Uebungsblatt 02

load '/media/sf_Sage/MyHead.sage'Head('Generalisierte Koordinaten und Metrik')

Theoretische Physik mit SageWiSe 2013/14

- Generalisierte Koordinaten und Metrik -

r,r_,theta,phi,R,V_inv,V_K,ds=var('r r_ theta phi R V_inv V_K ds')

ATU(1,'Kugelkoordinaten')

Aufgabenteil 1) Kugelkoordinaten

Tex('Ortsvektor $\\vec r:$')

e1_1=vector([r*sin(theta)*cos(phi),r*sin(theta)*sin(phi),r*cos(theta)]).column() e1_1

Tex('Jacobi-Matrix $\ J:= ( {\partial r_i\over \partial q_j})= $')

e1_2=jacobian(e1_1,(r,theta,phi))e1_2

Tex('Metrik $G:= Jt \cdot J=$')

e1_3=(e1_2.transpose()*e1_2).simplify_trig()e1_3

Tex('Inverse Metrik $G_{inv}:=G{-1}= $')

e1_4=e1_3.inverse()e1_4

Ortsvektor :r

⎛⎝⎜

rcos(ϕ)sin(θ)rsin(ϕ)sin(θ)

rcos(θ)

⎞⎠⎟

Jacobi-Matrix J := ( ) =∂r i

∂q j

⎛⎝⎜

cos(ϕ)sin(θ)sin(ϕ)sin(θ)

cos(θ)

rcos(ϕ)cos(θ)rcos(θ)sin(ϕ)

−rsin(θ)

−rsin(ϕ)sin(θ)rcos(ϕ)sin(θ)

0

⎞⎠⎟

Metrik G := ⋅ J =Jt

⎛⎝⎜

100

0r 2

0

00

sinr2 (θ)2

⎞⎠⎟

Inverse Metrik := =G inv G−1

⎛⎜⎜⎜1 0 0⎞⎟⎟⎟

ATU(2,'Kugelvolumen')

Aufgabenteil 2) Kugelvolumen

Tex('Invariantes Volumenelement $V_{inv}:=\sqrt{det(G)}$')

e2_1=V_inv==det(e1_3).sqrt().simplify_radical()e2_1

Tex('Kugelvolumen $V_{K}:=\int \limits_0{2\pi} \int \limits_0\pi \int \limits_0R V_{inv} d r d \\theta d \phi$')

e2_2=V_K==e2_1.rhs().integral(r,0,R).integral(theta,0,pi).integral(phi,0,2*pi)

e2_2

s=var('p_r p_theta p_phi t m T')r_=function('r_',t)theta_=function('theta_',t)phi_=function('phi_',t)

ATU(3,'Kanonische Impuls in Kugelkoordinaten')

Aufgabenteil 3) Kanonische Impuls in Kugelkoordinaten

Tex('Generalisierter Impuls-Vektor $\\vec p=$')

e3_1=vector([p_r,p_theta,p_phi]).column()e3_1

In('Impuls - Geschwindigkeit:','\\vec p=m \ G \cdot{ d \\vec r(t)\over d t}=')

m*e1_3*(vector([r_,theta_,phi_]).diff(t).column())

ATU(4,'Kinetische Energie in Kugelkoordinaten')

Aufgabenteil 4) Kinetische Energie in Kugelkoordinaten

Tex('$T:={1\over 2m} \\vec pt \cdot G_{inv} \cdot \\vec p$')

T==(1/2/m*e3_1.column(0)*e1_4*e3_1)[0];e3_2

⎛⎝⎜⎜⎜

10

0

01r2

0

00

1

sinr2 (θ)2

⎞⎠⎟⎟⎟

Invariantes Volumenelement :=Vinv det(G)− −−−−

√

= sin(θ)Vinv r2

Kugelvolumen := drdθdϕVK ∫0

2π

∫0

π

∫0

R

Vinv

= πVK43 R3

Generalisierter Impuls-Vektor =p

⎛⎝

pr

pθ

pϕ

⎞⎠

Impuls - Geschwindigkeit: = m G ⋅ =p d (t)r

dt

⎛⎝⎜

mD[0](r)(t)

m D[0](θ)(t)r2

m sin D[0](ϕ)(t)r 2 (θ)2

⎞⎠⎟

T := ⋅ ⋅12m

p t G inv p

T = + +2 2

Traceback (click to the left of this block for traceback)...NameError: name 'e3_2' is not defined

dr,dphi,ds2,ds_q,S,V_inv,O=var('dr dphi ds2 ds_q S V_inv O')

ATU(5,'Metrik eines Mexikaner-Hutes')

Aufgabenteil 5) Metrik eines Mexikaner-Hutes

Tex('Generalisierte Koordinaten für Mexikaner-Hut $\\vec r=$')

e4_1=vector([r*cos(phi),r*sin(phi),r4-r2]).column()e4_1

Tex('Jacobi-Matrix $J:= ( {\partial r_i\over \partial q_j})= $')

e4_2=jacobian(e4_1,(r,phi))e4_2

Tex('Metrik $G:= Jt \cdot J= $')

e4_3=(e4_2.transpose()*e4_2).simplify_trig()e4_3

Tex('Längenquadrat des Wegdifferentials $ds2=(d r, d \phi)\cdot G \cdot (d r, d \phi)t$')

s=vector([dr,dphi])e4_4=ds2==(s*e4_3*s.column())[0];e4_4

Tex('Länge des Wegdifferentials quer über den Hut $ds_q=\sqrt{ ds2} |_{\phi =0}$')

e4_5=ds_q==e4_4.rhs().subs(dphi=0).sqrt().simplify_full()e4_5

Tex('Weglänge quer über den Hut $S=2*\int_01{ds\_q \over dr}dr$')

s=(numerical_integral(2*e4_5.rhs()/dr,0,1)[0])S==float(int(s*100)/100)

T = + +p 2r

2 m

p 2θ

2 mr2

p 2ϕ

2 m sinr2 (θ)2

Generalisierte Koordinaten für Mexikaner-Hut =r

⎛⎝⎜

rcos(ϕ)rsin(ϕ)

−r4 r2

⎞⎠⎟

Jacobi-Matrix J := ( ) =∂r i

∂q j

⎛⎝⎜

cos(ϕ)sin(ϕ)

4 − 2rr3

−rsin(ϕ)rcos(ϕ)

0

⎞⎠⎟

Metrik G := ⋅ J =Jt

( )16 − 16 + 4 + 1r6 r4 r2

00

r2

Längenquadrat des Wegdifferentials d = (dr,dϕ) ⋅ G ⋅ (dr,dϕs2 )t

= + (16 − 16 + 4 + 1)ds2 dphi2r 2 r6 r4 r2 dr2

Länge des Wegdifferentials quer über den Hut d =s q ds2− −−√ |ϕ=0

= drdsq 16 − 16 + 4 + 1r6 r4 r 2− −−−−−−−−−−−−−−−−

√

Weglänge quer über den Hut S = 2 ∗ dr∫ 10

ds_q

dr

S = 2.32

Tex('Oberflächenelement des Mexikaner-Huts $V_{inv}=\sqrt{det(G)}$')

e4_6=V_inv==det(e4_3).sqrt()e4_6

Tex('Oberfläche des Mexikaner-Huts $O=\int_0{2\pi}\int_01 V_{inv} dr d\phi$')

s=e4_6.rhs().integral(phi,0,2*pi)s=numerical_integral(s,0,1)[0]O==float(int(100*s)/100)

Oberflächenelement des Mexikaner-Huts =Vinv det(G)− −−−−

√

=Vinv (16 − 16 + 4 + 1)r6 r4 r 2 r2− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

Oberfläche des Mexikaner-Huts O = drdϕ∫ 2π

0 ∫ 10 V inv

O = 3.93