Übungsaufgaben Pumpen, Bernoulli, Viskosität, Reynoldszahl 1

Hinweis: Oft sind nicht alle angegebenen Werte zur Rechnung erforderlich! Wenn notwendige Werte fehlen, so sind sie aus Ihren Unterlagen zu entnehmen.

1. Sie sollen bei der Projektierung einer Produktionsstraße für eine Großkonditorei die passende Pumpe zum Fördern von flüssigen und pastöser Massen festlegen.

a) Auf welche wichtigen technischen Größen achten Sie dabei? b) Welche Pumpenart(en) kommen hierfür in die nähere Auswahl? (Alle wichtigen Auswahlkriterien

überzeugend begründen.)

/4

a)

b)

Erste wichtige Größe ist der max. Volumenstrom in Liter pro Minute, der sicher in einem großen Bereich veränderbar sein muss. � Verdrängerpumpe, die mit einem frequenz-gesteuerten Motor angetrieben wird. Der sich jeweils einstellende Druck sollte als Maximalwert bekannt sein, um eine Überlastung zu vermeiden und eine Leistungsberechnung zu ermöglichen.

Die einzusetzende Pumpe muss zähfließende Medien möglich gleichmäßig und ohne Pulsation fördern können. Dabei sollte sich der Fließquerschnitt innerhalb der Pumpe möglichst nicht ändern, um die Verstopfungsgefahr zu mindern und das Fließmedium zu schonen. Für eine Lebensmittelpumpe steht eine gute Reinigbarkeit im Vordergrund. (Die einschlägigen Vorschriften für diese Pumpen sehen glatte Oberflächen und Totraumfreiheit vor.)

� Eignen würde sich besonders eine passende Drehkolben-pumpe, eine Schraubenspindelpumpe oder auch u. U. noch eine Membran- oder eine Schlauchpumpe.

Mehrere Pumpenhersteller konsultieren. Edelstahl-Drehkolbenpumpe mit Sonderrotoren

2.

Das mit 1,5 Liter Wasser gefüllte Gerät besitzt 2 Kolben mit 120 mm Länge und 12 mm Durchmesser bzw. 60 mm Durchmesser.

a) Handelt es sich bei dem skizzierten Versuchsgerät um einen Kraft- oder Druckwandler? (begründen!)

b) Wie groß ist die Kraft am kleinen Kolben, wenn am großen eine Druckkraft von 200 N wirkt?

/4

a) Es handelt sich um einen „Kraftwandler“, denn die Kraft am größeren Kolben muss (im statischen Fall) größer als am kleinen Kolben sein. Der Druck ist (im statischen Fall) überall gleich groß.

b)

geg.: d1 = 12 mm d2 = 60 mm F2 = 200 N ges.: F1 in N

1 2

1 22 2

2 12 11 22

2 1

200 (12 )4 8(60 )

4

F Fp A AF d N mmF AF NA mmd

ππππ

ππππ

= = ⇒

⋅ ⋅ ⋅⋅= = = =

⋅

3. Was versteht man unter der Kontinuitätsgleichung? Gilt sie immer und für alle Stoffe? /2

Die Kontinuitätsgleichung besagt, dass der Volumen-strom in einer stationäre Strömung immer konstant bleibt. Das gilt jedoch nur, wenn sich die Dichtes des strömenden Mediums nicht ändert, denn Hintergrund der Formel ist die Konstanz des Massenstromes:

Bei Gasen kürzt sich ρ nicht weg; die Formel sieht also komplizierter aus:

4.

Aus einem Wasserbehälter wird mit Hilfe eines umgestülpten U-Rohres laut Skizze Wasser entnommen.

a) Wie so läuft dabei das Wasser ohne zu Hilfenahme einer Pumpe zuerst 80 mm nach oben?

b) Wie viel Wasser läuft innerhalb einer Minute aus dem Behälter heraus? (Reibungsverluste ignorieren.)

/10

1 1 2 2V A sV A v A v A vt t

•⋅= = = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅

1 1 1 2 2 2A smm A v A v A vt t

ρρρρρ ρ ρρ ρ ρρ ρ ρρ ρ ρ

• ⋅ ⋅= = = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Übungsaufgaben Pumpen, Bernoulli, Viskosität, Reynoldszahl 2

a) Im rechten Fallrohr ist unten am Austritt des Wassers der Druck Null bzw. gleich dem Luftdruck; deshalb liegt der Druck im Röhrchen unterhalb des Luftdruckes. Der Luftdruck, der auf der Wasseroberfläche lastet, drückt das Wasser in den Unterdruckbereich hinein. „Das Wasser wird hochgesogen“.

b) geg.: h1 = 0,7 m ρ =1⋅ 10 3 kg/m3 d = 0,015 m t = 60 s ges.: (v in m/s) V in Liter

1 12

22

2

2

2 21

2

1 2

2 2

2

2 2 10 0,7 3,74

g h v p g h v p

g h v

m mv g h ms s

⋅ ⋅ + + = ⋅ ⋅ + +

⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

ρ ρρ ρ

ρρ

2 32

3

(0,15 )37,4 0,6614 4

0,661 60 39,7

V A sV A vt tdm dm dmdV v s s

dmVV V V t s Litert s

ππππππππ

•

•

• •

⋅= = = ⋅

⋅⋅= ⋅ = ⋅ =

= ⇒ = ⋅ = ⋅ =

5. Frieda Flotts Freundinnen von der Freiwilligen Feuerwehr Frauenberg freuen sich, endlich die neue Feuer- löschkreiselpumpe zu testen. Sie positionieren sie direkt neben der

Nahe (NN 282 m) und schließen eine 800 m lange C/52-Schlauchleitung (dSchlauch = 52 mm) hoch zur Frauenburg (NN 333) an. Zum Löschen wird ein passendes C-Strahlrohr mit einem Mundstück von dRohr = 9 mm Durchmesser aufgesetzt. Dabei ergibt sich eine Durchflussmenge von 140 Liter pro Minute.

a) Wie hoch ist der Druck unmittelbar vorm Strahlrohr? (Die Verluste im Strahlrohr können

getrost vernachlässigt werden.) b) Wie hoch könnte Florentine am Strahlrohr spritzen, wenn keine Verwirbelung

in der Luft stattfände? c) Welchen Druck (welche Druckdifferenz) muss die schöne neue Pumpe erzeugen?

(geschätzte Wandrauheit des Schlauches: k=0,2) d) Bewerten Sie die Arbeit der Feuerwehrleute. e) Bewerten Sie den Verbesserungsvorschlag von Feuerwehranwärterin Wanda Weißnix, die die

Pumpe „einfachheitshalber“ an der Kreisstraße abstellen und mit einem Ansaugschlauch zur Nahe verbinden will.

f) Wie hoch ist die erforderliche Antriebsleistung, wenn ein Pumpenwirkungsgrad von 82 % angenommen wird?

/12

3 21 1

5 22 2

3 3 3

1

3

. : 0,052 2,124 10

0,009 6,362 10

0,14 /min 2,33 10 /. :

geg d m A md m A m

V m m sges p in bar

h in m

−

−

−

= → = ⋅

= → = ⋅

= = ⋅�

3 3

1 1 1 121

3 3

2 15 22

2,33 10 /1,099 /

2,1242,33 10 /

36,68 /6,362 10

m sVV A v v v m sA mm sVv v m sA m

−

−

−

⋅= ⋅ ⇒ = = = =

⋅⇒ = = = =

⋅

��

�

a)

b)

a

2 21 1 1 2 2 2

3 22 2 2 2

1 2 1 2

25

1 3 2 2

2 21000 /

( ) (36,68 1,099 )2 21000

1344 6,72 10 6,722

g h v p g h v p

kg m mp v vs

kg m Np barm s m

ρ ρρ ρρ ρρ ρρ ρρ ρρ ρρ ρ

ρρρρ

⋅ ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ +

= ⋅ − = ⋅ − =

= ⋅ = ⋅ =

2 22 2 2 3 3 3

2 222 2

3 2

2 2

(36,68 / )2 67,32 2 10 /

g h v p g h v p

v m svh mg g m s

ρ ρρ ρρ ρρ ρρ ρρ ρρ ρρ ρ

ρρρρ

ρρρρ

⋅ ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ +

⋅= = = =

⋅ ⋅ ⋅

2

=N 2

Übungsaufgaben Pumpen, Bernoulli, Viskosität, Reynoldszahl 3

c) geg.: h2 = 51 m

k = 0,2 mm ν = 1 mm2/s (s. Diagramm) = 1⋅10 -6 m2/s ρ = 1000 kg/m3 l = 800 m d = 0,052 m V = 2,33 m3/s v = 1,099 m/s ges.: (pV in bar) ∆pPumpe in bar

26

2

1,099 0,05257148

1 10

( 0 ) 252

, Re Re 2600,2

e

e krit

V

krit

kein

v dR V A v

m msR Rms

lp vdmmdausDiagramm da mmk

υυυυ

ρρρρλ ζλ ζλ ζλ ζ

λλλλ

•

−

⋅= ∧ = ⋅

⋅= = > ⇒

⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅

> = =

KrümmKrümmKrümmKrümm

turbul nturbul nturbul nturbul n

eeee

e te te te t

rrrr

2

22

3 2

52

0,03

2800 1000

(0,03 ) 1,0990,052 2

461,5 603,9 2,79 10 2,79

V

V

V

lp vdm kg mp m m sNp Pa barm

λλλλρρρρ

λλλλ

⇒ =

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅ =

2 2

2

2 2

1 2 2 2

2 2

53 2

1

5

1

3 2

2

2 2

21000

1000 10 51 (36,68 ) 2,79 102

14,62 10 14,62

Pumpe

Pumpe

Pumpe

Pu

Verlust

Ver

pe

t

m

lus

g h v p g h v p

g h v

kgkg m m

p

p

p

p

Nm

m s m s mN

p

ba

p

rm

⋅ ⋅ + + + = ⋅ ⋅ + +

= ⋅ ⋅ +

= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

+∆

∆

∆ =

+

=

∆

⋅

ρ ρρ ρ

ρρ

d) Die Belastung von Schlauch und Pumpe sind „grenzwertig“. Die Druckverluste könnte man wenigstens durch eine dickere Zuleitung verringern (B-Schlauch), doch an dem hohen Druck-bedarf zur Überwindung der Höhe und für die hohe kin. Energie des Wasserstrahls lässt sich nichts ändern. (Bei einem Waldbrand auf dem Berggipfel müssten die Feuerwehrleute jedoch ihre Feuerpatschen auspacken.) Frieda Flott sollte schnellstens eine 2. (tragbare) Spritze bei ihrer Kreiswehrführerin beantragen, damit im Ernstfall diese Pumpe auf halber Höhe eingesetzt werden kann.

Übungsaufgaben Pumpen, Bernoulli, Viskosität, Reynoldszahl 4

e) Der Vorschlag von Wanda Weißnix ist indiskutabel: Das Ansaugverhalten der Pumpe „wird auf eine harte Probe gestellt“ (und das Entlüften der Pumpe nimmt Zeit in Anspruch). Die Verluste in der Saugleitung und der Unterdruck wirken sich ungünstig auf den Wirkungsgrad der Pumpe aus (und führen vielleicht sogar zur Kavitation).

werden wir noch kennenlernen

f) geg.: ∆pPumpe = 14⋅105 Pa V = 2,33 m3/s η = 0,82 ges.: PMotor_ab in KW

33 5

22,3 10 14,62 10 3411

34114160 4,16

0,82

Pumpe Pumpe

ab

auf

m N NmV p V

s m s

WPumpeW kWPumpe

pP PP

P

• •−

= ⋅ ∆ ⇒ = ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ =

= = = =η

6.

Erklären Sie das „Hydrodynamische Paradoxon“ (Effekt, physikalische Ursache/Erklärung)!

/4

Der Effekt und scheinbare Widerspruch des Versuches ist, dass die Scheibe während des

Einströmens der Luft nicht weggeblasen, sondern „angesaugt“ wird. Ursache für diesen Effekt ist der Unterdruck zwischen den beiden Scheiben: Die ausströmende Luft verringert laut Kontinuitätsgleichung ihre Geschwindigkeit, da der Strömungsquerschnitt mit wachsendem Radius immer größer wird. Laut Bernoulligleichung ist der Druck im Bereich höherer Geschwindigkeiten geringer. Außen am Spalt ist der Druck Null; somit ist er in der Mitte geringer.

7.

5

Wie funktioniert die links skizzierte und rechts fotografierte Wasserstahlpumpe, mit der die Jungs von der Kirner Feuer-wehr z. B. überflutete Keller leer pumpen?

/6

Das treibende Wasser wird mittels Schlauch bei 1 zugeführt. An der Engstelle 2 erhöht sich die Strömungsgeschwindigkeit sehr stark, wodurch der Druck lt. Bernoulli abfällt. An der Stelle 3 herrscht deshalb ein Unterdruck, der das Schmutzwasser in 4 ansaugt. Die Schmutzteile werden vom treibenden Wasser (Injektorprinzip) an Stelle 3 mitgerissen; der Druck steigt dahinter wieder an, weil durch die Querschnittserweiterung die Strömungsge-schwindigkeit wieder abnimmt.

8. Das Blut eines Joggers hat eine Viskosität η von 2,5 ⋅10−3 Pa⋅s, eine Dichte von 1,05 kg/dm3 und fließt

in der Aorta (φφφφ 10 mm Innendurchmesser) mit einer Geschwindigkeit von 60 cm/s. a) Fließt das Blut laminar? b) Welchen Einfluss hätte eine Aterienverkalkung auf das Ergebnis?

/6

a) geg.: η = 2,5⋅10 -3 Pa⋅s

v = 0,6 m/s ρ = 1050 kg/m3 d = 0,01 m ges.: (ν in m2/s ) Re

3 3

2 2

26

326

2,5 101050

2,381 10

0,6 0,012,52 10 2520

2,381 10

e

e krit

v dR

kg m s mkgs m

ms

m msR Rms

υυυυηηηη

υυυυρρρρ

υυυυ

−

−

−

⋅=

⋅ ⋅ ⋅= = ⋅

⋅

= ⋅

⋅= = ⋅ = > ⇒

⋅turbulentturbulentturbulentturbulent

Im Allgemeinen fließt das Blut in Aterien (und erst recht in den Venen) laminar; hier ist aber die Grenze erreicht bzw. leicht überschritten. Re > 2320

Übungsaufgaben Pumpen, Bernoulli, Viskosität, Reynoldszahl 5

b) Bei einer Aterienverkalkung reduziert sich Re, denn d wird kleiner. Ob sich aber dabei gleichzeitig die Fließgeschwindigkeit erhöht, ist nicht sicher. „Fragen Sie Ihren Arzt oder Apotheker“.

9.

a) Kreuzen Sie die Stelle an, an der die Messergebnisse richtig dargestellt sind.

b) Begründen Sie Ihre Wahl.

/2

Begründung: Da der Strömungsquerschnitt sich verringert, muss laut Kontinuitätsgleichung die Strömungsgeschwindigkeit steigen. Laut Bernoulli verringert sich deshalb der statische Druck; die Flüssigkeit im 1. Röhrchen fällt ab. Da aber die höhere Geschwindigkeit den Staudruck erhöht, wird im 2. Röhrchen, das die Summe von statischem und dynamischem Druck erfasst, die „alte“ Höhe erreicht. (�Gesamtbilanz der Energie bleibt die gleiche.)

Übungsaufgaben Pumpen, Bernoulli, Viskosität, Reynoldszahl 6

8. Ein 25 m langer Gartenschlauch mit einem Innendurchmesser von 15 mm soll stündlich 2000 Liter Wasser

fördern. Wie groß muss der Druck der Wasserleitung (unmittelbar vor dem Wasserhahn) sein, wenn der Schlauch an einem Eckventil angeschlossen ist?

/8

Bestimmen Sie die Reynoldszahlen der folgenden Strömungen:

1. Blutfluss (ρ = 10 3 kg/m3 , η = 4 · 10 -3 kg/(s m)) in den Kapillaren (d = 8 µm, = 5 mm/s) und in der Aorta (d = 20 mm, = 0.3 m/s)

Re = 1500

Das Blut eines Joggers habe eine Viskosität η von 2,0 · 10−3 Pas, eine Dichte von 1,05 · 103 kg/m3 und fließe in der

Aorta (Durchmesser 1,0 cm) mit einer Geschwindigkeit von 60 cm/s.

Durch eine Rohrleitung von 50 mm Durchmesser und 1 km Länge fließen stündlich 10 m3

Heizöl mit n = 4.0 · 10 -5 m2 /s und einer Dichte von 900 kg/m 3 . Wie groß ist der für den Transport erforderliche Druckunterschied?

Zunächst mittlere Geschwindigkeit aus Volumenstrom: = /(p d 2 /4) = 1.42 m/s Damit die Reynoldszahl bestimmen Re = d / n = 1775

Re < 2320, also laminare Strömung. Rohrreibungszahl: l = 64/Re = 0.036 Daraus den Druckunterschied: Dp = l l 2 r /(2 d) = 6.54 bar

Im Jahre 1957 wurde von der Tanzalpe (Jerzner Alm) bis zur Sammelstelle im Dorf (Mühle Jerzens) eine

Milchleitung mit einer Länge von 3 km und einem Durchmesser von 3/8 Zoll (9 mm) verlegt. Dies war damals der schnellste Weg, um die Milch von der Alm zu holen. Die Milchleitung wird während der Sommermonate betrieben. Die tägliche Milchleistung der 85 Kühe beträgt 800 Liter. Kunststoffrohr (k = 0,0015)

Übungsaufgaben Pumpen, Bernoulli, Viskosität, Reynoldszahl 7

2.

Die rechts skizzierte Teichpumpe befindet sich 1 m tief unterhalb der Wasseroberfläche. Der Wasser-strahl soll die Düse, die sich 40 cm oberhalb der Wasseroberfläche befindet, mit einer Geschwindig-keit von 4 m/s verlassen. Der Wasserstrahl hat (unten) einen Querschnitt von 0,5 cm2. Um die passende Pumpe bestellen zu können, benötigt man den

(Mindest-)Druck und den Volumenstrom der Pumpe.

Berechne diese.

/8

3.

Weil an einem Gärtank ist das obere Gärventil defekt war, entstand im Gärgas ein Überdruck von 0,4 bar. Der Stopfen am 15 mm dicken Loch für den Probe-Zapfhahn flog heraus und der halb fertige Wein floss heraus.

Wie lange dauerte es, bis 10 Liter ausgeflossen waren?

/10