ugib betonskih nosaca

UDK 624.074:624.012.4+678-7 Primljeno 22. 4. 2008.

GRAEVINAR 60 (2008) 6, 499-511 499

Odreivanje progiba betonskih nosaa s armaturom od polimera armiranih vlaknima Tomislav Kiiek, Zorislav Sori, Josip GaliKljune rijeibeton, armatura,

polimer armiran

vlaknima (PAV),

armiranobetonski nosa,prianjanje armature,

proklizavanje armature,

progib

T. Kiiek, Z. Sori, J. Gali Izvorni znanstveni radOdreivanje progiba betonskih nosaa s armaturom od polimera armiranih vlaknima Opisan je proraunski model progiba betonskih nosaa armiranih armaturom od polimera armiranih vlaknima (A-PAV). Model se temelji na odreivanju zakrivljenosti poprenih presjeka du nosaaoptereenog na savijanje. Analiziran je utjecaj prianjanja i proklizavanja na rezultate proraunaprogiba s poveanjem optereenja. U proraunskom se modelu mogu primijeniti stvarni dijagrami prianjanje/proklizavanje (eksperimentalno odreeni normiranim pokusom) ili idealizirani dijagrami.

Key words

concrete, reinforcement,

fibre reinforced

polymer (FRP),

reinforced-concrete girder,

adhesion of reinforcement,

slip of reinforcement,

deflection

T. Kiiek, Z. Sori, J. Gali Original scientific paperDetermining deflection of concrete girders strengthened with fibre reinforced polymers

The design model for determining deflection of concrete girders strengthened with fibre reinforced

polymers (FRP) is described. The model is based on the determination of curvature of individual cross

sections along the girder subjected to bending load. The influence of adhesion and slip on the deflection

analysis results, with an increase in bending load, is analyzed. The design model is suitable for realistic

adhesion/slip diagrams (experimentally defined by a standard testing procedure), and also for idealized

diagrams.

Mots cls

bton, armature,

polymre renforc de

fibres (PRF),

poutre en bton arm,

adhrence d'armature,

glissement d'armature,

dflection

T. Kiiek, Z. Sori, J. Gali Ouvrage scientifique originalDtermination de dflection des poutres en bton contenant polymres renforcs de fibres

Le modle analytique visant dterminer la dflection des poutres en bton renforces par des

polymres renforcs de fibres (PRF) est dcrit. Le modle est bas sur la dtermination de courbure des

coupes transversales le long de la poutre soumise la flexion. L'effet de l'adhrence et du glissement

sur les rsultats de dflection, avec l'augmentation de la charge de flexion, est analys. Le modle

analytique est appropri pour les diagrammes ralistes adhrence / glissement (dfinis par essais

normaliss), et aussi pour les diagrammes idaliss.

, , (PAV), o , ,,

, . , . Op , , , (A-PAV). , . . / ( ) .

Schlsselworte

Beton, Bewehrung,

faserbewehrtes

Polymer (PAV),

bewehrter Betontrger,

Haftung der Bewehrung,

Gleitung der Bewehrung,

Durchbiegung

T. Kiiek, Z. Sori, J. Gali Wissenschaftlicher OriginalbeitragFestlegung der Durchbiegung von Betontrgern mit Polymerbewehrung, faserbewehrt

Beschrieben ist ein Berechnungsmodell fr die Durchbiegung von Betontrgern faserbewehrt mit

Polymerbewehrung (A-PAV). Das Modell begrndet sich auf der Bestimmung der Krmmung der

Querschnitte lngs des biegebelasteten Trgers. Analysiert wurde der Einfluss der Haftung und

Gleitung auf die Berechnungsergebnisse der Durchbiegung mit Steigerung der Belastung. Im

Berechnungsmodell knnen wirkliche Diagramme Haftung/Gleitung (experimental bestimmt durch

normierte Versuche) oder idealisierte Diagramme angewendet werden.

Autori: Dr. sc. Tomislav Kiiek, dipl. ing. gra, Graevinski fakultet Sveuilita u Zagrebu; prof. dr. sc. Zorislav Sori, dipl. ing.gra; mr. sc. Josip Gali, dipl.ing.gra, Graevinski fakultet Sveuilita u Zagrebu, Kaieva 26, Zagreb

Progib betonskih nosaa T. Kiiek i drugi

500 GRAEVINAR 60 (2008) 6, 499-511

1 Uvod

Uzdu armiranobetonskog nosaa optereenog na savi-janje pri optereenjima veim od onih kod kojih nastaju prve pukotine, neki presjeci se nalaze u stanju napreza-nja I (presjeci bez pukotina) a neki u stanju naprezanja II (presjeci s pukotinama). Razni istraivai [4], [5], [9], [10] su, da bi proraunali progibe nosaa, na razliitenaine uzimali prosjenu vrijednost zakrivljenosti ili krutosti nosaa. Ovakav nain prorauna progiba daje se u propisima mnogih zemalja, a najpoznatiji je proraunprogiba prema amerikom istraivau Bransonu [24]. Poveanjem optereenja nastaju nove pukotine, a posto-jee se ire i produljuju. U nekom trenutku nove pukoti-ne vie ne nastaju nego se postojee samo ire s povea-njem optereenja.U ovom radu se zakrivljenost poprenog presjeka prora-unava uzevi u obzir prianjanje i proklizavanje arma-ture u betonu izmeu dviju susjednih pukotina nosaa.

Detaljno je opisan postupak prorauna naprezanja i de-formacija u betonu i armaturi te zakrivljenosti popre-nog presjeka u podruju izmeu dviju susjednih pukoti-na. Proraunom se uzima u obzir prianjanje i prokliza-vanje armature. Rabe se eksperimentalno dobivene kri-vulje prianjanje/proklizavanje za A-PAV. PAV je kra-tica za polimer armiran vlaknima ili engl. FRP (Fiber Reinforced Polymer). A-PAV (armatura od polimera armiranih vlaknima) ne korodira pa se u novije vrijeme primjenjuje umjesto eline armature. Osim za izradu ipki i mrea za armiranje, te natega za prednapinjanje, PAV se upotrebljava za izradu, lamela, trakova i plahti koje se mogu rabiti za zatitu i ojaanje nosivih kons-trukcija. PAV se proizvodi od staklenih (S), aramidnih (A) i ug-ljinih (U) vlakana velike vrstoe, povezanih epoksid-nom smolom, poliesterom ili vinilesterom, uz kaluplje-nje i preanje, pa se tako razlikuju proizvodi od PASV-a, PAAV-a te PAUV-a.

U sklopu istraivanja na znanstvenoj temi br. 0082203 Primjena nemetalnih materijala u betonskim konstruk-cijama provedena su eksperimentalna ispitivanja greda i ploa armiranih armaturom od polimera armiranog vlaknima (PAV) koja su opisana u radovima [1] i [25]. Rezultati prorauna opisanih u ovom radu usporedit ese s rezultatima spomenutih eksperimentalnih ispitivanja

2 Raspodjela naprezanja izmeu dviju susjednih pukotina

2.1 Opis postupka proraunaProraun raspodjele naprezanja prianjanja izmeu beto-na i armature je iterativni postupak, opisan u lanku [20], a ovdje je prilagoen koritenju A-PAV-a. U svakom po-prenom presjeku rabi se bilinearni proraunski radni dijagram vlano naprezanog betona (slika 1.) i proraunski dijagram tlano naprezanog betona (pravokutnik + parabola).

Proraunski dijagram betona u vlanom podruju (slika 1.) opisan je sljedeim veliinama:

mct,H - relativna vlana deformacija betona pri vlanoj vrstoi (maksimalnom vlanom naprezanju),

mctf , - vlana vrstoa betona (maksimalno vlano na-prezanje),

uct,H - maksimalna relativna vlana deformacija beto-na izmeu dviju pukotina,

uctf , - vlano naprezanje betona pri maksimalnoj rela-tivnoj vlanoj deformaciji betona.

Prema lanku [21] maksimalna relativna vlana defor-macija betona izmeu dviju pukotina, uct,H , prorauna-va se pomou izraza (1):

bfb

G

mct

f

uct

3

3ln2

,,H (1)

E cm

V c (N/mm )2

ct,mH

f

Hct

ct,m

E cm

V c (N/mm )2

ct,mH

fct,m

ct,uHa) b) Hct

fct,u

ctHctH

c1V

Slika 1. Proraunski dijagram betona u vlanom podruju: a) prije nastanka pukotine, b) izmeu dviju pukotina

T. Kiiek i drugi Progib betonskih nosaa

GRAEVINAR 60 (2008) 6, 499-511 501

gdje je:

fG - energija sloma betona,

b - duljina konanog elementa. Za elemente kod kojih pukotine nastaju uslijed savijanja,

uct ,H se uzima prema radu [19] u kojem je, mctuct ,, 3520 HH y .

Postupak odreivanja raspodjele prianjanja temelji se na sljedeim uvjetima koji povezuju mjerodavne veliine u proraunu. To su: 1. Uvjet ravnotee horizontalnih sila u poprenom pre-

sjeku elementa (slika 3.):

21 fcfct FFFF (2) gdje je:

ctF - rezultanta vlanih naprezanja u betonu, 1fF - sila u vlanoj A-PAV koja se postavlja u

jednom redu (ukoliko se A-PAV postavlja u dva ili vie redova tada treba uzeti u obzir razliito naprezanje u svakom redu armature radi linearnog ponaanja, bez poputanja, takve armature),

cF - rezultanta tlanih naprezanja u betonu, 2fF - sila u tlanoj A-PAV,

2. Uvjet ravnotee momenata savijanja u poprenom presjeku (slika 3.),

zFFM fctSd 1 (3a) odnosno,

zFFM fcSd 2 (3b) gdje je:

z - krak unutarnjih sila,

3. Veza naprezanja u armaturi 1fV i naprezanja pria-njanja pW izmeu betona i A-PAV-a u jednom redu, dana je izrazom (4) (vidjeti lanak [28]):

01

1 6f

pp

f

A

o

dx

d WV (4) gdje su:

1fV - naprezanje u vlanoj A-PAV, pW - naprezanje prianjanja izmeu betona i A-

PAV-a,

po6 - suma opsega svih ipki vlane A-PAV, 1fA - plotina svih ipki vlane A-PAV

4. Izraz koji definira proklizavanje armature u betonu:

dxx cf 0

1 HHG (5)

gdje su:

G - proklizavanje A-PAV-a u betonu, 1fH - relativna deformacija vlane A-PAV,

cH - relativna deformacija betona u razini vlanearmature.

Iterativni postupak prorauna raspodjele prianjanja pro-vodi se za podruje izmeu dviju susjednih pukotina. Rubni uvjeti na mjestu pukotina proraunaju se iz rav-notee presjeka s pukotinom za moment savijanja na tom mjestu (slika 2.). Na taj nain se prorauna napreza-nje u armaturi, te relativna deformacija tlanog betona,

2cH , na mjestu pukotine. Veza naprezanja u vlanoj A-PAV izmeu (i-1) i (i)-tog presjeka dana je izrazom:

xA

o

f

pipifif '

6 1

)1(,)1(,1)(,1 WVV (6)

V

F

HA

h

22

1d

d-d

d

y

bf1A

2g2d

y

V lanopodru je

T lanopodru je

f2

f1H

x

c2f2H

z

f1

yy

F f2

F c

rc

c2

M (x)

Slika 2. Relativne deformacije, naprezanja i unutarnje sile u poprenom presjeku na mjestu pukotine


502 GRAEVINAR 60 (2008) 6, 499-511

gdje je:

x' - udaljenost izmeu (i-1) i (i)-tog presjeka. Dakle, da bi se odredilo naprezanje u armaturi u (i)-tom presjeku, )(,1 ifV , uz poznato naprezanje u armaturi (i-1)-og presjeka, )1(,1 ifV , mora se poznavati naprezanje pria-njanja )1(, ipW . Kako se iz rubnih uvjeta ne moe prora-unati poetno naprezanje prianjanja, ono se treba pret-postaviti i to je poetna vrijednost iterativnog postupka prorauna raspodjele prianjanja. Za poetnu vrijednost naprezanja prianjanja moe se uzeti polovica najveevrijednosti naprezanja prianjanja odabrane krivulje pria-njanje/proklizavanje.

Za (i)-ti presjek se pomou poznatog momenta savijanja na tom mjestu i proraunanog naprezanja armature trai ravnotea unutarnjih sila presjeka tako da se u obzir uzima i nosivost betona u vlanom podruju (slika 3.).

Za pretpostavljenu vrijednost relativne vlane deforma-cije betona na donjem rubu poprenog presjeka, ctH , trai se relativna tlana deformacija betona na gornjem rubu presjeka, 2cH , uz koju uvjet ravnotee unutarnjih sila mora biti zadovoljen. Te sile daju moment savijanja koji se usporeuje sa poznatim momentom savijanja u tom poprenom presjeku. Ako je taj moment manji od mo-menta u presjeku, tada treba poveati relativnu vlanudeformaciju betona, ctH , i ponoviti postupak. Postupak se prekida kada je apsolutna vrijednost razlike izmeutih dvaju momenata manja od neke unaprijed odreene male vrijednosti. Za proraun unutarnjih sila u tlano napregnutom dijelu betona i u tlanoj armaturi rabi se postupak prikazan u nastavku. Raspodjela naprezanja betona u tlanom podruju dana je proraunskim dijagramom betona parabola+pravac koji je definiran sljedeim izrazima ( ckc fiH uvrtavaju se kao pozitivne vrijednosti) prema [30]:

ako je 000000 0,20 d cH(za 22 cccc vrijedi VVHH ): ckccc f 85,012501000 HHV (7)

ako je 000000 5,30,2 d cH(za 22 cccc vrijedi VVHH ): ckc f 85,0V (8)

Za proraun rezultante tlanih naprezanja u betonu, Fc,uvodi se koeficijent punoe radnog dijagrama betona,

vD , definiran u izrazima (12) i (13) prema [30], pa se ona proraunava prema izrazu:

bxfF vckc D85,0 (9) gdje je:

ckf - karakteristina tlana vrstoa betona, b - irina pravokutnog poprenog presjeka.

Udaljenost neutralne osi presjeka od gornjeg (tlanog) ruba, xy g 1 , proraunava se prema izrazu (10).

hxyctc

cg HH

H2

21 (10)

Udaljenost sile u tlanom dijelu betona, odnosno udaljenost teita dijagrama tlanih naprezanja u betonu od gornjeg ruba poprenog presjeka proraunava se prema izrazu:

xky ac (11) Koeficijenti av kiD odreeni su za 2cH pomou izraza (12) i (13), [30]:

ako je 0002000 0,20 d cH :)10006(

12

10002

2c

cv HHD ; )10006(4

10008

2

2

c

cak H

H (12)

ako je 0002000 5,30,2 d cH :2

2

3000

23000

c

cv H

HD ;

V

F

A

h

22

1d

d-d

d

y

bf1A

1g1d

y

Vlanopodruje

Tlanopodruje

f2

ctH

x

f2H

z

f1

yy

F f2

Fc

rc

c2

Hc2

f1HFct

d

y

M

t

f ct,m

Vc1

Slika 3. Relativne deformacije, naprezanja i unutarnje sile u poprenom presjeku s uzimanjem u obzir nosivosti betona u vlanom podruju


GRAEVINAR 60 (2008) 6, 499-511 503

)23000(2000

2)43000(1000

22

22

cc

ccak HH

HH (13)

Relativna deformacija u tlanoj A-PAV je:

x

dxcf

)( 222

HH (14)

Sila u tlanoj A-PAV je: cffffff EAF ,22222 ; HVV (15)

gdje je:

cfE , modul elastinosti tlane A-PAV. Budui da je modul elastinosti tlano naprezane A-PAV,

cfE , , manji od vlanog modula elastinosti, a tlanavrstoa znatno manja od vlane vrstoe, ne preporuase u proraun uzimati tlanu A-PAV (ACI 440 [13]). Zbog openitosti izraza i slika presjeka, u njima e se ostaviti rezultanta sila tlane A-PAV, Ff2. Izrazi e i da-lje vrijediti ukoliko se uzme da je Ff2 = 0.

Udaljenost rezultante tlanih sila od tlanog ruba pop-renog presjeka je:

cf

ccfr

FF

yFdFy

2

22 (16)

Ukoliko se sila Ff2 izostavlja iz prorauna, prema [13], tada je cr yy .U ovom proraunskom modelu uzima se da beton izme-u pukotina moe preuzeti vlana naprezanja. Unutarnje sile u vlano napregnutom dijelu betona proraunavaju se prema slikama 3. i 4. te sljedeim izrazima:

Slika 4. Unutarnje sile u vlano napregnutom podruju betona bhfF ctmctct 1,1 5,0 (17 ) bhfF ctmctct 2,2 5,0 (18)

bhF ctcct 213 5,0 V (19)

U gornjim izrazima, b je irina poprenog presjeka dok su duljine vlano naprezanog presjeka:

ctct

mctct hh H

H ,1 (20)

12 ctctct hhh (21)

hhycct

ctctd 21 HH

H (22)

Vlano naprezanje betona na donjem rubu poprenog presjeka proraunava se prema izrazu (23), ako je

uctctmct ,, HHH dd (vidjeti sliku 1.b).

uctmctmctuct

mctctmctc fff ,,

,,

,,1

HHHHV (23)

Rezultanta vlano napregnutog betona iznosi: 321 ctctctct FFFF (24)

a njezina udaljenost od neutralne osi proraunava se prema izrazu:

ct

ctctctctctctct

F

yFyFyFy 332211

(25)

Ako je relativna deformacija betona na donjem rubu pop-renog presjeka, mctct ,HH d , tada se rezultanta vlanih naprezanja betona rauna prema izrazu:

bhF ctcct 15,0 V (26) cmctc E HV 1 (27)

Sila u vlanoj armaturi proraunava se prema izrazu: 1)(,11 fiff AF V

Naprezanje vlane armature u i-tom presjeku, Vf1, odgovara Vf1,(i) i dano je izrazom (6). Udaljenost rezultante vlanih sila: a) u betonu (Fct) i b) vlanoj A-PAV (Ff1) od neutralne osi, odreuje se izrazom:

1

111

fct

dfctctt

FF

dyFyFy

Krak unutarnjih sila je:

tdc yyyhz 1 (30) pa tako moment savijanja koji takav presjek moe preuzeti glasi:

zFFM fctRd 1 (31)

ctH

h =

y

y ct1

Fct1ct,mH

c1V

ct,mf

ct Fct3

Fct2

h ct2

h ct1

y ct2

y ct3

1d

Ff1f1H

d 1 h /3

ct22

h /3

ct2

h +

h

/3

ct1

ct2

Vlanopodruje

Tlanopodruje

Neutralna os


504 GRAEVINAR 60 (2008) 6, 499-511

Nakon to se zavri iterativni postupak za odreivanje nosivosti na moment savijanja sa proraunanim relativ-nim deformacijama A-PAV i betona u razini vlane ar-mature, pomou izraza (32) proraunava se proklizava-nje u i-tom presjeku:

xicificif

ii '

22

)1(,)1(,1)(,)(,1)1()(

HHHHGG (32)

u kojem se relativne deformacije vlane A-PAV prora-unavaju pomou izraza:

f

ifif

E

)(,1)(,1

VH (33) gdje je:

fE modul elastinosti vlano naprezane A-PAV, a relativne deformacije betona u razini vlane armature su:

ct

ctctic

h

dh 1)(,

HH (34) Na temelju proraunanog proklizavanja u i-tom presjeku iz izraza (32), iz krivulje pW /G (slika 5.) odredi se pri-padajue naprezanje prianjanja, )(, ipW .

pW

G

p,maxW

G

p,(i)W

(i)Slika 5. Dijagram prianjanje/proklizavanje

Za svaki sljedei popreni presjek, postupak poinje po-novno od izraza (6) do (34). Postupak se provodi sve do presjeka kod sljedee pukotine. Za taj presjek se uspore-uju naprezanja u armaturi, ono dobiveno iterativno s onim dobivenim iz rubnog uvjeta (za popreni presjek s pukotinom). Ukoliko se naprezanja razlikuju, postupak se ponavlja uz novo pretpostavljeno poetno naprezanje prianjanja, dok se ne postigne zadovoljavajua tonost. Moe se dogoditi da postupak ne konvergira i da nakon nekoliko proraunskih koraka naprezanje u armaturi postane negativno i za moment savijanja u tom presjeku ne moe se postii ravnotea uz relativne deformacije betona u vlanom i tlanom podruju koje odgovaraju realnom ponaanju betona. To znai da je pretpostavlje-no preveliko poetno naprezanje prianjanja. Ukoliko je pretpostavljeno poetno naprezanje prianjanja premalo, moe se dogoditi da naprezanje u armaturi postane pre-veliko i da se za zadani moment savijanja opet ne moe postii ravnotea poprenog presjeka. Postupak poinje konvergirati za usko podruje oko tonog poetnog naprezanja prianjanja.

Kada najvea relativna vlana deformacija u presjeku dostigne vrijednost uctct ,HH tada dolazi do prestanka nosivosti betona u vlanom podruju i nakon toga se smatra da se popreni presjek nalazi u stanju naprezanja II. Moment savijanja pri kojem se to dogaa prorauna-va se traenjem ravnotee unutarnjih sila u promatranom presjeku, prikazanom na slici 6. Za poznatu relativnu deformaciju donjeg ruba poprenog presjeka uctct ,HH ,trai se relativna deformacija betona na gornjem rubu poprenog presjeka, 2cH , takva da se zadovolji ravnote-a unutarnjih sila. U tom postupku mogu se rabiti izrazi (9) do (31), uz napomenu da se sila u vlanoj armaturi rauna prema izrazu:

111 ffff AEF H (35)

VA

h

22

1d

d-d

d

y

bf1A

1g1d

y

Vlanopodruje

Tlanopodruje

f2

ctH H

x

f2H

zyy

Ff2

Fc

rc

c2

ct,u

Hc2

f1HFct

d

M

y t

f ct,m

Vc1 Ff1

Slika 6. Unutarnje sile u poprenom presjeku kod uctct ,HH


GRAEVINAR 60 (2008) 6, 499-511 505

u kojem se relativna deformacija armature proraunava iz izraza:

ct

ctctf

h

dh 11

HH (36)

2.2 Proraun zakrivljenosti poprenog presjeka

U skladu sa proraunom opisa-nim u toki 2.1, zakrivljenost du nosaa, proraunava se na sljedei nain: Ukoliko se promatra podruje nosaa na kojem postoje pukoti-ne, zakrivljenost na mjestu pukotina se proraunava kao zakrivljenost u stanju naprezanja II, tj. javlja se spreg sila koje preuzimaju moment savijanja od vanjskog op-tereenja (tlana sila u betonu i vlana sila u armaturi). Zakrivljenost presjeka izmeu dviju pukotina je svakako manja od zakrivljenosti na mjestu pukotina i to za iznos na koji najvei utjecaj ima smanjenje naprezanja u armaturi zbog naprezanja prianjanja tj. nosivosti betona u vla-nom podruju izmeu dviju pukotina.

U ovom radu zakrivljenost se proraunava prema izrazu (37) za presjeke u podruju izmeu dviju susjednih pukotina [21]:

ddyrrr

cf

d

c

fc

HHH 1

11

111. (37)

Sve veliine iz izraza (37) prikazane su na slici 7. Na mjestu pukotine (stanje naprezanja II) zakrivljenost se proraunava uz pomo relativnih deformacija vlanearmature i tlanog betona prema izrazu (38):

dr

cf 211 HH . (38)

Veliine iz izraza (38) prikazane su na slici 8. Ravnotea sila i momenata savijanja mora biti zadovo-ljena. Treba napomenuti da, ako se u izraz (37) uvrsti

dr

cc

c

21 HH , dobije se izraz (38), to znai da se za proraun zakrivljenosti poprenog presjeka uvijek moe rabiti izraz (38).

3 Model odreivanja progiba s porastom optereenja U ovoj toki opisan je analitiki mo-del odreivanja dijagrama sila/progib, tj. ponaanje betonskih nosaa armira-nih s A-PAV s poveanjem opteree-nja. Ne analizira se utjecaj puzanja i skupljanja (dugotrajne deformacije).

Na dijagramu sila/progib za bilo ka-kav betonski nosa armiran ipkama od PAV-a mogu se uoiti dva podruja. Prvo podruje je ono prije pojave prve pukotine, dok se nakon pojave prve pukotine, a prije sloma nosaa, no-sa se nalazi u drugom podruju. Ovdje opisanim postupkom mogueje proraunati progibe slobodno oslo-

njene grede pravokutnog presjeka, optereene s dvije koncentrirane sile, koje se simultano poveavaju od nule do iznosa kod kojeg dolazi do sloma nosaa. Raspon nosaa podijeli se na intervale jednake duljine. Za svako optereenje proraunaju se momenti savijanja na rubovima i u sredini svih intervala du nosaa. Za svaki iznos momenta savijanja trai se pripadna zakriv-ljenost poprenog presjeka u toj toki. Za optereenje koje u nosau uzrokuje naprezanja manja od onih kod kojih nastaje prva pukotina, zakrivljenost se du nosaaproraunava prema teoriji elastinosti [14]. Nakon pojave prvih pukotina, zakrivljenost se du nosa-a, proraunava pomou izraza (38). Da bi se ovaj izraz

HA

h

22

1d

d-d

d

y

bf1A

2g2d

y

Vlanopodruje

Tlanopodruje

f2

f1H

x

c2f2H

1r

d

Slika 8. Zakrivljenost poprenog presjeka na mjestu pukotine

Ab f1

22

1d

d-d

d

Tlanopodrujeh

y1dy

Vlanopodruje

1g

Hf2H c2

ctH

f2A

1r

1r

cf

d

cH

f1H

Slika 7. Zakrivljenost poprenog presjeka izmeu dviju pukotina


506 GRAEVINAR 60 (2008) 6, 499-511

mogao rabiti, za svaki presjek du nosaa proraunavaju se naprezanja i relativne deformacije u armaturi, te u betonu na gornjem te donjem rubu poprenog presjeka i u razini armature. Takoer se proraunava naprezanje prianjanja i proklizavanje armature. Za taj proraun se rabi postupak opisan u toki 2 ovog rada. Nakon prorauna zakrivljenosti du nosaa, moe se prora-unavati progibna linija nosaa za svaki korak optereenja. Progib u odreenoj toki nosaa moe se openito prikazati sljedeim izrazom:

| int00

1ii

L

j mRdxmr

f (39)

gdje je Ri plotina dijagrama zakrivljenosti u i-tom inter-valu, a mi je ordinata dijagrama momenata savijanja od jedinine sile u i-tom intervalu, kada se jedinina sila nalazi u j-toj toki nosaa iji se progib eli proraunati,to je vidljivo na slici 9.

Ponavljanjem takvog zbrajanja za jedininu silu u sva-koj toki nosaa, odreuje se progibna linija nosaa. Po-stupak se nastavlja poveanjem sile za P. Za svako poveanje sile odreuje se zakrivljenost u svim presjeci-ma i progib na sredini nosaa. Kao rezultat prorauna dobije se krivulja sila/progib. Takav postupak se ponavlja dok ne nastupi slom nosaa.U trenutku u kojem dolazi do pojave pukotine u nekom poprenom presjeku nosaa, potrebno je proraunatismanjenje sile (pad sile) do kojeg dolazi ako se element

optereuje uz kontrolu prirasta progiba (kao pri ekspe-rimentu). U stvarnosti optereenje se pri pojavi pukotine ne smanjuje, nego se progib naglo povea. S obzirom da se radi o proraunu progiba s porastom optereenja, pri-likom pojave svake nove pukotine, smanjuje se krutost nosaa, a ako se eli zadrati isti progib, sila se takoermora smanjiti. Postupak prorauna te (smanjene) sile provodi se iterativno, metodom raspolavljanja.

Pretpostavlja se da se prve pukotine pojavljuju u trenut-ku kada naprezanje betona na vlanom rubu poprenog presjeka dostigne vlanu vrstou betona, mctf , . S ob-zirom da se promatra nosa koji je optereen sa dvije, simetrino postavljene i jednake po veliini koncentrira-ne sile prve pukotine e sigurno nastati u podruju oko sredine raspona, izmeu tih dviju sila, jer se u tom pod-ruju nalaze najoptereeniji presjeci. Prema eksperimentima opisanim u [1] i [25], prve puko-tine se, kod uzoraka greda, pojavljuju izmeu sila na sred-njem dijelu nosaa na mjestima i razmacima koji odgo-varaju mjestima i razmacima poprene armature. Nakon pojave prvih (primarnih) pukotina, kod uzoraka greda, izmeu njih se, na sredini razmaka, pojavljuju nove pu-kotine. Nakon toga, s poveanjem optereenja dolazi do pojave sekundarnih pukotina koje se vrlo brzo spajaju s postojeim pukotinama, tj. nema vie pojave glavnih (primarnih) pukotina. To se uzima u obzir prilikom pro-rauna zavisnosti progiba od vanjskog optereenja. Na-kon formiranja stabilizirane slike pukotina, ponaanje vlano napregnutog betona izmeu postojeih pukotina opisuje se proraunskim dijagramom sa slike 1.b). Dalj-njim poveanjem optereenja, relativna deformacija be-tona u vlanom podruju prekorauje veliinu relativne deformacije pri vlanoj vrstoi betona i tada vie ne dolazi do pojave novih pukotina, ve do stvaranja mikro-pukotina u tom podruju.U trenutku kada najvea relativna vlana deformacija u presjeku, ctH , bude jednaka uct,H , dolazi do prestanka nosivosti betona u vlanom podruju i nakon toga se smat-ra da se popreni presjek nalazi u stanju naprezanja II.

4 Krivulje prianjanje/proklizavanje

U radu [1] opisani su eksperimenti kojima su dobivene krivulje prianjanje/proklizavanje za elinu armaturu i A-PAV. Ispitivanja su provedena na normiranom uzorku prema normi HRN U.M1.090 [26]. Ovakav tip ispitivanja priznat je i u svijetu i naziva se Standard beam test (RILEM 1978.g [27]). Uzorak za ispitivanje prianjanja i proklizavanja armature prikazan je na slici 9. Dimenzije su dane u cm.

L

xj

R1

R i

intR

1

1m intm

m i

(1/r)

a)

b)

c)

P P

'

Slika 9. a) statiki sustav podijeljen na intervale, b) promjena zakrivljenosti du nosaa, c) moment savijanja od jedinine sile


GRAEVINAR 60 (2008) 6, 499-511 507

Izraeno je jedanaest uzoraka od kojih su tri armirana ipkama od polimera armiranog ugljinim vlaknima (PAUV) I 12,7 mm, tri ipkama od polimera armiranog staklenim vlaknima (PASV) I 12,7 mm, tri ipkama od PASV-a I 6,35 mm i po jedan uzorak je armiran rebras-tom elinom armaturom I 12,0 mm, odnosno I 6,0 mm. Treba napomenuti da su ispitane ipke od PASV-a i PAUV-a bile glatke, prekrivene samo kremenim pijes-kom po povrini i da je bilo oekivano njihovo veliko proklizavanje.

Ispitivanjem svakog od uzoraka trebale bi se dobiti dvije krivulje jer se mjerenja provode s obje strane uzorka. Praktino je to teko postii s A-PAV zbog toga to se nakon to armatura jedne strane uzorka proklizne, ta strana mora fiksirati, a mjerenje se nastavlja samo na drugoj polovici uzorka. No, kod ovog ispitivanja problem je bio fiksirati A-PAV. To nije najbolje uspjelo pa se zbog toga od svakog uzorka mogao upotrijebiti samo po jedan rezultat ispitivanja. U ovom lanku rabe se rezul-tati ispitivanja prianjanja i proklizavanja ipki I 12,7 mm od PASV-a.

Nakon ipki od PASV-a ispitivani su uzorci armirani ipkama od PAUV-a I12,7 mm. Dijagrami prianjanje/pro-klizavanje za sve uzorke ipki od PAV-a I 12,7 mm pri-kazani su na slici 11. Vidi se da i kod velikog prokliza-vanja od 3,0 mm jo uvijek postoji veliko naprezanje prianjanja izmeu ipki od PAV-a i betona. Rebrasta elina armatura ima i do 5 puta manje proklizavanje od glatke A-PAV.

Krivulje prianjanje/proklizavanje za te uzorke se prekla-paju, a to je zato jer su ipke od PAV-a, bez obzira na tip, obloene kremenim pijeskom kako bi bolje prianja-le. Moe se zakljuiti da se prionjivost ipki od PASV-a ili PAUV-a, istog promjera, moe promatrati zajedno.

Tablica 1 prikazuje prosjenu veliinu naprezanja pri-anjanja na duljini od 10 I (10 promjera armature). Pri-kazane su vrijednosti naprezanja prianjanja, W, za velii-ne proklizavanja ipke od 0,01; 0,05; 0,1 i 0,5 mm, te maksimalno izmjereno naprezanje prianjanja. Oznaka W0,01 odgovara naprezanju prianjanja pri proklizavanju od 0,01 mm, W0,05 odgovara naprezanju prianjanja pri proklizavanju od 0,05 mm, itd.

Tablica 1. Rezultati ispitivanja naprezanja prianjanja i proklizavanja ipki od PASV-a i PAUV-a I12,7 mm u N/mm2

Uzorak W0,01 W0,05 W0,1 W0,5 Wmax (N/mm2)PASV12-1

6,07 7,07 7,18 6,22 7,19

PASV12-3

6,28 12,34 13,74 16,78 16,87

PAUV12-1

3,10 8,48 9,53 12,52 12,76

PAUV12-2

9,98 17,18 19,12 17,83 19,39

PAUV12-3

8,70 12,47 13,82 15,00 15,09

37.5

126

18

Duljina prianjanja10I

37.565

310

5

15

5

I

10

5

Q/2 Q/2

a=25 a=25

Ureaj za mjerenje pomaka Plastina navlaka

Duljina prianjanja10I

ipka armature

Slika 10. Standardni uzorak za ispitivanje prianjanja i proklizavanja armature [27]

ipke od PAV-a promjera 12,7 mm

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3Proklizavanje (mm)

Pria

njan

je (N

/mm

2 )

PAUV 12-1

PASV 12-1

PAUV 12-3

PAUV 12-2

PASV 12-3

Slika 11. Dijagrami prianjanje/proklizavanje za ipke I12,7 mm od PASV-a i PAUV-a


508 GRAEVINAR 60 (2008) 6, 499-511

5 Odreivanje progiba Postupak prorauna progiba s porastom optereenja koji je opisan u toki 3, rabi krivulju prianjanje/proklizava-nje armature radi prorauna raspodjele naprezanja pria-njanja te proklizavanja armature u betonu. Ovdje e se analizirati utjecaj krivulja prianjanje/proklizavanje pod nazivom PASV 12-1 i PASV 12-3 (slika 11.) na proraunprogiba greda (slika 12.) armiranih s A-PAV.

Statiki sustav i armatura grede, iji su progibi mjereni, prikazani su na slici 12. U tablici 2. prikazane su dimen-zije poprenog presjeka i plotine armature grede.

Srednja tlana vrstoa betona: 2mm/35 Nfck .

Vlana vrstoa betona: 23 23 2

, mm/21,3353,03,0 Nff ckmct .

Sekantni modul elastinosti betona: 233 mm/33282835950089500 NfE ckcm

Relativna deformacija betona:

5,, 1064,9

cm

mctmct

E

fH (slika 1.).

Prema radu [19] krajnja relativna vlana deformacija betona: mctuct do ,, 3520 HH . Ovdje je upotrijebljena vrijednost: 3,min,, 1093,120

mctuct HH (slika 1.). U tablici 3. prikazane su eksperimentalno odreene karakteristike ugraene A-PAV. Kao to je vespomenuto, zbog svojstava tlano naprezane A-PAV, prema [13], ona se zanemaruje u ovim proraunima .

Tablica 3. Karakteristike A-PAV pri vlanom naprezanju Karakteristike A-PAV

ModulelastinostiA-PAV, Ef(N/mm2)

Relativnadeformacija A-PAV pri vlanom slomu, Hsu

Vlana vrstoaA-PAV, ffu(N/mm2)

41600 0,0174 723,84

Rezultati prorauna progiba greda s porastom opteree-nja nazvani su GREDA-1 i GREDA-2. U proraunu GREDA -1 rabi se krivulja prianjanje/proklizavanje pod

nazivom PASV 12-1, a u proraunu GREDA-2 krivulja pod nazivom PASV 12-3. Na slici 13. prikazan je dio dijagrama sila/progib za te grede. Sila P na ordinati dija-grama odgovara silama P na gredi prikazanoj na slici 12.

Kao to je ve spomenuto, s porastom optereenja dola-zi do pojave novih pukotina i do promjene naprezanja i relativnih deformacija u armaturi i betonu du nosaa.

310

28

A

A

28

20

253

Uzduni presjek grede spone I8/20 cm, m=2 (eline)

3I12,7 (PASV-armatura)


spone I8/20 cm, m=2 (eline)



P P

100 90 100

1010

Presjek A-A

290

Slika 12. Statiki sustav i armatura grede (dimenzije u cm)

Tablica 2. Dimenzije poprenog presjeka grede i plotina armature Dimenzije poprenog presjeka i plotina armature

b/h/d (cm) Vlana armatura Tlana armatura Poprena armatura Greda PASV 20/28/25

PASV 3#4 (3 I 12,7) (3,87 cm2)

PASV 2#2 (2 I 6,35) (0,63 cm2)

eline spone I 8/20 cm,m = 2

Dijagram Sila / progib

0

5

10

15

20

0 0,5 1 1,5 2Progib na sredini grede (cm)

Sila

P

(kN)

GREDA-2

GREDA-1

P = 12,23 kN

P = 14,26 kNP = 9,66 kN

Slika 13. Poetni proraunski dio dijagrami sila/progib za nosaeGREDA-1 i GREDA-2


GRAEVINAR 60 (2008) 6, 499-511 509

Na slici 14. prikazana je promjena naprezanja u vlanoj armaturi du nosaa GREDA-1 i to za sile: P = 9,66 kN, P = 12,23 kN i P = 14,26 kN (slika 13.). Pri navedenim silama dolo je do pojave novih pukotina. S porastom sile poveava se naprezanje u vlanoj armaturi na mjes-tu pukotine. Nove pukotine nastaju sve blie leaju gre-de, to se vidi po vrkovima krivulje na slici 14. Napre-zanje prianjanja smanjuje naprezanje u armaturi izmeupukotina (slika 14.).

Utjecaji krivulja prianjanje/proklizavanje armature na proraun naprezanja i relativnih deformacija armature i betona te zakrivljenosti poprenog presjeka i progiba grede bit e prikazani za silu P = 12,23 kN.

Na slici 15. prikazani su dijagrami naprezanja u armatu-ri za polovicu grede pri sili P = 12,23 kN. Vrhovi krivu-lja na slici 15. nalaze se na mjestima pukotina gdje su naprezanja u armaturi najvea. Pukotine su meusobno udaljene 9,0 cm. Izmeu dviju pukotina naprezanje u armaturi se smanjuje, jer dio naprezanja, preko prianja-nja armature za beton, preuzima beton u vlanom pod-ruju. Odmah se moe uoiti da su izmeu pukotina ve-a naprezanja u armaturi za nosa GREDA-1, nego za nosa GREDA-2 i to zbog utjecaja prianjanja/prokliza-vanja. Neto vee proklizavanje GREDE-1 (slika 16.), odnosno manje naprezanje prianjanja armature (slika 17.) daje vee naprezanje u armaturi izmeu dviju susjednih pukotina. Zbog toga manji dio vlanih naprezanja izme-

u pukotina preuzima beton u nosau GREDA-1, nego u nosau GREDA-2.

Slika 16. Proraunske veliine proklizavanja A-PAV, du polovice raspona, za nosae GREDA-1 i GREDA-2

Na slici 16. prikazani su proraunski dijagrami prokliza-vanja armature du polovice grede, pri sili P = 12,23 kN, na kojima se vidi da se kod istog optereenja grede, ve-e proklizavanje armature javlja rabi li se krivulja pria-njanje/proklizavanje PASV 12-1 nego krivulja PASV 12-3. Najvee proklizavanje armature javlja se na mjes-tu pukotine to se vidi po vrhovima krivulja na dijagra-mu proklizavanja armature na slici 16.

Slika 17. Proraunske vrijednosti naprezanja prianjanja A-PAV, du polovice raspona, za nosae GREDA-1 i GREDA-2

Pri sili P = 12,23 kN, na slici 17., vidi se da se vea na-prezanja prianjanja javljaju rabi li se krivulja PASV 12-3 (za GREDU-1), a manja krivulju PASV 12-1 (za GREDU-3). To je u skladu sa slikom 11.

Naprezanje u armaturi, Vf1, du grede pri sili P = 9,66 kN

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 50 100 150Udaljenost od leaja grede (cm)

V f1 (kN

/cm

2 )

P=9,66


0

2

4

6

8

10

12

14

16


V f1 (kN

/cm

2 )

P=12,23


0

2

4

6

8

10

12

14

16


V f1 (kN

/cm

2 )

P=14,26

Slika 14. Proraunsko naprezanje u A-PAV, du polovice nosaa pri silama: a) P = 9,66 kN, b) P = 12,23 kN i c) P = 14,26 kN


0

2

4

6

8

10

12

14


Nap

reza

nje

u ar

ma

turi,

V f1 (kN

/cm

2 )

GREDA-1GREDA-2

Slika 15. Proraunsko naprezanje u A-PAV, du polovice raspona, za nosae GREDA-1 i GREDA-2

Naprezanje prianjanja, Wp, du grede pri sili P = 12,23 kN

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 50 100 150

Udaljenost od leaja grede (cm)

Napr

eza

nje

pria

njan

ja,

W p (kN

/cm

2 )

GREDA-1GREDA-2

Proklizavanje armature, G, du grede pri sili P = 12,23 kN

-0,015

-0,01

-0,005

0

0,005

0,01

0,015

0 50 100 150


Pro

kliz

ava

nje

arm

atu

re,

G (cm

)

GREDA-1GREDA-2


510 GRAEVINAR 60 (2008) 6, 499-511

Slika 18. Proraunske vrijednosti zakrivljenosti poprenogpresjeka, du polovice raspona, za nosae GREDA-1 i GREDA-2

Na slici 18. prikazani su dijagrami zakrivljenosti poprenih presjeka du polovice grede, pri sili P = 12,23 kN. Kod prorauna sa krivuljom prianjanje/proklizavanje PASV 12-1 dobiju se vee zakrivljenosti du grede, nego pri uporabi krivulje PASV 12-3. Dijagrami zakrivljenosti poprenih presjeka slini su dijagramima naprezanja u armaturi du grede, jer zakrivljenost poprenog presjeka grede najvie i ovisi o naprezanjima odnosno deforma-cijama u armaturi u svakom poprenom presjeku. Isto tako, vee zakrivljenosti poprenih presjeka grede uzro-kuju i vee progibe, to se direktno oituje i kod veihprogiba nosaa GREDA-1, nego su to progibi nosaaGREDA-2. Progibne linije grede prikazane su na slici 19.

Prema oekivanjima, razliiti oblici krivulja prianjanje/pro-klizavanje imaju utjecaj na veliinu progiba (slike 13. i 19.). Progibi su manji rabi li se krivulja PASV 12-3 (GREDA-2) jer ta krivulja daje maksimalno naprezanje prianjanja, dok krivulja PASV 12-1 (GREDA-1) daje minimalno naprezanje prianjanja od svih ispitanih uzoraka ipki armature.

Slika 19. Progibne linije greda, za rezultate prorauna GREDA-1 i GREDA-2

Na slici 20. prikazani su dijagrami sila/progib za promatra-ne grede, a za usporedbu s teorijskim rezultatima pri-kazani su i eksperimentalni rezultati ispitivanja greda

armiranih s A-PAV. Moe se uoiti dobro slaganje teo-rijskih i eksperimentalnih rezultata.

Slika 20. Dijagrami sila/progib za rezultate prorauna GREDA-1 i GREDA-2 i eksperimentalni rezultati

6 ZakljuakCilj ovog rada bio je nainiti proraunski model odrei-vanja progiba i istraiti utjecaj prianjanja i proklizavanja A-PAV, u armiranobetonskom elementu, na veliinuprogiba. Postojei modeli prorauna progiba temelje se na proraunu zakrivljenosti najoptereenijeg poprenogpresjeka u promatranom nosau i proraunu progiba prema teoriji elastinosti u tom presjeku. U takvim modelima zakrivljenost se poprenog presjeka proraunava pomo-u prosjenog proraunskog momenta tromosti koji u obzir uzima raspucanost nosaa ovisno o optereenju.U ovom radu, proraun progiba s porastom optereenja proiren je kako bi se njime obuhvatilo ponaanje beto-na i A-PAV izmeu dviju susjednih pukotina. Pri tome je u obzir uzeto prianjanje i proklizavanje armature te pojava novih pukotina s porastom optereenja. Pokazalo se da prianjanje i proklizavanje armature znaajno utje-u na veliinu progiba nosaa u fazi nastajanja pukotina.Ako je prianjanje izmeu armature i betona veliko tada e progibi grede pri istom optereenju biti manji od pro-giba grede u kojoj je prianjanje izmeu armature i beto-na malo. Nakon stabiliziranja pukotina pri veim silama taj utjecaj je zanemariv. Krivulje prianjanje/proklizava-nje utjeu i na svaki korak proraunskog postupka, na njegovu brzinu i tonost. Brojni istraivai dali su modele prorauna raspodjele prianjanja i proklizavanja armature u betonu, izmeudviju susjednih pukotina. No, u tim se istraivanjima rabila elina, a ne A-PAV. Istraivai su obino pret-postavljali raspodjelu proklizavanja armature izmeudviju susjednih pukotina ili su rabili zamjensku krivulju prianjanje/proklizavanje.

U ovom se radu rabila A-PAV te krivulje prianjanje/prokli-zavanje odreene ispitivanjem na uzorcima. Promatralo se ponaanje cijelog nosaa, u svim fazama optereenja,uzimajui u obzir nastanak i stabilizaciju pukotina. Re-zultat takvog prorauna je ponaanje nosaa s porastom

Zakrivljenost poprenog presjeka, 1/r,du grede pri sili P = 12,23 kN

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,00016


Zakr

ivlje

no

st, 1/

r (1/

cm)

GREDA-1GREDA-2

Progibna linija grede pri sili P = 12,23 kN

-0,7

-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

00 100 200 300


Prog

iv, v

(cm)

GREDA-1GREDA-2

Dijagram Sila / progib

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6 7Progib na sredini grede (cm)

Sila

P

(kN)

GREDA-2

GREDA-1

eksperiment


GRAEVINAR 60 (2008) 6, 499-511 511

optereenja do sloma. Krivulja sila/progib proraunana tim postupkom dobro se poklapa s rezultatima eksperi-mentalnih istraivanja. Ovim postupkom, u svakoj se toki nosaa, pri svakom koraku optereenja moe utvr-

diti stanje naprezanja i relativne deformacije u armaturi i betonu, prianjanje i proklizavanje izmeu armature i betona te pojava pukotina i veliina progiba.

LITERATURA

[1] Kiiek, T.: Progibi betonskih greda s FRP armaturom,Doktorski rad, Graevinski fakultet Sveuilita u Zagrebu, Zagreb, 2006.

[2] Tomii, I.: Proraun greda armiranih ipkama od polimera armiranog vlaknima, Ceste i mostovi, god. 47 (2001), br. 5-6, str. 117-124

[3] arni, R.: Osnovne lastnosti polimernih kompozitov, Gradbeni vestnik, letnik 51, junij, 2002., str. 155-166

[4] Benmokrane, B.; Chaallal, O.; Masmoudi, R.: FlexuralResponse of Concrete Beams Reinforced with FRP Reinforcing

Bars, ACI Structural Journal, V. 93, No. 1, January-February 1996., pp. 46-55

[5] Masmoudi, R.; Theriault, M.; Benmokrane, B.: Flexural Behaviour of Concrete Beams Reinforced with Deformed Fiber

Reinforced Plastic Reinforcing Rods, ACI Structural Journal, V. 95, No. 6, November-December 1998., pp. 665-675

[6] Vijay, P.V.; GangaRao, H.V.S.: Bending Behaviour and Deformability of Glass Fiber-Reinforced Polymer Reinforced

Concrete Members, ACI Structural Journal, V. 98, No. 6, November-December 2001., pp. 834-842

[7] Tomii, I.; Sori, Z.; Kiiek, T.; Gali, J.: Betonskekonstrukcije mostova i zgrada armirane ipkama ili kabelima

FRP-a, Znanstveno struno savjetovanje "Objekti na autocestama" Graditeljstvo i okoli, Plitvika jezera, 14.11.-16.11.2002. str. 219-230

[8] Tighiouart, B.; Benmokrane, B.; Gao, D.: Investigation of Bond in Concrete Member with Fibre Reinforced Polymer (FRP)

Bars, Construction and Building Materials 12, 1998., pp. 453-462

[9] Alsayed, S.H.; Al-Salloum, Y.A.; Almusallam, T.H.: Performance of Glass Fiber Reinforced Plastic Bars as a

Reinforcing Material for Concrete Structures, Composites: Part B 31, 2000., pp. 555-567

[10] Abdalla, H.A.: Evaluation of Deflection in Concrete Members Reinforced with Fibre Reinforced Polymer (FRP) Bars,Composite Structures 56, 2002., pp. 63-71

[11] Toutanji, H.; Deng, Y.: Deflection and Crack-Width Prediction of Concrete Beams Reinforced with Glass FRP Rods,Construction and Building Materials 17, 2003., pp. 69-74

[12] Benmokrane, B.; Zhang, B.; Laoubi, K.; Tighiouart, B.; Lord, I.: Mechanical and Bond Properties of New Generation of Isorod CFRP Reinforcing Bars for Concrete Structures,Technical Progress Report, NSERC Research Chair in FRP Reinforcement for Concrete Structures, Canada, April 2001.

[13] ACI Committee 440, Guide for the Design and Construction of Concrete Reinforced with FRP Bars, 440.1R-01, American Concrete Institute, Farmington Hills, MI, 2001.

[14] Kiiek, T.; Sori, Z.: Dijagram moment savijanja zakrivljenost za armiranobetonske gredne elemente,Graevinar, 55 (2003) 4, str. 207-215

[15] Gali, J.; Sori, Z.; Kiiek, T.; Tomii, I.: Preporuke za proraun betonskih konstrukcija armiranih FRP ipkama,Sabor hrvatskih graditelja 2004, Graditelji nositelji razvojnih projekata Republike Hrvatske, zbornik radova, Cavtat, 22.04.-24.04.2004., str. 287-298

[16] Kiiek, T.; arni, R.; Sori, Z.; Gali, J.; Marohni, M.: Svojstva polimernih kompozita koji se rabe u graditeljstvu,Sabor hrvatskih graditelja 2004, Graditelji nositelji razvojnih projekata Republike Hrvatske, zbornik radova, Cavtat, 22.04.-24.04.2004., str. 309-320.

[17] Kindij, A.; Sori, Z.: Kabeli i trake od sloenih materijala za prednapinjanje, Graevinar 57 (2005) 5. str. 319-326.

[18] HRN ENV 1992-1-1:2004. Eurokod 2: Projektiranje betonskih konstrukcija 1-1. dio: Opa pravila i pravila za zgrade (ENV 1992-1-1:1991)

[19] Damjani, F. B.: Reinforced concrete failure prediction under both static and transient conditions, Ph.D. Thesis, Department of Civil Engineering, University College of Swansea, 1983.

[20] Manfredi, G.; Pecce, M.: A refined R.C. beam element including bondslip relationship for the analysis of continuous

beams, Computers & Structures, Volume 69, Issue 1, October 1998, pp. 53-62

[21] Kwak, H.G.; Kim, S.P.: Nonlinear analysis of RC beams based on momentcurvature relation, Computers & Structures, Volume 80, Issues 7-8, March 2002, pp. 615-628

[22] Kwak, H.G.; Song, J.Y.: Cracking analysis of RC members using polynomial strain distribution function, Engineering Structures, Volume 24, Issue 4, April 2002, pp. 455-468

[23] Kiiek, T.: Progibi armiranobetonskih nosaa pri poveanju optereenja, Magistarski rad, Zagreb, 2001.

[24] Branson, D. E.: Design Procedures for Computing Deflections,ACI Journal, September 1968, pp. 730-742

[25] Kiiek, T.; Sori, Z.; Rak, M.: Ispitivanje greda i ploaarmiranih ipkama od PAV-a, Graevinar 59 (2007) 7. str. 581-595.

[26] HRN U.M1.090., 1982. g., Odreivanje adhezije izmeuarmature i betona

[27] Fib bulletin 10, Bond of reinforcement in concrete, August, 2000

[28] Sori, Z.; Mori, M.: Teorijska analiza lokalnih napona prianjanja, Graevinar 41 (1989) 8, str. 377-383

[29] Sori, Z.; Kiiek, T.: Gali, J.: Experimental Research of Concrete Beams and Masonry Walls Reinforced with GFRP

Reinforcement, pp. 345-352. Asia-Pacific Conference on FRP in Structures, APFIS 2007. December 12.-14. 2007, Hong Kong, China. Editor S. T. Smith.

[30] Tomii, I.: Betonske konstrukcije, knjiga, DHGK, 1996.

Zahvala

Istraivanja opisana u ovom lanku izraena su u sklopu znanstvene teme br. 0082203 Primjena nemetalnih materijala u betonskim konstrukcijama koju je poduprlo Ministarstvo znanosti, obrazovanja i porta Republike Hrvatske. Autori se zahvaljuju Ministarstvu na potpori.

Documents

ugib betonskih nosaca