UFES Teoria dos Grafos Alguns conceitos de Teoria dos Grafos para Fluxo em Redes Maria Claudia Silva Boeres [email protected] Mestrado em Informática

UFESTeoria dos Grafos

Alguns conceitos de Teoria dos Grafos para Fluxo em Redes

Maria Claudia Silva [email protected]

Mestrado em Informática


Motivação

• Definições e terminologias usadas em diferentes formulações e algoritmos de fluxo em redes


Discutiremos...

• Definições e terminologias de Teoria dos Grafos para fluxo em redes

• Estruturas de Dados para representação de Redes

• Transformações de modelos de problemas de fluxo em redes

UFESCC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Conceitos Básicos

• O que é um grafo?G=(V, E)

V = {v1, ..., vn} E = {e1, ..., em}

vértices arestas

ek = {vi,vj}, k = 1,...,m, i,j = 1,..., n

vi e vj são ditos extremos de ek


ExemploG = (V, E)

V = {a,b,c,d,e}E = {{a,b},{a,c},{b,c},{b,d},{c,d},{c,e}} = { e1, e2, e4, e5, e7, e9}

a

e

b c

d

G = (V, E)

V = {a,b,c,d,e}E = {{a,b},{a,c},{b,b},{b,c},{b,d},{c,d},{c,d},{c,d},{c,e}} = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9}

Grafo simples

Multigrafo

e1 e2

e3

e4

e5

e6 e7e8

e9


Conceitos

• Uma aresta do tipo {vi,vi} é denominada laço. – A aresta e3 do exemplo anterior é um laço.

• Arestas que possuem os mesmos vértices extremos são ditas paralelas.– As arestas e6, e7 e e8 do exemplo anterior são

paralelas.• Um grafo que possui arestas paralelas é

denominado multigrafo.• Um grafo sem laços nem arestas paralelas é

denominado grafo simples.


Conceitos

• Os extremos de uma aresta são ditos incidentes com a aresta, e vice-versa.

u v

e

u e v são incidentes a e e é incidente a u e a v


Conceitos

• Dois vértices que são incidentes a uma mesma aresta são ditos adjacentes.

• Duas arestas que são incidentes a um mesmo vértice são ditas adjacentes.

u v

eu e v são adjacentes

e1 e e2 são adjacentes

ue2

e1


Observação

O conceito de incidência ou adjacência

é importante para a representação

da estrutura de um grafo como um diagrama


Conceitos

• O número de vértices de um grafo G é denotado por n = |V|. O valor n também é conhecido como ordem de G

• O número de arestas de um grafo é denotado por m = |E|

• Se n e m são finitos, o grafo é finito. Caso contrário é dito infinito.– Exemplo de grafo infinito: malhas


Conceitos

• O número de arestas incidentes a um vértice v é denominado grau(v) e representado por d(v).

• Grau também é conhecido como valência.

a

e

b c

d

d(a) = 3d(b) = 5d(c) = 4d(d) = 2d(e) = 2


Conceitos• Vértice isolado é o vértice que não possui arestas

incidentes (grau nulo)• Vértice folha ou terminal é o vértice que possui grau

1• Vizinhos de um vértice são os vértices adjacentes a

ele.

b

a

cd

e

d é um vértice folha e e é um vértice isoladob e c são vizinhos de a


Conceitos

• Pares de vértices (ou de arestas) não adjacentes são denominadas independentes.

• Um conjunto de vértices (ou arestas) é independente se nenhum par de seus elementos é adjacente.


Exemplo

a

b c

d

f

ege10

e1 e2

e3

e4e5

e6e7

e8

e9

•e1 e e5 são independentes•a e d são independentes•{b,e,g} é um conjunto independente•{e1, e5 } é um conjunto independente


Teorema 1:

Seja G = (V,E) um grafo simples com n vértices e m arestas. Então

∑ d(v) = 2mv Є V

u v

e

Prova:

• A aresta e é incidente aos vértices v e w• É contabilizada no cômputo do grau de v etambém de w.


Corolário 1:

O número de vértices de grau ímpar, de um grafo G, é par.

Prova:V

VI VP

∑ d(v) = ∑ d(v) + ∑ d(v) = 2mv Є V v Є VI v Є VP

par par par

2010/2 Teoria dos Grafos UFES

Subgrafos Subgrafo: G' = (N', A') é um subgrafo de G = (N, A) se N' N e A'

A. Subgrafo induzido por N': G' = (N', A') é um subgrafo de G = (N,

A) induzido por N' se G' contém todos os arcos de G que ligam apenas os vértices de N'.

• Subgrafo gerador: o subgrafo G' = (N', A') de G = (N, A) é gerador se N' = N e A' A.


Percursos Percurso: é um subgrafo de G = (N, A) que consiste de vértices e

arcos em uma sequência i1 – a1 – i2 – a2 – i3 – a3 - … - ir-1 – ir, que satisfaz a seguinte propriedade:

k, 1 k r-1, ak = (ik, ik+1) Aou ak = (ik+1, ik) A.

Percurso direcionado: todos os arcos do percurso estão na mesma direção.

Percurso simples direcionado: étodos os arcos do percurso direcionado não se repetem, podendo haver repetição de vértices.

• Caminho: percurso simples sem repetição de vértices.

• Caminho direcionado: percurso simples direcionado sem repetição de vértices.


Percursos Ciclo: percurso simples e fechado (o nó inicial coincide com o final). Ciclo direcionado: ciclo orientado com todos os arcos na mesma

direção. Rede acíclica: um grafo é acíclico se não contém ciclo direcionado.


Conexidade Dois vértices estão conectados se existe um caminho entre eles. Um grafo é conexo se todo par de vértices é conectado. Caso contrário

é desconexo. Grafo simplesmente conexo ou s-conexo: todo par de vértices é

unido por ao menos um caminho no grafo correspondente não direcionado.

Grafo semi-fortemente conexo ou sf-conexo: em todo par de vértices do grafo, um deles é atingível a partir do outro (ou seja, entre eles existe um caminho em ao menos um dos dois sentidos possíveis)

Grafo fortemente conexo ou f-conexo: todo par de vértices é mutuamente atingível, ou seja, a todo par de vértices está associado um par de caminhos de sentidos opostos. Todo vértice é atingível a partir de um vértice dado e todo vértice atinge todo vértice dado


Exemplosa

d

b c

a

d

b c

a

b c

d


Níveis de Conexidade

s-conexo

f-conexo

sf-conexo


Componentes f-conexas

• Um grafo orientado qualquer pode ser particionado em componentes f-conexas maximais.

• Se um grafo orientado é f-conexo: a partição é o próprio conjunto de vértices do grafo.


Corte de arcos• Um corte é um conjunto de arcos que define uma partição do

conjunto de vértices [S, N-S], de maneira que cada arco pertencente ao corte possui um dos seus extremos em S e o outro em N-S.

• Um corte s-t é um corte [S, N-S] com respeito a dois vértices s e t do grafo, de maneira que s S e t N-S.


Árvores• Uma árvore é um grafo conexo sem ciclos.• Algumas propriedades:

– Uma árvore com n nós possui exatamente n-1 arcos– Cada par de vértices de uma árvore está conectado por

exatamente um único caminho– Uma árvore possui pelo menos 2 folhas (vértices de grau

1)• Uma floresta é um grafo sem ciclos.• Subárvore: um subgrafo conexo de uma árvore• Árvore enraizada: algum vértice da árvore é escolhido como raíz e

todos os outros vértices são “hierarquizados” de acordo com essa raíz


Árvores• Uma árvore out-tree direcionada enraizada no nó s é uma árvore

T na qual o único caminho entre s e cada vértice de T é um caminho direcionado.

• Uma árvore in-tree direcionada enraizada no nó s é uma árvore T na qual o único caminho entre cada vértice de T e s é um caminho direcionado.

• Árvore geradora: Uma árvore T é uma árvore geradora de G se T é subgrafo gerador de G e é uma árvore.

• Um grafo G é bipartido se o seu conjunto de vértices pode ser particionado em 2 conjuntos N1 e N2 de forma que cada arco de G possui um dos extremos em N1 e o outro em N2 e não há arcos que liguem vértices de uma mesma partição.

– Propriedade: Um grafo G é bipartido sss cada ciclo em G possui comprimento par.

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