13her die Heekesehen Gruppen ~ (~)

Von ARMI'N LEUTBECHER in Mfinster

1. Aus der Betrachtung yon Dirichlet-Reihen mit einer Funktional- gleichung ergaben sich bei E. H~.CK~ [1] automorphe Formen zu den durch die beiden lineargebrochenen Transformationen der komplexen

- - 1 Zahlenkugel U (z) = z + 2 (2 > 0) und V(z) = Z erzeugten Gruppen ~i (2).

Sie operieren diskontinuierlich auf der oberen Halbebene ~ = {z; Im z > 0}

(q---- 3, 4, 5, .) ist. Der genau dann, wenn 2 > 2 oder 2 = 2q : 2 cos T ..

zweite Fall soll uns hier beseh/fftigen. Von funktionentheoretisehem Inter- esse ist die Kommensurabilit~tsklasse yon ~ (2~). H. tIELLrNO hat in [2] ein Vertretersystem der Klassen konjugierter, maximaler Gruppen in der Kommensurabilit/~tsklasse tier rationalen Modulgruppe, d.i. 63 (23), ange- geben. Ihre Anzahl ist nieht endlich, q6 (2a), q6 (24) und q6 (2e) sind kommen- surabel. Dagegen zeigt Satz 1, dal~ die Kommensurabilit/~tsklasse yon q~ (2~) in der Gruppe der biholomorphen Selbstabbildungen yon ~ in allen anderen F/fllen genau aus den Untergruppen yon endliehem Index in ~ (2r und deren Konjugiel~en besteht. Insbesondere sind die ~ (2r fiir q > 5 paar- weise inkommensurabel. - - Zur expliziten Bestimmung yon automorphen Formen zu ~ (2~), etwa durch Angabe einer Fourier-Entwieklung, seheint eine arithmetische Charakterisierung s/imtlicher Elemente der Gruppe unerl/~131ich. Ein Schritt dahin ist die Kenntnis der Spitzen, das sind die Bilder yon ~ unter q6(2~). Fiir den ersten nichttrivialen Fall q-----5 beweist D. ROSE~r in [3], dal~ die Einheiten des quadratischen Zahl-

kSrpers Q(I/5), und damit die Fibonaeci-Zahlen, Spitzen sind. Wir zeigen in Satz 2, dab Spitzen yon @ (25) auBer ~ genau die Zahlen yon

o(v ) 2. Zwei Untergruppen A, B einer Gruppe G hefl3en direkt kommen-

surabel, wenn A n / 3 endliehen Index in A und in /3 hat, sie heil3en kommensurabel (in G), wenn ftir ein g ~ G A und gBg -~ direkt kommen- surabel sind. Zu jeder Untergruppe A yon G bezeiehne T(A) = T a ( A ) die Menge der x ~G, fiir die A und x A x -~ direk~ kommensurabel sind. T(A) ist eine A umfassende Untergruppe von G; es ist T(A) = T(/3), falls A und B direkt kommensurable Untergruppen yon G sind; fiir alle g ~G gilt T(gA9 -~) = g T ( A ) T L Sind A, B, C Untergruppen yon

13"

200 Armin Leutbecher

G, so sind A n C und B n C direkt kommensurabel, falls A und B direkt kommensurabel sind. Ist ~ ein surjektiver Homomorphismus einer Gruppe H a.uf G, so sind zwei Untergruppen A, B yon G genau dann (direkt) kommensurabel in G, wenn ~I(A) und ~I(B) (direkt) kommen- surabel in H sind; ferner gilt stets T~(A)== q~(TH(~I(A))).

A bezeiehne die Gruppe aller lineargebroehenen Transformationen der Zah]enkugel C, SL(2, C) (bzw. SL(2, R)) die Gruppe der zweireihigen, quadratischen Matrizen mit der Determinante 1 und komplexen (bzw. reellen) Koeffizienten, und ~ sei der Homomorphismus von SL(2, C)

aufA, der jeder Natrix die Abbildung z--~ ~ zuor&mt. In

der Bezeiehmmg werden Abbildungen L ~A gelegentlieh nieht unter- sehieden yon den Matrizen 3/, fiir die qg(M) = L i s t , ebenso wird die Matrizengruppe ~1(~(2)) auch mit ~t()t) bezeichnet, ohne dab daraus eine Verwechslung entsteht.

0 2~ (~(~1 1)(~()t,)( 0 ~)enthii l tal leMatrizen(: b) derrationalenModul-

gruppe (~ (~3), ffir die c ~= 0 mod 2 ist,

(2~ 1 ~ ) ~ ( ~ ) ( ~ ~)al leMatr izen( : ~)von~(~s),f i i rdiec--:-0mod3

ist. Daraus folgt, dab (~(23), @(24) und ~(2s) kommensurabel sind. a z -~ b TA(~(23)) besteht aus den Abbildungen z -> c-7-~-~ in A mit rationalen

a, b, v, d.

Satz 1. J bezeichne die durvh J (z)-~--z definierte Abbildung in A. Dann gilt ~at alle nat~rlichen Zahlen q ~ 5, q :4: 6:

TA (~ (~q)) : if5 (Aq) U g ~ (~tq).

Einen Tell des Beweises nehmen wir in zwei Hilfssgtzen vorweg:

HilIssatzl. Die Menge allerMatrizenvonderForm(al b)in N(~) ist

gleivh der Doppelnebenklasse (; ~Zl ) (~ --~) (10 7 ) , die Menge aller

Darin bezeichnet Z den Ring der ganzrationalen Zahlen, und es ist ,~ = 2q 2 eosq , qeZ, q~_ 5.

B e w eis. Die Menge ~ der komplexen z, fiir die Im z > 0, ]Re z] ~ -~,

t z! :> 1 gilt, ist ein Fundamentalbereieh der Transformationsgruppe

~ber die Heekeschen Gruppen $ (~) 201

(2). Ihr Bild unter V (z) = --1 ist die Menge der komplexen z, f'dr die z

I m z > 0, lzl ~ 1, 1 2 z - - l ] ~ 1 und 12z+ 11 ~ 1 gilt. Fixpunkte in ~) von Transformationen aus (~ (2), die verschieden yon der Identit~t sind, sind genau die Punkte i, ~ ~ e"~/q und deren Bilder unter ~(~l). Die Fixgruppe yon i in ~(2) hat die 0rdnung 2, die yon ~ die Ordnung q. Zwei Punkte z~, z 2 aus dem Streifen ]m z ~ 1 sind /~quivalent unter ~(2) genau dann, wenn z ~ - - z 2 e 2 Z ist. Die einzigen Fix-

1 punkte im Streifen Im z ~ ~- sind

die Punkte yon i q -2Z . Ist nun

z;-)~

z I

Daraus folgt Iv I ~ 1 und im Falle It[ = 1 auch a e 2Z und s e 2Z.

Also gilt die erste Behauptung des Hilfssatzes. - - Da jeder unter @ (2) zu ~ ~quivalente Punkt ~ Fixpunkt der Transformation

I m T

aus (~ (4) ist, gilt stets I m , ~ sin ~/q, und im Falle Im ~ = sin ~/r ist

�9 e ~ q- ~.Z. Zu (a ~) jeder Matrix e ~ (4) liegt in der Doppelnebenklasse

d 0 e i n e M a t r i x S ~ , f i i r d i e 1 - - 2 2 ~ ~ 1 und

]a + O] ~ F i s t . Sie besitzt den Fixpunkt ~ -- 2~ + ~ �9 �9 1 Da ~ (4) keinen Fixpunkt mit dem Imagln/~rtefl ~- besitzt, ist ~ + 0 =~= 0,

also �9 Bild yon ~ unter ~ (4). Aus I m � 9 ~ Im ~ folgt 2 > 1~ + ~ ] ~ 2 ~ - - 2

= 2 cos 2-E~. Als Spur einer Matrix aus der Fixgruppe yon ~ hat ~ -{- O q die Form ~ + 0 = 2 cos ~ (r e ~), also ist ]~ + 0 ] = 2 cos 2~ und deshalb

, q

/ N = $. Die Fixgruppe yon ~in (~ (2)wird dureh L = |

deshalb eine der beiden Matrizen \ J t

Das beweist die zweite Behauptung yon Hiffssatz 1.

2) erzeugt. S ist

202 Armi~Leutbecher

Hillssatz 2. Es sei q ~ 3 eine natt~rliehe Zahl und 2q = 2 cos ~ ; Q q bezeiohne den K6rper der rationalen Zahlen und ~ die Eulersehe Funktion. I m l~ing der ganzen Zahlen yon Q (2~) sind p und 2~r162 assoziiert, /alls q die Gestalt q ---- 2p ~ mit einer rationalen Primzahl p und einer natt~rlichen Zahl v hat; in allen anderen Fdllen ist 2q eine Einhe~;t.

B e w e i s . Ffir natiirliche Zahlen m bezeichne ~m die primitive m-te Einheitswurzel ~ ---- e~'q ~ und ~b~(x) __- ]-I ( x - ~ ) das m-te Kreis- /modm

( l , m ) = 1

teilungspolynom. Die Zahlen 1 - - - ~ (l rood m, (l, m) --= 1) sind paarweise assoziiert in Q (~m). Ffir nieht in m aufgehende rationale Primzahlen p und natfirliehe Zahlen v gilt

(1) ~ , , , ( x ) -- ,,_, .

Es ist 2q = ~y~(1 ~- ~q), und die Absolutnorm yon 1 + Sq bzgl. ~(~q) ist ~q(--1) . Die Identitiit (1) zeigt, dal3 ~q(- -1) = p ist, wenn q die Gestalt q - 2p" hat, und Cq(--1) -- 1 sonst. Im ersten Fall sind bei ungeradem p die Zahlen (1 + ~q)r (1 --~,)r und p assoziiert, bei geradem p die Zahlen (1 + ~q)~(q~, (1 --Sq)~(q~ und p; im zweiten Fall dagegen ist 1 ~ ~q eine Einheit. ]:)as beweist den Hilfssatz 2.

Wit kommen nun zum Beweis yon Satz 1.

J liegt im Normalisator yon (~ (4) bzgl. A, also in T A (~ (;t)). Da anderer- seits jedes Element yon TA((~(2)) die Spitzen yon (~(2), das sind die Bilder yon c~ unter (~(2), permutiert und deshalb insbesondere die reelle Achse auf sich abbildet, genfigt es zu beweisen, dal~ die Elemente yon T A (~ (2)), die ~ auf sich abbilden und ~ zum Fixpunkt haben, yon der Form z -~ z -~ m2, m e Z, sind.

Ffir jede Abbildung z -~ z Jr a in T A (~ (4)) ist a e ~ (4). Sei zuniichst

~ ganz. Dann existiert eine ~a t r ix S = ( : b) in N (2) mit positivem ~

und a = ~. Da die Elemente yon S ganz sind, ist c eine Einheit. 0 _ _ 2 ~ ist erzeugendes Element der Fixgruppe

yon a in ~ (4). Nach der Vorbemerkung fiber Kommensurabilit~t ist die

durch(~--~)t~(~ ~)t_~-l(10 1)=(__12(~2 ~)erzeugte Gruppe mit

2Z kommensurabel, also c ~ rational, und wir haben c = 1, a = ~.

Naeh Hilfssatz 1 ist a -- a e ~Z. Also ist flu" jade Abbfldung z -> z -b fl in TA(~I (4)) fl ~ - r2 mit einem rationalen r. Um festzustellen, da~ stets

l)ber die Heekeschen Gruppen (~ (~t) 203

r ganzrational ist, braucht nur bewiesen zu werden, dab fiir Abbildungen

z--> z - k ~ - i n TA(~(2)) mit natiirlichem n immer n = 1 ist. Liegt

~ in T~ (~ (2) ), dana ist ffir eine l~Iatrix S = ( : ~ ) i n N(;t) a

-- also a ~-- ~)t, c ---- Qn (9 ~ ~(~), ~ > 0). Wegen mit positivem c c n '

a d - bc-~ 1 ist ~-1 ganz, und die durch

e r z e u g t e G r u p p e i s t m i t ( 12Z 01) k~ d'h" 0* i s t ra t i~

Nun ist nach Hilfssatz 2 2*(q) assoziiert zu p, falls fiir eine rationale Primzahl p q = 2p" gilt, und sonst ist 2 eine Einheit. Da ffir q ~ 5, q # 6 stets ~ (q) > 2 ist, muB Q-2 als ganzrationaler Teller yon )t * gleich 1 sein, d.h. es ist 0 = 1, a -= 4, c = n. Aus Hilfssatz 1 gewinnt man n = 1. Wir betrachten schlieBlich irgendeine Abbildung W der Form W(z)

----- az -k b (a > 0) in T A (~ (2,)). Mit ihr liegen W U W -1 und W -1 U W in TA(~(2)). Wegen W U W - I ( z ) - z + a2, W-1UW(z) = z + a-12 ist a = 1 und b e 2Z. Damit ist Satz 1 bewiesen.

Korollar. Im Falle q ~ 5, q =4= 6 ist jede mit @(2q) kommensurable Untergruppe yon SL(2, R) konjugiert zu einer Untergruppe yon (~(2q). Die Gruppen (~ (2~) sind far q ~ 5 paarweise inkommensurabel.

Beweis . Die erste Aussage folgt aus Satz 1, und zum ~aehweis der zweiten genfigt folgende Feststellung: Fundamentalbereiche der Trans- formationsgruppe @ (),q) in ~ - - und die ihrer in der Gruppe der biholo- morphen Selbstabbildungen yon ~0 konjugierten Gruppen - - haben den

hyperbolisehen Fl~icheninhalt ~ ( 1 - - 2 ) , Fundamentalbereiche einer

Untergruppe F yon (~ (Xq) mit endlichem Index [(~ (2q) :F] -~ n haben

den hyperbolischen Inhalt n ~ ( 1 - - 2 ) . Also ist ~(2ql )n icht konjugiert

zu einer Untergruppe yon (~(2q2), wenn ql # q~ ist.

3. Wit bestimmen die Spitzen yon ~(25). 25 = s--~ �89189 ]/5 ist

Grundeinheit des quadratischen ZahlkSrpers ~ ( V 5 ) u n d 1, s eine Ganz- heitsbasis. Jedes Element M yon ~ (25) lKBt sich schreiben in der Form M = U "~ V U "~ V . . . U " V U ""+1 mit ganzrationalen aj. Die Menge der Bilder yon c~ unter (~ (ha) ist also gleich der Menge der endliehen e- Kettenbrache

--1

ch e -b a2 8 A~.

--1 . + an2z

204 A r m i n L e u t b e c h e r

Jeder yon c~ verschiedene endliche e-Kettenbrueh ist eine Zahl yon

Q(V5), und es gilt aueh die Umkehrung:

Satz 2. aede Zahl o~ des quadratischen Zahlkhrpers Q(V-5 ) gestattet elne endtiche Kettenbruchentwicklung der Form

--1 o~ = a o e -[- - - 1

a 2 8 -~- . --1 . + a.e

mit ganzrationalen Zahlen a t (0 ~ j ~ n).

:Beweis. Mit ~ sind auch - - ~ , ~ + e und ~ - 8 endliche e-Ketten- briiche; die Menge der end]ichen ~-Kettenbrfiche besteht deshalb aus vollen Bahnen der dureh U und J erzeugten Gruppe A. In jeder Bahn

b yon Zahlen aus Q (]/-5) liegt genau eine ZaM ~ = r + s~ (r, s rational) 8

mit den Eigenschaften - - y < ~ ~ y , r > 0 oder r = 0 und s ~_ 0. Is t

=~ 0, dann sei b~ die Bahn von ~-1 unter A. Die Zahlen yon b sind endliehe e-Kettenbrfiche, wenn die ZaMen yon bl es sind. Jede Zahl

= r + se aus Q(Vh) ist Quotient ~ = -fl zweier ganzer, teilerfremder 7

Zahlen fl, 7 aus ~(Vh) . Das Paar der nichtnegativen ganzrationalen Zahlen p = lrN(y)l , q = IN(y)[ h~ngt weder yon der Wahl yon fl und y noch v o n d e r Wahl von ~ in seiner Bahn bun te r A ab. (N(7) bezeichnet die Norm von 7.) Als MaB fiir die , ,Entfernung" der Bahn b yon e Z

wKhlen wir den Wert der qnadratisehen Form E ( b ) = G(p, q ) = 5p ~ + 4pq + 2q 2. E(~) hat den minimalen Wert 2 genau fiir die Bahn b -- eZ. Wir zeigen, da[~ im Falle 5 ~ 8Z E(th) < E(b) gilt. Damit ist dann Satz 2 bewiesen.

Sei also b ~ eZ eine Bahn yon A in Q(]/5) und r162 -- p + sp' ihr aus- q gezeiehneter Vertreter. Es ist ~ =~ 0, und dis bl zugeordnete P a i r PI, qx

ist Pl = ]P + P' I, ql - IP2 + PP'--P'2[ . Wir unterseheiden die F~lle q

I : O < = p + e p ' ~ _ e q / 2 und I I : --eq/2 < p + e p ' < 0 .

In Fall I ist

--Ple ~--P' ~-- q / 2 - - p / e

and

Darius ergibt sich

p/e. <__ p + p' p/e. + q/2.

Pl ~_ P/e 2 + q/2

sowie ql ~ (2e - - 1)p12 - - q/4, fails q/2 ~ pie ist,

bzw. q~ < p/2 + q/4, falls pie < q/2 ist.

U'bcr die Heckeschen Gruppen (~ (2)

In Fall I I ist dagegen

--pie - - q/2 < p' < --p/e

pie ~ - - q/2 < p A- t)' < pie2. und

Daraus ergib$ sich

205

ql ~ ( 2 e - 1)p/2 -4- q/4

sowie Pl < p/e2, falls p + p' ~ 0 is$,

bzw. Pl ~_ --P/e~ + q/2, falls p + p' < 0 ist.

Man gewinnt also Absch~tzungen vom Typ: Pl ~ ap + bq, q~ ~ vp + dq mit reellen a, b, c, d. Nun ist G(pl, ql) ~ G(ap § bq, cp -~ dq), und ftir die auf der rechten Seite stehende quadratische Form up S + vpq ~ wq ~ priift man in allen F~illen ohne Miihe nach: u < 5, v < 4, w < 2. Daraus folgt die Behauptung.

Literatur

[1] E. HECKE, Uber die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch ihre Funktional- gleichungen. Math. Ann. 112, 664---699 (1936) = Math. Werke S. 591--626.

[2] H. HE~.LING, Bestimmung der Kommensurabiliti~tsklasse der Hilbertschen Modulgruppe. Math. Zeitschr. 92, 269--280 (1966).

[3] D. RosEN, An arithmetic characterization of the parbolic points of G(2 cos ~/5). Proc. Glasgow Math. Assoc. 6, 88--96 (1963).

Eingegangen am 16. 5. 1966