- - - dx nnd dY - und nach einer etwas urnstandlichen Re- dx' dx' duction folgt

d z' d x ' - P .

Differentiirt man dieselben drei Gleichungen z w ei - t e n s in Bezug auf y' als unabhangige Veranderliche, indem man daneben x' wie constant ansieht, so folgt auf dieselbe Weise.

d z' dy'= 9.

genonimen sagen nichts Anderes aus, als dass die be- riihrende Ebene im Punkte (x', y', z') parallel der be- ruhrenden Ebene im Punkte (x, y, z) sei, woraus die Behauptung des Lehrsatzes unmittelbar folgt.

Wenn aus allem Vorstehenden als unzweifelhaft sich ergiebt, dass daa gewohnliche Verfahren des Ni- vellirens unter allen Umstanden, welche Gestalt auch die ideale Meeresoberflache haben mag, den richtigen Hohenunterschied kennen lehrt und dass mithin jeder

19+

295 No. 1939 296

Schlussfehler , den etwa ein Nivellementspolygon dar- bietet, nur die Folge von Reobachtnngsfehlern sein kann, so inussen wir diese Rehauptung in ihrer Allgemeinheit doch nachtraglich noch mit einer Modification versehen. Die vorige Entwickelung enthalt nlimlich stillschweigend eine Voraussetzung in sich, welche zwar in den Nivelle- iiients gewiihnlicher Art vollkonimen erfiillt wird, bei grosserer Ausdehnung derselben aber und insbesondere hei grossen Hohenunterschiedrn nicht niehr in aller Strenge bestehen bleibt. Wi r hsben in einem vom Joii 1869 datirten Artikel, Astron. Nachr. No. 1768, den Beweis gefijlirt, dass die Lothlinie in grossen Hiihen (ausgenommen am Aequator und in den Polen) aufhort eine gerade Linir m sein, vielmehr in der Meridian- Ebene eine Kriimnimg annimmt, welch ihre concave Seite nach den1 iiachsten Erdpol hinwendet. Was das Maass dicscr ICriimniung betrifft , so reproduciren wir hier die dasellrst gegebene Formel (9) in der Gcstalt

8 = p sin 2 9 . h

wo 6 die in der Iiiille h iiber der MeeresoberflSche stattfindende Zunahme der Polhohe 9, als Rogenlllnge fiir den Halbmesser Sins ausgcdriiclrt , bezeichiiet und /-L cine nnmcrisclie Constante bedeutet, deren Logarith- inus fiir Metcriiinass ist

log /A ==I 1,03636 - 10. c'erfolgt man, mit Rkclrsicht auf diese Ablenknng

der Lothlinie in grossen Hiihen, ein gegebenes Nivelle- inent in der Michtung voii Skd nach Nord (auf der nordlichen Halbkugel), so niuss sogleich klar sein, dsss, von cinein Punkte in solchcn I-Iiihen ausgegangen, , Parallelflkhe und Niveauflache nic ht mehr zusamnien- fallen lriinnen, sondern die letzte sich unter die erste tiinabsenkt. EY wird also, wenn man von der richtigen Holie des Anfangspunkts ausgeht, die clurch das Nivelle- ment gefundene Hohe des Endpuiikts eine Correction erfaliren miissen, deren Betrag f!,r das einzelne Linear- Element ds dcs Nivellements drm Prodncte 6 . d s gleich sein, also den Werth haben wird

p sin 2 9 . l ids und folglich fiir die game in dcr Michtung cles Meri- dians gemessene Erstreckung s cles Nivellernents, welche Correction wir mit bezeichnen wollen,

& = ./b" sin 2 9 . hds.

Fiir Nivellements, welchc von Nord nach Siid sich er- strecken und ron der richtigen Hiihe des Anfangs- punktes ausgehen, muss diesc Correction an der ge- fundenen Hohe des Endpunktes mit dein Minuszeiehen

angebraclit werden. Ausweichungen nach Ost oder West haben auf diese Correctionen keinen Einfluss, vielmehr hat man sich fiir die vorliegende Betrachtung das ganze Nivellement durch Parallelkreisbiigen auf eine Meridian-Ebene projicirt xu denken mid nur diese Pro- jection ins Auge zii fassen.

Wenn die Erstreokung cles Nivellements so geriiig ist, dass man fiir dieselbe die PolhGhe 9 wie constant ansehen , also einen Mittelwerth an deren Stelle setzen kana, so verwandelt sich der Ausdruck fur e in

8 = p sin 2 p h d s sdp d. i.

F = p sin 2 9 . P wo A nichts Anderes ist als die Area der auf die Me- ridian -Ebene projicirten P r o f i l k h e des Nivellements, diese Area hinab bis ziir idealen Meeresoberflgche ge- nonimen. Liingere Nivellements kann man in Theile zerlegen, fiir deren jeclen man eine constante mittlere Polhohe zu Grunde lrgt.

Um den Effect dieser Rechnung an einem Beispiel zii zeigen, denken wir uns ein Nivellement von Como bis Gonstanz, d. i. ca. 200000 Meter, in einer mittleren I-IChe von 1000 Meter iiber dem Meere ausgefuhrt. Dann betragt die Area der Profilfliiclie 200 Millionen Quadratmeter, die mittlere Yolhohc ist 9 = 46" 45' und man findet : Wenn man in Como von der richtigen Hohe ausgeht, so muss die durch das Nivellement gefuiidene Hohe von Vonstanz um 0,217 Meter vergrossert werden. - wenn man dagegeii in Constanz von der richtigen Hohe ausgeht, so muss die ails dem Nivellement erhaltene Rohe voii Como urn 0,217 Meter verkleinert werden. Aus diesen Zahlen diirfte hervorgehen, dass die Nivelle- ments der Schweiz einige Ursache haben, auf diese Correction XiicksL h t zu nehmen, wenn sie einerseits von Italien rind andererseits an Deutschlarid correct ankiiiipfen wollen.

Die Frage nach dem Schlussfehler eines Nivelle- mentspolygons erledigt sich nun hierdurch von selbst. Nennt man A und A' die aid' die Mei-idian-Ebenc pro- jicirte Profilflache der beiden den siidlichsten und den niirdlichsten Punkt des Polygons verbindenderi Ketten, so wird der Sehlussfehler

p sin 2 q~ . (A - A')

wo A-A' offenbar identisch ist mit dcr Area des auf die Meridian - Ebene projicirten Nivellementspolygons. Dieser Schlussfehler bleibt immer sehr klein. Setzt

297 No. 1939 29s

man z. B. die letztgedachte Area gleich einer geogra- phischen Quadratmeile , so betragt fiir 450 Polhijhe, wo das Maximum eiotritt, der Schlussfehler nur

0,060 Meter; Falle von solcher Erheblichkeit diirften aber wohl kaum vorkommen.

Hannover, Febr. 1873. Wittstein.

Zur Theorie des geometrischen Nivellirens. Der Aufsatz des Herrn Zacharicre in No. 1916 der

Astron. Nachr. veranlasst mich , darauf hinzuweisen, dass bereits im Jahre 1871 Herr Th. TYcind in seineni lehrreichen Bnche ,,Die Principien der mathematischen Physik und die Potentialtheorie etc." S. 129 bis 131 in erschiipfender Weise dargelegt hat, in welcher Weise der Einflass der von der Kugelgestalt abweichenden Form der niathematischen Erdgestalt insbesondere und der Niveaiiflachen iiberhaupt Rechnung zu tragen ist. Daraus geht hervor, dass iiicht die unmittelbaren Ee- sultate zusammengesetzter geometrisclier Nivellements vergleichbar siiid, sondern nur die Sumnien der Pro- ducte aus der Schwerkraft in den Hiihennnterschied der zwei Zielpunkte jeder Station. Die unmittelbaren Re- sultate sind namlich Abstande von Niveauflichen; aber dcr Abstand zweier Niveauflachen ist eine Function dcs Orts, wo er geniessen wird, Dagegen ist die mecha- nische Arbeit, uni aus einer Niveauflache in die andere zu gelangen, uiiabhingig von der Lage des Wegs. Ftir zwei naheliegende Niveauflacheii ist aber diese Arbeit gleich dein Product aus der Normalkraft (Schwerkraft) in den normalen Abstand dh , d. h. es ist fiir dieselben nnabh:.'ngig vom Orte:

Schwerkraft . d h constant. Abgesehen roiii strengen Beweis leuchtet die Rich-

tigkeit ein, wenn man sich der bekannten Satze erinnert, dass einerseits die Bewegung auf einer Niveaufliche k e i n e inechanische Arbeit erfordert, andrerseits die meuhanische Arbeit nur von Anfangs- und Endlage ab- hingt, es daher beziiglich zu leistender Arbeit gleich sein muss, wie der Uebergang ails ciner Niveauflache in dic andere genommen wird.

D i e v o l l s t 5 n d i g e R e d u c t i o n e i n e s g e o m e t r i - s chen N i v e l l e m e n t a erfordert sonach noc!i die Kennt- niss der Schwerkraft fiis den ganzen Verlauf eines nivellirten Profils. Fiir die Reductiou der unmittelbaren Ergebnisse wird es sich empfehlen , die Arbeit, welche l m Holie unter 45O geogr. Breite am Meeresniveau ent- spricht, als Einlieit einzufiihren. Man hat alsdanu fur Pin zusammengesetztes Nivellement :

(1) Reducirter Hohenunterschied = 2 I g h , B45

worin h die ZielhGhendifferenz fur 2 naheliegende von demselben Instrumentstande visirten Punkte,

g die Schwerkraft daselbst, g45 die Schwerkraft am Meeresspiegel fiir 450 geogr.

Br. bezeichnet, die Summe aher rnit Rucksicht anf die Vorzeichen der h zu nehmen ist.

Handelt es sich nur urn Nivellements auf eineln be- grenzten Theil der Erdoberfliche, so geniigt es auch, anstatt auf g46 auf eine mittlere Schwerkraft dieses Theiles zu reduciren.

I m ijconomischen Sinne interessiren nun in dcr That in der Regel nur die nach (1) reducirten Hijhen, weil sie der mechanischen Arbeit proportional sind. Sollten fiir wissenschaftliche und tecbnische Zwecke die linearen Hiihen interessiren, so konnen diese j a leicht ails den reducirten Hohen durch umgekehrte Reduction erhalten werden.

Die Lothabweichung bedarf man zur Reduction der Nivellements nicht. Gleichwohl ist es miiglich, wie j a auoh Herr Zacharke gezeigt hat, sie dazu zu verwenden. Freilich nicht immer mit Vortheil. Wenigstens in dern Faile I1 der Betrschtung in No. 1916, iiber den Ein- fluss der spharoidischen Gestalt der Niveanflachen, lisst dieselbe im Unklaren uher die Abplattung der letzteren. Herr Zachariae nimmt constante A4bplatt~mg oder setzt das Verhaltniss der Abstaiide zweier Niveauflachen am Pol und Aequator zu

wahrend es das umgekehrte Verhaltniss der Schwer- Icrafte ist:

Man hat namlich fiir die Schwerkraft in der geogr. Rreite rp im Meeresniveau

woraus jenes Verhaltniss sofort resultirt. Nimmt man noch ltiicksicht auf die MeereshGhe H

eines Punktes irn Parallel q~ und sieht von Localanzie- hungen und also auch dein Emporsteigen des festen Landes uber den Meeresspiegel ah, so wird

Nivellirt man nun von einem Punkte im Parallel 9 1 bis zu einem Punkte im Parallel 92 und sind Hi und H2 die reducirten Meereshijhen von Anfangs- nnd Endpunkt, 30 wird

299 : 300,

194 : 195

g = g45 (1 - 0.00257 cos 2 q),

g g45 (1 - 0.00257 cos 2 9 - 0.000O00314H).

~ 2 , Hz

91, HI :2)Hz--Hi= 2 11 (1-0.00257 cos 2~-O0.00000O314H),