Vol.X, 1959 123

l~ber eine Charakterisierung der elliptischen Difierentialoperatoren

u Jos~ ~IETO in Heidelberg

Einleitung. In seiner in Bogots (Kolumbien) 1956 gehaltenen Vorlesung fiber ,,Partielle Differentialgleichungen yore elliptischen Typ" hat L. SCHWXRTZ R~ume eingeffihrt, die sich als sehr nfitzheh fiir die Behandlung yon partiellen Differential- gleichungen erwiesen haben. Hier wird im wesentlichen gezeigt, dab solehe R~ume ( ~ ) eine Charakterisierung der elliptisehen IXfferentialoperatoren gestatten. (Fiir die Bezeictmungsweise vergleiehe man das Buch yon L. SCHWARTZ, Th4orie des Di- stributions.)

1. a) Der Raum @s (s eine beliebige reeUe Zahl): Eine Distribution ~ heiBt ein Element aus ~s, wenn ~ e 6 ' und (1 + s ~ e L 2

2V

gilt. (~2 -- ~ ~2 und ~ bezeiehnet die Fouriertransformierte yon r

b) Wenn seine nieht-negative ganze Zahl ist, dann hat man: r e ~s genau dann, wenn fiir jedes [h I ~ s Dhq~ e L~ gilt.

c) Die R~ume ~s sind Hilbertr~ume und besitzen auBerdem die folgenden Eigen- schaften:

~ c ~ c ~ ' c ~ c ~ ' c ~ ' (s _< s'),

wobei die Injektionen ~ -~ ~ -> ~s, _> ~s _> 6 ' -> ~ ' stetig sind.

2. a) Der Raum ~ (seine beliebige reelle Zahl und ~ eine offene Menge aus B 1r : ~ ist der Raum derjenigen Distributionen ~, ffir die ~ e ~s gilt, wobei ~ be-

liebig in ~ ist. Die Topologie yon ~ ist die gr6bste Topologie, ffir welehe die Ab- bfldungen ~--> ~ yon ~ in ~s stetig sind. Versehen mit dieser Topologie ist ~ ein ~-Raum.

b) Wenn s eine nieht-negative ganze Zahl ist, dann ist ~ ein Element aus ~ genau dann, wenn ffir jedes Ih] ~ ~ Dh~ lokal in L~Q) liegt.

c) Es sei D - ~ h ( x ) D ~ ( ~ ) ein Differentialoperator. Die Abbildung

-->D~ yon ~ in ~ - ~ (s beliebig und m die Ordnung des Differentialoperators D) ist stetig.

Definition. Ein Di~erentialoperator D heiflt quasielliptisch, wenn aus q~ e ~)'~ und Dq~ e ~ n die Beziehung cf e ~ ]olgt, wobei m die Ordnung des Operators D und s eine beliebige reelle Zahl ist.

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Definition. D heiflt elliptisch, wenn die zugeh6rige homogene Form

nu t / i i r ~ = 0 verschwindet. Unser Hauptsatz lautet: Ein Operator 1) ist elliptisch genau dann, wenn er quasielliptisch ist.

Dal3 jeder elliptische Operator quasielliptisch ist, wurde schon yon L. ScJ~wA~Tz (siehe Hauptsatz 3.3 der oben erw~hnten Vorlesung) bewiesen. Hier ~_rd nur die Umkehrung bewiesen, d.h. : ]eder quasielliptische Operator ist eUiptisch. Dazu braucht man einige Hilfss~tze:

Hilfssatz 1. Es seien Do und D1 Di~erentialoperatoren der Ordnung m bzw. ml <: m. Dann /olgt aus der QuasieUiptizitiit yon D = 1)o + 1)1 die QuasieIliptizitdt yon Do.

Der Beweis benutzt im wesentlichen die Tatsache, dab auf jeder offenen relativ- kompakten Menge jede Distribution yon endlieher Ordnung ist.

Es sei

1) = D = 1)0 + 1)1, 1)0 1)1 = Z iS/<m Ihl<m

sine Zerlegung yon D. Aus dem ~ilfssatz 1 folgt nnmittelbar das

Korollar. 1) ist genau dann quasielliptisch, wenn sein Hauptteil 1)o es ist. Auf Grund dessen braucht man fiir den Beweis des Hauptsatzes nut zu zeigen,

dab jeder homogene quasielliptische Operator elliptisch ist. Ffir einen homogenen, aber nieht elliptischen Operator grit der

Hilissatz 2. Zu ]edem homogenen nicht elliptischen Operator 1)o der Ordnung m gibt es sine a/fine Koordinatentrans/ormation y = ~ x + b des Grundraumes derart, daft der Koe/fizient der m-ten Ableitung des neuen Operators beziiglich einer der neuen Ver- dnderlichen (z. B. y~) den ~ullpunkt als Nullstelle hat.

Definition. Es sei Do quasieIliptisch. AZ)o bezeichnet den ~aum der]enigen Funk- tionen q~ mit q) e Boa, Do q~ e ~oa versehen mit ]olgender Topologie : ~ konvergiert gegen ~Vull in ADo, wenn q~ und Doq~ beide gegen IVull in ~o lconvergieren.

Auf Grund der Quasielliptizit~t yon D0 zeigt man leicht, dab mengentheoretiseh die R~ume A~~ und ~ iibereinstimmen. A~~ ist aul3erdem sin ~-Raum und es gilt der folgende

Hilfssatz 3. ADo und ~2 sind zueinander i8omorph. Denn die identische Abbildung ~'~ a--> A1)o ist trivialerweise stetig und beide

R~ume sind ~-Rs

Hauptsatz. Jeder quasielliptische Operator ist elliptisch. Mit ttilfe der oben erw~hnten ~ilfss~tze l~Bt sich der Hauptsatz beweisen.

Es sei D unser Operator und 1)0 sein Haupttefl. Wegen des Korollars zu H_ilfs- satz 1 braucht man nur zu zeigen, dab Do elliptisch ist. Man zeigt, dab die An-

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nahme, dab Do nieht elliptisch ist, zu einem Widerspruch fiihrt. In der Tat, w~re Do nicht elliptisch, so k6nnte man, wegen Hilfssatz 2,

D o - ~ ~ (x)" O--~x

m i t Ohl+...+h~

~(x) = O, D~ = (az~)h . . . . (ax~)h~ ' m > hN,

schreiben. Aber die Anwendung yon Itilfssatz 3 auf einen solchen quasielliptischen Operator ffihrt zu einem Widerspruch.

Eine ausffihrliche VerSffentlichung wird an anderer Stelle effolgen.

Eingegangen am 4.2.1959